Prodotto cartesiano e relazioni di equivalenza

Nella battaglia navale ogni casella ha un nome fatto di due pezzi: una lettera per la colonna e un numero per la riga. «B3» vuol dire colonna B, riga 3. Se un giocatore dice «3B» non si capisce, oppure si capisce una casella diversa: i due pezzi hanno un posto fisso, prima la colonna e poi la riga.

Al cinema succede lo stesso con «fila 5, posto 12»: se scambi i due numeri, ti siedi nel posto sbagliato.

Una coppia ordinata si scrive con le parentesi tonde e la virgola: $(B,3)$ si legge «la coppia B, 3». L'oggetto a sinistra si chiama prima componente, quello a destra seconda componente.

Le tonde servono proprio a distinguere la coppia da un insieme. Con le graffe l'ordine non conta, come hai visto nella lezione D01: $\{2,5\}$ e $\{5,2\}$ sono lo stesso sacchetto. Con le tonde l'ordine conta:

Il simbolo $\ne$ si legge «diverso da».

Due coppie sono uguali solo se coincidono pezzo per pezzo: stessa prima componente e stessa seconda componente.

1. $(3,7)=(3,7)$: tutti e due i pezzi coincidono.
2. $(3,7)\ne (7,3)$: i pezzi sono gli stessi, ma in posti diversi.
3. $(3,7)\ne (3,8)$: la prima componente coincide, la seconda no.

Un'altra differenza con gli insiemi: in una coppia lo stesso oggetto può comparire due volte. $(4,4)$ è una coppia vera, con il 4 al primo e al secondo posto, come la casella «riga 4, colonna 4» di una scacchiera. Invece $\{4,4\}$ è solo un modo lungo di scrivere $\{4\}$, un sacchetto con una tessera.

Prendi una battaglia navale piccolissima, con tre colonne A, B, C e due righe 1, 2. Quante caselle ci sono? Per ogni colonna ci sono due righe, quindi le caselle sono sei:

L'insieme di tutte le caselle si costruisce così: prendi l'insieme delle colonne $\{A,B,C\}$, l'insieme delle righe $\{1,2\}$, e forma tutte le coppie possibili «colonna, riga».

Il prodotto cartesiano si scrive con una croce tra i due insiemi: $A\times B$. Si legge «A per B», oppure «A cartesiano B». Il nome viene da Cartesio, il matematico delle coordinate.

Un esempio, un passo alla volta

Prendi $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{6,7\}$. Per scrivere $A\times B$ senza dimenticare niente conviene un metodo fisso.

1. Prendi il primo elemento di $A$, cioè 1, e mettilo in coppia con ogni elemento di $B$: $(1,6)$ e $(1,7)$.
2. Passa al secondo elemento di $A$, il 2: $(2,6)$ e $(2,7)$.
3. Poi il 3: $(3,6)$ e $(3,7)$.
4. Gli elementi di $A$ sono finiti: hai finito.

Il risultato è un insieme, con le graffe, e i suoi elementi sono coppie, con le tonde. Le coppie si possono elencare in qualunque ordine, perché sono elementi di un insieme; ma dentro ogni coppia l'ordine è fisso: prima il pezzo di $A$, poi quello di $B$.

Ora scambia i due insiemi. In $B\times A$ il primo pezzo viene da $B$ e il secondo da $A$:

Nessuna coppia di $B\times A$ sta in $A\times B$: per esempio $(6,1)$ ha il 6 al primo posto, e il 6 non sta in $A$. Quindi in generale $A\times B$ e $B\times A$ sono insiemi diversi.

Guarda la figura: le coppie si dispongono su una griglia, come le caselle della battaglia navale. Ogni colonna corrisponde a un elemento di $A$, ogni riga a un elemento di $B$.

Il libro scrive così la definizione.

Come si legge. La riga con le graffe dice: «il prodotto è fatto delle coppie $(a,b)$ con il primo pezzo in $A$ e il secondo in $B$». Il simbolo $\in$ si legge «appartiene a», cioè «sta nell'insieme». Per controllare se una coppia sta in $A\times B$ bastano quindi due domande: il primo pezzo sta in $A$? il secondo pezzo sta in $B$? Servono due sì.

