Matrici I

Una matrice è una tabella con dei numeri dentro. Questa sezione ripassa come si legge e come si scrive: è quello che le dispense ricordano all'inizio della lezione, prima delle operazioni nuove.

Partiamo da un esempio. Anna e Bruno vanno in cartoleria. Anna compra 2 quaderni e 3 penne. Bruno compra 1 quaderno e 5 penne. Tutto questo sta in una tabella.

Ora togli le scritte e tieni solo i numeri, chiusi tra due parentesi tonde grandi:

Questa è una matrice: una tabella rettangolare di numeri. A una matrice si dà un nome con una lettera maiuscola, per esempio $A$.

Righe, colonne e taglia

Le righe sono le file orizzontali: si leggono da sinistra a destra. Le colonne sono le file verticali: si leggono dall'alto in basso.

Nella matrice di Anna e Bruno la prima riga contiene 2 e 3. La seconda riga contiene 1 e 5. La prima colonna contiene 2 e 1. La seconda colonna contiene 3 e 5.

La taglia di una matrice dice quante righe e quante colonne ha. Si scrive con il segno $\times$, che qui si legge «per». La matrice di Anna e Bruno ha 2 righe e 2 colonne: è una matrice $2\times 2$, «due per due».

Guarda quest'altra matrice:

Ha 2 righe e 3 colonne. Quindi è una matrice $2\times 3$, «due per tre».

Per parlare di una matrice qualsiasi le dispense scrivono «matrice $m\times n$». Le lettere $m$ e $n$ stanno al posto di due numeri: $m$ è il numero delle righe, $n$ è il numero delle colonne.

Una matrice con tante righe quante colonne si chiama quadrata: per esempio una $2\times 2$ oppure una $3\times 3$. Una matrice fatta di soli zeri si chiama matrice nulla e si indica con $0$, come il numero.

L'indirizzo di ogni numero

Ogni numero della tabella ha un indirizzo: la riga e la colonna in cui si trova. Funziona come al cinema: fila 2, posto 3.

Diamo un nome alla matrice di prima:

Il numero che sta nella riga 2 e nella colonna 3 è il 4. Si scrive così:

Si legge «a due tre», non «a ventitré». I due numerini in basso si chiamano indici. Sono l'indirizzo della casella: il primo indice è la riga, il secondo è la colonna. La lettera è minuscola perché indica un numero dentro la matrice che si chiama $A$.

Un altro esempio: $a_{12}$ è il numero nella riga 1 e nella colonna 2. Nella matrice qui sopra è lo 0.

Per una casella qualsiasi le dispense scrivono $a_{ij}$. Vuol dire: il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$. Le lettere $i$ e $j$ stanno al posto dei due numeri dell'indirizzo. A volte le dispense scrivono $A_{ij}$, con la lettera maiuscola: è la stessa cosa.

I nomi delle righe e delle colonne

Anche una riga intera e una colonna intera hanno un nome.

• La riga numero 2 si scrive $A_2$, con l'indice in basso.
• La colonna numero 3 si scrive $A^3$, con l'indice in alto.

Nella matrice $A$ di prima la riga $A_2$ contiene i numeri 2, 5 e 4. La colonna $A^3$ contiene $-1$ sopra e 4 sotto.

Una riga è una lista ordinata di numeri. Anche una colonna lo è. Le liste ordinate di numeri le conosci già: sono i vettori della lezione L05. Quindi ogni riga e ogni colonna di una matrice è un vettore.

Conta quanti numeri ci sono in ciascuna.

• Una colonna ha un numero per ogni riga della matrice. In una matrice con 2 righe, ogni colonna è un vettore con 2 numeri.
• Una riga ha un numero per ogni colonna della matrice. In una matrice con 3 colonne, ogni riga è un vettore con 3 numeri.

Una matrice qualsiasi, scritta con le lettere

Quando non si vuole parlare di una matrice precisa ma di una matrice qualsiasi, al posto dei numeri si mettono delle lettere con gli indici. Le dispense scrivono così una matrice con $m$ righe e $n$ colonne:

Come si legge. È una tabella di cui sono scritti solo i quattro angoli.

