Testo, colori e suoni in bit; i numeri in base 2

Nella lezione 01 hai visto che un computer conserva solo bit: file di 0 e di 1, raccolti in byte da 8. Non ha un posto per le lettere, uno per i colori e uno per la musica. Ha solo bit.

Come fa allora a conservare un messaggio, una foto o una canzone? Con un accordo, come due amici che si scrivono in codice. La loro regola è: A vale 1, B vale 2, C vale 3, e così via. Per scrivere CIAO mandano i numeri 3, 9, 1 e 15. Chi riceve conosce la regola e rimette insieme la parola.

Il computer fa la stessa cosa, in due passi.

1. Una regola trasforma la cosa in numeri: ogni lettera ha il suo numero, ogni colore i suoi tre numeri, ogni istante di un suono il suo numero.
2. Ogni numero si scrive con 0 e 1, cioè in base 2.

Un byte, da solo, non dice che cosa contiene. Gli stessi otto bit possono essere un numero, una lettera o un colore: decide la regola con cui li leggi. Alla fine della lezione c'è un esercizio proprio su questo.

In questa lezione vedi prima il secondo passo, perché serve dappertutto: come si scrive un numero con 0 e 1. Poi le regole per il testo, le immagini e i suoni. Alla fine i conti in base 2: le somme e i numeri con la virgola.

Comincia da una cosa che sai già fare. Nel numero 375 il 3 vale trecento, il 7 vale settanta e il 5 vale cinque. La stessa cifra vale di più quanto più sta a sinistra: ogni posizione vale dieci volte quella alla sua destra. Unità, decine, centinaia. Le cifre sono dieci, da 0 a 9, e per questo si chiama base 10.

La base 2 funziona allo stesso modo, con due differenze: le cifre sono solo 0 e 1, e ogni posizione vale il doppio di quella alla sua destra.

Le monete della base 2

Immagina di avere otto monete, una per tipo: da 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128 euro. Ogni moneta vale il doppio della precedente. Mettile in fila, con la più grande a sinistra, come le cifre di un numero.

Per pagare una cifra scegli quali monete dare. Un numero in base 2 dice proprio questo: sotto ogni moneta c'è 1 se la dai, 0 se la tieni.

Prendi il numero 1101. Leggilo da destra, una moneta alla volta:

1. l'ultima cifra è 1: la moneta da 1 c'è;
2. la penultima è 0: la moneta da 2 non c'è;
3. poi 1: la moneta da 4 c'è;
4. poi 1: la moneta da 8 c'è.

Il totale è 8 + 4 + 1 = 13. Quindi 1101 in base 2 vale 13.

Un altro esempio, quello della figura 1.16 del libro: 100101.

Il totale è 32 + 4 + 1 = 37.

Per non confondere i due modi di scrivere i numeri si mette la base in basso: $100101_2=37_{10}$. Si legge «100101 in base due è uguale a 37 in base dieci». Senza il numerino, 100101 potrebbe essere centomilacentouno.

Ora si capiscono due cose della lezione 01. Il bit più a sinistra di un byte si chiama «più significativo» perché è la moneta che vale di più, 128. E una cifra esadecimale è il valore di quattro bit, con le monete 8, 4, 2 e 1: per esempio 1101 è D, cioè 13.

Clicca sui bit nello strumento qui sotto: ogni bit acceso aggiunge la sua moneta.

Contare in base 2

In base 10, dopo il 9 le cifre sono finite: scrivi 0 e metti un 1 a sinistra, e viene 10. In base 2 le cifre finiscono subito, dopo l'1. Ecco i primi numeri.

Controlla con le monete: 110 vuol dire 4 + 2, cioè 6.

Fin dove arrivano 8 bit

Con le sole monete da 1, 2 e 4 il massimo che paghi è 7, dandole tutte: 111. Contando anche lo 0, le somme possibili sono 8, da 0 a 7.

Con tutte e otto le monete, da 1 a 128, il massimo è 11111111. Vale 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255. Le somme possibili sono 256, da 0 a 255.