Il prodotto di un insieme per sé stesso

Niente vieta di prendere due volte lo stesso insieme. $A\times A$, che si scrive anche $A^2$ e si legge «$A$ al quadrato», è l'insieme delle coppie con tutti e due i pezzi in $A$. Con $A=\{1,2\}$:

Qui compaiono sia $(1,2)$ sia $(2,1)$, che sono coppie diverse. Compaiono anche le due coppie con i pezzi uguali. Questo prodotto servirà tra poco per le relazioni.

Quando un insieme è vuoto (p. 13)

Se $A$ è vuoto, non c'è niente da mettere al primo posto, quindi non si forma nessuna coppia. Lo stesso se è vuoto $B$:

Il simbolo $\varnothing$ si legge «insieme vuoto». Al contrario, se tutti e due gli insiemi hanno almeno un elemento, con quei due elementi si forma una coppia. Quindi il prodotto non è vuoto.

Torna alla battaglia navale piccola: 3 colonne e 2 righe danno 6 caselle. Una battaglia navale vera ha 10 colonne e 10 righe, quindi 100 caselle. Le caselle sono il numero delle colonne moltiplicato per il numero delle righe, perché formano un rettangolo.

Ricorda dalla lezione D02 che $|A|$ si legge «cardinalità di $A$» e vuol dire «quanti elementi ha $A$». Con questa scrittura la regola è $|A\times B|=|A|\cdot |B|$.

1. $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{6,7\}$: $|A|=3$, $|B|=2$, quindi $|A\times B|=3\cdot 2=6$. Sono le sei coppie elencate prima.
2. $A=\{a,b,c,d\}$ e $B=\{x,y,z\}$: $4\cdot 3=12$ coppie.
3. $A=\{1,2\}$: $|A\times A|=2\cdot 2=4$.

Il libro la scrive così.

Come si legge. La prima frase è la regola del rettangolo. La seconda dice: se uno dei due insiemi ha infiniti elementi, anche le coppie sono infinite. Il libro dà per scontato che nessuno dei due insiemi sia vuoto: se uno è vuoto, il prodotto è vuoto, come hai visto prima.

Una data è fatta di tre pezzi in un ordine fisso: giorno, mese, anno. Il 5 ottobre 2026 si scrive $(5,10,2026)$. Se scambi i pezzi ottieni un'altra data, oppure niente: $(10,5,2026)$ è il 10 maggio.

Tre oggetti messi in fila formano una terna ordinata, e si scrivono tra tonde con due virgole. Il prodotto cartesiano di tre insiemi è l'insieme delle terne con il primo pezzo nel primo insieme, il secondo nel secondo e il terzo nel terzo:

Lo stesso con quattro, cinque, $n$ insiemi: gli elementi si chiamano n-uple (si legge «ennuple») e il conto degli elementi si fa sempre moltiplicando. Per esempio $|A\times B\times C|=|A|\cdot |B|\cdot |C|$.

Il libro lo scrive così, per $n$ insiemi:

Come si legge. $A_1,A_2,\dots ,A_n$ sono $n$ insiemi, numerati. Gli elementi del prodotto sono elenchi di $n$ pezzi, e il pezzo numero $i$ deve stare nell'insieme numero $i$. Il simbolo $\forall$ si legge «per ogni»: la regola vale per ogni posto, dal primo all'ultimo.

Come riconoscere una terna giusta

È il tipo di domanda dell'appello del 14/01/2025. Prendi $A=\{1,2,5,8\}$, $B=\{2,3,8,9\}$ e la terna $(1,2,5)$. In quale prodotto sta?

1. Il primo pezzo è 1: sta in $A$ ma non in $B$. Quindi il primo insieme del prodotto deve essere $A$.
2. Il secondo pezzo è 2: sta sia in $A$ sia in $B$. Va bene tutti e due.
3. Il terzo pezzo è 5: sta in $A$ ma non in $B$. Il terzo insieme deve essere $A$.

