Numeri complessi I

Alla fine della lezione L01 era rimasta una domanda senza risposta.

La domanda è: quale numero, moltiplicato per sé stesso, dà $-1$? Con i simboli si scrive così:

Si legge «$x$ al quadrato è uguale a meno uno». La lettera $x$ sta al posto del numero che cerchiamo. Il piccolo 2 in alto è il quadrato: vuol dire «moltiplicato per sé stesso». Per esempio $3^2=3\cdot 3=9$, dove il puntino è il segno «per».

Una scrittura così, con un uguale e una lettera da trovare, si chiama equazione. Un numero che, messo al posto della lettera, rende vera l'uguaglianza si chiama soluzione dell'equazione.

Proviamo con i numeri reali

I numeri reali sono tutti i numeri della lezione L01. Il loro insieme si indica con $\mathbb{R}$, che si legge «erre».

Prendiamo qualche numero reale e calcoliamo il suo quadrato.

Guarda l'ultima colonna: non c'è nessun numero negativo. Non è un caso. Dipende dalla regola dei segni.

Nel quadrato il numero è moltiplicato per sé stesso. I due numeri sono uguali, quindi hanno lo stesso segno. Restano tre casi.

• Il numero è positivo: più per più fa più. Il quadrato è positivo.
• Il numero è negativo: meno per meno fa più. Il quadrato è positivo.
• Il numero è zero: il quadrato è zero.

In nessuno dei tre casi il quadrato è negativo. Quindi nessun numero reale, al quadrato, dà $-1$. L'equazione di partenza non ha soluzioni tra i numeri reali.

L'idea: aggiungere un numero

Nella lezione L01 è già successo tre volte. Mancava la risposta a una domanda, e la famiglia dei numeri è stata allargata: dai naturali agli interi, dagli interi alle frazioni, dalle frazioni ai reali. Qui si fa lo stesso, per la quarta volta.

I numeri che nascono così si chiamano numeri complessi. Le dispense li presentano come un ampliamento dei numeri reali, «costruito con lo scopo di ottenere migliori proprietà algebriche».

A parole: una famiglia più grande, che contiene tutti i numeri reali, e in cui più equazioni hanno una soluzione.

A che cosa servono

Il guadagno è grande. Tra i numeri complessi ha una soluzione ogni equazione come quella di partenza, anche quando la $x$ è moltiplicata per sé stessa più di due volte. Questo risultato si chiama teorema fondamentale dell'algebra, e lo trovi nella lezione L04.

È il motivo per cui il corso usa i numeri complessi. Torneranno quando cercherai gli autovalori di una matrice, nelle lezioni L17 e L18. Un autovalore è la soluzione di un'equazione, e a volte tra i numeri reali quella soluzione non c'è.

All'esame i numeri complessi contano da subito. In tutti i 15 appelli dal 2024 al 2026 c'è almeno una domanda del quiz sui numeri complessi o sulle radici di un polinomio. In 11 appelli è la prima domanda. I dettagli sono nella sezione «Verso l'esame».

Il numero nuovo ha bisogno di un nome e di un simbolo.

Si chiama unità immaginaria e si scrive con la lettera $i$. Ha una sola proprietà speciale: moltiplicata per sé stessa dà $-1$.

Si legge «$i$ al quadrato è uguale a meno uno».

Il nome «immaginaria» è rimasto dalla storia: quando fu inventata sembrava un numero finto. Oggi è un numero come gli altri, con cui si fanno conti precisi. Una cosa però è sicura: la $i$ non è un numero reale, perché nessun numero reale ha il quadrato negativo.

Dalla i ai numeri complessi

Con la $i$ si possono fare due cose.

Moltiplicarla per un numero reale. Due volte $i$ si scrive $2i$. Meno cinque volte $i$ si scrive $-5i$. Tra il numero e la lettera il puntino del «per» non si scrive, come in $2\sqrt{3}$ nella lezione L01.

Sommarle un numero reale. Per esempio 3 più $2i$:

Si legge «tre più due $i$». Questo è un numero complesso.

Il segno più tra i due pezzi non si può eseguire. Non c'è modo di fondere il 3 e il $2i$ in un numero solo, come non puoi fondere 3 mele e 2 pere. Il numero resta scritto così, con i suoi due pezzi:

• il pezzo che sta da solo, qui 3;
• il pezzo che moltiplica la $i$, qui 2.

Tutti e due i pezzi sono numeri reali. Quindi un numero complesso è fatto di due numeri reali, più la lettera $i$ che li tiene separati.

Un punto sul foglio a quadretti

Due numeri fanno pensare a un punto su un foglio.

I numeri reali stanno tutti su una riga: la retta dei numeri della lezione L01. Per i numeri complessi una riga non basta, perché ognuno è fatto di due numeri. Serve tutto il foglio.

La regola è questa. Il pezzo che sta da solo dice quanti passi fare a destra. Il pezzo che moltiplica la $i$ dice quanti passi fare in su.

