Parte 1 (modA) · Matematica Discreta · Canali A, B e C · Lezione D04

Funzioni, immagini e controimmagini

Una funzione è una regola che a ogni elemento di un insieme fa corrispondere un elemento di un altro, uno e uno solo. Qui la costruisci con le coppie della lezione D03, impari a leggerla su una tabella di pallini e a riconoscere le funzioni iniettive, suriettive e biettive, che tornano in tutto il resto del corso.

Libro: A. Mori, Lezioni di Matematica Discreta, cap. 2, pp. 17–23, esercizi pp. 34–35
Docenti: Andrea Mori (canale B), Ignazio Longhi e Lea Terracini (canali A e C) · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre il libro
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 8 punti

Una funzione fa corrispondere a ogni elemento di un insieme di partenza, il dominio, uno e un solo elemento di un insieme d'arrivo, il codominio. Si scrive $f : A \to B$ .
Con le coppie della lezione D03 una funzione è un insieme di coppie, il grafico: sulla tabella dei pallini c'è un pallino in ogni colonna, né zero né due.
L'immagine di $f$ è l'insieme dei valori che la funzione prende davvero. Può essere più piccola del codominio.
La controimmagine di un elemento $b$ è l'insieme degli elementi che finiscono in $b$ . Può essere vuota.
Suriettiva: ogni elemento del codominio viene raggiunto. Sulla tabella, ogni riga ha almeno un pallino.
Iniettiva: due elementi diversi finiscono sempre in posti diversi. Sulla tabella, ogni riga ha al massimo un pallino.
Biettiva: iniettiva e suriettiva insieme. Ogni riga ha esattamente un pallino: è un abbinamento perfetto tra i due insiemi.
All'esame la domanda 3 del quiz è sempre sulle funzioni.

Canali A, B e C

Matematica Discreta ha lo stesso programma e la stessa prova d'esame nei canali A, B e C: questi appunti valgono per tutti e tre. Nel canale B è la lezione di venerdì 09/10/2026 con Andrea Mori. Quando scrivo gli argomenti di questa lezione non sono ancora sul Moodle del canale B: li ho ricostruiti dall'ordine del libro, che dopo le relazioni passa al capitolo 2, e dal diario dell'anno scorso, in cui la quarta lezione era proprio «funzioni, immagine e controimmagine, funzioni iniettive, suriettive e biettive». La composizione di funzioni e le funzioni invertibili (pp. 23–29) erano la lezione dopo. Quando il docente pubblica gli argomenti, controllo e aggiorno.

§1

Che cos'è una funzione

pp. 17–18

Pensa alla mensa. Quattro studenti, Anna, Bruno, Carla e Dario, scelgono il primo tra pasta, riso, zuppa e gnocchi. Le regole sono due:

tutti mangiano: ogni studente sceglie un piatto;
ognuno sceglie un solo piatto: niente doppie porzioni.

Più studenti possono scegliere lo stesso piatto, e qualche piatto può restare intatto. Una scelta così è una funzione dall'insieme degli studenti all'insieme dei piatti.

L'idea

Una funzione è una regola che a ogni elemento del primo insieme fa corrispondere un elemento del secondo, uno e uno solo.

Ecco una scelta possibile:

Studente	Piatto
Anna	pasta
Bruno	pasta
Carla	zuppa
Dario	riso

Se la funzione si chiama $f$ , la scelta di Anna si scrive $f (Anna) = pasta$ . Si legge «effe di Anna è pasta». Il piatto si chiama il valore di $f$ in Anna, o l'immagine di Anna.

La funzione come insieme di coppie

La regola «a ogni studente il suo piatto» si può scrivere senza parole, con le coppie della lezione D03. Ogni riga della tabella è una coppia (studente, piatto):

Γ = {(Anna, pasta), (Bruno, pasta), (Carla, zuppa), (Dario, riso)}

$Γ$ si legge «gamma maiuscola». È un sottoinsieme del prodotto cartesiano studenti × piatti: un sacchetto di coppie, come le relazioni della lezione D03. Il libro parte proprio da qui.

Definizione 2.1 · Funzione

Siano $A$ e $B$ insiemi non vuoti. Una funzione $f$ con dominio $A$ e codominio $B$ è il dato di un sottoinsieme $Γ \subset A \times B$ tale che

per ogni a \in A esiste un unico elemento b \in B tale che (a, b) \in Γ.

Il sottoinsieme $Γ \subset A \times B$ è detto grafico della funzione.

Come si legge.

Il dominio $A$ è l'insieme di partenza: gli studenti. Il codominio $B$ è l'insieme d'arrivo: i piatti.
Il grafico $Γ$ è il sacchetto delle coppie (elemento, suo valore).
«Per ogni $a$ esiste un unico $b$ » sono le due regole della mensa: ogni elemento ha un valore (esiste), e uno solo (unico).
La scrittura $f : A \to B$ si legge «effe da A a B».
La scrittura $f (a) = b$ vuol dire che la coppia $(a, b)$ sta nel grafico.
Il libro avverte che una funzione si chiama anche mappa, applicazione o freccia.

Leggere una funzione sulla tabella dei pallini (p. 18)

Il libro disegna i grafici come le relazioni della lezione D03: una griglia con il dominio in orizzontale e il codominio in verticale, e un pallino in ogni casella che sta nel grafico. La mensa diventa così:

	Anna	Bruno	Carla	Dario
gnocchi
zuppa			●
riso				●
pasta	●	●

Le due regole si controllano a colpo d'occhio, colonna per colonna:

ogni colonna ha un pallino: ogni studente ha il suo piatto;
nessuna colonna ne ha due: nessuno ha due piatti.

Le righe invece possono avere zero pallini (gli gnocchi, che nessuno ha scelto) o più pallini (la pasta).

L'esempio del libro, con $A = {a, b, c}$ e $B = {w, x, y, z}$ , ha tre sacchetti di coppie:

$Γ_{1} = {(a, x), (b, x), (c, z)}$ è una funzione: $f (a) = x$ , $f (b) = x$ , $f (c) = z$ ;
$Γ_{2} = {(b, y), (c, w)}$ non è una funzione: la colonna di $a$ è vuota, $f (a)$ non è definito;
$Γ_{3} = {(a, y), (b, w), (b, z), (c, x)}$ non è una funzione: la colonna di $b$ ha due pallini, $f (b)$ non è unico.

Trappola · Le righe non contano

Per decidere se è una funzione si guardano solo le colonne, cioè gli elementi del dominio. Una riga piena di pallini o una riga vuota vanno benissimo: vuol dire che un piatto l'hanno scelto in tanti, o nessuno.

