Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L03

Numeri complessi II

Un altro modo di dire dove sta un numero complesso: invece di «quanto a destra e quanto in su», una distanza e una direzione. Scritti così, i prodotti diventano giri e allungamenti, e le potenze alte e le radici si calcolano in poche righe, senza calcolatrice. È l'argomento della domanda sui numeri complessi in quasi due appelli su tre.

Dispense: lezione 3 · pp. 10–14
Libro: Martelli, §1.4.4–1.4.6 (pp. 27–31)
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare
Ripasso

La lezione in 6 punti

Un punto del piano si può indicare in due modi: «3 passi a destra e 4 in su», oppure «guarda in quella direzione e fai 5 passi». Il secondo modo usa una distanza e un angolo: sono le coordinate polari.
Un numero complesso scritto con distanza e angolo è in forma polare. La distanza si chiama modulo, l'angolo si chiama argomento.
Le dispense usano un'abbreviazione: $e^{i ϑ}$ vuol dire «il punto sul cerchio di raggio 1 all'angolo $ϑ$ ».
Per moltiplicare due numeri complessi in forma polare: le distanze si moltiplicano, gli angoli si sommano. Moltiplicare per $i$ vuol dire girare di un quarto di giro.
Una potenza è un prodotto ripetuto: la distanza si eleva, l'angolo si moltiplica. Le radici $n$ -esime di un numero sono sempre $n$ punti, messi in cerchio a distanze uguali.
All'esame: potenze alte, prodotti in forma polare e radici sono stati la domanda sui complessi in 9 appelli su 15 dal 2024 al 2026.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Ripasso: angoli, seno e coseno

oltre le dispense

Le dispense usano angoli, seno e coseno senza spiegarli: li danno per noti dalla scuola. Qui c'è tutto quello che serve per questa lezione, e niente di più. Se li ricordi bene, salta alla sezione dopo.

Gli angoli in radianti

Immagina una pista circolare con il raggio lungo 1 metro. Parti da un punto e cammini lungo la pista. Quanta strada fai in un giro completo?

La lunghezza di una circonferenza è $2 π$ volte il raggio. Qui il raggio è 1, quindi un giro completo è lungo $2 π$ metri, circa 6,28.

Ripasso · il numero $π$

$π$ si legge «pi greco». È il numero che dice quante volte il diametro di un cerchio ci sta nella sua circonferenza: circa $3, 14$ . Una circonferenza di raggio $r$ è lunga $2 π r$ .

L'idea dei radianti è misurare un angolo con la strada fatta sulla pista:

un giro intero è lungo $2 π$ , quindi l'angolo giro misura $2 π$ ;
mezzo giro è lungo la metà, $π$ , quindi l'angolo piatto misura $π$ ;
un quarto di giro, cioè l'angolo retto, misura $\frac{π}{2}$ .

I gradi e i radianti sono due unità di misura per la stessa cosa, come i chilometri e le miglia. La regola per passare dagli uni agli altri: $180°$ corrisponde a $π$ . Quindi un grado vale $\frac{π}{180}$ , e per passare da gradi a radianti si moltiplica per $\frac{π}{180}$ .

Un esempio: $60°$ .

$60 \cdot \frac{π}{180} = \frac{60 π}{180}$ .
Semplifico dividendo sopra e sotto per 60: $\frac{60 π}{180} = \frac{π}{3}$ .

Quindi $60°$ è $\frac{π}{3}$ radianti. Ecco la tabella degli angoli che servono:

Gradi	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$	$270°$	$360°$
Radianti	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$

Gli angoli si misurano partendo dalla semiretta orizzontale verso destra e girando in senso antiorario, cioè al contrario delle lancette dell'orologio. Un angolo negativo gira nel senso delle lancette. Per esempio $- \frac{π}{2}$ è un quarto di giro verso il basso: porta nello stesso punto di $\frac{3 π}{2}$ , tre quarti di giro verso l'alto.

Per gli angoli si usa spesso una lettera greca: $ϑ$ , che si legge «teta». A volte anche $φ$ , «fi», e $α$ , «alfa».

Prova tu

Quanto vale in radianti l'angolo di

45°

? E l'angolo di

270°

$45 \cdot \frac{π}{180} = \frac{45 π}{180} = \frac{π}{4}$ , dividendo sopra e sotto per 45.

$270 \cdot \frac{π}{180} = \frac{270 π}{180} = \frac{3 π}{2}$ , dividendo sopra e sotto per 90. Sono tre quarti di giro.

Seno e coseno sul cerchio

Torna sulla pista. Mettila su un foglio a quadretti, con il centro nell'origine degli assi. La pista è la circonferenza unitaria: il cerchio con centro nell'origine e raggio 1.

Parti dal punto $(1, 0)$ , quello più a destra, e cammina in senso antiorario per un angolo $ϑ$ . Ti fermi in un punto della pista. Quel punto ha due coordinate:

la prima (quanto sei a destra) si chiama coseno di $ϑ$ , e si scrive $cos ϑ$ ;
la seconda (quanto sei in alto) si chiama seno di $ϑ$ , e si scrive $sin ϑ$ .

il punto all’angolo ϑ \overset{e}{ˋ} (cos ϑ, sin ϑ) .

Questa è la definizione di seno e coseno, e tutte le regole che seguono si leggono sul disegno. Nella figura l'angolo è $\frac{π}{3}$ : il punto è a destra di $\frac{1}{2}$ e in alto di $\frac{3}{2}$ .

0,250,50,7511,250,250,50,751

x

y

0

\frac{π}{6}

\frac{π}{4}

\frac{π}{3}

\frac{π}{2}

ϑ

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

Sulla circonferenza unitaria il punto di angolo

ϑ

(cos ϑ, sin ϑ)

; qui

ϑ = \frac{π}{3}

cos ϑ = \frac{1}{2}

sin ϑ = \frac{3}{2}

I valori da sapere sono questi. All'esame non c'è la calcolatrice, quindi conviene metterli sul foglio delle 4 facciate.

$ϑ$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$cos ϑ$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$0$
$sin ϑ$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$	$- 1$

Un modo per ricordare la tabella: da $0$ a $\frac{π}{2}$ il seno vale $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ . Il coseno fa lo stesso al contrario.

Gli altri tre quarti del cerchio

Il cerchio si divide in quattro parti uguali, i quadranti. Negli altri tre quadranti i numeri sono gli stessi della tabella; cambiano solo i segni. Basta guardare dove sta il punto:

Quadrante	Angoli	Il punto è…	Coseno	Seno
primo	da $0$ a $\frac{π}{2}$	in alto a destra	$+$	$+$
secondo	da $\frac{π}{2}$ a $π$	in alto a sinistra	$-$	$+$
terzo	da $π$ a $\frac{3 π}{2}$	in basso a sinistra	$-$	$-$
quarto	da $\frac{3 π}{2}$ a $2 π$	in basso a destra	$+$	$-$

Tre esempi:

$\frac{2 π}{3}$ è $π - \frac{π}{3}$ : mezzo giro meno un sesto di giro. Sta nel secondo quadrante. Quindi $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ e $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ .
$\frac{5 π}{4}$ è $π + \frac{π}{4}$ . Sta nel terzo quadrante. Quindi $cos \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}$ e anche $sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}$ .
$\frac{5 π}{3}$ è $2 π - \frac{π}{3}$ : un giro meno un sesto di giro. Sta nel quarto quadrante. Quindi $cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}$ e $sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}$ .

Le regole che servono

Le prime quattro si leggono sul disegno.

Regola	Perché è vera	Esempio
$cos^{2} ϑ + sin^{2} ϑ = 1$	il punto è a distanza 1 dall'origine (Pitagora)	$(\frac{1}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
$cos (- ϑ) = cos ϑ$ , $sin (- ϑ) = - sin ϑ$	girare all'indietro dà il punto riflesso rispetto all'asse orizzontale	$sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$
$cos (ϑ + 2 π) = cos ϑ$ , $sin (ϑ + 2 π) = sin ϑ$	un giro in più riporta nello stesso punto	$cos \frac{7 π}{3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
$cos (ϑ + π) = - cos ϑ$ , $sin (ϑ + π) = - sin ϑ$	mezzo giro in più porta nel punto opposto	$cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}$

La scrittura $cos^{2} ϑ$ vuol dire $(cos ϑ)^{2}$ , cioè il coseno moltiplicato per sé stesso.

Le ultime due sono le formule di addizione. Non si leggono sul disegno e vanno ricordate: servono solo per capire da dove viene la regola del prodotto, più avanti.

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β,

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .

Prova tu

Quanto valgono

cos \frac{3 π}{4}

sin \frac{3 π}{4}

$\frac{3 π}{4} = π - \frac{π}{4}$ : tre quarti di mezzo giro, nel secondo quadrante. Lì il coseno è negativo e il seno positivo. Quindi $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}$ e $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ .

Da ricordare

Un giro intero è $2 π$ radianti, mezzo giro è $π$ , un quarto di giro è $\frac{π}{2}$ .
Il punto della circonferenza di raggio 1 all'angolo $ϑ$ è $(cos ϑ, sin ϑ)$ .
Negli altri quadranti i valori della tabella restano gli stessi; cambiano i segni.

§2

Due modi per dire dove sta un punto

pp. 10–11

Sei in una piazza e devi spiegare a un amico dove trovarti. Puoi dirlo in due modi:

«da dove sei, fai 3 passi verso est e 4 verso nord»;
«guarda in quella direzione e fai 5 passi dritto».

Il primo modo sono le coordinate cartesiane della lezione L02: quanto ti sposti in orizzontale, quanto in verticale. Il secondo usa una direzione e una distanza.

Perché proprio 5 passi? Gli spostamenti di 3 e di 4 sono i due lati di un triangolo rettangolo, e la strada dritta è il terzo lato. Per Pitagora la sua lunghezza è $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Il nome e i simboli

Il secondo modo si chiama coordinate polari. Un punto diverso dall'origine si descrive con due numeri:

$r$ , la distanza dall'origine: quanto è lunga la freccia che va dall'origine al punto;
$ϑ$ , l'angolo tra quella freccia e la semiretta orizzontale verso destra, misurato in senso antiorario.

Un esempio con un angolo della tabella. Il punto $(1, 3)$ sta 1 a destra e $3$ (circa 1,73) in su.

La distanza, con Pitagora: $r = 1^{2} + (3)^{2} = 1 + 3 = 4 = 2$ .
Per l'angolo divido le due coordinate per la distanza. Ottengo il punto sulla circonferenza di raggio 1 nella stessa direzione: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ .
Nella tabella, $\frac{1}{2}$ e $\frac{3}{2}$ sono il coseno e il seno di $\frac{π}{3}$ . Quindi $ϑ = \frac{π}{3}$ .

Le coordinate polari del punto sono $(r, ϑ) = (2, \frac{π}{3})$ : «guarda a $60°$ e fai 2 passi».

121

Re

Im

1 + i 3

r = 2

ϑ = \frac{π}{3}

x = 1

y = 3

Coordinate polari del punto

1 + i 3

: distanza

r = 2

dall'origine e angolo

ϑ = \frac{π}{3}

con l'asse reale

Guarda la figura: la freccia lunga 2 e l'arco dell'angolo. Le scritte sugli assi, $Re$ e $Im$ , ricordano che l'asse orizzontale è quello dei numeri reali e l'asse verticale quello dei numeri immaginari (lezione L02).

Andare e tornare

Dalle coordinate polari si torna a quelle cartesiane così. Il punto sulla circonferenza di raggio 1 all'angolo $ϑ$ è $(cos ϑ, sin ϑ)$ . Il nostro punto è nella stessa direzione ma $r$ volte più lontano. Quindi basta moltiplicare tutte e due le coordinate per $r$ :

x = r cos ϑ, y = r sin ϑ .

Con il punto di prima: $x = 2 \cdot cos \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ e $y = 2 \cdot sin \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$ . Torna $(1, 3)$ .

Le dispense lo scrivono così.

Definizione 3.1 · Coordinate polari

Un punto $(x, y)$ del piano diverso dall'origine si può identificare con la lunghezza $r$ del vettore corrispondente e l'angolo $ϑ$ formato dal vettore con l'asse reale. Le coordinate polari del punto sono la coppia $(r, ϑ)$ . Per passare dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane $(x, y)$ basta usare le formule

x = r cos ϑ, y = r sin ϑ .

Viceversa,

r = x^{2} + y^{2}, cos ϑ = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}, sin ϑ = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} .

Come si legge.

«Diverso dall'origine»: per il punto $(0, 0)$ la distanza è 0, e l'angolo non ha senso. Per questo l'origine è esclusa.
«Il vettore corrispondente» è la freccia dall'origine al punto. $r$ è la sua lunghezza, quindi è sempre un numero positivo.
La prima coppia di formule va dalle polari alle cartesiane: è il conto che hai appena fatto.
La seconda va al contrario. $r$ si trova con Pitagora. Poi coseno e seno sono le coordinate divise per $r$ : è il passo 2 dell'esempio.
L'angolo non è uno solo. $ϑ$ e $ϑ + 2 π$ indicano la stessa direzione, perché un giro in più riporta nello stesso posto. Ci torniamo più avanti.

Due esempi per ogni verso

Esempio · Da polari a cartesiane

$(r, ϑ) = (2, \frac{π}{6})$ . Dalla tabella $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ e $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ . Quindi $x = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$ e $y = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ . Il punto è $(3, 1)$ .
$(r, ϑ) = (4, \frac{3 π}{4})$ . L'angolo è nel secondo quadrante: $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}$ e $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ . Quindi $x = 4 \cdot (- \frac{2}{2}) = - 22$ e $y = 4 \cdot \frac{2}{2} = 22$ .
$(r, ϑ) = (3, π)$ . Mezzo giro: $cos π = - 1$ e $sin π = 0$ . Quindi $x = 3 \cdot (- 1) = - 3$ e $y = 3 \cdot 0 = 0$ . Il punto $(- 3, 0)$ sta sulla semiretta orizzontale verso sinistra.

Esempio · Da cartesiane a polari

$(1, 1)$ . La distanza: $r = 1 + 1 = 2$ . Coseno e seno: $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ tutti e due. Nella tabella è l'angolo $\frac{π}{4}$ .
$(- 3, 1)$ . La distanza: $r = 3 + 1 = 2$ . Coseno $- \frac{3}{2}$ , seno $\frac{1}{2}$ . Coseno negativo e seno positivo: il punto è in alto a sinistra, nel secondo quadrante. Senza segni, i valori $\frac{3}{2}$ e $\frac{1}{2}$ sono quelli di $\frac{π}{6}$ . Nel secondo quadrante l'angolo diventa $π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ .
$(0, - 2)$ . La distanza è 2. Coseno 0, seno $- 1$ : il punto è dritto verso il basso, a tre quarti di giro. L'angolo è $\frac{3 π}{2}$ , oppure $- \frac{π}{2}$ girando all'indietro.
$(1, - 3)$ . La distanza è $1 + 3 = 2$ . Coseno $\frac{1}{2}$ , seno $- \frac{3}{2}$ : quarto quadrante. L'angolo è $- \frac{π}{3}$ , oppure $\frac{5 π}{3}$ .

Metodo · Trovare le coordinate polari di un punto

Calcola la distanza: radice della somma dei quadrati delle due coordinate.
Dividi le due coordinate per la distanza: ottieni il coseno e il seno dell'angolo.
Guarda i segni di coseno e seno: ti dicono il quadrante.
Cerca nella tabella l'angolo del primo quadrante con gli stessi valori senza segno. Chiamalo $α$ . Portalo nel quadrante giusto: $π - α$ nel secondo, $π + α$ nel terzo, $- α$ nel quarto.
Controllo: distanza per coseno e distanza per seno devono ridare le coordinate di partenza.

Prova tu

Trova le coordinate polari del punto

(0, 3)

e del punto

(- 2, 0)

$(0, 3)$ : distanza 3. È dritto verso l'alto, a un quarto di giro: $ϑ = \frac{π}{2}$ . Coordinate polari $(3, \frac{π}{2})$ .

$(- 2, 0)$ : distanza 2. È dritto verso sinistra, a mezzo giro: $ϑ = π$ . Coordinate polari $(2, π)$ .

Trappola · Il coseno da solo non basta per l'angolo

I punti $(1, 3)$ e $(1, - 3)$ hanno lo stesso coseno, $\frac{1}{2}$ . Ma il primo è in alto, all'angolo $\frac{π}{3}$ , e il secondo in basso, all'angolo $- \frac{π}{3}$ . Anche il rapporto $\frac{y}{x}$ inganna: $(1, 1)$ e $(- 1, - 1)$ danno tutti e due 1, ma gli angoli sono $\frac{π}{4}$ e $\frac{5 π}{4}$ . Chi usa solo la tangente $tan ϑ = \frac{y}{x}$ , o l'arcotangente della calcolatrice (che all'esame comunque non c'è), sbaglia quadrante. Guarda sempre coseno e seno, oppure fai il disegno.

Da ricordare

Le coordinate polari di un punto sono la distanza $r$ dall'origine e l'angolo $ϑ$ .
Dalle polari alle cartesiane: $x = r cos ϑ$ e $y = r sin ϑ$ .
Per l'angolo guarda insieme il segno del coseno e quello del seno.

§3

Un numero complesso con distanza e angolo

pp. 10–11

Nella lezione L02 ogni numero complesso era un punto del piano a quadretti: la parte reale diceva quanto andare a destra, la parte immaginaria quanto andare in su. Adesso quel punto lo sappiamo dire anche con una distanza e un angolo. Che cosa diventa il numero?

Prendi $1 + i 3$ : è il punto $(1, 3)$ della sezione di prima, a distanza 2 e all'angolo $\frac{π}{3}$ . Al posto di 1 e di $3$ scrivo $2 cos \frac{π}{3}$ e $2 sin \frac{π}{3}$ :

1 + i 3 = 2 cos \frac{π}{3} + i \cdot 2 sin \frac{π}{3} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) .

Nell'ultimo passo ho raccolto il 2. Fuori dalla parentesi c'è la distanza; dentro c'è il punto del cerchio di raggio 1 nella direzione giusta.

Con un numero qualsiasi $z = x + y i$ , a distanza $r$ e all'angolo $ϑ$ , il conto è lo stesso:

z = x + y i = r cos ϑ + (r sin ϑ) i = r (cos ϑ + i sin ϑ) .

Questa scrittura si chiama forma trigonometrica di $z$ . Negli appelli compare spesso così, per esempio $z = 2 cos \frac{π}{4} + 2 i sin \frac{π}{4}$ .

Le dispense notano subito una cosa: la distanza $r$ è il modulo di $z$ della lezione L02, quello che si scrive $∣ z ∣$ e si legge «modulo di zeta».

∣ z ∣ = x^{2} + y^{2} = r .

Il coniugato

Ricorda dalla lezione L02: il coniugato di $z = x + y i$ è $\overset{z}{ˉ} = x - y i$ , e si legge «zeta segnato». Nel disegno è il punto riflesso nello specchio dell'asse orizzontale.

Con distanza e angolo: lo specchio non cambia la distanza, ma l'angolo cambia segno. Se $z$ è all'angolo $ϑ$ , il riflesso è all'angolo $- ϑ$ . Il conto conferma, con le regole del ripasso ( $cos (- ϑ) = cos ϑ$ e $sin (- ϑ) = - sin ϑ$ ):

r (cos (- ϑ) + i sin (- ϑ)) = r (cos ϑ - i sin ϑ) = x - y i .

L'abbreviazione $e^{i ϑ}$

Scrivere ogni volta $cos ϑ + i sin ϑ$ è lungo. Le dispense usano un'abbreviazione:

e^{i ϑ} = cos ϑ + i sin ϑ .

Si legge «e alla i teta». Per questo corso è solo un simbolo: un modo breve di scrivere «il punto della circonferenza di raggio 1 all'angolo $ϑ$ ». Non c'è da calcolare nessuna potenza.

Con l'abbreviazione, ogni numero complesso diverso da zero si scrive con la sua distanza e il suo angolo:

z = r e^{i ϑ} .

Per esempio $1 + i 3 = 2 e^{iπ /3}$ . La scrittura $e^{iπ /3}$ è lo stesso di $e^{i \frac{π}{3}}$ : la barra dentro l'esponente è una frazione.

Le dispense lo scrivono così.

Definizione · Forma polare, modulo e argomento (pp. 10–11)

Si scrive

e^{i ϑ} = cos ϑ + i sin ϑ .

In questo modo ogni numero complesso $z \neq = 0$ si scrive come

z = r e^{i ϑ} .

Il numero $r = ∣ z ∣$ è il modulo di $z$ e l'angolo $ϑ$ è detto argomento (o fase) di $z$ .

Come si legge.

La prima riga è l'abbreviazione: $e^{i ϑ}$ vuol dire esattamente $cos ϑ + i sin ϑ$ , niente di più. Le dispense la chiamano «misteriosa esponenziale complessa».
$z \neq = 0$ si legge «zeta diverso da zero». Lo zero ha distanza 0 e nessun angolo, quindi non si scrive così.
$z = r e^{i ϑ}$ si chiama forma polare di $z$ .
Il modulo è la distanza dall'origine. L'argomento, o fase, è l'angolo.

Due cose da tenere a mente:

$e^{i ϑ}$ ha sempre modulo 1, perché è un punto della circonferenza di raggio 1. Moltiplicarlo per $r$ allunga la freccia fino a lunghezza $r$ .
Nella forma polare $r$ deve essere positivo. Una scrittura come $- 2 e^{iπ /4}$ indica un numero complesso, ma non è una forma polare: lo vediamo nella trappola qui sotto.

Approfondimento · perché proprio la lettera

e

Le dispense spiegano che il motivo vero sta nelle rappresentazioni di $e^{x}$ , $sin x$ e $cos x$ come serie di potenze, che vedrai in Analisi:

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots

cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots

Metti $i ϑ$ al posto di $x$ nella prima serie e usa $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ . I termini di posto pari danno la serie del coseno. Quelli di posto dispari danno $i$ volte la serie del seno. Quindi $e^{i ϑ} = cos ϑ + i sin ϑ$ . Per il corso basta l'abbreviazione. Il nome è azzeccato perché $e^{i ϑ}$ si comporta come una potenza: è la Proposizione 3.2, nella prossima sezione.

I numeri da riconoscere a colpo d'occhio

Numero	Modulo	Argomento	Forma polare
$1$	$1$	$0$	$e^{0} = e^{i \cdot 0}$
$i$	$1$	$\frac{π}{2}$	$e^{iπ /2}$
$- 1$	$1$	$π$	$e^{iπ}$
$- i$	$1$	$\frac{3 π}{2}$ (o $- \frac{π}{2}$ )	$e^{3 π i /2}$
$1 + i$	$2$	$\frac{π}{4}$	$2 e^{iπ /4}$
$1 - i$	$2$	$- \frac{π}{4}$ (o $\frac{7 π}{4}$ )	$2 e^{- iπ /4}$
$- 1 + i$	$2$	$\frac{3 π}{4}$	$2 e^{3 π i /4}$
$3 + i$	$2$	$\frac{π}{6}$	$2 e^{iπ /6}$
$1 + i 3$	$2$	$\frac{π}{3}$	$2 e^{iπ /3}$
$- 3 + i$	$2$	$\frac{5 π}{6}$	$2 e^{5 π i /6}$
$- 2$	$2$	$π$	$2 e^{iπ}$
$3 i$	$3$	$\frac{π}{2}$	$3 e^{iπ /2}$

Un trucco. Se il modulo è 1, le due parti del numero sono già il coseno e il seno. Per esempio $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ : coseno $\frac{3}{2}$ e seno $- \frac{1}{2}$ , quarto quadrante, angolo $- \frac{π}{6}$ . Se il modulo non è 1, prima lo raccogli:

3 + i = 2 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = 2 e^{iπ /6} .

Esempio · Dalla forma polare alla forma $a + bi$

$2 e^{2 π i /3}$ : l'angolo $\frac{2 π}{3}$ è nel secondo quadrante, con coseno $- \frac{1}{2}$ e seno $\frac{3}{2}$ . Quindi

2 e^{2 π i /3} = 2 (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = - 1 + i 3 .

$2 e^{- 3 π i /4}$ : l'angolo $- \frac{3 π}{4}$ porta nel terzo quadrante, con coseno e seno uguali a $- \frac{2}{2}$ . Quindi

2 e^{- 3 π i /4} = 2 (- \frac{2}{2} - \frac{2}{2} i) = - 1 - i .

Qui $2 \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ .

Prova tu

Scrivi

- 5

2 i

in forma polare. Poi scrivi

4 e^{iπ}

nella forma

a + bi

$- 5$ è a distanza 5, dritto verso sinistra: $5 e^{iπ}$ .

$2 i$ è a distanza 2, dritto verso l'alto: $2 e^{iπ /2}$ .

$4 e^{iπ} = 4 (cos π + i sin π) = 4 \cdot (- 1 + 0 i) = - 4$ .

Trappola · Il modulo non può essere negativo

$- 6 e^{3 π i /4}$ è un numero complesso, ma non è scritto in forma polare: il numero davanti deve essere il modulo, che è positivo. Si sistema portando il segno meno dentro l'angolo. Il numero $- 1$ è mezzo giro, cioè $- 1 = e^{iπ}$ , e gli angoli si sommano (prossima sezione):

- 6 e^{3 π i /4} = 6 e^{iπ} e^{3 π i /4} = 6 e^{7 π i /4} .

L'appello del 16/01/2025 (domanda 1) chiedeva un prodotto «in coordinate polari», e tra le risposte c'erano sia $6 e^{7 π i /4}$ sia $- 6 e^{3 π i /4}$ : solo la prima è una forma polare.

Da ricordare

Forma polare: $z = r e^{i ϑ}$ , con $r$ positivo (il modulo) e $ϑ$ l'angolo (l'argomento).
$e^{i ϑ}$ è un'abbreviazione di $cos ϑ + i sin ϑ$ , un punto del cerchio di raggio 1.
Il coniugato ha lo stesso modulo e l'angolo cambiato di segno.

§4

Moltiplicare vuol dire girare e allungare

p. 11

Nella lezione L02 hai visto che una moltiplicazione può far girare un punto attorno all'origine. Moltiplicare per $i$ fa fare un quarto di giro: il numero 1 diventa $i$ , cioè passa da destra a in alto; poi $i$ diventa $- 1$ , da in alto a sinistra. Moltiplicare per 2, invece, raddoppia la distanza senza girare niente.

Che cosa succede con un numero qualsiasi? Prova con $(1 + i) \cdot (1 + i)$ .

In forma $a + bi$ , come nella lezione L02: $(1 + i) (1 + i) = 1 + i + i + i^{2} = 1 + 2 i - 1 = 2 i$ .
Ora guardo distanze e angoli. $1 + i$ è a distanza $2$ e all'angolo $\frac{π}{4}$ . Il risultato $2 i$ è a distanza 2 e all'angolo $\frac{π}{2}$ .
Le distanze: $2 \cdot 2 = 2$ . Si sono moltiplicate.
Gli angoli: $\frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ . Si sono sommati.

Non è un caso. Vale sempre, ed è la regola più importante di questa lezione.

L'idea · la regola del prodotto

Quando moltiplichi due numeri complessi, le distanze si moltiplicano e gli angoli si sommano. Moltiplicare per un numero $w$ vuol dire: girare dell'angolo di $w$ e allungare quanto il modulo di $w$ .

Perché è vera

Tutto viene da una proprietà dell'abbreviazione $e^{i ϑ}$ . Le dispense la scrivono così.

Proposizione 3.2

Vale la relazione

e^{i (ϑ + φ)} = e^{i ϑ} \cdot e^{i φ} .

Come si legge. A sinistra c'è il punto del cerchio all'angolo $ϑ + φ$ , cioè la somma dei due angoli. A destra c'è il prodotto dei punti agli angoli $ϑ$ e $φ$ . La proposizione dice che sono lo stesso numero: moltiplicare due punti del cerchio di raggio 1 vuol dire sommare i loro angoli. È la stessa regola delle potenze, come $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{3 + 4}$ : per questo l'abbreviazione usa la lettera $e$ con l'esponente.

Un controllo con i numeri, con due quarti di giro: $e^{iπ /2} \cdot e^{iπ /2} = i \cdot i = - 1$ , e $e^{i (π /2 + π /2)} = e^{iπ} = - 1$ . Torna.

Dimostrazione · della Proposizione 3.2

Le dispense dicono che la relazione segue dalle formule di addizione del ripasso. Il conto completo:

Scrivo il prodotto a destra con la definizione: $e^{i ϑ} \cdot e^{i φ} = (cos ϑ + i sin ϑ) (cos φ + i sin φ)$ .
Moltiplico ogni pezzo della prima parentesi per ogni pezzo della seconda, come nella lezione L02, e uso $i^{2} = - 1$ :
$= (cos ϑ cos φ - sin ϑ sin φ) + i (sin ϑ cos φ + cos ϑ sin φ) .$
La prima parentesi è la formula di addizione del coseno: vale $cos (ϑ + φ)$ . La seconda è quella del seno: vale $sin (ϑ + φ)$ .
Quindi il prodotto è $cos (ϑ + φ) + i sin (ϑ + φ)$ , che per definizione è $e^{i (ϑ + φ)}$ . $□$

Ora i numeri con distanza qualsiasi. Prendi due numeri in forma polare:

z_{1} = r_{1} e^{i ϑ_{1}}, z_{2} = r_{2} e^{i ϑ_{2}} .

I numerini in basso servono solo a distinguerli: $r_{1}$ è la distanza del primo, $r_{2}$ quella del secondo, e così gli angoli. Nel prodotto metto vicini i due numeri reali e i due pezzi $e^{i \dots}$ , poi uso la Proposizione 3.2:

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i ϑ_{1}} e^{i ϑ_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (ϑ_{1} + ϑ_{2})} .

Distanze moltiplicate, angoli sommati.

Esempio · $(1 + i) (3 + i)$ in due modi

Con la forma polare. Dalla tabella: $1 + i = 2 e^{iπ /4}$ e $3 + i = 2 e^{iπ /6}$ .

Le distanze: $2 \cdot 2 = 22$ .
Gli angoli: $\frac{π}{4} + \frac{π}{6}$ . Il denominatore comune è 12: $\frac{3 π}{12} + \frac{2 π}{12} = \frac{5 π}{12}$ , cioè $75°$ .
Il prodotto: $(1 + i) (3 + i) = 22 e^{5 π i /12}$ .

Con la forma $a + bi$ . $(1 + i) (3 + i) = 3 + i + i 3 + i^{2} = (3 - 1) + (3 + 1) i$ .

I due risultati sono lo stesso numero. Confrontandoli si ottiene gratis un valore che non sta nella tabella: $cos \frac{5 π}{12} = \frac{3 - 1}{2 2} = \frac{6 - 2}{4}$ . La forma polare e quella $a + bi$ si controllano a vicenda.

Guarda la figura: l'arco giallo del prodotto è lungo quanto i due archi degli altri numeri messi uno dopo l'altro.

1212

Re

Im

1 + i

3 + i

22 e^{5 π i /12}

Il prodotto

(1 + i) (3 + i)

: gli angoli

\frac{π}{4}

\frac{π}{6}

si sommano in

\frac{5 π}{12}

, i moduli

2

2

si moltiplicano in

22

Prova con lo strumento. Nella modalità z · w trascina $z$ e $w$ e guarda gli archi: l'arco del prodotto è sempre la somma dei due archi, e sotto leggi che il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli. Poi scegli potenze zⁿ: vedi i punti $z, z^{2}, z^{3}, \dots$ girare attorno all'origine, ogni volta dello stesso angolo.

Prova tu

Calcola

3 e^{iπ /6} \cdot 2 e^{iπ /3}

e scrivi il risultato nella forma

a + bi

Distanze: $3 \cdot 2 = 6$ . Angoli: $\frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{6} = \frac{3 π}{6} = \frac{π}{2}$ . Il prodotto è $6 e^{iπ /2} = 6 i$ .

L'inverso e il quoziente

L'inverso di $z$ , che si scrive $z^{- 1}$ , è il numero che moltiplicato per $z$ dà 1 (lezione L02). In forma polare si trova a occhio. Il numero 1 ha distanza 1 e angolo 0. Quindi l'inverso deve:

avere una distanza che, moltiplicata per $r$ , dia 1: cioè $\frac{1}{r}$ , che si scrive anche $r^{- 1}$ ;
avere un angolo che, sommato a $ϑ$ , dia 0: cioè $- ϑ$ .

Le dispense lo notano così: se $z = r e^{i ϑ}$ non è zero, il suo inverso è

z^{- 1} = r^{- 1} e^{- i ϑ} .

Controllo con la regola del prodotto: $z \cdot z^{- 1} = r \cdot r^{- 1} e^{i (ϑ - ϑ)} = 1 \cdot e^{0} = cos 0 + i sin 0 = 1$ .

Nel disegno: l'inverso è dalla parte opposta rispetto all'asse orizzontale, come il coniugato. Ma la distanza si inverte. Se $z$ sta fuori dal cerchio di raggio 1, il suo inverso sta dentro, e il contrario (Figura 4 delle dispense, a destra).

Il quoziente $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ è $z_{1}$ per l'inverso di $z_{2}$ . Quindi le distanze si dividono e gli angoli si sottraggono:

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} e^{i (ϑ_{1} - ϑ_{2})} .

Esempio · Lo stesso inverso della lezione L02

$1 + i = 2 e^{iπ /4}$ . L'inverso ha distanza $\frac{1}{2}$ e angolo $- \frac{π}{4}$ :

(1 + i)^{- 1} = \frac{1}{2} e^{- iπ /4} = \frac{1}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2}{2} i) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i .

È lo stesso risultato della formula della lezione L02, $z^{- 1} = \frac{z ˉ}{∣ z ∣ ^{2}} = \frac{1 - i}{2}$ .

Nella figura qui sotto ci sono $z = 2 e^{iπ /3}$ , il suo coniugato e il suo inverso. Il coniugato è il riflesso allo specchio, alla stessa distanza 2. L'inverso ha lo stesso angolo del coniugato, ma distanza $\frac{1}{2}$ : sta dentro il cerchio di raggio 1.

−11−11

Re

Im

z

\overset{z}{ˉ}

z^{- 1}

1

La Figura 4 delle dispense con

z = 2 e^{iπ /3}

: il coniugato

\overset{z}{ˉ} = 2 e^{- iπ /3}

è il riflesso di

z

; l'inverso

z^{- 1} = \frac{1}{2} e^{- iπ /3}

ha l'angolo opposto e sta dentro la circonferenza unitaria

Prova tu

z = 4 e^{iπ /2}

, quanto valgono

z^{- 1}

\overset{z}{ˉ}

in forma polare?

$z^{- 1} = \frac{1}{4} e^{- iπ /2}$ : distanza inversa, angolo opposto.

$\overset{z}{ˉ} = 4 e^{- iπ /2}$ : stessa distanza, angolo opposto. In forma $a + bi$ : $z = 4 i$ , $\overset{z}{ˉ} = - 4 i$ e $z^{- 1} = - \frac{1}{4} i$ .

Da ricordare

Prodotto: distanze moltiplicate, angoli sommati. Moltiplicare per $w$ vuol dire girare e allungare.
Inverso: distanza $\frac{1}{r}$ , angolo $- ϑ$ .
Quoziente: distanze divise, angoli sottratti.

§5

Quando due angoli indicano lo stesso punto

p. 11

Un orologio segna le 3. Dopo un giro completo della lancetta segna ancora le 3: la lancetta è nello stesso posto. Con gli angoli succede lo stesso. L'angolo $\frac{π}{2}$ e l'angolo $\frac{π}{2} + 2 π = \frac{5 π}{2}$ indicano la stessa direzione: il secondo ha solo fatto un giro in più.

Per questo lo stesso numero complesso ha tante forme polari diverse:

e^{iπ /2} = e^{5 π i /2} = e^{- 3 π i /2} = i .

$\frac{5 π}{2}$ è $\frac{π}{2}$ più un giro;
$- \frac{3 π}{2}$ è $\frac{π}{2}$ meno un giro.

Un altro esempio: $2 e^{7 π i /4} = 2 e^{- π i /4} = 2 - i 2$ , perché $\frac{7 π}{4} - 2 π = \frac{7 π}{4} - \frac{8 π}{4} = - \frac{π}{4}$ .

Le dispense lo scrivono così.

Proposizione · Uguaglianza di due forme polari (p. 11)

Due numeri complessi non nulli espressi in forma polare $r_{0} e^{i ϑ_{0}}$ e $r_{1} e^{i ϑ_{1}}$ sono lo stesso numero complesso se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

$r_{0} = r_{1}$ ;
$ϑ_{1} = ϑ_{0} + 2 k π$ per qualche $k \in Z$ .

Come si legge.

«Non nulli» vuol dire «diversi da zero».
«Se e solo se» vuol dire che le due cose vanno sempre insieme: se i numeri sono uguali, valgono i due fatti; se valgono i due fatti, i numeri sono uguali.
Il primo fatto: le due distanze sono uguali.
Il secondo fatto: gli angoli differiscono di $2 k π$ . Qui $k$ è un numero intero qualsiasi, positivo, negativo o zero: la scrittura $k \in Z$ si legge « $k$ appartiene a zeta», cioè « $k$ è un intero». Quindi $2 k π$ vuol dire «un numero intero di giri», in avanti o all'indietro.

Questo fatto ha due usi. Il primo è accorciare gli angoli grandi che escono dalle potenze. Il secondo è risolvere le equazioni come $z^{3} = - 8$ , nella sezione sulle radici.

Metodo · Accorciare un angolo

Quando l'angolo è grande, togli (o aggiungi) giri interi, cioè multipli di $2 π$ . Fermati quando l'angolo sta dentro un giro solo: tra 0 e un giro, oppure tra mezzo giro all'indietro e mezzo giro in avanti.

Con un angolo scritto come frazione di $π$ il conto si fa con i numeri interi. Esempio: $α = \frac{2025}{4} π$ .

Un giro, $2 π$ , scritto in quarti è $\frac{8}{4} π$ .
Divido 2025 per 8 con il resto: $2025 = 8 \cdot 253 + 1$ .
Quindi $\frac{2025}{4} π = 253 \cdot \frac{8}{4} π + \frac{1}{4} π$ : sono 253 giri interi più $\frac{π}{4}$ .
I giri interi non contano: $e^{2025 π i /4} = e^{iπ /4}$ .

Prova tu

Accorcia l'angolo di

e^{17 π i /3}

Un giro in terzi è $\frac{6}{3} π$ . Divido 17 per 6: $17 = 6 \cdot 2 + 5$ . Quindi $\frac{17}{3} π$ è 2 giri più $\frac{5 π}{3}$ , e $e^{17 π i /3} = e^{5 π i /3}$ . Con un giro in meno ancora diventa $e^{- iπ /3}$ .

Approfondimento · l'argomento principale

Le dispense non fissano un intervallo per l'argomento: $\frac{7 π}{4}$ e $- \frac{π}{4}$ vanno bene tutti e due. Molti libri chiamano argomento principale quello compreso tra $- π$ (escluso) e $π$ (incluso); altri usano quello tra $0$ (incluso) e $2 π$ (escluso). Nel quiz le risposte usano tutte e due le abitudini: se una risposta non ti torna, prova ad aggiungere o a togliere $2 π$ .

Da ricordare

Stessa distanza e angoli che differiscono di giri interi: stesso numero.
Per accorciare un angolo togli multipli di $2 π$ ; con le frazioni di $π$ basta il resto di una divisione.

§6

Il giro completo e l'identità di Eulero

p. 12

Torna sulla pista circolare del ripasso, quella con il raggio lungo 1. Ogni abbreviazione $e^{i ϑ}$ è un punto della pista, e ogni punto della pista è uno di questi numeri: basta prendere il suo angolo.

Tre posti sulla pista sono da sapere a memoria, perché tornano in quasi tutti gli esercizi:

un quarto di giro, $ϑ = \frac{π}{2}$ : $e^{iπ /2} = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2} = 0 + i \cdot 1 = i$ ;
mezzo giro, $ϑ = π$ : $e^{iπ} = cos π + i sin π = - 1 + 0 = - 1$ ;
un giro intero, $ϑ = 2 π$ : $e^{2 π i} = cos 2 π + i sin 2 π = 1 + 0 = 1$ .

La seconda è la famosa identità di Eulero, spesso scritta $e^{iπ} + 1 = 0$ : mette insieme in una sola riga i numeri $e$ , $i$ , $π$ , 1 e 0.

A che cosa servono negli esercizi:

la seconda dice che un segno meno è mezzo giro. Serve per portare il meno dentro l'angolo, come nella trappola sul modulo negativo;
la terza dice che un giro intero non cambia niente, e nemmeno due, tre o cento giri. È il motivo per cui dagli angoli si possono togliere i giri interi.

Prova tu

Quanto vale

e^{3 π i}

$3 π$ è un giro intero più mezzo giro: $3 π = 2 π + π$ . Il giro intero non conta, quindi $e^{3 π i} = e^{iπ} = - 1$ .

Da ricordare

I numeri $e^{i ϑ}$ sono i punti della circonferenza di raggio 1.
$e^{iπ /2} = i$ , $e^{iπ} = - 1$ (identità di Eulero), $e^{2 π i} = 1$ .

§7

Le potenze: girare più volte

p. 12

Una potenza è un prodotto ripetuto: $z^{3} = z \cdot z \cdot z$ . Con la regola del prodotto, ogni volta che moltiplichi per $z$ la distanza si moltiplica per $r$ e l'angolo cresce di $ϑ$ .

Prova con $z = 1 + i$ , a distanza $2$ e all'angolo $\frac{π}{4}$ :

Potenza	Distanza	Angolo	Il numero
$z$	$2$	$\frac{π}{4}$	$1 + i$
$z^{2}$	$2 \cdot 2 = 2$	$\frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$	$2 i$
$z^{3}$	$2 \cdot 2 = 22$	$\frac{π}{2} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$	$- 2 + 2 i$
$z^{4}$	$22 \cdot 2 = 4$	$\frac{3 π}{4} + \frac{π}{4} = π$	$- 4$

Guarda la figura: a ogni passo il punto gira di un ottavo di giro e si allontana.

−4−3−2−1112

Re

Im

z = 1 + i

z^{2} = 2 i

z^{3} = - 2 + 2 i

z^{4} = - 4

Le potenze di

z = 1 + i

: ogni volta il modulo si moltiplica per

2

e l'angolo cresce di

\frac{π}{4}

Moltiplicare $n$ volte la distanza per sé stessa vuol dire elevarla alla $n$ . Sommare $n$ volte lo stesso angolo vuol dire moltiplicarlo per $n$ . La formula, che le dispense usano all'inizio della sezione 3.B:

z^{n} = n volte r e^{i ϑ} \dots r e^{i ϑ} = r^{n} e^{in ϑ} .

A parole: la distanza si eleva alla $n$ , l'angolo si moltiplica per $n$ .

Approfondimento · il nome della formula

Nella forma trigonometrica la formula si scrive $(r (cos ϑ + i sin ϑ))^{n} = r^{n} (cos n ϑ + i sin n ϑ)$ ed è nota come formula di De Moivre.

Esempio · $(1 + i)^{8}$ e $(1 + i)^{10}$

$1 + i = 2 e^{iπ /4}$ .

La potenza ottava.

Distanza: $(2)^{8} = ((2)^{2})^{4} = 2^{4} = 16$ .
Angolo: $8 \cdot \frac{π}{4} = 2 π$ , un giro intero.
Quindi $(1 + i)^{8} = 16 e^{2 π i} = 16 \cdot 1 = 16$ .

Controllo con la forma $a + bi$ : $(1 + i)^{2} = 2 i$ , quindi $(1 + i)^{8} = (2 i)^{4} = 16 i^{4} = 16$ .

La potenza decima.

Distanza: $(2)^{10} = 2^{5} = 32$ .
Angolo: $10 \cdot \frac{π}{4} = \frac{10 π}{4} = \frac{5 π}{2}$ .
Accorcio: $\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}$ , quindi l'angolo è $\frac{π}{2}$ .
Quindi $(1 + i)^{10} = 32 e^{iπ /2} = 32 i$ .

Esempio · $(3 + i)^{6}$

$3 + i = 2 e^{iπ /6}$ .

Distanza: $2^{6} = 64$ .
Angolo: $6 \cdot \frac{π}{6} = π$ .
Quindi $(3 + i)^{6} = 64 e^{iπ} = - 64$ .

Un numero con parte immaginaria diversa da zero, elevato alla sesta, dà un numero reale negativo. Con la forma $a + bi$ ci sarebbero volute cinque moltiplicazioni.

Prova tu

Calcola

(2 i)^{3}

in forma polare.

$2 i = 2 e^{iπ /2}$ . Distanza $2^{3} = 8$ , angolo $3 \cdot \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$ . Quindi $(2 i)^{3} = 8 e^{3 π i /2} = 8 \cdot (- i) = - 8 i$ . Controllo: $(2 i)^{3} = 8 i^{3} = 8 \cdot (- i) = - 8 i$ .

Metodo · Una potenza alta senza calcolatrice

Scrivi il numero in forma polare. Negli appelli il modulo è quasi sempre 1, $2$ o 2, e l'angolo è uno della tabella.
Eleva la distanza alla $n$ e moltiplica l'angolo per $n$ .
Accorcia l'angolo togliendo giri interi.
Torna alla forma $a + bi$ con la tabella di seno e coseno, e confronta con le risposte.

Per esponenti piccoli c'è un'alternativa: calcola $z^{2}$ o $z^{3}$ nella forma $a + bi$ finché ottieni un numero reale o immaginario puro, poi continua con le potenze di quello. Per esempio $(1 + i)^{2} = 2 i$ , e da lì $(1 + i)^{10} = (2 i)^{5} = 32 i^{5} = 32 i$ .

Da ricordare

$z^{n} = r^{n} e^{in ϑ}$ : distanza alla $n$ , angolo per $n$ .
Dopo aver moltiplicato l'angolo, accorcialo togliendo giri interi.

§8

Le radici: n punti in cerchio

pp. 12–13

Adesso il problema al contrario. Le potenze partono da un numero e lo elevano. Le radici partono dal risultato e cercano da dove si è partiti.

Tra i numeri reali le cose sono disordinate. Quali numeri, moltiplicati per sé stessi, danno 4? Due: 2 e il suo opposto. Quali numeri, elevati al cubo, danno 8? Uno solo, il 2. E quali numeri al quadrato danno $- 4$ ? Nessuno, perché un quadrato non è mai negativo. Tra i numeri complessi tutto diventa regolare: un numero diverso da zero ha sempre esattamente 2 radici quadrate, 3 radici cubiche, 4 radici quarte, e così via.

In generale si cerca un numero $z$ che elevato alla $n$ dia un numero fissato, che le dispense chiamano $z_{0}$ . Il numerino 0 serve solo a distinguerlo dall'incognita. Le soluzioni si chiamano radici $n$ -esime di quel numero, e sono sempre $n$ .

Un esempio con i numeri: $z^{3} = - 8$

Cerchiamo i numeri che elevati al cubo danno $- 8$ .

Il numero dato, con distanza e angolo. Il numero $- 8$ è dritto verso sinistra, a distanza 8. Quindi ha distanza 8 e angolo $π$ .
L'incognita, con distanza e angolo. Non conosco né la distanza né l'angolo del numero che cerco. Li chiamo $r$ e $ϑ$ .
Elevo al cubo. Per la regola delle potenze, il cubo ha distanza $r^{3}$ e angolo tre volte $ϑ$ .
Le distanze devono essere uguali. Il cubo deve avere distanza 8. Il numero positivo che al cubo dà 8 è 2: quindi la distanza cercata è 2.
Gli angoli devono indicare la stessa direzione. Tre volte l'angolo cercato deve essere mezzo giro, oppure mezzo giro più un giro, oppure mezzo giro più due giri. I giri in più non cambiano la direzione.
Divido per 3. L'angolo cercato può essere un terzo di mezzo giro, cioè $\frac{π}{3}$ . Oppure un terzo di un giro e mezzo, cioè $π$ . Oppure un terzo di due giri e mezzo, cioè $\frac{5 π}{3}$ .
Con un giro in più non viene niente di nuovo. Mezzo giro più tre giri, diviso 3, fa $\frac{7 π}{3}$ : è un giro più $\frac{π}{3}$ , cioè lo stesso punto della prima soluzione.

Le soluzioni sono tre: distanza 2, angoli $\frac{π}{3}$ , $π$ e $\frac{5 π}{3}$ . Sono tre punti su un cerchio di raggio 2, separati da un terzo di giro ciascuno: i vertici di un triangolo equilatero.

Il ragionamento in generale

Le dispense fanno lo stesso conto con $z^{n} = z_{0}$ al posto di $z^{3} = - 8$ . I passi sono gli stessi.

Scrivo con distanza e angolo sia il numero dato sia l'incognita. Il numero dato è $z_{0} = r_{0} e^{i ϑ_{0}}$ ; l'incognita è $z = r e^{i ϑ}$ , con distanza e angolo da trovare.
Per la formula delle potenze l'equazione diventa
$r^{n} e^{in ϑ} = r_{0} e^{i ϑ_{0}} .$
Due forme polari sono uguali esattamente quando le distanze sono uguali e gli angoli differiscono di giri interi. Quindi servono due cose.
- Le distanze. La distanza cercata, elevata alla $n$ , deve dare la distanza del numero dato. Quindi è la sua radice $n$ -esima, che si scrive $n r_{0}$ : il numero positivo che elevato alla $n$ dà $r_{0}$ , la solita radice della scuola.
- Gli angoli. L'angolo cercato, moltiplicato per $n$ , deve dare l'angolo del numero dato più un certo numero di giri: $n ϑ = ϑ_{0} + 2 k π$ , con $k$ intero.
Divido per $n$ :
$ϑ = \frac{ϑ _{0}}{n} + \frac{2 k π}{n} .$
Il primo angolo, con $k$ uguale a zero, è l'angolo del numero dato diviso per $n$ . Ogni volta che $k$ cresce di 1, l'angolo cresce di un $n$ -esimo di giro. Facendo crescere $k$ da 0 fino a $n - 1$ vengono $n$ angoli.
Questi $n$ angoli coprono meno di un giro, quindi danno $n$ punti diversi. Il valore successivo di $k$ riporta al primo punto, perché aggiunge un giro intero; quello dopo riporta al secondo, e così via.

Le dispense lo scrivono così.

Proposizione · Le radici $n$ -esime (pp. 12–13)

Sia $z_{0} = r_{0} e^{i ϑ_{0}}$ un numero complesso diverso da zero. L'equazione $z^{n} = z_{0}$ ha precisamente $n$ soluzioni distinte:

z_{k} = n r_{0} e^{i (\frac{ϑ _{0}}{n} + \frac{2 k π}{n})}, k = 0, 1, \dots, n - 1.

Hanno tutte lo stesso modulo $n r_{0}$ e argomenti separati da un passo costante $\frac{2 π}{n}$ . Geometricamente, formano i vertici di un poligono regolare centrato nell'origine con $n$ lati e raggio $n r_{0}$ .

Come si legge.

«Precisamente $n$ soluzioni distinte»: esattamente $n$ , tutte diverse tra loro.
$z_{k}$ è la soluzione numero $k$ . Il numerino $k$ parte da 0 e arriva a $n - 1$ : in tutto sono $n$ .
Tutte le soluzioni stanno alla stessa distanza dall'origine.
La prima ha l'angolo del numero dato diviso per $n$ . Da una alla successiva l'angolo cresce sempre di un $n$ -esimo di giro.
Un poligono regolare ha tutti i lati uguali: triangolo equilatero, quadrato, pentagono regolare… Le soluzioni ne sono i vertici, su un cerchio centrato nell'origine.

Prova tu

Quante soluzioni ha

z^{5} = 32

? A che distanza dall'origine stanno?

Cinque soluzioni. La distanza è $532 = 2$ , perché $2^{5} = 32$ . Sono i vertici di un pentagono regolare su un cerchio di raggio 2, e uno di loro è il numero reale 2.

Due esempi delle dispense

Esempio 3.3 · Le radici $n$ -esime dell'unità

L'equazione $z^{n} = 1$ ha come soluzioni i numeri complessi

z = e^{i \frac{2 k π}{n}}, k = 0, 1, \dots, n - 1.

Queste $n$ soluzioni sono i vertici di un poligono regolare di raggio $1$ con $n$ lati, avente $1$ come vertice. Sono le radici $n$ -esime dell'unità.

Da dove viene. $1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0}$ : la distanza è 1 e l'angolo è 0. Quindi le radici hanno distanza $n 1 = 1$ e angoli $0 + \frac{2 k π}{n}$ . «Unità» è un altro nome del numero 1.

$n = 2$ : gli angoli sono $0$ e $π$ . Le radici sono $e^{0} = 1$ ed $e^{iπ} = - 1$ .
$n = 3$ : gli angoli sono $0$ , $\frac{2 π}{3}$ , $\frac{4 π}{3}$ . Le radici sono $1$ , $e^{2 π i /3} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ , $e^{4 π i /3} = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ : un triangolo equilatero.
$n = 4$ : gli angoli sono i quarti di giro. Le radici sono $1$ , $i$ , $- 1$ , $- i$ : un quadrato.
$n = 6$ : gli angoli sono i multipli di $\frac{π}{3}$ . Le radici sono $\pm 1$ e $\pm \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ : un esagono (Figura 5 delle dispense, a sinistra).

Nella figura le sei radici seste di 1. Il simbolo $\pm$ si legge «più o meno»: la scrittura $\pm \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ riassume i quattro numeri con tutte le scelte dei segni.

−11−1−0,50,51

Re

Im

1

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

- 1

- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

La Figura 5 (sinistra): le radici seste di

1

sono i vertici di un esagono regolare con un vertice in

1

Esempio 3.4 · Le tre soluzioni di $z^{3} = - 8$

Come nella Figura 5 delle dispense (a destra), le tre soluzioni dell'equazione $z^{3} = - 8$ hanno modulo $38 = 2$ e argomenti $\frac{π}{3}$ , $π$ e $\frac{5 π}{3}$ . Si tratta dei numeri complessi

z_{1} = 2 e^{iπ /3} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = 1 + 3 i,

z_{2} = 2 e^{iπ} = - 2,

z_{3} = 2 e^{5 π i /3} = 2 (cos \frac{5 π}{3} + i sin \frac{5 π}{3}) = 1 - 3 i .

Da dove vengono gli angoli. È l'esempio che hai già fatto all'inizio della sezione. $- 8$ è un reale negativo, quindi $- 8 = 8 e^{iπ}$ . Il primo angolo è $\frac{π}{3}$ , un terzo di $π$ . Poi si aggiunge due volte il passo $\frac{2 π}{3}$ : $\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} = π$ , e $π + \frac{2 π}{3} = \frac{5 π}{3}$ .

Controllo su $z_{1}$ , nella forma $a + bi$ :

$(1 + i 3)^{2} = 1 + 2 i 3 + (i 3)^{2} = 1 + 2 i 3 - 3 = - 2 + 2 i 3$ .
$(- 2 + 2 i 3) (1 + i 3) = - 2 - 2 i 3 + 2 i 3 + 2 i^{2} \cdot 3 = - 2 - 6 = - 8$ .

−2−112−11

Re

Im

z_{1} = 1 + 3 i

z_{2} = - 2

z_{3} = 1 - 3 i

La Figura 5 (destra): le soluzioni di

z^{3} = - 8

sono i vertici di un triangolo equilatero di raggio

38 = 2

Nello strumento qui sotto c'è lo stesso esempio. Cambia $n$ per vedere triangoli, quadrati, pentagoni. Poi cambia $z$ , per esempio con $1$ , $i$ o $- 4$ , e guarda come il poligono gira e cambia raggio.

Metodo · Trovare le radici $n$ -esime di un numero

Scrivi il numero in forma polare. Attenzione ai numeri reali: un reale positivo ha angolo 0, un reale negativo ha angolo $π$ .
Tutte le radici hanno la stessa distanza: la radice $n$ -esima della distanza del numero.
Il primo angolo è l'angolo del numero diviso per $n$ . Gli altri si ottengono aggiungendo $\frac{2 π}{n}$ , fino ad averne $n$ .
Se gli angoli sono nella tabella, passa alla forma $a + bi$ .
Fai il disegno: i punti devono formare un poligono regolare con $n$ lati.

Le radici quadrate

Con $n = 2$ il passo è $\frac{2 π}{2} = π$ , mezzo giro. Quindi le due radici quadrate di un numero sono opposte: se una è $w$ , l'altra è $- w$ . Tre esempi, che ritroverai nella lezione L04 dentro la formula delle equazioni di secondo grado:

Le radici quadrate di $- 4$ . Il numero $- 4$ è a distanza 4, dritto verso sinistra. Le radici hanno distanza 2. Il primo angolo è metà di mezzo giro, cioè un quarto di giro; il secondo è mezzo giro più in là. Le radici sono $2 i$ e $- 2 i$ . In generale le radici quadrate di un numero reale negativo sono $i$ per la radice del suo opposto, con il più e con il meno.
Le radici quadrate di $2 i$ . Il numero $2 i$ è a distanza 2, dritto verso l'alto. Le radici hanno distanza $2$ e angoli $\frac{π}{4}$ e $\frac{5 π}{4}$ : sono $1 + i$ e $- 1 - i$ . Sono le stesse trovate con le coordinate nell'esercizio 7 della lezione L02.
Le radici quadrate di $- 3 + 4 i$ . Qui l'angolo non è nella tabella, e conviene il metodo della lezione L02: si scrive l'incognita come $x + y i$ e si risolvono le due equazioni sulle parti reale e immaginaria. Le radici sono $1 + 2 i$ e il suo opposto.

Prova tu

Quali sono le radici quadrate di

- 9

$- 9 = 9 e^{iπ}$ . Distanza $9 = 3$ , angoli $\frac{π}{2}$ e $\frac{3 π}{2}$ . Le radici sono $3 i$ e $- 3 i$ . Controllo: $(3 i)^{2} = 9 i^{2} = - 9$ .

Trappola · Il simbolo tra i complessi

Tra i reali positivi $a$ indica la radice positiva. Tra i complessi non c'è una radice «positiva»: ci sono due radici quadrate opposte, e scrivere $z_{0}$ non dice quale. Per questo le regole della lezione L01 come $a b = ab$ qui non valgono più. Esempio: $- 1 \cdot - 1$ «dovrebbe» essere $(- 1) (- 1) = 1 = 1$ , ma con $- 1 = i$ viene $i \cdot i = - 1$ . Nella lezione L04 le dispense scrivono $\pm Δ$ proprio per indicare le due radici quadrate di un numero.

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

Nel libro di Martelli la lezione corrisponde al §1.4, parti 1.4.4 «Coordinate polari» (pp. 27–29, con la dimostrazione della Proposizione 1.4.2, che è la 3.2 delle dispense), 1.4.5 «Proprietà dei numeri complessi» (p. 30, Esercizio 1.4.3) e 1.4.6 «Radici $n$ -esime di un numero complesso» (pp. 30–31, con gli Esempi 1.4.4 e 1.4.5, cioè 3.3 e 3.4 delle dispense, e l'Esercizio 1.4.6, che è il 3.5). Alla fine del capitolo 1 (p. 37) gli Esercizi 1.13 e 1.14 sono svolti qui come esercizi 13 e 14.

Da ricordare

$z^{n} = z_{0}$ ha sempre esattamente $n$ soluzioni, se $z_{0}$ non è zero.
Distanza: la radice $n$ -esima della distanza di $z_{0}$ . Primo angolo: l'angolo di $z_{0}$ diviso per $n$ . Poi passi di $\frac{2 π}{n}$ .
Le soluzioni sono i vertici di un poligono regolare con $n$ lati.

§9

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$π$	«pi greco»	circa 3,14; in radianti, mezzo giro	$180° = π$
$ϑ$ , $φ$ , $α$	«teta», «fi», «alfa»	lettere greche usate per gli angoli	$ϑ = \frac{π}{3}$
$cos ϑ$ , $sin ϑ$	«coseno di teta», «seno di teta»	le due coordinate del punto all'angolo $ϑ$ sul cerchio di raggio 1	$cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
$cos^{2} ϑ$	«coseno quadro di teta»	il coseno moltiplicato per sé stesso	$cos^{2} \frac{π}{4} = \frac{1}{2}$
$(r, ϑ)$	«erre, teta»	coordinate polari: distanza e angolo	$(1, 3)$ ha $(2, \frac{π}{3})$
$∣ z ∣$	«modulo di zeta»	la distanza di $z$ dall'origine	$∣ 1 + i ∣ = 2$
$\overset{z}{ˉ}$	«zeta segnato»	il coniugato: il riflesso rispetto all'asse orizzontale	$\overline{1 + i} = 1 - i$
$e^{i ϑ}$	«e alla i teta»	abbreviazione di $cos ϑ + i sin ϑ$	$e^{iπ /2} = i$
$r e^{i ϑ}$	«erre e alla i teta»	forma polare: distanza $r$ , angolo $ϑ$	$1 + i = 2 e^{iπ /4}$
$z^{- 1}$	«zeta alla meno uno»	l'inverso: moltiplicato per $z$ dà 1	$(2 e^{iπ /3})^{- 1} = \frac{1}{2} e^{- iπ /3}$
$z_{1}, z_{2}$ , $r_{1}, r_{2}$	«zeta uno», «erre uno»…	i numerini distinguono oggetti dello stesso tipo	$z_{1} = 2 e^{iπ /3}$
$k \in Z$	« $k$ appartiene a zeta»	$k$ è un numero intero	$k = - 1, 0, 1, \dots$
$2 k π$	«due kappa pi greco»	un numero intero di giri	$2 \cdot 3 π = 6 π$
$n a$	«radice $n$ -esima di $a$ »	il numero positivo che elevato alla $n$ dà $a$	$38 = 2$
$\pm$	«più o meno»	due numeri, uno con il più e uno con il meno	$\pm 2 i$ è $2 i$ e $- 2 i$
$Re$ , $Im$	«parte reale», «parte immaginaria»	nei grafici, i nomi dei due assi

§10

Verso l'esame

esame

La prova in due righe. 10 domande a risposta multipla (5 risposte, una giusta) e 2 problemi da 11 punti, corretti solo con almeno 6 punti nel quiz; 2 ore, niente calcolatrice, solo 4 facciate di appunti scritti a mano. Appelli 2026/27 di Algebra lineare: 22/01/2027 e 05/02/2027 alle 14:00. Regole complete e fonti nella lezione L01.

Che cosa chiedono. In 9 dei 15 appelli dal 24/01/2024 al 07/09/2026 la domanda sui numeri complessi riguardava questa lezione:

Tipo di domanda	Appelli (domanda)
potenza alta ( $z^{8}$ , $z^{9}$ , $z^{12}$ , $z^{2025}$ ) di un numero dato in forma $a + bi$	24/01/2024 (2), 10/07/2024 (1), 07/02/2025 (1), 15/01/2026 (5)
potenza di un numero dato in forma trigonometrica	06/09/2024 (1)
prodotto da scrivere in forma polare	16/01/2025 (1)
radici: quale numero è (o non è) soluzione di $z^{n} = z_{0}$ , o che cosa vale un'espressione con una radice quadrata	10/06/2024 (1), 02/09/2025 (2), 05/02/2026 (1)

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 15/01/2026, domanda 5. Il testo: «Dato $z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ , allora $z^{9}$ è uguale a: (a) $1$ ; (b) $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ ; (c) $- \frac{9 3}{2} + \frac{9}{2} i$ ; (d) $i$ ; (e) $- \frac{3 ^{9}}{2 ^{9}} + \frac{1}{2 ^{9}} i$ ».

