Parte 1 (modA) · Matematica Discreta · Canali A, B e C · Lezione D05

Composizione di funzioni e funzioni inverse

Comporre due funzioni vuol dire applicarle una dopo l'altra. Qui impari a farlo senza sbagliare l'ordine, a capire quando si può tornare indietro con la funzione inversa, e a risolvere la domanda 3 del quiz, che dal 2025 chiede quasi sempre proprio una composizione.

Libro: A. Mori, Lezioni di Matematica Discreta, cap. 2, pp. 23–29, esercizi p. 36
Docenti: Andrea Mori (canale B), Ignazio Longhi e Lea Terracini (canali A e C) · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre il libro
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 8 punti

Comporre due funzioni vuol dire applicarle una dopo l'altra. Si scrive $g \circ f$ , e la funzione usata per prima sta a destra: prima effe, poi gi.
Si può comporre solo se il codominio della prima è il dominio della seconda. Per calcolare si parte da dentro.
La composizione è associativa: con tre funzioni le parentesi non contano. Non è commutativa: scambiando l'ordine, in generale il risultato cambia.
Composte di funzioni iniettive restano iniettive, composte di suriettive restano suriettive.
Due funzioni sono inverse l'una dell'altra quando, composte nei due ordini, danno l'identità: una disfa quello che fa l'altra.
Una funzione ha l'inversa se e solo se è biettiva, e l'inversa è una sola. Si trova risolvendo $y = f (x)$ rispetto a $x$ .
L'inversa di una composizione si fa al contrario: prima si disfa l'ultima funzione applicata.
All'esame la domanda 3 del quiz è quasi sempre una composizione da calcolare.

Canali A, B e C

Matematica Discreta ha lo stesso programma e la stessa prova d'esame nei canali A, B e C: questi appunti valgono per tutti e tre. Nel canale B è la lezione di lunedì 12/10/2026 con Andrea Mori. Quando scrivo gli argomenti di questa lezione non sono ancora sul Moodle del canale B: li ho ricostruiti dall'ordine del libro e dal diario dell'anno scorso, in cui la quinta lezione era «composizione di funzioni e sue proprietà, relazioni tra composizione, iniettività e suriettività, funzioni invertibili». Le operazioni (pp. 29–34 del libro) nel diario dell'anno scorso arrivano molto più avanti, con i gruppi: qui non ci sono. Quando il docente pubblica gli argomenti, controllo e aggiorno.

§1

Una funzione dopo l'altra

pp. 23–24

Torna alla mensa della lezione D04. Anna, Bruno, Carla e Dario scelgono il primo; poi alla cassa ogni piatto ha il suo prezzo. Sono due funzioni in fila:

la prima, $f$ , va dagli studenti ai piatti: è la scelta di ognuno;
la seconda, $g$ , va dai piatti ai prezzi: è il listino della cassa.

Studente	Piatto scelto	Piatto	Prezzo
Anna	pasta	pasta	4 euro
Bruno	pasta	riso	5 euro
Carla	zuppa	zuppa	3 euro
Dario	riso	gnocchi	6 euro

Quanto paga Anna? Prima guardi che cosa ha scelto, la pasta; poi guardi quanto costa la pasta, 4 euro. Hai usato $f$ e subito dopo $g$ . La regola «da ogni studente a quanto paga» è una funzione nuova, dagli studenti ai prezzi: è la composizione di $f$ e $g$ .

L'idea

Comporre due funzioni vuol dire usarle in fila: il risultato della prima diventa l'elemento di partenza della seconda.

La composizione si scrive $g \circ f$ e si legge «gi composto effe» o «gi tondino effe». Per Anna:

(g \circ f) (Anna) = g (f (Anna)) = g (pasta) = 4

Il conto si fa da dentro verso fuori: prima la scelta di Anna, che è la pasta, poi il prezzo della pasta, 4 euro.

Prova tu

Con le tabelle della mensa, quanto valgono

(g \circ f) (Carla)

(g \circ f) (Dario)

Carla ha scelto la zuppa, che costa 3 euro. Dario ha scelto il riso, che costa 5 euro.

Perché si scrive al contrario

In $g \circ f$ la funzione usata per prima è $f$ , ma si scrive per seconda. Sembra strano, ma viene dal modo in cui si scrive il valore, $g (f (a))$ . La funzione che lavora per prima è attaccata alla variabile; quella che lavora dopo la avvolge da fuori. Il libro lo fa notare a p. 24.

Trappola · $g \circ f$ si legge da destra a sinistra

La scrittura $g \circ f$ vuol dire: prima la funzione di destra, poi quella di sinistra. Sbagliare l'ordine è l'errore più comune all'esame: calcolare $f (g (a))$ quando il testo chiede $(g \circ f) (a)$ . Un trucco: la funzione più vicina alla variabile è quella che la tocca per prima.

Quando si può comporre

Alla cassa si può pagare solo un piatto che è nel listino. In generale, $g$ deve accettare tutti i valori di $f$ : il codominio di $f$ deve essere il dominio di $g$ . Il libro lo chiede esattamente così: i due insiemi devono coincidere.

Definizione 2.13 · Composizione

Siano $f : A \to B$ e $g : B \to C$ due funzioni. La composizione di $f$ e $g$ , denotata $g \circ f$ , è la funzione

g \circ f : A \to C, (g \circ f) (a) = g (f (a)) per ogni a \in A .

Come si legge. Si parte dal primo insieme, si arriva nel secondo con la prima funzione, e dal secondo si va nel terzo con l'altra. La composta parte da dove parte $f$ e arriva dove arriva $g$ . L'insieme in mezzo, la tappa, sparisce dal risultato.

Il libro la disegna come un viaggio con una tappa: due frecce corte in fila, e sotto una freccia lunga che salta la tappa. La freccia lunga è la composta, e i due percorsi portano nello stesso posto.

A f B g C

Esempio · Composizioni che si possono fare e no

Prendi tre funzioni $f : A \to B$ , $g : B \to C$ e $h : C \to A$ .

$g \circ f$ si può fare: $f$ arriva in $B$ e $g$ parte da $B$ . Va da $A$ a $C$ .
$f \circ g$ non si può fare: $g$ arriva in $C$ , ma $f$ parte da $A$ .
$h \circ g \circ f$ si può fare: da $A$ a $B$ , poi a $C$ , poi di nuovo ad $A$ . È una funzione da $A$ ad $A$ .

Il metodo: leggi le funzioni da destra a sinistra, come vengono usate, e controlla a ogni passo che l'arrivo di una sia la partenza della successiva. È come controllare le coincidenze dei treni: il treno dopo deve partire dalla stazione dove arriva quello prima.

Prova tu

Con

f : A \to B

k : B \to A

, si possono fare

k \circ f

f \circ k

? Da dove a dove vanno?

Sì, tutte e due. $k \circ f$ va da $A$ ad $A$ : prima $f$ da $A$ a $B$ , poi $k$ da $B$ ad $A$ . $f \circ k$ va da $B$ a $B$ .

Da ricordare

$(g \circ f) (a) = g (f (a))$ : prima $f$ , poi $g$ . Si calcola da dentro verso fuori.
Si compone solo se il codominio della prima funzione è il dominio della seconda. La composta va dal dominio della prima al codominio della seconda.

§2

Calcolare una composizione con le formule

Con le funzioni sui numeri il conto è lo stesso della mensa, solo che i valori si calcolano con una formula. Prendi due funzioni dagli interi agli interi. La prima raddoppia, $f (n) = 2 n$ . La seconda aggiunge 1, $g (n) = n + 1$ .

Su un numero

Per calcolare $(g \circ f) (5)$ si parte da dentro:

prima $f (5) = 10$ ;
poi $g (10) = 11$ .

Quindi $(g \circ f) (5) = 11$ . Nell'altro ordine, $(f \circ g) (5)$ : prima $g (5) = 6$ , poi $f (6) = 12$ . Viene un altro numero.

