Spazi vettoriali I

Immagina una mappa a quadretti, come un foglio di quaderno. Sei fermo su un incrocio e devi spiegare a un amico dove andare.

Gli dici: «3 quadretti a destra e 2 in su». Bastano due numeri: il 3 e il 2. In matematica si scrivono tra parentesi tonde, separati da una virgola:

Questa lista di due numeri è un vettore. Si legge «tre, due».

Guarda la figura. I due tratti blu sono i passi: prima 3 a destra, poi 2 in su. La freccia va dritta dalla partenza all'arrivo. È il disegno del vettore.

L'ordine conta

Il primo numero dice sempre quanto ti muovi in orizzontale. Il secondo dice quanto ti muovi in verticale.

Quindi $(3,2)$ e $(2,3)$ sono due vettori diversi. Il secondo vuol dire «2 a destra e 3 in su», e ti porta in un altro posto.

I numeri possono essere anche negativi, oppure zero. Un numero negativo al primo posto vuol dire «a sinistra». Un numero negativo al secondo posto vuol dire «in giù».

I nomi: coordinate e spazio euclideo

I numeri che formano un vettore si chiamano coordinate. Le dispense li chiamano anche componenti. Il vettore $(3,2)$ ha due coordinate: la prima è 3, la seconda è 2.

Tutti i vettori con due coordinate, messi insieme, formano un insieme. Si indica con ${\mathbb{R}}^2$ e si legge «erre due».

• La $\mathbb{R}$ è l'insieme dei numeri reali: tutti i numeri della retta, anche quelli con la virgola (lezione L01).
• Il piccolo 2 in alto dice quanti numeri ci sono in ogni lista.

Per dire che un vettore sta in questo insieme si usa il simbolo $\in$ della lezione L01. Si legge «appartiene a».

Vuol dire: «tre, due» è una lista di 2 numeri reali.

Una lista può avere anche tre numeri, come $(1,4,2)$. Serve per muoversi in una stanza invece che su un foglio: 1 passo a destra, 4 passi in avanti, 2 passi verso l'alto. L'insieme delle liste di tre numeri si chiama ${\mathbb{R}}^3$, «erre tre».

Il simbolo di prima con una sbarra sopra, $\notin$, si legge «non appartiene a». Per esempio $(3,2)\notin {\mathbb{R}}^3$: la lista ha due numeri, non tre.

E si può andare avanti. Una lista di quattro numeri, come $(1,0,-2,5)$, è un vettore di ${\mathbb{R}}^4$. Non si può più disegnare, perché manca una quarta direzione in cui muoversi. Ma i conti si fanno nello stesso modo, e per il corso è questo che conta.

In generale il numero di coordinate si indica con la lettera $n$. L'insieme delle liste di $n$ numeri reali si scrive ${\mathbb{R}}^n$ e si legge «erre enne». Si chiama spazio euclideo. Con $n=2$ è il piano, con $n=3$ è lo spazio.

Dare un nome a un vettore e alle sue coordinate

Per non riscrivere ogni volta tutta la lista, a un vettore si dà un nome: una lettera minuscola, come $x$, $v$ o $w$.

Le coordinate prendono il nome del vettore, con un numerino in basso che dice il posto. Il numerino si chiama indice.

• $x_1$ si legge «ics uno»: è la prima coordinata. Qui $x_1=3$.
• $x_2$ si legge «ics due»: è la seconda coordinata. Qui $x_2=2$.

Per un vettore con $n$ coordinate le dispense scrivono $(x_1,\dots ,x_n)$. Vuol dire: una lista di numeri. Il primo si chiama $x_1$ e l'ultimo $x_n$. I tre puntini stanno per tutti quelli in mezzo.

Il vettore fatto di soli zeri ha un nome: origine. Sulla mappa è lo spostamento «resta dove sei». Si indica con $0$, oppure con la lettera $O$.

Come lo scrivono le dispense

Ecco la definizione con le parole delle dispense.

Come si legge. Un pezzo alla volta:

• $n\ge 1$ si legge «enne maggiore o uguale a 1». La lettera $n$ è il numero di coordinate, e deve essere almeno 1.
• «$n$-dimensionale» vuol dire «con $n$ coordinate». Il piano ha 2 dimensioni, lo spazio ne ha 3.
• Il simbolo $\times$ qui non è una moltiplicazione tra numeri. La scrittura $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ si legge «erre per erre» e indica tutte le coppie ordinate di numeri reali. Si chiama prodotto cartesiano.
• La graffa orizzontale con la scritta «$n$ volte» dice che la $\mathbb{R}$ è ripetuta $n$ volte. Con tre $\mathbb{R}$ si ottengono le liste di tre numeri.
• Qui «successioni» vuol dire liste finite e ordinate di numeri. Nella lezione L01 la stessa parola indicava liste infinite.