C'è una scorciatoia. Una fila di 1 vale sempre la moneta successiva meno 1: 111 vale 8 − 1 = 7, e 11111111 vale 256 − 1 = 255.

Con $n$ bit, quindi, si scrivono i numeri da 0 a $2^n-1$, che si legge «due alla n meno uno». Con 8 bit $2^8-1=255$; con 16 bit $2^{16}-1=65535$. Questi numeri, da 0 in su, senza segno meno e senza virgola, si chiamano interi senza segno (unsigned integers). Per i numeri negativi e per quelli con la virgola il libro usa altri sistemi, nelle sezioni 1.6 e 1.7.

Dal decimale al binario: pagare con le monete

Ora il viaggio al contrario: da 45 alla base 2. Paga 45 euro con le monete, partendo sempre dalla più grande che ci sta.

1. La moneta da 64 è troppo grande. Quella da 32 ci sta: la dai, restano 45 − 32 = 13.
2. Quella da 16 è troppo per 13: la tieni.
3. Quella da 8 ci sta: la dai, restano 13 − 8 = 5.
4. Quella da 4 ci sta: la dai, resta 5 − 4 = 1.
5. Quella da 2 è troppo per 1: la tieni.
6. Quella da 1 ci sta: la dai, resta 0.

Quindi 45 si scrive 101101. Controllo: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Il metodo del libro: dividere per 2

Con le monete si fa presto se il numero è piccolo. Il libro dà un altro metodo, nella figura 1.17, che funziona sempre allo stesso modo anche con i numeri grandi.

Perché si leggono al contrario? Il primo resto dice se il numero è dispari: 13 diviso 2 dà resto 1, quindi la moneta da 1 serve. Dividere per 2 è come cambiare ogni moneta con quella che vale la metà: la moneta da 2 diventa quella da 1, e il resto dopo dice se serve la moneta da 2. Così i bit escono da destra verso sinistra, e per scriverli nell'ordine giusto si leggono dall'ultimo.

Nello strumento scegli un numero e guarda le divisioni passo per passo.

Tre cose da sapere sugli zeri.

• Lo zero non ha bisogno di divisioni: in base 2 è 0, e in un byte 00000000.
• Gli zeri a sinistra non cambiano il valore, come in base 10 007 è 7: 1101 e 00001101 valgono tutti e due 13.
• Uno zero aggiunto a destra, invece, raddoppia il numero: ogni bit passa alla moneta successiva. 11010 vale 26, il doppio di 13.

Ora che sai scrivere un numero in bit, torna al primo passo: la regola che trasforma le lettere in numeri. Una tabella che dà a ogni simbolo il suo numero si chiama codice. I simboli sono le lettere, le cifre, la punteggiatura, lo spazio e anche alcuni comandi, come «vai a capo».

Il codice più famoso è l'ASCII, che si legge «aschi» (American Standard Code for Information Interchange). I suoi numeri vanno da 0 a 127, quindi bastano 7 bit: $2^7=128$ simboli. Ci sono le lettere dell'alfabeto inglese, maiuscole e minuscole, le cifre, la punteggiatura e lo spazio. Oggi ogni simbolo occupa un byte intero, con uno 0 in più a sinistra.

Ecco la parola «Hello.» in ASCII, come nella figura 1.11 del libro.

Controlla la H con le monete: 01001000 ha le monete da 64 e da 8, e 64 + 8 = 72.

La tabella completa sta nelle appendici del libro, ma non serve impararla. Basta sapere dove cominciano i gruppi.

Due cose da notare.

• Maiuscola e minuscola differiscono di 32: A è 65, a è 97. Nei bit cambia una sola moneta, proprio quella da 32: A è 01000001, a è 01100001. È la domanda 2 del §1.4 del libro.
• Le cifre sono simboli come gli altri. Il simbolo «7» è il numero 55, cioè 00110111. Per il computer non è il numero 7, che in base 2 è 00000111: è un disegno da mostrare sullo schermo.