Per esempio, il numero $3+2i$ si raggiunge così: parti dall'origine, fai 3 passi a destra e poi 2 passi in su.

Guarda la figura: il punto colorato è $3+2i$. Il tratto orizzontale segna i 3 passi a destra, quello verticale i 2 passi in su.

Sull'asse orizzontale c'è scritto «Re» e su quello verticale «Im». Sono le prime lettere di «reale» e di «immaginaria»: tra poco vedrai perché.

Questa immagine ti accompagna per tutta la lezione.

Come lo scrivono le dispense

Per parlare di un numero complesso qualsiasi servono due lettere al posto dei due pezzi. Le dispense usano $a$ per il pezzo che sta da solo e $b$ per quello che moltiplica la $i$.

Come si legge.

• $a+bi$ si legge «$a$ più $b$ $i$». La scrittura $bi$ vuol dire «$b$ per $i$».
• Le lettere $a$ e $b$ stanno al posto di due numeri reali. «Arbitrari» vuol dire «qualsiasi»: positivi, negativi, zero, frazioni, radici.
• «Oggetto algebrico» vuol dire: una scrittura con cui si fanno i conti.
• Nel numero $3+2i$ di prima, $a$ vale 3 e $b$ vale 2.
• Sul foglio: $a$ passi a destra e $b$ passi in su. È il punto di coordinate $(a,b)$.

Le dispense danno cinque esempi. Per ognuno cerchiamo i due pezzi.

Il segno meno fa parte del numero $b$. In $4-i$ il pezzo che moltiplica la $i$ è $-1$, non 1.

Quando $b$ è una radice, di solito la $i$ si scrive davanti: $i\sqrt{3}$ al posto di $\sqrt{3}i$. Così non sembra che la $i$ stia sotto la radice.

I nomi dei due pezzi

I due pezzi hanno un nome, che userai per tutta la lezione.

• Il numero $a$, quello che sta da solo, si chiama parte reale.
• Il numero $b$, quello che moltiplica la $i$, si chiama parte immaginaria.

Ecco perché nella figura gli assi sono segnati con «Re» e «Im». Sull'asse orizzontale leggi la parte reale. Su quello verticale leggi la parte immaginaria.

Due casi particolari tornano spesso.

• La parte immaginaria è zero. Il numero è $a+0i$, cioè soltanto $a$: è un numero reale. Quindi ogni numero reale è anche un numero complesso. Sul foglio sta sull'asse orizzontale, perché fa zero passi in su.
• La parte reale è zero. Il numero è $0+bi$, cioè soltanto $bi$. Si chiama immaginario puro. Tre esempi: $23i$, $-i$ e $i\sqrt{2}$. Sul foglio sta sull'asse verticale, perché fa zero passi a destra.

Quando due numeri complessi sono uguali

Due punti del foglio coincidono quando hanno le stesse coordinate: stessi passi a destra, stessi passi in su. Per i numeri complessi vale la stessa cosa.

Due numeri complessi sono uguali quando hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria. Servono tutte e due le cose insieme.

Un esempio. Ti dicono che $x+yi$ è uguale a $3-2i$, dove $x$ e $y$ sono due numeri reali che non conosci. Allora li trovi subito.

• Le parti reali devono essere uguali: $x=3$.
• Le parti immaginarie devono essere uguali: $y=-2$.

Quindi un'uguaglianza tra numeri complessi vale due uguaglianze tra numeri reali. È il trucco che risolve molte equazioni: lo userai negli esercizi 7 e 13.

Nelle dispense questa regola non è scritta a parte: è contenuta nel modo in cui si scrive un numero complesso.

I conti con i numeri complessi si fanno come i conti con una lettera.

Le dispense lo dicono in una riga: i numeri complessi si sommano e si moltiplicano «nel modo usuale, tenendo a mente un'unica nuova relazione», cioè $i^2=-1$.

«Nel modo usuale» vuol dire: tratta la $i$ come una lettera qualsiasi e usa le regole di sempre. L'unica novità arriva nel prodotto. Ogni volta che compare $i^2$, cioè $i$ per $i$, al suo posto scrivi $-1$.

La somma

Pensa ai passi sul foglio. Fai 3 passi a destra e 2 in su. Poi fai ancora 1 passo a destra e 5 in giù. In tutto ti sei spostato di 4 passi a destra e di 3 in giù.

Con i numeri complessi è lo stesso conto. I passi a destra si sommano tra loro: sono le parti reali. I passi in su si sommano tra loro: sono le parti immaginarie.

È come sommare mele e pere: le mele con le mele, le pere con le pere.

Le dispense scrivono la regola della somma con le lettere. Il primo numero è $a+bi$. Per il secondo servono altre due lettere: $c$ per la parte reale e $d$ per la parte immaginaria.