Tutta insieme: «${\mathbb{R}}^n$ è l'insieme delle liste ordinate di $n$ numeri reali».

Punto o vettore?

La stessa lista di numeri si può disegnare in due modi.

• Come un punto: il posto della mappa in cui arrivi.
• Come un vettore: la freccia che parte dall'origine e arriva in quel posto. È lo spostamento.

Sono due disegni della stessa lista. Di solito si usano le lettere maiuscole $P$ e $Q$ quando si pensa ai punti, e le minuscole $v$ e $w$ quando si pensa ai vettori.

Guarda la figura. A destra c'è un pallino: è la lista «due, tre» disegnata come punto. A sinistra c'è una freccia: è la lista «meno tre, uno» disegnata come vettore. Nelle dispense la freccia di un vettore parte sempre dall'origine.

Scrivere un vettore in verticale

Le dispense scrivono spesso i vettori in verticale, con i numeri uno sotto l'altro:

È lo stesso vettore di prima: in alto la prima coordinata, sotto la seconda. Scritto così si chiama vettore colonna.

Per un vettore con $n$ coordinate le dispense scrivono:

I tre puntini in verticale vogliono dire «e avanti così, fino all'ultima coordinata».

Il motivo della scrittura in verticale si capisce con il prodotto tra matrici, nella lezione L08. In questi appunti i vettori compaiono spesso in riga, come $(1,2,3)$, per occupare meno spazio. È lo stesso vettore.

Fai due spostamenti di fila sulla mappa.

• Primo spostamento: 1 a destra e 2 in su. È il vettore $(1,2)$.
• Secondo spostamento: 3 a destra e 1 in su. È il vettore $(3,1)$.

Di quanto ti sei spostato in tutto? Conta i passi in orizzontale e quelli in verticale, separati.

• In orizzontale: $1+3=4$ passi a destra.
• In verticale: $2+1=3$ passi in su.

In tutto ti sei spostato di 4 a destra e 3 in su. Questo spostamento totale è la somma dei due vettori:

Le dispense dicono che la somma si fa componente per componente. È la stessa cosa: una coordinata alla volta.

Guarda la figura. La prima freccia, $v$, parte dall'origine. La seconda, $w$, è disegnata a partire dalla punta della prima. La freccia tratteggiata va dall'origine al punto di arrivo: è la somma.

Cambiando l'ordine si arriva nello stesso posto

Fai i due spostamenti nell'ordine contrario: prima quello da 3 a destra e 1 in su, poi quello da 1 a destra e 2 in su.

• In orizzontale: $3+1=4$.
• In verticale: $1+2=3$.

Arrivi nello stesso punto. Hai solo fatto un'altra strada.

Le due strade insieme disegnano un parallelogramma, cioè una figura con quattro lati, paralleli a due a due. La somma è la diagonale che parte dall'origine. Per questo la somma di due vettori del piano si chiama anche regola del parallelogramma. In fisica si usa per sommare due forze.

Guarda la figura. Le due frecce piene sono i due vettori, disegnati dall'origine. I lati tratteggiati sono gli stessi spostamenti fatti per secondi. La diagonale arriva nel punto «quattro, tre».

Un esempio con quattro coordinate

Con liste più lunghe il disegno non c'è più, ma il conto è lo stesso.

Come lo scrivono le dispense

Ecco la stessa regola con le lettere al posto dei numeri.

Come si legge.

• Le lettere $x$ e $y$ sono i nomi di due vettori con $n$ coordinate, scritti in colonna.
• In alto nella colonna della somma c'è $x_1+y_1$: la prima coordinata dell'uno più la prima coordinata dell'altro.
• In basso c'è $x_n+y_n$: l'ultima più l'ultima.
• I puntini in mezzo dicono che si fa così per tutte le altre coordinate.

Fai due volte di fila lo stesso spostamento: 1 a destra e 2 in su, e poi ancora 1 a destra e 2 in su.

In tutto hai fatto 2 passi a destra e 4 in su. Ogni numero è raddoppiato:

Il puntino $\cdot$ è il segno «per». Lo stesso si può fare con altri numeri.

• Metà spostamento. Moltiplica per $\frac{1}{2}$, cioè dividi tutto a metà: viene $(\frac{1}{2},1)$. Stessa direzione, metà strada.
• Lo spostamento al contrario. Moltiplica per $-1$: viene $(-1,-2)$, cioè 1 a sinistra e 2 in giù. È la strada per tornare indietro.
• Zero volte. Moltiplica per 0: viene $(0,0)$. Resti dove sei.

I nomi: scalare e multiplo

Il numero che moltiplica il vettore si chiama scalare. Uno scalare è un numero normale, come 2 o $-3$: la parola serve solo a distinguerlo dai vettori. Viene da «scala»: cambia la scala del disegno, come lo zoom di una mappa.

L'operazione si chiama prodotto per scalare. Il risultato si chiama multiplo del vettore.

Per indicare uno scalare qualsiasi le dispense usano la lettera greca $\lambda$, che si legge «lambda» (lezione L01).

Tra lo scalare e il vettore il puntino di solito non si scrive. La scrittura $2v$ vuol dire «2 per $v$», e $\lambda x$ vuol dire «lambda per $x$».

Tutti i multipli di un vettore

Prendiamo il vettore $v=(1,2)$ e moltiplichiamolo per sei scalari diversi.

Guarda la figura. Tutti i multipli stanno sulla stessa retta: quella che passa per l'origine e per la punta di $v$. In ogni punto di questa retta il secondo numero è il doppio del primo. Per questo la retta ha l'etichetta $y=2x$, che si legge «ipsilon uguale due ics».

Questa osservazione torna nella lezione L06: l'insieme di tutti i multipli di un vettore lì riceve un nome e un simbolo.

Come lo scrivono le dispense

Ecco la regola con le lettere.

Come si legge.

• $x\in {\mathbb{R}}^n$ si legge «ics appartiene a erre enne». Vuol dire: $x$ è un vettore con $n$ coordinate.
• $\lambda \in \mathbb{R}$ si legge «lambda appartiene a erre». Vuol dire: lo scalare è un numero reale.
• Nella colonna ogni coordinata è moltiplicata per lo stesso scalare. La prima diventa $\lambda x_1$, l'ultima $\lambda x_n$.
• La freccia $\mapsto$ si legge «va in». La scrittura $x\mapsto \lambda x$ vuol dire: a ogni vettore l'operazione fa corrispondere il suo multiplo.

Le dispense aggiungono la lettura sul disegno. Il vettore si allunga o si accorcia di un fattore $|\lambda |$, e se lo scalare è negativo cambia verso. Le due barre verticali sono il valore assoluto: il numero senza il segno meno. Per esempio $|-2|=2$: moltiplicare per $-2$ raddoppia la lunghezza e gira la freccia.

Nello strumento qui sotto puoi trascinare le punte delle due frecce, che si chiamano $u$ e $v$. Prova queste due cose.

1. Nel modo «u + v» guarda il parallelogramma. Sposta una punta e controlla che la somma cambia un posto alla volta.
2. Passa al modo «multiplo λu» e muovi il cursore. Con uno scalare tra 0 e 1 la freccia si accorcia, con uno scalare negativo si ribalta, con 0 si riduce all'origine.

All'apertura il cursore è su $-2$: è lo stesso disegno della Figura 6 delle dispense.

L'opposto e la differenza

Il multiplo con lo scalare $-1$ ha un nome: opposto del vettore. Si scrive con un segno meno davanti. L'opposto di $v=(1,2)$ è $-v=(-1,-2)$.

Un vettore più il suo opposto dà l'origine. È come andare e tornare:

Con l'opposto si fa anche la differenza di due vettori. «$v$ meno $w$» vuol dire «$v$ più l'opposto di $w$». In pratica si sottrae un posto alla volta:

Con i numeri usi delle regole senza pensarci. Per esempio sai che in una somma l'ordine non conta: $2+5$ e $5+2$ danno lo stesso risultato (lezione L01).

Con i vettori succede lo stesso. La somma e il prodotto per scalare seguono otto regole. Le dispense le elencano nella definizione di spazio vettoriale, che trovi più avanti. Conviene conoscerle adesso, sui vettori del piano.

Per controllarle usiamo sempre gli stessi tre vettori e gli stessi due scalari:

Nella tabella i conti sono scritti in breve. Controlliamo per intero le regole 5 e 6, che sono le meno immediate.

Regola 5. A sinistra prima si somma, poi si raddoppia.

1. $v+w=(1+3,2-1)=(4,1)$.
2. Il doppio: $(2\cdot 4,2\cdot 1)=(8,2)$.

A destra prima si raddoppiano i due vettori, poi si somma.

1. Il doppio di $v$ è $(2,4)$. Il doppio di $w$ è $(6,-2)$.
2. La somma: $(2+6,4-2)=(8,2)$.

Stesso risultato.

Regola 6. A sinistra prima si sommano i due scalari: $2+3=5$. Poi si moltiplica: $5\cdot (1,2)=(5,10)$.

A destra prima si fanno i due multipli, che sono $(2,4)$ e $(3,6)$. Poi si sommano: $(2+3,4+6)=(5,10)$.

Stesso risultato.

Perché valgono

Ogni conto tra vettori è fatto di conti tra numeri, un posto alla volta. E per i numeri queste regole valgono già: sono le nove regole della lezione L01.

Guarda la regola 1. Al primo posto c'è $1+3$ da una parte e $3+1$ dall'altra. Sono uguali perché nella somma di due numeri l'ordine non conta. Al secondo posto succede lo stesso.

I nomi delle regole sono quelli della lezione L01: la regola 1 è la proprietà commutativa, la regola 2 è la proprietà associativa. Le regole 5 e 6 sono due forme della proprietà distributiva.

Per due sezioni lasciamo da parte i vettori e parliamo solo di regole.

Che cosa succede con gli interi e la somma

Prendi i numeri interi, cioè $\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$, e l'operazione di somma. Succedono quattro cose.

1. Non si esce. La somma di due interi è sempre un intero: $3+(-5)=-2$.
2. C'è un numero che non cambia niente. È lo zero: $0+7=7$.
3. Le parentesi si possono spostare. $(2+3)+4$ fa $5+4=9$. Anche $2+(3+4)$ fa $2+7=9$.
4. Ogni numero ha un compagno che lo annulla. Il compagno di 7 è $-7$: sommati fanno zero.

Ora prendi i numeri naturali, cioè $0,1,2,3,\dots$, sempre con la somma. Le prime tre cose valgono ancora. La quarta no: il compagno di 3 sarebbe $-3$, che non è un numero naturale.

Gli interi con la somma sono un gruppo. I naturali con la somma no.

I nomi delle tre regole

• L'elemento che non cambia niente si chiama elemento neutro. Per la somma è lo 0. Per il prodotto è l'1, perché $1\cdot 7=7$.
• «Le parentesi si possono spostare» è la proprietà associativa.
• Il compagno che annulla si chiama inverso. «Annullare» vuol dire: riportare all'elemento neutro.

Per la somma l'inverso è l'opposto: quello di 7 è $-7$, perché sommati fanno 0. Per il prodotto l'inverso è il numero che moltiplicato dà 1: quello di 7 è $\frac{1}{7}$.

Un'operazione che prende due elementi di un insieme e ne restituisce uno dello stesso insieme si chiama operazione binaria (lezione L01). La sottrazione non è un'operazione binaria sui naturali: $2-5$ fa $-3$, che esce dall'insieme.

Se in più nell'operazione l'ordine non conta, il gruppo si chiama commutativo.

Le tre regole valgono per la somma degli interi. Valgono anche per altre operazioni, per esempio per il prodotto delle frazioni diverse da zero. Per scriverle una volta sola, qualunque sia l'operazione, le dispense usano tre segni.

• L'asterisco $\ast$ sta per «l'operazione, qualunque sia». La scrittura $a\ast b$ vuol dire «il risultato dell'operazione tra $a$ e $b$». Nei casi concreti al posto dell'asterisco c'è il segno più oppure il segno per.
• La lettera $e$ indica l'elemento neutro.
• $a^{\prime }$ si legge «a primo» e indica l'inverso di $a$.

Come lo scrivono le dispense

Ecco la definizione delle dispense.

Come si legge. La definizione usa due simboli della lezione L01: $\forall$ si legge «per ogni» ed $\exists$ si legge «esiste». I due punti dopo «esiste» si leggono «per cui».

• La prima frase. La lettera $G$ è il nome dell'insieme. L'operazione prende due elementi dell'insieme e ne restituisce uno dello stesso insieme: non si esce.
• Assioma 1. A parole: «esiste un elemento $e$ che, combinato con qualunque elemento $a$, restituisce $a$». È l'elemento neutro, ed è lo stesso per tutti.
• Assioma 2. Le parentesi si possono spostare. Quindi in una scrittura con tre elementi si possono anche togliere.
• Assioma 3. A parole: «per ogni elemento $a$ esiste un elemento $a^{\prime }$ che, combinato con $a$, restituisce l'elemento neutro». È l'inverso, e cambia da elemento a elemento.
• L'ultima riga. Il gruppo è commutativo se l'ordine non conta.

La parola assioma indica una regola che fa parte di una definizione.

Quali sono gruppi e quali no

Per indicare un insieme con la sua operazione si scrive una coppia tra parentesi. Per esempio $(\mathbb{Z},+)$ vuol dire «gli interi con la somma».

Ricorda le lettere della lezione L01: $\mathbb{N}$ sono i naturali, $\mathbb{Z}$ gli interi, $\mathbb{Q}$ le frazioni, $\mathbb{R}$ i reali, $\mathbb{C}$ i complessi. La scrittura $\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ si legge «cu senza lo zero»: sono tutte le frazioni tranne lo 0.

Ecco gli esempi delle dispense, con il motivo.

Nella terza riga compare $a^{-1}$, che si legge «a alla meno uno». È un altro modo di scrivere l'inverso per il prodotto, cioè $\frac{1}{a}$.

Negli insiemi di numeri le operazioni sono due: la somma e il prodotto.

Un campo è un insieme di numeri in cui le due operazioni funzionano bene insieme. In pratica: puoi fare più, meno, per e diviso senza mai uscire dall'insieme. C'è un solo divieto: non si divide per zero.

Un esempio. Prendi l'indovinello «quale numero, moltiplicato per 2, dà 1?». Tra le frazioni la risposta c'è: è $\frac{1}{2}$. Tra gli interi non c'è, perché $\frac{1}{2}$ non è un intero. Le frazioni formano un campo, gli interi no.

Nella lezione L01 un campo era «un insieme in cui valgono le nove regole dei conti». Qui le dispense dicono la stessa cosa in tre righe, usando la parola «gruppo».

Come si legge.

• La lettera $A$ è il nome dell'insieme.
• $0_A$ si legge «zero di $A$». È l'elemento neutro della somma. La piccola lettera in basso ricorda di quale insieme si parla.
• $1_A$ si legge «uno di $A$». È l'elemento neutro del prodotto.
• $A\setminus \{0_A\}$ si legge «$A$ senza lo zero».
• Assioma 1. Con la somma, l'insieme è un gruppo commutativo. Dentro ci sono quattro regole: c'è lo zero, ogni elemento ha l'opposto, le parentesi si spostano, l'ordine non conta.
• Assioma 2. Tolto lo zero, l'insieme è un gruppo commutativo anche con il prodotto. Sono altre quattro regole: c'è l'uno, ogni elemento diverso da zero ha l'inverso, le parentesi si spostano, l'ordine non conta.
• Assioma 3. È la proprietà distributiva, che lega le due operazioni. Con i numeri: $3\cdot (2+5)$ fa 21, e anche $3\cdot 2+3\cdot 5$ fa 21. Il simbolo $\forall$ si legge «per ogni».

Quattro regole, più quattro, più una: sono le nove regole della lezione L01 (Proposizione 1.5), raggruppate in un altro modo.

Quali insiemi sono campi

Per dire che un insieme non è un campo basta una regola che fallisce, con un esempio.

Un campo con due soli elementi

Un campo non deve per forza avere infiniti elementi. Nell'Esercizio 5.9 le dispense ne costruiscono uno che ne ha solo due: lo 0 e l'1.

Somme e prodotti si fanno come negli interi, con una sola eccezione: $1+1=0$.

Un modo per ricordarlo: leggi 0 come «pari» e 1 come «dispari». Dispari più dispari fa pari, quindi $1+1=0$. Dispari per dispari fa dispari, quindi $1\cdot 1=1$. Sono le regole dei numeri pari e dispari.

In informatica questo è il campo dei bit. La somma è l'operazione XOR e il prodotto è l'operazione AND. Che le regole dei campi valgano davvero si controlla nell'esercizio 8.

Finora i vettori erano liste di numeri. Adesso guarda oggetti di tutt'altro tipo: i polinomi.

Mettiamo le liste e i polinomi uno accanto all'altro.

In tutti e due i casi succedono tre cose.

• Sommando due elementi ottieni un elemento dello stesso tipo.
• Moltiplicando per un numero resti nello stesso tipo.
• Valgono le otto regole della sezione precedente.

Gli elementi di uno spazio vettoriale si chiamano vettori, qualunque cosa siano. Qui l'immagine della freccia non regge più: un polinomio non è uno spostamento su una mappa. Da questo punto in poi «vettore» vuol dire solo «elemento di uno spazio vettoriale».

A che cosa serve un'idea così generale

Se dimostri una cosa usando solo le otto regole, quella cosa vale in una volta sola per le liste, per i polinomi e per ogni altro spazio vettoriale. Non devi rifare il lavoro ogni volta.

Le dispense citano tre esempi che userai spesso: gli insiemi di soluzioni dei sistemi lineari (lezioni L11–L13), gli spazi di funzioni (più avanti in questa lezione) e gli spazi di matrici (lezione L06).

Le lettere della definizione

Nella definizione delle dispense compaiono queste lettere.

• $V$ è l'insieme dei vettori.
• $v$ e $w$ sono due vettori qualsiasi.
• $\lambda$ e $\mu$ sono due scalari qualsiasi. La seconda è la lettera greca «mi» (lezione L01).
• $\mathbb{K}$ è l'insieme da cui si prendono gli scalari. Deve essere un campo, perché con gli scalari servono tutte e quattro le operazioni. Se hai saltato la sezione sui campi, leggi «i numeri reali».

Come si legge. Un pezzo alla volta:

• «Fissiamo un campo». Prima di tutto si decide quali numeri usare come scalari.
• «Uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$». La parola «su» dice da dove vengono gli scalari. Con i numeri reali si scrive «su $\mathbb{R}$».
• La somma. $v+w\in V$ si legge «vu più vu doppia appartiene a $V$». Vuol dire: la somma di due vettori dell'insieme sta ancora nell'insieme.
• Il prodotto per scalare. $\lambda v\in V$ dice la stessa cosa per i multipli: non si esce.
• Proprietà 1. «Gruppo commutativo con la somma» riassume le regole da 1 a 4 della tabella: l'ordine non conta, le parentesi si spostano, c'è un vettore che non cambia niente, ogni vettore ha l'opposto.
• Proprietà 2. È la regola 5: il multiplo di una somma di vettori.
• Proprietà 3. È la regola 6: la somma di due scalari. Attenzione: a sinistra il segno più sta tra due numeri, a destra sta tra due vettori.
• Proprietà 4. È la regola 7. La scrittura $\lambda \mu$ è il prodotto dei due scalari.
• Proprietà 5. È la regola 8: lo scalare 1 non cambia niente.
• L'ultima riga. Le proprietà devono valere per tutti i vettori e per tutti gli scalari, non solo per qualche esempio.

In tutto: due operazioni che non fanno uscire dall'insieme, più otto regole. Le dispense chiamano le cinque proprietà anche assiomi dello spazio vettoriale.

La proprietà 5 sembra scontata, ma non si ricava dalle altre quattro. L'esercizio 12 mostra un prodotto per scalare «strano» che rispetta le prime quattro e non la quinta.

In ogni spazio vettoriale c'è un vettore speciale: quello che, sommato a un altro, non cambia niente.

Sulla mappa è lo spostamento «resta dove sei», cioè $(0,0)$. Tra i polinomi è il polinomio $0$.

Questo vettore si chiama vettore nullo, oppure origine dello spazio. Le dispense lo scrivono $0$. Quando serve ricordare che è un vettore dell'insieme $V$, scrivono $0_V$, che si legge «zero di $V$».

Il problema è che anche il numero zero si scrive $0$. Sono due cose diverse.

• Il numero zero è uno scalare.
• Il vettore nullo è un vettore.

Le dispense avvertono: in questo corso il simbolo $0$ può indicare cose diverse, e il significato si capisce dal contesto.

Un vettore per il numero zero

Moltiplica un vettore per il numero zero:

Viene il vettore nullo. Con un polinomio succede lo stesso:

Viene il polinomio nullo. Le dispense dicono che succede sempre.

Come si legge. Nella formula ci sono due zeri diversi. Il primo, quello attaccato a $v$, è il numero zero. Il secondo, dopo l'uguale, è il vettore nullo. A parole: un vettore qualsiasi, moltiplicato per il numero zero, dà il vettore nullo.

Per le liste di numeri basta fare il conto, come sopra. Ma la proposizione dice di più: vale in ogni spazio vettoriale, anche in quelli che non hai ancora visto. Per questo la dimostrazione usa solo le regole della definizione.

L'idea è quella vista nella lezione L01 per i numeri. Si scrive lo zero come «zero più zero», si usa la proprietà 3 e poi si semplifica.

Le dispense presentano cinque esempi di spazi vettoriali.

Per ognuno bisogna dire tre cose: chi sono i vettori, come si sommano e come si moltiplicano per uno scalare. Poi si controlla che valgano le regole. In questa sezione ci sono i primi due esempi.

I numeri da soli

Il primo esempio è il più piccolo: i numeri reali, senza liste.

Un numero è come una lista con una sola coordinata. Sommare due vettori vuol dire sommare due numeri. Moltiplicare per uno scalare vuol dire moltiplicare due numeri. Sulla mappa è come muoversi avanti e indietro lungo una sola riga: la retta dei numeri.

Le dispense lo dicono per un campo qualsiasi: un campo è uno spazio vettoriale su se stesso. «Su se stesso» vuol dire che i vettori e gli scalari sono presi dallo stesso insieme.

Le cinque proprietà della definizione valgono perché sono regole dei numeri. Nella terza colonna c'è un controllo con gli scalari 2 e 3 e con i «vettori» 4 e 5.

Le liste di numeri, con un campo qualsiasi

L'esempio principale è quello da cui siamo partiti: le liste di numeri reali.

Le dispense ripetono la stessa costruzione con un campo qualsiasi al posto dei numeri reali. L'insieme delle liste di $n$ numeri presi dal campo $\mathbb{K}$ si scrive ${\mathbb{K}}^n$ e si legge «cappa enne».

Come si legge. È la definizione già vista per le liste di numeri reali, con un campo qualsiasi al posto di $\mathbb{R}$.

• «Sequenze» vuol dire liste ordinate.
• «Termine a termine» vuol dire «un posto alla volta».
• La prima uguaglianza è la somma: la prima coordinata con la prima, e avanti così fino all'ultima.
• La seconda uguaglianza è il multiplo: ogni coordinata viene moltiplicata per lo scalare $\lambda$.

Vettori di numeri complessi

Se il campo è quello dei numeri complessi si ottiene ${\mathbb{C}}^n$: le liste di $n$ numeri complessi. Qui anche gli scalari sono numeri complessi.

Perché le liste rispettano le regole

Resta da controllare che le liste rispettino davvero le otto regole. Le dispense controllano la proprietà 2: il multiplo di una somma è la somma dei multipli.

Proviamo prima con i numeri. Lo scalare è 2, i vettori sono $(1,3)$ e $(4,-1)$.

A sinistra, prima la somma e poi il doppio:

1. $(1,3)+(4,-1)=(1+4,3-1)=(5,2)$.
2. Il doppio: $(2\cdot 5,2\cdot 2)=(10,4)$.

A destra, prima i due doppi e poi la somma:

1. Il doppio del primo vettore è $(2,6)$. Il doppio del secondo è $(8,-2)$.
2. La somma: $(2+8,6-2)=(10,4)$.

Stesso risultato. Il motivo si vede guardando un posto solo. Al primo posto, a sinistra c'è $2\cdot (1+4)$ e a destra c'è $2\cdot 1+2\cdot 4$. Sono uguali per la proprietà distributiva dei numeri.

Gli ultimi tre esempi delle dispense non sono liste finite di numeri.

In tutti e tre il modo di fare i conti è lo stesso: si somma e si moltiplica un pezzo alla volta.

Liste che non finiscono: le successioni

Una successione è una lista di numeri che non finisce mai (lezione L01). Per esempio $(1,2,3,4,\dots )$. È come un vettore con infinite coordinate.

Si somma e si moltiplica come con le liste finite: un posto alla volta.

Per indicare una successione qualsiasi le dispense usano questa scrittura:

Si legge «la successione degli ics enne, con enne nei naturali». Il termine $x_0$ è il primo, $x_1$ è il secondo. L'indice comincia da 0 perché i numeri naturali cominciano da 0. Ogni termine è un numero del campo.

Le due operazioni, scritte con le lettere:

A parole: in ogni posto, il termine della somma è la somma dei due termini di quel posto. E il termine del multiplo è lo scalare per il termine di quel posto. Le dispense dicono che con queste operazioni le successioni formano uno spazio vettoriale.

Un numero per ogni punto: le funzioni

Le dispense scrivono $f:[0,1]\to \mathbb{K}$. Si legge «effe, da zero-uno a cappa». Vuol dire: entrano i numeri tra 0 e 1, escono numeri del campo.

Come si sommano due funzioni? In una successione c'è un numero per ogni posto. In una funzione c'è un numero per ogni punto dell'intervallo. L'idea è la stessa: si somma punto per punto. Per ogni numero che entra, si sommano i due numeri che escono.

Le dispense lo scrivono così.

Come si legge.

• $f+g$ è una funzione nuova. La scrittura $(f+g)(x)$ indica il numero che esce da questa funzione quando entra $x$.
• La prima uguaglianza dice come si calcola: fai uscire un numero da $f$, uno da $g$, e li sommi.
• $\lambda f$ è un'altra funzione nuova. La seconda uguaglianza dice che in ogni punto vale lo scalare per il numero che esce da $f$.
• Il simbolo $\forall$ si legge «per ogni». L'ultimo pezzo dice che le due regole valgono per ogni numero dell'intervallo.

Il vettore nullo di questo spazio è la funzione nulla: quella che fa uscire 0 qualunque numero entri. L'opposto di una funzione fa uscire, in ogni punto, lo stesso numero con il segno cambiato.

I polinomi

I polinomi li hai già incontrati nella sezione sulla definizione. L'insieme di tutti i polinomi con i coefficienti presi dal campo $\mathbb{K}$ si scrive $\mathbb{K}[x]$ e si legge «cappa di ics». Con i coefficienti reali si scrive $\mathbb{R}[x]$.

Se scrivi i coefficienti in una tabella, una colonna per ogni potenza, la somma dei due polinomi diventa una somma di liste.

Dove una potenza manca, il coefficiente è 0. L'ultima riga si legge $4x^4+x^3-x-2$: lo stesso risultato di prima.

Il vettore nullo è il polinomio nullo, quello con tutti i coefficienti uguali a 0. L'opposto di un polinomio si ottiene cambiando il segno a tutti i coefficienti.

Polinomi con il grado limitato

Spesso non servono tutti i polinomi, ma solo quelli che non superano un certo grado. L'insieme dei polinomi di grado al massimo $k$ si scrive ${\mathbb{K}}_k[x]$. Per esempio ${\mathbb{R}}_2[x]$ contiene i polinomi reali di grado al massimo 2:

Si legge: «i polinomi $a{x}^2+bx+c$, dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri reali». La barretta verticale si legge «dove». Dentro ci sono anche i polinomi di grado più basso, come $3x+1$, e il polinomio nullo: basta prendere qualche coefficiente uguale a 0.

Questo insieme è uno spazio vettoriale: è l'Esercizio 5.7 delle dispense, qui esercizio 10. Sommando due polinomi di grado al massimo 2 il grado non sale. Moltiplicando per uno scalare nemmeno.

Tutti gli esempi in una tabella

All'esame la domanda tipica è: «quale di questi insiemi è uno spazio vettoriale?».

Di solito l'insieme è un pezzo di uno spazio già noto: alcune liste, alcuni polinomi, alcune funzioni. Le operazioni sono quelle solite. In questo caso le otto regole non vanno ricontrollate: valgono per tutti i vettori dello spazio grande, quindi anche per quelli del pezzo.

Resta una sola cosa da controllare: che facendo somme e multipli non si esca dal pezzo. Può andare storto in tre modi.

Primo modo: manca il vettore nullo

Prendi le liste di due numeri la cui somma fa 1, come $(1,0)$, $(0,1)$ e $(3,-2)$. Sulla mappa formano una retta.

Negli appelli un insieme così è scritto con le graffe e con una condizione:

Si legge: «le liste $(x,y)$ di ${\mathbb{R}}^2$ tali che $x+y$ fa 1». La barretta verticale si legge «tali che»: a sinistra dice dove si cercano gli elementi, a destra la condizione che devono rispettare.

Il vettore nullo non sta in questo insieme: i suoi due numeri sommati fanno 0, non 1. E senza vettore nullo non c'è uno spazio vettoriale.

Guarda la figura. La retta tratteggiata è l'insieme appena visto: non passa per l'origine. La retta continua è fatta delle liste in cui la somma dei due numeri fa 0: passa per l'origine.

Secondo modo: una somma esce

Resta sulla retta tratteggiata e somma due suoi elementi:

Nel risultato i due numeri sommati fanno 2, non 1. La somma è uscita dall'insieme. Nella figura è il pallino fuori dalla retta tratteggiata.

Succede lo stesso con i polinomi di grado esattamente 2, visti nella sezione precedente.

Terzo modo: un multiplo esce

Prendi le liste di due numeri in cui il primo numero non è negativo, come $(1,0)$ e $(2,5)$. Sulla mappa è la metà di destra.

Qui il vettore nullo c'è. E la somma di due elementi resta dentro: due numeri non negativi sommati danno un numero non negativo. Ma moltiplica per $-1$:

Il primo numero è diventato negativo: il multiplo è uscito dall'insieme.

Quando la risposta è sì

Prendi le liste in cui la somma dei due numeri fa 0, come $(1,-1)$ e $(2,-2)$. È la retta continua della figura.

• Il vettore nullo c'è: $0+0=0$.
• Una somma: $(1,-1)+(2,-2)=(3,-3)$. È rimasta dentro, perché $3-3=0$.
• Un multiplo: $5\cdot (1,-1)=(5,-5)$. È rimasto dentro, perché $5-5=0$.

Gli esempi non bastano per dire sì: serve un motivo che valga per tutti gli elementi. Qui il motivo è questo. In ogni lista dell'insieme il secondo numero è l'opposto del primo. Sommando due liste così, il secondo numero resta l'opposto del primo. Moltiplicandone una per uno scalare, anche.

Quindi questo insieme è uno spazio vettoriale. Nella lezione L06 un insieme così si chiamerà sottospazio.