• In alto a sinistra c'è $a_{11}$: riga 1, colonna 1.
• In alto a destra c'è $a_{1n}$: riga 1, ultima colonna. L'ultima colonna è la numero $n$, perché le colonne sono $n$.
• In basso a sinistra c'è $a_{m1}$: ultima riga, colonna 1. L'ultima riga è la numero $m$.
• In basso a destra c'è $a_{mn}$: ultima riga, ultima colonna.
• I puntini vogliono dire «e avanti così»: in mezzo ci sono tutte le altre caselle, che non si scrivono per non riempire la pagina.

Tutte le matrici della stessa taglia si mettono in un insieme. Un insieme è un sacchetto di oggetti (lezione L01). Questo sacchetto ha un nome:

Come si legge. «Le matrici $m$ per $n$ a coefficienti in $\mathbb{K}$». Un pezzo alla volta:

• la $M$ sta per «matrici»;
• $m$ e $n$ sono la taglia: righe e colonne;
• i coefficienti sono i numeri scritti nella tabella;
• $\mathbb{K}$ dice che tipo di numeri sono. Le dispense scrivono $\mathbb{K}$ per dire «$\mathbb{R}$ oppure $\mathbb{C}$», cioè i numeri reali oppure i numeri complessi. In questa lezione puoi pensare sempre ai numeri reali.

Un esempio: $M(2,3,\mathbb{R})$ è l'insieme di tutte le matrici $2\times 3$ fatte di numeri reali. La matrice $A$ dell'esempio sta lì dentro. Con il simbolo $\in$, che si legge «appartiene a», si scrive $A\in M(2,3,\mathbb{R})$.

Per le matrici quadrate, che hanno $n$ righe e $n$ colonne, basta un numero solo: si scrive $M(n,\mathbb{K})$, o ancora più corto $M(n)$. Per esempio $M(2)$ sono le matrici $2\times 2$.

Una matrice con una sola colonna è un vettore colonna: un vettore scritto in verticale. Per questo le matrici con $m$ righe e 1 colonna sono la stessa cosa dei vettori con $m$ numeri, che si indicano con ${\mathbb{K}}^m$.

Le due operazioni che conosci già

Le dispense ricordano le due operazioni della lezione L06. Tutte e due si fanno casella per casella.

Sommare due matrici della stessa taglia. Sommi i numeri che stanno nello stesso posto.

Moltiplicare una matrice per un numero. Moltiplichi ogni casella per quel numero.

Il numero davanti alla matrice si chiama scalare, cioè un numero normale come 3 o $-2$. Le dispense lo indicano con la lettera greca $\lambda$, che si legge «lambda».

Con le lettere, le due regole si scrivono così:

Come si legge. La prima: nella casella di riga $i$ e colonna $j$ della somma c'è il numero di $A$ più il numero di $B$ che stanno in quella stessa casella. La seconda: nella casella di riga $i$ e colonna $j$ di $\lambda A$ c'è il numero di $A$ moltiplicato per $\lambda$.

Quanti numeri servono per fare una matrice

Con queste due operazioni le matrici si comportano come i vettori: si sommano e si moltiplicano per un numero, con le solite regole. Per questo le dispense ricordano che $M(m,n,\mathbb{K})$ è uno spazio vettoriale (lezione L05).

Ogni spazio vettoriale ha una dimensione: quanti numeri servono per dire quale dei suoi elementi hai in mano (lezione L07). Per scegliere una matrice $2\times 2$ servono 4 numeri, uno per casella. Infatti ogni matrice $2\times 2$ si costruisce con quattro mattoni, ognuno con un solo 1 e il resto zeri:

I mattoni sono 4, cioè 2 per 2. Quindi lo spazio delle matrici $2\times 2$ ha dimensione 4.

Per una taglia qualsiasi il conto è lo stesso: le caselle sono $m$ per $n$, quindi la dimensione di $M(m,n,\mathbb{K})$ è $mn$. È l'Esercizio 7.13 delle dispense. Il mattone con l'1 nella casella di riga $i$ e colonna $j$ si indica con $e_{ij}$.