A parole: la parte reale della somma è la somma delle parti reali. La parte immaginaria della somma è la somma delle parti immaginarie.

Il prodotto

Per il prodotto serve una regola di scuola: come si moltiplicano due parentesi.

Ora lo stesso conto con due numeri complessi. Le dispense scelgono questo prodotto.

I passi sono sempre questi tre.

Altri sei prodotti, tutti con lo stesso metodo. Due avvisi sulla scrittura. Un numero o una parentesi attaccati a un'altra parentesi vogliono dire «per»: il puntino si può non scrivere. E una scrittura come $(1+i{)}^2$ vuol dire $(1+i)\cdot (1+i)$: il numero per sé stesso.

Nella prima riga un numero reale moltiplica un numero complesso: basta moltiplicare per 3 tutti e due i pezzi.

L'ultimo prodotto dà un numero reale: la $i$ è sparita. Non è un caso, e lo capirai nella sezione sul modulo.

La formula con le lettere

Le dispense scrivono i tre passi una volta per tutte, con le lettere:

Si legge da sinistra a destra. Prima ci sono i quattro prodotti. Poi, al posto di $i^2$, si scrive $-1$: l'ultimo pezzo cambia segno. Alla fine i pezzi senza la $i$ stanno nella prima parentesi, quelli con la $i$ nella seconda.

Una scrittura come $ac$ vuol dire «$a$ per $c$»: tra due lettere il puntino non si scrive.

Nel prodotto c'è un segno meno che nella somma non c'era. Viene tutto dalla regola della $i$.

Tutti i numeri complessi insieme

L'insieme di tutti i numeri complessi si indica con $\mathbb{C}$, che si legge «ci». È una C con un tratto doppio, come la $\mathbb{R}$ dei numeri reali.

Nella lezione L01 le famiglie dei numeri stavano una dentro l'altra: i naturali $\mathbb{N}$, gli interi $\mathbb{Z}$, i razionali $\mathbb{Q}$ e i reali $\mathbb{R}$. Ora la catena ha un anello in più:

Si legge da sinistra a destra: i naturali stanno dentro gli interi, gli interi dentro i razionali, i razionali dentro i reali, i reali dentro i complessi. Il simbolo $⊊$ vuol dire «è contenuto strettamente in»: la famiglia a destra contiene quella a sinistra, e ha qualcosa in più.

Che cosa ha in più $\mathbb{C}$ rispetto a $\mathbb{R}$? Per esempio la $i$: è un numero complesso, ma non è un numero reale.

I conti tra numeri reali, invece, restano quelli di sempre. Con il metodo nuovo, 2 per 3 fa ancora 6: i pezzi con la $i$ valgono zero e spariscono. In una parola: $\mathbb{C}$ estende $\mathbb{R}$. Aggiunge numeri nuovi senza toccare quelli vecchi.

Che cosa succede se moltiplichi l'unità immaginaria per sé stessa tante volte?

Calcoliamo le potenze di $i$ una alla volta. Ogni potenza è quella di prima, moltiplicata ancora una volta per $i$.

Alla quarta potenza si arriva a 1. Moltiplicare per 1 non cambia niente, quindi dalla quinta potenza in poi tutto ricomincia da capo. I risultati sono sempre gli stessi quattro, nello stesso ordine: $i$, $-1$, $-i$, $1$.

Sul foglio i quattro risultati sono quattro punti intorno all'origine, tutti a un passo di distanza: in alto, a sinistra, in basso, a destra.

Guarda la figura: a ogni moltiplicazione per $i$ si passa al punto successivo, girando in senso antiorario, cioè al contrario delle lancette dell'orologio. Dopo quattro passi il giro è completo e si torna al punto di partenza.

Il metodo: guardare il resto

Per un esponente grande non serve fare tutti i giri. Basta sapere quanti passi avanzano dopo l'ultimo giro completo.

Proviamo con $i^{15}$. Sono quindici $i$ moltiplicate tra loro. Raggruppale a quattro a quattro.

• Vengono 3 gruppi da quattro, e avanzano 3 lettere: è la divisione $15=4\cdot 3+3$.
• Ogni gruppo da quattro è $i^4$, che vale 1. Moltiplicare per 1 non cambia niente.
• Restano le 3 lettere avanzate: $i^3$, che vale $-i$.

Quindi $i^{15}=-i$. Conta solo il resto.

Tre esempi.

La prima potenza serve nell'esercizio 6.

Un aiuto per i numeri grandi: per trovare il resto della divisione per 4 bastano le ultime due cifre. Il motivo è che 100 è un multiplo di 4, quindi le centinaia non lasciano resto. Per 2026 guardi solo 26: siccome $26=4\cdot 6+2$, il resto è 2.

C'è un secondo numero con il quadrato uguale a meno uno

Anche $-i$, al quadrato, dà $-1$. Il conto è questo:

Nel secondo passaggio i due segni meno spariscono, perché meno per meno fa più.