Quindi la terna sta in $A\times A\times A$ e in $A\times B\times A$, e in nessun altro prodotto di tre fattori presi tra $A$ e $B$.

La domanda 2 del quiz d'esame gioca quasi sempre su una cosa: che cosa può essere un elemento di $A\times B$ e che cosa può esserne un sottoinsieme. È la stessa differenza tra tessera e sacchetto della lezione D01, solo che ora le tessere sono coppie.

Il simbolo $\notin$ si legge «non appartiene a», e $\subset$ si legge «è contenuto in».

Prendi i numeri da 1 a 4 e chiediti, per ogni coppia di numeri, se il primo divide il secondo. Chiama $X=\{1,2,3,4\}$ questo insieme. Ricorda che «3 divide 12» vuol dire che 12 è un multiplo di 3: $12=3\cdot 4$. Le coppie per cui la risposta è sì sono queste:

Sono 8 coppie, scelte tra le $4\cdot 4=16$ di $X\times X$. La regola «il primo divide il secondo» è servita a scegliere alcune coppie e a scartare le altre.

Un modo comodo per vedere una relazione è una tabella con una riga e una colonna per ogni elemento: nella riga del primo pezzo e nella colonna del secondo metti un pallino se la coppia è scelta. Per «il primo divide il secondo» in $\{1,2,3,4\}$:

Si legge per righe: il pallino nella riga 2 e colonna 4 dice «2 divide 4». Le caselle vuote sono le coppie scartate: nella riga 4 e colonna 2 non c'è niente, perché 4 non divide 2. Il libro, a p. 18, disegna tabelle dello stesso tipo.

Quando la coppia $(a,b)$ è scelta, $a$ è in relazione con $b$. Se la relazione si chiama $R$, questo si scrive $aRb$. Per le relazioni più comuni c'è un simbolo apposta: $3\mid 12$ si legge «3 divide 12», e $2\le 5$ si legge «2 è minore o uguale a 5».

Il libro lo scrive così.

Come si legge. Una relazione è un insieme di coppie di elementi di $X$, cioè un sacchetto di caselle della tabella. Dire «$a$ è in relazione con $b$» e dire «la coppia $(a,b)$ è stata scelta» è la stessa cosa.

Gli esempi del libro (p. 153)

1. L'uguaglianza. Scegli solo le coppie con due pezzi uguali: $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$, $(4,4)$. Ogni elemento è in relazione solo con sé stesso. Nella tabella i pallini stanno solo sulla diagonale, la linea di caselle che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra. Il libro chiama questo insieme di coppie $\Delta$, la lettera greca «delta» maiuscola, e lo chiama proprio diagonale.
2. La divisibilità nei naturali. $m$ è in relazione con $n$ quando $m$ divide $n$. È la relazione della tabella qui sopra, ma su tutti i naturali $\mathbb{N}$ e non solo su 1, 2, 3, 4.
3. Il libro dà anche un terzo esempio, che usa le funzioni del capitolo 2: lo riprendo quando arrivano le funzioni.

Altre relazioni che usiamo ogni giorno, anche se non le chiamiamo così: «è minore di» tra numeri, «è nato nello stesso mese di» tra persone, «è più alto di», «ha la stessa iniziale di».

Pensa a tre relazioni tra le persone di una classe: «è nato nello stesso mese di», «è più alto di», «è seduto accanto a». Si comportano in modo diverso:

• ognuno è nato nello stesso mese di sé stesso, ma nessuno è più alto di sé stesso;
• se Anna è nata nello stesso mese di Bruno, anche Bruno è nato nello stesso mese di Anna; ma se Anna è più alta di Bruno, Bruno non è più alto di Anna;
• se Anna è più alta di Bruno e Bruno è più alto di Carla, Anna è più alta di Carla; ma se Anna è seduta accanto a Bruno e Bruno accanto a Carla, Anna e Carla non sono sedute accanto.

Queste differenze hanno un nome: sono le quattro proprietà che il libro definisce per una relazione $R$ in un insieme $X$.