In pratica chiede: prendi questo numero, moltiplicalo per sé stesso nove volte. Che cosa viene? Nove moltiplicazioni nella forma $a + bi$ sono troppe: si passa alla forma polare.

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: la distanza. $∣ z ∣ = (\frac{3}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 = 1$ . Il numero sta sul cerchio di raggio 1.

Passo 2: l'angolo. Siccome la distanza è 1, coseno e seno sono le due parti: coseno $\frac{3}{2}$ e seno $- \frac{1}{2}$ . Coseno positivo, seno negativo: quarto quadrante. Senza segni sono i valori di $\frac{π}{6}$ , quindi l'angolo è $- \frac{π}{6}$ . Allora $z = e^{- iπ /6}$ .

Passo 3: la potenza. Distanza $1^{9} = 1$ . Angolo $9 \cdot (- \frac{π}{6}) = - \frac{9 π}{6} = - \frac{3 π}{2}$ . Quindi $z^{9} = e^{- 3 π i /2}$ .

Passo 4: accorcio. Aggiungo un giro: $- \frac{3 π}{2} + 2 π = - \frac{3 π}{2} + \frac{4 π}{2} = \frac{π}{2}$ . Quindi $z^{9} = e^{iπ /2} = i$ .

La risposta è la (d).

Perché le risposte (c) ed (e) sono sbagliate. Vengono da conti fatti sulle due parti separatamente: la (c) moltiplica per 9 ciascuna parte, la (e) eleva alla nona ciascuna parte (e cambia i segni). Per i numeri complessi questi conti non hanno senso: già $(1 + i)^{2} = 2 i$ non è $1^{2} + i^{2} = 0$ .

Altre due domande vere

Esempio · Appello del 16/01/2025, domanda 1

Dato $z = 2 cos \frac{π}{4} + 2 i sin \frac{π}{4}$ , allora $- 3 i z$ in coordinate polari è uguale a: (a) $- 6 i cos \frac{π}{4} - 6 i sin \frac{π}{4}$ ; (b) $- 6 e^{3 π i /4}$ ; (c) $- 6 i cos \frac{π}{4} + 6 i sin \frac{π}{4}$ ; (d) $6 e^{7 π i /4}$ ; (e) $0$ .

In pratica chiede: moltiplica $z$ per $- 3 i$ e scrivi il risultato con distanza e angolo.

Soluzione.

$z$ è già in forma trigonometrica: distanza 2, angolo $\frac{π}{4}$ . Quindi $z = 2 e^{iπ /4}$ .
Il numero $- 3 i$ è dritto verso il basso, a distanza 3: angolo $\frac{3 π}{2}$ . Quindi $- 3 i = 3 e^{3 π i /2}$ .
Distanze moltiplicate: $2 \cdot 3 = 6$ . Angoli sommati: $\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2} = \frac{π}{4} + \frac{6 π}{4} = \frac{7 π}{4}$ .
Quindi $- 3 i z = 6 e^{7 π i /4}$ : risposta (d).

La (b) indica lo stesso numero, perché $- 6 e^{3 π i /4} = 6 e^{iπ} e^{3 π i /4} = 6 e^{7 π i /4}$ . Ma non è in coordinate polari: il numero davanti è negativo. La (a) vale $- 62 i$ e la (c) vale $0$ : sono numeri diversi dal risultato, che è $32 - 32 i$ .

Esempio · Appello del 02/09/2025, domanda 2

Quale dei seguenti è una radice terza di $z = 8 e^{3 π i /5}$ ? (a) $4 e^{π i /5}$ ; (b) $2 e^{π i /5 + 2 π i /3}$ ; (c) $8 e^{π i /3 + 2 π ik}$ ; (d) $2 e^{3 π i /5}$ ; (e) $2 e^{3 π i /5 + π i /3}$ .

In pratica chiede: quale di questi numeri, elevato al cubo, dà $8 e^{3 π i /5}$ ?

Soluzione.

La distanza delle radici è $38 = 2$ . Quindi la (a) e la (c) sono subito escluse: hanno distanza 4 e 8.
Gli angoli delle radici: $\frac{3 π /5}{3} + \frac{2 k π}{3} = \frac{π}{5} + \frac{2 k π}{3}$ , per $k = 0, 1, 2$ .
Con $k = 1$ viene $2 e^{π i /5 + 2 π i /3}$ : risposta (b).

Controllo. Elevo la (b) al cubo: distanza $2^{3} = 8$ , angolo $3 \cdot (\frac{π}{5} + \frac{2 π}{3}) = \frac{3 π}{5} + 2 π$ . Tolgo il giro: $8 e^{3 π i /5}$ . Torna. La (d) ha l'angolo non diviso per 3: il suo cubo è $8 e^{9 π i /5}$ . La (e) ha cubo $8 e^{9 π i /5 + π i} = 8 e^{4 π i /5}$ .

I metodi

Metodo · Le domande sui complessi in forma polare

Porta tutto in forma polare: il numero $z$ , e anche gli altri pezzi come $- 3 i$ , $- 1$ , $2 i$ .
Applica le regole: prodotto (distanze per, angoli più), inverso (distanza inversa, angolo opposto), potenza (distanza alla $n$ , angolo per $n$ ), radici (radice $n$ -esima della distanza, angoli $\frac{ϑ _{0} + 2 k π}{n}$ ).
Accorcia gli angoli togliendo giri interi.
Scarta subito le risposte con la distanza sbagliata: è il controllo più veloce.
Per «quale è una radice», eleva la risposta candidata alla $n$ : deve tornare il numero dato.

Errori da evitare.

Scrivere un numero negativo davanti all'esponenziale in una forma polare.
Elevare alla $n$ la distanza ma dimenticare di moltiplicare l'angolo, o il contrario.
Prendere l'angolo del numero dato, e non quell'angolo diviso per $n$ , come primo angolo delle radici.
Dimenticare che un reale negativo ha angolo $π$ .
Sbagliare quadrante guardando solo il coseno.
Trovare una radice sola invece di $n$ .

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione: la tabella di seno e coseno negli angoli notevoli; $x = r cos ϑ$ , $y = r sin ϑ$ ; $e^{i ϑ} = cos ϑ + i sin ϑ$ ; $e^{iπ} = - 1$ , $e^{iπ /2} = i$ ; prodotto, inverso e potenza in forma polare; la formula delle radici $z_{k} = n r_{0} e^{i (ϑ_{0} + 2 k π) / n}$ ; il metodo per accorciare un angolo.

§12

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: gradi e radianti base

Scrivi in radianti gli angoli di $90°$ , $120°$ e $300°$ .

Soluzione

Per passare da gradi a radianti si moltiplica per $\frac{π}{180}$ e si semplifica.

$90 \cdot \frac{π}{180} = \frac{90 π}{180} = \frac{π}{2}$ , dividendo sopra e sotto per 90.
$120 \cdot \frac{π}{180} = \frac{120 π}{180} = \frac{2 π}{3}$ , dividendo sopra e sotto per 60.
$300 \cdot \frac{π}{180} = \frac{300 π}{180} = \frac{5 π}{3}$ , dividendo sopra e sotto per 60.

Controllo: $300°$ è un giro meno $60°$ , e infatti $\frac{5 π}{3} = 2 π - \frac{π}{3}$ .

2 · Riscaldamento: leggere una forma polare base

Il numero $z = 3 e^{iπ /4}$ : qual è il suo modulo? Qual è il suo argomento? Sta dentro o fuori dalla circonferenza di raggio 1?

Soluzione

Il numero davanti è il modulo: $∣ z ∣ = 3$ .
L'angolo nell'esponente è l'argomento: $\frac{π}{4}$ , cioè $45°$ .
La distanza dall'origine è 3, più grande di 1: il numero sta fuori dalla circonferenza di raggio 1.

In forma $a + bi$ : $3 (\frac{2}{2} + \frac{2}{2} i) = \frac{3 2}{2} + \frac{3 2}{2} i$ .

3 · Riscaldamento: un prodotto in forma polare base

Calcola $2 e^{iπ /6} \cdot 5 e^{5 π i /6}$ e scrivi il risultato nella forma $a + bi$ .

Soluzione

Distanze moltiplicate: $2 \cdot 5 = 10$ .
Angoli sommati: $\frac{π}{6} + \frac{5 π}{6} = \frac{6 π}{6} = π$ .
Il prodotto è $10 e^{iπ} = 10 \cdot (- 1) = - 10$ .

4 · Riscaldamento: quante radici base

Quante soluzioni ha l'equazione $z^{4} = 1$ ? Scrivile tutte nella forma $a + bi$ e di' che figura formano.

Soluzione

Sono 4, perché l'esponente è 4.
Il numero 1 ha distanza 1 e angolo 0. Le radici hanno distanza $41 = 1$ e angoli $0$ , $\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ : quarti di giro.
Sono $1$ , $i$ , $- 1$ , $- i$ .
Formano un quadrato con i vertici sugli assi.

Controllo: $i^{4} = (i^{2})^{2} = (- 1)^{2} = 1$ .

5 · Conversioni base

(a) Scrivi in forma polare: $- 3 + i$ , $- 4$ , $3 i$ , $- 1 - i$ . (b) Scrivi nella forma $a + bi$ : $4 e^{2 π i /3}$ , $2 e^{- 3 π i /4}$ , $5 e^{iπ}$ .

Soluzione

(a)

$- 3 + i$ : la distanza è $3 + 1 = 2$ . Coseno $- \frac{3}{2}$ e seno $\frac{1}{2}$ : secondo quadrante. Senza segni sono i valori di $\frac{π}{6}$ , quindi l'angolo è $π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ . Risultato: $2 e^{5 π i /6}$ .
$- 4$ : reale negativo, distanza 4, angolo $π$ . Risultato: $4 e^{iπ}$ .
$3 i$ : dritto verso l'alto, distanza 3, angolo $\frac{π}{2}$ . Risultato: $3 e^{iπ /2}$ .
$- 1 - i$ : distanza $1 + 1 = 2$ . Coseno e seno uguali a $- \frac{2}{2}$ : terzo quadrante. L'angolo è $π + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$ . Risultato: $2 e^{5 π i /4}$ .

(b)

$4 e^{2 π i /3} = 4 (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = - 2 + 23 i$ .
$2 e^{- 3 π i /4} = 2 (- \frac{2}{2} - \frac{2}{2} i) = - 1 - i$ .
$5 e^{iπ} = 5 \cdot (- 1) = - 5$ .

Controllo sul primo della (a): $2 cos \frac{5 π}{6} = 2 \cdot (- \frac{3}{2}) = - 3$ e $2 sin \frac{5 π}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ . Torna $- 3 + i$ .

6 · Esercizio 3.7 delle dispense: tre insiemi in coordinate polari base

Disegna nel piano complesso i seguenti sottoinsiemi:

$A = {z = r e^{i ϑ} \in C tali che ϑ = \frac{π}{2}}$ ;
$B = {z = r e^{i ϑ} \in C tali che ϑ = (2 k + 1) π, k \in Z}$ ;
$C = {z = r e^{i ϑ} \in C tali che r = 1 e 0 \leq ϑ \leq π}$ .

Soluzione

In tutti e tre gli insiemi $z$ è scritto in forma polare. Quindi $z$ non è zero e la distanza $r$ è positiva.

$A$ contiene i numeri all'angolo $\frac{π}{2}$ , a qualsiasi distanza: $r e^{iπ /2} = r i$ con $r$ positivo. È la semiretta verticale verso l'alto, senza l'origine.
$B$ : gli angoli $(2 k + 1) π$ sono i multipli dispari di $π$ : $π$ , $3 π$ , $- π$ , e così via. Differiscono tutti da $π$ per giri interi, quindi indicano tutti la direzione di $- 1$ . $B$ è la semiretta orizzontale verso sinistra, senza l'origine: i numeri reali negativi.
$C$ : distanza 1 vuol dire circonferenza di raggio 1. L'angolo da $0$ a $π$ , estremi compresi, ne prende la metà superiore, da $1$ a $- 1$ , con i due estremi.

−111

Re

Im

1

- 1

A

B

C

A

(semiasse immaginario positivo),

B

(semiasse reale negativo),

C

(semicirconferenza superiore); l'origine non appartiene ad

A

né a

B

7 · Esercizio 3.8 delle dispense: $(1 - i)^{3}$ in due modi base

Calcola $(1 - i)^{3}$ usando le coordinate polari, e verifica il risultato con le coordinate cartesiane.

Soluzione

Con le coordinate polari.

