Numeri reali

Prima di parlare di numeri serve una parola sola: insieme.

Immagina un sacchetto. Dentro ci metti delle cose: per esempio una mela, una pera e una banana. Il sacchetto con quello che contiene è un insieme. Le cose dentro si chiamano elementi dell'insieme.

In matematica dentro il sacchetto di solito ci sono dei numeri. Al posto del sacchetto si disegnano due parentesi graffe, una che apre e una che chiude. Gli elementi si scrivono in mezzo, separati da virgole:

Questo è l'insieme che contiene tre numeri: l'1, il 3 e il 5. Nient'altro.

Per non riscriverlo ogni volta, a un insieme si dà un nome: una lettera maiuscola. Per esempio lo chiamiamo $A$:

Si legge: «$A$ è l'insieme che contiene 1, 3 e 5».

Due regole sui sacchetti

In un insieme conta solo che cosa c'è dentro. Da qui vengono due regole.

• L'ordine non conta. $\{1,3,5\}$ e $\{5,1,3\}$ sono lo stesso insieme. Un sacchetto resta lo stesso anche se lo scuoti.
• Le ripetizioni non contano. $\{1,1,3\}$ è uguale a $\{1,3\}$. Un numero o c'è o non c'è: scriverlo due volte non aggiunge niente.

«Sta dentro» e «non sta dentro»

Per dire che un numero sta dentro un insieme c'è un simbolo apposta: $\in$. Assomiglia a una piccola E.

Si legge «3 appartiene ad $A$». Vuol dire: il 3 è uno degli elementi di $A$. Ed è vero, perché $A=\{1,3,5\}$ e il 3 c'è.

Lo stesso simbolo con una barra sopra, $\notin$, vuol dire il contrario.

Si legge «2 non appartiene ad $A$». È vero anche questo: tra 1, 3 e 5 il 2 non c'è.

Un sacchetto dentro un altro

Prendi due insiemi:

Gli elementi di $B$ sono l'1 e il 5. Tutti e due stanno anche in $A$. Allora $B$ è contenuto in $A$. Un insieme contenuto in un altro si chiama sottoinsieme. Il simbolo è $\subset$:

Si legge «$B$ è contenuto in $A$».

In $A$ c'è anche il 3, che in $B$ manca. Quindi $A$ ha qualcosa in più di $B$. Per dirlo si usa un simbolo un po' diverso, $⊊$, con una lineetta sbarrata sotto:

Si legge «$B$ è contenuto strettamente in $A$». Dice due cose insieme: $B$ sta dentro $A$, e $A$ ha almeno un elemento in più.

I puntini e l'insieme vuoto

Quando gli elementi sono tanti, o infiniti, non si possono scrivere tutti. Allora si scrivono i primi e poi tre puntini. I puntini vogliono dire «e avanti così, con la stessa regola».

Questo è l'insieme dei numeri pari da 2 in su. Dopo l'8 viene il 10, poi il 12, e non finiscono mai.

Esiste anche il sacchetto vuoto: l'insieme senza nessun elemento. Si chiama insieme vuoto e si scrive $\varnothing$.

Adesso riempiamo i sacchetti con i numeri. Ci sono tre famiglie da conoscere subito, e ognuna ha la sua lettera.

I numeri per contare: i naturali

Sono i numeri che usi per contare le cose: zero mele, una mela, due mele, tre mele. Si chiamano numeri naturali.

Tutti insieme formano un insieme. Si indica con una N dal tratto doppio: $\mathbb{N}$.

I puntini dicono che non finiscono mai: dopo ogni numero ce n'è sempre uno più grande.

I numeri con il segno meno: gli interi

Con i numeri naturali certe sottrazioni non si possono fare. Hai 3 euro e ne devi pagare 5: quanto ti resta? Meno di niente, perché sei sotto di 2. Per scriverlo servono i numeri negativi: $3-5=-2$.

I naturali insieme ai negativi si chiamano numeri interi. L'insieme degli interi si indica con $\mathbb{Z}$:

Qui i puntini sono da tutte e due le parti, perché gli interi continuano senza fine sia a destra sia a sinistra. La lettera Z viene dal tedesco Zahlen, che vuol dire «numeri».

Ogni numero naturale è anche un intero. Quindi il sacchetto $\mathbb{N}$ sta dentro il sacchetto $\mathbb{Z}$. E $\mathbb{Z}$ ha qualcosa in più, per esempio $-1$. Con il simbolo di prima: $\mathbb{N}⊊\mathbb{Z}$.

Le frazioni: i razionali

Con gli interi certe divisioni non si possono fare. Dividi 1 pizza tra 2 persone: ognuno ne ha mezza. «Mezza» non è un numero intero. Per scriverlo serve una frazione: $\frac{1}{2}$.

I numeri che si possono scrivere come frazione si chiamano numeri razionali. L'insieme dei razionali si indica con $\mathbb{Q}$. La Q viene da quoziente, che è il risultato di una divisione.

Ogni intero è anche un razionale, perché $5=\frac{5}{1}$. Quindi $\mathbb{Z}$ sta dentro $\mathbb{Q}$. E $\mathbb{Q}$ ha qualcosa in più, per esempio $\frac{1}{2}$. Quindi $\mathbb{Z}⊊\mathbb{Q}$.

Come lo scrivono le dispense

Ora che le tre famiglie sono chiare, ecco la definizione con le parole delle dispense.

Come si legge. L'ultima riga, quella di $\mathbb{Q}$, è la più difficile. Un pezzo alla volta:

• le graffe dicono che è un insieme;
• $\frac{a}{b}$ dice che cosa c'è dentro: frazioni. Le lettere $a$ e $b$ stanno al posto di due numeri qualsiasi;
• il punto e virgola si legge «dove». Dopo ci sono le condizioni sulle due lettere;
• $a,b\in \mathbb{Z}$ vuol dire «$a$ e $b$ sono numeri interi»;
• $b\ne 0$ vuol dire «$b$ è diverso da zero». Il simbolo $\ne$ è un uguale sbarrato.

Tutta insieme: «$\mathbb{Q}$ è l'insieme delle frazioni $\frac{a}{b}$, dove $a$ e $b$ sono interi e $b$ non è zero».

Perché servono famiglie sempre più grandi

C'è un'idea che lega tutto. Ogni famiglia nuova nasce perché in quella vecchia manca la risposta a una domanda semplice.

Una frazione, tante scritture

Mezza pizza è mezza pizza anche se la tagli in 4 fette e ne prendi 2. Quindi $\frac{1}{2}$ e $\frac{2}{4}$ sono lo stesso numero, scritto in due modi.

Le dispense fanno questo esempio:

Sono tre scritture di «un settimo». Dalla prima alla seconda si passa moltiplicando sopra e sotto per 3. Dalla prima alla terza si passa moltiplicando sopra e sotto per $-8$.

Come si controlla se due frazioni sono lo stesso numero? Con i prodotti in croce:

1. moltiplica il sopra della prima per il sotto della seconda;
2. moltiplica il sotto della prima per il sopra della seconda;
3. se i due risultati sono uguali, le due frazioni sono lo stesso numero.

Proviamo con $\frac{1}{7}$ e $\frac{3}{21}$. Nei conti il puntino $\cdot$ è il segno «per».

1. Sopra della prima per sotto della seconda: $1\cdot 21=21$.
2. Sotto della prima per sopra della seconda: $7\cdot 3=21$.
3. Viene 21 tutte e due le volte. Quindi $\frac{1}{7}=\frac{3}{21}$.

Le frazioni non bastano ancora. Per capire che cosa manca conviene guardarle scritte con la virgola.

Da frazione a numero con la virgola

Una frazione è una divisione. Se fai la divisione ottieni un numero con la virgola:

Possono succedere solo due cose.

• Le cifre finiscono, come in $0,25$.
• Le cifre non finiscono, ma si ripetono sempre uguali, come in $0,333\dots$ Il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo. Per scriverlo in breve si mette una lineetta sopra: $0,\overline{3}$.

Un periodo può essere più lungo di una cifra. Per esempio $\frac{1}{7}=0,142857142857\dots$, che si scrive $0,\overline{142857}$.

Vale anche il contrario: ogni numero con la virgola che finisce, oppure che si ripete, è una frazione. L'esercizio 5 mostra come si trova.

I numeri che le frazioni non raggiungono

Esistono anche numeri con infinite cifre dopo la virgola che non si ripetono mai. Il più famoso è pi greco:

Le sue cifre vanno avanti per sempre, e nessun gruppo si ripete. Quindi $\pi$ non è una frazione.

Un numero che può avere infinite cifre dopo la virgola si chiama numero reale. L'insieme dei numeri reali si indica con $\mathbb{R}$.

I reali contengono tutto quello che abbiamo visto finora: i naturali, gli interi, le frazioni. E in più i numeri come $\pi$.

Una stranezza: due scritture per lo stesso numero

Le dispense avvertono di una piccola ambiguità. Un numero che finisce con infiniti 9 è uguale al numero «arrotondato»:

Il caso più semplice è $0,999\dots =1$. Non è «quasi 1»: è proprio 1, scritto in un altro modo. Ecco perché, in tre passi.

1. Sappiamo che $\frac{1}{3}=0,333\dots$
2. Moltiplichiamo per 3 tutti e due i lati. A sinistra viene $3\cdot \frac{1}{3}=1$. A destra ogni cifra 3 diventa 9, quindi viene $0,999\dots$
3. I due lati erano uguali prima, quindi sono uguali anche dopo: $1=0,999\dots$

Come si costruiscono i numeri reali: l'idea

Dire «un numero con infinite cifre» va bene per farsi un'idea. Ma resta un problema: come si sommano due numeri così? Per fare una somma in colonna si parte dalla cifra più a destra. Con infinite cifre, una cifra più a destra non esiste.

Le dispense risolvono il problema con un'idea diversa. Prova a «raggiungere» $\pi$ usando solo numeri che finiscono:

• con una cifra dopo la virgola: $3,1$
• con due cifre: $3,14$
• con tre cifre: $3,141$
• con quattro cifre: $3,1415$
• e avanti così, senza fermarsi mai.

Ognuno di questi numeri finisce, quindi è una frazione. Per esempio $3,14=\frac{314}{100}$. Nessuno di loro è $\pi$. Ma più vai avanti nella lista, più ti avvicini a $\pi$.

L'idea è questa: un numero reale è una lista infinita di frazioni che si avvicinano sempre di più a qualcosa. Anche se quel «qualcosa» non è una frazione, la lista lo individua lo stesso.

Servono due parole nuove.

• Una lista infinita di numeri, uno dopo l'altro, si chiama successione. I numeri della lista si chiamano termini. Si scrivono con un numerino in basso che dice il posto: $a_1$ è il primo, $a_2$ il secondo, $a_3$ il terzo. Nella lista di $\pi$: $a_1=3,1$, poi $a_2=3,14$, poi $a_3=3,141$.
• Una successione in cui i termini, da un certo punto in poi, sono vicinissimi tra loro si chiama successione di Cauchy. Si pronuncia «coscì»: è il nome di un matematico francese.

La lista di $\pi$ è una successione di Cauchy. Dal terzo termine in poi tutti cominciano con $3,141$, quindi tra l'uno e l'altro c'è meno di un millesimo. Dal sesto in poi c'è meno di un milionesimo. E avanti così, sempre più vicini.

Le liste che puntano a un buco

Una successione di Cauchy fatta di frazioni può comportarsi in due modi.

• Si avvicina a una frazione. Per esempio la lista $0,3;0,33;0,333;\dots$ si avvicina a $\frac{1}{3}$. Allora rappresenta quella frazione, e non c'è niente di nuovo.
• Si avvicina a qualcosa che non è una frazione, come la lista di $\pi$. Allora rappresenta un numero nuovo, che tra le frazioni non c'era: un numero irrazionale.

Un'immagine utile. Metti tutte le frazioni su un righello. Sono fittissime, ma tra l'una e l'altra restano dei buchi piccolissimi: per esempio nel punto dove dovrebbe stare $\pi$. Una successione di Cauchy che punta a un buco serve a riempirlo.

Come si legge. Due liste sono «equivalenti» quando si avvicinano alla stessa cosa, come le due liste di $\pi$ dell'Esempio 1.2. «Classe di equivalenza» vuol dire che tutte le liste equivalenti tra loro contano come un solo numero. È lo stesso trucco delle frazioni: $\frac{1}{2}$ e $\frac{2}{4}$ sono scritture diverse dello stesso numero.

Nei numeri reali non ci sono più buchi (p. 3)

Con questa costruzione tutti i buchi del righello sono stati riempiti. Le dispense lo riassumono con due idee da tenere in testa.

1. Ogni numero reale si può approssimare con le frazioni, con la precisione che vuoi. Per esempio $3,14159$ è una frazione molto vicina a $\pi$.
2. Se rifacessi tutto il lavoro partendo da liste di numeri reali, invece che di frazioni, non troveresti nessun numero nuovo.

La seconda idea ha un nome preciso: $\mathbb{R}$ è completo.

Come si legge. «Converge» vuol dire «si avvicina sempre di più a un numero preciso». Quindi: ogni lista di numeri reali che si stringe si avvicina a un numero reale. Non punta mai a un buco, perché di buchi non ce ne sono più. In $\mathbb{Q}$ invece i buchi ci sono: la lista di $\pi$ è fatta di frazioni ma non si avvicina a nessuna frazione.

Finora abbiamo solo detto che esistono numeri che non sono frazioni. In questa sezione ne guardiamo uno da vicino e dimostriamo che davvero non lo è.

Da dove viene la radice di 2

$\sqrt{2}$ è il numero positivo che, moltiplicato per sé stesso, dà 2. Nessun intero funziona: $1\cdot 1=1$ è troppo poco, $2\cdot 2=4$ è troppo. Quindi $\sqrt{2}$ sta tra 1 e 2. Le prime cifre sono $1,41421\dots$

Non è un numero inventato: è una lunghezza che si può disegnare. Prendi un quadrato con il lato lungo 1. La sua diagonale è lunga proprio $\sqrt{2}$.

Tutte le famiglie, una dentro l'altra

Le dispense riassumono le quattro famiglie in una riga sola:

Si legge da sinistra a destra: i naturali stanno dentro gli interi, gli interi dentro i razionali, i razionali dentro i reali. Ogni volta c'è il simbolo «strettamente», perché ogni famiglia ha qualcosa in più di quella prima:

• $-1$ è un intero ma non un naturale;
• $\frac{1}{2}$ è un razionale ma non un intero;
• $\sqrt{2}$ è un reale ma non un razionale.

I primi due punti dell'elenco si vedono a occhio. Il terzo no. Come si fa a essere sicuri che nessuna frazione, tra le infinite che esistono, sia uguale a $\sqrt{2}$? Non si possono provare tutte. Serve un ragionamento.

Ragionare per assurdo

Il ragionamento che serve si chiama dimostrazione per assurdo. Funziona come il ragionamento di un detective.

Un detective vuole dimostrare che Mario non era in casa alle otto. Ragiona così: «Facciamo finta che Mario fosse in casa. Allora la telecamera sul portone lo avrebbe ripreso mentre entrava. Ma nel filmato Mario non c'è. È impossibile. Quindi Mario non era in casa.»

I passi sono sempre questi quattro.

1. Fai finta che sia vero il contrario di quello che vuoi dimostrare.
2. Ragioni in modo corretto, un passo alla volta.
3. Arrivi a una cosa impossibile. In matematica si chiama assurdo, oppure contraddizione.
4. Concludi che il punto 1 era sbagliato. Quindi è vero quello che volevi dimostrare.

Per la dimostrazione servono due attrezzi, che trovi nel riquadro qui sotto.

Come si legge. «Non è razionale» vuol dire «non si può scrivere come frazione». Un numero reale che non è razionale si chiama irrazionale.

Ecco la dimostrazione delle dispense, un passo alla volta.

1. Facciamo finta del contrario. Supponiamo che $\sqrt{2}$ sia una frazione: $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, con $a$ e $b$ interi.
2. Scegliamo la frazione ridotta. Se $a$ e $b$ si potessero dividere per lo stesso numero, li dividiamo subito. Quindi possiamo supporre che $\frac{a}{b}$ sia ridotta ai minimi termini. Tieni a mente questo punto: tra poco lo contraddiremo.
3. Eleviamo al quadrato tutti e due i lati. A sinistra $(\sqrt{2}{)}^2=2$. A destra ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}$. Quindi
   $$2=\frac{a^2}{b^2}.$$
4. Togliamo la frazione. Moltiplichiamo tutti e due i lati per $b^2$:
   $$2b^2=a^2.$$
5. $a$ è pari. Il numero $a^2$ è il doppio di $b^2$, quindi è pari. Per il primo attrezzo, anche $a$ è pari. Allora $a$ è il doppio di un intero, che chiamiamo $k$: $a=2k$.
6. Sostituiamo. Al posto di $a$ scriviamo $2k$. Il suo quadrato è $2k\cdot 2k=4k^2$. La riga del passo 4 diventa $2b^2=4k^2$. Dividiamo tutti e due i lati per 2:
   $$b^2=2k^2.$$
7. Anche $b$ è pari. Il numero $b^2$ è il doppio di $k^2$, quindi è pari. Di nuovo per il primo attrezzo, anche $b$ è pari.
8. L'assurdo. $a$ e $b$ sono tutti e due pari, quindi si possono dividere tutti e due per 2. Ma al passo 2 avevamo scelto una frazione ridotta, che non si può più semplificare. Le due cose non possono essere vere insieme.
9. Conclusione. L'ipotesi del passo 1 porta a una cosa impossibile, quindi è sbagliata. $\sqrt{2}$ non è una frazione.

Quando fai un conto usi delle regole senza accorgertene. Per esempio sai che $2+5$ e $5+2$ danno lo stesso risultato.

In questa sezione mettiamo queste regole in fila e diamo loro un nome. Può sembrare un lavoro inutile, ma non lo è. Dalla lezione L05 le stesse regole varranno anche per i vettori, che non sono numeri. Conoscerle per nome servirà lì.

Sui numeri reali ci sono due operazioni: la somma, con il segno $+$, e il prodotto, con il puntino $\cdot$. Le dispense le chiamano operazioni binarie. «Binaria» vuol dire che l'operazione prende due numeri e ne restituisce uno. Da 3 e 4 la somma restituisce 7, il prodotto restituisce 12.

Le nove regole, con i numeri

Controlliamo per intero la regola 3 e la regola 9. Le parentesi dicono quale conto va fatto per primo.

• Regola 3. A sinistra: prima $2+3=5$, poi $1+5=6$. A destra: prima $1+2=3$, poi $3+3=6$. Stesso risultato.
• Regola 9. A sinistra: prima $2+5=7$, poi $3\cdot 7=21$. A destra: $3\cdot 2=6$ e $3\cdot 5=15$, poi $6+15=21$. Stesso risultato.

Ogni regola ha un nome, che ritroverai per tutto il corso.

• Il numero che «non cambia niente» si chiama elemento neutro. È lo 0 per la somma (regola 1) e l'1 per il prodotto (regola 5).
• «L'ordine non conta» è la proprietà commutativa (regole 2 e 6).
• «Puoi cominciare da dove vuoi» è la proprietà associativa (regole 3 e 7).
• La regola 9 è la proprietà distributiva.

Lo zero non ha inverso

Guarda bene la regola 8: vale per ogni numero tranne lo zero.

L'inverso di un numero è quello che, moltiplicato per lui, dà 1. L'inverso di 4 è $\frac{1}{4}$. L'inverso di $\frac{2}{3}$ è $\frac{3}{2}$: basta scambiare sopra e sotto.

E l'inverso di 0? Dovrebbe essere un numero che, moltiplicato per 0, dà 1. Ma qualunque numero moltiplicato per 0 dà 0, mai 1. Quindi quel numero non esiste. È lo stesso divieto di prima: non si divide per zero.

Come lo scrivono le dispense

Ecco le stesse nove regole con le parole e i simboli delle dispense.

Come si legge. C'è un solo simbolo nuovo: $\forall$, una A rovesciata. Si legge «per ogni».

• «$\forall a\in \mathbb{R}$» si legge «per ogni $a$ che appartiene a $\mathbb{R}$». Vuol dire: qualunque numero reale tu metta al posto della lettera $a$.
• La riga 1 dice che $0+a$ e $a+0$ fanno $a$, per ogni numero reale $a$. Se al posto di $a$ metti 7 diventa $0+7=7+0=7$: è la regola 1 della tabella.
• Le righe 4 e 8 parlano di «inverso». Per la somma l'inverso si chiama di solito opposto e si scrive $-a$. Per il prodotto si scrive $a^{-1}$, con un piccolo $-1$ in alto, ed è lo stesso di $\frac{1}{a}$. Per esempio $4^{-1}=\frac{1}{4}$.
• Ogni riga è una delle regole della tabella, scritta con le lettere al posto dei numeri. Le lettere servono a dire che la regola vale per tutti i numeri, non solo per quelli dell'esempio.

Che cos'è un campo

Le nove regole non valgono solo per i numeri reali. Ogni insieme in cui si può sommare e moltiplicare, e in cui valgono tutte e nove, riceve lo stesso nome.

Come si legge. «Campo» è solo un nome. Dice: qui dentro si possono fare le quattro operazioni con le solite regole, senza mai uscire dall'insieme. La somma e la sottrazione funzionano grazie agli opposti. Il prodotto e la divisione funzionano grazie agli inversi.

Le dispense aggiungono due avvisi. Il concetto di campo torna più in dettaglio nella lezione L05. E al posto di $a\cdot b$ si scrive spesso solo $ab$, senza il puntino.

Quali insiemi sono campi?

Per decidere se una famiglia di numeri è un campo bastano quasi sempre due domande. Ogni numero ha il suo opposto dentro la famiglia? Ogni numero diverso da zero ha il suo inverso dentro la famiglia?

Per dire che un insieme non è un campo basta una regola che non funziona, con un esempio. «$\mathbb{Z}$ non è un campo perché 2 non ha inverso in $\mathbb{Z}$» è una risposta completa.

Tra due numeri diversi ce n'è sempre uno più grande.

Disegna una riga e mettici sopra i numeri: lo zero al centro, i positivi a destra, i negativi a sinistra. È la retta dei numeri. Un numero è maggiore di un altro se sta più a destra.

I simboli sono due.

• $a>b$ si legge «$a$ è maggiore di $b$». L'apertura del simbolo guarda verso il numero più grande: $7>4$.
• $a<b$ si legge «$a$ è minore di $b$»: $4<7$.

Con i numeri negativi serve attenzione: $-2>-5$, perché $-2$ sta più a destra di $-5$. Un debito di 2 euro è meglio di un debito di 5.

Un insieme di numeri in cui due numeri diversi si possono sempre confrontare così si chiama ordinato. $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono tutti ordinati.

La regola precisa

Le dispense danno una regola che non ha bisogno del disegno.

Come si legge. Per sapere se $a$ è maggiore di $b$ fai la sottrazione $a-b$. Se il risultato è positivo, cioè maggiore di zero, allora $a>b$.

Due esempi.

• Con 7 e 4: $7-4=3$, che è positivo. Quindi $7>4$.
• Con $-2$ e $-5$: $-2-(-5)=-2+5=3$, che è positivo. Quindi $-2>-5$.

Con questa regola basta sapere quali numeri sono positivi. Le dispense lo dicono famiglia per famiglia.

• In $\mathbb{Z}$ i positivi sono $1,2,3,\dots$
• In $\mathbb{Q}$ una frazione è positiva quando sopra e sotto hanno lo stesso segno. $\frac{3}{4}$ è positiva. Anche $\frac{-3}{-4}$ è positiva, perché meno diviso meno fa più. Invece $\frac{-3}{4}$ è negativa.
• In $\mathbb{R}$ la regola usa le successioni di Cauchy: è nel riquadro qui sotto.

Tre scritture si assomigliano molto e vogliono dire cose diversissime.

Un intervallo è un pezzo della retta dei numeri: tutti i numeri reali tra un punto di partenza e un punto di arrivo. Tra 1 e 2 ci sono $1,5$, $1,01$, $1,999$ e infiniti altri.

I due numeri scritti tra le parentesi si chiamano estremi. La differenza tra tonde e quadre sta tutta lì:

• parentesi tonda: l'estremo è escluso;
• parentesi quadra: l'estremo è incluso.

Anche $(1,2)$ e $[1,2]$ sono insiemi. Ma hanno infiniti elementi, mentre $\{1,2\}$ ne ha due.

Scrivere un insieme con una condizione

C'è un modo molto usato per descrivere un insieme senza elencare gli elementi. Si scrive quale condizione devono rispettare.

Si legge: «l'insieme degli $x$ che appartengono a $\mathbb{R}$ tali che $x$ è maggiore di 1 e minore di 2».

Un pezzo alla volta:

• la lettera $x$ sta per un numero qualsiasi;
• $x\in \mathbb{R}$ dice dove si cercano gli elementi: tra i numeri reali;
• la barretta verticale si legge «tale che». Nelle dispense al suo posto trovi a volte i due punti o il punto e virgola;
• $1<x<2$ è la condizione. È un modo breve per scrivere due cose insieme: $1<x$ e $x<2$.

Questo insieme è proprio l'intervallo aperto. Le dispense scrivono:

Il simbolo $\le$ si legge «minore o uguale». A differenza di $<$, permette anche l'uguale. Per questo nell'intervallo chiuso l'1 e il 2 sono compresi.

La stessa scrittura per un punto

C'è un'ultima complicazione. In questo corso $(1,2)$ si usa anche per una cosa del tutto diversa: un punto del piano, oppure un vettore (lezione L05). In quel caso i due numeri sono le coordinate: 1 passo a destra e 2 passi in su.

Come si capisce quale dei due significati vale? Dal contesto, cioè dalla frase intorno.

• «Il numero $x$ sta in $(1,2)$»: è l'intervallo.
• «Il punto $P=(1,2)$» oppure «il vettore $v=(1,2)$»: è la coppia di coordinate. Qui l'ordine conta: $(1,2)$ e $(2,1)$ sono due punti diversi.

Nelle formule del corso compaiono spesso lettere dell'alfabeto greco. Non hanno niente di speciale: sono altri nomi per i numeri, come $x$ e $y$. Le dispense chiedono di imparare queste nove.

Alcune lettere si scrivono in due modi: $\vartheta$ e $\theta$ sono entrambe theta, $\varphi$ e $\phi$ entrambe fi, $\varrho$ e $\rho$ entrambe ro, $\epsilon$ ed $ϵ$ entrambe epsilon.

Le formule del corso sono frasi scritte in breve.

Ogni simbolo sta al posto di qualche parola. Se rimetti le parole al posto dei simboli, una formula si legge come una frase normale. Le dispense usano questi simboli già dalla prima lezione; il libro di Martelli li spiega nel §1.1 (pp. 4–7).

«Se e solo se» vuol dire che le due frasi sono vere insieme oppure false insieme: dalla prima si ricava la seconda, e dalla seconda la prima.

Una parola cambia tutto

Le parole «per ogni» ed «esiste» si chiamano quantificatori. Vanno lette con attenzione, perché basta cambiare un pezzo della frase per passare da vero a falso.

• «Per ogni numero reale $x$ esiste un numero reale $y$ per cui $2y=x$.» È vera: basta prendere come $y$ la metà di $x$.
• «Per ogni numero intero $x$ esiste un numero intero $y$ per cui $2y=x$.» È falsa: con $x=1$ servirebbe $y=\frac{1}{2}$, che non è un intero.

All'esame la calcolatrice è vietata, e nelle risposte del quiz compaiono spesso le radici.

Le regole sono sei. Valgono per numeri positivi o nulli sotto la radice.

Regola 1: radice per radice

Il prodotto di due radici è la radice del prodotto.

Regola 2: portare fuori un quadrato

Se il numero sotto la radice è un quadrato perfetto moltiplicato per qualcos'altro, il quadrato perfetto «esce» dalla radice.

Esempio con $\sqrt{12}$.

1. Cerca un quadrato perfetto che divide 12. Il 4 va bene: $12=4\cdot 3$.
2. Spezza la radice con la regola 1 letta al contrario: $\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}$.
3. Calcola la radice del quadrato perfetto: $\sqrt{4}=2$.