Le quattro operazioni nuove

Ecco che cosa arriva in questa lezione. La tabella ti serve come mappa: a ogni riga corrisponde una delle prossime sezioni.

La stessa tabella si può scrivere in due versi.

Torna agli acquisti di Anna e Bruno. Avevamo messo le persone sulle righe e gli articoli sulle colonne.

Nessuno vieta di fare il contrario: gli articoli sulle righe e le persone sulle colonne.

Le informazioni sono le stesse: Anna ha sempre 2 quaderni e 3 penne. È cambiato solo il verso della tabella. Quello che prima era una riga, «Anna: 2 e 3», adesso è una colonna.

Con i soli numeri, la prima tabella e la seconda sono queste due matrici:

La seconda matrice si chiama trasposta della prima.

La trasposta di una matrice $A$ si scrive ${}^{t}A$, con una piccola $t$ in alto a sinistra. Si legge «$A$ trasposta». In altri libri trovi la lettera in alto a destra, maiuscola o minuscola: è la stessa cosa.

Un esempio passo per passo

Prendiamo una matrice che non è quadrata, così si vede meglio che cosa succede.

Ha 2 righe e 3 colonne. Costruiamo la trasposta una riga alla volta.

1. La prima riga di $A$ contiene 1, 2, 3. La scrivo in verticale: è la prima colonna della trasposta.
2. La seconda riga di $A$ contiene 4, 5, 6. La scrivo in verticale: è la seconda colonna della trasposta.
3. Le righe di $A$ sono finite, quindi la trasposta è completa.

Guarda che cosa è cambiato.

• La taglia si è scambiata. La matrice di partenza era $2\times 3$, la trasposta è $3\times 2$. Le 2 righe sono diventate 2 colonne, le 3 colonne sono diventate 3 righe.
• Gli indirizzi si sono scambiati. Nella matrice di partenza il 6 stava nella riga 2 e nella colonna 3. Nella trasposta sta nella riga 3 e nella colonna 2.

C'è un altro modo di vedere la stessa mossa: ribaltare la tabella attorno alla diagonale che scende dall'angolo in alto a sinistra. I numeri su quella diagonale, qui l'1 e il 5, restano dove sono. Tutti gli altri saltano dall'altra parte.

Come lo scrivono le dispense

Ecco la definizione con le parole e i simboli delle dispense.

Come si legge.

• $A\in M(m,n,\mathbb{K})$: la matrice $A$ ha $m$ righe e $n$ colonne.
• ${}^{t}A\in M(n,m,\mathbb{K})$: le due lettere si sono scambiate. La trasposta ha $n$ righe e $m$ colonne.
• L'ultima riga è la regola degli indirizzi. A sinistra c'è il numero che la trasposta ha nella riga $i$ e nella colonna $j$. A destra c'è il numero che $A$ ha nella riga $j$ e nella colonna $i$. I due indici sono scambiati.

Con i numeri dell'esempio di prima la regola degli indirizzi diventa:

A parole: il numero che la trasposta ha nella riga 3 e nella colonna 2 è quello che $A$ ha nella riga 2 e nella colonna 3, cioè 6.

Nel primo esempio abbiamo trasformato le righe in colonne, nel secondo le colonne in righe. È la stessa mossa vista da due lati, e il risultato non cambia.

Somme e multipli: prima o dopo è lo stesso

Se devi sommare due matrici e poi trasporre il risultato, puoi anche fare al contrario: prima trasporre e poi sommare. Vediamolo con i numeri. Prendiamo due matrici:

Prima strada: sommo, poi traspongo.

1. La somma, casella per casella:
   $$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 4\end{array}\right)$$
2. La trasposta della somma (le righe diventano colonne):
   $${}^t(A+B)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Seconda strada: traspongo, poi sommo.

1. Le due trasposte:
   $${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right){}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
2. La loro somma, casella per casella:
   $${}^{t}A+{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Le due strade portano alla stessa matrice. Il motivo: trasporre sposta le caselle, sommare lavora casella per casella. Spostare e poi sommare, oppure sommare e poi spostare, mette gli stessi numeri negli stessi posti.