Quindi l'equazione da cui siamo partiti, $x^2=-1$, tra i numeri complessi ha due soluzioni: $i$ e $-i$.

Nei conti delle sezioni precedenti hai usato le regole di sempre senza pensarci.

Hai raccolto i pezzi nell'ordine più comodo. Hai moltiplicato le parentesi un pezzo alla volta. Chi garantisce che con i numeri complessi queste regole valgano ancora? Le dispense lo mettono nero su bianco in una proposizione.

Ricorda (lezione L01). Le regole dei conti sono nove.

• Lo 0 nella somma e l'1 nel prodotto non cambiano niente: sono le regole 1 e 5.
• L'ordine non conta, né nella somma né nel prodotto: regole 2 e 6. Per esempio $2\cdot 5=5\cdot 2$.
• Con tre numeri puoi cominciare da dove vuoi: regole 3 e 7.
• Ogni numero ha un opposto, e sommati fanno 0: regola 4. Per esempio $7+(-7)=0$.
• Ogni numero diverso da 0 ha un inverso, e moltiplicati fanno 1: regola 8. Per esempio $4\cdot \frac{1}{4}=1$.
• Moltiplicare una somma è come moltiplicare i due pezzi e poi sommare: regola 9.

Un insieme di numeri in cui valgono tutte e nove si chiama campo.

Le stesse regole, con i numeri complessi

Proviamo alcune di queste regole con i numeri complessi.

Regola 6: nel prodotto l'ordine non conta. Moltiplica $1+i$ per $2+3i$, e poi $2+3i$ per $1+i$. I quattro prodotti sono gli stessi, in un ordine diverso: $2$, $3i$, $2i$ e $3i^2$, che vale $-3$. Il risultato è $-1+5i$ tutte e due le volte.

Regole 1 e 5: lo zero e l'uno. Lo zero dei numeri complessi è $0+0i$, cioè il solito 0. Sul foglio è l'origine. L'uno è $1+0i$, cioè il solito 1.

Regola 4: l'opposto. L'opposto di un numero complesso si trova cambiando il segno a tutti e due i pezzi. L'opposto di $3+2i$ è $-3-2i$. Controllo: sommandoli, le parti reali danno $3-3=0$ e le parti immaginarie danno $2-2=0$.

Regola 8: l'inverso. È l'unica regola che richiede un conto vero. Quale numero, moltiplicato per $2+i$, dà 1? A occhio non si capisce. Lo troviamo nella sezione sull'inverso e sulla divisione.

Come lo scrivono le dispense

Nella proposizione qui sotto c'è un cambio di lettere a cui fare attenzione. Finora $a$ e $b$ erano i due pezzi di un numero complesso. Qui invece $a$, $b$ e $c$ sono tre numeri complessi interi, ognuno con i suoi due pezzi.

Come si legge.

• Il simbolo $\forall$, una A rovesciata, si legge «per ogni». Il simbolo $\in$ si legge «appartiene a».
• La scrittura $\forall a\in \mathbb{C}$ si legge «per ogni $a$ che appartiene a $\mathbb{C}$». Vuol dire: qualunque numero complesso tu metta al posto della lettera.
• Ogni riga è una delle nove regole dell'elenco di prima, con le lettere al posto dei numeri. «Elemento neutro» è il numero che non cambia niente. «Commutativa» vuol dire che l'ordine non conta. «Associativa» vuol dire che puoi cominciare da dove vuoi. «Distributiva» è la regola 9.
• $-a$ è l'opposto di $a$. La scrittura $a^{-1}$, con un piccolo $-1$ in alto, è l'inverso di $a$: si legge «$a$ alla meno uno».
• $a\ne 0$ si legge «$a$ diverso da zero». Anche tra i numeri complessi lo zero non ha inverso.

Sono le stesse nove righe della Proposizione 1.5 della lezione L01, con $\mathbb{C}$ al posto di $\mathbb{R}$.

Le dispense concludono: «Allora, come $\mathbb{R}$, anche $\mathbb{C}$ è un campo.»

Da qui in poi, quando il corso scrive «un campo $\mathbb{K}$», pensa quasi sempre a uno di questi due: $\mathbb{R}$ oppure $\mathbb{C}$. La lettera $\mathbb{K}$ si legge «kappa», e torna nella lezione L05.

Una lettera sola per un numero complesso

Un'abitudine di scrittura, che da qui in poi useremo sempre. Per non riscrivere ogni volta i due pezzi, a un numero complesso si dà un nome di una sola lettera. Di solito è $z$, che si legge «zeta». Se ne serve un secondo si usa $w$, che si legge «vu doppia».

Per esempio: «prendiamo $z=3+2i$» vuol dire che da lì in poi la lettera $z$ sta al posto di quel numero.

I numeri complessi non si possono mettere in fila

C'è però una cosa che i numeri reali hanno e i numeri complessi no: l'ordine.