Risultato: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. La scrittura $2\sqrt{3}$ vuol dire «2 per radice di 3»: tra un numero e una radice il puntino non si scrive.

Regola 3: radice e quadrato si annullano

Il quadrato di una radice restituisce il numero di partenza: $(\sqrt{5}{)}^2=5$. Viene dalla definizione: $\sqrt{5}$ è il numero che, moltiplicato per sé stesso, dà 5.

Al contrario serve attenzione. La radice di un quadrato è sempre positiva: $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$, non $-3$.

Regola 4: si sommano solo radici uguali

Due radici uguali si sommano come le mele: 2 mele più 5 mele fanno 7 mele.

Due radici diverse non si possono unire: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ resta scritto così.

Regola 5: togliere la radice dal numero sotto

Una frazione con una radice sotto si riscrive moltiplicando sopra e sotto per quella radice. Il valore non cambia, perché moltiplicare sopra e sotto per lo stesso numero è come moltiplicare per 1.

Esempio con $\frac{6}{\sqrt{3}}$.

1. Moltiplica sopra e sotto per $\sqrt{3}$. Sopra viene $6\sqrt{3}$. Sotto viene $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$.
2. La frazione è diventata $\frac{6\sqrt{3}}{3}$.
3. Semplifica: 6 diviso 3 fa 2. Risultato: $2\sqrt{3}$.

Regola 6: quando sotto c'è una somma o una differenza

Se sotto c'è una differenza come $\sqrt{2}-1$, si moltiplica sopra e sotto per la stessa espressione con il segno cambiato, cioè $\sqrt{2}+1$.

Esempio con $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.

1. Moltiplica sopra e sotto per $\sqrt{2}+1$. Sopra viene $\sqrt{2}+1$.
2. Sotto viene $(\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2}+1)$. Per il ripasso fa $(\sqrt{2}{)}^2-1^2=2-1=1$.
3. Risultato: $\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1$. La radice sotto è sparita.

Tutte le regole in una tabella, da copiare sul foglio dell'esame.

La prova di Algebra lineare e Geometria (parte 2 di MDAG) è scritta ed è la stessa per i canali A, B e C. Al 30/09/2026 le regole del 2026/27 non sono ancora pubblicate: su Moodle c'è scritto «informazioni seguono». Il riferimento sono quindi le regole del 2025/26, confermate dai testi degli appelli.

Com'è fatta la prova

• 10 domande a risposta multipla. Ognuna ha 5 risposte, da (a) a (e), e una sola è giusta. Ogni domanda vale 1 punto.
• 2 problemi a risposta aperta, divisi in più domande. Ognuno vale 11 punti. Per avere punti parziali bisogna scrivere i passaggi.
• Sbarramento. I problemi vengono corretti solo a chi fa almeno 6 punti su 10 nel quiz.
• Durata: 2 ore. Il massimo è 32 punti, la sufficienza è 18.
• Materiale ammesso: solo un foglio protocollo, oppure due fogli A4 (4 facciate), scritti a mano, con formule, appunti ed esercizi. Niente calcolatrice e niente libri.
• Nel quiz le risposte si segnano con una X, non con un cerchio.

Il voto finale di MDAG è la media delle due prove, Matematica Discreta e Algebra lineare. Si possono sostenere anche in appelli diversi. Attenzione: ripresentarsi a una prova già superata annulla il voto precedente, anche se va peggio. Dettagli e fonti nella scheda del corso.

Che cosa serve di questa lezione

1. Campi. Dalla lezione L05 ogni spazio vettoriale è costruito «su un campo». Saper dire perché $\mathbb{Z}$ non è un campo è una tipica domanda di teoria del quiz.
2. Notazioni. Insiemi, intervalli, punti e vettori con le parentesi giuste. Nei problemi le risposte si scrivono con questa notazione.
3. Conti a mano. Frazioni e radici compaiono in quasi tutte le domande su lunghezze, angoli e distanze. Allenati adesso con gli esercizi 5 e 10.
4. Ragionare per assurdo. Il quiz non chiede dimostrazioni, ma questo modo di ragionare torna spesso nelle dispense.