I numeri non si scrivono in ASCII

Per scrivere il numero 25 in ASCII servono due simboli, «2» e «5», cioè due byte. In base 2, invece, 25 è 11001 e sta in un byte solo.

La differenza cresce con i byte. Con due byte in ASCII si scrivono due cifre, quindi si arriva a 99. Con gli stessi 16 bit in base 2 si arriva a 65535. Per questo il libro conclude che i numeri si conservano in base 2, e i conti si fanno direttamente sui bit.

Prova a scrivere in ASCII la parola «perché»: non si può. La é non c'è, e non c'è nemmeno il simbolo dell'euro. ASCII è nato per l'inglese.

Prima si è provato con codici da 8 bit, cioè 256 simboli: i primi 128 come in ASCII, gli altri diversi per ogni gruppo di lingue. Il codice Latin-1, per esempio, ha le lettere accentate dell'Europa occidentale. Il libro spiega perché non basta: 256 simboli sono pochi per lingue come il cinese, e un testo scritto in più lingue non sa quale tabella usare.

Unicode: un numero per ogni simbolo del mondo

La soluzione di oggi si chiama Unicode: un'unica, enorme tabella con i simboli di tutte le lingue, più simboli matematici, emoji e molto altro. Ha posto per più di un milione di simboli, e i primi 128 sono quelli di ASCII.

Il numero di un simbolo si chiama punto di codice (code point). Si scrive «U+» seguito dal numero in esadecimale, il modo breve di scrivere i bit della lezione 01.

UTF-8: quanti byte per simbolo

Unicode dice solo quale numero ha ogni simbolo. Resta da decidere come scriverlo in byte. La strada più semplice sarebbe dare a tutti i simboli lo stesso spazio, per esempio 4 byte; ma allora un testo in italiano occuperebbe quattro volte più che in ASCII.

UTF-8 fa una cosa più furba: ai numeri piccoli dà pochi byte, ai numeri grandi di più. È il modo più usato, e quasi tutte le pagine web sono scritte così.

Per sapere quanto occupa un testo, conta i simboli di ogni riga. «perché» ha 6 simboli: p, e, r, c, h hanno un byte ciascuno, la é ne ha 2. In tutto 5 + 2 = 7 byte.

Leggendo un file, come fa il computer a capire dove finisce un simbolo e comincia il successivo? Lo dice il primo byte di ogni simbolo, con i suoi primi bit:

• comincia con 0 se il simbolo ha un byte solo;
• comincia con 110 se ne ha due, con 1110 se ne ha tre, con 11110 se ne ha quattro;
• i byte che seguono cominciano tutti con 10.

I simboli di ASCII hanno un byte solo, che comincia con 0, ed è proprio il byte di ASCII. Quindi un testo scritto in ASCII è già un testo UTF-8, con gli stessi byte.

Scrivi una parola nello strumento: per ogni simbolo vedi il punto di codice e i byte di UTF-8.

Un file fatto solo di numeri di simboli, uno dopo l'altro, si chiama file di testo. Sono file di testo i .txt, ma anche i programmi in C e le pagine web. Word, invece, salva anche grassetti, caratteri e margini con codici suoi: un file .docx non è un file di testo.

Ingrandisci molto una foto sul telefono: a un certo punto vedi tanti quadratini, ognuno di un colore solo. Sono i pixel, da picture elements, «elementi dell'immagine».

Una foto, per il computer, è una griglia di pixel, e ogni pixel è scritto con dei bit. Un'immagine fatta così si chiama mappa di bit (bit map).

In bianco e nero basta un bit per pixel: 1 per nero, 0 per bianco. Ecco una F fatta di cinque righe da cinque pixel.

I colori in RGB

Per i colori immagina tre lampadine puntate sullo stesso punto: una rossa, una verde e una blu. Ognuna ha una manopola che va da spenta, 0, ad accesa al massimo, 255. Ogni manopola è un numero da 0 a 255, e 255 è proprio il numero più grande che sta in un byte. Quindi un pixel occupa 3 byte, uno per lampadina.