Due funzioni uguali (p. 18)

Due funzioni sono la stessa funzione quando hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio e lo stesso grafico. Conta che cosa fanno, non come sono scritte. L'esempio del libro: sul dominio ${0, 1, 2}$ le due regole

f (x) = 3 x^{2} - 1 g (x) = x^{3} + 2 x - 1

sembrano diverse, ma danno gli stessi valori: $f (0) = g (0) = - 1$ , $f (1) = g (1) = 2$ , $f (2) = g (2) = 11$ . Hanno lo stesso grafico, quindi sono la stessa funzione.

Nota · Non è la funzione delle superiori

Alle superiori una funzione era una formula, come $f (x) = \frac{1}{x}$ , e il primo passo era trovare il «dominio di definizione». Qui il dominio fa parte della funzione e va dichiarato all'inizio. Il libro fa proprio questo esempio: «uno diviso x» non è una funzione dai reali ai reali, perché in 0 non dà niente. È una funzione da $R ∖ {0}$ a $R$ .

Prova tu

Con

A = {1, 2, 3}

B = {a, b}

, quali di questi sacchetti sono funzioni da

A

B

? (a)

{(1, a), (2, a), (3, a)}

; (b)

{(1, a), (2, b)}

; (c)

{(1, a), (1, b), (2, b), (3, a)}

(a) sì: ogni numero ha un solo valore, anche se è sempre $a$ . (b) no: manca 3. (c) no: 1 ha due valori.

Da ricordare

Funzione: a ogni elemento del dominio, uno e un solo elemento del codominio.
Sulla tabella: un pallino in ogni colonna. Le righe possono avere quanti pallini vogliono.

§2

Funzioni che tornano sempre

pp. 19–20

Alcune funzioni sono così comuni che hanno un nome. Il libro ne elenca sei; eccole con un esempio ciascuna.

L'identità su $A$ , che si scrive $id_{A}$ : lascia ogni elemento dov'è, $id_{A} (a) = a$ . Il grafico è la diagonale della lezione D03.
La funzione costante di valore $β$ : manda tutto nello stesso elemento $β$ del codominio. È la mensa in cui tutti scelgono la pasta. Il grafico è $A \times {β}$ : una riga piena.
Le proiezioni di un prodotto cartesiano: da una coppia tengono solo un pezzo. $p_{1} (a, b) = a$ tiene il primo, $p_{2} (a, b) = b$ tiene il secondo. Per esempio, dalla casella B3 della battaglia navale $p_{1}$ tiene la colonna B.
Le successioni: una lista infinita di elementi di $B$ è una funzione dai naturali a $B$ . Il primo elemento della lista è il valore in 0, il secondo il valore in 1, e così via. Per esempio i quadrati $0, 1, 4, 9, \dots$ sono la funzione $s (n) = n^{2}$ .
La funzione quoziente: prendi un insieme diviso in cassetti; questa funzione manda ogni elemento nel suo cassetto, cioè nella sua classe (lezione D03). Con la congruenza modulo 3 manda 7 in $[1]$ .
Il prodotto di due funzioni: con due funzioni $f$ e $g$ si costruisce $f \times g$ , che lavora sulle coppie. Manda la coppia $(a, b)$ nella coppia $(f (a), g (b))$ .

Restringere il dominio (p. 19)

Una funzione si può usare anche solo su una parte del dominio. Se alla mensa guardi solo Anna e Carla, hai una funzione più piccola, con le stesse scelte. Il libro le dà un nome.

Definizione 2.2 · Restrizione

Sia $f : A \to B$ una funzione e sia $S \subset A$ un sottoinsieme di $A$ . Si dice restrizione di $f$ a $S$ la funzione

f_{∣ S} : S \to B, f_{∣ S} (s) = f (s) per ogni s \in S .

Come si legge. $f_{∣ S}$ si legge «effe ristretta a esse». Fa le stesse cose di $f$ , ma accetta solo gli elementi di $S$ . Sulla tabella, si tengono solo le colonne di $S$ .

Quando una regola è «ben definita» (p. 20)

Il libro dice che il contenuto di questa nota è molto importante: serve con le classi della lezione D03.

A volte una funzione parte da un insieme di cassetti, e il valore di un cassetto si calcola usando un suo elemento, il rappresentante. Funziona solo se il risultato non dipende da quale elemento del cassetto scegli. In quel caso la funzione si chiama ben definita.

Esempio · Due regole sulle classi (Nota 2.3)

Una regola che funziona. Gli interi divisi in pari e dispari hanno due cassetti, $[0]$ e $[1]$ . La regola « $f ([x]) = (- 1)^{x}$ » dà 1 per qualunque pari e $- 1$ per qualunque dispari. Il risultato dipende solo dal cassetto: $f$ è ben definita.

Una regola che non funziona. Dividi i naturali in cassetti secondo il numero di cifre: $E_{1}$ sono i numeri con una cifra, $E_{2}$ quelli con due, e così via. La regola « $f ([x]) = [2 x]$ » chiede il cassetto del doppio. Ma $E_{1} = [4] = [7]$ , e $[2 \cdot 4] = [8] = E_{1}$ , mentre $[2 \cdot 7] = [14] = E_{2}$ . Lo stesso cassetto darebbe due risultati: $f$ non è ben definita.

Il controllo della buona definizione torna nei problemi d'esame sulle classi di resto: «dire se la funzione è ben definita» è una richiesta frequente nella seconda parte del corso.

Prova tu

Che cosa fa la proiezione

p_{2}

sulla coppia

(Carla, zuppa)

? E la funzione costante di valore 5 sul numero 12?

$p_{2} (Carla, zuppa) = zuppa$ : tiene il secondo pezzo. La costante dà 5, qualunque sia l'elemento.

Da ricordare

Identità, costanti, proiezioni, successioni, funzione quoziente: sono esempi da riconoscere al volo.
Una regola sulle classi è ben definita quando il risultato non dipende dal rappresentante scelto.

§3

Dove si arriva: l'immagine

pp. 20–21

Torna alla mensa. Sono stati scelti pasta, zuppa e riso. Gli gnocchi, che erano nel menu, non li ha presi nessuno. L'insieme dei piatti scelti davvero, ${pasta, zuppa, riso}$ , si chiama immagine della funzione. Il menu intero è il codominio.

L'idea

Il codominio è quello che una funzione potrebbe dare; l'immagine è quello che dà davvero.

Il libro definisce anche l'immagine di una parte del dominio: per esempio, che cosa hanno scelto le sole ragazze, Anna e Carla? La pasta e la zuppa.