Sulla retta dei numeri, tra due numeri diversi ce n'è sempre uno più a destra: è il maggiore (lezione L01). Per esempio $7>4$. Il simbolo $>$ si legge «è maggiore di», e il simbolo rovesciato $<$ si legge «è minore di».

Su un foglio questo non funziona più. Prendi un punto più a destra ma più in basso, e un punto più a sinistra ma più in alto. Quale dei due sarebbe «il maggiore»? Non c'è una risposta sensata.

Le dispense lo scrivono con un punto esclamativo: $\mathbb{C}$ non è ordinato, cioè «non esiste una nozione di maggiore e minore fra numeri complessi». È una differenza rispetto a tutte le famiglie viste prima, perché $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono tutte ordinate.

Il motivo, in una riga delle dispense: in un campo ordinato un quadrato è sempre positivo, ma qui il quadrato di $i$ è $-1$, che è negativo.

I due pezzi di un numero complesso hanno un nome dall'inizio della lezione. Adesso ricevono anche un simbolo.

Prendiamo $z=3+4i$.

• La sua parte reale è 3. Si scrive $\mathrm{Re}(z)=3$ e si legge «la parte reale di zeta è 3».
• La sua parte immaginaria è 4. Si scrive $\mathrm{Im}(z)=4$ e si legge «la parte immaginaria di zeta è 4».

Sono le sigle «Re» e «Im» che hai già visto sugli assi delle figure.

Tutti e due i simboli funzionano come una piccola macchina: entra un numero complesso, esce un numero reale.

Le dispense lo scrivono così.

Come si legge.

• «Sia $z=a+bi$» vuol dire: prendiamo un numero complesso e chiamiamolo $z$.
• «Sono detti rispettivamente» vuol dire: il primo numero, $a$, si chiama parte reale. Il secondo, $b$, si chiama parte immaginaria.
• $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ si legge «erre è contenuto in ci». Vuol dire che ogni numero reale è anche un numero complesso. Il simbolo $\subset$ è quello della lezione L01.
• «Nulla» vuol dire «uguale a zero».
• «Se e solo se» vuol dire che le due cose sono vere insieme oppure false insieme. Qui: un numero complesso è reale esattamente quando la sua parte immaginaria è zero.

Il coniugato: il punto allo specchio

Torna al foglio. Il numero $3+2i$ sta 3 passi a destra e 2 passi in su.

Ora appoggia uno specchio lungo l'asse orizzontale. Nello specchio il punto si vede dall'altra parte: sempre 3 passi a destra, ma 2 passi in giù. È il numero $3-2i$.

Guarda la figura: i due punti stanno uno sopra e uno sotto l'asse orizzontale, alla stessa distanza.

Il punto riflesso si chiama coniugato. Per trovarlo non serve il disegno: basta cambiare il segno davanti alla $i$. La parte reale resta com'è.

Il coniugato di un numero $z$ si scrive con una lineetta sopra: $\bar{z}$. Si legge «zeta coniugato», oppure «zeta segnato». Quando l'espressione è lunga la lineetta copre tutto: $\overline{z+w}$ è il coniugato della somma.

Come si legge. «Coniugio» e «coniugato» sono due nomi della stessa cosa. La formula dice: se un numero ha parte reale $a$ e parte immaginaria $b$, il suo coniugato ha parte reale $a$ e parte immaginaria $-b$. Cambia solo il segno della parte immaginaria.

Qualche esempio, con le due parti e il coniugato.

Guarda l'ultima riga: il numero 7 è uguale al suo coniugato. Sul foglio si capisce perché. Il 7 sta sull'asse orizzontale, cioè proprio sullo specchio, e un punto sullo specchio coincide con il suo riflesso.

Succede per tutti i numeri reali, e solo per loro. Le dispense lo scrivono con i simboli: $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$. La freccia a due punte si legge «se e solo se». Tutta la riga si legge: «zeta appartiene a erre se e solo se zeta è uguale a zeta coniugato».

Il perché, con i conti. Se un numero è uguale al suo coniugato, le due parti immaginarie devono essere uguali: $b=-b$. L'unico numero uguale al suo opposto è lo zero. Quindi la parte immaginaria è zero, e il numero è reale.

Di un punto sul foglio ci si può chiedere quanto è lontano dall'origine.

Prendiamo $3+4i$: 3 passi a destra e 4 passi in su. Camminando lungo i quadretti, i passi sono 7. Ma la distanza si misura in linea retta, lungo la diagonale. Quanto è lunga?

Il tratto a destra, il tratto in su e la diagonale formano un triangolo con un angolo retto. Per un triangolo così c'è il teorema di Pitagora.

Guarda la figura: i due cateti sono lunghi 3 e 4, la diagonale è lunga 5. Quindi il punto $3+4i$ dista 5 dall'origine.

Questa distanza si chiama modulo del numero complesso. Si scrive con due barre verticali: $|z|$, che si legge «modulo di zeta». Per il nostro numero, $|3+4i|=5$.