Con la lettera

Per avere la formula della composta, si fa lo stesso conto con $n$ al posto del numero. Il trucco è sostituire: al posto della variabile di $g$ si mette tutta la formula di $f$ .

$(g \circ f) (n) = g (f (n)) = g (2 n)$ .
$g$ aggiunge 1 a quello che riceve, quindi $g (2 n) = 2 n + 1$ .

Nell'altro ordine: $(f \circ g) (n) = f (n + 1) = 2 (n + 1) = 2 n + 2$ .

Metodo · Calcolare $g \circ f$ con le formule

Scrivi $(g \circ f) (n) = g (f (n))$ e metti al posto di $f (n)$ la sua formula.
Nella formula di $g$ , sostituisci ogni $n$ con quella formula, tra parentesi.
Svolgi i conti.
Controlla su un numero: calcola la composta a mano su 0 o su 1 e confronta con la formula trovata.

Il passo 4 costa pochi secondi e scova quasi tutti gli errori di segno.

Esempio · Una composizione con i segni

$f (n) = 2 n + 1$ e $g (n) = 3 - n$ , dagli interi agli interi (appello del 04/02/2025, versione 1).

$(f \circ g) (n) = f (3 - n) = 2 (3 - n) + 1 = 6 - 2 n + 1 = 7 - 2 n$ .
$(g \circ f) (n) = g (2 n + 1) = 3 - (2 n + 1) = 3 - 2 n - 1 = 2 - 2 n$ .

Controllo con $n = 0$ : $g (0) = 3$ e $f (3) = 7$ , come $7 - 2 \cdot 0$ . Poi $f (0) = 1$ e $g (1) = 2$ , come $2 - 2 \cdot 0$ .

La parentesi del secondo conto è il punto delicato: $3 - (2 n + 1)$ cambia il segno di tutti e due i pezzi.

Su un valore scritto con la lettera

A volte il testo chiede la composta calcolata non su un numero ma su un'espressione con la lettera, come $- x$ oppure $2 x$ . Si fa allo stesso modo: si parte da dentro e si sostituisce.

Prendi le due funzioni dell'appello del 03/02/2026, $f (n) = 3 n - 1$ e $g (n) = - n + 4$ . Il valore $(g \circ f) (- x)$ si calcola così:

$f (- x) = 3 \cdot (- x) - 1 = - 3 x - 1$ ;
$g (- 3 x - 1) = - (- 3 x - 1) + 4 = 3 x + 1 + 4 = 3 x + 5$ .

Con tre funzioni

Con tre funzioni si va avanti allo stesso modo, sempre da destra a sinistra: la funzione scritta più a destra si usa per prima. Anche la stessa funzione può comparire due volte. Prendi $f (n) = 3 n - 1$ e $g (n) = 2 - n$ . Il valore $(g \circ f \circ f) (0)$ si calcola in tre passi:

$f (0) = - 1$ ;
$f (- 1) = - 4$ ;
$g (- 4) = 2 - (- 4) = 6$ .

Prova tu

Con

f (n) = 2 n

g (n) = n + 1

, calcola

(f \circ f) (n)

(g \circ g) (n)

(g \circ f \circ g) (0)

$(f \circ f) (n) = f (2 n) = 4 n$ . $(g \circ g) (n) = g (n + 1) = n + 2$ . Per l'ultima: $g (0) = 1$ , $f (1) = 2$ , $g (2) = 3$ .

Da ricordare

Per la formula della composta si sostituisce: al posto della variabile della funzione esterna va tutta la formula di quella interna, tra parentesi.
Si controlla sempre il risultato su un numero, calcolando a mano.

§3

Le regole della composizione

pp. 24–25

Le funzioni si possono comporre come i numeri si possono moltiplicare. Alcune regole delle moltiplicazioni valgono anche qui, altre no.

Le parentesi non contano

Con tre funzioni in fila si può comporre in due modi. Puoi unire prima le prime due e poi aggiungere la terza; oppure unire prima le ultime due e poi metterci davanti la prima. Il risultato è lo stesso, perché in tutti e due i casi ogni elemento passa per le tre funzioni nello stesso ordine. È come fare tre tappe di un viaggio: non conta come le raggruppi, conta l'ordine.

Proposizione 2.14 · Proprietà associativa

Siano $f : A \to B$ , $g : B \to C$ e $h : C \to D$ tre funzioni. Allora $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ .

Come si legge. Le parentesi si possono spostare. Per questo si scrive semplicemente $h \circ g \circ f$ , senza parentesi.

Dimostrazione · della Proposizione 2.14 (p. 24)

Si calcolano le due funzioni sullo stesso elemento $a$ di $A$ , seguendo la definizione.

A sinistra: $(h \circ (g \circ f)) (a) = h ((g \circ f) (a)) = h (g (f (a)))$ .
A destra: $((h \circ g) \circ f) (a) = (h \circ g) (f (a)) = h (g (f (a)))$ .

I due valori sono uguali per ogni $a$ ; le funzioni hanno anche lo stesso dominio $A$ e lo stesso codominio $D$ , quindi sono la stessa funzione.

L'identità non cambia niente

L'identità lascia ogni elemento dov'è. Se la usi prima o dopo un'altra funzione, è come non averla usata: è come il numero 1 nelle moltiplicazioni. Il libro dice che l'identità è neutra per la composizione: per ogni $f : A \to B$ ,

f \circ id_{A} = f e id_{B} \circ f = f .

Attenzione agli indici: a destra di $f$ va l'identità del dominio, a sinistra quella del codominio, altrimenti la composizione non si può fare.

Le costanti vincono

Una funzione costante manda tutto nello stesso elemento. Se la usi per ultima, il risultato è costante, qualunque cosa sia successa prima. Se la usi per prima, tutti gli elementi arrivano nello stesso punto, e la funzione dopo dà sempre lo stesso valore. In tutti e due i casi la composta è costante.

Alla mensa: se tutti scelgono la pasta, alla cassa tutti pagano 4 €. La scelta è costante, e lo è anche il prezzo.

L'ordine conta

Con i numeri $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$ . Con le funzioni no: $g \circ f$ e $f \circ g$ sono quasi sempre diverse. L'hai già visto con $f (n) = 2 n$ e $g (n) = n + 1$ :

$(g \circ f) (n) = 2 n + 1$ : prima raddoppi, poi aggiungi 1;
$(f \circ g) (n) = 2 n + 2$ : prima aggiungi 1, poi raddoppi.

Succede anche nella vita: mettere le calze e poi le scarpe non è come mettere le scarpe e poi le calze. Il libro lo dice così: la composizione di funzioni non è commutativa (Nota 2.15). Il suo esempio usa il coseno: $cos (x) + 1$ e $cos (x + 1)$ sono funzioni diverse.

Trappola · A volte $f \circ g$ non esiste nemmeno

Se la prima funzione va da $A$ a $B$ e la seconda da $B$ a $C$ , la composizione nell'ordine giusto si fa sempre. Quella nell'ordine contrario si fa solo se il terzo insieme è proprio il primo. Anche quando si possono fare tutte e due, possono andare tra insiemi diversi. Con la mensa e la cassa, per esempio, l'ordine contrario non ha senso: il listino non sceglie studenti.

Prova tu

Con

f (n) = n^{2}

g (n) = n + 3

dagli interi agli interi, calcola

(g \circ f) (n)

(f \circ g) (n)

. Sono uguali?

$(g \circ f) (n) = n^{2} + 3$ ; $(f \circ g) (n) = (n + 3)^{2} = n^{2} + 6 n + 9$ . Sono diverse: in 1 la prima vale 4, la seconda 16.

Da ricordare

Associativa: con tre o più funzioni le parentesi non contano, conta solo l'ordine.
L'identità è neutra; una costante, prima o dopo, rende costante la composta.
Non commutativa: $g \circ f$ e $f \circ g$ sono in generale diverse.