Lo stesso succede con i multipli. Moltiplichiamo la matrice $A$ di prima per 3, in due modi.

• Prima moltiplico per 3 e poi traspongo:
  $$3A=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right)\text{trasposta:}\left(\begin{array}{cc}3& 9\\ 6& 12\end{array}\right)$$
• Prima traspongo e poi moltiplico per 3:
  $${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)\text{per 3:}\left(\begin{array}{cc}3& 9\\ 6& 12\end{array}\right)$$

Stesso risultato. In breve: la trasposta rispetta le somme e i multipli. Dalla lezione L14 una trasformazione con questa proprietà si chiamerà lineare.

Matrici che girate restano uguali

Alcune matrici quadrate, quando le giri, restano identiche. Guarda questa:

La prima riga contiene 1, 4, 5. Anche la prima colonna contiene 1, 4, 5. La seconda riga contiene 4, 2, 6, e la seconda colonna pure. La terza riga contiene 5, 6, 3, e la terza colonna pure. Ogni riga è uguale alla colonna con lo stesso numero. Quindi scambiare righe e colonne non cambia niente: la trasposta di $S$ è ancora $S$.

Una matrice quadrata fatta così si chiama simmetrica. La diagonale che scende da sinistra a destra fa da specchio: ogni numero sopra la diagonale ha un gemello sotto, nella casella ribaltata.

L'hai già incontrata nella lezione L06 (Definizione 6.3), scritta con gli indici: $a_{ij}=a_{ji}$ in ogni casella. A parole: il numero di riga $i$ e colonna $j$ è uguale al numero di riga $j$ e colonna $i$.

Esiste anche il caso «a specchio, ma con il segno cambiato»:

Qui ogni numero ha, dall'altra parte della diagonale, il suo opposto. Una matrice quadrata fatta così si chiama antisimmetrica. Con gli indici: $a_{ij}=-a_{ji}$ in ogni casella. Se la giri, ottieni la stessa matrice con tutti i segni cambiati.

Le proprietà, come le scrivono le dispense

Tutto quello che abbiamo visto sta in tre righe delle dispense.

Come si legge.

• Prima riga. La trasposta di una somma è la somma delle trasposte. La trasposta di un multiplo è il multiplo della trasposta. La lettera $\lambda$ («lambda») sta per un numero qualsiasi.
• Seconda riga. $A\in M(n)$ vuol dire che $A$ è quadrata, con $n$ righe e $n$ colonne. La riga dice che anche la sua trasposta è quadrata, della stessa taglia. In più i numeri sulla diagonale non si muovono: la loro casella, ribaltata, è la stessa casella.
• Terza riga. Il simbolo $⟺$ si legge «se e solo se», cioè «esattamente quando». Una matrice quadrata è simmetrica esattamente quando è uguale alla sua trasposta. È antisimmetrica esattamente quando la sua trasposta è la matrice con tutti i segni cambiati.

La terza riga è quella che serve di più. Per controllare se una matrice è simmetrica non devi ricordare formule: la giri e guardi se è rimasta uguale.

Vettori scritti in riga: la piccola t

Un vettore colonna occupa tanto spazio sulla pagina: tre numeri, tre righe di testo. Per risparmiare spazio lo si scrive in riga, con una piccola $t$ davanti:

La $t$ è quella della trasposta. Dice: «prendi questa riga e girala», cioè mettila in verticale.

Negli appelli questa scrittura è dappertutto. Trovi per esempio «$v_1={}^t(1,0,-1)$». Vuol dire sempre la stessa cosa: il vettore colonna con quei numeri, letti dall'alto in basso.

Una tabella può essere grande e dire poco.

Guarda il listino di una cartoleria che vende quaderni e penne in tre confezioni.

Le righe sono tre, ma la seconda e la terza non dicono niente di nuovo. La confezione media è fatta di due confezioni piccole. La confezione grande è fatta di tre confezioni piccole. Chi conosce la prima riga può ricostruire le altre due.