Il conto si fa sempre con gli stessi quattro passi.

1. Fai il quadrato della parte reale.
2. Fai il quadrato della parte immaginaria.
3. Somma i due quadrati.
4. Fai la radice quadrata della somma.

Ecco i quattro passi su sei numeri.

Nella seconda riga la parte immaginaria è $-1$, e il suo quadrato è 1. Il segno meno sparisce sempre, perché meno per meno fa più.

Quando la somma non è un quadrato perfetto, come 2 oppure 5, la radice resta scritta così: $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$ (lezione L01).

Le dispense scrivono i quattro passi in una formula.

Come si legge. «Il modulo di zeta è la radice quadrata di $a$ al quadrato più $b$ al quadrato.» Sono i quattro passi di prima, scritti con le lettere: $a$ è la parte reale, $b$ è la parte immaginaria. Il risultato è un numero reale e non è mai negativo, perché è una distanza.

Due osservazioni.

Le barre sono quelle del valore assoluto. Nella lezione L01 le due barre indicavano il valore assoluto, cioè il numero senza il segno meno. Non è un caso. Per un numero reale il modulo è proprio il valore assoluto: nella quarta riga della tabella, il modulo di $-5$ è 5. Sulla retta dei numeri è la distanza dallo zero.

Quando il modulo è zero. Le dispense osservano che il modulo è nullo quando $z=0$, ed è «strettamente positivo» in tutti gli altri casi. A parole: l'unico punto a distanza zero dall'origine è l'origine stessa. Con i conti: i due quadrati non sono mai negativi, e la loro somma fa zero solo se sono zero tutti e due.

Un numero per il suo coniugato

Ora mettiamo insieme il coniugato e il modulo. Moltiplichiamo $3+4i$ per il suo coniugato.

Non è una coincidenza. Con qualunque numero complesso succedono le stesse due cose: i pezzi con la $i$ si cancellano, e restano i due quadrati sommati. Le dispense lo scrivono così:

Si legge: «zeta per zeta coniugato è uguale al modulo di zeta, al quadrato». È la formula più usata della lezione.

Ora si capisce anche l'ultima riga della tabella dei sei prodotti. Lì $(1+i)(1-i)$ dava 2. Sono un numero e il suo coniugato, e i due quadrati sommati fanno $1+1=2$.

Manca ancora un'operazione: la divisione.

La regola 8 del campo promette che ogni numero complesso diverso da zero ha un inverso. Ma come si trova? Prendiamo $2+i$. Il suo inverso è «1 diviso $2+i$», cioè la frazione

Così com'è, questa scrittura non dice dove sta il punto sul foglio. Vogliamo riscriverla nella forma solita, con una parte reale e una parte immaginaria. Il problema è la $i$ che sta sotto la linea di frazione.

Nella lezione L01 c'era un problema simile: una radice sotto la linea di frazione. Si risolveva moltiplicando sopra e sotto per un numero scelto bene, che faceva sparire la radice.

Qui si fa lo stesso, e il numero giusto lo conosci già: è il coniugato del numero sotto. Un numero per il suo coniugato dà un numero reale, quindi la $i$ sotto sparisce.

Il metodo funziona con qualunque numero complesso diverso da zero. Le dispense lo scrivono in una formula.

Come si legge.

• $z\ne 0$ si legge «zeta diverso da zero». Lo zero non ha inverso, come tra i numeri reali.
• $z^{-1}$ si legge «zeta alla meno uno». È l'inverso di $z$, cioè il numero che moltiplicato per $z$ dà 1. Si scrive anche $\frac{1}{z}$.
• La formula dice: l'inverso è il coniugato, diviso per il quadrato del modulo.
• Sotto la linea c'è il quadrato del modulo, che è un numero reale e non è zero. Per questo la divisione si fa un pezzo alla volta.

Con le due parti in vista, la stessa formula diventa:

Perché funziona. Le dispense lo controllano moltiplicando il numero per il suo inverso. Deve venire 1:

Nel secondo passaggio si usa la formula della sezione precedente: un numero per il suo coniugato dà il quadrato del modulo. Così sopra e sotto c'è lo stesso numero, e la frazione vale 1.

Un altro inverso, con lo stesso metodo. Il numero $3+4i$ ha coniugato $3-4i$, e il quadrato del suo modulo è $9+16=25$. Quindi il suo inverso è $\frac{3-4i}{25}$, cioè $\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$.

Dividere due numeri complessi

Dividere per un numero vuol dire moltiplicare per il suo inverso. In pratica si usa lo stesso trucco: si moltiplica sopra e sotto per il coniugato del numero sotto.

Equazioni con un numero complesso da trovare

Con la divisione si risolvono le equazioni in cui il numero da trovare è moltiplicato per un numero noto.