Questo modo di scrivere i colori si chiama RGB, dalle iniziali dei tre colori in inglese: red, green, blue.

Le luci si mescolano così:

• tutte spente danno il nero;
• tutte al massimo danno il bianco;
• rosso e verde insieme danno il giallo;
• tre valori uguali danno un grigio.

L'ultima colonna è il modo di scrivere i colori nelle pagine web: ogni byte diventa due cifre esadecimali, come nella lezione 01. FF è 255, 80 è 128, 00 è 0.

Quanti colori ci sono in tutto? 256 valori per il rosso, per ognuno 256 per il verde, per ognuno 256 per il blu: $256\cdot 256\cdot 256=16777216$, più di sedici milioni. È lo stesso numero di $2^{24}$, perché 3 byte sono 24 bit.

Muovi le tre manopole nello strumento.

Quanto pesa un'immagine

Lo schermo di un portatile Full HD ha 1920 colonne e 1080 righe di pixel. I pixel sono 1920 × 1080 = 2073600. Ognuno occupa 3 byte, quindi un'immagine grande come lo schermo occupa 6220800 byte, circa 6 MB. Per questo le immagini si comprimono, per esempio in JPEG: lo racconta la sezione 1.9 del libro.

Immagini vettoriali

Una mappa di bit ha un limite: se la ingrandisci, ingrandisci anche i pixel, e l'immagine diventa a quadretti. Esiste un altro modo: invece dei pixel si scrive come disegnare l'immagine, cioè quali linee, curve e figure tracciare e dove. Si chiama immagine vettoriale.

Per ingrandire un'immagine vettoriale si ridisegnano le figure più grandi: niente quadretti. Sono fatti così i caratteri che si ingrandiscono a piacere, come TrueType e PostScript, i disegni tecnici e i file .svg. Per le fotografie, invece, la mappa di bit resta più fedele: è la domanda 9 del §1.4.

Un suono è l'aria che vibra, avanti e indietro, come un'onda. Quanto è alta l'onda dà il volume; quanto è fitta dà la nota, più grave o più acuta.

Pensa a un'altalena. Se la fotografi una volta al secondo, dalle foto capisci poco di come si muove. Se la fotografi cento volte al secondo, dalle foto ricostruisci tutto il movimento. Con un suono si fa lo stesso: si misura l'altezza dell'onda tante volte al secondo, sempre allo stesso ritmo, e si conservano i numeri.

Ogni misura si chiama campione (sample), e prendere le misure si chiama campionamento. Il libro fa l'esempio di un'onda registrata con i campioni 0; 1,5; 2,0; 1,5; 2,0; 3,0; 4,0; 3,0; 0.

Per registrare un suono si fanno due scelte.

• Quante misure al secondo. Per una telefonata bastano 8000 campioni al secondo. Un CD musicale ne prende 44 100 al secondo.
• Con quanti bit si scrive ogni misura. Il CD usa 16 bit, cioè $2^{16}=65536$ valori possibili. Ogni misura viene arrotondata al valore più vicino, come quando misuri con un righello che ha solo le tacche dei millimetri. Questo arrotondamento si chiama quantizzazione.

Più misure al secondo e più bit per misura danno un suono più fedele, ma occupano più spazio. La musica in stereo, poi, ha due registrazioni, una per orecchio: si chiamano canali.

Nello strumento vedi un'onda, i campioni presi a intervalli regolari e il suono che si ricostruisce dai campioni.

C'è anche un modo completamente diverso. Una registrazione conserva il suono; uno spartito conserva le istruzioni per suonarlo. Il formato MIDI (Musical Instrument Digital Interface) è uno spartito: dice quale strumento, quale nota e per quanto tempo. Occupa pochissimo: secondo il libro, un clarinetto che suona un re per due secondi occupa 3 byte in MIDI, contro più di due milioni di bit con 44 100 campioni al secondo. Il difetto è lo stesso dello spartito: il suono vero dipende da chi lo suona, cioè dallo strumento elettronico che esegue le istruzioni.