§4

Composizione e funzioni iniettive o suriettive

pp. 25–26

Che cosa succede alle proprietà della lezione D04 quando componi? Pensa a due uffici in fila che smistano pacchi: il primo li mette in certi scaffali, il secondo prende ogni scaffale e lo manda in un magazzino.

Se nessuno dei due uffici mescola pacchi diversi nello stesso scaffale, alla fine pacchi diversi restano separati. È l'iniettività.
Se tutti e due gli uffici riempiono tutti i loro scaffali, alla fine ogni scaffale dell'ultimo ufficio riceve qualcosa. È la suriettività.

Proposizione 2.16

Siano $f : A \to B$ e $g : B \to C$ due funzioni. Allora:

se $f$ e $g$ sono iniettive, anche $g \circ f$ è iniettiva;
se $f$ e $g$ sono suriettive, anche $g \circ f$ è suriettiva.

In particolare, se $f$ e $g$ sono biettive anche $g \circ f$ è biettiva.

Come si legge. Le due proprietà passano dalle funzioni alla composta. La biettività, che è tutte e due insieme, passa anche lei.

Dimostrazione · della Proposizione 2.16 (p. 25)

Prendi due elementi diversi $a_{1}$ e $a_{2}$ di $A$ . $f$ è iniettiva, quindi $f (a_{1})$ e $f (a_{2})$ sono diversi. Anche $g$ è iniettiva, quindi $g (f (a_{1}))$ e $g (f (a_{2}))$ sono diversi. Ma questi sono i valori di $g \circ f$ in $a_{1}$ e $a_{2}$ : la composta è iniettiva.
Prendi un elemento $c$ di $C$ . $g$ è suriettiva, quindi c'è un $b$ in $B$ con $g (b) = c$ . Anche $f$ è suriettiva, quindi c'è un $a$ in $A$ con $f (a) = b$ . Allora $(g \circ f) (a) = g (f (a)) = g (b) = c$ : ogni $c$ è raggiunto, la composta è suriettiva.

Al contrario: che cosa dice la composta sulle funzioni

Il libro guarda anche la strada inversa (Proposizione 2.17). Se la composta ha una proprietà, che cosa si può dire delle due funzioni da cui viene?

Se $g \circ f$ è iniettiva, allora la prima, $f$ , è iniettiva. Se $f$ mescolasse due elementi, la composta li mescolerebbe anche lei: dopo, $g$ non li può più separare.
Se $g \circ f$ è suriettiva, allora la seconda, $g$ , è suriettiva. Tutto quello che la composta raggiunge, lo raggiunge con l'ultimo passo, che è $g$ .

Proposizione 2.17 e Corollario 2.18

Siano $f : A \to B$ e $g : B \to C$ due funzioni. Allora:

se $g \circ f$ è iniettiva, allora $f$ è iniettiva;
se $g \circ f$ è suriettiva, allora $g$ è suriettiva.

In particolare, se $g \circ f$ è biettiva, allora $f$ è iniettiva e $g$ è suriettiva.

Come si legge. L'iniettività della composta si scarica sulla funzione di destra, quella usata per prima. La suriettività si scarica su quella di sinistra, usata per ultima.

Dimostrazione · della Proposizione 2.17 (p. 26)

Se $f$ non fosse iniettiva, ci sarebbero $a_{1} \neq = a_{2}$ con $f (a_{1}) = f (a_{2})$ . Applicando $g$ a tutti e due: $g (f (a_{1})) = g (f (a_{2}))$ , cioè la composta prende lo stesso valore in due elementi diversi. Non sarebbe iniettiva.
Se $g \circ f$ è suriettiva, ogni $c$ di $C$ è $(g \circ f) (a)$ per qualche $a$ . Chiamato $b = f (a)$ , si ha $g (b) = c$ : ogni $c$ è raggiunto anche da $g$ .

Il corollario mette insieme le due frasi: biettiva vuol dire iniettiva e suriettiva.

Trappola · Non vale per l'altra funzione

Una composta biettiva non garantisce che la prima funzione sia suriettiva, né che la seconda sia iniettiva. Un esempio piccolo, con un solo studente e due piatti. Lo studente sceglie la pasta; alla cassa pasta e riso costano tutti e due 4 euro. La composta va dall'unico studente all'unico prezzo, ed è biettiva. Ma il riso non lo sceglie nessuno, quindi la scelta non è suriettiva; e i due piatti hanno lo stesso prezzo, quindi il listino non è iniettivo.

Prova tu

Vero o falso: se

g \circ f

è iniettiva, allora anche

g

è iniettiva.

Falso. Nell'esempio della trappola la composta è iniettiva, perché parte da un solo studente, ma il listino dà lo stesso prezzo a due piatti. È la prima funzione che deve essere iniettiva, non la seconda.

Da ricordare

Iniettive composte danno un'iniettiva; suriettive composte danno una suriettiva; biettive composte danno una biettiva.
Composta iniettiva: la prima funzione usata è iniettiva. Composta suriettiva: l'ultima usata è suriettiva.

§5

Tornare indietro: le funzioni inverse

pp. 26–28

Alla mensa ognuno ha una tessera con un numero: Anna ha il 17, Bruno il 23, Carla il 31, Dario il 42. La funzione «da ogni studente al numero della sua tessera» è biettiva: ogni studente ha il suo numero, e ogni numero è di uno studente solo.

Al cassiere arriva una tessera, la 31: di chi è? È di Carla. Esiste una regola che torna indietro, dal numero allo studente. Le due funzioni si disfano a vicenda:

da Carla vai al 31, e dal 31 torni a Carla;
dal 31 vai a Carla, e da Carla torni al 31.

L'idea

L'inversa di una funzione è la funzione che disfa quello che fa l'altra: se le usi una dopo l'altra, in un ordine o nell'altro, torni al punto di partenza.

«Tornare al punto di partenza» vuol dire che la composta è l'identità. Il libro usa proprio questo come definizione.

Definizione 2.19 · Funzioni inverse l'una dell'altra

Siano $f : A \to B$ e $g : B \to A$ due funzioni. Diciamo che $f$ e $g$ sono funzioni inverse l'una dell'altra se

g \circ f = id_{A} e f \circ g = id_{B} .

Come si legge.

La prima uguaglianza: parti da uno studente, vai alla tessera, torni indietro, e ti ritrovi con lo stesso studente.
La seconda: parti da una tessera, vai allo studente, torni alla tessera, e ti ritrovi con lo stesso numero.
Servono tutte e due le uguaglianze.

Perché servono tutte e due

Può succedere che una sola delle due uguaglianze sia vera. Il libro dà due esempi (p. 27).

Esempio · Metà inversa: una sola uguaglianza vera (p. 27)

Con le coppie. Fissa un elemento $β$ in $B$ e prendi la funzione $s$ da $A$ ad $A \times B$ che mette $a$ nella coppia $(a, β)$ . Poi usa la prima proiezione $p_{1}$ , che dalla coppia tiene il primo pezzo.

$p_{1} \circ s = id_{A}$ : da $a$ vai a $(a, β)$ e torni ad $a$ .
$s \circ p_{1}$ non è l'identità di $A \times B$ : la coppia $(a, b)$ va in $a$ e poi in $(a, β)$ , che è diversa se $b \neq = β$ .

Il libro qui scrive $s \circ p_{1} \neq = id_{B}$ : l'identità giusta è quella di $A \times B$ , il dominio di $p_{1}$ .

Con i cassetti. $X = {a, b, c, d}$ è diviso nei cassetti ${a, b}$ e ${c, d}$ . La funzione quoziente $q$ manda ogni elemento nel suo cassetto. La funzione $s$ prende da ogni cassetto un elemento: $s ({a, b}) = a$ e $s ({c, d}) = c$ .