Adesso guarda le colonne. In ogni confezione le penne sono il doppio dei quaderni. Quindi la colonna delle penne è la colonna dei quaderni moltiplicata per 2. Anche qui: chi conosce la prima colonna può ricostruire la seconda.

In questa tabella c'è un solo pezzo di informazione, sia guardando le righe sia guardando le colonne. Il numero che conta i pezzi di informazione di una matrice si chiama rango. Il rango di questa tabella è 1.

Il rango serve in quasi tutto il resto del corso. Nelle lezioni L11 e L12 dice quante soluzioni ha un sistema di equazioni. Nella lezione L14 dice quanto «spazio» riesce a produrre una macchina che trasforma vettori. All'esame c'è quasi sempre una domanda che chiede il rango di una matrice.

Per dire in modo preciso che cosa vuol dire «mescolare» e «qualcosa di nuovo» servono quattro parole delle lezioni precedenti.

Un esempio da guardare in figura

Prendiamo questa matrice:

Le colonne sono tre. Ognuna ha 2 numeri, quindi è un vettore di ${\mathbb{R}}^2$: una freccia disegnata sul piano, che parte dall'origine.

Guarda la figura. Le tre frecce stanno tutte sulla stessa retta, quella tratteggiata. La seconda colonna è la prima allungata del doppio. La terza è la prima girata dalla parte opposta.

Che cosa si ottiene con le ricette fatte con queste tre colonne? Solo multipli della prima, cioè punti di quella retta. Lo Span delle tre colonne è la retta tratteggiata. Una retta ha dimensione 1. Quindi il rango di $A$ è 1: tre colonne, ma un solo pezzo di informazione.

Per confronto, guarda una matrice con due colonne che non stanno sulla stessa retta:

Qui nessuna delle due colonne è un multiplo dell'altra. Con le ricette fatte con queste due frecce si raggiunge ogni punto del piano. Lo Span delle colonne è tutto il piano, che ha dimensione 2. Quindi il rango di $B$ è 2.

Come lo scrivono le dispense

Le dispense dicono la stessa cosa con i simboli.

Come si legge.

• $A^1,\dots ,A^n$ è l'elenco delle colonne. La prima si chiama $A^1$, l'ultima $A^n$, e sono $n$ in tutto. I numeri in alto sono indici, non potenze.
• «Ciascun $A^i$ è un vettore in ${\mathbb{K}}^m$»: ogni colonna ha $m$ numeri, uno per ogni riga della matrice.
• $\mathrm{Span}(A^1,\dots ,A^n)$ è l'insieme di tutto quello che si ottiene mescolando le colonne con delle ricette.
• Il simbolo $\subset$ si legge «è contenuto in». Lo Span delle colonne è un pezzo di ${\mathbb{K}}^m$: può essere una retta, un piano, oppure tutto.
• $\mathrm{rk}(A)$ si legge «rango di $A$». Le due lettere vengono dall'inglese rank.

Tutta insieme: il rango è la dimensione dello spazio che le colonne riescono a riempire. Nel primo esempio le colonne riempiono solo una retta, e il rango è 1. Nel secondo riempiono tutto il piano, e il rango è 2.

Un altro modo di dirlo: contare le colonne indipendenti

Torna alla matrice $A$ con le tre colonne sulla stessa retta. Quante colonne indipendenti riesci a scegliere, al massimo? Una sola: appena ne prendi due, una è un multiplo dell'altra. E il rango era proprio 1.

Nella matrice $B$ le due colonne sono indipendenti, e il rango era 2. Non è un caso.

Come si legge. «Linearmente indipendenti» è il nome completo di «indipendenti»: nessuna colonna è un doppione delle altre. Guarda tutti i gruppi di colonne indipendenti che puoi scegliere, e prendi il gruppo più numeroso. Il numero delle sue colonne è il rango.

Il perché, a parole. Se tra le colonne c'è un doppione, puoi toglierlo senza perdere niente: tutto quello che si otteneva usandolo si ottiene anche con le altre colonne. Togli un doppione alla volta. Quando non ce ne sono più, le colonne rimaste sono indipendenti e riempiono ancora lo stesso spazio di prima. Il loro numero è la dimensione di quello spazio, cioè il rango.