Riflessiva: ognuno è legato a sé stesso

Una relazione è riflessiva quando ogni elemento è in relazione con sé stesso. «È nato nello stesso mese di» è riflessiva. «È più alto di» no.

Nella tabella vuol dire: tutta la diagonale ha il pallino. La tabella di «divide» in $\{1,2,3,4\}$ ha i quattro pallini sulla diagonale, quindi «divide» è riflessiva: ogni numero divide sé stesso, perché $n=n\cdot 1$.

Simmetrica: i legami valgono nei due sensi

Una relazione è simmetrica quando ogni legame vale anche al contrario: se il primo elemento è in relazione con il secondo, anche il secondo è in relazione con il primo. «È nato nello stesso mese di» è simmetrica. «Divide» no: 2 divide 4, ma 4 non divide 2.

Nella tabella vuol dire: la tabella è uguale alla sua immagine allo specchio rispetto alla diagonale. Se c'è un pallino nella riga 2 e colonna 4, deve esserci anche nella riga 4 e colonna 2.

Antisimmetrica: mai nei due sensi tra elementi diversi

Una relazione è antisimmetrica quando due elementi diversi non sono mai in relazione nei due sensi. In altre parole: se $aRb$ e anche $bRa$, allora $a$ e $b$ sono lo stesso elemento.

«È minore o uguale a» tra numeri è antisimmetrica: se $a\le b$ e $b\le a$, allora $a=b$. Anche «divide» in $\{1,2,3,4\}$ lo è.

Nella tabella vuol dire: fuori dalla diagonale, un pallino non ha mai il suo specchio. Sulla diagonale invece i pallini possono esserci.

Transitiva: i legami si passano lungo una catena

Una relazione è transitiva quando ogni volta che $aRb$ e $bRc$, anche $aRc$. È la proprietà delle catene: se dal primo si arriva al secondo, e dal secondo al terzo, allora c'è anche il legame diretto dal primo al terzo.

«È più alto di» è transitiva. «Divide» è transitiva: se 2 divide 4 e 4 divide 12, anche 2 divide 12. Il motivo, con i numeri: $4=2\cdot 2$ e $12=4\cdot 3$, quindi $12=2\cdot 2\cdot 3=2\cdot 6$.

«È seduto accanto a» non è transitiva, e nemmeno «la distanza tra i due numeri è al massimo 1»: 1 e 2 hanno distanza 1, 2 e 3 hanno distanza 1, ma 1 e 3 hanno distanza 2.

Nella tabella la transitività è la proprietà più lunga da controllare. Un modo ordinato:

Prova il metodo su «divide» in $\{1,2,3,4\}$. Il pallino in riga 2, colonna 4: la riga 4 ha un solo pallino, nella colonna 4, e la riga 2 ce l'ha. I pallini della riga 1 coprono già tutte le colonne, quindi per la riga 1 non c'è niente da controllare. Gli altri pallini fuori dalla diagonale sono nella riga 1. Nessun pallino manca: la relazione è transitiva.

Le definizioni del libro

Il libro raccoglie le quattro proprietà in un elenco. Le parole sono diverse, ma i controlli sono quelli che hai appena visto.

Come si legge. Sono le quattro proprietà di prima. Nella prima, «$\Delta \subset R$» vuol dire «tutte le coppie della diagonale sono state scelte». Nella seconda, «appartengono o non appartengono entrambe» vuol dire: una coppia e il suo specchio sono tutte e due dentro o tutte e due fuori. Nella terza, «solo una delle coppie può appartenere» vuol dire: al massimo una delle due, forse nessuna.

Che cosa fanno le relazioni che conosci

Due righe vanno spiegate.

• $<$ è antisimmetrica perché non succede mai che $a<b$ e $b<a$ insieme: la condizione «se $aRb$ e $bRa$» non si verifica mai, quindi non c'è niente che possa andare storto.
• «Divide» negli interi non è antisimmetrica. Nei naturali sì; negli interi, che contengono anche i negativi, 1 divide $-1$ e $-1$ divide 1, perché $-1=1\cdot (-1)$ e $1=(-1)\cdot (-1)$. Due numeri diversi legati nei due sensi: la proprietà cade. È la nota 1 di p. 154 del libro.