$q \circ s$ è l'identità dei cassetti: dal cassetto prendi un elemento, e quello sta nel suo cassetto.
$s \circ q$ non è l'identità di $X$ : $b$ va nel cassetto ${a, b}$ e poi in $a$ .

C'è un motivo preciso per cui una sola uguaglianza non basta. Se due funzioni sono inverse, le due composte sono identità, che sono biettive. Allora per il Corollario 2.18 ciascuna delle due funzioni è iniettiva, guardando una composta, e suriettiva, guardando l'altra: deve essere biettiva. Negli esempi qui sopra $s$ non è suriettiva, quindi non può avere un'inversa vera.

Chi ha un'inversa: esattamente le biezioni

Il conto appena fatto dice: se una funzione ha un'inversa, è biettiva. Il libro dimostra anche il contrario: ogni funzione biettiva ha un'inversa, e una sola.

Come si costruisce? Con la tessera: prendi un numero e cerchi lo studente che ce l'ha. In generale, se $f$ è biettiva, ogni $b$ del codominio ha esattamente un elemento nella controimmagine (Proposizione 2.11 della lezione D04). L'inversa manda $b$ proprio in quell'elemento:

g (b) = a quando f^{- 1} (b) = {a} .

Teorema 2.20

Sia $f : A \to B$ una funzione biettiva. Allora esiste ed è unica una funzione $g : B \to A$ tale che $f$ e $g$ sono inverse l'una dell'altra.

Come si legge. Una biezione ha un'inversa, e non ce ne sono due diverse. Messo insieme a quello di prima: una funzione ha l'inversa se e solo se è biettiva.

Dimostrazione · del Teorema 2.20 (pp. 27–28)

Esiste. È la $g$ costruita sopra. Per ogni $a$ in $A$ , chiamato $b = f (a)$ , la controimmagine di $b$ è ${a}$ , quindi $g (f (a)) = g (b) = a$ . Per ogni $b$ in $B$ , chiamato $a$ l'unico elemento della sua controimmagine, $f (g (b)) = f (a) = b$ . Le due composte sono le identità.

È unica. Supponi che anche $h : B \to A$ sia un'inversa di $f$ . Calcola $g \circ f \circ h$ in due modi, spostando le parentesi.

$(g \circ f) \circ h = id_{A} \circ h = h$ .
$g \circ (f \circ h) = g \circ id_{B} = g$ .

Per la proprietà associativa i due risultati sono uguali, quindi $h = g$ .

Definizione 2.21 · Funzione inversa

Sia $f$ una funzione biettiva. L'unica funzione $g : B \to A$ tale che $g \circ f = id_{A}$ e $f \circ g = id_{B}$ è detta la funzione inversa di $f$ , e si denota $f^{- 1}$ .

Come si legge. $f^{- 1}$ si legge «effe alla meno uno», o «inversa di effe». È la funzione che fa il viaggio al contrario: $f^{- 1} (b) = a$ esattamente quando $f (a) = b$ .

Trappola · Lo stesso simbolo per due cose (Nota 2.22)

Nella lezione D04 $f^{- 1} (b)$ era la controimmagine: un insieme, che esiste per ogni funzione. Qui $f^{- 1} (b)$ è il valore della funzione inversa: un elemento, che esiste solo se $f$ è biettiva. Quando $f$ è biettiva le due cose si somigliano: la controimmagine è ${a}$ e l'inversa dà $a$ . Quale delle due si intende si capisce dal contesto.

L'inversa dell'inversa è la funzione di partenza: $(f^{- 1})^{- 1} = f$ (Nota 2.23). Nella definizione le due funzioni hanno lo stesso ruolo: se la seconda disfa la prima, anche la prima disfa la seconda.

Prova tu

{1, 2, 3}

{a, b, c}

la funzione

f

f (1) = c

f (2) = a

f (3) = b

. Scrivi

f^{- 1}

. E la funzione

h (1) = a

h (2) = a

h (3) = b

ha un'inversa?

$f^{- 1} (a) = 2$ , $f^{- 1} (b) = 3$ , $f^{- 1} (c) = 1$ : si leggono le frecce al contrario. $h$ non ha inversa: non è biettiva, perché $a$ arriva da due elementi e $c$ da nessuno.

Da ricordare

Due funzioni sono inverse quando le due composte, nei due ordini, sono tutte e due identità.
Una funzione ha l'inversa se e solo se è biettiva, e l'inversa è unica (Teorema 2.20).
$f^{- 1} (b)$ è un insieme se parli di controimmagine, un elemento se parli di funzione inversa.

§6

Trovare l'inversa in pratica

Con una formula, l'inversa si trova risolvendo un'equazione. L'inversa deve dire da quale $x$ arriva un valore $y$ . Quindi si scrive $y = f (x)$ e si ricava $x$ .

Metodo · Trovare l'inversa di una formula

Controlla che $f$ sia biettiva, con il dominio e il codominio dati. Se non lo è, l'inversa non esiste.
Scrivi $y = f (x)$ .
Ricava $x$ : viene una formula in $y$ . Quella è $f^{- 1} (y)$ .
Controlla componendo: $f^{- 1} (f (x))$ deve dare $x$ .

Esempio · L'inversa di $f (x) = 3 x - 2$ dai reali ai reali

Passo 1. È biettiva: ogni retta non orizzontale prende ogni valore una volta sola.

Passo 2 e 3. Da $y = 3 x - 2$ porti il 2 a sinistra: $y + 2 = 3 x$ . Dividi per 3: $x = \frac{y + 2}{3}$ . Quindi

f^{- 1} (y) = \frac{y + 2}{3} = \frac{1}{3} y + \frac{2}{3} .

Passo 4. $f^{- 1} (f (x)) = \frac{( 3 x - 2 ) + 2}{3} = \frac{3 x}{3} = x$ .

Era una domanda vera di un appello degli anni 2021–2025, con la risposta scritta con la lettera $x$ : $g (x) = (1/3) x + (2/3)$ .

Il nome della lettera non conta: $f^{- 1} (y) = \frac{y + 2}{3}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{3}$ sono la stessa funzione.

Trappola · Gli interi non sono i reali

La stessa formula può essere biettiva sui reali e non sugli interi. $f (n) = 3 n - 2$ dagli interi agli interi non è suriettiva: 0 dovrebbe venire da $n = \frac{2}{3}$ , che non è intero. Quindi non ha inversa. Prima del conto, guarda sempre dominio e codominio.

Nella lezione D04, nell'esercizio 2.8 del libro, hai reso biettive due funzioni cambiando dominio e codominio, e hai trovato chi arriva in ogni valore. Quelle formule sono proprio le inverse. Per esempio, la funzione che triplica, presa con i multipli di 3 come codominio, ha come inversa la divisione per 3.

Prova tu

Trova l'inversa di

f (x) = 2 x + 5

dai reali ai reali, e controllala su

x = 1

$y = 2 x + 5$ dà $x = \frac{y - 5}{2}$ , cioè $f^{- 1} (y) = \frac{1}{2} y - \frac{5}{2}$ . Controllo: $f (1) = 7$ e $f^{- 1} (7) = \frac{7 - 5}{2} = 1$ .

Da ricordare

L'inversa di una formula si trova scrivendo $y = f (x)$ e ricavando $x$ .
Prima si controlla che la funzione sia biettiva sul dominio e codominio dati; dopo si controlla componendo.

§7

L'inversa di una composizione e la cancellazione

pp. 28–29

Al mattino metti prima le calze e poi le scarpe. La sera, per disfare, togli prima le scarpe e poi le calze: l'ordine si capovolge. Lo stesso vale per le funzioni: per disfare una composta si disfa per prima l'ultima funzione usata.

Proposizione 2.24

Siano $f : A \to B$ e $g : B \to C$ due funzioni biettive. Allora

(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1} .

Come si legge. L'inversa della composta è la composta delle inverse, in ordine contrario: si usa prima $g^{- 1}$ , poi $f^{- 1}$ . Per la Proposizione 2.16 la composta $g \circ f$ è biettiva, quindi l'inversa c'è.