Le righe al posto delle colonne

Tutto quello che abbiamo fatto con le colonne si può rifare con le righe. Torna alla matrice $A$ di prima:

Le righe sono due. La prima è il doppio della seconda: $2\cdot 1=2$, poi $2\cdot 2=4$, poi $2\cdot (-1)=-2$. Quindi anche tra le righe c'è un solo pezzo di informazione.

Come si legge.

• $A_1,\dots ,A_m$ è l'elenco delle righe. Sono $m$ e hanno l'indice in basso.
• Ogni riga ha $n$ numeri, uno per ogni colonna. Per questo lo Span delle righe è contenuto in ${\mathbb{K}}^n$.
• «In altre parole»: le righe di una matrice sono le colonne della sua trasposta. Quindi contare le righe indipendenti di $A$ è come contare le colonne indipendenti di ${}^{t}A$.

A prima vista le righe e le colonne non hanno motivo di dare lo stesso numero. In una matrice $2\times 5$ le colonne sono cinque vettori con 2 numeri. Le righe sono due vettori con 5 numeri. Sono oggetti diversi, che stanno in posti diversi. Eppure il conteggio viene sempre uguale.

Come si legge. Conta le righe indipendenti oppure le colonne indipendenti: viene lo stesso numero. La formula dice la stessa cosa usando la trasposta: una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso rango. In pratica, quando devi calcolare un rango puoi guardare le righe oppure le colonne, come ti è più comodo.

Un tetto per il rango

C'è una conseguenza che non ha bisogno di conti. Il rango conta colonne indipendenti: non possono essere più delle colonne che ci sono. Conta anche righe indipendenti: non possono essere più delle righe che ci sono. Quindi il rango non supera né il numero delle righe né quello delle colonne. Per una matrice con $m$ righe e $n$ colonne si scrive così:

Come si legge. Il simbolo $\le$ si legge «minore o uguale». La scrittura $\min (m,n)$ si legge «il minimo tra $m$ e $n$»: è il più piccolo dei due numeri. Tutta insieme: il rango è al massimo il più piccolo tra il numero delle righe e il numero delle colonne.

Due esempi. Una matrice $3\times 5$ ha rango al massimo 3. Una matrice $4\times 2$ ha rango al massimo 2.

Calcolare il rango a mano

Per le matrici piccole, come quelle del quiz, spesso basta guardare bene.

Nello strumento qui sotto trovi la quarta matrice. Premi «Calcola». Lo strumento la trasforma con le mosse di Gauss, che vedrai nelle lezioni L10 e L11, e conta le righe che alla fine non sono fatte di soli zeri. Poi prova a scrivere altre matrici. Con 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1 deve venire rango 3. Con 1 2; 2 4 deve venire rango 1.

Moltiplicare due matrici è come fare il conto della spesa.

È l'operazione più importante della lezione, e quella che all'esame compare più spesso. Non si fa casella per casella, come la somma. Si fa incrociando le righe della prima matrice con le colonne della seconda.

Un conto solo: una riga per una colonna

Anna compra 2 quaderni e 3 penne. Nel negozio X un quaderno costa 4 euro e una penna costa 1 euro. Quanto spende Anna?

1. Per i quaderni: 2 quaderni da 4 euro, cioè $2\cdot 4=8$ euro.
2. Per le penne: 3 penne da 1 euro, cioè $3\cdot 1=3$ euro.
3. In tutto: $8+3=11$ euro.

Ora scrivi le quantità in riga e i prezzi in colonna. Il conto di prima diventa:

Questa è la mossa di base: una riga per una colonna. Moltiplichi il primo numero della riga per il primo della colonna, il secondo per il secondo, e poi sommi tutto. Il risultato è un numero solo.

Perché il conto si possa fare, la riga e la colonna devono contenere lo stesso numero di numeri: a ogni quantità deve corrispondere il suo prezzo.

Tutti i conti insieme: una matrice per una matrice

Adesso le persone sono due e i negozi sono due.

