Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L06

Spazi vettoriali II

Dentro uno spazio vettoriale ci sono spazi più piccoli, come stanze dentro una casa: i sottospazi. Qui impari a riconoscerli con tre controlli, a fare i conti con le tabelle di numeri chiamate matrici e a costruire sottospazi mescolando alcuni vettori come gli ingredienti di una ricetta. La domanda «è un sottospazio?» esce quasi a ogni appello.

Dispense: lezione 6 · pp. 26–30
Libro: Martelli, §2.2.5–2.2.16
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 7 punti

Una matrice è una tabella di numeri con un certo numero di righe e di colonne. Le matrici con la stessa forma si sommano casella per casella e si moltiplicano per un numero casella per casella: formano uno spazio vettoriale.
Un sottospazio è una parte di uno spazio vettoriale da cui non si esce: contiene lo zero, e sommando o moltiplicando per un numero i suoi vettori si resta dentro.
Nel piano, una retta che passa per l'origine è un sottospazio; una retta che non ci passa no.
Tra le matrici quadrate ci sono cinque sottospazi da conoscere: le diagonali, le triangolari superiori, le triangolari inferiori, le simmetriche e le antisimmetriche.
Per dire che un insieme non è un sottospazio basta un esempio che non funziona. Il controllo più veloce: manca lo zero.
Una combinazione lineare è una ricetta: alcuni vettori, ciascuno moltiplicato per un numero, poi sommati. Lo Span di alcuni vettori è tutto quello che si ottiene con tutte le ricette possibili, ed è sempre un sottospazio.
All'esame «quale di questi insiemi è (o non è) un sottospazio?» esce quasi a ogni appello: 08/02/2024, 03/06/2025, 05/02/2026, 07/09/2026.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Tabelle di numeri: le matrici

p. 26

Un negozio vende tre prodotti in due giorni. Le vendite si scrivono in una tabella: una riga per giorno, una colonna per prodotto.

	pane	latte	uova
lunedì	1	2	3
martedì	4	5	6

In matematica una tabella così, senza le scritte, si chiama matrice, e si scrive tra parentesi tonde:

A = (142536) .

Questa matrice ha 2 righe e 3 colonne. Nella lezione L05 i vettori di $K^{n}$ erano liste di numeri scritte in colonna. Una matrice è fatta di più colonne messe una accanto all'altra. Ricorda: $K$ è il modo delle dispense per dire «i numeri reali $R$ , oppure i numeri complessi $C$ ».

Le matrici sono l'altro grande esempio di spazio vettoriale con cui le dispense aprono la lezione, e da qui in poi saranno dappertutto.

Come si legge una matrice

Per indicare un numero preciso della tabella basta dire in quale riga e in quale colonna sta. Nella matrice $A$ :

il numero nella riga 1 e nella colonna 2 è 2. Si scrive $a_{12} = 2$ , e si legge «a uno due»;
il numero nella riga 2 e nella colonna 1 è 4. Si scrive $a_{21} = 4$ .

La regola è sempre la stessa: prima la riga, poi la colonna. La lettera è la minuscola del nome della matrice.

Le dispense lo scrivono così.

Definizione 6.1 · Matrice

Sia come sempre $K$ un campo fissato. Una matrice con $m$ righe e $n$ colonne a coefficienti in $K$ è una tabella rettangolare del tipo

A = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots ⋱ \dots a_{1 n} ⋮ a_{mn}

in cui tutti gli $mn$ coefficienti $a_{ij}$ appartengono a $K$ . Diciamo brevemente che $A$ è una matrice $m \times n$ . Le sue righe sono indicate con $A_{1}, \dots, A_{m}$ e le sue colonne con $A^{1}, \dots, A^{n}$ .

Come si legge.

$m$ è il numero di righe, $n$ quello di colonne. I puntini orizzontali, verticali e in diagonale vogliono dire «e così via in quella direzione».
$m \times n$ si legge « $m$ per $n$ »: prima le righe, poi le colonne. La matrice $A$ del negozio è $2 \times 3$ .
$a_{ij}$ è il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$ . In tutto ci sono $m \cdot n$ numeri: $A$ ne ha $2 \cdot 3 = 6$ .
$A_{i}$ , con il numerino in basso, è la riga numero $i$ . $A^{j}$ , con il numerino in alto, è la colonna numero $j$ . Nella matrice $A$ : la seconda riga è $A_{2} = (4, 5, 6)$ , la terza colonna è $A^{3} = (36)$ .

Trappola · $A^{1}$ non è una potenza

Nelle dispense $A^{1}, \dots, A^{n}$ sono le colonne di $A$ : il numerino in alto è solo un'etichetta. $A^{2}$ è la seconda colonna, non $A$ per $A$ .

Esempio · le matrici delle dispense

Due matrici con numeri reali:

B = 107 2 - 5 π, C = (503) .

$B$ è $3 \times 2$ : $b_{12} = 2$ , $b_{32} = π$ , la riga $B_{2} = (0, - 5)$ , la colonna $B^{1} =^{t} (1, 0, 7)$ . $C$ è $1 \times 3$ : una sola riga.

Nell'esempio la scrittura $^{t} (1, 0, 7)$ vuol dire «la lista $(1, 0, 7)$ scritta in colonna»: la piccola $t$ in alto a sinistra sta per «trasposta» (lezione L08).

Prova tu

Nella matrice

(30 - 1 5)

quanto valgono

a_{12}

a_{21}

? Qual è la seconda colonna?

$a_{12}$ è nella riga 1 e nella colonna 2: vale $- 1$ . $a_{21}$ è nella riga 2 e nella colonna 1: vale 0. La seconda colonna è $(- 1 5)$ .

Somma e moltiplicazione per un numero

Il negozio ha due negozi uguali. Le vendite totali si ottengono sommando le due tabelle casella per casella: il pane di lunedì del primo negozio più il pane di lunedì del secondo, e così via. Se le vendite raddoppiano, si moltiplica ogni casella per 2.

Esempio · somma e multiplo di matrici

(142536) + (01 - 1 1 2 - 3) = (1 + 0 4 + 1 2 - 1 5 + 1 3 + 2 6 - 3) = (151653),

2 (10 - 1 3) = (20 - 2 6) .

Con le lettere, per due matrici $A$ e $B$ della stessa forma:

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, (λ A)_{ij} = λ a_{ij} .

A parole: la casella nella riga $i$ e colonna $j$ della somma è la somma delle due caselle nello stesso posto. E $λ A$ , «lambda per A», moltiplica ogni casella per il numero $λ$ . La lettera greca $λ$ , «lambda», si usa spesso per un numero.

Le matrici formano uno spazio vettoriale

Tutte le matrici con $m$ righe e $n$ colonne, con queste due operazioni, formano un insieme che si chiama $M (m, n, K)$ , o $M (m, n)$ quando il tipo di numeri è sottinteso. Le dispense osservano che è uno spazio vettoriale.

Il motivo è quello della lezione L05: le operazioni si fanno casella per casella, quindi ogni regola di calcolo si controlla una casella alla volta, dove è una regola dei numeri. In pratica una matrice $2 \times 3$ si comporta come una lista di 6 numeri scritta su due righe.

Il vettore zero è la matrice nulla, con tutti i numeri uguali a 0.
L'opposto di $A$ è $- A$ , con tutti i numeri cambiati di segno.

Una matrice con una sola colonna è un vettore colonna. Quindi le matrici $m \times 1$ sono proprio i vettori di $K^{m}$ :

M (m, 1, K) = K^{m} .

Trappola · Solo matrici della stessa forma

$(12) + (12)$ non ha senso: la prima è $1 \times 2$ , la seconda $2 \times 1$ , e le caselle non si corrispondono. Esiste anche un prodotto tra matrici, ma è un'altra operazione, che non fa parte della struttura di spazio vettoriale: arriva nella lezione L08.

Prova tu

Calcola

(12 0 - 1) + 3 (0111)

Prima il multiplo: $3 (0111) = (0333)$ . Poi la somma casella per casella: $(1 + 0 2 + 3 0 + 3 - 1 + 3) = (1532)$ .

Da ricordare

Una matrice $m \times n$ è una tabella con $m$ righe e $n$ colonne; $a_{ij}$ è il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$ .
Si sommano e si moltiplicano per un numero casella per casella, solo con la stessa forma.
Le matrici $m \times n$ formano lo spazio vettoriale $M (m, n, K)$ .

§2

Stanze da cui non si esce: i sottospazi

pp. 26–27

Immagina lo spazio vettoriale come una casa. Dentro ci sono delle stanze speciali: in una stanza così, se prendi due vettori e li sommi, resti nella stanza; se prendi un vettore e lo moltiplichi per un numero, resti nella stanza. Una stanza così si chiama sottospazio.

Una retta che funziona

Guarda nel piano la retta dei punti con la seconda coordinata doppia della prima: la retta di equazione $y = 2 x$ . Ci stanno $(1, 2)$ , $(- 3, - 6)$ , $(0, 0)$ .

Passa per l'origine, il punto $(0, 0)$ .
Sommo due suoi punti: $(1, 2) + (- 3, - 6) = (- 2, - 4)$ . Anche qui la seconda coordinata è il doppio della prima: resto sulla retta.
Moltiplico un suo punto per un numero: $5 \cdot (1, 2) = (5, 10)$ . Resto sulla retta.

Con somme e moltiplicazioni per un numero non si esce mai dalla retta. È una stanza.

Una retta che non funziona

Ora la retta parallela, spostata in su di 1: la retta di equazione $y = 2 x + 1$ .

Non passa per l'origine: con $x = 0$ dovrebbe essere $y = 1$ , non 0.
La somma esce. I punti $(0, 1)$ e $(1, 3)$ stanno sulla retta, ma la loro somma $(1, 4)$ no: con $x = 1$ la retta ha $y = 3$ , non 4.

Guarda la figura: i due punti rosa sono sulla retta tratteggiata, ma la loro somma, il punto giallo, cade fuori.

−3−2−1123−2−11234xy

y = 2 x

y = 2 x + 1

O

(0, 1)

(1, 3)

(1, 4)

La retta

y = 2 x

passa per l'origine ed è un sottospazio; la retta

y = 2 x + 1

no: la somma di due suoi punti esce

I tre controlli

Le dispense mettono in fila i tre controlli che hai appena fatto.