Definizione 2.4 · Immagine

Sia $f : A \to B$ una funzione e sia $S \subset A$ un sottoinsieme del dominio. Si dice immagine di $S$ tramite $f$ il sottoinsieme $f (S)$ del codominio $B$ costituito dalle immagini degli elementi di $S$ , cioè

f (S) = {f (s) tali che s \in S} \subset B .

Quando $S = A$ , l'immagine $f (S)$ si chiama semplicemente immagine di $f$ e si denota $Im (f)$ , cioè $Im (f) = f (A)$ .

Come si legge. $f (S)$ è l'insieme dei valori che la funzione dà sugli elementi di $S$ . $Im (f)$ , «immagine di effe», è l'insieme di tutti i valori che dà. Sulla tabella sono le righe con almeno un pallino. Nel libro, nella prima riga della definizione, è stampato $f (B)$ al posto di $f (S)$ : è un refuso, la formula subito sotto è quella giusta.

Un modo pratico di pensarla, che il libro suggerisce a p. 21: $b$ sta nell'immagine quando l'equazione $f (a) = b$ , con $a$ incognita, ha almeno una soluzione.

Esempio · Le immagini degli esempi del libro (p. 21)

$f : Z \to Z$ , $f (n) = 2 n + 1$ . I valori sono $\dots, - 3, - 1, 1, 3, 5, \dots$ : tutti i dispari, e ogni dispari $m = 2 k + 1$ si ottiene con $n = k$ . Quindi $Im (f)$ sono i dispari, che il libro scrive $2 Z + 1$ .
$f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ . I quadrati non sono mai negativi, e ogni $y \geq 0$ è il quadrato di $y$ . Quindi l'immagine sono i reali maggiori o uguali a 0.
La prima proiezione $p_{1} : A \times B \to A$ , con $B$ non vuoto: ogni $a$ è il primo pezzo di qualche coppia $(a, b)$ . L'immagine è tutto $A$ .

Prova tu

Alla mensa, qual è l'immagine dell'insieme

{Bruno, Dario}

? E l'immagine di

f (n) = 2 n

Z

Z

$f ({Bruno, Dario}) = {pasta, riso}$ . L'immagine di $2 n$ sono i numeri pari.

Da ricordare

L'immagine è l'insieme dei valori raggiunti: sulla tabella, le righe con almeno un pallino.
$b$ sta nell'immagine quando l'equazione $f (a) = b$ ha almeno una soluzione.

§4

Chi arriva lì: la controimmagine

pp. 21–22

Adesso la domanda al contrario. Il cuoco vuole sapere chi ha scelto la pasta: Anna e Bruno. E gli gnocchi? Nessuno. L'insieme degli studenti che hanno scelto un certo piatto si chiama controimmagine di quel piatto.

L'idea

L'immagine va avanti: dagli studenti ai piatti. La controimmagine torna indietro: da un piatto agli studenti che l'hanno scelto.

Il libro la scrive così.

Definizione 2.7 · Controimmagine

Sia $f : A \to B$ una funzione e sia $b \in B$ . Si dice controimmagine di $b$ tramite $f$ il sottoinsieme $f^{- 1} (b)$ degli elementi del dominio $A$ che hanno $b$ come immagine, cioè

f^{- 1} (b) = {a \in A tali che f (a) = b} .

Più in generale, dato un sottoinsieme $T \subset B$ , si dice controimmagine di $T$ tramite $f$ il sottoinsieme $f^{- 1} (T)$ del dominio costituito dalle controimmagini degli elementi di $T$ , cioè

f^{- 1} (T) = {a \in A tali che f (a) \in T} .

Come si legge.

$f^{- 1} (b)$ si legge «effe alla meno uno di bi», o «controimmagine di bi». È un insieme di elementi del dominio: le soluzioni dell'equazione $f (a) = b$ .
Sulla tabella: la controimmagine di $b$ sono le colonne dei pallini nella riga di $b$ .
$f^{- 1} (T)$ raccoglie tutti quelli che finiscono da qualche parte dentro $T$ .

Alla mensa: $f^{- 1} (pasta) = {Anna, Bruno}$ , $f^{- 1} (zuppa) = {Carla}$ , $f^{- 1} (gnocchi) = \emptyset$ . E $f^{- 1} ({riso, zuppa}) = {Carla, Dario}$ .

Trappola · $f^{- 1}$ non è «uno diviso $f$ »

Il simbolo $f^{- 1} (b)$ non vuol dire $\frac{1}{f ( b )}$ , e non vuol dire che esista una funzione che torna indietro. È solo il nome di un insieme, che esiste per ogni funzione. Con $f (x) = x^{2}$ da $R$ a $R$ , $f^{- 1} (4) = {2, - 2}$ , mentre $\frac{1}{f ( 4 )} = \frac{1}{16}$ .

Vuota sì, vuota no (Nota 2.8)

C'è una differenza tra le due operazioni. L'immagine di un insieme non vuoto non è mai vuota: ogni elemento porta con sé almeno il suo valore. La controimmagine invece può essere vuota anche di un insieme pieno: con $f (x) = x^{2}$ , $f^{- 1} (- 1) = \emptyset$ , perché nessun quadrato è negativo.

Esempio · Controimmagini degli esempi del libro (p. 22)

Funzione costante di valore $β$ : la controimmagine di $T$ è tutto $A$ se $β$ sta in $T$ , ed è vuota se non ci sta.
Seconda proiezione $p_{2} : A \times B \to B$ : $p_{2}^{- 1} (b) = A \times {b}$ , tutte le coppie con secondo pezzo $b$ .
Valore assoluto $f (x) = ∣ x ∣$ da $R$ a $R$ : $f^{- 1} (x) = {x, - x}$ se $x \geq 0$ , e $f^{- 1} (x) = \emptyset$ se $x < 0$ .

Prova tu

Con

f : Z \to Z

f (n) = n^{2}

, calcola

f^{- 1} (9)

f^{- 1} (0)

f^{- 1} (5)

f^{- 1} ({1, 4})

$f^{- 1} (9) = {3, - 3}$ ; $f^{- 1} (0) = {0}$ ; $f^{- 1} (5) = \emptyset$ , perché 5 non è un quadrato; $f^{- 1} ({1, 4}) = {1, - 1, 2, - 2}$ .

Da ricordare

Controimmagine di $b$ : gli elementi del dominio che finiscono in $b$ , cioè le soluzioni di $f (a) = b$ .
Può essere vuota; $f^{- 1}$ è solo un nome, non una divisione.

§5

Suriettive, iniettive, biettive

pp. 20–23

Alla mensa possono succedere due cose spiacevoli: un piatto resta intatto, oppure due studenti si contendono lo stesso piatto. Le due proprietà che le escludono hanno un nome.