Il libro osserva anche che la relazione «divide» nei naturali ha tutte le proprietà tranne la simmetria: per esempio 2 divide 4, ma 4 non divide 2.

Le relazioni d'ordine

Le relazioni come $\le$, «divide» nei naturali e «è contenuto in» tra insiemi hanno le stesse tre proprietà: sono riflessive, antisimmetriche e transitive. Servono a mettere in ordine, anche quando non tutto si può confrontare: 2 e 3, per esempio, non si dividono l'un l'altro. Una relazione con queste tre proprietà si chiama relazione d'ordine. Il libro non la definisce nell'appendice, ma il nome compare nel programma del corso, nella voce sulle relazioni.

Torna alla relazione «è nato nello stesso mese di». Ha tre proprietà:

1. riflessiva: ognuno è nato nello stesso mese di sé stesso;
2. simmetrica: se Anna è nata nello stesso mese di Bruno, Bruno è nato nello stesso mese di Anna;
3. transitiva: se Anna è nata nello stesso mese di Bruno, e Bruno nello stesso mese di Carla, allora Anna e Carla sono nate nello stesso mese.

Non dice che una persona viene prima di un'altra: dice che due persone sono «dello stesso tipo», cioè hanno in comune qualcosa, il mese di nascita.

Una relazione con queste tre proprietà si chiama relazione di equivalenza, o più brevemente equivalenza. Due elementi in relazione si chiamano equivalenti. Se sono $x$ e $y$, si scrive $x\sim y$. Il simbolo $\sim$ si chiama «tilde» e si legge «è equivalente a».

Il libro la definisce così.

Come si legge. Per dire che una relazione è un'equivalenza bisogna controllare tre proprietà, non una di meno. Se ne manca anche una sola, non è un'equivalenza.

Esempi con i numeri

• Stessa parità negli interi: due interi sono equivalenti quando sono tutti e due pari o tutti e due dispari. $3\sim 7$, $4\sim -10$, ma 3 e 4 non sono equivalenti.
• Stessa ultima cifra nei naturali: $23\sim 1003$, perché finiscono tutti e due con 3.
• L'uguaglianza è un'equivalenza: ogni elemento è dello stesso tipo solo di sé stesso.

Non sono equivalenze:

• $\le$, perché non è simmetrica: $2\le 5$ ma non $5\le 2$;
• «distanza al massimo 1», perché non è transitiva;
• «il primo è il doppio del secondo», perché non è nemmeno riflessiva: 3 non è il doppio di 3.

La congruenza modulo un numero (pp. 154–155)

Questo è l'esempio più importante, perché torna in tutta la seconda metà del corso.

Prendi gli interi e il numero 3. Chiama equivalenti due interi quando la loro differenza è un multiplo di 3:

1. $7\sim 1$, perché $7-1=6=3\cdot 2$;
2. $10\sim 4$, perché $10-4=6$;
3. $2\sim -1$, perché $2-(-1)=3$;
4. 5 e 1 non sono equivalenti, perché $5-1=4$ non è un multiplo di 3.

Un modo più comodo di vederlo: due naturali sono equivalenti esattamente quando danno lo stesso resto nella divisione per 3. 7 e 1 danno resto 1; 10 e 4 danno resto 1; 5 dà resto 2.

È come un orologio con 3 ore, numerate 0, 1, 2: contando 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sulle tre ore si torna sempre al punto di partenza ogni 3 passi, e 7 finisce sulla stessa ora di 1.

Al posto di 3 si può usare qualunque intero $N$ maggiore di 1. Il libro chiama questa relazione $M_N$:

Come si legge. $M_N$ è l'insieme delle coppie di interi $(m,n)$ la cui differenza $m-n$ è un multiplo di $N$. La $\mathbb{Z}$ si legge «zeta» ed è l'insieme degli interi, positivi, negativi e zero.

Perché è un'equivalenza? Il libro controlla le tre proprietà. Ecco i suoi tre passi, prima con $N=3$ e i numeri, poi in generale.