Dimostrazione · della Proposizione 2.24 (p. 28)

Basta controllare che $f^{- 1} \circ g^{- 1}$ disfi $g \circ f$ nei due ordini, spostando le parentesi con la proprietà associativa.

$(g \circ f) \circ (f^{- 1} \circ g^{- 1}) = g \circ (f \circ f^{- 1}) \circ g^{- 1} = g \circ id_{B} \circ g^{- 1} = g \circ g^{- 1} = id_{C}$ .
$(f^{- 1} \circ g^{- 1}) \circ (g \circ f) = f^{- 1} \circ (g^{- 1} \circ g) \circ f = f^{- 1} \circ id_{B} \circ f = f^{- 1} \circ f = id_{A}$ .

Esempio · Le calze e le scarpe con i numeri

$f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = 3 x$ , dai reali ai reali. La composta è $(g \circ f) (x) = 3 (2 x + 1) = 6 x + 3$ .

Le inverse: $f^{- 1} (y) = \frac{y - 1}{2}$ , che toglie 1 e divide per 2; $g^{- 1} (y) = \frac{y}{3}$ , che divide per 3.
Ordine contrario: $(f^{- 1} \circ g^{- 1}) (y) = f^{- 1} (\frac{y}{3}) = \frac{\frac{y}{3} - 1}{2} = \frac{y}{6} - \frac{1}{2}$ .
Controllo diretto: da $y = 6 x + 3$ viene $x = \frac{y - 3}{6} = \frac{y}{6} - \frac{1}{2}$ . È la stessa formula.

Nell'ordine sbagliato, $g^{- 1} \circ f^{- 1}$ darebbe $\frac{y - 1}{6}$ : non è l'inversa.

Semplificare una funzione biettiva

Con i numeri, da $2 \cdot a = 2 \cdot b$ si ricava $a = b$ : si semplifica il 2, perché si può dividere per 2. Con le funzioni succede lo stesso, ma solo con una funzione biettiva, perché si «divide» usando la sua inversa.

Proposizione 2.25 · Cancellazione

Sia $f : A \to B$ una funzione biettiva, e siano $g_{1}, g_{2} : B \to Y$ e $h_{1}, h_{2} : X \to A$ funzioni.

Se $g_{1} \circ f = g_{2} \circ f$ , allora $g_{1} = g_{2}$ .
Se $f \circ h_{1} = f \circ h_{2}$ , allora $h_{1} = h_{2}$ .

Come si legge. Una $f$ biettiva si può togliere da tutte e due le parti, sia quando sta a destra sia quando sta a sinistra.

Dimostrazione · della Proposizione 2.25 (p. 29)

Componi a destra con $f^{- 1}$ tutte e due le parti: $g_{1} = g_{1} \circ f \circ f^{- 1} = g_{2} \circ f \circ f^{- 1} = g_{2}$ , perché $f \circ f^{- 1} = id_{B}$ .
Componi a sinistra con $f^{- 1}$ : $h_{1} = f^{- 1} \circ f \circ h_{1} = f^{- 1} \circ f \circ h_{2} = h_{2}$ , perché $f^{- 1} \circ f = id_{A}$ .

Nella seconda riga della dimostrazione il libro scrive $id_{B} \circ h_{1}$ : l'identità giusta è quella di $A$ , dove arrivano $h_{1}$ e $h_{2}$ .

Senza la biettività la cancellazione può fallire. Se la funzione è costante, ogni composta fatta dopo di lei è costante, e funzioni diverse possono dare la stessa composta. L'esercizio 2.12 del libro chiede di costruire un esempio.

Prova tu

Con

f (x) = x - 4

g (x) = 5 x

dai reali ai reali, quanto vale

(g \circ f)^{- 1} (10)

L'inversa si fa al contrario: prima $g^{- 1} (10) = 2$ , poi $f^{- 1} (2) = 2 + 4 = 6$ . Controllo: $f (6) = 2$ e $g (2) = 10$ .

Da ricordare

$(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ : come calze e scarpe, si disfa nell'ordine contrario.
Una funzione biettiva si può cancellare da tutte e due le parti di un'uguaglianza tra composte.

§8

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$g \circ f$	«gi composto effe»	prima $f$ , poi $g$	$f (n) = 2 n$ , $g (n) = n + 1$ : $(g \circ f) (n) = 2 n + 1$
$(g \circ f) (a)$	«gi composto effe di a»	il valore $g (f (a))$	$(g \circ f) (5) = 11$
$h \circ g \circ f$	«acca composto gi composto effe»	prima $f$ , poi $g$ , poi $h$
$id_{A}$	«identità su $A$ »	la funzione che lascia tutto com'è; neutra per la composizione	$f \circ id_{A} = f$
$f^{- 1}$	«inversa di effe»	la funzione che disfa $f$ , solo se $f$ è biettiva	$f (x) = 3 x - 2$ , $f^{- 1} (y) = \frac{y + 2}{3}$
$f^{- 1} (b)$	«effe alla meno uno di bi»	un elemento (inversa) o un insieme (controimmagine)
$(g \circ f)^{- 1}$	«inversa di gi composto effe»	è $f^{- 1} \circ g^{- 1}$
$A f B$	«effe da A a B»	la freccia della funzione $f$

§9

Verso l'esame

esame

La prova di Matematica Discreta, la parte 1 di MDAG, è scritta ed è la stessa per i canali A, B e C. Al 12/10/2026 le regole del 2026/27 non sono ancora uscite; quelle del 2025/26 dicono così.

10 domande a risposta multipla, ognuna con 5 risposte e una sola giusta. Una risposta giusta vale 1 punto; una sbagliata o vuota vale 0.
2 problemi a risposta aperta, divisi in più domande con il punteggio scritto accanto.
Sbarramento. Con meno di 6 punti nel quiz la prova non è superata, e i problemi non vengono corretti.
Sufficienza: almeno 18 punti in tutto. Durata: 2 ore.
Materiale ammesso: libro di testo e appunti del corso, e una calcolatrice non programmabile.

Gli appelli 2026/27 sono martedì 19/01/2027 e mercoledì 03/02/2027 alle 14:00. Dettagli nella scheda del corso.

Che cosa serve di questa lezione

Domanda 3 del quiz. Dal febbraio 2025 al settembre 2026 la domanda 3 di quasi tutti gli appelli è una composizione: calcolare una formula, un valore, oppure dire quale composizione si può fare. Ho trovato sette modelli diversi, tutti qui sotto. È un punto quasi regalato, se non sbagli l'ordine.
Funzione inversa. In alcuni quiz degli anni 2021–2025 si chiedeva l'inversa di una retta, come $3 x - 2$ .
Permutazioni. Fra qualche settimana le permutazioni saranno funzioni biettive da un insieme in sé, e si comporranno e invertiranno di continuo: in ogni appello c'è un problema su di loro. Le regole di questa lezione servono tutte là.

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 10/09/2026, domanda 3, versione 1. Il testo: «Siano $f, g : Z \to Z$ le funzioni definite da $f (n) = 3 n - 1$ e $g (n) = 2 - n$ . Allora: 1. $g \circ f \circ f (0) = 6$ ; 2. $g \circ f \circ g (0) = - 5$ ; 3. $g \circ g \circ f (0) = 1$ ; 4. $f \circ f \circ g (0) = 7$ ; 5. $f \circ g \circ f (0) = 4$ ».

In pratica chiede: quale di questi cinque valori è calcolato giusto? Ognuno è una catena di tre funzioni applicate a 0, da leggere da destra a sinistra.

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: i valori che servono. Conviene preparare una tabellina: $f (0) = - 1$ , $g (0) = 2$ , poi i valori sui numeri che escono man mano.

Passo 2: una catena alla volta, da destra.