La tabella degli acquisti: ogni riga è una persona, ogni colonna è un articolo.

La tabella dei prezzi: ogni riga è un articolo, ogni colonna è un negozio.

Quanto spende ciascuno in ciascun negozio? Sono quattro conti. Ogni conto è una riga degli acquisti (una persona) per una colonna dei prezzi (un negozio).

Con le matrici si scrive così:

La matrice a destra dell'uguale è il prodotto delle due matrici a sinistra. Le due matrici si scrivono una accanto all'altra, senza nessun segno in mezzo.

Guarda dove finisce ogni risultato. Il 12 sta nella riga 1 e nella colonna 2 del prodotto. Viene dalla riga 1 degli acquisti (Anna) e dalla colonna 2 dei prezzi (il negozio Y). Funziona così per ogni casella.

Quando si può fare, e di che taglia viene

Guarda le etichette delle tre tabelle.

Il prodotto si può fare perché le colonne della prima tabella e le righe della seconda parlano delle stesse cose: gli articoli. Se Anna e Bruno comprassero anche le gomme, la tabella degli acquisti avrebbe 3 colonne. Allora alla tabella dei prezzi servirebbero 3 righe, una per articolo. Altrimenti a qualche quantità mancherebbe il prezzo.

Il risultato prende le righe dalla prima tabella (le persone) e le colonne dalla seconda (i negozi). Gli articoli, che stavano in mezzo, non compaiono più.

Con le taglie la regola diventa questa. Scrivi le due taglie una accanto all'altra, per esempio:

• I due numeri interni, quelli vicini al puntino, devono essere uguali. Qui sono 3 e 3: il prodotto si può fare.
• I due numeri esterni danno la taglia del risultato. Qui sono 2 e 4: il prodotto è una matrice $2\times 4$.

Se i due numeri interni sono diversi, il prodotto non esiste.

Come lo scrivono le dispense

Le dispense mettono tutto questo in una definizione sola: quando il prodotto si può fare, che taglia ha e come si calcola ogni casella.

Come si legge.

• Le taglie. La prima matrice ha $m$ righe e $n$ colonne. La seconda ha $n$ righe e $p$ colonne. La lettera $n$ compare due volte: sono i due numeri interni, che devono essere uguali. Il prodotto ha $m$ righe e $p$ colonne, cioè i due numeri esterni.
• $AB$ si legge «$A$ per $B$».
• $(AB{)}_{ij}$ è il numero che il prodotto ha nella riga $i$ e nella colonna $j$. Le dispense lo chiamano elemento: è un altro nome per il numero che sta in una casella.
• Il simbolo $\sum$ è una sigma maiuscola, la S dell'alfabeto greco. Si legge «somma». Sotto c'è scritto da dove parte il contatore $k$, sopra dove arriva. Qui il contatore parte da 1 e arriva a $n$: scrivi il pezzo che segue con $k=1$, poi con $k=2$, e avanti fino a $n$. Poi sommi tutto.
• $A_{ik}{B}_{kj}$ è un prodotto di due numeri: il numero di posto $k$ nella riga $i$ di $A$, per il numero di posto $k$ nella colonna $j$ di $B$.
• Dopo il secondo uguale c'è la stessa somma scritta per esteso: il primo della riga per il primo della colonna, più il secondo per il secondo, e avanti fino all'ultimo.
• «Riga $i$-esima» vuol dire «la riga numero $i$». La scrittura «-esima» è quella di «terza», «quarta», «quinta», con una lettera al posto del numero.

Proviamo la formula sulla spesa. La casella di riga 1 e colonna 2 del prodotto è:

Il contatore $k$ fa solo due passi, perché la riga ha due numeri. È lo stesso conto di Anna nel negozio Y.

Lo schema qui sotto mostra dove va a finire un risultato. I puntini stanno al posto dei numeri che in quel momento non servono.

La riga 2 della prima matrice per la colonna 2 della seconda dà un numero. Quel numero va nella casella di riga 2 e colonna 2 del prodotto: stessa riga della riga usata, stessa colonna della colonna usata.