Con i numeri complessi si fa nello stesso modo. Prendi questa equazione:

Chiede: quale numero complesso, moltiplicato per $1+2i$, dà $4+3i$? Si divide per $1+2i$ tutti e due i lati:

Questa divisione l'abbiamo appena fatta: viene $z=2-i$.

Fin dall'inizio abbiamo disegnato i numeri complessi come punti di un foglio a quadretti. Adesso quel foglio riceve il suo nome.

Le dispense lo dicono così: mentre i numeri reali formano una retta, i numeri complessi formano un piano, che si chiama piano complesso. Ogni numero complesso $a+bi$ corrisponde al punto di coordinate $(a,b)$ del piano cartesiano.

Anche i due assi hanno un nome.

• L'asse orizzontale si chiama asse reale. È la vecchia retta dei numeri: contiene tutti i numeri reali, cioè i numeri con la parte immaginaria uguale a zero.
• L'asse verticale si chiama asse immaginario. Contiene tutti gli immaginari puri, cioè i numeri del tipo $bi$.

Le dispense usano anche due parole di scuola: l'asse orizzontale è l'asse delle ascisse, quello verticale è l'asse delle ordinate.

Guarda la figura. Il numero $-3$ sta sull'asse reale. Il numero $2i$ sta sull'asse immaginario. Il numero $-2-2i$ sta in basso a sinistra: 2 passi a sinistra e 2 in giù.

Punto oppure freccia

Nella figura il numero $2+i$ è disegnato come una freccia, non come un punto. Per le dispense è la stessa cosa. Un numero complesso si può vedere come un punto, oppure come un vettore «applicato nell'origine» e diretto verso quel punto.

Un vettore è una freccia: parte dall'origine e arriva nel punto. Puoi pensarla come un'istruzione di spostamento: «2 passi a destra e 1 in su». I vettori sono i protagonisti del corso dalla lezione L05 in poi.

Con la freccia il modulo ha un significato ancora più diretto: è la lunghezza della freccia. Le dispense lo fanno notare nella lezione L03.

Coniugato e opposto nel piano

Il coniugato lo conosci già: è il riflesso rispetto all'asse reale. Anche questo le dispense lo dicono nella lezione L03.

L'opposto di un numero si ottiene cambiando il segno a tutti e due i pezzi. L'opposto di $3+2i$ è $-3-2i$: 3 passi a sinistra e 2 in giù. Sul piano sta dall'altra parte dell'origine, alla stessa distanza. È come far fare alla freccia mezzo giro intorno all'origine.

Guarda la figura: la freccia in basso a destra è il coniugato, quella in basso a sinistra è l'opposto. Non confonderli. Il coniugato cambia un segno, l'opposto ne cambia due.

La somma: la regola del parallelogramma

Nella sezione sulla somma abbiamo sommato i passi: quelli a destra tra loro, quelli in su tra loro. Sul piano questo conto diventa un disegno.

Le dispense usano due numeri che chiamano $z_1$ e $z_2$. Si legge «zeta uno» e «zeta due». I numerini in basso servono solo a distinguere il primo numero dal secondo.

Prendiamo $z_1=1+3i$ e $z_2=4+i$. Prima la somma con i conti.

• Parti reali: $1+4=5$.
• Parti immaginarie: $3+1=4$.

Quindi la somma è $5+4i$.

Ora con il disegno. Parti dall'origine e segui la freccia di $z_1$: 1 passo a destra e 3 in su. Da lì fai lo spostamento di $z_2$: 4 passi a destra e 1 in su. Arrivi nel punto $5+4i$.

Se fai prima lo spostamento di $z_2$ e poi quello di $z_1$, arrivi nello stesso punto. È la regola 2: in una somma l'ordine non conta.

I due percorsi disegnano una figura con quattro lati, paralleli a due a due: un parallelogramma. Le sue quattro punte si chiamano vertici. Tre vertici stanno nell'origine, in $z_1$ e in $z_2$. Il quarto vertice è la somma.

Questa costruzione si chiama regola del parallelogramma. È lo stesso modo in cui si sommano i vettori del piano, che ritroverai nella lezione L05.

E il prodotto?

Per le dispense il prodotto di due numeri complessi è «apparentemente più complicato» da disegnare. Si capisce bene solo con le coordinate polari, nella lezione L03.

Un assaggio però si può già dare: moltiplicare per $i$ fa girare il punto di un quarto di giro intorno all'origine, in senso antiorario. Proviamo due volte di seguito, partendo da $2+i$.

Guarda la figura: le tre frecce sono lunghe uguali, e tra una freccia e la successiva c'è un angolo retto, cioè un angolo di 90 gradi. È lo stesso giro che hai visto con le potenze di $i$. Lì il punto di partenza era 1.

Prova con lo strumento

Lo strumento qui sotto mostra queste operazioni sul piano. Ecco che cosa provare.

• Nel modo z + w trascina i due punti $z$ e $w$. Il parallelogramma si aggiorna, e sotto il disegno leggi la somma con le sue due parti.
• Scegli poi il modo coniugato e inverso di z. Vedi il coniugato, specchiato rispetto all'asse reale, e l'inverso, scritto $1/z$. La barra obliqua vuol dire «diviso».
• Trascina $z$ lontano dall'origine e poi vicino. Quando il modulo di $z$ è più grande di 1, l'inverso sta dentro il cerchio di raggio 1. Quando è più piccolo di 1, l'inverso sta fuori. Il motivo è nell'esercizio 8: il modulo dell'inverso è 1 diviso il modulo del numero.

Un tipo di esercizio chiede di disegnare tutti i numeri complessi che rispettano una condizione.

Le dispense non spiegano il metodo, ma lo chiedono nel loro esercizio 2.6, che qui è l'esercizio 9. L'idea è sempre la stessa: tradurre la condizione in una frase sul punto, e poi riconoscere la figura.

L'insieme da disegnare è scritto con le parentesi graffe, come nella lezione L01. Per esempio:

Si legge: «l'insieme dei numeri complessi $z$ per cui la parte reale di $z$ è uguale a 2». Le graffe dicono che è un insieme. La barretta verticale si legge «per cui». Dopo la barretta c'è la condizione.

Cinque condizioni, una alla volta

La parte reale è uguale a 2. La parte reale dice quanti passi a destra. I punti che vanno bene stanno tutti 2 passi a destra dell'origine, a qualunque altezza. Formano una retta verticale.

La parte immaginaria è maggiore di 1. Vanno bene i punti che stanno più in alto dell'altezza 1. Formano un semipiano, cioè una metà del piano: quella sopra la retta orizzontale di altezza 1. La retta è esclusa, perché lì la parte immaginaria è uguale a 1, non maggiore.

Il modulo è uguale a 3. Il modulo è la distanza dall'origine. I punti a distanza 3 dall'origine formano una circonferenza: il centro è l'origine, il raggio è 3.

La distanza dal punto $i$ è al massimo 1. Con i simboli si scrive $|z-i|\le 1$. Il simbolo $\le$ si legge «minore o uguale». Il modulo di una differenza è la distanza tra i due punti. Vanno bene i punti sulla circonferenza di centro $i$ e raggio 1, e anche tutti quelli dentro. La figura piena si chiama disco.

La distanza da 1 è uguale alla distanza da meno 1. Con i simboli si scrive $|z-1|=|z+1|$. Attenzione al secondo modulo: sommare 1 è come sottrarre $-1$, quindi è la distanza dal punto $-1$. I punti che distano ugualmente dai due numeri stanno a metà strada: formano l'asse immaginario.

Il metodo con le coordinate

Quando la figura non si riconosce a occhio, si passa alle coordinate del punto.

Le cinque condizioni di prima, riscritte con il metodo.

L'ultima riga non si indovina a occhio. Controlliamola con i conti.

1. La prima differenza è $z-1=(x-1)+yi$. Il quadrato del suo modulo è $(x-1{)}^2+y^2$.
2. La seconda è $z+1=(x+1)+yi$. Il quadrato del suo modulo è $(x+1{)}^2+y^2$.
3. Due moduli sono uguali quando sono uguali i loro quadrati:
   $$(x-1{)}^2+y^2=(x+1{)}^2+y^2.$$
4. Svolgi i due quadrati. Il primo è $(x-1)(x-1)$, cioè $x^2-2x+1$. Il secondo è $(x+1)(x+1)$, cioè $x^2+2x+1$.
5. Togli da tutti e due i lati i pezzi uguali: $x^2$, $1$ e $y^2$. Resta $-2x=2x$.
6. Togli $2x$ da tutti e due i lati: resta $-4x=0$. Quindi $x=0$.

I punti con $x=0$ fanno zero passi a destra: sono quelli dell'asse immaginario.

Un ultimo esempio in figura: il disco di centro $1+i$ e raggio 2.

La prova in due righe. Il quiz ha 10 domande a risposta multipla: 5 risposte, una sola giusta. Poi ci sono 2 problemi da 11 punti, corretti solo a chi fa almeno 6 punti nel quiz. Si hanno 2 ore, senza calcolatrice, con 4 facciate di appunti scritti a mano. Gli appelli 2026/27 di Algebra lineare sono il 22/01/2027 e il 05/02/2027, alle 14:00. Le regole complete e le fonti sono nella lezione L01.

I numeri complessi negli appelli. In ognuno dei 15 appelli dal 24/01/2024 al 07/09/2026 c'è almeno una domanda del quiz sui numeri complessi o sulle radici di un polinomio. In 11 appelli su 15 è la domanda 1. Le domande si dividono così tra le lezioni L02, L03 e L04.

Anche le domande delle lezioni L03 e L04 finiscono quasi sempre con i conti di questa lezione: un prodotto, un inverso, una divisione.