Ricorda come si somma in colonna in base 10, per esempio 58 + 27. Nella colonna di destra 8 + 7 fa 15: scrivi 5 e riporti 1. Nella colonna dopo 5 + 2 + 1 fa 8. Il risultato è 85.

In base 2 si fa nello stesso modo. Cambia solo una cosa: appena una colonna arriva a 2, hai già finito le cifre. Le somme possibili in una colonna sono solo quattro.

Ecco l'esempio del libro: 00111010 + 00011011, cioè proprio 58 + 27. Si parte dalla colonna di destra. Nella prima riga ci sono i riporti, che arrivano dalla colonna a destra.

Le prime colonne, da destra:

1. 0 + 1 fa 1: scrivi 1, niente riporto.
2. 1 + 1 fa due, cioè 10: scrivi 0 e riporti 1.
3. 0 + 0 più il riporto fa 1: scrivi 1, niente riporto.
4. 1 + 1 fa 10: scrivi 0 e riporti 1.
5. 1 + 1 più il riporto fa tre, cioè 11: scrivi 1 e riporti 1.

E così via fino a sinistra. Controllo con le monete: 01010101 vale 64 + 16 + 4 + 1 = 85.

Quando il risultato non ci sta: l'overflow

Pensa al contachilometri di un motorino con tre cifre. Dopo 999 non c'è posto per 1000: torna a 000. Con i bit succede lo stesso.

Con 8 bit gli interi senza segno vanno da 0 a 255. Prova 200 + 100, cioè 11001000 + 01100100. Il risultato vero è 300, che in base 2 è 100101100: ha 9 bit. Negli 8 bit c'è posto solo per gli ultimi 8. Il 1 più a sinistra si perde e resta 00101100, cioè 44.

Questo si chiama overflow, in italiano anche «trabocco»: il risultato non ci sta nei bit che hai. Chi programma lo incontra davvero: un contatore di 8 bit, dopo 255, ricomincia da 0.

Questa regola vale per gli interi senza segno. Per i numeri con il segno, nella prossima lezione, ce n'è un'altra.

Clicca sui bit dei due numeri nello strumento e guarda i riporti.

In base 10, 3,75 vuol dire 3 unità, 7 decimi e 5 centesimi: dopo la virgola ogni posizione vale un decimo di quella a sinistra. In base 2 vale la stessa idea con le metà.

Torna alle monete. A destra della virgola aggiungi monete sempre più piccole, ognuna la metà della precedente: mezzo euro, un quarto di euro, un ottavo di euro.

Quindi 101,101 vale 4 + 1 prima della virgola, e 1/2 + 1/8 dopo. È la figura 1.19 del libro.

Il numero 101,101 vale 5 e 5/8. Con la virgola in base 10 è 5,625, perché 5/8 = 0,625.

Da una frazione alla base 2

Con le frazioni piccole si usano ancora le monete: scrivi la frazione come somma di mezzi, quarti, ottavi.

• 2 e 3/4: tre quarti sono un mezzo più un quarto. Quindi $2+1/2+1/4$, cioè 10,11.
• 5/16: sono 4/16 più 1/16, cioè un quarto più un sedicesimo. Le posizioni dopo la virgola sono 1/2, 1/4, 1/8, 1/16: il bit è 1 nella seconda e nella quarta, quindi 0,0101.

Quando il numero è scritto con la virgola in base 10, come 0,625, c'è un metodo che va sempre.

Perché funziona? Raddoppiare sposta tutte le monete di un posto: il mezzo diventa 1 e finisce prima della virgola. Così, a ogni raddoppio, la cifra prima della virgola dice se c'era la moneta successiva.

Sommare con la virgola

Si mettono le virgole una sotto l'altra e si somma come sempre, da destra. L'esempio del libro: 10,011 + 100,110, cioè 2 e 3/8 più 4 e 3/4.

Il risultato è 111,001, cioè 7 e 1/8. Controllo: 2 e 3/8 più 4 e 3/4, cioè 2 e 3/8 più 4 e 6/8, fa 6 e 9/8, cioè 7 e 1/8.