1. Riflessiva. Ogni numero è equivalente a sé stesso: $7-7=0$, e 0 è un multiplo di 3, perché $0=3\cdot 0$. In generale $m-m=0$, che è un multiplo di qualunque $N$.
2. Simmetrica. $7\sim 1$ perché $7-1=6$. Al contrario $1-7=-6=3\cdot (-2)$, ancora un multiplo di 3. In generale, se $m-n$ è un multiplo di $N$, anche $n-m$, che è lo stesso numero con il segno cambiato, è un multiplo di $N$.
3. Transitiva. $10\sim 4$ e $4\sim 1$, perché $10-4=6$ e $4-1=3$. Allora $10-1=(10-4)+(4-1)=6+3=9$, ancora un multiplo di 3. In generale $m-p=(m-n)+(n-p)$, e la somma di due multipli di $N$ è un multiplo di $N$.

Prendi la tua classe e raggruppa le persone secondo il mese di nascita: tutti quelli nati a marzo in un gruppo, tutti quelli nati a luglio in un altro, e così via. Ogni persona finisce in un gruppo e in uno solo; nessun gruppo è vuoto, perché un gruppo nasce solo quando c'è qualcuno nato in quel mese. È una partizione, come i calzini nei cassetti della lezione D02.

Ricorda i tre controlli della lezione D02 per una partizione: le parti coprono tutto, nessuna parte è vuota, due parti diverse non hanno elementi in comune.

La classe di un elemento

Il gruppo degli elementi equivalenti a un elemento $x$ si chiama classe di equivalenza di $x$ e si scrive $[x]$, che si legge «classe di $x$». È la stessa scrittura dei cassetti della lezione D02, e non per caso.

Prendi cinque persone. Anna e Carla sono nate a marzo, Bruno ed Elena a luglio, Dario a novembre. Le classi sono queste.

• $[\text{Anna}]=\{\text{Anna},\text{Carla}\}$: le persone nate a marzo;
• $[\text{Bruno}]=\{\text{Bruno},\text{Elena}\}$: le persone nate a luglio;
• $[\text{Dario}]=\{\text{Dario}\}$: è l'unico nato a novembre;
• $[\text{Carla}]=\{\text{Anna},\text{Carla}\}$: la stessa classe di Anna, nominata con un'altra persona.

La tabella della relazione «stesso mese» ha i pallini a blocchi:

Ho messo vicine le persone della stessa classe: ogni blocco di pallini è una classe. Succede con ogni equivalenza, se si ordinano gli elementi per classe.

Con la congruenza modulo 3 negli interi le classi sono tre:

• $[0]=\{\dots ,-6,-3,0,3,6,9,\dots \}$: i multipli di 3;
• $[1]=\{\dots ,-5,-2,1,4,7,10,\dots \}$: i numeri che superano un multiplo di 3 di 1;
• $[2]=\{\dots ,-4,-1,2,5,8,11,\dots \}$: quelli che lo superano di 2.

Ogni intero sta in una di queste tre classi. E $[4]$ non è una classe nuova: $4\sim 1$, quindi $[4]=[1]$.

Il libro scrive la classe così:

Come si legge. $[x]$ è l'insieme degli elementi $y$ di $X$ equivalenti a $x$. È un sottoinsieme di $X$.

Due elementi equivalenti hanno la stessa classe

Anna e Carla sono nate nello stesso mese, e le loro classi sono uguali. Non è un caso: se $x\sim y$, allora $[x]=[y]$.

Il motivo, a parole: se Anna e Carla sono nate nello stesso mese, chiunque sia nato nello stesso mese di Carla è nato nello stesso mese di Anna, e viceversa. La transitività sposta i legami da Carla ad Anna, la simmetria permette di girarli.

Le classi formano una partizione

Il libro lo chiama «importante risultato».

Come si legge. Se raggruppi gli elementi «dello stesso tipo», ottieni sempre una divisione dell'insieme in cassetti: ognuno sta in un cassetto, nessun cassetto è vuoto, due cassetti diversi non hanno niente in comune.