Suriettiva: nessun piatto resta intatto. Ogni elemento del codominio viene scelto da qualcuno.
Iniettiva: nessun piatto è conteso. Studenti diversi scelgono piatti diversi.

Sulla tabella dei pallini, dove le colonne hanno sempre un pallino ciascuna, le due proprietà si leggono sulle righe:

Proprietà	Sulle righe della tabella	Alla mensa
suriettiva	ogni riga ha almeno un pallino	nessun piatto intatto
iniettiva	ogni riga ha al massimo un pallino	nessun piatto conteso
biettiva	ogni riga ha esattamente un pallino	ognuno ha il suo piatto, e nessun piatto avanza

La mensa di prima non è né suriettiva (gli gnocchi) né iniettiva (la pasta di Anna e Bruno).

Suriettiva

Il libro la definisce con l'immagine.

Definizione 2.5 · Funzione suriettiva

Una funzione $f : A \to B$ si dice suriettiva se $Im (f) = B$ .

Come si legge. L'immagine è tutto il codominio: ogni $b$ è il valore di qualcuno. Per dimostrarlo si prende un elemento qualsiasi del codominio e si trova chi ci arriva. Per smentirlo basta un $b$ che non viene mai raggiunto.

Esempio · Suriettive e no, dal libro (p. 21)

$f (n) = 2 n + 1$ da $Z$ a $Z$ : non suriettiva. Il 2 non è mai raggiunto, perché i valori sono tutti dispari.
$f (x) = x^{2}$ da $R$ a $R$ : non suriettiva. $- 1$ non è il quadrato di nessun numero reale.
La prima proiezione $p_{1} : A \times B \to A$ , con $B$ non vuoto: suriettiva. Ogni $a$ è $p_{1} (a, b)$ per qualunque $b$ .
La funzione quoziente: suriettiva. Ogni cassetto contiene almeno un elemento, che ci finisce dentro.

Nota · Restringere il codominio (Nota 2.6)

Una funzione non suriettiva diventa suriettiva se come codominio prendi la sua immagine. Il quadrato non è suriettivo dai reali ai reali, ma lo è dai reali ai reali maggiori o uguali a 0. Il grafico è lo stesso: cambia solo il menu, da cui togli i piatti che nessuno sceglie.

Iniettiva

Il libro la definisce così.

Definizione 2.9 · Funzione iniettiva

Una funzione $f : A \to B$ si dice iniettiva se per ogni scelta di $a_{1}, a_{2} \in A$ con $a_{1} \neq = a_{2}$ si ha $f (a_{1}) \neq = f (a_{2})$ .

Come si legge. Elementi diversi hanno valori diversi: nessun valore viene preso due volte. Per smentirlo basta trovare due elementi diversi con lo stesso valore. Per dimostrarlo si usa quasi sempre il ragionamento al contrario: se $f (a_{1}) = f (a_{2})$ , si fanno i conti e si arriva a $a_{1} = a_{2}$ .

Esempio · Iniettive e no, dal libro (p. 22)

$f (n) = 2 n + 1$ da $Z$ a $Z$ : iniettiva. Se $2 m + 1 = 2 n + 1$ , togliendo 1 e dividendo per 2 viene $m = n$ .
$f (x) = x^{2}$ da $R$ a $R$ : non iniettiva. $f (1) = f (- 1) = 1$ .
La prima proiezione $p_{1} : A \times B \to A$ : iniettiva solo se $B$ ha un solo elemento. Se $B$ contiene $b_{1}$ e $b_{2}$ diversi, le coppie $(a, b_{1})$ e $(a, b_{2})$ hanno lo stesso primo pezzo.

Nota · Restringere il dominio (Nota 2.10)

Una funzione non iniettiva può diventarlo se togli una parte del dominio. $x^{2}$ non è iniettiva sui reali, ma lo è sui reali positivi: due numeri positivi diversi hanno quadrati diversi.

Tutto con le controimmagini

Le due proprietà si possono dire con le controimmagini, cioè guardando una riga alla volta. È la Proposizione 2.11 del libro.

Proposizione 2.11

Sia $f : A \to B$ una funzione. Allora:

$f$ è suriettiva se e soltanto se $f^{- 1} (b) \neq = \emptyset$ per ogni $b \in B$ ;
$f$ è iniettiva se e soltanto se $∣ f^{- 1} (b)∣ \leq 1$ per ogni $b$ .

Come si legge. Suriettiva: ogni controimmagine ha almeno un elemento. Iniettiva: ogni controimmagine ha al massimo un elemento. Sono le righe della tabella, scritte con i simboli.

Dimostrazione · della Proposizione 2.11 (p. 23)

Dire che $f^{- 1} (b)$ non è vuota vuol dire che c'è un $a$ con $f (a) = b$ , cioè che $b$ sta nell'immagine. Se succede per ogni $b$ , l'immagine è tutto $B$ .
Il libro dimostra la frase al contrario: $f$ non è iniettiva esattamente quando qualche controimmagine ha almeno 2 elementi. Non essere iniettiva vuol dire che ci sono $a_{1} \neq = a_{2}$ con $f (a_{1}) = f (a_{2})$ . Chiamato $b$ quel valore comune, $a_{1}$ e $a_{2}$ stanno tutti e due in $f^{- 1} (b)$ , che quindi ha almeno 2 elementi. E viceversa.

Biettiva

Quando le due cose succedono insieme, la funzione è un abbinamento perfetto: ogni studente il suo piatto, ogni piatto il suo studente.

Definizione 2.12 · Funzione biettiva

Una funzione $f : A \to B$ si dice biettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, ovvero se per ogni $b \in B$ esiste ed è unico un elemento $a \in A$ tale che $f (a) = b$ . Una biezione è una funzione biettiva.

Come si legge. Ogni elemento del codominio ha una e una sola controimmagine. Sulla tabella: un pallino in ogni colonna e un pallino in ogni riga. Si chiama anche «biiettiva» o «corrispondenza biunivoca».

Esempio · Biezioni, dal libro (p. 23)

L'identità $id_{A}$ è sempre biettiva.
$f (x) = x^{2}$ non è né iniettiva né suriettiva da $R$ a $R$ . Diventa biettiva restringendo il dominio ai positivi e prendendo come codominio i positivi: ogni $y > 0$ è il quadrato di un solo positivo, $y$ .
Lo scambio $f (a, b) = (b, a)$ da $A \times B$ a $B \times A$ è una biezione: ogni coppia $(b, a)$ arriva da una sola coppia, $(a, b)$ .