Nello strumento ci sono anche tre bit dopo la virgola.

Le regole dell'esame, uguali per i tre canali, sono nella lezione 01 e nella scheda del corso.

Che cosa serve di questa lezione

1. Le conversioni tra base 2 e base 10, anche con la virgola. Nei quiz delle simulazioni del 2023/24 tornano complemento a 2, virgola mobile e notazione in eccesso. Sono le sezioni 1.6 e 1.7 del libro, e si fanno tutte con le conversioni di questa lezione.
2. La somma in colonna e l'overflow. Torna identica con il complemento a 2.
3. Testo, immagini e suoni. Non compaiono nei quiz delle simulazioni del 2023/24, ma la sezione 1.4 sta nella mappa comune del libro. Servono le idee e i conti: i byte di un testo in UTF-8, di un'immagine, di un suono.

Errori da evitare

• Leggere i resti delle divisioni dal primo all'ultimo: si leggono dall'ultimo al primo.
• Dimenticare un riporto, soprattutto quando in una colonna ci sono tre 1.
• Confondere il simbolo «5», cioè 00110101, con il numero 5, cioè 00000101.
• Contare un byte per simbolo in UTF-8: è, € ed emoji ne usano di più.
• Nei conti su immagini e suoni, confondere bit e byte, o dimenticare che lo stereo ha due canali.
• Dare alle posizioni dopo la virgola i valori 1/10 e 1/100: in base 2 valgono 1/2, 1/4, 1/8.

Codice

Una tabella che dà a ogni simbolo una fila di bit.

ASCII

Il codice a 7 bit dei simboli dell'inglese (American Standard Code for Information Interchange): 128 simboli, oggi un byte ciascuno.

Unicode

La tabella che dà un numero a ogni simbolo di ogni lingua, compresi simboli matematici ed emoji.

Punto di codice

Il numero di un simbolo in Unicode (code point), scritto U+ e poi in esadecimale: U+00E8 è la è.

UTF-8

Il modo più usato di scrivere i punti di codice in byte: da 1 a 4 byte per simbolo, 1 per i simboli di ASCII.

File di testo

Un file fatto solo di codici di simboli, uno dopo l'altro (text file).

Pixel

Uno dei quadratini di cui è fatta un'immagine (picture element).

Mappa di bit

Un'immagine scritta come griglia di pixel (bit map).

RGB

Il modo di scrivere un colore con tre numeri da 0 a 255: rosso, verde e blu (red, green, blue).

Immagine vettoriale

Un'immagine descritta come insieme di figure con le loro coordinate: si ingrandisce senza perdere qualità.

Campione

Una misura dell'onda di un suono (sample). Il campionamento è il procedimento che prende i campioni a intervalli regolari.

MIDI

Un formato che conserva le istruzioni per suonare la musica, non l'onda (Musical Instrument Digital Interface).

Sistema binario

Il modo di scrivere i numeri in base 2: ogni posizione vale il doppio di quella alla sua destra (binary system).

Virgola binaria

La virgola dei numeri in base 2: dopo di lei le posizioni valgono 1/2, 1/4, 1/8 (radix point).

Riporto

L'1 che passa alla colonna di sinistra quando una colonna fa 2 o 3 (carry).

Intero senza segno

Un numero intero da 0 in su, scritto in binario con un numero fisso di bit (unsigned integer).

Overflow

Quando il risultato di un conto non ci sta nei bit disponibili.

Spunta quando sai fare la cosa senza guardare gli appunti. Le spunte restano salvate in questo browser.

• So scrivere e leggere un testo in ASCII, e so che maiuscola e minuscola differiscono di 32.
• So la differenza tra Unicode e UTF-8 e so contare i byte di un testo in UTF-8.
• So scrivere un colore in RGB, anche in esadecimale, e calcolare i byte di un'immagine.
• So come si registra un suono e calcolare i byte che occupa.
• So passare dalla base 2 alla base 10 e dalla base 10 alla base 2, anche con la virgola.
• So sommare in binario e riconoscere l'overflow con $n$ bit.