La distanza di $1 - i$ è $1 + 1 = 2$ . Coseno $\frac{2}{2}$ e seno $- \frac{2}{2}$ : quarto quadrante, angolo $- \frac{π}{4}$ . Quindi $1 - i = 2 e^{- iπ /4}$ .
Al cubo: distanza $(2)^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 22$ , angolo $3 \cdot (- \frac{π}{4}) = - \frac{3 π}{4}$ .
L'angolo $- \frac{3 π}{4}$ è nel terzo quadrante: coseno $- \frac{2}{2}$ e seno $- \frac{2}{2}$ .
Quindi
$(1 - i)^{3} = 22 (- \frac{2}{2} - \frac{2}{2} i) = - 2 - 2 i,$
perché $22 \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$ .

Con le coordinate cartesiane.

$(1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i$ .
$(1 - i)^{3} = (- 2 i) (1 - i) = - 2 i + 2 i^{2} = - 2 i - 2 = - 2 - 2 i$ .

I due metodi danno lo stesso risultato.

8 · Esercizio 3.5 delle dispense: $z^{4} = i$ medio

Calcola le soluzioni dell'equazione $z^{4} = i$ e disegnale nel piano complesso.

Soluzione

Il numero $i$ ha distanza 1 e angolo $\frac{π}{2}$ : $i = 1 \cdot e^{iπ /2}$ .
Le radici hanno distanza $41 = 1$ : stanno tutte sulla circonferenza di raggio 1.
Il primo angolo è $\frac{π}{2}$ diviso 4, cioè $\frac{π}{8}$ . Il passo è $\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ . Gli angoli sono
$\frac{π}{8}, \frac{π}{8} + \frac{4 π}{8} = \frac{5 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{13 π}{8} .$
Le soluzioni sono $z_{k} = e^{i (π /8 + k π /2)}$ per $k = 0, 1, 2, 3$ . In gradi gli angoli sono $22, 5°$ , $112, 5°$ , $202, 5°$ e $292, 5°$ . Formano un quadrato sulla circonferenza di raggio 1.

Controllo: $z_{0}^{4} = e^{4 π i /8} = e^{iπ /2} = i$ .

Nota: passare da una radice alla successiva vuol dire girare di un quarto di giro, cioè moltiplicare per $i$ . Quindi le quattro radici sono $w$ , $i w$ , $- w$ , $- i w$ , con $w = z_{0}$ .

−11−1−0,50,51

Re

Im

i

z_{0}

z_{1}

z_{2}

z_{3}

Le quattro soluzioni di

z^{4} = i

: un quadrato sulla circonferenza unitaria, con un vertice ad angolo

\frac{π}{8}

Approfondimento · la forma

a + bi

L'angolo $\frac{π}{8}$ non è nella tabella. Con la formula $cos^{2} α = \frac{1 + c o s 2 α}{2}$ si trova $cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{2} \approx 0, 924$ e $sin \frac{π}{8} = \frac{2 - 2}{2} \approx 0, 383$ . Quindi $z_{0} = \frac{2 + 2}{2} + \frac{2 - 2}{2} i$ , e le altre radici si ottengono moltiplicando per $i$ , $- 1$ , $- i$ . L'esercizio non lo chiede: la forma polare è già una risposta completa.

9 · Esercizio 3.6 delle dispense: coordinate polari medio

Determina coordinate polari per i seguenti numeri complessi:

sin (2), cos (2) + i sin (2), cos (2) - i sin (2), \frac{1 + i}{2}, 1 - i 3 .

Soluzione

Qui «2» è un angolo di 2 radianti, circa $114, 6°$ . Sta nel secondo quadrante, dove il seno è positivo e il coseno negativo.

$sin (2)$ è un numero reale, circa $0, 909$ , ed è positivo. Un reale positivo sta sulla semiretta orizzontale verso destra: distanza $sin 2$ , angolo 0. Quindi $sin 2 = (sin 2) e^{i \cdot 0}$ . Se fosse stato negativo, l'angolo sarebbe stato $π$ e la distanza $- sin 2$ .
$cos (2) + i sin (2)$ è per definizione $e^{2 i}$ : distanza 1, angolo 2. Nessun conto da fare.
$cos (2) - i sin (2)$ : siccome $cos (- 2) = cos 2$ e $sin (- 2) = - sin 2$ , il numero è $cos (- 2) + i sin (- 2) = e^{- 2 i}$ . Distanza 1, angolo $- 2$ (oppure $2 π - 2$ ). È il coniugato del numero precedente.
$\frac{1 + i}{2}$ è $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ . Distanza: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ . Coseno: $\frac{1}{2}$ diviso $\frac{2}{2}$ , cioè $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ ; il seno è uguale. L'angolo è $\frac{π}{4}$ . Quindi $\frac{1 + i}{2} = \frac{2}{2} e^{iπ /4}$ .
$1 - i 3$ : distanza $1 + 3 = 2$ . Coseno $\frac{1}{2}$ e seno $- \frac{3}{2}$ : quarto quadrante, angolo $- \frac{π}{3}$ (oppure $\frac{5 π}{3}$ ). Quindi $1 - i 3 = 2 e^{- iπ /3}$ .

10 · Prodotto e quoziente in forma polare medio

Siano $z = 2 e^{iπ /3}$ e $w = 4 e^{3 π i /4}$ . Calcola in forma polare $z w$ , $\frac{z}{w}$ , $w^{- 1}$ e $\overset{z}{ˉ} w$ .

Soluzione

Per sommare $\frac{π}{3}$ e $\frac{3 π}{4}$ serve il denominatore comune 12: $\frac{π}{3} = \frac{4 π}{12}$ e $\frac{3 π}{4} = \frac{9 π}{12}$ .

$z w$ : distanze $2 \cdot 4 = 8$ , angoli $\frac{4 π}{12} + \frac{9 π}{12} = \frac{13 π}{12}$ . Risultato: $8 e^{13 π i /12}$ .
$\frac{z}{w}$ : distanze $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , angoli $\frac{4 π}{12} - \frac{9 π}{12} = - \frac{5 π}{12}$ . Risultato: $\frac{1}{2} e^{- 5 π i /12}$ , oppure $\frac{1}{2} e^{19 π i /12}$ aggiungendo un giro.
$w^{- 1}$ : distanza $\frac{1}{4}$ , angolo $- \frac{3 π}{4}$ . Risultato: $\frac{1}{4} e^{- 3 π i /4} = \frac{1}{4} e^{5 π i /4}$ .
$\overset{z}{ˉ} = 2 e^{- iπ /3}$ . Quindi $\overset{z}{ˉ} w$ ha distanza $2 \cdot 4 = 8$ e angolo $- \frac{4 π}{12} + \frac{9 π}{12} = \frac{5 π}{12}$ . Risultato: $8 e^{5 π i /12}$ .

Controllo sul primo: $z \cdot w$ deve avere distanza uguale al prodotto delle distanze, 8, ed è così.

11 · Dal foglio 1 del tutorato: $z^{10} \overset{z}{ˉ}$ medio

Scrivi $z = \frac{1}{2} (- 3 + i)$ in coordinate polari e calcola $z^{10} \overset{z}{ˉ}$ nella forma $a + bi$ .

Soluzione

$z = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ . Distanza: $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ . Coseno $- \frac{3}{2}$ , seno $\frac{1}{2}$ : secondo quadrante, angolo $\frac{5 π}{6}$ . Quindi $z = e^{5 π i /6}$ .
$z^{10} = e^{50 π i /6}$ e $\overset{z}{ˉ} = e^{- 5 π i /6}$ . Nel prodotto gli angoli si sommano: $z^{10} \overset{z}{ˉ} = e^{(50 - 5) π i /6} = e^{45 π i /6} = e^{15 π i /2}$ .
Accorcio: un giro in mezzi è $\frac{4}{2} π$ , e $15 = 4 \cdot 3 + 3$ . Quindi $\frac{15 π}{2}$ è 3 giri più $\frac{3 π}{2}$ .
$z^{10} \overset{z}{ˉ} = e^{3 π i /2} = - i$ .

Una scorciatoia: siccome la distanza di $z$ è 1, il coniugato è anche l'inverso (esercizio 8 della lezione L02). Quindi $z^{10} \overset{z}{ˉ} = z^{10} z^{- 1} = z^{9} = e^{45 π i /6}$ , lo stesso conto.

12 · Dal foglio 1 del tutorato: tre calcoli di radici medio

Calcola: (a) le radici quarte di $- i$ ; (b) le radici terze di $8$ ; (c) le radici quinte di $\frac{1}{2} (- 3 + i)$ .

Soluzione

(a) $- i$ è dritto verso il basso: distanza 1, angolo $\frac{3 π}{2}$ . Le radici quarte hanno distanza 1. Il primo angolo è $\frac{3 π}{2}$ diviso 4, cioè $\frac{3 π}{8}$ ; il passo è $\frac{π}{2} = \frac{4 π}{8}$ . Gli angoli sono $\frac{3 π}{8}$ , $\frac{7 π}{8}$ , $\frac{11 π}{8}$ , $\frac{15 π}{8}$ . Le radici sono $e^{3 π i /8}$ , $e^{7 π i /8}$ , $e^{11 π i /8}$ , $e^{15 π i /8}$ .

(b) $8$ è un reale positivo: distanza 8, angolo 0. Le radici terze hanno distanza $38 = 2$ e angoli $0$ , $\frac{2 π}{3}$ , $\frac{4 π}{3}$ . Sono

2, 2 e^{2 π i /3} = - 1 + i 3, 2 e^{4 π i /3} = - 1 - i 3 .

Tra i numeri reali c'era solo 2; le altre due sono complesse e coniugate tra loro.

(c) Dall'esercizio precedente $\frac{1}{2} (- 3 + i) = e^{5 π i /6}$ . Le radici quinte hanno distanza 1. Il primo angolo è $\frac{5 π}{6}$ diviso 5, cioè $\frac{π}{6}$ ; il passo è $\frac{2 π}{5}$ . Per sommarli uso i trentesimi: $\frac{π}{6} = \frac{5 π}{30}$ e $\frac{2 π}{5} = \frac{12 π}{30}$ . Gli angoli sono

\frac{5 π}{30} = \frac{π}{6}, \frac{17 π}{30}, \frac{29 π}{30}, \frac{41 π}{30}, \frac{53 π}{30} .

Le radici sono $e^{iπ /6} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ e le altre quattro $e^{17 π i /30}$ , $e^{29 π i /30}$ , $e^{41 π i /30}$ , $e^{53 π i /30}$ : i vertici di un pentagono regolare.

Controllo sulla (b): $(- 1 + i 3)^{3}$ ha distanza $2^{3} = 8$ e angolo $3 \cdot \frac{2 π}{3} = 2 π$ , quindi vale 8.

13 · Dal libro di Martelli (Esercizio 1.13): $z^{4} = - 16$ medio

Determina tutte le soluzioni di $z^{4} = - 16$ e disegnale.

Soluzione

$- 16$ è un reale negativo: $- 16 = 16 e^{iπ}$ .
La distanza delle soluzioni è $416 = 2$ , perché $2^{4} = 16$ .
Il primo angolo è $\frac{π}{4}$ ; il passo è $\frac{π}{2}$ . Gli angoli sono $\frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ , $\frac{5 π}{4}$ , $\frac{7 π}{4}$ .
Nella forma $a + bi$ , con $2 cos \frac{π}{4} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2$ :
$2 + 2 i, - 2 + 2 i, - 2 - 2 i, 2 - 2 i .$

Sono i vertici di un quadrato con il centro nell'origine, su un cerchio di raggio 2, girato di $45°$ rispetto agli assi.

Controllo: $(2 + 2 i)^{2} = 2 + 4 i + 2 i^{2} = 2 + 4 i - 2 = 4 i$ , e $(4 i)^{2} = 16 i^{2} = - 16$ .

−2−112−11

Re

Im

2 + 2 i

- 2 + 2 i

- 2 - 2 i

2 - 2 i

Le soluzioni di

z^{4} = - 16

: un quadrato di raggio

2

con i vertici sulle bisettrici

14 · Dal libro di Martelli (Esercizio 1.14): $z^{4} = \overset{z}{ˉ}^{3}$ difficile

Determina tutti i numeri complessi $z$ tali che $z^{4} = \overset{z}{ˉ}^{3}$ .

Soluzione

Il caso $z = 0$ . $0^{4} = 0$ e anche il coniugato di 0, al cubo, è 0. Quindi lo zero è una soluzione.

Il caso $z$ diverso da zero. Scrivo $z = r e^{i ϑ}$ con $r$ positivo. Il coniugato ha la stessa distanza e l'angolo opposto: $\overset{z}{ˉ} = r e^{- i ϑ}$ . Allora

z^{4} = r^{4} e^{4 i ϑ}, \overset{z}{ˉ}^{3} = r^{3} e^{- 3 i ϑ} .

Due forme polari sono uguali esattamente quando:

le distanze sono uguali: $r^{4} = r^{3}$ . Divido per $r^{3}$ , che non è zero: $r = 1$ ;
gli angoli differiscono di giri interi: $4 ϑ = - 3 ϑ + 2 k π$ . Porto $- 3 ϑ$ a sinistra: $7 ϑ = 2 k π$ , cioè $ϑ = \frac{2 k π}{7}$ .