Nello strumento qui sotto ci sono le due matrici dell'Esempio 8.8. Premi «Calcola» e confronta i dodici conti con la tabella. Poi scambia le due matrici: scrivi la seconda nel primo riquadro e la prima nel secondo. Lo strumento ti avvisa che il prodotto non si può fare.

Una matrice per un vettore

C'è un caso speciale che userai moltissimo: la seconda matrice ha una sola colonna. Cioè è un vettore colonna.

Le taglie dicono subito che cosa viene fuori. Una matrice $3\times 2$ per un vettore con 2 numeri è $(3\times 2)\cdot (2\times 1)$. I numeri interni sono uguali, e il risultato è $3\times 1$: un vettore colonna con 3 numeri. In breve: matrice per vettore dà un vettore.

Con i numeri l'ordine di una moltiplicazione non conta: tre per cinque e cinque per tre fanno tutti e due quindici. Con le matrici non è più così.

La proprietà «l'ordine non conta» si chiama commutativa (lezione L01). Il prodotto di matrici non è commutativo. È il tranello più usato nei quiz d'esame, quindi vale la pena di guardarlo bene.

Prendi due matrici $A$ e $B$. Il prodotto con $A$ a sinistra si scrive $AB$. Quello con $B$ a sinistra si scrive $BA$. Quando scambi le due matrici possono succedere tre cose.

Primo caso: uno dei due prodotti non esiste. È quello che succede nell'Esempio 8.8. Lì $A$ è $3\times 2$ e $B$ è $2\times 4$, e $AB$ si può fare. Per $BA$ le taglie sono $(2\times 4)\cdot (3\times 2)$: i numeri interni sono 4 e 3, quindi il prodotto non esiste.

Secondo caso: esistono tutti e due, ma hanno taglie diverse. Se $A$ è $3\times 2$ e $B$ è $2\times 3$, allora $AB$ è una matrice $3\times 3$ e $BA$ è una matrice $2\times 2$. Due matrici di taglia diversa non possono essere uguali. È l'Esercizio 8.15 delle dispense, che qui trovi come esercizio 6.

Terzo caso: stessa taglia, numeri diversi. Se $A$ e $B$ sono quadrate della stessa taglia, i due prodotti esistono e hanno la stessa taglia. Ma di solito contengono numeri diversi.

Proviamo con le due tabelle della spesa. Con gli acquisti a sinistra e i prezzi a destra avevamo trovato:

Adesso mettiamo i prezzi a sinistra e gli acquisti a destra:

È un'altra matrice. Del resto questo secondo conto, per la spesa, non ha nemmeno un significato: incrocia i negozi con le persone al posto degli articoli.

Le dispense fanno un esempio ancora più piccolo, con matrici quasi vuote.

L'esempio mostra anche altre due cose che con i numeri non succedono mai.

Le regole che restano vere

Tre regole dei numeri valgono anche per le matrici. Prima le controlliamo su un esempio.

Le dispense raccolgono queste tre regole in una proposizione.

Come si legge.

• «Per cui i prodotti e le somme abbiano senso»: le taglie devono andare d'accordo. In ogni prodotto i numeri interni devono essere uguali, e si sommano solo matrici della stessa taglia.
• $\lambda \in \mathbb{K}$ vuol dire che $\lambda$ è un numero qualsiasi.
• Riga 1, associatività. In un prodotto di tre matrici puoi cominciare da dove vuoi: dal prodotto delle ultime due oppure dal prodotto delle prime due. Per questo si scrive $ABC$ senza parentesi. Attenzione: si spostano le parentesi, non le lettere. $ABC$ e $ACB$ sono due cose diverse.
• Riga 2, distributività. Moltiplicare per una somma è come moltiplicare per i due pezzi e poi sommare. Le versioni sono due perché l'ordine conta. Nella prima $A$ moltiplica da sinistra e resta a sinistra. Nella seconda $C$ moltiplica da destra e resta a destra.
• Riga 3. Un numero si può mettere dove si vuole: davanti a tutto, dentro la prima matrice o dentro la seconda. Solo le matrici devono restare in ordine.