L'insieme delle classi è l'insieme quoziente della lezione D02, l'insieme dei cassetti. Quando la partizione viene da un'equivalenza $\sim$ si scrive $X/\sim$, che si legge «$X$ quoziente tilde».

• Per «stesso mese», tra le cinque persone, il quoziente ha tre elementi: il cassetto di marzo, quello di luglio e quello di novembre.
• Per la congruenza modulo 3, il quoziente di $\mathbb{Z}$ ha tre elementi: $[0]$, $[1]$ e $[2]$. Il libro, nel capitolo 7, lo chiama ${\mathbb{Z}}_3$, l'insieme delle classi di resto modulo 3. Allo stesso modo, modulo $N$ le classi sono $N$: $[0],[1],\dots ,[N-1]$.

E al contrario: dai cassetti all'equivalenza

Vale anche il contrario. Se hai già una partizione, chiama equivalenti due elementi quando stanno nello stesso cassetto. Questa relazione è un'equivalenza:

• ognuno sta nel suo stesso cassetto: riflessiva;
• se un elemento sta nel cassetto di un altro, anche l'altro sta nel cassetto del primo: simmetrica;
• se il primo sta con il secondo e il secondo con il terzo, sono tutti e tre nello stesso cassetto, perché il secondo sta in un cassetto solo: transitiva.

Le sue classi sono proprio i cassetti di partenza. Quindi equivalenze e partizioni sono due modi di dire la stessa cosa: dare un'equivalenza vuol dire dividere l'insieme in cassetti, e viceversa.

La prova di Matematica Discreta, la parte 1 di MDAG, è scritta ed è la stessa per i canali A, B e C. Al 05/10/2026 le regole del 2026/27 non sono ancora uscite; quelle del 2025/26 dicono così.

Com'è fatta la prova

• 10 domande a risposta multipla, ognuna con 5 risposte e una sola giusta. Una risposta giusta vale 1 punto; una sbagliata o vuota vale 0.
• 2 problemi a risposta aperta, divisi in più domande con il punteggio scritto accanto.
• Sbarramento. Con meno di 6 punti nel quiz la prova non è superata, e i problemi non vengono corretti.
• Sufficienza: almeno 18 punti in tutto. Durata: 2 ore.
• Materiale ammesso: libro di testo e appunti del corso, e una calcolatrice non programmabile.

Dettagli e fonti nella scheda del corso.

Che cosa serve di questa lezione

1. Domanda 2 del quiz: il prodotto cartesiano. È una delle domande più regolari: nei quiz degli appelli del 14/01/2025 (in quale prodotto sta una terna), 07/07/2025 (domanda 1), 13/01/2026, 03/02/2026 (quale insieme non è un sottoinsieme di $P\times Q$), 06/06/2026 e 01/07/2026. Si risolve con il metodo della sezione «Elemento, coppia o sacchetto di coppie». Sono punti sicuri, se non ti fai ingannare dalle graffe e dall'ordine dei fattori.
2. Relazioni di equivalenza. Negli appelli dal 2021 al 2026 non ho trovato domande che chiedano direttamente le proprietà di una relazione. Ma le classi di equivalenza della congruenza modulo $N$ sono le classi di resto, che sono in ogni appello: inversi in ${\mathbb{Z}}_n$, congruenze lineari, gruppi ${\mathbb{Z}}_n$. Capire adesso che $[4]=[1]$ modulo 3 rende molto più facile la seconda metà del corso.
3. Il conto $|A\times B|=|A|\cdot |B|$ è la base della combinatoria, che occupa una domanda o due del quiz in ogni appello.

Una domanda vera, letta insieme

Errori da evitare

• Scambiare l'ordine dei pezzi: $(7,6)$ non è $(6,7)$.
• Non guardare in che ordine sono scritti i fattori nella risposta, $S\times T$ o $T\times S$.
• Scrivere $\{a,b\}\in A\times B$: un insieme di due oggetti non è una coppia.
• Dimenticare che il vuoto è contenuto in ogni prodotto, ma non è un suo elemento.
• Dire che una relazione è un'equivalenza dopo aver controllato solo una o due proprietà.
• Confondere antisimmetrica con «non simmetrica».