Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L04

Polinomi

Un polinomio è una macchina che prende un numero e ne restituisce un altro. Qui impari a dividere i polinomi con il resto, come i numeri alle elementari, e a trovare i numeri che fanno uscire zero: le radici. Servono in tutto il corso, dagli autovalori ai determinanti con un parametro.

Dispense: lezione 4 · pp. 15–19
Libro: Martelli, §1.3 (pp. 21–25) e §1.4.7–1.4.8 (pp. 31–33)
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare
Ripasso

La lezione in 7 punti

Un polinomio è un'espressione come $x^{2} - 3$ , fatta di numeri e di potenze di una lettera, messi insieme con più, meno e per. Funziona come una macchina: metti un numero al posto della lettera ed esce un numero. Il grado è l'esponente più alto.
I polinomi si dividono con il resto, come i numeri alle elementari: 17 diviso 5 fa 3 con il resto di 2. Se il resto è zero, il divisore divide il polinomio.
Una radice è un numero che, messo nella macchina, fa uscire zero. Il numero $a$ è una radice esattamente quando il polinomio si divide per $x - a$ senza resto.
La molteplicità di una radice dice quante volte il fattore $x - a$ «ci sta» nel polinomio.
Un polinomio ha al massimo tante radici quanto è il suo grado. Tra i numeri complessi ne ha esattamente tante quanto il grado, contate con la molteplicità: è il teorema fondamentale dell'algebra.
Se i numeri del polinomio sono reali, le radici complesse vengono a coppie: una e il suo coniugato.
All'esame: «quale di questi numeri è una radice?» è stata la domanda sui complessi in tre appelli, e le radici dei polinomi servono in quasi ogni problema sugli autovalori.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Che cos'è un polinomio

p. 15

Prendi questa regola: «prendi un numero, moltiplicalo per sé stesso e togli 3». Si scrive così:

x^{2} - 3.

La lettera $x$ è un posto vuoto in cui mettere un numero. Proviamo con qualche numero:

Metto	Conto	Esce
$2$	$2^{2} - 3 = 4 - 3$	$1$
$0$	$0^{2} - 3 = 0 - 3$	$- 3$
$- 2$	$(- 2)^{2} - 3 = 4 - 3$	$1$

Un'espressione così è un polinomio: una macchina che prende un numero e ne restituisce un altro.

Le dispense descrivono i polinomi come le funzioni più semplici che ci siano. Si costruiscono con numeri e lettere usando solo tre operazioni: più, meno e per. Niente divisioni per una lettera, niente radici di una lettera, niente esponenti negativi. Per esempio $x^{2} + 3$ è un polinomio; $\frac{1}{x}$ e $x$ no.

I mattoni: i monomi

Un polinomio è fatto di pezzi messi in somma. Ogni pezzo si chiama monomio: un numero moltiplicato per delle lettere, con esponenti interi positivi o zero.

In un monomio ci sono due parti:

il coefficiente, cioè il numero davanti;
la parte letterale, cioè le lettere con i loro esponenti.

Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue lettere. Una lettera senza esponente scritto ha esponente 1.

Monomio	Coefficiente	Parte letterale	Grado
$4 x$	$4$	$x$	$1$
$- 2 x y$	$- 2$	$x y$	$1 + 1 = 2$
$5 x^{3}$	$5$	$x^{3}$	$3$
$7$	$7$	nessuna	$0$

Sono i tre esempi delle dispense, più l'ultima riga: un monomio senza lettere è solo un numero, e ha grado zero.

Polinomi e forma normale

Un polinomio è una somma di monomi, per esempio $7 + 3 x^{2} - 2 y^{3}$ . Qui le lettere sono due, $x$ e $y$ .

Lo stesso polinomio si può scrivere in tanti modi. Per esempio $3 x^{2} + 2 x - x^{2} + 5 - 2 x$ è lo stesso di $2 x^{2} + 5$ : basta mettere insieme i pezzi simili.

I pezzi con $x^{2}$ : $3 x^{2} - x^{2} = 2 x^{2}$ .
I pezzi con $x$ : $2 x - 2 x = 0$ , e spariscono.
Il numero da solo: $5$ .

Resta $2 x^{2} + 5$ . Questa scrittura ordinata, senza pezzi doppi e senza pezzi con coefficiente zero, si chiama forma normale. Le dispense lo scrivono così.

Definizione · Forma normale e grado (p. 15)

Un polinomio è ridotto in forma normale se è scritto come somma di monomi con parti letterali differenti e coefficienti non nulli, oppure è il polinomio $0$ . Per ridurlo in forma normale è sufficiente raccogliere i monomi con la stessa parte letterale e quindi eliminare quelli con coefficiente nullo.

Il grado di un polinomio scritto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi.

Come si legge. Un polinomio è in forma normale quando ogni parte letterale compare una volta sola e nessun coefficiente è zero. Per arrivarci si mettono insieme i pezzi con le stesse lettere e si cancellano quelli che si annullano. Il grado del polinomio è il grado più alto tra i suoi pezzi.

Esempio · Ridurre e poi leggere il grado

$3 x^{2} + 2 x - x^{2} + 5 - 2 x$ : si raccolgono i monomi simili, $(3 - 1) x^{2} + (2 - 2) x + 5 = 2 x^{2} + 0 x + 5$ , e si elimina quello con coefficiente nullo. Forma normale: $2 x^{2} + 5$ , grado $2$ .

$7 + 3 x^{2} - 2 y^{3}$ è già in forma normale: i monomi hanno gradi $0$ , $2$ e $3$ , quindi il polinomio ha grado $3$ .

Trappola · Il grado si legge dopo aver ridotto

$(x + 1)^{2} - x^{2}$ sembra di secondo grado. Ma svolgendo il quadrato viene $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} = 2 x + 1$ : il grado è 1. Prima si riduce in forma normale, poi si guarda il grado.

Prova tu

Qual è il grado di

x^{4} + 2 x - x^{4} + 3

I due pezzi $x^{4}$ e $- x^{4}$ si cancellano. Resta $2 x + 3$ , che ha grado 1.

Da ricordare

Un polinomio è una somma di monomi: numeri per potenze di lettere.
Il grado è l'esponente più alto, letto dopo aver messo insieme i pezzi simili.

§2

I polinomi con una sola lettera

p. 15

Nel corso servono quasi sempre i polinomi con una lettera sola. La lettera è di solito la $x$ , e il polinomio si indica con $p (x)$ , che si legge «pi di ics», o solo con $p$ .

Si scrivono in ordine, dal pezzo con l'esponente più alto a quello più basso. Per esempio:

x^{3} - 2 x + 5.

Qui ci sono le potenze 3, 1 e 0 di $x$ . La potenza 2 manca: è come se ci fosse $0 \cdot x^{2}$ .

I coefficienti con i numerini

Per parlare di un polinomio qualsiasi le dispense chiamano i suoi numeri con una lettera e un numerino in basso. Il numerino dice a quale potenza appartiene il numero:

$a_{3}$ , «a tre», è il numero davanti a $x^{3}$ ;
$a_{2}$ è il numero davanti a $x^{2}$ ;
$a_{1}$ è il numero davanti a $x$ ;
$a_{0}$ è il numero da solo, senza $x$ . Si chiama termine noto.

Per $x^{3} - 2 x + 5$ : $a_{3} = 1$ , $a_{2} = 0$ (manca il pezzo con $x^{2}$ ), $a_{1} = - 2$ , $a_{0} = 5$ . Per $4 x^{2} - 7$ : $a_{2} = 4$ , $a_{1} = 0$ , $a_{0} = - 7$ . Sono i due esempi delle dispense.

Un polinomio qualsiasi di grado $n$ si scrive allora così:

p (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}, a_{n} \neq = 0.

I tre puntini vogliono dire «e tutti i pezzi in mezzo, con le potenze da $n - 1$ fino a 2». La condizione $a_{n} \neq = 0$ , « $a_{n}$ diverso da zero», dice che il pezzo più alto c'è davvero: altrimenti il grado non sarebbe $n$ . Un polinomio di grado zero è solo un numero diverso da zero.

Gli insiemi di polinomi

Le dispense danno un nome agli insiemi di polinomi che useremo.

Definizione · Gli insiemi di polinomi (p. 15)

$R [x]$ è l'insieme dei polinomi con coefficienti in $R$ in cui compare una sola variabile $x$ , e $C [x]$ l'insieme dei polinomi con coefficienti in $C$ in cui compare una sola variabile $x$ . Con $R_{k} [x]$ si indicano i polinomi in $R [x]$ che hanno grado $\leq k$ (analogamente $C_{k} [x]$ ).

Come si legge.

$R$ sono i numeri reali e $C$ i numeri complessi (lezioni L01 e L02).
$R [x]$ , «erre di ics», sono i polinomi in $x$ i cui numeri sono reali. $C [x]$ sono quelli i cui numeri possono essere complessi.
$R_{k} [x]$ , «erre kappa di ics», sono i polinomi reali di grado al massimo $k$ . Il simbolo $\leq$ si legge «minore o uguale».

Tre cose da notare:

Ogni polinomio di $R [x]$ sta anche in $C [x]$ , perché i numeri reali sono anche complessi. Per esempio $x^{2} + 1$ sta in tutti e due. Invece $i x + 1$ sta in $C [x]$ ma non in $R [x]$ .
$R_{2} [x]$ contiene tutti i polinomi reali di grado 2 o meno: $x^{2} - 3$ , ma anche $5 x$ , il numero 7 e il polinomio 0. Non contiene $x^{3}$ .
Dalla lezione L05 in poi $R_{k} [x]$ sarà uno degli esempi principali di spazio vettoriale. Negli appelli compaiono spesso domande su insiemi come «i polinomi di $R_{3} [x]$ che valgono zero in 6».

Prova tu

Quali di questi polinomi stanno in

R_{2} [x]

? (a)

3 x - 1

; (b)

x^{3}

; (c)

2 i x^{2}

; (d)

5

(a) Sì: grado 1, numeri reali. (b) No: grado 3. (c) No: il numero $2 i$ non è reale. (d) Sì: grado zero, numero reale.

Oltre le dispense · il polinomio nullo e il grado dei prodotti

Il polinomio $0$ non ha monomi, quindi il suo grado non è definito (alcuni libri gli danno grado $- \infty$ ). Per due polinomi non nulli valgono due regole utili:

$de g (pq) = de g p + de g q$ : i termini di grado più alto si moltiplicano, $a_{n} x^{n} \cdot b_{m} x^{m} = a_{n} b_{m} x^{n + m}$ , e $a_{n} b_{m} \neq = 0$ . Per esempio $(x^{2} + 1) (x^{3} - x)$ ha grado $5$ .
$de g (p + q) \leq$ il più grande tra $de g p$ e $de g q$ , e può essere più piccolo se i termini più alti si cancellano, come nella trappola della sezione precedente.

Qui $de g$ è l'abbreviazione di «grado» (dall'inglese degree). Martelli chiama anche monico un polinomio con $a_{n} = 1$ .