Frase 1: $f (0) = - 1$ , $f (- 1) = - 4$ , $g (- 4) = 2 + 4 = 6$ . Viene 6: vera.
Frase 2: $g (0) = 2$ , $f (2) = 5$ , $g (5) = - 3$ . Viene $- 3$ , non $- 5$ .
Frase 3: $f (0) = - 1$ , $g (- 1) = 3$ , $g (3) = - 1$ . Viene $- 1$ , non 1.
Frase 4: $g (0) = 2$ , $f (2) = 5$ , $f (5) = 14$ . Viene 14, non 7.
Frase 5: $f (0) = - 1$ , $g (- 1) = 3$ , $f (3) = 8$ . Viene 8, non 4.

Passo 3: la risposta. Solo la frase 1 torna. La risposta è la 1. Chi legge le catene da sinistra a destra trova altri numeri: è proprio la trappola della domanda.

Gli altri modelli della domanda 3

Tutte le risposte giuste qui sotto le ho ricontrollate con un programma.

Conta all'esame · Composizione con le formule: appelli del 04/02/2025 e del 06/06/2025

04/02/2025, versione 1: $f (n) = 2 n + 1$ , $g (n) = 3 - n$ . Giusta: $(f \circ g) (n) = 7 - 2 n$ . Le trappole: $5 - 2 n$ (segno sbagliato nella parentesi) e $(g \circ f) (n) = 4 - n$ .
04/02/2025, versione 2: $f (n) = n + 3$ , $g (n) = 1 - 3 n$ . Giusta: $(g \circ f) (n) = - 8 - 3 n$ , perché $1 - 3 (n + 3) = 1 - 3 n - 9$ .
06/06/2025, versione 1: $f (n) = 2 n + 3$ , $g (n) = 3 n - 2$ . Giusta: $(g \circ f) (n) = 3 (2 n + 3) - 2 = 6 n + 7$ . La trappola: $6 n + 3$ , che si ottiene sbagliando l'ordine dei conti.
06/06/2025, versione 4: $f (n) = - 2 n + 1$ , $g (n) = n + 3$ . Giusta: $(f \circ g) (n) = - 2 (n + 3) + 1 = - 2 n - 5$ .

Conta all'esame · Composizione su $- x$ , $2 x$ , $x \pm 1$ : appello del 03/02/2026

Versione 1: $f (n) = 3 n - 1$ e $g (n) = - n + 4$ . Giusta: $(g \circ f) (- x) = 3 x + 5$ , il conto svolto sopra. Le altre quattro risposte avevano i valori sbagliati:

Risposta	Valore scritto	Valore vero
$f \circ g (- x)$	$3 x - 5$	$3 x + 11$
$f \circ g (x + 1)$	$- 3 x + 2$	$8 - 3 x$
$f \circ g (x - 1)$	$- x + 14$	$14 - 3 x$
$g \circ f (2 x)$	$6 x + 5$	$5 - 6 x$

Nella versione 2, con $f (n) = - 2 n + 1$ e $g (n) = n + 4$ , la giusta era $f \circ g (x + 1) = - 2 x - 9$ .

Conta all'esame · Tre funzioni: appello del 06/06/2026

$f (x) = 3 x$ , $g (x) = - x - 1$ , $h (x) = x + 2$ . Giusta: $(g \circ f \circ h) (x) = - 3 x - 7$ . Si parte da $h$ : $x + 2$ ; poi $f$ : $3 x + 6$ ; poi $g$ : $- (3 x + 6) - 1 = - 3 x - 7$ . Le trappole erano tutte della forma $- 3 x + qualcosa$ : cambiare l'ordine cambia solo il numero finale, quindi bisogna fare i conti per bene.

Conta all'esame · Trovare una funzione dalla composta: appello del 07/07/2025

Il testo: «Sia $f (x) = 3 x - 2$ e $g (x)$ tale che $(g \circ f) (x) = 6 x - 7$ . Allora $g (x)$ è…». Giusta: $g (x) = 2 x - 3$ .

Il modo più veloce è provare le risposte: con $g (x) = 2 x - 3$ viene $g (3 x - 2) = 6 x - 4 - 3 = 6 x - 7$ . Si può anche ragionare così: $6 x - 7 = 2 \cdot (3 x - 2) - 3$ , quindi $g$ raddoppia e toglie 3.

Conta all'esame · Quale composizione non si può fare: appello del 13/01/2026

Il testo: «Supponiamo di avere funzioni $f : A \to B$ , $g : B \to C$ , $h : C \to A$ , $k : B \to A$ . Quale delle seguenti composizioni NON è definita? 1. $h \circ g \circ f \circ h$ ; 2. $k \circ f \circ k \circ f$ ; 3. $h \circ g \circ f \circ k$ ; 4. $k \circ f \circ h \circ g$ ; 5. $f \circ h \circ f \circ h$ ».

Giusta: la 5. Si legge da destra. La $h$ più a destra arriva in $A$ ; poi $f$ va da $A$ a $B$ ; poi la seconda $h$ dovrebbe partire da $B$ , ma parte da $C$ . Le altre quattro si possono fare. Nella 3, per esempio, il viaggio è: $B$ , $A$ , $B$ , $C$ , $A$ .

Conta all'esame · La funzione inversa: un appello degli anni 2021–2025

Il testo: «Sia $f : R \to R$ la funzione $f (x) = 2 x + 5$ . La funzione inversa è…». Giusta: $g (x) = \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$ . La trappola: $\frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ , con il segno sbagliato. Nelle altre versioni c'erano le funzioni $3 x + 1$ e $2 x - 4$ ; le inverse sono $\frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$ e $\frac{1}{2} x + 2$ .

Metodo · La domanda 3 sulla composizione

Leggi ogni catena da destra a sinistra: la funzione più vicina alla variabile si usa per prima.
Se c'è un valore, come $f \circ g (0)$ , calcola un passo alla volta e scrivi ogni numero. Tieni una tabellina dei valori già calcolati.
Se c'è una formula, sostituisci con le parentesi e poi controlla su $x = 0$ .
Se chiede quale composizione «non è definita», controlla da destra a sinistra che l'arrivo di ogni funzione sia la partenza della successiva.
Se chiede una funzione $g$ conoscendo $g \circ f$ , prova le cinque risposte: è più veloce che ricavarla.

Errori da evitare

Calcolare $f (g (a))$ quando il testo chiede $(g \circ f) (a)$ .
Dimenticare la parentesi quando si sostituisce: $3 - (2 n + 1)$ non è $3 - 2 n + 1$ .
Pensare che $g \circ f$ e $f \circ g$ siano uguali.
Cercare l'inversa di una funzione che non è biettiva, o dimenticare che dipende da dominio e codominio.
Invertire una composizione senza capovolgere l'ordine.

Conta all'esame · Che cosa scrivere sul foglio di riepilogo

Alla prova puoi portare libro e appunti. Da questa lezione conviene avere pronti: la regola «la funzione di destra si usa per prima»; il metodo della domanda 3; il metodo per l'inversa ( $y = f (x)$ , ricavare $x$ , controllare); la regola delle calze e delle scarpe per l'inversa di una composizione.

§11

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: la mensa e la cassa base

Con le tabelle all'inizio della lezione, scrivi la tabella completa di $g \circ f$ , da ogni studente a quanto paga. È iniettiva? È suriettiva come funzione dagli studenti ai prezzi ${3, 4, 5, 6}$ ?

Soluzione

Anna 4 €, Bruno 4 €, Carla 3 €, Dario 5 €.
Non è iniettiva: Anna e Bruno pagano tutti e due 4 €.
Non è suriettiva: nessuno paga 6 €, perché nessuno ha scelto gli gnocchi.

2 · Riscaldamento: da dentro verso fuori base

Con $f (n) = n - 3$ e $g (n) = n^{2}$ dagli interi agli interi, calcola $(g \circ f) (5)$ , $(f \circ g) (5)$ , $(g \circ f) (n)$ e $(f \circ g) (n)$ .