Oltre il libro · Contare aiuta

Con insiemi finiti c'è un controllo veloce. Se il dominio ha più elementi del codominio, la funzione non può essere iniettiva: qualche piatto finisce per forza a due studenti. Se ne ha meno, non può essere suriettiva. Una biezione tra insiemi finiti c'è solo se hanno lo stesso numero di elementi. È il principio dei cassetti, che il corso tratta con la combinatoria: negli esami lo usano spesso per dire che un omomorfismo «non può essere iniettivo perché il dominio ha più elementi del codominio».

Prova tu

{1, 2, 3}

{a, b, c}

prendi

f (1) = b

f (2) = c

f (3) = a

. È biettiva? E

g (1) = a

g (2) = a

g (3) = b

$f$ è biettiva: ogni lettera è presa una volta. $g$ non è iniettiva ( $a$ due volte) e non è suriettiva ( $c$ mai).

Da ricordare

Suriettiva: ogni riga almeno un pallino; ogni controimmagine non vuota.
Iniettiva: ogni riga al massimo un pallino; per smentirla bastano due elementi diversi con lo stesso valore.
Biettiva: tutte e due; ogni controimmagine ha esattamente un elemento.

§6

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$f : A \to B$	« $f$ da $A$ a $B$ »	una funzione con dominio $A$ e codominio $B$	$f : Z \to Z$
$f (a) = b$	« $f$ di $a$ è $b$ »	la coppia $(a, b)$ sta nel grafico	$f (2) = 5$
$Γ$	«gamma maiuscola»	il grafico, l'insieme delle coppie $(a, f (a))$	${(1, 3), (2, 5)}$
$id_{A}$	«identità su $A$ »	la funzione che lascia tutto com'è	$id_{A} (a) = a$
$p_{1}$ , $p_{2}$	«prima e seconda proiezione»	tengono un pezzo della coppia	$p_{1} (3, 7) = 3$
$f_{∣ S}$	« $f$ ristretta a $S$ »	la stessa $f$ , usata solo su $S$
$f (S)$	«immagine di $S$ »	i valori di $f$ sugli elementi di $S$	$f ({1, 2}) = {3, 5}$
$Im (f)$	«immagine di $f$ »	tutti i valori raggiunti	$Im (x^{2})$ : i reali $\geq 0$
$f^{- 1} (b)$	«controimmagine di $b$ »	gli elementi che finiscono in $b$	$f^{- 1} (4) = {2, - 2}$ per $x^{2}$
$f^{- 1} (T)$	«controimmagine di $T$ »	gli elementi che finiscono dentro $T$
$2 Z + 1$	«due zeta più uno»	i numeri dispari	$7 \in 2 Z + 1$
$R ∖ {0}$	«erre meno zero»	i reali tranne lo 0	dominio di $\frac{1}{x}$
$∣ X ∣$	«cardinalità di $X$ »	il numero di elementi	$∣ f^{- 1} (4)∣ = 2$

§7

Verso l'esame

esame

La prova di Matematica Discreta, la parte 1 di MDAG, è scritta ed è la stessa per i canali A, B e C. Al 09/10/2026 le regole del 2026/27 non sono ancora uscite; quelle del 2025/26 dicono così.

10 domande a risposta multipla, ognuna con 5 risposte e una sola giusta. Una risposta giusta vale 1 punto; una sbagliata o vuota vale 0.
2 problemi a risposta aperta, divisi in più domande con il punteggio scritto accanto.
Sbarramento. Con meno di 6 punti nel quiz la prova non è superata, e i problemi non vengono corretti.
Sufficienza: almeno 18 punti in tutto. Durata: 2 ore.
Materiale ammesso: libro di testo e appunti del corso, e una calcolatrice non programmabile.

Gli appelli 2026/27 sono martedì 19/01/2027 e mercoledì 03/02/2027 alle 14:00. Dettagli nella scheda del corso.

Che cosa serve di questa lezione

Domanda 3 del quiz. In tutti gli appelli del 2025 e del 2026 la domanda 3 è sulle funzioni. Nell'appello del 14/01/2025 chiedeva proprio immagine, controimmagine, iniettività e suriettività di una funzione definita «a pezzi». Dal febbraio 2025 in poi chiede quasi sempre di comporre due o tre funzioni, cioè di applicarle una dopo l'altra: è l'argomento della prossima lezione, ma si basa su tutto quello che c'è qui.
Problemi sui gruppi e sulle classi di resto. Nella seconda parte del corso ogni appello chiede se una funzione tra gruppi è «ben definita», «iniettiva», «suriettiva». Le definizioni sono queste.
Combinatoria. Contare le funzioni da un insieme a un altro, e quelle iniettive, è una domanda dei problemi (per esempio l'appello del 06/06/2025, problema 1, punto c).

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 14/01/2025, domanda 3. Il testo: «Sia $f : Z \to N$ la funzione $f (n) = n^{2} + 1$ se $n$ è pari, $f (n) = n^{2} - 1$ se $n$ è dispari. Allora: 1. se $m \in im (f)$ , allora $m + 1 \in / im (f)$ ; 2. $f^{- 1} (p) = \emptyset$ se $p$ è primo; 3. $f (m) = f (n)$ se e solo se $m = \pm n$ ; 4. $f$ è iniettiva; 5. $f$ è suriettiva». Nel testo d'esame le parole «allora» e «se e solo se» sono scritte con le frecce.

In pratica chiede: quale di queste cinque frasi su questa funzione è vera? Il modo più sicuro è scrivere qualche valore e provare a smentire ogni frase con un esempio.

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: un po' di valori. Pari: $f (0) = 1$ , $f (2) = f (- 2) = 5$ , $f (4) = 17$ . Dispari: $f (1) = f (- 1) = 0$ , $f (3) = f (- 3) = 8$ , $f (5) = 24$ . L'immagine comincia con $0, 1, 5, 8, 17, 24, \dots$

Passo 2: le frasi smentite da un esempio.

Frase 1: 0 e 1 stanno tutti e due nell'immagine. Falsa.
Frase 2: 5 è primo e $f (2) = 5$ , quindi $f^{- 1} (5)$ non è vuota. Falsa.
Frase 4: $f (1) = f (- 1)$ , con $1 \neq = - 1$ . Non iniettiva: falsa.
Frase 5: 2 non è mai raggiunto, perché tra i valori c'è 1 e poi 5. Non suriettiva: falsa.

Passo 3: la frase che resta. La 3 dice che due numeri hanno lo stesso valore esattamente quando sono uguali o opposti. Se $m$ e $n$ sono tutti e due pari, $m^{2} + 1 = n^{2} + 1$ dà $m^{2} = n^{2}$ , cioè $m = \pm n$ ; lo stesso se sono tutti e due dispari. Se uno è pari e l'altro dispari, servirebbe $n^{2} - m^{2} = 2$ : due quadrati di interi non differiscono mai di 2. Al contrario, $n$ e $- n$ sono sempre tutti e due pari o tutti e due dispari, e hanno lo stesso quadrato. La risposta è la 3.