Da ricordare

$p (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ : il numerino dice a quale potenza appartiene il numero; $a_{0}$ è il termine noto.
$R [x]$ e $C [x]$ : polinomi con numeri reali o complessi. $R_{k} [x]$ : polinomi reali di grado al massimo $k$ .

§3

Dividere con il resto, come alle elementari

pp. 15–16

Alle elementari hai imparato la divisione con il resto. Hai 44 caramelle e 6 sacchetti: in ogni sacchetto ne metti 7 e ne avanzano 2.

44 = 7 \cdot 6 + 2.

Il 7 è il quoziente, il 2 è il resto. E il resto è più piccolo del divisore 6: se ne avanzassero 6 o più, potresti mettere un'altra caramella in ogni sacchetto.

I polinomi si dividono nello stesso modo. Al posto di «più piccolo» si usa «di grado più basso». Le dispense lo scrivono così.

Proposizione · Divisione con resto (p. 16)

Dati due polinomi $p (x)$ (il dividendo) e $d (x) \neq = 0$ (il divisore), esistono sempre, e sono unici, due polinomi $q (x)$ (il quoziente) e $r (x)$ (il resto) per cui

p (x) = q (x) d (x) + r (x),

con la proprietà che il resto $r (x)$ abbia grado strettamente minore del divisore $d (x)$ .

Come si legge.

$p (x)$ è il polinomio da dividere, $d (x)$ quello per cui si divide. Il divisore non può essere il polinomio zero, come tra i numeri non si divide per zero.
Il quoziente e il resto ci sono sempre, e sono di un solo tipo: «esistono e sono unici».
La formula è la stessa di $44 = 7 \cdot 6 + 2$ .
«Strettamente minore» vuol dire minore e non uguale. È questa condizione che rende quoziente e resto unici: senza, si potrebbero scrivere tante uguaglianze diverse dello stesso tipo (nel quiz ne trovi un esempio).
Il resto può essere il polinomio zero. È il caso più importante: quello in cui la divisione «viene esatta».

Come si fa la divisione in colonna

Le dispense dicono che la divisione si fa con carta e penna, con la stessa procedura dei numeri. Ecco l'esempio delle dispense, passo per passo.

Esempio · L'esempio delle dispense: $x^{3} + 1$ diviso $x^{2} - 1$

Divido il pezzo più alto del dividendo per il pezzo più alto del divisore: $x^{3}$ diviso $x^{2}$ fa $x$ . Il quoziente comincia con $x$ .
Moltiplico il divisore per $x$ : $x \cdot (x^{2} - 1) = x^{3} - x$ .
Tolgo questo risultato dal dividendo: $(x^{3} + 1) - (x^{3} - x) = x + 1$ . Il pezzo $x^{3}$ si è cancellato.
Quello che resta, $x + 1$ , ha grado 1, più basso del grado 2 del divisore. Mi fermo.

Quoziente $q (x) = x$ , resto $r (x) = x + 1$ :

x^{3} + 1 = x (x^{2} - 1) + (x + 1) .

Controllo: $x^{3} - x + x + 1 = x^{3} + 1$ .

Metodo · La divisione in colonna

Scrivi dividendo e divisore dal grado più alto al più basso. Nel dividendo metti $0$ al posto dei gradi che mancano.
Dividi il pezzo più alto del dividendo per il pezzo più alto del divisore: è il primo pezzo del quoziente.
Moltiplica il divisore per questo pezzo e togli il risultato dal dividendo: il pezzo più alto si cancella.
Ripeti i passi 2 e 3 con quello che è rimasto, finché il suo grado diventa più basso del grado del divisore. Quello che resta è il resto.
Controllo: quoziente per divisore, più il resto, deve ridare il dividendo.

Esempio · Una divisione in due passi: $2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 5$ diviso $x^{2} - x + 1$

Pezzi più alti: $2 x^{3}$ diviso $x^{2}$ fa $2 x$ . Moltiplico: $2 x (x^{2} - x + 1) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ . Tolgo:
$(2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 5) - (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x) = 5 x^{2} - 3 x + 5.$
Il grado è ancora 2, uguale a quello del divisore: si continua. $5 x^{2}$ diviso $x^{2}$ fa $5$ . Moltiplico: $5 (x^{2} - x + 1) = 5 x^{2} - 5 x + 5$ . Tolgo:
$(5 x^{2} - 3 x + 5) - (5 x^{2} - 5 x + 5) = 2 x .$
$2 x$ ha grado 1, più basso di 2: fine.

Quoziente $q (x) = 2 x + 5$ , resto $r (x) = 2 x$ . Controllo: $(2 x + 5) (x^{2} - x + 1) + 2 x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 5 x^{2} - 5 x + 5 + 2 x = 2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 5$ .

Prova tu

Dividi

x^{2} + 3 x + 5

per

x + 1

$x^{2}$ diviso $x$ fa $x$ . Moltiplico: $x (x + 1) = x^{2} + x$ . Tolgo: $(x^{2} + 3 x + 5) - (x^{2} + x) = 2 x + 5$ . Il grado è 1, come il divisore: continuo. $2 x$ diviso $x$ fa 2. Moltiplico: $2 (x + 1) = 2 x + 2$ . Tolgo: $(2 x + 5) - (2 x + 2) = 3$ . Quoziente $x + 2$ , resto 3. Controllo: $(x + 2) (x + 1) + 3 = x^{2} + 3 x + 2 + 3 = x^{2} + 3 x + 5$ .

Quando la divisione viene esatta

Tra i numeri, 7 divide 14 ma non 15: 14 diviso 7 ha resto zero, 15 diviso 7 no. Per i polinomi si usa la stessa parola. Le dispense la scrivono così.

Definizione · Divisibilità (p. 16)

Se la divisione tra due polinomi $p (x)$ e $d (x)$ ha resto nullo, allora $p (x) = q (x) d (x)$ per qualche quoziente $q (x)$ , e si dice che $d (x)$ divide $p (x)$ . Si usa la barra verticale $∣$ come sinonimo di «divide»:

9 ∣ 18, (x + 1) ∣ (x^{3} + 1) .

Come si legge. « $d (x)$ divide $p (x)$ » vuol dire che la divisione viene esatta: $p (x)$ è $d (x)$ moltiplicato per qualcosa. La barretta verticale si legge «divide»: $9 ∣ 18$ si legge «nove divide diciotto».

Controlliamo il secondo esempio con la divisione in colonna di $x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 1$ per $x + 1$ . Gli zeri servono a tenere il posto dei gradi che mancano.

$x^{3}$ diviso $x$ fa $x^{2}$ . Moltiplico: $x^{2} (x + 1) = x^{3} + x^{2}$ . Tolgo: resta $- x^{2} + 0 x + 1$ .
$- x^{2}$ diviso $x$ fa $- x$ . Moltiplico: $- x (x + 1) = - x^{2} - x$ . Tolgo: resta $x + 1$ .
$x$ diviso $x$ fa 1. Moltiplico: $1 \cdot (x + 1) = x + 1$ . Tolgo: resta 0.

Il resto è zero e il quoziente è $x^{2} - x + 1$ . Infatti, come notano le dispense, $(x^{3} + 1) = (x^{2} - x + 1) (x + 1)$ .

Trappola · Gli zeri e quando fermarsi

Se nel dividendo mancano dei gradi, come in $x^{3} + 1$ , bisogna scrivere gli zeri: $x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 1$ . Altrimenti si tolgono pezzi di grado diverso. E ci si ferma quando il grado di quello che resta è più basso di quello del divisore, non quando «resta un numero»: dividendo per $x^{2} - x + 1$ , il resto $2 x$ va benissimo.

Da ricordare

Dividendo uguale quoziente per divisore più resto, con il resto di grado più basso del divisore.
Se il resto è zero, il divisore divide il polinomio: si scrive con la barretta $∣$ .

§4

La regola di Ruffini

oltre le dispense

Spesso si divide per un polinomio molto corto: la lettera meno un numero, come $x - 2$ . In questo caso la divisione in colonna si può scrivere in una tabella con i soli numeri. È la regola di Ruffini: è il modo più veloce, e la userai di continuo nella sezione sulle radici.

Un esempio: dividere $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ per $x - 2$ .

Esempio · $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ diviso $x - 2$

Nella prima riga scrivo i coefficienti $2, - 3, 4, - 5$ . A sinistra scrivo il numero 2, quello di $x - 2$ .

	$2$	$- 3$	$4$	$- 5$
$a = 2$		$4$	$2$	$12$
	$2$	$1$	$6$	$7$

Colonna per colonna:

Abbasso il primo numero, 2.
Moltiplico $2 \cdot 2 = 4$ , lo scrivo sotto il $- 3$ e sommo: $- 3 + 4 = 1$ .
Moltiplico $1 \cdot 2 = 2$ , lo scrivo sotto il 4 e sommo: $4 + 2 = 6$ .
Moltiplico $6 \cdot 2 = 12$ , lo scrivo sotto il $- 5$ e sommo: $- 5 + 12 = 7$ .

L'ultimo numero in basso, 7, è il resto. Gli altri, $2, 1, 6$ , sono i coefficienti del quoziente, che ha un grado in meno: $q (x) = 2 x^{2} + x + 6$ .

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5 = (2 x^{2} + x + 6) (x - 2) + 7.

Nota: se metto 2 nel polinomio viene $16 - 12 + 8 - 5 = 7$ , proprio il resto. Non è un caso: lo spiega la prossima sezione.

Metodo · Dividere un polinomio per $x - a$ con Ruffini

Scrivi in fila i coefficienti, dal grado più alto al termine noto, con gli zeri per i gradi che mancano. Scrivi $a$ a sinistra. Attenzione al segno: per dividere per $x + 2$ si usa $a = - 2$ , perché $x + 2 = x - (- 2)$ .
Abbassa il primo coefficiente nell'ultima riga.
Moltiplica per $a$ l'ultimo numero scritto in basso, scrivi il prodotto nella colonna dopo, nella riga di mezzo, e somma: il risultato va in basso.
Ripeti fino all'ultima colonna. L'ultimo numero in basso è il resto. Gli altri sono i coefficienti del quoziente, che ha un grado in meno.

Prova tu

Dividi

x^{2} + 3 x + 5

per

x + 1

con Ruffini, e confronta con il «Prova tu» della sezione di prima.

Qui $a = - 1$ . Coefficienti $1, 3, 5$ . Abbasso 1. $1 \cdot (- 1) = - 1$ , e $3 - 1 = 2$ . $2 \cdot (- 1) = - 2$ , e $5 - 2 = 3$ . In basso $1, 2$ e resto 3: quoziente $x + 2$ , resto 3. Lo stesso risultato della divisione in colonna.

Con lo strumento qui sotto puoi rifare la divisione con altri polinomi e altri valori di $a$ . I coefficienti si scrivono dal grado più alto, separati da spazi. Il pulsante Scomponi con le radici razionali prova tutti i candidati $\pm \frac{divisori del termine noto}{divisori del primo coefficiente}$ e scompone il polinomio: provalo con 1 -6 11 -6 e con 1 -1 -3 5 -2.