Soluzione

$(g \circ f) (5)$ : $f (5) = 2$ , $g (2) = 4$ .
$(f \circ g) (5)$ : $g (5) = 25$ , $f (25) = 22$ .
$(g \circ f) (n) = (n - 3)^{2} = n^{2} - 6 n + 9$ .
$(f \circ g) (n) = n^{2} - 3$ .

3 · Riscaldamento: si può comporre? base

Siano $f : A \to B$ , $g : B \to B$ , $h : B \to A$ . Per ciascuna composizione dì se si può fare e, se sì, da dove a dove va: $g \circ f$ , $f \circ g$ , $h \circ g \circ f$ , $f \circ h$ , $g \circ h$ .

Soluzione

$g \circ f$ : sì, da $A$ a $B$ .
$f \circ g$ : no, $g$ arriva in $B$ e $f$ parte da $A$ .
$h \circ g \circ f$ : sì, da $A$ ad $A$ .
$f \circ h$ : sì, da $B$ a $B$ .
$g \circ h$ : no, $h$ arriva in $A$ e $g$ parte da $B$ .

4 · Riscaldamento: un'inversa piccola base

La funzione $f$ da ${1, 2, 3, 4}$ a ${a, b, c, d}$ è $f (1) = d$ , $f (2) = b$ , $f (3) = a$ , $f (4) = c$ . Scrivi $f^{- 1}$ e controlla che $f^{- 1} \circ f$ sia l'identità.

Soluzione

$f^{- 1} (a) = 3$ , $f^{- 1} (b) = 2$ , $f^{- 1} (c) = 4$ , $f^{- 1} (d) = 1$ . Controllo: $f^{- 1} (f (1)) = f^{- 1} (d) = 1$ , $f^{- 1} (f (2)) = f^{- 1} (b) = 2$ , e così via per 3 e 4.

5 · Esercizio 2.10 del libro medio

Siano $f : N \to Z$ , $g : Z \to Z$ e $h : Z \to N$ . Dire quali delle seguenti composizioni sono legittime e quali no, specificando in caso affermativo dominio e codominio: $g \circ h$ , $h \circ f$ , $g \circ f$ , $f \circ g$ , $g \circ f \circ h$ , $g \circ g \circ f$ , $f \circ h \circ h$ .

Soluzione

Uso la regola del libro: il codominio di una deve coincidere con il dominio della successiva.

$g \circ h$ : no. $h$ arriva in $N$ , $g$ parte da $Z$ .
$h \circ f$ : sì, da $N$ a $N$ .
$g \circ f$ : sì, da $N$ a $Z$ .
$f \circ g$ : no. $g$ arriva in $Z$ , $f$ parte da $N$ .
$g \circ f \circ h$ : sì. $h$ da $Z$ a $N$ , $f$ da $N$ a $Z$ , $g$ da $Z$ a $Z$ : in tutto da $Z$ a $Z$ .
$g \circ g \circ f$ : sì, da $N$ a $Z$ .
$f \circ h \circ h$ : no. Il primo $h$ arriva in $N$ , il secondo parte da $Z$ .

I naturali sono dentro gli interi, quindi qualcuno direbbe che $g \circ h$ e $f \circ h \circ h$ hanno senso lo stesso. Con la definizione 2.13, però, i due insiemi devono essere uguali: all'esame segui il libro.

6 · Esercizio 2.11 del libro medio

Siano $f, g : Z \to Z$ le funzioni: $f (n) = 2 n + 1$ se $n$ è pari, $f (n) = 5 - n$ se $n$ è dispari; $g (n) = 0$ se $n \geq 0$ , $g (n) = 2 - n^{2}$ se $n < 0$ . Calcolare $f \circ g (1)$ , $g \circ f (- 1)$ , $f \circ g \circ f (0)$ , $g \circ g \circ f (3)$ , $f \circ g \circ g (- 2)$ , $g \circ f \circ g (2)$ .

Soluzione

Ogni volta si parte da destra e si guarda quale pezzo della formula usare.

$f \circ g (1)$ : $g (1) = 0$ ; 0 è pari, $f (0) = 1$ . Risultato 1.
$g \circ f (- 1)$ : $- 1$ è dispari, $f (- 1) = 5 + 1 = 6$ ; $g (6) = 0$ . Risultato 0.
$f \circ g \circ f (0)$ : $f (0) = 1$ , $g (1) = 0$ , $f (0) = 1$ . Risultato 1.
$g \circ g \circ f (3)$ : 3 è dispari, $f (3) = 2$ ; $g (2) = 0$ ; $g (0) = 0$ . Risultato 0.
$f \circ g \circ g (- 2)$ : $g (- 2) = 2 - 4 = - 2$ ; di nuovo $g (- 2) = - 2$ ; $- 2$ è pari, $f (- 2) = - 4 + 1 = - 3$ . Risultato $- 3$ .
$g \circ f \circ g (2)$ : $g (2) = 0$ , $f (0) = 1$ , $g (1) = 0$ . Risultato 0.

Conti controllati con un programma.

7 · Le versioni dell'appello del 06/06/2026 medio

Con $f (x) = x - 1$ , $g (x) = - 3 x$ e $h (x) = x + 2$ (versione 3), calcola $(g \circ f \circ h) (x)$ , $(h \circ f \circ g) (x)$ , $(f \circ h \circ g) (x)$ , $(f \circ g \circ h) (x)$ e $(g \circ h \circ f) (x)$ . Quale vale $- 3 x - 7$ ?

Soluzione

$g \circ f \circ h$ : $x + 2$ , poi $x + 1$ , poi $- 3 x - 3$ .
$h \circ f \circ g$ : $- 3 x$ , poi $- 3 x - 1$ , poi $- 3 x + 1$ .
$f \circ h \circ g$ : $- 3 x$ , poi $- 3 x + 2$ , poi $- 3 x + 1$ .
$f \circ g \circ h$ : $x + 2$ , poi $- 3 x - 6$ , poi $- 3 x - 7$ .
$g \circ h \circ f$ : $x - 1$ , poi $x + 1$ , poi $- 3 x - 3$ .

Vale $- 3 x - 7$ la quarta, che era la risposta giusta dell'appello. Nota che due ordini diversi danno lo stesso risultato, $- 3 x - 3$ : può succedere, ma non è la regola.

8 · Trovare l'inversa medio

Per ciascuna funzione dai reali ai reali, trova l'inversa e controllala su un numero: (a) $f (x) = 4 x - 1$ ; (b) $f (x) = 7 - x$ ; (c) $f (x) = \frac{x}{2} + 3$ .

Soluzione

(a) $y = 4 x - 1$ dà $x = \frac{y + 1}{4}$ . Controllo: $f (1) = 3$ e $\frac{3 + 1}{4} = 1$ .

(b) $y = 7 - x$ dà $x = 7 - y$ : la funzione è inversa di sé stessa. Controllo: $f (2) = 5$ e $7 - 5 = 2$ .

9 · Esercizio 2.14 del libro: le funzioni lineari tipo esame

Una funzione $f : R \to R$ della forma $f (x) = a x + b$ , con $a$ e $b$ costanti reali e $a \neq = 0$ , si chiama lineare. Dimostrare che: (a) ogni funzione lineare è invertibile, con inversa lineare; (b) la composizione di funzioni lineari è lineare.

Soluzione

(a) Da $y = a x + b$ viene $a x = y - b$ , e si può dividere per $a$ perché non è 0: $x = \frac{y - b}{a} = \frac{1}{a} y - \frac{b}{a}$ . La funzione $g (y) = \frac{1}{a} y - \frac{b}{a}$ ha la forma giusta, con coefficiente $\frac{1}{a}$ diverso da 0: è lineare. Controllo che sia l'inversa:

$g (f (x)) = \frac{( a x + b ) - b}{a} = x$ ;
$f (g (y)) = a \cdot \frac{y - b}{a} + b = y$ .