Altre versioni della stessa domanda

Lo stesso appello aveva quattro versioni del quiz, con funzioni diverse.

Conta all'esame · Appello del 14/01/2025, domanda 3, altre versioni

$f (n) = n^{2} + 2$ per $n$ pari, $n^{2}$ per $n$ dispari: la risposta giusta era « $f$ non è iniettiva», perché $f (1) = f (- 1)$ . La trappola era « $f (2 n) = 4 n^{2} + 4$ »: in realtà $f (2 n) = 4 n^{2} + 2$ .
$f (n) = n^{2} + n$ per $n$ pari, $n^{2} + 1$ per $n$ dispari: la risposta giusta era « $f^{- 1} (k) = \emptyset$ per ogni $k$ dispari». Infatti $n^{2} + n = n (n + 1)$ è sempre pari, e per $n$ dispari $n^{2} + 1$ è pari: nessun valore è dispari.
$f (n) = n^{2} + 1$ per $n \geq 0$ , $n^{2} - 1$ per $n < 0$ : la risposta giusta era « $f$ è iniettiva». I non negativi danno $1, 2, 5, 10, \dots$ , i negativi danno $0, 3, 8, 15, \dots$ : due elenchi senza ripetizioni e senza numeri in comune. La trappola era « $f^{- 1} ({4, 8, 9}) = \emptyset$ »: $f (- 3) = 8$ .

Metodo · Le domande «quale frase è vera» su una funzione

Scrivi i valori su qualche elemento: $0$ , $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ . Spesso basta questo per smentire quattro frasi su cinque.
Iniettiva? Cerca due elementi diversi con lo stesso valore, per esempio $n$ e $- n$ quando c'è un quadrato.
Suriettiva? Cerca un elemento del codominio che non arriva mai: un numero piccolo, un dispari, un negativo.
Controimmagine? Risolvi l'equazione $f (a) = b$ ; se non ha soluzioni, è vuota.
Prima di scegliere, rileggi il dominio e il codominio: la stessa formula può essere iniettiva su $N$ e non su $Z$ .

Errori da evitare

Credere che una funzione debba essere data da una formula: anche una tabella è una funzione.
Confondere codominio e immagine.
Leggere $f^{- 1} (b)$ come $\frac{1}{f ( b )}$ , oppure come un elemento invece che come un insieme.
Dimostrare che una funzione non è iniettiva con un ragionamento generale, quando basta un esempio con due elementi.
Dimenticare che dominio e codominio fanno parte della funzione: $x^{2}$ è suriettiva o no a seconda del codominio.

Conta all'esame · Che cosa scrivere sul foglio di riepilogo

Alla prova puoi portare libro e appunti. Da questa lezione conviene avere pronti la tabella «colonne e righe» (funzione, iniettiva, suriettiva, biettiva), il metodo per le domande «quale frase è vera», e i due esempi da ricordare: $2 n + 1$ iniettiva e non suriettiva su $Z$ , $x^{2}$ né l'una né l'altra su $R$ .

§9

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: è una funzione? base

Con $A = {a, b, c}$ e $B = {1, 2}$ , dì quali tabelle descrivono una funzione da $A$ a $B$ . (1) $a \mapsto 1$ , $b \mapsto 1$ , $c \mapsto 1$ . (2) $a \mapsto 1$ , $b \mapsto 2$ . (3) $a \mapsto 1$ , $a \mapsto 2$ , $b \mapsto 2$ , $c \mapsto 1$ .

Soluzione

Sì: ogni elemento ha un solo valore, anche se è sempre 1.
No: manca $c$ .
No: $a$ ha due valori.

2 · Riscaldamento: immagine e controimmagine su una tabella base

La funzione $f : {1, 2, 3, 4, 5} \to {a, b, c, d}$ è $f (1) = b$ , $f (2) = d$ , $f (3) = b$ , $f (4) = a$ , $f (5) = d$ . Scrivi $Im (f)$ , $f ({1, 3})$ , $f^{- 1} (b)$ , $f^{- 1} (c)$ e $f^{- 1} ({a, d})$ .

Soluzione

$Im (f) = {a, b, d}$ : la $c$ non viene mai presa.
$f ({1, 3}) = {b}$ .
$f^{- 1} (b) = {1, 3}$ .
$f^{- 1} (c) = \emptyset$ .
$f^{- 1} ({a, d}) = {2, 4, 5}$ .

3 · Riscaldamento: iniettiva o suriettiva base

Per la funzione dell'esercizio precedente, dì se è iniettiva e se è suriettiva, e perché.

Soluzione

Non iniettiva: $f (1) = f (3) = b$ .
Non suriettiva: $c$ non è mai raggiunta.

Del resto da 5 elementi a 4 non può mai essere iniettiva: due finiscono per forza nello stesso posto.

4 · Riscaldamento: una biezione piccola base

Scrivi una funzione biettiva da ${1, 2, 3}$ a ${x, y, z}$ diversa da $1 \mapsto x$ , $2 \mapsto y$ , $3 \mapsto z$ . Quante ce ne sono in tutto?

Soluzione

Per esempio $1 \mapsto z$ , $2 \mapsto x$ , $3 \mapsto y$ . In tutto sono 6: per 1 ci sono 3 scelte, per 2 ne restano 2, per 3 ne resta 1, e $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ . Questo conto tornerà con la combinatoria.

5 · Esercizio 2.1 del libro base

Sia $f : Z \to Z$ la funzione definita da $f (n) = n^{2} - 1$ . Calcolare $f^{- 1} (- 5)$ , $f^{- 1} (- 1)$ , $f^{- 1} (8)$ , $f^{- 1} (12)$ .

Soluzione

Ogni volta si risolve $n^{2} - 1 = b$ , cioè $n^{2} = b + 1$ , cercando soluzioni intere.

$f^{- 1} (- 5)$ : $n^{2} = - 4$ , impossibile. Vuota.
$f^{- 1} (- 1)$ : $n^{2} = 0$ , quindi ${0}$ .
$f^{- 1} (8)$ : $n^{2} = 9$ , quindi ${3, - 3}$ .
$f^{- 1} (12)$ : $n^{2} = 13$ , che non è un quadrato. Vuota.

6 · Due formule, una funzione base

Le funzioni $f, g : {0, 1, 2} \to R$ , con $f (x) = 3 x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{3} + 2 x - 1$ , sono uguali? E come funzioni da ${0, 1, 2, 3}$ a $R$ ?