Definizione 6.2 · Sottospazio vettoriale

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ . Un sottospazio vettoriale di $V$ è un sottoinsieme $W \subset V$ che soddisfa i seguenti tre assiomi:

$0 \in W$ ;
se $v, v^{'} \in W$ , allora anche $v + v^{'} \in W$ ;
se $v \in W$ e $λ \in K$ , allora $λ v \in W$ .

Come si legge.

$V$ è la casa: uno spazio vettoriale che conosci già. $W$ è la stanza: una parte dei vettori di $V$ . Il simbolo $W \subset V$ si legge « $W$ è contenuto in $V$ ».
Controllo 1: lo zero di $V$ sta in $W$ . Il simbolo $\in$ si legge «appartiene a». È il controllo più veloce.
Controllo 2: se $v$ e $v^{'}$ («v primo», un altro vettore) stanno in $W$ , anche la loro somma sta in $W$ . In questo caso $W$ si chiama chiuso rispetto alla somma.
Controllo 3: se $v$ sta in $W$ e $λ$ è un numero qualsiasi (anche negativo o zero), anche $λ v$ sta in $W$ . In questo caso $W$ si chiama chiuso rispetto alla moltiplicazione per un numero.

Un sottospazio è a sua volta uno spazio vettoriale, con le stesse operazioni della casa. Il motivo, con i dettagli che le dispense lasciano sottintesi:

le operazioni non fanno uscire da $W$ , per i controlli 2 e 3;
le regole di calcolo della lezione L05 valgono per tutti i vettori di $V$ , quindi anche per quelli di $W$ ;
lo zero sta in $W$ , per il controllo 1;
l'opposto di un vettore $v$ di $W$ sta in $W$ : l'opposto è $(- 1) v$ (lezione L05, esercizio 11 (b)), che sta in $W$ per il controllo 3.

La stanza vuota e la casa intera (p. 27)

Ogni spazio vettoriale $V$ ha sempre due sottospazi:

il sottospazio fatto solo dallo zero, che si scrive ${0}$ . Le dispense lo chiamano «sottospazio banale». Funziona: $0 + 0 = 0$ e $λ \cdot 0 = 0$ , quindi non si esce;
il sottospazio totale, cioè tutto $V$ .

Ogni altro sottospazio sta in mezzo:

{0} \subset W \subset V .

Un esempio già incontrato: i polinomi di grado al massimo $k$ , $K_{k} [x]$ , dentro tutti i polinomi $K [x]$ (Esercizio 5.7). Contengono il polinomio zero, e sommando o moltiplicando polinomi di grado al massimo $k$ il grado non cresce.

Esempio · la retta $y = 2 x$ , con le lettere

Prendiamo l'insieme $W = {(x, y) \in R^{2} ∣ y = 2 x}$ : le graffe dicono «l'insieme dei punti $(x, y)$ del piano», la barretta si legge «per cui». Controlliamo i tre assiomi con punti qualsiasi, non solo con i numeri.

$(0, 0) \in W$ , perché $0 = 2 \cdot 0$ .
Se $(x, y)$ e $(x^{'}, y^{'})$ stanno in $W$ , cioè $y = 2 x$ e $y^{'} = 2 x^{'}$ , la somma $(x + x^{'}, y + y^{'})$ soddisfa $y + y^{'} = 2 x + 2 x^{'} = 2 (x + x^{'})$ : sta in $W$ .
Se $(x, y) \in W$ e $λ \in R$ , allora $λ y = λ \cdot 2 x = 2 (λ x)$ : anche $(λ x, λ y)$ sta in $W$ .

Quindi $W$ è un sottospazio del piano.

Esempio · tre insiemi che non sono sottospazi del piano

La retta $y = 2 x + 1$ : non contiene l'origine. Fallisce il controllo 1.
Il primo quadrante, cioè i punti con le due coordinate positive o zero: contiene l'origine, e la somma di due suoi punti ci resta. Ma $(- 1) \cdot (1, 1) = (- 1, - 1)$ esce. Fallisce il controllo 3.
I due assi messi insieme, cioè i punti con $x y = 0$ : contiene l'origine, e i multipli di un punto di un asse restano su quell'asse. Ma $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ esce, perché $1 \cdot 1$ non è 0. Fallisce il controllo 2.

Trappola · Un solo controllo non basta

Il primo quadrante supera il controllo della somma ma non quello dei multipli. I due assi superano quello dei multipli ma non quello della somma. Per dire sì servono tutti e tre i controlli. Per dire no ne basta uno che fallisce, con un esempio concreto.

Prova tu

L'insieme dei punti del piano con

x + y = 3

è un sottospazio? E quello con

x = 3 y

$x + y = 3$ : no. L'origine dà $0 + 0 = 0$ , non 3: manca lo zero.

$x = 3 y$ : sì. È una retta per l'origine. L'origine c'è; sommando due punti con $x = 3 y$ e $x^{'} = 3 y^{'}$ viene $x + x^{'} = 3 (y + y^{'})$ ; moltiplicando per $λ$ viene $λ x = 3 (λ y)$ .

Oltre le dispense · i sottospazi più comuni, dal libro di Martelli

Sistemi lineari omogenei (Proposizione 2.2.2). Le soluzioni di un sistema di equazioni lineari con termine noto zero, come ${x + 2 y - z = 0, x - y = 0}$ in $R^{3}$ , formano un sottospazio. Il motivo: prendi un'equazione $a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0$ che vale per due soluzioni $x$ e $y$ . Vale anche per la somma, perché $a_{1} (x_{1} + y_{1}) + \dots = 0 + 0 = 0$ . E vale per i multipli, perché $a_{1} (λ x_{1}) + \dots = λ \cdot 0 = 0$ . Con un termine noto diverso da zero l'origine non è una soluzione (Osservazione 2.2.3).
Polinomi che si annullano in un punto (Proposizione 2.2.5). Fissato un numero $a$ , i polinomi con $p (a) = 0$ formano un sottospazio di $K [x]$ : $(p + q) (a) = 0 + 0 = 0$ e $(λ p) (a) = λ \cdot 0 = 0$ . Quelli con $p (a) = 1$ no, perché non contengono il polinomio nullo (Osservazione 2.2.6).
Intersezione (Proposizione 2.2.11). Se $U$ e $W$ sono sottospazi, anche la loro parte comune $U \cap W$ lo è. L'unione invece in generale no: i due assi del piano sono l'esempio del libro (Esempio 2.2.14, e l'esercizio 13).

Da ricordare

Un sottospazio contiene lo zero, ed è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione per un numero.
Per dire sì servono tutti e tre i controlli; per dire no basta un esempio che non funziona.
Nel piano, le rette per l'origine sono sottospazi; quelle che non ci passano no.

§3

Matrici con una forma speciale

pp. 27–28

Dentro lo spazio delle matrici ci sono tante stanze. Si ottengono chiedendo che certe caselle siano zero, o che certe caselle siano uguali. Le più importanti riguardano le matrici quadrate, quelle con tante righe quante colonne.

La diagonale principale

In una matrice quadrata le caselle con lo stesso numero di riga e di colonna, $a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots$ , formano la diagonale principale: la linea che scende da in alto a sinistra a in basso a destra.

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Qui la diagonale principale è fatta da 1, 5 e 9. Le caselle con riga maggiore della colonna stanno sotto la diagonale (4, 7, 8); quelle con riga minore della colonna stanno sopra (2, 3, 6).

Le cinque classi

Le dispense danno un nome a cinque forme speciali.

Definizione 6.3 · Matrici quadrate, diagonali, triangolari, simmetriche e antisimmetriche

Una matrice $n \times n$ è detta quadrata. Una matrice $A$ quadrata $n \times n$ è:

diagonale se $a_{ij} = 0, \forall i \neq = j$ ;
triangolare superiore se $a_{ij} = 0, \forall i > j$ ;
triangolare inferiore se $a_{ij} = 0, \forall i < j$ ;
triangolare se è triangolare inferiore o superiore;
simmetrica se $a_{ij} = a_{j i}, \forall i, j$ ;
antisimmetrica se $a_{ij} = - a_{j i}, \forall i, j$ .

Come si legge. Il simbolo $\forall$ si legge «per ogni», e $\neq =$ si legge «diverso da».

Diagonale: tutte le caselle fuori dalla diagonale principale sono zero. Sulla diagonale può esserci qualsiasi numero, anche 0.
Triangolare superiore: «riga maggiore della colonna» sono le caselle sotto la diagonale. Quelle devono essere zero; i numeri stanno sulla diagonale e sopra, a forma di triangolo.
Triangolare inferiore: al contrario, sono zero le caselle sopra la diagonale.
Simmetrica: la casella nella riga $i$ e colonna $j$ è uguale a quella nella riga $j$ e colonna $i$ . La matrice è come riflessa in uno specchio messo sulla diagonale principale.
Antisimmetrica: le caselle allo specchio sono una l'opposto dell'altra.

Nelle antisimmetriche c'è un fatto in più. Sulla diagonale la casella e la sua immagine allo specchio sono la stessa casella. Quindi deve essere uguale al suo opposto: $a_{ii} = - a_{ii}$ , cioè $2 a_{ii} = 0$ , e dividendo per 2 viene $a_{ii} = 0$ . Sulla diagonale di una matrice antisimmetrica ci sono solo zeri. Le dispense lo osservano alla fine dell'Esempio 6.4 (p. 28).

Nota · Una precisazione sul campo

Il passaggio da $2 a_{ii} = 0$ ad $a_{ii} = 0$ divide per 2, e si può fare con i numeri del corso: razionali, reali, complessi. Nel campo con i soli due numeri 0 e 1 dell'Esercizio 5.9, dove $1 + 1 = 0$ , invece no: lì ogni numero è uguale al suo opposto, e una matrice antisimmetrica può avere la diagonale non nulla. Il libro di Martelli lo segnala in una nota al §2.2.14; le dispense sottintendono che si lavori con numeri razionali, reali o complessi.

La forma di ciascuna classe per le matrici $3 \times 3$ . Le lettere sono numeri qualsiasi.

diagonale	triangolare superiore	triangolare inferiore	simmetrica	antisimmetrica
$a 00 0 b 0 00 c$	$a 00 b d 0 c e f$	$a b d 0 c e 00 f$	$a b c b d e c e f$	$0 - a - b a 0 - c b c 0$

Esempio 6.4 · Una matrice per ogni classe

Le matrici seguenti sono, nell'ordine, diagonale, triangolare superiore, triangolare inferiore, simmetrica e antisimmetrica:

(20 0 - 1), (1092), (- 1 7 02), (- 1 2 24), (0 - 1 10) .

Una stessa matrice può appartenere a più classi: per esempio

(0001)

è diagonale, triangolare superiore, triangolare inferiore e simmetrica. La matrice nulla appartiene a tutte e cinque le classi.

Controlliamo l'esempio casella per casella. Nelle matrici $2 \times 2$ le caselle fuori dalla diagonale sono solo due: $a_{12}$ , sopra, e $a_{21}$ , sotto.

Matrice	$a_{12}$	$a_{21}$	classe
$(20 0 - 1)$	$0$	$0$	diagonale (e anche triangolare e simmetrica)
$(1092)$	$9$	$0$	triangolare superiore: è zero la casella sotto
$(- 1 7 02)$	$0$	$7$	triangolare inferiore: è zero la casella sopra
$(- 1 2 24)$	$2$	$2$	simmetrica: le due caselle sono uguali
$(0 - 1 10)$	$1$	$- 1$	antisimmetrica: caselle opposte e diagonale nulla

La prima matrice è anche triangolare, sia superiore sia inferiore, e simmetrica. Nell'elenco delle dispense ogni matrice è l'esempio della sua classe, ma può appartenere anche ad altre.

Prova tu

A quali classi appartiene

(4304)

La casella sopra la diagonale è 0: è triangolare inferiore, quindi anche triangolare. Non è diagonale (sotto c'è un 3), non è simmetrica ( $0$ e $3$ sono diversi), non è antisimmetrica (la diagonale non è nulla).

Le cinque classi sono sottospazi (p. 28)

Le matrici quadrate $n \times n$ formano lo spazio $M (n, K)$ , o più brevemente $M (n)$ . Le dispense danno un nome alle cinque classi:

$D (n)$ : le matrici diagonali;
$T^{s} (n)$ : le triangolari superiori;
$T^{i} (n)$ : le triangolari inferiori;
$S (n)$ : le simmetriche;
$A (n)$ : le antisimmetriche.

Prima un esempio con i numeri. Sommo due matrici simmetriche e moltiplico un'antisimmetrica per un numero:

Esempio · la somma di due simmetriche è simmetrica

(1223) + (0 - 1 - 1 5) = (1118), - 3 (0 - 4 40) = (012 - 12 0) .

La prima somma è ancora uguale allo specchio; il multiplo dell'antisimmetrica è ancora antisimmetrico.

Le dispense dicono che succede sempre.

Proposizione 6.5

I sottoinsiemi $D (n)$ , $T^{s} (n)$ , $T^{i} (n)$ , $S (n)$ , $A (n)$ sono tutti sottospazi vettoriali di $M (n)$ .

Come si legge. Ognuna delle cinque classi è una stanza dentro lo spazio delle matrici quadrate: la matrice nulla ci sta, e sommando o moltiplicando per un numero matrici della classe si resta nella classe.

La spiegazione delle dispense: per ciascuna classe la matrice nulla ne fa parte, e la somma e la moltiplicazione per un numero conservano la proprietà che la definisce. Eccola per esteso.

Le matrici simmetriche $S (n)$ .

La matrice nulla è simmetrica: in ogni casella c'è 0, uguale al suo specchio.
Se $A$ e $B$ sono simmetriche, cioè $a_{ij} = a_{j i}$ e $b_{ij} = b_{j i}$ , allora
$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = a_{j i} + b_{j i} = (A + B)_{j i} .$
Se $A$ è simmetrica e $λ$ è un numero, allora $(λ A)_{ij} = λ a_{ij} = λ a_{j i} = (λ A)_{j i}$ .

Le matrici antisimmetriche $A (n)$ . Gli stessi passaggi con il segno meno: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = - a_{j i} - b_{j i} = - (A + B)_{j i}$ e $(λ A)_{ij} = λ a_{ij} = - λ a_{j i} = - (λ A)_{j i}$ .

Le triangolari superiori $T^{s} (n)$ . Sotto la diagonale le caselle di $A$ e di $B$ sono zero. Quindi anche quelle della somma, $0 + 0 = 0$ , e quelle del multiplo, $λ \cdot 0 = 0$ : gli zeri sotto la diagonale restano zeri. Lo stesso per $T^{i} (n)$ , con gli zeri sopra, e per $D (n)$ , con gli zeri fuori dalla diagonale.

Nota · La trasposta, in anticipo

Nella spiegazione della Proposizione 6.5 le dispense scrivono $^{t} (A + B) = A + B$ e $^{t} (λ A) = λ A$ . Il simbolo $^{t} A$ è la trasposta di $A$ , che si ottiene scambiando righe e colonne: $(^{t} A)_{ij} = a_{j i}$ . La definisce la lezione L08. Con questa scrittura, $A$ è simmetrica esattamente quando $^{t} A = A$ , e antisimmetrica esattamente quando $^{t} A = - A$ .

Trappola · «Triangolari» non è un sottospazio

La Proposizione 6.5 parla delle triangolari superiori e delle triangolari inferiori, separatamente. L'insieme di tutte le matrici triangolari, superiori oppure inferiori, non è un sottospazio:

(1010) + (0101) = (1111) .

È la somma di una triangolare superiore e di una inferiore, e non è triangolare. È di nuovo il problema dei due assi messi insieme.

Prova tu

La somma di due matrici diagonali è diagonale? Fai un esempio.

Sì. $(2003) + (- 1 0 04) = (1007)$ : fuori dalla diagonale, $0 + 0$ resta 0.

Oltre le dispense · relazioni tra le cinque classi

Il libro di Martelli (Esempio 2.2.13) nota che $D (n) = T^{s} (n) \cap T^{i} (n)$ : una matrice è diagonale esattamente quando è triangolare sia superiore sia inferiore. E $S (n) \cap A (n) = {0}$ : se $a_{ij} = a_{j i}$ e $a_{ij} = - a_{j i}$ , allora $a_{ij} = - a_{ij}$ , quindi $2 a_{ij} = 0$ e $a_{ij} = 0$ (dividendo per 2, come nella nota sopra: nel campo con i soli numeri 0 e 1, dove $1 + 1 = 0$ , simmetrico e antisimmetrico sono invece la stessa cosa).

Da ricordare

Diagonale: zeri fuori dalla diagonale. Triangolare superiore: zeri sotto. Triangolare inferiore: zeri sopra.
Simmetrica: uguale allo specchio sulla diagonale. Antisimmetrica: opposta allo specchio, con la diagonale di zeri.
Le cinque classi sono sottospazi; «triangolari» tutte insieme no.

§4

Ricette con i vettori: combinazioni lineari

p. 28

In cucina una ricetta dice quanto prendere di ogni ingrediente: «2 parti di farina e 3 parti di zucchero». Con i vettori si fa lo stesso: si prendono alcuni vettori, si moltiplica ciascuno per un numero, e si sommano i risultati.

Un esempio nello spazio a tre coordinate. Gli ingredienti sono $(1, 0, 1)$ e $(0, 1, 1)$ ; la ricetta è «2 volte il primo, meno 1 volta il secondo»:

2101 - 011 = 2 - 0 0 - 1 2 - 1 = 2 - 1 1 .

Il risultato si chiama combinazione lineare dei due vettori. Le dispense lo scrivono così.

Definizione · Combinazione lineare (p. 28)

Sia $V$ uno spazio vettoriale e siano $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ . Una combinazione lineare dei vettori $v_{1}, \dots, v_{k}$ è un vettore del tipo

v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k},

dove $λ_{1}, \dots, λ_{k} \in K$ .

Come si legge.

$v_{1}, \dots, v_{k}$ è un elenco di vettori: gli ingredienti. Il primo si chiama $v_{1}$ , l'ultimo $v_{k}$ , e $k$ è quanti sono.
$λ_{1}, \dots, λ_{k}$ sono numeri, uno per ingrediente: le dosi della ricetta. Si chiamano coefficienti della combinazione. Possono essere positivi, negativi, frazioni, anche zero.
«Lineare» vuol dire che si usano solo le due operazioni dello spazio vettoriale: somma e moltiplicazione per un numero. Niente prodotti tra vettori, niente quadrati.
Con tutte le dosi uguali a 0 viene il vettore zero. Con la dose di $v_{1}$ uguale a 1 e le altre 0 viene $v_{1}$ stesso.

Esempio · combinazioni in tre spazi diversi

Nello spazio: $2101 - 011 = 2 - 1 1$ , il conto di prima.
Tra i polinomi: $3 (x^{2} + 1) - 2 (x - 1) = 3 x^{2} + 3 - 2 x + 2 = 3 x^{2} - 2 x + 5$ .
Tra le matrici: $a (1001) + b (0110) = (a b b a)$ , che è la forma delle matrici dell'Esercizio 6.9.

Tutte le ricette di due vettori

L'esempio delle dispense è nello spazio a tre coordinate, con due ingredienti:

v_{1} = 100, v_{2} = 010, λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} = λ_{1} λ_{2} 0 .

Cambiando le dosi si ottiene esattamente il piano «pavimento», quello con la terza coordinata zero. «Esattamente» vuol dire due cose:

ogni ricetta ha la terza coordinata uguale a 0, quindi sta nel pavimento;
al contrario, ogni punto del pavimento $(a, b, 0)$ si ottiene con una ricetta: dose $a$ del primo, dose $b$ del secondo.

Nello strumento qui sotto $u$ e $v$ sono due vettori del piano e il punto giallo è la ricetta $λ u + μv$ ( $μ$ si legge «mi»). Muovi i cursori: con $u = (1, 2)$ e $v = (3, 1)$ il punto raggiunge qualsiasi posizione del piano. Poi trascina $v$ sulla retta di $u$ , per esempio in $(2, 4)$ : da quel momento le ricette restano sulla retta rossa, qualunque siano le dosi.

Prova tu

Quanto fa la combinazione

2 (1, 0) + 3 (0, 1)

? E

1 \cdot (1, 1) - 1 \cdot (0, 1)

$2 (1, 0) + 3 (0, 1) = (2, 0) + (0, 3) = (2, 3)$ .

$(1, 1) - (0, 1) = (1, 0)$ .

Da ricordare

Una combinazione lineare è una ricetta: ogni vettore moltiplicato per una dose, poi tutto sommato.
Le dosi sono numeri qualsiasi e si chiamano coefficienti.

§5

Tutto quello che si può cucinare: lo Span

pp. 28–29

Nella sezione di prima, con due ingredienti si poteva cucinare tutto il pavimento, e niente fuori. Conviene dare un nome all'insieme di tutte le ricette possibili con certi ingredienti. Le dispense lo scrivono così.

Definizione 6.6 · Sottospazio generato

Sia $V$ uno spazio vettoriale e $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ dei vettori arbitrari. Il sottospazio generato da $v_{1}, \dots, v_{k}$ è il sottoinsieme di $V$ formato da tutte le loro combinazioni lineari e viene indicato con $Span (v_{1}, \dots, v_{k})$ . In simboli:

Span (v_{1}, \dots, v_{k}) = {λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} ∣ λ_{1}, \dots, λ_{k} \in K} .

Come si legge.

Span è una parola inglese, «span» o «spen»: in questo senso vuol dire «generare», «coprire». È tutto quello che si può cucinare con quegli ingredienti.
È un insieme, e di solito infinito: c'è un risultato per ogni scelta delle dosi.
Contiene gli ingredienti stessi (dose 1 per uno, 0 per gli altri) e il vettore zero (tutte le dosi 0).
La barretta $∣$ qui si legge «al variare di»: le dosi prendono tutti i valori possibili.
I vettori $v_{1}, \dots, v_{k}$ si chiamano generatori dello Span: si usa anche dire che lo generano.

Il nome «sottospazio generato» anticipa un fatto da controllare: lo Span è davvero un sottospazio.

Proposizione 6.7

Il sottoinsieme $Span (v_{1}, \dots, v_{k})$ è un sottospazio vettoriale di $V$ .

Come si legge. Tutto quello che si può cucinare con certi ingredienti forma sempre una stanza: sommando due piatti o moltiplicando un piatto per un numero si ottiene un altro piatto della stessa cucina.

Il motivo, a parole: sommare due ricette dà ancora una ricetta, con le dosi sommate; moltiplicare una ricetta per un numero dà ancora una ricetta, con tutte le dosi moltiplicate.

Dimostrazione · della Proposizione 6.7

Dalle dispense, con le giustificazioni. Chiamiamo $W$ lo Span e controlliamo i tre assiomi della Definizione 6.2.

Lo zero. Con tutte le dosi uguali a 0 si ottiene $0 v_{1} + \dots + 0 v_{k} = 0 + \dots + 0 = 0$ , per la Proposizione 5.5. Quindi lo zero è una ricetta: sta in $W$ .
La somma. Se $v$ e $w$ stanno in $W$ , sono due ricette:
$v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}, w = μ_{1} v_{1} + \dots + μ_{k} v_{k} .$
Sommo e metto insieme i pezzi con lo stesso ingrediente (proprietà associativa e commutativa della somma e assioma 3):
$v + w = (λ_{1} + μ_{1}) v_{1} + \dots + (λ_{k} + μ_{k}) v_{k} .$
È ancora una ricetta, con le dosi sommate. Quindi $v + w$ sta in $W$ .
I multipli. Se $v$ sta in $W$ e $λ$ è un numero, per gli assiomi 2 e 4:
$λ v = λ (λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}) = (λ λ_{1}) v_{1} + \dots + (λ λ_{k}) v_{k} .$
È una ricetta con tutte le dosi moltiplicate per $λ$ : sta in $W$ . $□$

Lo Span di un solo vettore

Con un solo ingrediente le ricette sono solo i suoi multipli. Le dispense fanno l'esempio nel piano.

Esempio 6.8 · Lo Span di un solo vettore

Se $v$ è un singolo vettore, allora $Span (v) = {λ v ∣ λ \in K}$ : sono tutti i multipli di $v$ . Per esempio, in $R^{2}$ ,

Span (12) = {(t 2 t) t \in R},

che è la retta $y = 2 x$ .

Perché proprio la retta $y = 2 x$ ? I multipli di $(1, 2)$ sono $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(- 1, - 2)$ , $(0, 5; 1)$ … In tutti la seconda coordinata è il doppio della prima. E al contrario, un punto con la seconda coordinata doppia della prima, come $(3, 6)$ , è il multiplo $3 \cdot (1, 2)$ . È la retta dei multipli di $(1, 2)$ disegnata nella lezione L05.

Che forma può avere uno Span nel piano e nello spazio? Una tabella per orientarsi; il perché preciso arriva con la dimensione, nella lezione L07.

Ingredienti	Span nel piano	Span nello spazio
solo il vettore zero	solo lo zero	solo lo zero
un vettore diverso da zero	la retta per l'origine nella sua direzione	la retta per l'origine nella sua direzione
due vettori che non sono uno multiplo dell'altro	tutto il piano	il piano per l'origine che li contiene
due vettori uno multiplo dell'altro (non tutti e due zero)	una retta	una retta

Trappola · Lo Span di due vettori non è l'insieme dei due vettori

L'insieme ${v_{1}, v_{2}}$ ha due elementi. $Span (v_{1}, v_{2})$ contiene tutte le ricette: infinite, se i vettori non sono zero. E ingredienti diversi possono dare lo stesso Span: $Span ((1, 2)) = Span ((2, 4)) = Span ((- 1, - 2))$ , sempre la retta $y = 2 x$ .

Prova tu

Il vettore

(4, 6)

sta in

Span ((2, 3))

? E il vettore

(4, 5)

$(4, 6) = 2 \cdot (2, 3)$ : sì, è un multiplo.

Per $(4, 5)$ servirebbe una dose $t$ con $2 t = 4$ e $3 t = 5$ . La prima dà $t = 2$ , ma allora $3 t = 6$ , non 5: no.

Oltre le dispense · lo Span è il più piccolo sottospazio che contiene i vettori

Se un sottospazio $U$ contiene $v_{1}, \dots, v_{k}$ , contiene anche tutti i loro multipli (assioma 3) e tutte le somme di multipli (assioma 2): quindi tutto $Span (v_{1}, \dots, v_{k})$ sta dentro $U$ . Conseguenza pratica, utilissima nei quiz: per mostrare che uno Span sta dentro un sottospazio basta controllare che ci stiano gli ingredienti. Per mostrare che sono uguali serve anche il contrario: ogni vettore del sottospazio è una ricetta con quegli ingredienti.

Un vettore sta nello Span? (pp. 29–30)

È la domanda dell'Esercizio 6.10, e una delle più frequenti di tutto il corso: si può cucinare questo piatto con questi ingredienti? Si cercano le dosi.

Esempio · un polinomio nello Span di altri due

Il polinomio $x^{2} + 2 x + 3$ sta in $Span (x^{2} + 1, x + 1)$ ? Cerchiamo due dosi $a$ e $b$ con

a (x^{2} + 1) + b (x + 1) = a x^{2} + b x + (a + b) = x^{2} + 2 x + 3.

Due polinomi sono uguali quando hanno gli stessi numeri davanti a ogni potenza. Quindi:

davanti a $x^{2}$ : $a = 1$ ;
davanti a $x$ : $b = 2$ ;
il termine noto: $a + b = 3$ .

Le prime due danno $a = 1$ e $b = 2$ , e la terza è vera: $1 + 2 = 3$ . Quindi sì: $x^{2} + 2 x + 3 = (x^{2} + 1) + 2 (x + 1)$ .

Con $x^{2} + 2 x + 4$ invece la terza condizione diventerebbe $1 + 2 = 4$ , falsa: quel polinomio non sta nello Span.

Metodo · «Il vettore sta nello Span?»

Chiama con delle lettere le dosi che cerchi, una per ingrediente.
Scrivi la ricetta con le lettere e mettila uguale al vettore dato, coordinata per coordinata (o potenza per potenza, per i polinomi): ottieni un sistema lineare nelle dosi.
Risolvi il sistema. Per ora con le sostituzioni; dalla lezione L11 con il metodo di Gauss.
Se trovi le dosi, il vettore sta nello Span: rimettile nella ricetta e controlla. Se arrivi a una cosa impossibile, come $3 = 4$ , il vettore non sta nello Span.

Per i sistemi più grandi lo strumento qui sotto fa i passaggi di Gauss al posto tuo (il metodo si impara nella lezione L11). Scrivi nelle colonne gli ingredienti e, nell'ultima colonna, il vettore da provare. La matrice già inserita è quella dell'Esercizio 6.10 con il vettore $(1, 2, 3)$ : lo strumento trova una sola soluzione, $x_{1} = 1$ e $x_{2} = 2$ (sono le due dosi). Poi cambia l'ultimo numero da 3 a 4, cioè prova il vettore $(1, 2, 4)$ , e premi «Calcola»: nessuna soluzione.

Oltre le dispense · forma parametrica e forma cartesiana

Il libro di Martelli (§2.2.11) dà un nome ai due modi di descrivere un sottospazio di $K^{n}$ . In forma parametrica lo si descrive come Span di alcuni vettori: $Span ((1, 0, 1), (0, 1, 1)) = {(s, t, s + t) ∣ s, t \in R}$ . In forma cartesiana lo si descrive con equazioni lineari omogenee: lo stesso insieme è il piano $z = x + y$ . Nell'Esercizio 6.10 si passa dalla prima alla seconda. I due modi torneranno per rette e piani nelle lezioni L22–L24.

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

Nel libro di Martelli: le matrici e lo spazio $M (m, n, K)$ nel §2.2.5 (pp. 49–50); sottospazi, sottospazio «banale» e totale nei §2.2.6–2.2.7 (pp. 50–51); sistemi omogenei nel §2.2.8 (pp. 51–52); combinazioni lineari e Span nei §2.2.9–2.2.10 (pp. 52–54, Proposizione 2.2.4 = Proposizione 6.7); forma cartesiana e parametrica e polinomi con restrizioni nei §2.2.11–2.2.12 (pp. 54–55); matrici diagonali, triangolari, simmetriche e antisimmetriche nel §2.2.14 (pp. 56–57, Proposizione 2.2.10 = Proposizione 6.5); intersezione e unione nei §2.2.15–2.2.16 (pp. 57–58).

Da ricordare

Lo Span di alcuni vettori è l'insieme di tutte le loro combinazioni lineari: tutto quello che si può cucinare.
Lo Span è sempre un sottospazio. Lo Span di un vettore diverso da zero è la retta dei suoi multipli.
Per sapere se un vettore sta nello Span si cercano le dosi: è un sistema lineare.

§6

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$K$	«kappa»	i numeri usati: reali $R$ oppure complessi $C$	$K = R$
$m \times n$	«emme per enne»	la forma di una matrice: $m$ righe, $n$ colonne	$(123)$ è $1 \times 3$
$a_{ij}$	«a i j»	il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$	in $(1324)$ , $a_{21} = 3$
$A_{i}$ , $A^{j}$	«a con i in basso», «a con j in alto»	la riga $i$ e la colonna $j$	$A_{1} = (1, 2)$
$M (m, n, K)$ , $M (n)$	«emme di emme enne»	lo spazio delle matrici $m \times n$ ; delle quadrate $n \times n$	$M (2)$
$D (n)$ , $T^{s} (n)$ , $T^{i} (n)$	«di», «ti esse», «ti i»	diagonali, triangolari superiori, triangolari inferiori	$(1002) \in D (2)$
$S (n)$ , $A (n)$	«esse», «a»	simmetriche, antisimmetriche	$(0 - 1 10) \in A (2)$
$^{t} A$	«a trasposta»	righe e colonne scambiate (lezione L08)	$^{t} (12) = (12)$
$W \subset V$	«W contenuto in V»	$W$ è una parte di $V$	${0} \subset V$
$v \in W$	«v appartiene a W»	$v$ è uno dei vettori di $W$	$(1, 2) \in Span ((1, 2))$
${0}$	«l'insieme con solo lo zero»	il sottospazio banale
$\forall$	«per ogni»	vale per tutti i valori	$a_{ij} = 0 \forall i \neq = j$
$λ$ , $μ$	«lambda», «mi»	numeri, di solito le dosi di una ricetta	$λ u + μv$
$v_{1}, \dots, v_{k}$	«v uno, …, v kappa»	un elenco di $k$ vettori
$Span (v_{1}, \dots, v_{k})$	«span di v uno, …, v kappa»	tutte le combinazioni lineari dei vettori	$Span ((1, 2))$ è la retta $y = 2 x$
${\dots ∣ \dots}$	«l'insieme di … per cui …»	un insieme descritto con una condizione	${(x, y) ∣ y = 2 x}$

§7

Verso l'esame

esame

La prova scritta di Algebra lineare e Geometria ha 10 domande a risposta multipla con 5 risposte, e 2 problemi da 11 punti. I problemi si correggono solo con almeno 6 punti nel quiz. Dura 2 ore, senza calcolatrice e con solo 4 facciate scritte a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione serve all'esame

«È un sottospazio?» È la domanda più frequente di questa parte del corso. È uscita negli appelli dell'08/02/2024 (domanda 2), del 03/06/2025 (domanda 2), del 05/02/2026 (domanda 2) e del 07/09/2026 (domanda 6). Nell'appello del 10/07/2024 (domanda 2) riguardava l'insieme $O (2)$ delle matrici ortogonali, che non contiene la matrice nulla.
«Questo sottospazio è lo Span di…». Un'altra domanda ricorrente chiede quale Span è uguale a un sottospazio di polinomi (24/01/2024, domanda 1; 15/01/2026, domanda 7).
Le matrici speciali. Nelle domande sulla dimensione compaiono $T^{s} (3)$ (24/01/2024, domanda 5) e $S (3)$ (15/01/2026, domanda 4): la dimensione si calcola nella lezione L07, ma che siano sottospazi è la Proposizione 6.5. L'appello dell'08/02/2024 (domanda 6) chiede per quali matrici $A +^{t} A = 0$ : sono le antisimmetriche.
Lo Span nei problemi. Nei problemi da 11 punti lo Span serve per scrivere rette e piani: «calcolare la retta $r = π_{1} \cap π_{2}$ in forma $r = P + Span (v)$ » (24/01/2024, problema 12). Lo vedrai nelle lezioni L22–L24.

Una domanda vera, letta insieme

Appello dell'08/02/2024, domanda 2. Il testo: «Quale dei seguenti insiemi non è un sottospazio di $R_{2} [x]$ ? (a) ${p (x) \in R_{2} [x] ∣ p (0) = 0}$ ; (b) ${(t + s) x^{2} - t x - s ∣ s, t \in R}$ ; (c) ${p (x) = a x^{2} + b x + c ∣ a = 2 c, b = 0}$ ; (d) ${(1 + t) x^{2} + t x ∣ t \in R}$ ; (e) ${p (x) \in R_{2} [x] ∣ p (1) = 0 = p (2)}$ ».

In pratica chiede: tra cinque gruppi di polinomi di grado al massimo 2, quale non è una stanza? Si parte dal controllo più veloce: c'è il polinomio zero?

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: (a) ed (e). Sono i polinomi che fanno zero in certi numeri. Il polinomio zero fa zero dappertutto, quindi c'è. E sommando o moltiplicando polinomi che fanno zero in un numero, si ottiene ancora zero in quel numero. Sono sottospazi.

Passo 2: (b). Metto insieme i pezzi con $t$ e quelli con $s$ : $(t + s) x^{2} - t x - s = t (x^{2} - x) + s (x^{2} - 1)$ . Sono tutte le ricette con gli ingredienti $x^{2} - x$ e $x^{2} - 1$ : è uno Span, quindi è un sottospazio.

Passo 3: (c). Le condizioni $a = 2 c$ e $b = 0$ sono equazioni senza termine noto. Il polinomio zero ( $a = b = c = 0$ ) le rispetta; somme e multipli anche. Sottospazio.

Passo 4: (d). Per avere il polinomio zero servirebbe che il numero davanti a $x^{2}$ sia 0, cioè $1 + t = 0$ , e che il numero davanti a $x$ sia 0, cioè $t = 0$ . Ma $t$ non può essere insieme $- 1$ e 0. Il polinomio zero manca.

La risposta è la (d).

Altre due domande vere

Conta all'esame · Appello del 03/06/2025, domanda 2

Testo. Quale dei seguenti insiemi di punti $(x, y, z) \in R^{3}$ è un sottospazio vettoriale di $R^{3}$ ? (a) $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ; (b) $x + 2 y z + 3 z = 7$ ; (c) $- x + 7 y + z = 5$ ; (d) $x + \frac{y}{2} - 5 π z = 0$ ; (e) $x + 3 i y + 5 z = 0$ .

In pratica chiede: quale di queste equazioni descrive una stanza dello spazio?

Soluzione. È la (d): un'equazione con le lettere solo alla prima potenza, numeri reali e niente termine noto. Le altre:

in (a) l'equazione è $(x - 1)^{2} = 0$ , cioè $x = 1$ , e l'origine non la rispetta;
(b) e (c) hanno un termine noto diverso da zero, quindi l'origine non c'è (in (b) c'è anche il prodotto $y z$ );
la (e) ha un numero non reale, e la soluzione ufficiale la scarta perché «non è definita sui numeri reali». A rigore, per un punto con coordinate reali l'equazione chiede che si annullino separatamente la parte reale e quella immaginaria: $x + 5 z = 0$ e $3 y = 0$ . L'insieme che ne esce è una retta per l'origine. Ma l'intenzione della domanda è chiara, e la risposta attesa è la (d).

Conta all'esame · Appello del 24/01/2024, domanda 1

Testo. Siano dati in $R_{3} [x]$ i polinomi

a (x) = x - 1, b (x) = x + 2, c (x) = 2 x^{2} - 2, d (x) = x^{2} - x, e (x) = 2 x^{3} + 1, f (x) = x^{3} - x^{2},

e sia $U = {p (x) \in R_{3} [x] ∣ p (1) = 0}$ . Vale: (a) $U = Span (a, c)$ ; (b) $U = Span (a, c, f)$ ; (c) $U = Span (c, d, e, f)$ ; (d) $U = Span (b, e, f)$ ; (e) $U = Span (a, c, d)$ .

In pratica chiede: $U$ sono i polinomi di grado al massimo 3 che fanno zero in 1. Con quali ingredienti si cucina esattamente $U$ ?

Soluzione. È la (b), e la si può dimostrare con gli strumenti di questa lezione.

Scarto (c) e (d): $e (1) = 3$ e $b (1) = 3$ , non zero. Quindi $e$ e $b$ non stanno in $U$ , e quegli Span escono da $U$ .
Scarto (a) ed (e): i loro ingredienti hanno grado al massimo 2, quindi ogni ricetta ha grado al massimo 2. Ma $U$ contiene $x^{3} - 1$ , di grado 3.
Confermo (b). Da un lato $a (1) = c (1) = f (1) = 0$ , quindi lo Span di $a$ , $c$ , $f$ sta dentro $U$ (riquadro sullo Span più piccolo). Dall'altro, se $p (1) = 0$ allora $p (x) = (x - 1) q (x)$ con $q$ di grado al massimo 2 (lezione L04). Quindi $p$ è una ricetta con $x - 1$ , $x (x - 1) = x^{2} - x$ e $x^{2} (x - 1) = x^{3} - x^{2}$ . E questi tre si cucinano con $a$ , $c$ , $f$ : $x - 1 = a$ , $x^{2} - x = \frac{1}{2} c - a$ , $x^{3} - x^{2} = f$ .

I segnali da riconoscere

Metodo · «È un sottospazio?»: i segnali da riconoscere

Se l'insieme è descritto da…	allora…
equazioni lineari senza termine noto nelle coordinate o nei coefficienti ( $x - 2 y = 0$ , $a = 2 c$ , $p (1) = 0$ , $p (1) = p (2)$ )	è un sottospazio
un'equazione con termine noto diverso da zero ( $x + y = 1$ , $p (0) = 1$ , $a_{11} = 1$ )	non contiene lo zero: no
disuguaglianze ( $x \geq 0$ , $b > 0$ )	quasi sempre no: prova a moltiplicare per $- 1$
prodotti o potenze delle lettere ( $x y = 0$ , $x = y^{2}$ )	quasi sempre no: prova una somma o un multiplo
una lettera con un pezzo fisso, come ${(1 + t) x^{2} + t x}$	quasi sempre no: con nessun valore della lettera si ottiene lo zero
uno Span, o «tutte le combinazioni di…»	sì, sempre (Proposizione 6.7)

Per rispondere no scrivi un esempio concreto che non funziona. Per rispondere sì, riscrivi l'insieme come Span oppure fai i tre controlli con vettori qualsiasi.

Trappola · Gli errori più comuni

Controllare solo lo zero: il primo quadrante contiene lo zero ma non è un sottospazio.
Dimenticare i numeri negativi nel controllo dei multipli.
Pensare che «triangolari» (superiori oppure inferiori) sia un sottospazio: lo sono le superiori e le inferiori separatamente.
Confondere lo Span di due vettori con l'insieme dei due vettori.
Nel controllo «sta nello Span?» fermarsi alle prime condizioni senza controllare anche l'ultima.

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione: i tre assiomi di sottospazio; la tabella dei segnali «sì / no»; le forme $3 \times 3$ delle cinque classi di matrici; la definizione di Span e il metodo «il vettore sta nello Span?».

§9

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: leggere una matrice base

Nella matrice $(51 - 2 4 07)$ trova la forma, $a_{13}$ , $a_{22}$ , la prima riga e la terza colonna.

Soluzione

Ha 2 righe e 3 colonne: è $2 \times 3$ .
$a_{13}$ è nella riga 1 e nella colonna 3: vale 0.
$a_{22}$ è nella riga 2 e nella colonna 2: vale 4.
La prima riga è $(5, - 2, 0)$ .
La terza colonna è $(07)$ .

2 · Riscaldamento: somma e doppio base

Calcola $A + B$ e $2 A$ con $A = (10 3 - 2)$ e $B = (42 - 1 2)$ .

Soluzione

Somma casella per casella: $A + B = (1 + 4 0 + 2 3 - 1 - 2 + 2) = (5220)$ .
Doppio casella per casella: $2 A = (20 6 - 4)$ .

3 · Riscaldamento: c'è lo zero? base

Quali di questi insiemi del piano contengono l'origine? Quali possono essere sottospazi? (a) $x - 5 y = 0$ ; (b) $x - 5 y = 2$ ; (c) $y = 0$ ; (d) $x = 1$ .

Soluzione

(a) $0 - 0 = 0$ : l'origine c'è. È una retta per l'origine: sottospazio.
(b) $0 - 0 = 0$ , non 2: l'origine manca. Non è un sottospazio.
(c) l'origine ha $y = 0$ : c'è. È l'asse orizzontale: sottospazio.
(d) l'origine ha $x = 0$ , non 1: manca. Non è un sottospazio.

4 · Riscaldamento: una ricetta base

Calcola $3 (1, 2) - 2 (0, 1)$ . Poi di' se $(3, 4)$ sta in $Span ((1, 2), (0, 1))$ .

Soluzione

$3 (1, 2) - 2 (0, 1) = (3, 6) - (0, 2) = (3, 4)$ .
Il conto appena fatto è una ricetta con quegli ingredienti che dà $(3, 4)$ , con dosi 3 e $- 2$ . Quindi sì, $(3, 4)$ sta nello Span.

5 · Conti con le matrici base

Siano $A = (21 - 1 3 04)$ e $B = (10 1 - 1 - 2 5)$ . (a) Di che taglia sono? Quanto valgono $a_{13}$ , $a_{21}$ , la riga $A_{2}$ e la colonna $A^{2}$ ? (b) Calcola $A + B$ e $3 A - 2 B$ . (c) Trova la matrice $X$ tale che $A + X = B$ .

Soluzione

(a) Sono tutte e due $2 \times 3$ . $a_{13} = 0$ (riga 1, colonna 3), $a_{21} = 1$ (riga 2, colonna 1), $A_{2} = (1, 3, 4)$ , $A^{2} =^{t} (- 1, 3)$ , cioè $- 1$ e $3$ in colonna.

(b) Casella per casella:

A + B = (3102 - 2 9), 3 A - 2 B = (6 - 2 3 - 0 - 3 - 2 9 + 2 0 + 4 12 - 10) = (43 - 5 11 42) .

Controllo: $A + X = (2 - 1 1 - 1 - 1 + 2 3 - 4 0 - 2 4 + 1) = B$ .

6 · Riconoscere le classi di matrici base

Per ciascuna matrice di' a quali delle cinque classi della Definizione 6.3 appartiene:

M_{1} = 300000 00 - 1, M_{2} = 123256360, M_{3} = 0 - 1 2 10 - 3 - 2 30, M_{4} = 145026003, M_{5} = (1 - 1 11) .

Soluzione

$M_{1}$ : fuori dalla diagonale solo zeri, quindi è diagonale. Allora è anche triangolare superiore, triangolare inferiore e simmetrica. Non è antisimmetrica, perché la diagonale non è fatta di zeri.
$M_{2}$ : le caselle allo specchio sono uguali (2 e 2, 3 e 3, 6 e 6): simmetrica, e basta, perché ci sono numeri sia sopra sia sotto la diagonale.
$M_{3}$ : diagonale di zeri, e le caselle allo specchio sono opposte (1 e $- 1$ , $- 2$ e 2, 3 e $- 3$ ): antisimmetrica, e basta.
$M_{4}$ : sopra la diagonale solo zeri: triangolare inferiore (quindi triangolare), e basta.
$M_{5}$ : le caselle fuori dalla diagonale sono opposte (1 e $- 1$ ), ma la diagonale non è nulla, quindi non è antisimmetrica; non è simmetrica perché 1 e $- 1$ sono diversi; non è triangolare. Non appartiene a nessuna delle cinque classi.

7 · Span nel piano base

(a) Descrivi $Span ((2, - 1))$ con un'equazione. (b) Descrivi $Span ((1, 2), (2, 4))$ . (c) Dimostra che $Span ((1, 0), (1, 1)) = R^{2}$ , trovando esplicitamente i coefficienti per un vettore qualsiasi $(a, b)$ .

Soluzione

(a) I multipli di $(2, - 1)$ sono $(2 t, - t)$ . Da $y = - t$ viene $t = - y$ , e allora $x = 2 t = - 2 y$ . È la retta $x + 2 y = 0$ .

(b) $(2, 4) = 2 \cdot (1, 2)$ , quindi ogni ricetta $λ (1, 2) + μ (2, 4) = (λ + 2 μ) (1, 2)$ è un multiplo di $(1, 2)$ . Lo Span è la retta $y = 2 x$ , come lo Span di $(1, 2)$ da solo: il secondo vettore non aggiunge niente.

Dalla seconda coordinata: $μ = b$ .
Dalla prima: $λ + b = a$ , quindi $λ = a - b$ .

Quindi

(a, b) = (a - b) (1, 0) + b (1, 1)

per ogni $a$ e $b$ : ogni vettore del piano è una ricetta, e lo Span è tutto il piano. Controllo con $(3, 5)$ : $- 2 \cdot (1, 0) + 5 \cdot (1, 1) = (- 2 + 5, 5) = (3, 5)$ .

8 · Esercizio 6.9 delle dispense: le matrici del tipo $(a b b a)$ medio

Consideriamo il sottoinsieme $W \subset M (2, R)$ formato dalle matrici del tipo

(a b b a), a, b \in R .

Dimostra che $W$ è un sottospazio vettoriale di $M (2, R)$ e verifica che

W = Span ((1001), (0110)) .

Soluzione

$W$ è un sottospazio. Faccio i tre controlli della Definizione 6.2.

La matrice nulla sta in $W$ : è il caso $a = b = 0$ .
La somma: $(a b b a) + (a^{'} b^{'} b^{'} a^{'}) = (a + a^{'} b + b^{'} b + b^{'} a + a^{'})$ . Ha ancora la stessa forma, con $a + a^{'}$ e $b + b^{'}$ al posto di $a$ e $b$ .
I multipli: $λ (a b b a) = (λa λb λb λa)$ , stessa forma con $λa$ e $λb$ .

$W$ è lo Span delle due matrici. Chiamo $I = (1001)$ e $J = (0110)$ . Per ogni $a$ e $b$ :

a I + b J = (a 0 0 a) + (0 b b 0) = (a b b a) .

Letta da sinistra a destra, l'uguaglianza dice che ogni ricetta con $I$ e $J$ sta in $W$ . Letta da destra a sinistra, dice che ogni matrice di $W$ è una ricetta con $I$ e $J$ . Quindi $W = Span (I, J)$ .

Nota: con questa seconda parte il primo punto diventa automatico, perché ogni Span è un sottospazio (Proposizione 6.7). È il modo più veloce per dimostrare che un insieme è un sottospazio: riscriverlo come Span.

9 · Esercizio 6.10 delle dispense: uno Span in $R^{3}$ medio

In $R^{3}$ siano

v_{1} = 101, v_{2} = 011 .

Descrivi esplicitamente $Span (v_{1}, v_{2})$ e determina quali dei vettori

u = 123, w = 124

appartengono a questo sottospazio.

Soluzione

Descrizione. Una ricetta qualsiasi, con dosi $a$ e $b$ , è

a v_{1} + b v_{2} = a 0 a + 0 b b = a b a + b .

Quindi lo Span è fatto dai vettori in cui la terza coordinata è la somma delle prime due. Con un'equazione è il piano $z = x + y$ , cioè $x + y - z = 0$ , che passa per l'origine. Infatti un punto $(x, y, z)$ ha la forma $(a, b, a + b)$ esattamente quando $z = x + y$ : basta prendere $a = x$ e $b = y$ .

Il vettore $u$ . Cerco le dosi con $(a, b, a + b) = (1, 2, 3)$ .

Dalle prime due coordinate: $a = 1$ e $b = 2$ .
La terza chiede $a + b = 3$ , e infatti $1 + 2 = 3$ .

Sì: $u = v_{1} + 2 v_{2}$ sta nello Span. Controllo: $(1, 0, 1) + 2 (0, 1, 1) = (1, 2, 3)$ .

Il vettore $w$ . Di nuovo $a = 1$ e $b = 2$ , ma la terza coordinata chiede $a + b = 4$ , mentre $1 + 2 = 3$ . Impossibile: $w$ non sta nello Span. Con l'equazione del piano: $1 + 2 - 4 = - 1$ , non zero.

10 · Sottospazi di $R^{3}$ medio

Di' quali dei seguenti sottoinsiemi di $R^{3}$ sono sottospazi. Se sì, dimostralo; se no, trova un controesempio. (a) $W_{1} = {(x, y, z) ∣ x + 2 y - z = 0}$ (b) $W_{2} = {(x, y, z) ∣ x = y = z}$ (c) $W_{3} = {(x, y, z) ∣ x + y + z = 1}$ (d) $W_{4} = {(x, y, z) ∣ x^{2} = y^{2}}$ (e) $W_{5} = {(t, t^{2}, 0) ∣ t \in R}$

Soluzione

(a) Sì. L'origine rispetta l'equazione. Se $x + 2 y - z = 0$ e $x^{'} + 2 y^{'} - z^{'} = 0$ , sommando viene $(x + x^{'}) + 2 (y + y^{'}) - (z + z^{'}) = 0$ ; moltiplicando per $λ$ viene $λ x + 2 λ y - λ z = 0$ . È un piano per l'origine.

(b) Sì. I punti con le tre coordinate uguali sono $(t, t, t)$ , cioè i multipli di $(1, 1, 1)$ . È lo Span di $(1, 1, 1)$ , quindi un sottospazio per la Proposizione 6.7: la retta per l'origine nella direzione di $(1, 1, 1)$ .

(d) No. L'origine c'è e i multipli restano dentro, ma la somma esce. $(1, 1, 0)$ e $(1, - 1, 0)$ stanno in $W_{4}$ , perché in tutti e due $x^{2} = y^{2} = 1$ . La loro somma $(2, 0, 0)$ no, perché $4$ non è $0$ . In realtà $W_{4}$ è fatto da due piani messi insieme, $x = y$ e $x = - y$ .

(e) No. $(1, 1, 0)$ sta in $W_{5}$ , con $t = 1$ . Ma il suo doppio $(2, 2, 0)$ no: per avere la prima coordinata 2 serve $t = 2$ , e allora la seconda sarebbe 4.

11 · Uno Span con un parametro medio

Per quali valori di $k \in R$ il vettore $u_{k} = (1, 2, k)$ appartiene a $Span ((1, 1, 0), (0, 1, 1))$ ? Per quei valori scrivi $u_{k}$ come combinazione lineare.

Soluzione

Cerco le dosi $a$ e $b$ con $a (1, 1, 0) + b (0, 1, 1) = (a, a + b, b) = (1, 2, k)$ . Coordinata per coordinata:

prima coordinata: $a = 1$ ;
seconda: $a + b = 2$ , quindi $b = 1$ ;
terza: $b = k$ , quindi $k = 1$ .

Il vettore sta nello Span solo per $k = 1$ , e in quel caso

(1, 2, 1) = (1, 1, 0) + (0, 1, 1) .

Per gli altri valori di $k$ la terza condizione contraddice le prime due. Con un'equazione: lo Span è fatto dai vettori $(a, a + b, b)$ , cioè il piano $y = x + z$ , e $u_{k}$ ci sta quando $2 = 1 + k$ .

12 · Le matrici antisimmetriche $3 \times 3$ come Span medio

Dimostra che $A (3)$ , le matrici antisimmetriche $3 \times 3$ , è lo Span di tre matrici, e trovale. Controlla con la tua descrizione che la somma di due matrici antisimmetriche è antisimmetrica.

Soluzione

Una matrice antisimmetrica $3 \times 3$ ha la diagonale di zeri, e sotto la diagonale ci sono gli opposti dei numeri sopra. Quindi basta conoscere i tre numeri sopra la diagonale: chiamo $a = a_{12}$ , $b = a_{13}$ , $c = a_{23}$ .

0 - a - b a 0 - c b c 0 = a 0 - 1 0 100000 + b 00 - 1 000100 + c 000 00 - 1 010 .

Chiamo $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ le tre matrici a destra. Ogni matrice antisimmetrica è una loro ricetta, e ogni loro ricetta è antisimmetrica: $A (3) = Span (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ . Per la Proposizione 6.7 è un sottospazio.

La somma: con i numeri $a, b, c$ e $a^{'}, b^{'}, c^{'}$ si ottiene la matrice con $a + a^{'}$ , $b + b^{'}$ , $c + c^{'}$ sopra la diagonale e i loro opposti sotto. Ha ancora la forma antisimmetrica. Nella lezione L07 vedrai che $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ sono una base, quindi lo spazio ha dimensione 3 (è l'Esercizio 1 del Foglio 2 del tutorato 2025).

13 · Intersezione e unione di sottospazi difficile

Siano $U$ e $W$ sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ . (a) Dimostra che $U \cap W$ è un sottospazio. (b) Mostra con un esempio in $R^{2}$ che $U \cup W$ può non essere un sottospazio. (c) Dimostra che $U \cup W$ è un sottospazio se e solo se $U \subset W$ oppure $W \subset U$ .

Soluzione

Il simbolo $U \cap W$ è l'intersezione, la parte comune: i vettori che stanno sia in $U$ sia in $W$ . Il simbolo $U \cup W$ è l'unione: i vettori che stanno in almeno uno dei due.

(a) Lo zero sta in $U$ e in $W$ , quindi nella parte comune. Se $v$ e $v^{'}$ stanno nella parte comune, la loro somma sta in $U$ (perché $U$ è un sottospazio) e sta in $W$ (perché lo è $W$ ): quindi sta nella parte comune. Lo stesso per i multipli $λ v$ .

(b) $U$ è l'asse orizzontale, lo Span di $(1, 0)$ ; $W$ è l'asse verticale, lo Span di $(0, 1)$ . La somma $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ non sta su nessuno dei due assi.

Al contrario, supponiamo che l'unione sia un sottospazio ma che nessuno dei due contenga l'altro. Allora c'è un vettore $u$ di $U$ che non sta in $W$ , e un vettore $w$ di $W$ che non sta in $U$ . La somma $u + w$ sta nell'unione, quindi sta in $U$ oppure in $W$ .

Se $u + w$ sta in $U$ , allora $w = (u + w) - u$ sta in $U$ , perché $U$ è chiuso rispetto a somme e multipli: impossibile.
Se $u + w$ sta in $W$ , allora $u = (u + w) - w$ sta in $W$ : impossibile.

Quindi uno dei due contiene l'altro. È l'Esercizio 2.2.15 del libro di Martelli.

14 · Come all'esame: sottospazi di $R_{2} [x]$ tipo esame

Per ciascun sottoinsieme di $R_{2} [x]$ stabilisci se è un sottospazio. Per quelli che lo sono, scrivilo come Span di pochi polinomi. (a) ${p (x) \in R_{2} [x] ∣ p (1) = 0}$ (b) ${p (x) \in R_{2} [x] ∣ p (0) = 1}$ (c) ${a x^{2} + b x + c ∣ a = c, b = 0}$ (d) ${a x^{2} + b x + c ∣ b > 0}$ (e) ${(1 + t) x^{2} + t x ∣ t \in R}$ (f) ${(t + s) x^{2} - t x - s ∣ s, t \in R}$

Soluzione

(a) Sì. Il polinomio zero fa zero in 1. Se $p (1) = q (1) = 0$ , allora anche la somma e i multipli fanno zero in 1. Per scriverlo come Span:

un polinomio $a x^{2} + b x + c$ fa zero in 1 quando $a + b + c = 0$ , cioè $c = - a - b$ ;
allora $a x^{2} + b x - a - b = a (x^{2} - 1) + b (x - 1)$ .

L'insieme è $Span (x^{2} - 1, x - 1)$ .

(b) No: il polinomio zero vale 0 in 0, non 1.

(d) No: $x$ ha $b = 1$ , positivo, ma $(- 1) \cdot x = - x$ ha $b = - 1$ . (E manca anche il polinomio zero, che ha $b = 0$ .)

(e) No: per il polinomio zero servirebbero $1 + t = 0$ e $t = 0$ insieme, impossibile.

(f) Sì: raccogliendo $t$ e $s$ ,

(t + s) x^{2} - t x - s = t (x^{2} - x) + s (x^{2} - 1),

quindi l'insieme è $Span (x^{2} - x, x^{2} - 1)$ .

Nella lezione L07 calcolerai la dimensione di ciascuno: 2, 1 e 2.

15 · Come all'esame: un sottospazio di $R_{3} [x]$ tipo esame

Sia $U = {p (x) \in R_{3} [x] ∣ p (1) = p (- 1)}$ . (1) Dimostra che $U$ è un sottospazio di $R_{3} [x]$ . (2) Dimostra che $U = Span (1, x^{2}, x^{3} - x)$ . (3) Quali tra $x^{2} - 1$ , $x^{3} + x$ , $x^{3} - x + 5$ e $x$ stanno in $U$ ?

Soluzione

(1) Il polinomio zero vale 0 in 1 e in $- 1$ : sta in $U$ . Se $p (1) = p (- 1)$ e $q (1) = q (- 1)$ , allora $(p + q) (1) = p (1) + q (1) = p (- 1) + q (- 1) = (p + q) (- 1)$ , e $(λ p) (1) = λ p (1) = λ p (- 1) = (λ p) (- 1)$ . I tre controlli sono superati.

(2) Scrivo $p (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ .

$p (1) = a + b + c + d$ e $p (- 1) = - a + b - c + d$ .
La condizione $p (1) = p (- 1)$ diventa $a + c = - a - c$ , cioè $2 a + 2 c = 0$ , cioè $c = - a$ .
Quindi i polinomi di $U$ sono
$a x^{3} + b x^{2} - a x + d = a (x^{3} - x) + b x^{2} + d \cdot 1,$
con $a$ , $b$ , $d$ qualsiasi: esattamente le ricette con $x^{3} - x$ , $x^{2}$ e 1.

Quindi $U = Span (1, x^{2}, x^{3} - x)$ .

(3) Basta controllare la condizione $c = - a$ (il numero davanti a $x$ è l'opposto di quello davanti a $x^{3}$ ), oppure calcolare $p (1)$ e $p (- 1)$ .

$x^{2} - 1$ : $a = 0$ , $c = 0$ . Sta in $U$ ( $p (1) = p (- 1) = 0$ ).
$x^{3} + x$ : $a = 1$ , $c = 1$ , che non è $- 1$ . Non sta in $U$ ( $p (1) = 2$ , $p (- 1) = - 2$ ).
$x^{3} - x + 5$ : $a = 1$ , $c = - 1$ . Sta in $U$ ( $p (1) = p (- 1) = 5$ ).
$x$ : $a = 0$ , $c = 1$ , che non è 0. Non sta in $U$ ( $p (1) = 1$ , $p (- 1) = - 1$ ).

Il quiz dell'appello del 15/01/2026 (domanda 7) chiede proprio quale Span è uguale a questo $U$ . Tra le risposte c'è $Span (x^{3} - x, x^{2} - 1, x^{2} + 1)$ , che è lo stesso di $Span (1, x^{2}, x^{3} - x)$ , perché $1 = \frac{1}{2} ((x^{2} + 1) - (x^{2} - 1))$ e $x^{2} = \frac{1}{2} ((x^{2} + 1) + (x^{2} - 1))$ .

16 · Come all'esame: sottoinsiemi di $M (2, R)$ tipo esame

Per ciascun sottoinsieme di $M (2, R)$ stabilisci se è un sottospazio; se lo è, scrivilo come Span. (a) $W_{1} = {A ∣ a_{11} + a_{22} = 0}$ (b) $W_{2} = {A ∣ a_{11} a_{22} = 0}$ (c) $W_{3} = {A ∣ a_{12} = 2 a_{21}}$ (d) $W_{4} = {A ∣ A \overset{e}{ˋ} simmetrica e a_{11} = 1}$

Soluzione

(a) Sì. La condizione è un'equazione lineare senza termine noto. Da $a_{22} = - a_{11}$ :

(a c b - a) = a (10 0 - 1) + b (0010) + c (0100),

quindi $W_{1}$ è lo Span di queste tre matrici.

(b) No. $(1000)$ e $(0001)$ stanno in $W_{2}$ , perché il prodotto dei due numeri sulla diagonale fa 0. Ma la loro somma è la matrice con 1 e 1 sulla diagonale, e $1 \cdot 1 = 1$ .

(a t 2 t d) = a (1000) + t (0120) + d (0001) .

(d) No. La matrice nulla ha la prima casella uguale a 0, non a 1.

§10

Domande di ripasso

autoverifica

Che cos'è una matrice

m \times n

, e che cosa indicano

a_{ij}

A_{i}

A^{j}

È una tabella di $m \cdot n$ numeri con $m$ righe e $n$ colonne. $a_{ij}$ è il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$ ; $A_{i}$ è la riga $i$ ; $A^{j}$ è la colonna $j$ (il numerino in alto non è una potenza).

Perché le matrici

m \times n

formano uno spazio vettoriale, e chi è il suo vettore zero?

Perché somma e moltiplicazione per un numero si fanno casella per casella, e ogni regola di calcolo si riduce alla stessa regola per i numeri, una casella alla volta. Il vettore zero è la matrice nulla.

Quali sono i tre controlli di sottospazio?

Un insieme $W$ dentro $V$ è un sottospazio se: (1) contiene lo zero; (2) la somma di due suoi vettori sta ancora in $W$ ; (3) ogni multiplo di un suo vettore, con un numero qualsiasi, sta ancora in $W$ .

Perché un sottospazio è a sua volta uno spazio vettoriale?

Le operazioni non fanno uscire da $W$ (controlli 2 e 3); le regole di calcolo valgono in tutto $V$ , quindi anche in $W$ ; lo zero sta in $W$ (controllo 1); l'opposto di un vettore è il suo multiplo per $- 1$ , che sta in $W$ per il controllo 3.

Quali sottospazi ci sono sempre in uno spazio vettoriale

V

Il sottospazio fatto solo dallo zero, che le dispense chiamano «banale», e il sottospazio totale, cioè $V$ stesso. Ogni altro sottospazio sta in mezzo ai due.

Perché la retta

y = 2 x + 1

non è un sottospazio del piano, mentre

y = 2 x

sì?

$y = 2 x + 1$ non passa per l'origine, e la somma di due suoi punti esce dalla retta. $y = 2 x$ contiene l'origine ed è chiusa rispetto a somme e multipli: è lo Span di $(1, 2)$ .

Che cosa sono una matrice diagonale, triangolare superiore, simmetrica e antisimmetrica?

Diagonale: zeri fuori dalla diagonale principale. Triangolare superiore: zeri sotto la diagonale. Simmetrica: ogni casella è uguale alla sua immagine allo specchio sulla diagonale. Antisimmetrica: ogni casella è l'opposto della sua immagine allo specchio, e quindi la diagonale è fatta di zeri.

Perché sulla diagonale di una matrice antisimmetrica ci sono solo zeri?

Una casella della diagonale è l'immagine allo specchio di sé stessa, quindi deve essere uguale al suo opposto: $a_{ii} = - a_{ii}$ , cioè $2 a_{ii} = 0$ . Dividendo per 2, che con i numeri razionali, reali e complessi si può fare, viene $a_{ii} = 0$ .

Le matrici triangolari (superiori oppure inferiori) formano un sottospazio?

No: la somma di una triangolare superiore e di una inferiore può non essere triangolare, per esempio $(1010) + (0101)$ . Sono sottospazi le superiori e le inferiori, separatamente.

Che cos'è una combinazione lineare? Che cos'è lo Span di alcuni vettori?

Una combinazione lineare è una ricetta: ogni vettore moltiplicato per un numero, poi tutto sommato. Lo Span è l'insieme di tutte le ricette possibili con quei vettori, cambiando le dosi in tutti i modi.

Perché lo Span è un sottospazio?

Con tutte le dosi uguali a zero viene lo zero. La somma di due ricette è la ricetta con le dosi sommate. Il multiplo di una ricetta è la ricetta con tutte le dosi moltiplicate.

Come si decide se un vettore sta nello Span di altri vettori?

Si cercano le dosi: si scrive la ricetta con delle lettere, la si mette uguale al vettore coordinata per coordinata e si risolve il sistema. Se ha soluzione il vettore sta nello Span, altrimenti no.

Come si dimostra in fretta che un insieme è un sottospazio?

Riscrivendolo come Span di alcuni vettori: ogni Span è un sottospazio per la Proposizione 6.7. Per esempio i polinomi $(t + s) x^{2} - t x - s$ sono le ricette con $x^{2} - x$ e $x^{2} - 1$ .

§11

Glossario

termini

Matrice $m \times n$: Una tabella di numeri con $m$ righe e $n$ colonne. Il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$ si scrive $a_{ij}$ .
Righe e colonne $A_{i}$ , $A^{j}$: $A_{i}$ è la riga $i$ di $A$ , $A^{j}$ la colonna $j$ . Il numerino in alto non è una potenza.
$M (m, n, K)$: Lo spazio vettoriale delle matrici $m \times n$ . Le matrici con una sola colonna sono i vettori di $K^{m}$ .
Matrice quadrata, $M (n)$: Una matrice con tante righe quante colonne. $M (n)$ è lo spazio delle matrici $n \times n$ .
Diagonale principale: Le caselle con lo stesso numero di riga e di colonna: da in alto a sinistra a in basso a destra.
Matrice diagonale: Una matrice quadrata con zeri fuori dalla diagonale principale. Formano lo spazio $D (n)$ .
Triangolare superiore / inferiore: Una matrice quadrata con zeri sotto la diagonale (superiore, spazio $T^{s} (n)$ ) o sopra (inferiore, spazio $T^{i} (n)$ ).
Matrice simmetrica: Ogni casella è uguale alla sua immagine allo specchio sulla diagonale. Formano lo spazio $S (n)$ .
Matrice antisimmetrica: Ogni casella è l'opposto della sua immagine allo specchio, e la diagonale è fatta di zeri. Formano lo spazio $A (n)$ .
Sottospazio vettoriale: Una parte di uno spazio vettoriale che contiene lo zero ed è chiusa rispetto alla somma e alla moltiplicazione per un numero.
Chiuso rispetto a un'operazione: Facendo l'operazione con elementi dell'insieme si resta nell'insieme.
Sottospazio banale e totale: Quello fatto solo dallo zero, e lo spazio intero. Ogni sottospazio sta in mezzo.
Combinazione lineare: Una ricetta con dei vettori: ciascuno moltiplicato per un numero, poi tutto sommato. Per esempio $2 (1, 0) + 3 (0, 1)$ .
Coefficienti: Le dosi di una combinazione lineare: i numeri che moltiplicano i vettori.
Span, sottospazio generato: Tutte le combinazioni lineari di alcuni vettori: tutto quello che si può cucinare con quegli ingredienti. È sempre un sottospazio.
Generatori: Gli ingredienti di uno Span: i vettori con cui si ottiene tutto il sottospazio.
Trasposta $^{t} A$: La matrice con righe e colonne scambiate (lezione L08). $A$ è simmetrica quando è uguale alla sua trasposta.
Forma parametrica e cartesiana: Due modi di descrivere un sottospazio: come Span di alcuni vettori, oppure con equazioni lineari senza termine noto.

La lezione in 7 punti

Tabelle di numeri: le matrici

Come si legge una matrice

Somma e moltiplicazione per un numero

Le matrici formano uno spazio vettoriale

Stanze da cui non si esce: i sottospazi

Una retta che funziona

Una retta che non funziona

I tre controlli

La stanza vuota e la casa intera (p. 27)

Matrici con una forma speciale

La diagonale principale

Le cinque classi

Le cinque classi sono sottospazi (p. 28)

Ricette con i vettori: combinazioni lineari

Tutte le ricette di due vettori

Tutto quello che si può cucinare: lo Span

Lo Span di un solo vettore

Un vettore sta nello Span? (pp. 29–30)

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

I segnali da riconoscere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: leggere una matrice base

2 · Riscaldamento: somma e doppio base

3 · Riscaldamento: c'è lo zero? base

4 · Riscaldamento: una ricetta base

5 · Conti con le matrici base

6 · Riconoscere le classi di matrici base

7 · Span nel piano base

8 · Esercizio 6.9 delle dispense: le matrici del tipo (ab​ba​) medio

9 · Esercizio 6.10 delle dispense: uno Span in R3 medio

10 · Sottospazi di R3 medio

11 · Uno Span con un parametro medio

12 · Le matrici antisimmetriche 3×3 come Span medio

13 · Intersezione e unione di sottospazi difficile

14 · Come all'esame: sottospazi di R2​[x] tipo esame

15 · Come all'esame: un sottospazio di R3​[x] tipo esame

16 · Come all'esame: sottoinsiemi di M(2,R) tipo esame

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

8 · Esercizio 6.9 delle dispense: le matrici del tipo $(a b b a)$ medio

9 · Esercizio 6.10 delle dispense: uno Span in $R^{3}$ medio

10 · Sottospazi di $R^{3}$ medio

12 · Le matrici antisimmetriche $3 \times 3$ come Span medio

14 · Come all'esame: sottospazi di $R_{2} [x]$ tipo esame

15 · Come all'esame: un sottospazio di $R_{3} [x]$ tipo esame

16 · Come all'esame: sottoinsiemi di $M (2, R)$ tipo esame