Le due composte sono identità, quindi $g = f^{- 1}$ .

(b) Siano $f (x) = a x + b$ e $g (x) = c x + d$ , con $a$ e $c$ diversi da 0. Allora

(g \circ f) (x) = c (a x + b) + d = (c a) x + (c b + d) .

Ha la forma giusta, e $c a$ non è 0 perché nessuno dei due fattori lo è. Quindi $g \circ f$ è lineare.

10 · Esercizio 2.15 del libro: l'inversa di tre funzioni tipo esame

Prendendo spunto dalla Proposizione 2.24, enunciare e dimostrare una formula per l'inversa di una composizione di più di due funzioni biettive.

Soluzione

Enunciato per tre funzioni biettive $f : A \to B$ , $g : B \to C$ , $h : C \to D$ :

(h \circ g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1} \circ h^{- 1} .

Dimostrazione. Scrivo $h \circ g \circ f$ come $h \circ (g \circ f)$ : è la composizione di due biezioni, $g \circ f$ e $h$ . Per la Proposizione 2.24,

(h \circ (g \circ f))^{- 1} = (g \circ f)^{- 1} \circ h^{- 1} .

Uso di nuovo la 2.24 su $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ , e ottengo $f^{- 1} \circ g^{- 1} \circ h^{- 1}$ .

In generale, con $k$ funzioni biettive, l'inversa della composta è la composta delle inverse in ordine contrario. Si dimostra allo stesso modo, aggiungendo una funzione alla volta: è un'induzione sul numero delle funzioni.

11 · Esercizio 2.12 del libro: quando la cancellazione non funziona difficile

Costruire un esempio esplicito di funzione $f : A \to B$ e funzioni $g_{1}, g_{2} : B \to Y$ e $h_{1}, h_{2} : X \to A$ , con $g_{1} \neq = g_{2}$ e $h_{1} \neq = h_{2}$ , tali che $g_{1} \circ f = g_{2} \circ f$ e $f \circ h_{1} = f \circ h_{2}$ .

Soluzione

Per la Proposizione 2.25 $f$ non può essere biettiva. Prendo una $f$ né iniettiva né suriettiva.

$A = {1, 2}$ , $B = {a, b}$ , $f (1) = f (2) = a$ .
$Y = {0, 1}$ ; $g_{1} (a) = 0$ , $g_{1} (b) = 0$ ; $g_{2} (a) = 0$ , $g_{2} (b) = 1$ . Sono diverse in $b$ .
$X = {x}$ ; $h_{1} (x) = 1$ , $h_{2} (x) = 2$ . Sono diverse.

Prima uguaglianza. $g_{1} \circ f$ e $g_{2} \circ f$ valgono 0 in 1 e in 2, perché $f$ porta tutto in $a$ e le due $g$ sono uguali in $a$ . Il punto dove differiscono, $b$ , non viene mai raggiunto: $f$ non è suriettiva.

Seconda uguaglianza. $f (h_{1} (x)) = f (1) = a$ e $f (h_{2} (x)) = f (2) = a$ . Le due $h$ portano in punti diversi, che $f$ poi mescola: $f$ non è iniettiva.

§12

Domande di ripasso

autoverifica

Che cosa vuol dire

g \circ f

, e in che ordine si usano le funzioni?

È la funzione che manda $a$ in $g (f (a))$ : si usa prima $f$ e poi $g$ , anche se $f$ si scrive a destra.

Quando si può fare la composizione

g \circ f

Quando il codominio di $f$ coincide con il dominio di $g$ . La composta va dal dominio di $f$ al codominio di $g$ .

Che cosa dice la proprietà associativa? E la composizione è commutativa?

Che $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ : con tre funzioni le parentesi non contano. Non è commutativa: con $f (n) = 2 n$ e $g (n) = n + 1$ , $g \circ f$ dà $2 n + 1$ e $f \circ g$ dà $2 n + 2$ .

f

g

sono iniettive, che cosa si può dire di

g \circ f

? E se

g \circ f

è iniettiva?

Se $f$ e $g$ sono iniettive, lo è anche $g \circ f$ . Se $g \circ f$ è iniettiva, allora $f$ è iniettiva, mentre $g$ può non esserlo.

Quando due funzioni sono inverse l'una dell'altra?

Quando, composte nei due ordini, danno le identità: $g \circ f = id_{A}$ e $f \circ g = id_{B}$ . Una sola delle due uguaglianze non basta.

Quali funzioni hanno un'inversa?

Esattamente quelle biettive, e l'inversa è unica (Teorema 2.20).

Come si trova l'inversa di

f (x) = 5 x + 2

dai reali ai reali?

Si scrive $y = 5 x + 2$ e si ricava $x = \frac{y - 2}{5}$ . Si controlla: $f^{- 1} (f (x)) = \frac{5 x + 2 - 2}{5} = x$ .

Qual è l'inversa di

g \circ f

$f^{- 1} \circ g^{- 1}$ , con l'ordine capovolto: come le calze e le scarpe, si disfa prima l'ultima cosa fatta.

Che differenza c'è tra

f^{- 1} (b)

controimmagine e

f^{- 1} (b)

funzione inversa?

La controimmagine è un insieme ed esiste per ogni funzione. La funzione inversa dà un elemento ed esiste solo se $f$ è biettiva.

§13

Glossario

termini

Composizione: La funzione $g \circ f$ che manda $a$ in $g (f (a))$ : prima $f$ , poi $g$ (Definizione 2.13).
Proprietà associativa: Con tre funzioni, $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ : le parentesi non contano (Proposizione 2.14).
Elemento neutro: L'identità per la composizione: comporre con $id$ non cambia la funzione.
Non commutativa: In generale $g \circ f$ e $f \circ g$ sono diverse, o una delle due non esiste (Nota 2.15).
Funzioni inverse l'una dell'altra: Due funzioni $f : A \to B$ e $g : B \to A$ con $g \circ f = id_{A}$ e $f \circ g = id_{B}$ (Definizione 2.19).
Funzione invertibile: Una funzione che ha un'inversa: sono esattamente le funzioni biettive (Teorema 2.20).
Funzione inversa: L'unica funzione $f^{- 1}$ che disfa una biezione $f$ (Definizione 2.21).
Inversa di una composizione: $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ , con l'ordine capovolto (Proposizione 2.24).
Cancellazione: Una funzione biettiva si può togliere da tutte e due le parti di un'uguaglianza tra composte (Proposizione 2.25).

La lezione in 8 punti

Una funzione dopo l'altra

Perché si scrive al contrario

Quando si può comporre

Calcolare una composizione con le formule

Su un numero

Con la lettera

Su un valore scritto con la lettera

Con tre funzioni

Le regole della composizione

Le parentesi non contano

L'identità non cambia niente

Le costanti vincono

L'ordine conta

Composizione e funzioni iniettive o suriettive

Al contrario: che cosa dice la composta sulle funzioni

Tornare indietro: le funzioni inverse

Perché servono tutte e due

Chi ha un'inversa: esattamente le biezioni

Trovare l'inversa in pratica

L'inversa di una composizione e la cancellazione

Semplificare una funzione biettiva

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Gli altri modelli della domanda 3

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: la mensa e la cassa base

2 · Riscaldamento: da dentro verso fuori base

3 · Riscaldamento: si può comporre? base

4 · Riscaldamento: un'inversa piccola base

5 · Esercizio 2.10 del libro medio

6 · Esercizio 2.11 del libro medio

7 · Le versioni dell'appello del 06/06/2026 medio

8 · Trovare l'inversa medio

9 · Esercizio 2.14 del libro: le funzioni lineari tipo esame

10 · Esercizio 2.15 del libro: l'inversa di tre funzioni tipo esame

11 · Esercizio 2.12 del libro: quando la cancellazione non funziona difficile

Domande di ripasso

Glossario

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