Soluzione

Su ${0, 1, 2}$ : $f (0) = g (0) = - 1$ , $f (1) = g (1) = 2$ , $f (2) = g (2) = 11$ . Stesso dominio, codominio e grafico: sono la stessa funzione (p. 18 del libro).
Su ${0, 1, 2, 3}$ : $f (3) = 26$ e $g (3) = 32$ . Sono funzioni diverse.

Conta il dominio: due formule diverse possono dare la stessa funzione su un dominio piccolo.

7 · Esercizio 2.2 del libro medio

Sia $f : Z \times Z \to Z$ la funzione definita come $f ((m, n)) = m^{2} - n$ . (1) Dire se $f$ è iniettiva. (2) Dire se $f$ è suriettiva. (3) Calcolare l'insieme $f^{- 1} (0) \cap {(m, n) \in Z \times Z ∣ n = 4 m}$ . (4) Calcolare l'immagine $f (S)$ del sottoinsieme $S = {(m, n) \in Z \times Z ∣ n = 2 m - 1}$ .

Soluzione

Non iniettiva: $f ((0, 0)) = 0$ e $f ((1, 1)) = 1 - 1 = 0$ .
Suriettiva: un intero $k$ qualsiasi si ottiene con $m = 0$ e $n = - k$ , perché $0 - (- k) = k$ .
Servono le coppie con $m^{2} - n = 0$ e $n = 4 m$ . Sostituendo: $m^{2} = 4 m$ , cioè $m (m - 4) = 0$ , quindi $m = 0$ oppure $m = 4$ . Le coppie sono $(0, 0)$ e $(4, 16)$ .
Su $S$ vale $n = 2 m - 1$ , quindi $f ((m, 2 m - 1)) = m^{2} - 2 m + 1 = (m - 1)^{2}$ . Al variare di $m$ negli interi, $m - 1$ prende tutti gli interi, e i valori sono tutti i quadrati: $f (S) = {0, 1, 4, 9, 16, \dots}$ .

8 · Esercizio 2.3 del libro medio

Sia $f : N \to N$ definita da $f (n) = \frac{n}{2}$ se $n$ è pari e $f (n) = 3 n + 1$ se $n$ è dispari. Dimostrare o confutare: (a) $f$ è iniettiva; (b) $f$ è suriettiva; (c) l'immagine dei numeri pari è contenuta nei dispari; (d) la controimmagine dei multipli di 3 è contenuta nei pari. Poi calcolare $f ({1, 2, \dots, 10})$ e $f^{- 1} ({1, 2, 7, 9, 10, 13})$ .

Soluzione

(a) Falsa: $f (8) = 4$ e $f (1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$ .

(b) Vera: un naturale $m$ qualsiasi è $f (2 m)$ , perché $2 m$ è pari e $\frac{2 m}{2} = m$ .

(d) Vera: se $n$ è dispari, $3 n + 1$ supera di 1 un multiplo di 3, quindi non è un multiplo di 3. Allora un elemento che finisce in un multiplo di 3 deve essere pari.

I due insiemi. $f (1) = 4$ , $f (2) = 1$ , $f (3) = 10$ , $f (4) = 2$ , $f (5) = 16$ , $f (6) = 3$ , $f (7) = 22$ , $f (8) = 4$ , $f (9) = 28$ , $f (10) = 5$ . Quindi

f ({1, \dots, 10}) = {1, 2, 3, 4, 5, 10, 16, 22, 28} .

Per la controimmagine: i pari $n$ con $\frac{n}{2}$ nell'insieme sono 2, 4, 14, 18, 20, 26; i dispari $n$ con $3 n + 1$ nell'insieme danno solo $n = 3$ , perché $3 \cdot 3 + 1 = 10$ . Quindi

f^{- 1} ({1, 2, 7, 9, 10, 13}) = {2, 3, 4, 14, 18, 20, 26} .

Conti controllati con un programma.

9 · Una funzione a pezzi medio

Sia $f : Z \to N$ la funzione $f (n) = n^{2} + 2$ se $n$ è pari, $f (n) = n^{2}$ se $n$ è dispari (appello del 14/01/2025, domanda 3, versione B). Quali di queste frasi sono vere? (1) Se $s$ sta nell'immagine, $s + 1$ non ci sta. (2) $f^{- 1} (p) = \emptyset$ per ogni primo $p$ . (3) $f (2 n) = 4 n^{2} + 4$ per ogni $n$ . (4) $f$ non è iniettiva. (5) $f$ è suriettiva.

Soluzione

Valori: $f (0) = 2$ , $f (\pm 1) = 1$ , $f (\pm 2) = 6$ , $f (\pm 3) = 9$ , $f (\pm 4) = 18$ .

Falsa: 1 e 2 stanno tutti e due nell'immagine.
Falsa: 2 è primo e $f (0) = 2$ .
Falsa: $f (2 n) = (2 n)^{2} + 2 = 4 n^{2} + 2$ . Con $n = 1$ : $f (2) = 6$ , non 8.
Vera: $f (1) = f (- 1) = 1$ .
Falsa: 3 non è mai raggiunto.

10 · Funzioni tra insiemi finiti tipo esame

Nello stile del problema 1 dell'appello del 06/06/2025. Siano $S = {1, 2, 3}$ e $T = {1, 2, 3, 4}$ . (a) Quante sono le funzioni da $S$ a $T$ ? (b) Quante sono iniettive? (c) Ce n'è qualcuna suriettiva? (d) Quante sono le funzioni da $S$ a $T$ con $f (1) = 1$ ?

Soluzione

(a) Ogni elemento di $S$ sceglie uno dei 4 elementi di $T$ , in modo indipendente: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{3} = 64$ .

(b) Il primo elemento ha 4 scelte, il secondo 3 (deve essere diverso), il terzo 2: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ .

(d) Il valore di 1 è fissato; 2 e 3 scelgono liberamente: $4 \cdot 4 = 16$ .

Il modo di contare «scelta dopo scelta» lo studierai nella combinatoria (libro, cap. 3).

11 · Esercizio 2.8 del libro (prima parte) difficile

Ciascuna delle seguenti funzioni non è biettiva: spiega perché, e cambia dominio o codominio in modo da ottenere una funzione biettiva. (1) $f : Z \to Z$ , $f (n) = 3 n$ . (2) $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Soluzione

(1) È iniettiva: $3 m = 3 n$ dà $m = n$ . Non è suriettiva: 1 non è un multiplo di 3. Diventa biettiva prendendo come codominio i multipli di 3, che il libro scrive $3 Z$ : ogni multiplo $3 k$ ha una sola controimmagine, $k$ .