Da ricordare

Ruffini divide per $x - a$ con i soli coefficienti: abbassa, moltiplica per $a$ , somma.
L'ultimo numero è il resto; gli altri sono il quoziente, di un grado in meno.

§5

Le radici: i numeri che fanno uscire zero

p. 16

Torna alla macchina dell'inizio, quella che eleva al quadrato e toglie 3. Con il polinomio $x^{2} - 3$ : mettendo 2 esce 1, mettendo 0 esce $- 3$ . C'è un numero che fa uscire zero? Sì: $3$ , perché $(3)^{2} - 3 = 3 - 3 = 0$ . E anche $- 3$ .

Mettere un numero $a$ al posto di $x$ si scrive $p (a)$ , «pi di a». Per esempio, con $p (x) = x^{2} - 3$ :

$p (- 2) = (- 2)^{2} - 3 = 4 - 3 = 1$ ;
$p (0) = 0 - 3 = - 3$ ;
$p (3) = 3 - 3 = 0$ .

I numeri che fanno uscire zero sono speciali, e hanno un nome. Le dispense lo scrivono così.

Definizione 4.1

Un numero $a$ è radice di un polinomio $p (x)$ se $p (a) = 0$ .

Come si legge. Una radice è un numero che, messo al posto di $x$ , fa venire zero. In altre parole, le radici sono le soluzioni dell'equazione $p (x) = 0$ .

Tre esempi:

$- 1$ è radice di $p (x) = x^{3} + 1$ , perché $(- 1)^{3} + 1 = - 1 + 1 = 0$ . È l'esempio delle dispense. Invece 2 non lo è, perché $2^{3} + 1 = 9$ .
$3$ e $- 3$ sono radici di $x^{2} - 3$ .
$i$ è radice di $x^{2} + 1$ , perché $i^{2} + 1 = - 1 + 1 = 0$ . Le radici possono essere numeri complessi, e per controllarle servono i conti delle lezioni L02 e L03.

Le dispense ricordano che trovare le radici di un polinomio è uno dei problemi più antichi dell'algebra. La prossima sezione collega le radici alla divisione.

Prova tu

Il numero 3 è radice di

x^{2} - 2 x - 3

? E il numero 1?

$3^{2} - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$ : sì, 3 è radice.

$1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4$ : no, 1 non è radice.

Da ricordare

$p (a)$ è il numero che esce mettendo $a$ al posto di $x$ .
$a$ è una radice quando $p (a) = 0$ .

§6

Una radice è un fattore che ci sta

pp. 16–17

Alcuni polinomi si possono scrivere come prodotto di pezzi più piccoli. Per esempio $x^{2} - 5 x + 6$ si scrive così: $(x - 2) (x - 3)$ . Controllo: $x^{2} - 3 x - 2 x + 6 = x^{2} - 5 x + 6$ .

Le sue radici sono 2 e 3. Infatti, se metto 2, il primo fattore diventa $2 - 2 = 0$ , e qualsiasi cosa moltiplicata per zero fa zero. Con 3 si annulla il secondo fattore.

Quindi ogni fattore $x - a$ produce una radice $a$ . Vale anche al contrario: ogni radice $a$ produce un fattore $x - a$ . Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 4.2

Il numero $a$ è radice di $p (x)$ se e solo se $(x - a) ∣ p (x)$ .

Come si legge. «Se e solo se» vuol dire che le due cose vanno sempre insieme. $a$ è radice esattamente quando la divisione di $p (x)$ per $x - a$ viene esatta, senza resto.

Il resto è il valore

Nell'esempio di Ruffini il resto della divisione per $x - 2$ era 7, e anche $p (2)$ era 7. È sempre così, ed è il cuore della dimostrazione. Il motivo, a parole:

Divido $p (x)$ per $x - a$ . Il divisore ha grado 1, quindi il resto ha grado zero: è un numero solo, che chiamo $r_{0}$ .
La divisione dice $p (x) = q (x) (x - a) + r_{0}$ .
Metto $a$ al posto di $x$ . Il fattore $a - a$ fa zero, quindi tutto il primo pezzo sparisce. Resta $p (a) = r_{0}$ .

L'idea · il resto è il valore

Il resto della divisione di $p (x)$ per $x - a$ è $p (a)$ . Quindi, per sapere se $a$ è radice, basta calcolare $p (a)$ . E per sapere il resto della divisione per $x - a$ non serve fare la divisione.

Dimostrazione · della Proposizione 4.2

Dalle dispense, con ogni passaggio spiegato.

Dividiamo $p (x)$ per $(x - a)$ : per la divisione con resto, $p (x) = q (x) (x - a) + r (x)$ , con $q (x)$ quoziente e $r (x)$ resto.
Il grado di $r (x)$ è più basso di quello di $x - a$ , che è 1. Quindi $r (x)$ ha grado zero, oppure è il polinomio nullo: è un numero, che scriviamo $r_{0}$ . Allora
$p (x) = q (x) (x - a) + r_{0} .$
Mettiamo $a$ al posto di $x$ : il fattore $a - a$ si annulla, e resta
$p (a) = q (a) (a - a) + r_{0} = 0 + r_{0} = r_{0} .$
Quindi $a$ è radice di $p (x)$ , cioè $p (a) = 0$ , esattamente quando $r_{0} = 0$ .
E $r_{0} = 0$ vuol dire che la divisione per $x - a$ ha resto nullo, cioè che $(x - a)$ divide $p (x)$ . $□$

Scomporre un polinomio

La Proposizione 4.2 dà un modo per scomporre un polinomio in fattori: trovata una radice, si divide.

Esempio · $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$

Provo $x = 1$ : $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ . Quindi 1 è radice e $(x - 1)$ divide il polinomio.
Ruffini con $a = 1$ sui coefficienti $1, - 6, 11, - 6$ : abbasso 1; $1 \cdot 1 = 1$ e $- 6 + 1 = - 5$ ; $- 5 \cdot 1 = - 5$ e $11 - 5 = 6$ ; $6 \cdot 1 = 6$ e $- 6 + 6 = 0$ . Quoziente $x^{2} - 5 x + 6$ , resto 0.
$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ : cerco due numeri che sommati danno 5 e moltiplicati danno 6.

Quindi $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ , con radici 1, 2 e 3.

Metodo · Scomporre un polinomio partendo da una radice

Cerca una radice provando numeri piccoli: $0$ , $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ … Se i coefficienti sono interi, una radice intera divide il termine noto (vedi il riquadro qui sotto).
Dividi per $x - a$ con Ruffini: il polinomio diventa $(x - a)$ per un quoziente di un grado in meno.
Ripeti con il quoziente. Quando arrivi al secondo grado, usa la formula con il $Δ$ (più avanti in questa lezione).

Prova tu

Il resto della divisione di

x^{3} + 2 x - 1

per

x - 1

è…?

Non serve dividere: il resto è il valore in 1. $1 + 2 - 1 = 2$ . Il resto è 2.

Oltre le dispense · le radici razionali

Prendi un polinomio con coefficienti interi e una sua radice che sia una frazione $\frac{u}{v}$ , ridotta ai minimi termini. Allora $u$ divide il termine noto $a_{0}$ , e $v$ divide il primo coefficiente $a_{n}$ . In particolare, se $a_{n} = 1$ , ogni radice razionale è un intero che divide $a_{0}$ . Per $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ i candidati erano solo $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Il motivo: da $p (\frac{u}{v}) = 0$ , moltiplicando per $v^{n}$ , si ottiene $a_{n} u^{n} + a_{n - 1} u^{n - 1} v + \dots + a_{0} v^{n} = 0$ . Tutti i termini tranne l'ultimo sono multipli di $u$ , quindi anche $a_{0} v^{n}$ lo è. Siccome $u$ e $v$ non hanno fattori comuni, $u$ divide $a_{0}$ . Allo stesso modo $v$ divide $a_{n}$ .

Da ricordare

$a$ è radice esattamente quando $x - a$ divide il polinomio.
Il resto della divisione per $x - a$ è $p (a)$ .
Per scomporre: trova una radice, dividi con Ruffini, ripeti.

§7

Quante volte ci sta: la molteplicità

p. 17

Un fattore può comparire più di una volta. Prendi $(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)$ : il fattore $x - 2$ ci sta due volte. La radice è sempre la stessa, il 2, ma conta «doppio».

Le dispense lo scrivono così.

Definizione 4.3

La molteplicità di una radice $a$ di un polinomio $p (x)$ è il massimo numero $k$ tale che $(x - a)^{k}$ divide $p (x)$ .

Come si legge. Si prova a dividere per $x - a$ , poi per $(x - a)^{2}$ , poi per $(x - a)^{3}$ … La molteplicità è l'ultimo esponente per cui la divisione viene ancora esatta. Le dispense dicono: la molteplicità misura «quante volte» $a$ è radice.

Una radice di molteplicità 1 si chiama semplice, di molteplicità 2 doppia, di molteplicità 3 tripla.

Esempio 4.4 · Molteplicità $1$ e $2$

Il polinomio $x^{3} - 1$ ha la radice $1$ con molteplicità $1$ , perché

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

e $(x - 1)$ non divide $x^{2} + x + 1$ , semplicemente perché $1$ non è radice di $x^{2} + x + 1$ : infatti $1 + 1 + 1 = 3 \neq = 0$ .

Allo stesso modo il polinomio $x^{3} - 2 x^{2} + x = x (x^{2} - 2 x + 1) = (x - 1)^{2} x$ ha la radice $1$ con molteplicità $2$ e la radice $0$ con molteplicità $1$ .

Nel secondo polinomio il pezzo $x^{2} - 2 x + 1$ è il quadrato $(x - 1)^{2}$ : è il prodotto notevole «quadrato di una differenza».

Esempio 4.5 · Nel prodotto le molteplicità si sommano

I polinomi $q_{1} (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $q_{2} (x) = x^{2} - 1$ si scrivono

q_{1} (x) = (x - 1)^{2}, q_{2} (x) = (x + 1) (x - 1) .

Il primo ha la radice $1$ con molteplicità $2$ ; il secondo ha le radici $- 1$ e $1$ , entrambe con molteplicità $1$ . Il prodotto

p (x) = q_{1} (x) q_{2} (x) = (x - 1)^{3} (x + 1)

ha la radice $1$ con molteplicità $2 + 1 = 3$ e la radice $- 1$ con molteplicità $1$ .

Quando il polinomio non è già scomposto, la molteplicità si trova dividendo più volte.

Metodo · Calcolare la molteplicità di una radice

Dividi il polinomio per $x - a$ , con Ruffini. Se il quoziente ha ancora $a$ come radice, dividi di nuovo. Continua finché $a$ non è più radice del quoziente: il numero di divisioni fatte è la molteplicità.

Esempio · $p (x) = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ e la radice $1$

$p (1) = 1 - 1 - 3 + 5 - 2 = 0$ , quindi 1 è radice.

Ruffini con $a = 1$ su $1, - 1, - 3, 5, - 2$ : in basso $1, 0, - 3, 2$ e resto 0. Quoziente $x^{3} - 3 x + 2$ .
Nel quoziente metto 1: $1 - 3 + 2 = 0$ . È ancora radice. Ruffini su $1, 0, - 3, 2$ : in basso $1, 1, - 2$ e resto 0. Quoziente $x^{2} + x - 2$ .
Metto 1: $1 + 1 - 2 = 0$ . Ancora radice. Ruffini su $1, 1, - 2$ : in basso $1, 2$ e resto 0. Quoziente $x + 2$ .
Metto 1: $1 + 2 = 3$ , non zero. Mi fermo.

Tre divisioni: la radice 1 ha molteplicità 3, e $p (x) = (x - 1)^{3} (x + 2)$ .

Prova tu

Qual è la molteplicità della radice 0 in

x^{3} + x^{2}

$x^{3} + x^{2} = x^{2} (x + 1)$ . Il fattore $x$ , cioè $x - 0$ , ci sta due volte. La radice 0 è doppia. L'altra radice, $- 1$ , è semplice.

Che cosa si vede nel grafico (oltre le dispense)

Per un polinomio reale, le radici reali sono i punti in cui il grafico tocca l'asse orizzontale. La molteplicità si vede dalla forma. In una radice di molteplicità dispari il grafico attraversa l'asse. In una radice di molteplicità pari lo tocca e torna indietro, perché un fattore al quadrato non cambia mai segno.

Guarda la figura: a sinistra, in $- 2$ , la curva passa da sotto a sopra l'asse; a destra, in 1, scende fino all'asse e risale.

−2−112−112345xy

y = (x - 1)^{2} (x + 2) = x^{3} - 3 x + 2

: in

- 2

(radice semplice) il grafico attraversa l'asse, in

1

(radice doppia) lo tocca soltanto

Da ricordare

La molteplicità dice quante volte il fattore $x - a$ ci sta nel polinomio.
Si calcola dividendo per $x - a$ finché $a$ smette di essere radice.
Nel prodotto di due polinomi le molteplicità si sommano.

§8

Quante radici al massimo

p. 18

Un polinomio di secondo grado può avere due radici: per esempio $x^{2} - 5 x + 6$ ha 2 e 3. Ne può avere tre? No. Ogni radice porta un fattore di grado 1, e i gradi dei fattori si sommano: tre fattori darebbero già grado 3.

Le dispense lo scrivono così.

Teorema 4.6

Un polinomio $p (x)$ di grado $n \geq 1$ ha al più $n$ radici, contate con molteplicità.

Come si legge.

$n \geq 1$ si legge « $n$ maggiore o uguale a 1»: il teorema parla dei polinomi che non sono solo un numero.
«Al più $n$ » vuol dire « $n$ o meno».
«Contate con molteplicità» vuol dire che ogni radice si conta tante volte quanta è la sua molteplicità. Per esempio $(x - 1)^{3} (x + 1)$ ha due radici diverse, ma contate con molteplicità sono $3 + 1 = 4$ , quante il grado.

Il teorema dice che questo conteggio non supera mai il grado. Può essere più piccolo: $x^{2} + 1$ ha grado 2 ma nessuna radice reale.

Dimostrazione · del Teorema 4.6

La dimostrazione usa l'induzione sul grado, che vedrai in dettaglio in Matematica Discreta: si dimostra la tesi per il grado 1 (base), poi si mostra che, se vale per il grado $n - 1$ , vale anche per il grado $n$ (passo induttivo). Così vale per 1, quindi per 2, quindi per 3, e così via.

Base, $n = 1$ . Il polinomio è $p (x) = a_{1} x + a_{0}$ con $a_{1} \neq = 0$ , e $p (x) = 0$ vuol dire $x = - \frac{a _{0}}{a _{1}}$ : c'è una sola radice, di molteplicità 1. La tesi è vera.

Passo induttivo. Supponiamo la tesi vera per i polinomi di grado $n - 1$ e prendiamo $p (x)$ di grado $n$ .

Se $p (x)$ non ha radici, non c'è niente da dimostrare: zero radici sono meno di $n$ .
Se ha almeno una radice $a$ , per la Proposizione 4.2 possiamo scrivere $p (x) = (x - a) q (x)$ , e $q (x)$ ha grado $n - 1$ (i gradi dei fattori si sommano).
Per l'ipotesi induttiva $q (x)$ ha al più $n - 1$ radici contate con molteplicità.
Le radici di $p (x)$ , contate con molteplicità, sono esattamente quelle di $q (x)$ più $a$ . Infatti per $b \neq = a$ vale $p (b) = (b - a) q (b)$ con $b - a \neq = 0$ , quindi $p (b) = 0$ esattamente quando $q (b) = 0$ ; e la molteplicità di $a$ in $p$ è quella in $q$ più uno, come nell'Esempio 4.5.
Quindi $p (x)$ ha al più $(n - 1) + 1 = n$ radici, contate con molteplicità. $□$

I polinomi di primo e di secondo grado

Le dispense fanno vedere il teorema sui casi che conosci dalla scuola.

Esempio 4.7 · I polinomi di primo e di secondo grado

Un polinomio di grado $1$ è sempre del tipo $p (x) = a x + b$ con $a \neq = 0$ , e ha sempre una sola radice $x = - \frac{b}{a}$ .

Un polinomio di grado $2$ è del tipo $p (x) = a x^{2} + b x + c$ con $a \neq = 0$ , e le sue radici dipendono dal discriminante $Δ = b^{2} - 4 a c$ nel modo seguente.

Se $Δ > 0$ , il polinomio $p (x)$ ha due radici distinte $x_{\pm} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , entrambe di molteplicità uno.
Se $Δ = 0$ , il polinomio $p (x)$ ha una sola radice $x = - \frac{b}{2 a}$ , con molteplicità due.
Se $Δ < 0$ , il polinomio $p (x)$ non ha radici reali.

In particolare, ci sono polinomi che non hanno radici reali.

Ripasso · la formula del secondo grado

Per $a x^{2} + b x + c$ si calcola prima il discriminante $Δ = b^{2} - 4 a c$ . La lettera greca $Δ$ si legge «delta». Poi le radici sono

x_{\pm} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} .

Il simbolo $\pm$ si legge «più o meno»: la formula dà due numeri, uno con il più e uno con il meno. $x_{\pm}$ è il nome di tutti e due: $x_{+}$ quello con il più, $x_{-}$ quello con il meno.

Esempio: $x^{2} - 5 x + 6$ . Qui $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ . $Δ = 25 - 24 = 1$ , e $1 = 1$ . Le radici sono $\frac{5 + 1}{2} = 3$ e $\frac{5 - 1}{2} = 2$ .

Tre esempi, uno per caso:

Polinomio	$Δ = b^{2} - 4 a c$	Radici reali	Scomposizione
$x^{2} - 5 x + 6$	$25 - 24 = 1 > 0$	$\frac{5 \pm 1}{2}$ , cioè $3$ e $2$	$(x - 2) (x - 3)$
$x^{2} - 4 x + 4$	$16 - 16 = 0$	$\frac{4}{2} = 2$ , doppia	$(x - 2)^{2}$
$x^{2} + x + 1$	$1 - 4 = - 3 < 0$	nessuna	non si scompone in $R$

Prova tu

Quante radici reali ha

x^{2} - 6 x + 9

? Con che molteplicità?

$Δ = 36 - 36 = 0$ : una sola radice, $\frac{6}{2} = 3$ , con molteplicità 2. Infatti $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ .

Approfondimento · da dove viene la formula

Si «completa il quadrato». Per $a \neq = 0$ :

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a} .

Per controllarlo, svolgi il quadrato: $a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}}) - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a} = a x^{2} + b x + c$ . Quindi $p (x) = 0$ equivale a $(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{Δ}{4 a ^{2}}$ . Se $Δ > 0$ si prende la radice quadrata dei due lati, con i due segni. Se $Δ = 0$ resta $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $Δ < 0$ un quadrato reale dovrebbe essere negativo, impossibile. È la dimostrazione della Proposizione 1.3.8 del libro di Martelli.

Da ricordare

Un polinomio di grado $n$ ha al massimo $n$ radici, contate con la molteplicità.
Per il secondo grado decide il $Δ$ : positivo due radici, zero una doppia, negativo nessuna reale.

§9

Nei complessi le radici ci sono tutte

p. 18

Tra i numeri reali alcuni polinomi non hanno radici. Per esempio $x^{2} + 1$ : un quadrato più 1 non fa mai zero. Ma tra i numeri complessi sì: $i$ e $- i$ . Il numero $i$ era stato inventato proprio per questo (lezione L02).

E i polinomi di grado più alto? Le dispense arrivano qui «al vero motivo per cui abbiamo introdotto i numeri complessi in questo corso»: tra i complessi le radici ci sono sempre tutte.

Teorema 4.8 · Teorema fondamentale dell'algebra

Un polinomio $p (x)$ a coefficienti complessi di grado $n$ ha esattamente $n$ radici, contate con molteplicità.

Come si legge.

«A coefficienti complessi» vuol dire che i numeri del polinomio possono essere complessi. Vale anche per i polinomi con numeri reali, perché i reali sono anche complessi.
Il Teorema 4.6 diceva «al più $n$ ». Tra i complessi diventa «esattamente $n$ »: le radici non mancano mai.
Le dispense non lo dimostrano: le dimostrazioni più accessibili usano strumenti di Analisi lontani da questo corso.

Un esempio: $x^{4} - 1$ ha grado 4. Tra i reali ha solo le radici 1 e $- 1$ . Tra i complessi ne ha quattro: 1, $- 1$ , $i$ , $- i$ . Sono le radici quarte dell'unità della lezione L03.

Prova tu

Quante radici complesse ha

x^{5} - x

, contate con la molteplicità?

Il grado è 5, quindi esattamente 5. Infatti $x^{5} - x = x (x^{4} - 1)$ : le radici sono 0, 1, $- 1$ , $i$ , $- i$ .

Oltre le dispense · un'altra forma dello stesso teorema

Nel libro di Martelli il teorema fondamentale (Teorema 1.4.7) dice che ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha almeno una radice. Da qui si ricava la versione delle dispense (Corollario 1.4.8) con la stessa induzione del Teorema 4.6: trovata una radice $z_{1}$ , si scrive $p (x) = (x - z_{1}) q (x)$ e si ripete su $q (x)$ . Il risultato finale si scrive anche come scomposizione in fattori di primo grado (Corollario 1.4.10):

p (x) = a_{n} (x - z_{1}) (x - z_{2}) \dots (x - z_{n}),

dove $z_{1}, \dots, z_{n}$ sono le radici ripetute secondo la molteplicità. Per esempio $x^{4} - 1 = (x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i)$ .

Da ricordare

Tra i numeri complessi un polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ radici, contate con la molteplicità.
È il motivo per cui il corso usa i numeri complessi.

§10

Le equazioni di secondo grado nei complessi

p. 19

Ci sono equazioni di secondo grado senza soluzioni reali. Prendi $x^{2} + 2 x + 5$ : il discriminante è $4 - 20 = - 16$ , negativo, quindi tra i reali niente radici. Ma tra i complessi $- 16$ ha due radici quadrate, $4 i$ e $- 4 i$ (lezione L03). Quindi la formula funziona lo stesso:

x_{\pm} = \frac{- 2 \pm 4 i}{2} = - 1 \pm 2 i .

Le radici sono $- 1 + 2 i$ e $- 1 - 2 i$ . Le dispense lo dicono in generale.

Esempio 4.9 · La solita formula, nei complessi

Per un polinomio di secondo grado $p (x) = a x^{2} + b x + c$ le due radici complesse si trovano usando la solita formula

x_{\pm} = \frac{- b \pm Δ}{2 a} .

Questa volta, $\pm Δ$ indica le due radici quadrate complesse di $Δ$ , che esistono sempre, come visto nella lezione L03.

Qui $a$ , $b$ e $c$ possono essere anche complessi, e allora anche $Δ$ può essere un numero complesso. La distinzione tra $Δ$ positivo, zero o negativo ha senso solo se $Δ$ è reale.

Metodo · Un'equazione di secondo grado nei complessi

Leggi $a$ , $b$ , $c$ e calcola $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
Trova le due radici quadrate di $Δ$ , che chiamo $w$ e $- w$ . Se $Δ$ è un reale negativo, sono $i$ per la radice del suo opposto, con il più e con il meno. Se $Δ$ è complesso, usa la forma polare o il metodo con $u + v i$ (lezioni L02 e L03).
Le radici sono $\frac{- b + w}{2 a}$ e $\frac{- b - w}{2 a}$ .
Controlla mettendole nel polinomio, oppure con somma e prodotto: la somma delle radici è $- \frac{b}{a}$ e il prodotto è $\frac{c}{a}$ .

Esempio 4.10 · Due esempi delle dispense

$x^{2} + 1$ . $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 1$ , quindi $Δ = - 4$ , le cui radici quadrate sono $\pm 2 i$ . Le radici sono $x_{\pm} = \frac{\pm 2 i}{2} = \pm i$ .

$x^{2} + (1 - i) x - i$ . Qui $a = 1$ , $b = 1 - i$ , $c = - i$ , e

Δ = (1 - i)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- i) = (1 - 2 i + i^{2}) + 4 i = - 2 i + 4 i = 2 i .

Le radici quadrate di $2 i$ sono $\pm (1 + i)$ (lezione L03: $2 i = 2 e^{iπ /2}$ e $2 e^{iπ /4} = 1 + i$ ). Quindi

x_{\pm} = \frac{- 1 + i \pm 2 i}{2} = \frac{- 1 + i \pm ( 1 + i )}{2},

quindi $x_{+} = \frac{2 i}{2} = i$ e $x_{-} = \frac{- 2}{2} = - 1$ . Controllo: $i^{2} + (1 - i) i - i = - 1 + i + 1 - i = 0$ e $(- 1)^{2} + (1 - i) (- 1) - i = 1 - 1 + i - i = 0$ .

Nel secondo esempio ci sono due passaggi da guardare con calma:

$- b$ è il contrario di $1 - i$ , cioè $- 1 + i$ .
Dalla formula si ricavano le due radici: una con il più e una con il meno.

Altri due esempi con lo stesso metodo:

$x^{2} + 2 x + 5$ : è l'esempio all'inizio della sezione. Controllo con il prodotto: $(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i) = 1 + 4 = 5$ , che è proprio $\frac{c}{a}$ .
$x^{2} - 2 i x - 2$ : $Δ = (- 2 i)^{2} - 4 \cdot (- 2) = - 4 + 8 = 4$ , con radici quadrate 2 e $- 2$ . Quindi $x_{\pm} = \frac{2 i \pm 2}{2}$ : le radici sono $1 + i$ e $- 1 + i$ . Queste due radici non sono coniugate, perché i numeri del polinomio non sono tutti reali (vedi la prossima sezione).

Prova tu

Trova le radici complesse di

x^{2} + 9

$Δ = 0 - 36 = - 36$ , con radici quadrate $6 i$ e $- 6 i$ . Le radici sono $\frac{\pm 6 i}{2} = \pm 3 i$ . Controllo: $(3 i)^{2} + 9 = - 9 + 9 = 0$ .

Da ricordare

La formula del secondo grado vale anche tra i complessi: al posto della radice di $Δ$ si usano le sue due radici quadrate complesse.
Con $Δ$ reale negativo le radici quadrate sono $i$ per la radice dell'opposto, con il più e con il meno.

§11

Coefficienti reali: radici a coppie

p. 19

Nella sezione di prima le radici venivano spesso a coppie. Per esempio quelle di $x^{2} + 2 x + 5$ sono $- 1 + 2 i$ e $- 1 - 2 i$ . Una è il coniugato dell'altra: stessa parte reale, parte immaginaria con il segno cambiato. Anche $x^{2} + 1$ aveva le radici $i$ e $- i$ , coniugate.

Non è un caso. Quando i numeri del polinomio sono tutti reali, le radici complesse vengono sempre a coppie. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 4.11

Sia $p (x)$ un polinomio a coefficienti reali. Se $z$ è una radice complessa di $p (x)$ , allora $\overset{z}{ˉ}$ è anch'essa radice di $p (x)$ .

Come si legge. Se i numeri del polinomio sono reali e $z$ è una radice, allora anche il coniugato $\overset{z}{ˉ}$ , «zeta segnato», è una radice. Nel disegno del piano complesso le radici sono simmetriche rispetto all'asse orizzontale.

Il motivo, a parole: coniugare non cambia i numeri reali, e il coniugato di una somma o di un prodotto è la somma o il prodotto dei coniugati. Quindi coniugare $p (z) = 0$ dà $p (\overset{z}{ˉ}) = 0$ .

Dimostrazione · della Proposizione 4.11

Dalle dispense, con le regole usate.

Il polinomio è $p (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , e per ipotesi i coefficienti $a_{n}, \dots, a_{0}$ sono tutti reali.
Se $z$ è radice, allora $p (z) = a_{n} z^{n} + \dots + a_{1} z + a_{0} = 0$ .
Applichiamo il coniugio a entrambi i membri. Il coniugato di una somma è la somma dei coniugati e il coniugato di un prodotto è il prodotto dei coniugati (esercizio 2.5, lezione L02); in particolare il coniugato di $z^{k}$ è $\overset{z}{ˉ}^{k}$ . Quindi
$\overline{a_{n}} \overset{z}{ˉ}^{n} + \dots + \overline{a_{1}} \overset{z}{ˉ} + \overline{a_{0}} = \overset{ˉ}{0} = 0.$
Siccome i coefficienti sono reali, il coniugato di ogni $a_{i}$ è $a_{i}$ stesso (lezione L02: un numero è reale esattamente quando è uguale al suo coniugato). Quindi
$a_{n} \overset{z}{ˉ}^{n} + \dots + a_{1} \overset{z}{ˉ} + a_{0} = 0,$
cioè $p (\overset{z}{ˉ}) = 0$ : anche $\overset{z}{ˉ}$ è radice di $p (x)$ . $□$

Esempio · $x^{3} - 1$ e le radici terze dell'unità

$x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ (Esempio 4.4). Il fattore $x^{2} + x + 1$ ha $Δ = 1 - 4 = - 3$ , con radici quadrate $\pm i 3$ , quindi le sue radici sono $\frac{- 1 \pm i 3}{2}$ . Le tre radici di $x^{3} - 1$ sono 1 e la coppia coniugata $- \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ . Sono le tre radici terze dell'unità della lezione L03, e il triangolo che formano è simmetrico rispetto all'asse orizzontale.

Prova tu

Un polinomio con numeri reali ha la radice

2 - 3 i

. Quale altra radice ha di sicuro?

Il coniugato: $2 + 3 i$ .

Trappola · Serve che i coefficienti siano reali

Nell'Esempio 4.10 il polinomio $x^{2} + (1 - i) x - i$ ha la radice $i$ , ma $- i$ non è radice: le radici sono $i$ e $- 1$ . La Proposizione 4.11 non si applica, perché il coefficiente $1 - i$ non è reale. Allo stesso modo, nel problema 11 dell'appello del 03/06/2026 un polinomio caratteristico a coefficienti complessi aveva la radice $i$ doppia e la radice $- i$ semplice.

Oltre le dispense · tre conseguenze

Le radici non reali di un polinomio a coefficienti reali vengono a coppie, una e il suo coniugato. Le due hanno anche la stessa molteplicità, anche se la Proposizione 4.11 da sola non lo dice. Quindi sono in numero pari.
Un polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha sempre almeno una radice reale: le $n$ radici complesse sono in numero dispari, e quelle non reali in numero pari (Proposizione 1.4.13 del libro di Martelli).
Per $z = u + v i$ con $v \neq = 0$ : $(x - z) (x - \overset{z}{ˉ}) = x^{2} - 2 ux + (u^{2} + v^{2})$ , un polinomio reale di secondo grado con $Δ = - 4 v^{2} < 0$ . Per questo ogni polinomio reale si scompone in fattori reali di primo grado e di secondo grado con $Δ < 0$ (Corollario 1.4.12). Per esempio $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ e $x^{4} - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$ .

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

Nel libro di Martelli questa lezione corrisponde al §1.3 «Polinomi» (pp. 21–25). Lì ci sono la definizione, la divisione con resto e le radici, con la Proposizione 1.3.2 (la 4.2 delle dispense). Seguono la molteplicità, il Teorema 1.3.7 (il 4.6) e la formula del secondo grado con la dimostrazione. Poi ci sono le parti 1.4.7 «Teorema fondamentale dell'algebra» e 1.4.8 «Polinomi a coefficienti reali» del §1.4 (pp. 31–33). Gli esempi sono gli stessi delle dispense (in Martelli la prima divisione tra interi è $26 = 2 \cdot 11 + 4$ ). L'Esercizio 1.12 (p. 37) collega la molteplicità alla derivata, che vedrai in Analisi.

Da ricordare

Se i numeri del polinomio sono reali, le radici non reali vengono a coppie: una e il suo coniugato.
Se i numeri non sono tutti reali, la regola non vale.

§12

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$p (x)$	«pi di ics»	un polinomio nella lettera $x$	$p (x) = x^{2} - 3$
$p (a)$	«pi di a»	il numero che esce mettendo $a$ al posto di $x$	$p (2) = 1$
$a_{n}, \dots, a_{1}, a_{0}$	«a enne, …, a uno, a zero»	i coefficienti; il numerino dice la potenza	in $x^{3} - 2 x + 5$ , $a_{1} = - 2$
$de g p$	«grado di pi»	il grado del polinomio	$de g (x^{3} + 1) = 3$
$R [x]$ , $C [x]$	«erre di ics», «ci di ics»	polinomi con numeri reali, complessi	$i x + 1 \in C [x]$
$R_{k} [x]$	«erre kappa di ics»	polinomi reali di grado al massimo $k$	$5 x \in R_{2} [x]$
$\leq$ , $\geq$	«minore o uguale», «maggiore o uguale»	confronti che ammettono l'uguale	$2 \leq 2$
$d (x) ∣ p (x)$	«di divide pi»	la divisione viene esatta	$(x + 1) ∣ (x^{3} + 1)$
$q (x)$ , $r (x)$	«quoziente», «resto»	i risultati della divisione	$x^{3} + 1 = x (x^{2} - 1) + (x + 1)$
$(x - a)^{k}$	«ics meno a alla kappa»	il fattore $x - a$ ripetuto $k$ volte	$(x - 1)^{3}$
$Δ$	«delta»	il discriminante $b^{2} - 4 a c$	per $x^{2} + 1$ , $Δ = - 4$
$x_{\pm}$	«ics più o meno»	le due radici della formula	$x_{\pm} = - 1 \pm 2 i$
$\pm$	«più o meno»	due numeri, uno con il più e uno con il meno	$\pm 2 i$
$\overset{z}{ˉ}$	«zeta segnato»	il coniugato	$\overline{1 + 2 i} = 1 - 2 i$

§13

Verso l'esame

esame

La prova in due righe. 10 domande a risposta multipla (5 risposte, una giusta) e 2 problemi da 11 punti, corretti solo con almeno 6 punti nel quiz; 2 ore, niente calcolatrice, solo 4 facciate di appunti scritti a mano. Appelli 2026/27 di Algebra lineare: 22/01/2027 e 05/02/2027 alle 14:00. Regole complete e fonti nella lezione L01.

Dove compaiono i polinomi negli appelli dal 2023/24 al 2025/26.

Uso	Esempi negli appelli	Lezioni
«quale di questi numeri è una radice di $p (z)$ ?»	10/07/2025 (domanda 1), 03/07/2026 (domanda 7), 07/09/2026 (domanda 1)	questa
radici del polinomio caratteristico, spesso di terzo grado, da scomporre trovando una radice e dividendo	02/09/2025 (domanda 4, con $- t^{3} + 8$ ), problemi su autovalori in quasi tutti gli appelli	L17, L18
un determinante che dipende da un parametro $k$ è un polinomio in $k$ : si trova una radice e si divide	15/01/2026 (problema 11: una radice doppia)	L09, L10
spazi di polinomi: ${p \in R_{3} [x] ∣ p (a) = 0}$ è fatto dai polinomi $(x - a) q (x)$ (Proposizione 4.2)	24/01/2024 (domanda 1), 10/07/2025 (domanda 2), 03/07/2026 (domanda 1)	L05–L07

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 07/09/2026, domanda 1. Il testo: «Quale dei seguenti è una radice del polinomio $p (z) = z^{4} + 5 z^{2} + 4$ ? (a) $z = - 3 + i$ ; (b) $z = 1 - i$ ; (c) $z = - 1$ ; (d) $z = - 2 i$ ; (e) il polinomio non ha radici».

In pratica chiede: quale di questi numeri, messo al posto di $z$ , fa uscire zero?

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: guardo le potenze. Ci sono solo $z^{4}$ , $z^{2}$ e un numero: potenze pari. Allora conviene un trucco: chiamo $t$ il quadrato $z^{2}$ . Siccome $z^{4} = (z^{2})^{2} = t^{2}$ , il polinomio diventa $t^{2} + 5 t + 4$ .

Passo 2: risolvo il secondo grado. Cerco due numeri che sommati danno 5 e moltiplicati danno 4: sono 1 e 4. Quindi $t^{2} + 5 t + 4 = (t + 1) (t + 4)$ , con radici $t = - 1$ e $t = - 4$ .

Passo 3: torno a $z$ . $z^{2} = - 1$ dà $z = i$ oppure $z = - i$ . $z^{2} = - 4$ dà $z = 2 i$ oppure $z = - 2 i$ .

Passo 4: la risposta. Tra le risposte c'è $- 2 i$ : è la (d).

Controllo diretto. $(- 2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ , e $(- 2 i)^{4} = (- 4)^{2} = 16$ . Quindi $p (- 2 i) = 16 + 5 \cdot (- 4) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$ .

Perché la (e) è sbagliata. È la risposta che tenta chi vede che il polinomio, per $z$ reale, è sempre positivo. Ma il teorema fondamentale dice che tra i complessi le radici ci sono sempre: qui sono quattro.

Altre due domande vere

Esempio · Appello del 10/07/2025, domanda 1

Quale dei seguenti è una radice di $p (z) = z^{4} + 7 z^{2} + 12$ ? (a) $z = - 2 i$ ; (b) $z = - 2$ ; (c) il polinomio non ha radici; (d) $z = 3 + 4 i$ ; (e) $z = 4$ .

Soluzione. Compaiono solo potenze pari: con $w = z^{2}$ il polinomio diventa $w^{2} + 7 w + 12 = (w + 3) (w + 4)$ , con radici $w = - 3$ e $w = - 4$ . Quindi $z^{2} = - 3$ oppure $z^{2} = - 4$ , cioè $z = \pm i 3$ oppure $z = \pm 2 i$ . Risposta (a). La (c) è falsa per il teorema fondamentale (le radici sono quattro). La (b) e la (e) sono reali, e per $z$ reale il polinomio vale almeno 12, perché $z^{4}$ e $z^{2}$ non sono mai negativi.

Esempio · Appello del 03/07/2026, domanda 7

Quale dei seguenti è una radice del polinomio $p (z) = z^{3} + 2 z^{2} + z + 2$ ? (a) $z = 0$ ; (b) $z = i$ ; (c) $z = 1 + i$ ; (d) $z = 1$ ; (e) $z^{3} + 2 z^{2} + z + 2 = 0$ .

Soluzione. Raccolgo a coppie: $z^{3} + 2 z^{2} = z^{2} (z + 2)$ e $z + 2 = 1 \cdot (z + 2)$ . Quindi $p (z) = z^{2} (z + 2) + (z + 2) = (z^{2} + 1) (z + 2)$ . Le radici sono $- 2$ , $i$ , $- i$ : risposta (b). Senza scomporre basta provare: $p (i) = i^{3} + 2 i^{2} + i + 2 = - i - 2 + i + 2 = 0$ , mentre $p (0) = 2$ e $p (1) = 6$ . La (e) non è un numero: è l'equazione stessa.

I metodi

Metodo · Trovare le radici di un polinomio di grado 3 o 4 senza calcolatrice

Nel quiz, prova le risposte: con $p (i)$ , $p (2 i)$ , $p (- 1)$ … si trova la risposta giusta in pochi conti.
Solo potenze pari ( $z^{4}$ , $z^{2}$ , numero): chiama $t$ il quadrato $z^{2}$ , risolvi il secondo grado, poi trova le due radici quadrate di ogni $t$ . Se $t$ è negativo, sono $i$ per la radice dell'opposto, con il più e con il meno.
Raccogli a coppie: $z^{3} + 2 z^{2} + z + 2 = z^{2} (z + 2) + 1 \cdot (z + 2)$ .
Prova le radici intere tra i divisori del termine noto, poi dividi con Ruffini.
Resta un secondo grado: formula con il $Δ$ . Se i numeri sono reali e $Δ$ è negativo, le due radici sono coniugate.

Errori da evitare.

Dimenticare gli zeri nella tabella di Ruffini.
Sbagliare il segno di $a$ : per dividere per $x + 2$ si usa $a = - 2$ .
Fermare la divisione troppo presto o troppo tardi.
Confondere il numero di radici diverse con il numero di radici contate con la molteplicità.
Applicare la Proposizione 4.11 a polinomi con numeri complessi.
Con il trucco del quadrato, dimenticare che ogni $t$ dà due radici opposte.

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione: lo schema della divisione in colonna e di Ruffini; « $a$ è radice esattamente quando $(x - a)$ divide $p (x)$ , e il resto della divisione per $x - a$ è $p (a)$ »; molteplicità e metodo delle divisioni ripetute; il $Δ$ e la formula del secondo grado con le due radici quadrate complesse; «coefficienti reali: radici non reali a coppie coniugate»; il trucco $t = z^{2}$ e il raccoglimento a coppie.

§15

Esercizi

con soluzioni

Nota · Gli esercizi di questa lezione

Le dispense non hanno una sezione di esercizi per la lezione 4: gli esercizi qui sotto sono stati scritti per questi appunti, gli ultimi due sul modello degli appelli.

1 · Riscaldamento: mettere un numero nella macchina base

Con $p (x) = x^{2} - 3 x + 1$ , calcola $p (0)$ , $p (2)$ e $p (- 1)$ .

Soluzione

$p (0) = 0 - 0 + 1 = 1$ .
$p (2) = 4 - 6 + 1 = - 1$ .
$p (- 1) = (- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$ .

Attenzione al terzo: $- 3 \cdot (- 1) = + 3$ .

2 · Riscaldamento: leggere un polinomio base

Nel polinomio $5 x^{3} - 2 x + x^{4} - 1$ trova il grado, il termine noto e il coefficiente di $x^{2}$ .

Soluzione

Lo riordino dal grado più alto: $x^{4} + 5 x^{3} + 0 x^{2} - 2 x - 1$ .
Il grado è 4.
Il termine noto è $- 1$ .
Il pezzo con $x^{2}$ manca: il suo coefficiente è 0.

3 · Riscaldamento: due radici, due fattori base

Controlla che 3 e $- 1$ sono radici di $x^{2} - 2 x - 3$ e scrivi il polinomio come prodotto di due fattori.

Soluzione

Con 3: $9 - 6 - 3 = 0$ . È radice.
Con $- 1$ : $1 + 2 - 3 = 0$ . È radice.
Per la Proposizione 4.2 i fattori sono $x - 3$ e $x - (- 1) = x + 1$ : quindi $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ .

Controllo: $(x - 3) (x + 1) = x^{2} + x - 3 x - 3 = x^{2} - 2 x - 3$ .

4 · Riscaldamento: un delta negativo base

Trova le radici complesse di $x^{2} + 4 x + 5$ .

Soluzione

$a = 1$ , $b = 4$ , $c = 5$ . $Δ = 16 - 20 = - 4$ .
Le radici quadrate di $- 4$ sono $2 i$ e $- 2 i$ .
$x_{\pm} = \frac{- 4 \pm 2 i}{2} = - 2 \pm i$ .

Controllo con la somma: $(- 2 + i) + (- 2 - i) = - 4$ , che è $- \frac{b}{a}$ . Le due radici sono coniugate, come deve essere con numeri reali.

5 · Forma normale, grado e insiemi di polinomi base

Riduci in forma normale e trova il grado: (a) $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2}$ ; (b) $(x^{2} + 1) (x - 1) - x^{3}$ ; (c) $3 x^{2} y - 2 x^{2} y + x y - x^{2} y$ . Poi di' se i polinomi (a) e (b) appartengono a $R_{1} [x]$ , a $R_{2} [x]$ , a $C_{2} [x]$ .

Soluzione

(a) Svolgo i due quadrati: $(x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} - 2 x + 1)$ . I pezzi $x^{2}$ e i numeri 1 si cancellano; restano $2 x + 2 x = 4 x$ . Grado 1.

(b) Prima il prodotto: $(x^{2} + 1) (x - 1) = x^{3} - x^{2} + x - 1$ . Poi tolgo $x^{3}$ : resta $- x^{2} + x - 1$ . Grado 2.

Appartenenza:

(a) ha grado 1: sta in $R_{1} [x]$ , in $R_{2} [x]$ e in $C_{2} [x]$ .
(b) ha grado 2: sta in $R_{2} [x]$ e in $C_{2} [x]$ , ma non in $R_{1} [x]$ .

Ogni $R_{k} [x]$ sta dentro $C_{k} [x]$ e dentro $R_{k + 1} [x]$ .

6 · Una divisione in colonna base

Dividi $x^{4} - 1$ per $x^{2} + x + 1$ e controlla il risultato.

Soluzione

Scrivo il dividendo con gli zeri: $x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 1$ .

$x^{4}$ diviso $x^{2}$ fa $x^{2}$ . Moltiplico: $x^{2} (x^{2} + x + 1) = x^{4} + x^{3} + x^{2}$ . Tolgo: resta $- x^{3} - x^{2} + 0 x - 1$ .
$- x^{3}$ diviso $x^{2}$ fa $- x$ . Moltiplico: $- x (x^{2} + x + 1) = - x^{3} - x^{2} - x$ . Tolgo: resta $x - 1$ .
$x - 1$ ha grado 1, più basso di 2: mi fermo.

Quoziente $q (x) = x^{2} - x$ , resto $r (x) = x - 1$ .

Controllo: $(x^{2} - x) (x^{2} + x + 1) = x^{4} + x^{3} + x^{2} - x^{3} - x^{2} - x = x^{4} - x$ , e $x^{4} - x + (x - 1) = x^{4} - 1$ .

7 · Ruffini e scomposizione completa base

Verifica che $2$ è radice di $p (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ , dividi per $x - 2$ con Ruffini e scomponi $p (x)$ in fattori di primo grado.

Soluzione

$p (2) = 16 - 20 + 4 = 0$ : 2 è radice.
Ruffini sui coefficienti $1, 0, - 5, 0, 4$ (attenzione ai due zeri) con $a = 2$ :

	$1$	$0$	$- 5$	$0$	$4$
$a = 2$		$2$	$4$	$- 2$	$- 4$
	$1$	$2$	$- 1$	$- 2$	$0$

Quoziente $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ , resto 0.
Raccolgo a coppie: $x^{2} (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x^{2} - 1) = (x + 2) (x - 1) (x + 1)$ .

Quindi

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 1) .

Si poteva anche partire da $t = x^{2}$ : $t^{2} - 5 t + 4 = (t - 1) (t - 4)$ , e poi $x^{2} - 1$ e $x^{2} - 4$ si scompongono come differenze di quadrati.

8 · Radici e molteplicità medio

Trova tutte le radici di $p (x) = x^{3} - 3 x + 2$ con la loro molteplicità.

Soluzione

I candidati interi sono i divisori di 2: $1, - 1, 2, - 2$ .
$p (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ : 1 è radice.
Ruffini su $1, 0, - 3, 2$ con $a = 1$ : in basso $1, 1, - 2$ e resto 0. Quoziente $x^{2} + x - 2$ .
Il quoziente in 1 vale $1 + 1 - 2 = 0$ : 1 è ancora radice. Ruffini di nuovo: in basso $1, 2$ e resto 0. Quoziente $x + 2$ .
$x + 2$ in 1 vale 3, non zero: mi fermo.

Quindi $p (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ . La radice 1 ha molteplicità 2, la radice $- 2$ ha molteplicità 1. Contate con molteplicità sono $2 + 1 = 3$ radici, quante il grado. È il polinomio del grafico nella sezione sulla molteplicità.

9 · Imporre una radice doppia medio

Trova i numeri reali $a$ e $b$ per cui $(x - 1)^{2}$ divide $x^{3} + a x + b$ .

Soluzione

$(x - 1)^{2}$ divide il polinomio esattamente quando 1 è radice con molteplicità almeno 2: il polinomio si divide per $x - 1$ e anche il quoziente ha la radice 1.

Ruffini su $1, 0, a, b$ con 1: in basso $1$ , $1$ , $1 + a$ e resto $1 + a + b$ . Il resto deve essere zero: $a + b = - 1$ .
Il quoziente è $x^{2} + x + (1 + a)$ , e deve fare zero in 1: $1 + 1 + 1 + a = 0$ , cioè $a = - 3$ .
Allora $b = - 1 - a = - 1 + 3 = 2$ .

Il polinomio è $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ , quello dell'esercizio precedente.

10 · Un'equazione di secondo grado con coefficienti complessi medio

Trova le radici di $z^{2} + (2 - i) z - 2 i$ .

Soluzione

Qui $a = 1$ , $b = 2 - i$ , $c = - 2 i$ .

$Δ = (2 - i)^{2} - 4 (- 2 i) = (4 - 4 i + i^{2}) + 8 i = 3 - 4 i + 8 i = 3 + 4 i$ .
Le radici quadrate di $3 + 4 i$ : cerco $w = u + v i$ con $w^{2} = u^{2} - v^{2} + 2 uv i = 3 + 4 i$ , cioè $u^{2} - v^{2} = 3$ e $uv = 2$ . Con $u = 2$ e $v = 1$ funziona: $(2 + i)^{2} = 4 + 4 i - 1 = 3 + 4 i$ . Quindi le radici quadrate sono $2 + i$ e $- (2 + i)$ .
Con il più: $\frac{- ( 2 - i ) + ( 2 + i )}{2} = \frac{- 2 + i + 2 + i}{2} = \frac{2 i}{2} = i$ .
Con il meno: $\frac{- ( 2 - i ) - ( 2 + i )}{2} = \frac{- 2 + i - 2 - i}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$ .

Le radici sono $i$ e $- 2$ . Controllo: $(z - i) (z + 2) = z^{2} + 2 z - i z - 2 i = z^{2} + (2 - i) z - 2 i$ . Anche qui $- i$ non è radice: i numeri del polinomio non sono reali.

11 · Una biquadratica, scomposta in R e in C medio

Trova le radici di $z^{4} + 3 z^{2} - 4$ e scomponi il polinomio in fattori a coefficienti reali e poi in fattori di primo grado a coefficienti complessi.

Soluzione

Con $t = z^{2}$ : $t^{2} + 3 t - 4 = (t + 4) (t - 1)$ , radici $t = - 4$ e $t = 1$ .
$z^{2} = 1$ dà $z = 1$ e $z = - 1$ . $z^{2} = - 4$ dà $z = 2 i$ e $z = - 2 i$ .

Le scomposizioni:

Con numeri reali: $z^{4} + 3 z^{2} - 4 = (z^{2} - 1) (z^{2} + 4) = (z - 1) (z + 1) (z^{2} + 4)$ . Il fattore $z^{2} + 4$ ha $Δ = - 16$ , negativo, e tra i reali non si scompone ancora.
Con numeri complessi: $(z - 1) (z + 1) (z - 2 i) (z + 2 i)$ .

Quattro radici, come il grado; le due non reali sono coniugate, come vuole la Proposizione 4.11.

12 · Tutte le radici, conoscendone una difficile

Sapendo che $i$ è radice di $p (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + 5$ , trova tutte le radici.

Soluzione

I numeri del polinomio sono reali, quindi per la Proposizione 4.11 anche $- i$ è radice. Allora $(x - i) (x + i) = x^{2} + 1$ divide $p (x)$ .
Divido per $x^{2} + 1$ in colonna.
- $x^{4}$ diviso $x^{2}$ fa $x^{2}$ ; tolgo $x^{2} (x^{2} + 1) = x^{4} + x^{2}$ : resta $- 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 5$ .
- $- 2 x^{3}$ diviso $x^{2}$ fa $- 2 x$ ; tolgo $- 2 x (x^{2} + 1) = - 2 x^{3} - 2 x$ : resta $5 x^{2} + 5$ .
- $5 x^{2}$ diviso $x^{2}$ fa 5; tolgo $5 (x^{2} + 1)$ : resta 0.
Quoziente $x^{2} - 2 x + 5$ .
$x^{2} - 2 x + 5$ : $Δ = 4 - 20 = - 16$ , radici $\frac{2 \pm 4 i}{2} = 1 \pm 2 i$ .

Le radici sono $i$ , $- i$ , $1 + 2 i$ , $1 - 2 i$ , e $p (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} - 2 x + 5)$ .

Controllo: $(x^{2} + 1) (x^{2} - 2 x + 5) = x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + x^{2} - 2 x + 5 = x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + 5$ .

13 · Costruire un polinomio dalle radici difficile

Trova il polinomio monico a coefficienti reali di grado $3$ che ha le radici $2$ e $1 + i$ . È unico?

Soluzione

I numeri devono essere reali, quindi anche il coniugato $1 - i$ è radice.
Un polinomio di grado 3 ha esattamente tre radici contate con molteplicità (teorema fondamentale): sono 2, $1 + i$ , $1 - i$ .
«Monico» vuol dire che il numero davanti al grado più alto è 1. Il polinomio è il prodotto dei fattori:
$(x - 2) (x - 1 - i) (x - 1 + i) .$
I due fattori complessi: $(x - 1 - i) (x - 1 + i) = (x - 1)^{2} - i^{2} = (x - 1)^{2} + 1 = x^{2} - 2 x + 2$ . Qui ho usato il prodotto notevole «somma per differenza», con $x - 1$ al posto della prima lettera.
Il prodotto finale: $(x - 2) (x^{2} - 2 x + 2) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 4 = x^{3} - 4 x^{2} + 6 x - 4$ .

È unico: le tre radici sono obbligate, e un polinomio monico è il prodotto dei fattori $x$ meno radice.

14 · Un resto senza fare la divisione difficile

Trova il resto della divisione di $p (x) = x^{100} + 1$ per $x^{2} - 1$ .

Soluzione

Il divisore ha grado 2, quindi il resto ha grado al massimo 1: lo scrivo $r (x) = a x + b$ , con $a$ e $b$ da trovare.
La divisione dice
$x^{100} + 1 = q (x) (x^{2} - 1) + a x + b .$
Metto al posto di $x$ i numeri che annullano il divisore, così il pezzo con $q (x)$ sparisce.
- Con $x = 1$ : $1 + 1 = 0 + a + b$ , cioè $a + b = 2$ .
- Con $x = - 1$ : $(- 1)^{100} + 1 = 2$ , e a destra $- a + b$ . Quindi $- a + b = 2$ .
Sommo le due uguaglianze: $2 b = 4$ , quindi $b = 2$ . Poi $a = 2 - b = 0$ .

Il resto è il numero $r (x) = 2$ . È la stessa idea della dimostrazione della Proposizione 4.2: si mette un valore che annulla il divisore.

15 · Come all'esame: un determinante con parametro tipo esame

In un problema d'esame il determinante di una matrice che dipende da un parametro reale $k$ vale $- k^{3} + 3 k + 2$ . Per quali valori di $k$ il determinante è diverso da zero? Quale valore di $k$ è radice doppia?

Soluzione

Cerco una radice tra i divisori del termine noto 2: $1, - 1, 2, - 2$ . Con $k = 2$ : $- 8 + 6 + 2 = 0$ . Quindi $(k - 2)$ divide il polinomio.
Ruffini sui coefficienti $- 1, 0, 3, 2$ con $a = 2$ : abbasso $- 1$ ; $- 1 \cdot 2 = - 2$ e $0 - 2 = - 2$ ; $- 2 \cdot 2 = - 4$ e $3 - 4 = - 1$ ; $- 1 \cdot 2 = - 2$ e $2 - 2 = 0$ . Quoziente $- k^{2} - 2 k - 1 = - (k + 1)^{2}$ .
Scomposizione: $- k^{3} + 3 k + 2 = - (k - 2) (k + 1)^{2}$ .
Conclusione: il determinante fa zero solo per $k = 2$ e $k = - 1$ , ed è diverso da zero per tutti gli altri valori di $k$ . La radice $- 1$ è doppia.

Controllo con $k = - 1$ : $- (- 1)^{3} + 3 \cdot (- 1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ .

È lo schema del problema 11 dell'appello del 15/01/2026, dove il determinante era un altro polinomio di terzo grado in $k$ con una radice doppia: si trova una radice a occhio, si divide, si scompone il secondo grado.

16 · Come all'esame: quale è una radice tipo esame

Quale dei seguenti è una radice di $p (z) = z^{4} - 2 z^{2} - 8$ ? (a) $z = i 2$ ; (b) $z = 2 i$ ; (c) $z = 2$ ; (d) $z = 1 + i$ ; (e) il polinomio non ha radici.

Soluzione

Scomponendo. Con $t = z^{2}$ : $t^{2} - 2 t - 8 = (t - 4) (t + 2)$ . Quindi $z^{2} = 4$ oppure $z^{2} = - 2$ : le radici sono $2$ , $- 2$ , $i 2$ e $- i 2$ . Risposta (a).

Provando le risposte.

(a) $(i 2)^{2} = - 2$ e $(i 2)^{4} = 4$ : $4 + 4 - 8 = 0$ .
(b) $(2 i)^{2} = - 4$ e $(2 i)^{4} = 16$ : $16 + 8 - 8 = 16$ .
(c) $(2)^{2} = 2$ e $(2)^{4} = 4$ : $4 - 4 - 8 = - 8$ .
(d) $(1 + i)^{2} = 2 i$ e $(1 + i)^{4} = (2 i)^{2} = - 4$ : $- 4 - 4 i - 8 = - 12 - 4 i$ .
(e) è falsa per il teorema fondamentale.

Anche così la risposta è la (a).

§16

Domande di ripasso

autoverifica

Che cos'è il grado di un polinomio? Perché bisogna prima ridurlo in forma normale?

È l'esponente più alto tra i suoi pezzi, quando il polinomio è in forma normale: ogni parte letterale una volta sola e nessun coefficiente zero. Prima bisogna ridurlo perché dei pezzi possono cancellarsi: $(x + 1)^{2} - x^{2} = 2 x + 1$ ha grado 1.

Che cosa sono

R [x]

C [x]

R_{k} [x]

I polinomi nella lettera $x$ con numeri reali, con numeri complessi, e con numeri reali e grado al massimo $k$ . $R_{2} [x]$ contiene anche i numeri da soli e il polinomio zero.

Che cosa dice la divisione con resto tra polinomi?

Che dividendo per un polinomio diverso da zero ci sono sempre un quoziente e un resto, e sono di un solo tipo: dividendo uguale quoziente per divisore più resto, con il resto di grado più basso del divisore. È come $44 = 7 \cdot 6 + 2$ .

Quando un polinomio

d (x)

divide

p (x)

? Fai un esempio.

Quando la divisione viene esatta, con resto zero: $p (x)$ è $d (x)$ per un altro polinomio. Per esempio $x + 1$ divide $x^{3} + 1$ , perché $x^{3} + 1 = (x^{2} - x + 1) (x + 1)$ .

Che cos'è una radice di un polinomio?

Un numero che, messo al posto di $x$ , fa uscire zero: una soluzione dell'equazione $p (x) = 0$ (Definizione 4.1). Può essere reale o complessa.

Che cosa dice la Proposizione 4.2 e perché è vera?

Dice che $a$ è radice esattamente quando $x - a$ divide il polinomio. Il motivo: dividendo per $x - a$ il resto è un numero solo, e mettendo $a$ al posto di $x$ si vede che quel resto è proprio $p (a)$ . Quindi $p (a)$ è zero esattamente quando il resto è zero.

Quanto vale il resto della divisione di

p (x)

per

x - a

Vale $p (a)$ . Per esempio il resto di $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ diviso $x - 2$ è $p (2) = 16 - 12 + 8 - 5 = 7$ .

Che cos'è la molteplicità di una radice e come si calcola?

È il numero di volte in cui il fattore $x - a$ ci sta nel polinomio (Definizione 4.3). Si calcola dividendo per $x - a$ più volte, finché $a$ non è più radice del quoziente.

Quante radici può avere un polinomio di grado

n \geq 1

? E nei complessi?

Al massimo $n$ , contate con la molteplicità (Teorema 4.6). Tra i complessi esattamente $n$ (Teorema 4.8, teorema fondamentale dell'algebra).

Come si risolve un'equazione di secondo grado nei complessi?

Con la solita formula: meno $b$ , più o meno la radice di $Δ$ , tutto diviso $2 a$ . Al posto della radice di $Δ$ si usano le sue due radici quadrate complesse (Esempio 4.9). Per esempio le radici di $x^{2} + 2 x + 5$ sono $- 1 \pm 2 i$ .

Che cosa dice la Proposizione 4.11? Perché servono coefficienti reali?

Se i numeri del polinomio sono reali e $z$ è una radice, anche il coniugato di $z$ lo è. Nella dimostrazione si coniuga tutta l'uguaglianza $p (z) = 0$ e si usa che i coefficienti non cambiano coniugandoli: questo vale solo se sono reali. Per esempio $x^{2} + (1 - i) x - i$ ha la radice $i$ ma non $- i$ .

Perché un polinomio reale di grado dispari ha almeno una radice reale?

Perché ha in tutto un numero dispari di radici complesse, e quelle non reali vengono a coppie, quindi sono in numero pari. Almeno una deve restare fuori dalle coppie: è reale.

§17

Glossario

termini

Monomio: Un numero moltiplicato per delle lettere con esponenti interi, come $- 2 x y$ . Il grado è la somma degli esponenti.
Polinomio: Una somma di monomi, come $x^{2} - 3$ . Funziona come una macchina: metti un numero al posto della lettera ed esce un numero.
Forma normale: La scrittura di un polinomio con ogni parte letterale una volta sola e nessun coefficiente zero, oppure il polinomio 0.
Grado: L'esponente più alto di un polinomio in forma normale. $x^{3} - 2 x + 5$ ha grado 3.
Termine noto: Il numero da solo, senza lettera: in $x^{2} - 3$ è $- 3$ .
Polinomio monico: Un polinomio in cui il numero davanti alla potenza più alta è 1, come $x^{2} + 3 x$ .
$R [x]$ , $C [x]$: I polinomi nella lettera $x$ con numeri reali, oppure complessi.
$R_{k} [x]$: I polinomi reali di grado al massimo $k$ , compresi i numeri da soli e il polinomio zero.
Divisione con resto: Dividendo uguale quoziente per divisore più resto, con il resto di grado più basso del divisore.
Divisibilità: Un polinomio ne divide un altro quando la divisione viene esatta, con resto zero. Si scrive con la barretta $∣$ .
Regola di Ruffini: Una tabella con i soli coefficienti per dividere per $x - a$ . L'ultimo numero è il resto, uguale a $p (a)$ .
Radice: Un numero che, messo al posto di $x$ , fa uscire zero (Definizione 4.1).
Molteplicità: Quante volte il fattore $x - a$ ci sta nel polinomio (Definizione 4.3). Una radice può essere semplice, doppia, tripla.
Discriminante: Il numero $Δ = b^{2} - 4 a c$ di un polinomio di secondo grado. Tra i reali decide quante radici ci sono.
Teorema fondamentale dell'algebra: Tra i numeri complessi un polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ radici, contate con la molteplicità (Teorema 4.8).
Radici coniugate: Se i numeri del polinomio sono reali e $z$ è radice, anche il coniugato di $z$ lo è (Proposizione 4.11).
Equazione biquadratica: Un'equazione con solo potenze pari, come $z^{4} + 5 z^{2} + 4 = 0$ . Si risolve chiamando $t$ il quadrato $z^{2}$ .

La lezione in 7 punti

Che cos'è un polinomio

I mattoni: i monomi

Polinomi e forma normale

I polinomi con una sola lettera

I coefficienti con i numerini

Gli insiemi di polinomi

Dividere con il resto, come alle elementari

Come si fa la divisione in colonna

Quando la divisione viene esatta

La regola di Ruffini

Le radici: i numeri che fanno uscire zero

Una radice è un fattore che ci sta

Il resto è il valore

Scomporre un polinomio

Quante volte ci sta: la molteplicità

Che cosa si vede nel grafico (oltre le dispense)

Quante radici al massimo

I polinomi di primo e di secondo grado

Nei complessi le radici ci sono tutte

Le equazioni di secondo grado nei complessi

Coefficienti reali: radici a coppie

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

I metodi

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: mettere un numero nella macchina base

2 · Riscaldamento: leggere un polinomio base

3 · Riscaldamento: due radici, due fattori base

4 · Riscaldamento: un delta negativo base

5 · Forma normale, grado e insiemi di polinomi base

6 · Una divisione in colonna base

7 · Ruffini e scomposizione completa base

8 · Radici e molteplicità medio

9 · Imporre una radice doppia medio

10 · Un'equazione di secondo grado con coefficienti complessi medio

11 · Una biquadratica, scomposta in R e in C medio

12 · Tutte le radici, conoscendone una difficile

13 · Costruire un polinomio dalle radici difficile

14 · Un resto senza fare la divisione difficile

15 · Come all'esame: un determinante con parametro tipo esame

16 · Come all'esame: quale è una radice tipo esame

Domande di ripasso

Glossario

Checklist