Per $k = 0, 1, \dots, 6$ vengono sette punti diversi; gli altri valori di $k$ ripetono gli stessi. Le soluzioni diverse da zero sono quindi le radici settime dell'unità $e^{2 k π i /7}$ : i vertici di un ettagono regolare sulla circonferenza di raggio 1.

In totale le soluzioni sono 8: lo zero e le sette radici settime di 1.

Controllo su una di esse, $z = e^{2 π i /7}$ : $z^{4} = e^{8 π i /7}$ e $\overset{z}{ˉ}^{3} = e^{- 6 π i /7}$ . Gli angoli differiscono di $\frac{8 π}{7} + \frac{6 π}{7} = \frac{14 π}{7} = 2 π$ , un giro intero: sono lo stesso numero.

15 · Come all'esame: una potenza molto alta tipo esame

Dato $z = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ , allora $z^{2026}$ è uguale a: (a) $z$ ; (b) $1$ ; (c) $- 1$ ; (d) $\overset{z}{ˉ}$ ; (e) $2026 z$ .

Soluzione

Forma polare. Distanza: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ . Coseno $- \frac{1}{2}$ e seno $\frac{3}{2}$ : secondo quadrante, angolo $\frac{2 π}{3}$ . Quindi $z = e^{2 π i /3}$ .
Potenza. $z^{2026} = e^{2026 \cdot 2 π i /3} = e^{4052 π i /3}$ .
Accorcio. Un giro in terzi è $\frac{6}{3} π$ . Divido: $4052 = 6 \cdot 675 + 2$ . Quindi $\frac{4052 π}{3}$ è 675 giri più $\frac{2 π}{3}$ .
$z^{2026} = e^{2 π i /3} = z$ : risposta (a).

Scorciatoia: $z$ è una radice terza dell'unità, perché $z^{3} = e^{2 π i} = 1$ . Quindi conta solo il resto di 2026 diviso 3: $2026 = 3 \cdot 675 + 1$ , e $z^{2026} = (z^{3})^{675} \cdot z = 1 \cdot z = z$ . La risposta (e) è l'errore di chi moltiplica invece di elevare.

16 · Come all'esame: quale è una radice tipo esame

Quale dei seguenti numeri è una radice quarta di $- 4$ ? (a) $1 + i$ ; (b) $2$ ; (c) $2 i$ ; (d) $2 i$ ; (e) $1 + 2 i$ .

Soluzione

Con la formula.

$- 4 = 4 e^{iπ}$ .
Le radici quarte hanno distanza $44 = 2$ , perché $(2)^{4} = 4$ .
Gli angoli sono $\frac{π}{4}$ , poi passi di $\frac{π}{2}$ .
Con il primo angolo: $2 e^{iπ /4} = 2 (\frac{2}{2} + \frac{2}{2} i) = 1 + i$ . Risposta (a). Le altre radici sono $- 1 + i$ , $- 1 - i$ , $1 - i$ .

Scartando le risposte. $∣2 i ∣ = 2$ e $∣1 + 2 i ∣ = 5$ hanno la distanza sbagliata: deve essere $2$ . $2$ e $2 i$ hanno la distanza giusta ma angoli $0$ e $\frac{π}{2}$ , che non sono nella lista: infatti $(2)^{4} = 4$ e $(2 i)^{4} = 4 i^{4} = 4$ , non $- 4$ .

Controllo della (a): $(1 + i)^{2} = 2 i$ e $(2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ .

§13

Domande di ripasso

autoverifica

Che cosa sono le coordinate polari di un punto diverso dall'origine? Come si passa da quelle cartesiane e viceversa?

Sono la distanza $r$ del punto dall'origine e l'angolo $ϑ$ con la semiretta orizzontale verso destra. Da polari a cartesiane: $x = r cos ϑ$ , $y = r sin ϑ$ . Al contrario: $r$ con Pitagora, poi coseno e seno sono le coordinate divise per $r$ (Definizione 3.1).

Perché per trovare l'angolo servono sia il coseno sia il seno?

Perché lo stesso coseno va bene per due angoli: $(1, 3)$ e $(1, - 3)$ hanno tutti e due coseno $\frac{1}{2}$ , ma uno è in alto e l'altro in basso. I segni di coseno e seno insieme dicono il quadrante.

Che cosa vuol dire

e^{i ϑ}

, e che cosa sono modulo e argomento di

z = r e^{i ϑ}

$e^{i ϑ}$ è un'abbreviazione di $cos ϑ + i sin ϑ$ : il punto della circonferenza di raggio 1 all'angolo $ϑ$ . In $z = r e^{i ϑ}$ il numero positivo $r$ è il modulo, cioè la distanza dall'origine, e $ϑ$ è l'argomento, cioè l'angolo.

Che cosa dice la Proposizione 3.2 e perché è vera?

Dice che $e^{i (ϑ + φ)} = e^{i ϑ} e^{i φ}$ : moltiplicare due punti del cerchio vuol dire sommare gli angoli. Si dimostra svolgendo il prodotto $(cos ϑ + i sin ϑ) (cos φ + i sin φ)$ : le due parti che escono sono le formule di addizione del coseno e del seno.

Come si moltiplicano due numeri complessi in forma polare? Che cosa vuol dire nel disegno?

Le distanze si moltiplicano e gli angoli si sommano. Nel disegno, moltiplicare per un numero vuol dire girare del suo angolo e allungare quanto la sua distanza.

Quali sono l'inverso e il coniugato di

z = r e^{i ϑ}

L'inverso è $\frac{1}{r} e^{- i ϑ}$ : distanza inversa, angolo opposto. Il coniugato è $r e^{- i ϑ}$ : stessa distanza, angolo opposto. Nel disegno il coniugato è il riflesso rispetto all'asse orizzontale.

Quando due forme polari indicano lo stesso numero?

Quando hanno la stessa distanza e gli angoli differiscono di un numero intero di giri, cioè di $2 k π$ con $k$ intero.

Che cos'è l'identità di Eulero? Quanto valgono

e^{iπ /2}

e^{2 π i}

È $e^{iπ} = - 1$ : mezzo giro porta da 1 a $- 1$ . Inoltre $e^{iπ /2} = i$ (un quarto di giro) ed $e^{2 π i} = 1$ (un giro intero).

Come si calcola una potenza in forma polare? Fai un esempio.

La distanza si eleva alla $n$ e l'angolo si moltiplica per $n$ . Per esempio $1 + i = 2 e^{iπ /4}$ , quindi $(1 + i)^{8}$ ha distanza $(2)^{8} = 16$ e angolo $2 π$ : vale 16.

Quante soluzioni ha

z^{n} = z_{0}

con

z_{0}

diverso da zero, e come si trovano?

Esattamente $n$ . Hanno tutte distanza $n r_{0}$ . Il primo angolo è $\frac{ϑ _{0}}{n}$ , e gli altri si ottengono aggiungendo $\frac{2 π}{n}$ fino ad averne $n$ .

Che figura formano le radici

n

-esime di un numero complesso?

I vertici di un poligono regolare con $n$ lati, centrato nell'origine, su un cerchio di raggio $n r_{0}$ . Per le radici di 1 uno dei vertici è 1.

Quali sono le radici terze di

- 8

? Perché il primo angolo è

\frac{π}{3}

Sono $1 + 3 i$ , $- 2$ e $1 - 3 i$ (Esempio 3.4). Il primo angolo è $\frac{π}{3}$ perché $- 8 = 8 e^{iπ}$ e si divide l'angolo $π$ per 3; poi si aggiunge due volte $\frac{2 π}{3}$ .

Perché

- 6 e^{3 π i /4}

non è una forma polare? Come si corregge?

Perché il numero davanti deve essere la distanza, che è positiva. Si porta il segno meno dentro l'angolo con $- 1 = e^{iπ}$ : $- 6 e^{3 π i /4} = 6 e^{iπ} e^{3 π i /4} = 6 e^{7 π i /4}$ .

§14

Glossario

termini

Radiante: Unità di misura degli angoli: l'angolo misura la strada fatta sulla circonferenza di raggio 1. Un giro vale $2 π$ , mezzo giro $π$ .
Circonferenza unitaria: Il cerchio con centro nell'origine e raggio 1. Il suo punto all'angolo $ϑ$ è $(cos ϑ, sin ϑ)$ , cioè il numero $e^{i ϑ}$ .
Coordinate polari: Distanza dall'origine e angolo: due numeri che dicono dove sta un punto diverso dall'origine. Per esempio $(1, 3)$ ha coordinate polari $(2, \frac{π}{3})$ .
Forma trigonometrica: La scrittura $z = r (cos ϑ + i sin ϑ)$ , con la distanza fuori dalla parentesi.
Esponenziale complessa $e^{i ϑ}$: Abbreviazione di $cos ϑ + i sin ϑ$ . Si comporta come una potenza: nel prodotto gli angoli si sommano.
Forma polare: La scrittura $z = r e^{i ϑ}$ , con $r$ positivo. Vale per i numeri diversi da zero.
Modulo: La distanza del numero dall'origine. Si scrive $∣ z ∣$ ; per esempio $∣ 1 + i ∣ = 2$ .
Argomento (fase): L'angolo del numero in forma polare. Si può cambiare di giri interi senza cambiare il numero.
Argomento principale: L'argomento scelto in un intervallo fissato, di solito tra $- π$ e $π$ oppure tra 0 e $2 π$ .
Formule di addizione: Le regole per il coseno e il seno di una somma di angoli. Servono a dimostrare la regola del prodotto.
Regola del prodotto: Nel prodotto di due numeri complessi le distanze si moltiplicano e gli angoli si sommano.
Identità di Eulero: $e^{iπ} = - 1$ : mezzo giro porta da 1 a $- 1$ .
Formula di De Moivre: La formula delle potenze: $(r e^{i ϑ})^{n} = r^{n} e^{in ϑ}$ .
Radici $n$ -esime: Gli $n$ numeri che elevati alla $n$ danno un numero dato diverso da zero. Hanno tutti la stessa distanza e angoli a passi di $\frac{2 π}{n}$ .
Radici $n$ -esime dell'unità: Le soluzioni di $z^{n} = 1$ : $e^{2 k π i / n}$ . Per $n = 4$ sono $1$ , $i$ , $- 1$ , $- i$ .
Poligono regolare: Un poligono con tutti i lati e tutti gli angoli uguali, come il triangolo equilatero o il quadrato. Le radici $n$ -esime ne sono i vertici.

La lezione in 6 punti

Ripasso: angoli, seno e coseno

Gli angoli in radianti

Seno e coseno sul cerchio

Gli altri tre quarti del cerchio

Le regole che servono

Due modi per dire dove sta un punto

Il nome e i simboli

Andare e tornare

Due esempi per ogni verso

Un numero complesso con distanza e angolo

Il coniugato

L'abbreviazione eiϑ

I numeri da riconoscere a colpo d'occhio

Moltiplicare vuol dire girare e allungare

Perché è vera

L'inverso e il quoziente

Quando due angoli indicano lo stesso punto

Il giro completo e l'identità di Eulero

Le potenze: girare più volte

Le radici: n punti in cerchio

Un esempio con i numeri: z3=−8

Il ragionamento in generale

Due esempi delle dispense

Le radici quadrate

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

I metodi

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: gradi e radianti base

2 · Riscaldamento: leggere una forma polare base

3 · Riscaldamento: un prodotto in forma polare base

4 · Riscaldamento: quante radici base

5 · Conversioni base

6 · Esercizio 3.7 delle dispense: tre insiemi in coordinate polari base

7 · Esercizio 3.8 delle dispense: (1−i)3 in due modi base

8 · Esercizio 3.5 delle dispense: z4=i medio

9 · Esercizio 3.6 delle dispense: coordinate polari medio

10 · Prodotto e quoziente in forma polare medio

11 · Dal foglio 1 del tutorato: z10zˉ medio

12 · Dal foglio 1 del tutorato: tre calcoli di radici medio

13 · Dal libro di Martelli (Esercizio 1.13): z4=−16 medio

14 · Dal libro di Martelli (Esercizio 1.14): z4=zˉ3 difficile

15 · Come all'esame: una potenza molto alta tipo esame

16 · Come all'esame: quale è una radice tipo esame

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

L'abbreviazione $e^{i ϑ}$

Un esempio con i numeri: $z^{3} = - 8$

7 · Esercizio 3.8 delle dispense: $(1 - i)^{3}$ in due modi base

8 · Esercizio 3.5 delle dispense: $z^{4} = i$ medio

11 · Dal foglio 1 del tutorato: $z^{10} \overset{z}{ˉ}$ medio

13 · Dal libro di Martelli (Esercizio 1.13): $z^{4} = - 16$ medio

14 · Dal libro di Martelli (Esercizio 1.14): $z^{4} = \overset{z}{ˉ}^{3}$ difficile