(2) Riscrivo $x^{2} + 2 x = (x + 1)^{2} - 1$ . Non è iniettiva: $f (0) = f (- 2) = 0$ . Non è suriettiva: $(x + 1)^{2}$ non è mai negativo, quindi $f (x)$ non scende sotto $- 1$ , e $- 2$ non è raggiunto.

Per renderla biettiva: come dominio i reali $x \geq - 1$ , dove $x + 1 \geq 0$ e due numeri diversi danno valori diversi; come codominio i reali $y \geq - 1$ . Ogni $y \geq - 1$ ha allora una sola controimmagine, $x = - 1 + y + 1$ .

Il libro chiede anche la funzione inversa: la vedrai nella prossima lezione. Le formule $k$ e $- 1 + y + 1$ trovate qui sono proprio le inverse.

12 · Iniettiva sul grafico (esercizio 2.7 del libro) difficile

Sia $Γ$ il grafico di $f : A \to B$ . Dimostra che $f$ è iniettiva se e soltanto se per ogni $b \in B$ l'intersezione $Γ \cap (A \times {b})$ contiene al più un elemento.

Soluzione

$A \times {b}$ sono tutte le coppie con secondo pezzo $b$ : sulla tabella dei pallini, la riga di $b$ . Allora $Γ \cap (A \times {b})$ sono le coppie del grafico in quella riga, cioè le coppie $(a, b)$ con $f (a) = b$ . Ce ne sono tante quanti gli elementi di $f^{- 1} (b)$ .

Quindi la condizione dice che ogni controimmagine ha al più un elemento, e per la Proposizione 2.11 questo vuol dire esattamente che $f$ è iniettiva. È la regola «ogni riga ha al massimo un pallino», scritta con gli insiemi.

§10

Domande di ripasso

autoverifica

Che cos'è una funzione da

A

B

Una regola che a ogni elemento di $A$ fa corrispondere uno e un solo elemento di $B$ . In modo preciso, un sottoinsieme $Γ$ di $A \times B$ , il grafico, in cui ogni elemento di $A$ compare come primo pezzo di una e una sola coppia.

Come si riconosce una funzione sulla tabella dei pallini?

Con il dominio in orizzontale e il codominio in verticale: ogni colonna ha esattamente un pallino. Le righe possono averne quanti vogliono, anche zero.

Quando due funzioni sono uguali?

Quando hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio e lo stesso grafico, anche se sono scritte con formule diverse.

Che differenza c'è tra codominio e immagine?

Il codominio è l'insieme d'arrivo dichiarato; l'immagine è l'insieme dei valori raggiunti davvero, ed è contenuta nel codominio.

Che cos'è la controimmagine di

b

? Può essere vuota?

L'insieme degli elementi del dominio che hanno $b$ come valore, cioè le soluzioni di $f (a) = b$ . Sì, può essere vuota: con $f (x) = x^{2}$ su $R$ , $f^{- 1} (- 1) = \emptyset$ .

Quando una funzione è suriettiva? E iniettiva?

Suriettiva quando l'immagine è tutto il codominio: ogni controimmagine è non vuota. Iniettiva quando elementi diversi hanno valori diversi: ogni controimmagine ha al massimo un elemento.

Come si dimostra che una funzione non è iniettiva? E che non è suriettiva?

Non iniettiva: basta trovare due elementi diversi con lo stesso valore. Non suriettiva: basta trovare un elemento del codominio che non viene mai raggiunto.

Che cos'è una funzione biettiva?

Una funzione iniettiva e suriettiva: ogni elemento del codominio ha esattamente una controimmagine. Sulla tabella, un pallino in ogni colonna e in ogni riga.

Che cosa vuol dire che una funzione sulle classi è ben definita?

Che il valore su una classe non dipende dal rappresentante scelto per calcolarlo.

§11

Glossario

termini

Funzione: Una regola che a ogni elemento del dominio fa corrispondere uno e un solo elemento del codominio; in modo preciso, il suo grafico.
Dominio: L'insieme di partenza di una funzione.
Codominio: L'insieme d'arrivo di una funzione.
Grafico: L'insieme delle coppie $(a, f (a))$ , un sottoinsieme di $A \times B$ (Definizione 2.1).
Identità: La funzione $id_{A}$ che manda ogni elemento in sé stesso.
Funzione costante: Una funzione che manda tutti gli elementi nello stesso valore.
Proiezione: Le funzioni $p_{1} (a, b) = a$ e $p_{2} (a, b) = b$ su un prodotto cartesiano.
Successione: Una funzione con dominio $N$ : una lista infinita $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \dots$
Funzione quoziente: La funzione che manda ogni elemento nella sua classe.
Restrizione: La stessa funzione usata solo su un sottoinsieme del dominio (Definizione 2.2).
Ben definita: Così si chiama una regola sulle classi il cui risultato non dipende dal rappresentante scelto (Nota 2.3).
Immagine: L'insieme dei valori raggiunti da una funzione, $Im (f) = f (A)$ ; più in generale $f (S)$ (Definizione 2.4).
Controimmagine: L'insieme $f^{- 1} (b)$ degli elementi che hanno valore $b$ , o $f^{- 1} (T)$ di quelli con valore in $T$ (Definizione 2.7).
Funzione suriettiva: Una funzione la cui immagine è tutto il codominio (Definizione 2.5).
Funzione iniettiva: Una funzione che dà valori diversi a elementi diversi (Definizione 2.9).
Funzione biettiva: Una funzione iniettiva e suriettiva, detta anche biezione (Definizione 2.12).

Funzioni, immagini e controimmagini

La lezione in 8 punti

Che cos'è una funzione

La funzione come insieme di coppie

Leggere una funzione sulla tabella dei pallini (p. 18)

Due funzioni uguali (p. 18)

Funzioni che tornano sempre

Restringere il dominio (p. 19)

Quando una regola è «ben definita» (p. 20)

Dove si arriva: l'immagine

Chi arriva lì: la controimmagine

Vuota sì, vuota no (Nota 2.8)

Suriettive, iniettive, biettive

Suriettiva

Iniettiva

Tutto con le controimmagini

Biettiva

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre versioni della stessa domanda

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: è una funzione? base

2 · Riscaldamento: immagine e controimmagine su una tabella base

3 · Riscaldamento: iniettiva o suriettiva base

4 · Riscaldamento: una biezione piccola base

5 · Esercizio 2.1 del libro base

6 · Due formule, una funzione base

7 · Esercizio 2.2 del libro medio

8 · Esercizio 2.3 del libro medio

9 · Una funzione a pezzi medio

10 · Funzioni tra insiemi finiti tipo esame

11 · Esercizio 2.8 del libro (prima parte) difficile

12 · Iniettiva sul grafico (esercizio 2.7 del libro) difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist