Sistemi lineari I

Partiamo da un indovinello: penso a due numeri, la loro somma fa 5 e la loro differenza fa 1. Quali sono?

Ci sono due numeri da trovare e due indizi. La risposta deve rispettare tutti e due gli indizi insieme.

Dare un nome ai numeri da trovare

Un numero che non conosci ancora si chiama incognita. Per poterne parlare gli si dà un nome: una lettera. Qui i numeri da trovare sono due, quindi servono due lettere. Chiamiamo $x$ il primo numero e $y$ il secondo.

Adesso ogni indizio si scrive in breve.

Ognuna di queste due scritture è un'equazione.

Quando più equazioni devono valere insieme, si scrivono una sotto l'altra, con una graffa a sinistra:

La graffa si legge «tutte insieme». Un gruppo di equazioni da rispettare tutte insieme si chiama sistema.

Risolvere l'indovinello ragionando

Proviamo a trovare i due numeri senza andare a tentativi.

La prima equazione dice che $x+y$ e 5 sono lo stesso numero. La seconda dice che $x-y$ e 1 sono lo stesso numero. Se a due cose uguali sommi due cose uguali, ottieni ancora due cose uguali. Quindi possiamo sommare le due equazioni: i lati sinistri tra loro e i lati destri tra loro.

1. Lati sinistri. La somma è $(x+y)+(x-y)$. Ci sono due $x$, che insieme fanno $2x$. C'è un $+y$ e c'è un $-y$, che si cancellano. Resta $2x$.
2. Lati destri. La somma è $5+1=6$.
3. L'equazione nuova è $2x=6$. Dividi per 2 i due lati: $x=3$.
4. Il secondo numero. Torna alla prima equazione e metti 3 al posto di $x$. Diventa $3+y=5$. Togli 3 dai due lati: $y=2$.

I due numeri sono 3 e 2. Controlliamo con gli indizi di partenza.

• La somma: $3+2=5$. Giusto.
• La differenza: $3-2=1$. Giusto.

Che cos'è una soluzione

Una soluzione del sistema è una scelta dei numeri che rende vere tutte le equazioni. Qui la soluzione è «$x$ vale 3 e $y$ vale 2».

Per scriverla in breve si mettono i due numeri in una lista, tra parentesi tonde: $(3,2)$. Il primo posto è per $x$, il secondo per $y$. Una lista ordinata di numeri è un vettore (lezione L05). L'ordine conta: la lista $(2,3)$ vorrebbe dire che $x$ vale 2 e $y$ vale 3, ed è un'altra cosa.

Proviamo un'altra lista: $(4,1)$.

• Prima equazione: $4+1=5$. Vera.
• Seconda equazione: $4-1=3$, ma doveva fare 1. Falsa.

Quindi $(4,1)$ non è una soluzione. Basta un solo indizio non rispettato per scartare una lista.

Tutte le soluzioni di un sistema, messe insieme, formano un insieme. Le dispense lo chiamano $S$, come «soluzioni». L'indovinello ha una soluzione sola, quindi il suo insieme $S$ ha un solo elemento:

Le graffe sono quelle degli insiemi (lezione L01): in mezzo c'è l'elenco degli elementi. Risolvere un sistema vuol dire trovare tutto l'insieme $S$. Non basta una soluzione qualsiasi: servono tutte.

I nomi dei pezzi di un'equazione

Guarda questa equazione con tre incognite:

• I numeri che moltiplicano le incognite si chiamano coefficienti. Qui sono 2, $-3$ e 1.
• Il numero a destra dell'uguale si chiama termine noto. «Noto» vuol dire «conosciuto». Qui è 7.

Due avvisi sui coefficienti.

• Davanti a $z$ non c'è scritto niente. Allora il coefficiente è 1, perché $z$ è lo stesso di $1\cdot z$. Il puntino $\cdot$ è il segno «per».
• Il segno meno fa parte del coefficiente: quello di $y$ è $-3$, non 3. Se davanti a una lettera c'è solo il segno meno, come in $-y$, il coefficiente è $-1$.

Tante incognite: i numerini in basso

Con tre incognite bastano le lettere $x$, $y$ e $z$. Con sei incognite le lettere finiscono. Allora si usa una lettera sola, con un numerino scritto in basso:

Si legge «ics uno», «ics due», «ics tre». Il numerino si chiama indice. È solo un'etichetta: dice quale incognita è. Non è una potenza, e con lui non si fanno conti. Le incognite $x_1$ e $x_2$ sono due numeri diversi, come $x$ e $y$.

Che cosa vuol dire «lineare»

Gli indizi di questa lezione sono tutti dello stesso tipo. Ogni incognita può essere solo moltiplicata per un numero. Poi i pezzi si sommano. Nient'altro. Un'equazione fatta così si chiama lineare.

Non sono permesse tre cose: un'incognita moltiplicata per sé stessa, due incognite moltiplicate tra loro, un'incognita chiusa dentro un'altra operazione.

Un sistema lineare è un sistema in cui tutte le equazioni sono lineari. Il metodo di questa lezione funziona solo per questi sistemi.

Un indovinello può finire in tre modi: con una risposta sola, con nessuna risposta, con infinite risposte. Quando le incognite sono due, i tre finali si vedono in un disegno.

Un sistema di due equazioni è fatto di due rette. Una soluzione deve rispettare tutte e due le equazioni. Quindi è un punto che sta su tutte e due le rette.

Due rette sullo stesso foglio possono stare in tre modi.

Primo finale: le rette si incrociano. È il caso dell'indovinello. Guarda la figura: le due rette hanno un solo punto in comune, quello della soluzione $(3,2)$. Il sistema ha una sola soluzione.

Secondo finale: le rette sono parallele. Prendi questi due indizi: «la somma fa 2» e «la somma fa 4». La somma di due numeri non può fare 2 e 4 nello stesso momento. I due indizi si contraddicono. Guarda la figura: le due rette non si toccano mai. Il sistema non ha nessuna soluzione.

Terzo finale: le rette coincidono. Prendi «la somma fa 2» e «il doppio della somma fa 4». Il secondo indizio ripete il primo con altre parole: non aggiunge niente. Guarda la figura: le due rette stanno una sopra l'altra. Ogni punto della retta è una soluzione: $(2,0)$, poi $(1,1)$, poi $(0,2)$ e tutti gli altri. Il sistema ha infinite soluzioni.

Con due rette non esistono altri casi. Per esempio le soluzioni non sono mai esattamente due. Due rette con due punti in comune sono per forza la stessa retta, e allora i punti in comune sono infiniti.

Con tre o più incognite il disegno non si riesce più a fare. Ma i finali restano questi tre: nessuna soluzione, una sola, infinite. Lo dimostra il teorema di Rouché–Capelli, nella lezione L12. Il metodo di questa lezione dice ogni volta in quale dei tre finali sei.

Rileggi come abbiamo risolto l'indovinello: le lettere non hanno fatto nessun lavoro. I conti li hanno fatti i numeri: quelli davanti alle incognite e quelli a destra dell'uguale. Le lettere servivano solo a tenere ogni numero al suo posto.

Allora conviene scrivere solo i numeri, in una tabella. Sarà il posto nella tabella a dire a quale incognita appartiene ogni numero.

Dall'indovinello alla tabella

Il sistema dell'indovinello è questo:

Per ogni equazione leggi tre numeri: quello davanti a $x$, quello davanti a $y$ e quello a destra dell'uguale.

Nella seconda equazione davanti a $y$ c'è solo il segno meno: il coefficiente è $-1$.

Ora togli le intestazioni e metti le parentesi. Ottieni una matrice:

La barra verticale sta al posto dell'uguale. Separa i coefficienti, a sinistra, dai termini noti, a destra. Non è un'operazione: è solo un promemoria.

Questa tabella si chiama matrice completa del sistema. Si legge così:

• ogni riga è un'equazione;
• ogni colonna prima della barra è un'incognita: la prima colonna è quella di $x$, la seconda è quella di $y$;
• l'ultima colonna, dopo la barra, contiene i termini noti.

I tre nomi

Le dispense danno un nome a ogni pezzo della tabella.

• La parte a sinistra della barra è la matrice dei coefficienti. Si indica con la lettera $A$.
• La colonna a destra della barra è il vettore dei termini noti. Si indica con la lettera $b$. È un vettore scritto in verticale: un vettore colonna.
• La tabella intera è la matrice completa. Si indica con la lettera $C$.

Per l'indovinello:

Per dire che la matrice completa è fatta dei coefficienti con accanto i termini noti, le dispense scrivono $C=(A\mid b)$. Si legge «ci uguale a barra bi».

Quando equazioni e incognite sono tante

Un sistema può avere un numero qualsiasi di equazioni e di incognite. I due numeri possono anche essere diversi: 2 equazioni con 4 incognite, oppure 3 equazioni con 2 incognite. Le dispense usano due lettere per dirlo.

• La lettera $k$ è il numero di equazioni.
• La lettera $n$ è il numero di incognite.

Nell'indovinello le equazioni sono 2 e le incognite sono 2. Nell'esempio qui sopra sono 3 e 3.

Anche i coefficienti sono tanti, e serve un modo per indicarli tutti. Le dispense li chiamano tutti $a$, con due numerini in basso. Il primo dice la riga, cioè l'equazione. Il secondo dice la colonna, cioè l'incognita.

Proviamo sulla matrice dell'esempio con tre equazioni.

• $a_{23}$ si legge «a due tre», non «a ventitré». È il numero nella riga 2 e nella colonna 3: vale $-3$.
• $a_{31}$ è il numero nella riga 3 e nella colonna 1: vale 3.

I termini noti si chiamano $b$, con un numerino solo: quello della riga. Nell'esempio $b_2$ è il termine noto della seconda equazione: vale 1.

Le dispense lo scrivono così.

Come si legge. Un pezzo alla volta.

• «Variabili» è un altro nome per le incognite.
• La prima riga dentro la graffa è la prima equazione. Comincia con il primo coefficiente per la prima incognita. I tre puntini $\cdots$ vogliono dire «e avanti così, con le incognite che stanno in mezzo». Finisce con l'ultimo coefficiente della riga per l'ultima incognita, che è $x_n$. A destra dell'uguale c'è $b_1$, il primo termine noto.
• I puntini verticali $⋮$ vogliono dire «e avanti così, con le equazioni che stanno in mezzo». L'ultima riga è l'equazione numero $k$.
• $a_{ij}$ sta per un coefficiente qualsiasi: quello nella riga $i$ e nella colonna $j$. Le lettere $i$ e $j$ stanno al posto di due numeri.
• $\mathbb{K}$ è il campo, cioè l'insieme dei numeri che si usano. Le dispense scrivono $\mathbb{K}$ per dire «$\mathbb{R}$ oppure $\mathbb{C}$»: i numeri reali oppure i numeri complessi (lezioni L01 e L02). In questi appunti i numeri sono quasi sempre reali.
• «Matrice $k\times n$» vuol dire: una matrice con $k$ righe e $n$ colonne. È la matrice dei coefficienti: una riga per ogni equazione, una colonna per ogni incognita. I puntini in diagonale $\ddots$ riempiono il centro della tabella.
• La matrice completa ha una colonna in più, quella dei termini noti. Per questo le sue colonne sono $n+1$.

Subito dopo la definizione le dispense dichiarano lo scopo della lezione: trovare l'insieme $S\subset {\mathbb{K}}^n$ delle soluzioni. Anche questa scrittura si legge a pezzi.

• ${\mathbb{K}}^n$ è l'insieme di tutte le liste di $n$ numeri. Con 2 incognite e i numeri reali è ${\mathbb{R}}^2$: tutte le coppie, come $(3,2)$.
• Il simbolo $\subset$ si legge «è contenuto in» (lezione L01).
• Tutta insieme: le soluzioni sono liste di $n$ numeri, un numero per ogni incognita.

Per risolvere l'indovinello hai sommato le due equazioni. In pratica hai riscritto gli indizi in un'altra forma, più comoda, e la risposta è rimasta la stessa.

Questa è l'idea di tutta la lezione. La soluzione non si cerca a tentativi. Si riscrivono gli indizi, un passo alla volta, finché la soluzione si legge. L'importante è usare solo riscritture che non cambiano le soluzioni.

Le riscritture sicure sono tre. Si chiamano mosse di Gauss, dal nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. Le hai già incontrate nella lezione L10, dove servivano per calcolare i determinanti. Qui servono per risolvere i sistemi.

Ogni mossa lavora sulle righe della matrice completa, cioè sulle equazioni. Per parlare delle righe si usa la lettera $R$, che sta per «riga»: $R_1$ è la riga 1, $R_2$ è la riga 2, e così via.

Prima mossa: scambiare due righe

Dire gli indizi in un altro ordine non cambia l'indovinello. «La somma fa 5 e la differenza fa 1» è lo stesso di «la differenza fa 1 e la somma fa 5».

Sulla matrice completa vuol dire scambiare di posto due righe intere:

La mossa si scrive $R_1\leftrightarrow R_2$. La freccia a due punte si legge «si scambia con».

Seconda mossa: moltiplicare una riga per un numero

«La somma fa 5» e «il doppio della somma fa 10» dicono la stessa cosa. Chi conosce una delle due frasi conosce anche l'altra.

Sulla matrice vuol dire moltiplicare per lo stesso numero tutti i numeri di una riga, compreso quello dopo la barra. Moltiplichiamo per 2 la prima riga dell'indovinello.

La nuova riga 1 è $(2,2\mid 10)$: i due coefficienti, la barra e il termine noto. È l'equazione $2x+2y=10$. La soluzione dell'indovinello la rispetta ancora:

La mossa si scrive $R_1\to 2R_1$. La freccia si legge «diventa»: «la riga 1 diventa 2 volte la riga 1».

C'è un solo divieto: il numero non può essere zero. Prova a moltiplicare per 0 la riga dell'indizio «la somma fa 5». Tutti i suoi numeri diventano 0, e la riga diventa l'equazione $0=0$. È vera, ma non dice più niente. L'indizio è andato perso, e non c'è modo di recuperarlo.

Si può invece moltiplicare per una frazione. Moltiplicare per $\frac{1}{2}$ vuol dire dividere per 2: serve a rimpicciolire i numeri di una riga.

Terza mossa: sommare a una riga un multiplo di un'altra

È la mossa dell'indovinello, ed è quella che fa quasi tutto il lavoro. Hai due indizi veri. Ne sommi uno all'altro, e ottieni un indizio nuovo, vero anche lui.

Prima di usarla conviene ricordare come si fanno i conti con il segno meno, perché qui compaiono di continuo.

Sulla matrice dell'indovinello facciamo questa mossa: alla riga 2 togliamo la riga 1. Togliere è un caso della terza mossa: è come sommare la riga 1 moltiplicata per $-1$.

Perché proprio questa mossa? Perché in tutte e due le righe il primo numero è 1. Se li sottrai viene $1-1=0$. Uno zero nella colonna di $x$ vuol dire che l'incognita $x$ sparisce dalla riga 2.

Il conto si fa un numero alla volta. Ogni numero si combina con quello che sta nella sua stessa colonna.

La nuova riga 2 è $(0,-2\mid -4)$. La riga 1 non cambia: è servita per il conto, ma resta com'era.

La nuova riga 2 è l'equazione $-2y=-4$. Dentro c'è una sola incognita. Dividi i due lati per $-2$ e ottieni $y=2$: è il secondo numero dell'indovinello.

La mossa si scrive $R_2\to R_2-R_1$. Si legge: «la riga 2 diventa la riga 2 meno la riga 1».

Spesso la riga da togliere va prima moltiplicata per un numero. Il numero si sceglie in modo che compaia uno zero dove serve.

Le tre mosse, come le scrivono le dispense

Ora che le tre mosse sono chiare, ecco la definizione con le parole delle dispense.

Come si legge.

• $\lambda$ è la lettera greca lambda. Sta al posto di un numero qualsiasi, come 2 oppure $-3$.
• $\lambda \ne 0$ si legge «lambda diverso da zero». È il divieto della seconda mossa.
• $R_i$ e $R_j$ sono due righe qualsiasi. Le lettere $i$ e $j$ stanno al posto dei numeri delle due righe. «La $i$-esima riga» vuol dire «la riga numero $i$».
• Le frecce sono quelle di prima, disegnate più lunghe: «si scambia con» e «diventa».
• La scrittura della mossa (I) dice: la riga $i$ e la riga $j$ si scambiano.
• La scrittura della mossa (II) dice: la riga $i$ diventa $\lambda$ volte sé stessa.
• La scrittura della mossa (III) dice: alla riga $i$ sommi $\lambda$ volte la riga $j$. Se $\lambda$ è negativo stai togliendo. Per esempio con $\lambda =-4$ la riga $i$ diventa «la riga $i$ meno 4 volte la riga $j$».

Nella terza mossa le due righe devono essere diverse. Cambia solo la riga scritta a sinistra della freccia. L'altra resta ferma.

Perché le mosse non cambiano le soluzioni

Tutto il metodo si regge su una promessa: dopo una mossa le soluzioni sono le stesse di prima. Nessuna in più, nessuna in meno. Nell'indovinello l'hai visto con la riga moltiplicata per 2: la soluzione la rispettava ancora. Il motivo per cui succede sempre è questo.

Le dispense lo scrivono così.

Come si legge. $C=(A\mid b)$ è la matrice completa. $S$ è l'insieme delle soluzioni, che sono liste di $n$ numeri. La frase dice: fai una mossa di Gauss sulla matrice completa, e le liste che risolvono il sistema restano le stesse di prima.

L'indovinello risolto solo con le mosse

Adesso rifacciamo l'indovinello dall'inizio alla fine, senza scrivere nessuna lettera: solo mosse sulla matrice completa.

Adesso sai riscrivere gli indizi. Resta da decidere verso quale forma riscriverli. La risposta: verso una forma a scala, perché un sistema fatto a scala si risolve quasi da solo.

Un sistema già pronto

Guarda questo sistema con tre incognite.

Ogni equazione ha un'incognita in meno di quella sopra. L'ultima ne ha una sola. Allora conviene partire dal basso.

1. Terza equazione. È $2z=4$. Dividi per 2 i due lati: $z=2$.
2. Seconda equazione. È $y+3z=5$. Sostituisci 2 al posto di $z$: viene $y+6=5$. Togli 6 dai due lati: $y=5-6=-1$.
3. Prima equazione. È $x+2y-z=2$. Sostituisci $-1$ al posto di $y$ e 2 al posto di $z$. Il pezzo $2y$ diventa $2\cdot (-1)=-2$. Quindi viene $x-2-2=2$, cioè $x-4=2$. Somma 4 ai due lati: $x=6$.

La soluzione è $(6,-1,2)$. Controllo nelle tre equazioni:

Tutte e tre vere. Questo modo di risolvere, dal basso verso l'alto, si chiama sostituzione all'indietro.

La scala nella matrice

Ecco la matrice completa dello stesso sistema. I tre numeri nei riquadri sono il primo numero diverso da zero di ogni riga.

I riquadri scendono verso destra, come i gradini di una scala. Sotto la scala ci sono solo zeri. Gli zeri sono le incognite che mancano: per questo ogni riga ha un'incognita in meno di quella sopra.

Servono due parole nuove.

La prima è pivot. Il pivot di una riga è il suo primo numero diverso da zero, leggendo da sinistra. È una parola francese che vuol dire «perno».

Una riga fatta solo di zeri si chiama riga nulla. «Nullo» vuol dire «uguale a zero».

La seconda parola è matrice a scalini. Una matrice è a scalini quando rispetta due regole.

1. Le righe nulle, se ci sono, stanno tutte in fondo.
2. Scendendo di una riga, il pivot si sposta a destra di almeno una colonna.

Le dispense lo scrivono così.

Come si legge.

• $C$ è una matrice qualsiasi, e $R_i$ è la sua riga numero $i$.
• «Elemento non nullo» vuol dire «numero diverso da zero». «Riga non nulla» vuol dire «riga con almeno un numero diverso da zero».
• «Strettamente più a destra» vuol dire: almeno una colonna più a destra. La stessa colonna non basta.
• «Della riga non nulla precedente» vuol dire: della riga subito sopra.

Dalle due regole viene una conseguenza: sotto ogni pivot ci sono solo zeri. Se sotto un pivot ci fosse un numero diverso da zero, il pivot di quella riga starebbe nella stessa colonna, oppure più a sinistra.

Il pivot può anche spostarsi di più colonne in un colpo solo. Gli scalini possono essere larghi.

Altre quattro matrici, per fissare le due regole.

Hai le mosse, e hai la forma a cui arrivare. Manca la strada: quali mosse fare, e in quale ordine.

Un algoritmo è una ricetta: un elenco di passi precisi che, eseguiti in ordine, portano sempre al risultato. L'algoritmo di Gauss è la ricetta che porta a scalini una matrice qualsiasi, usando solo le tre mosse.

L'idea: una colonna alla volta

Si lavora da sinistra verso destra.

1. Guardi la prima colonna. In alto vuoi un numero diverso da zero: sarà il primo pivot.
2. Sotto il pivot vuoi solo zeri. Li ottieni con la terza mossa, una riga alla volta.
3. Ora la prima riga e la prima colonna sono a posto. Le copri con un dito e ricominci sul pezzo di matrice che resta.

Vediamo il passo 2 su una matrice piccola.

Il numero di volte si trova sempre nello stesso modo:

Se il risultato è negativo, togliere un numero negativo di volte vuol dire sommare. Lo vedrai tra poco nell'Esempio 11.7.

Due imprevisti

Nel passo 1 possono capitare due imprevisti.

In alto c'è uno zero. Uno zero non può fare da pivot: con lui non si elimina niente. Guarda più in basso nella stessa colonna. Se trovi un numero diverso da zero, scambia le due righe: è la prima mossa.

Tutta la colonna è fatta di zeri. Allora in quella colonna non c'è niente da fare: resta senza pivot. Passi alla colonna dopo, restando sulla stessa riga.

La ricetta completa

Adesso l'esempio delle dispense, con tutti e due gli imprevisti.

Nello strumento qui sotto c'è la matrice dell'Esempio 11.7. Premi «Calcola»: vedi le stesse mosse delle dispense, una per riga, con le righe cambiate in evidenza. Lo strumento scrive anche «rk»: è il numero dei pivot, che nella lezione L12 si chiamerà rango. Poi cambia i numeri e riprova con una matrice tua.

Una colonna può restare senza pivot anche a metà del lavoro. Prova a scrivere nello strumento la matrice 1 1 2; 2 2 5; 3 3 1. Dopo le prime due mosse la seconda colonna, sotto la prima riga, è tutta di zeri. L'algoritmo la salta e cerca il pivot nella terza colonna: è il secondo imprevisto. Alla fine i pivot sono due, nelle colonne 1 e 3, e in fondo c'è una riga nulla.

Una matrice a scalini si risolve già, dal basso. Ma resta ancora un po' di lavoro: le sostituzioni. Con qualche mossa in più si arriva a una forma in cui non resta nessun conto, e la soluzione si legge.

L'hai già visto con l'indovinello. La matrice finale era questa:

La riga 1 dice che $x$ vale 3. La riga 2 dice che $y$ vale 2. Si legge così bene per due motivi.

• Ogni pivot vale 1. Così l'incognita compare da sola, senza un numero davanti.
• Sopra e sotto ogni pivot ci sono solo zeri. Così ogni incognita con il pivot compare in una riga sola.

Per arrivare a questa forma da una matrice a scalini servono due lavori.

• Zeri sopra i pivot. Si ottengono con la terza mossa, come gli zeri sotto. Stavolta la riga del pivot si toglie dalle righe che stanno sopra.
• Pivot uguali a 1. Si ottengono con la seconda mossa: dividi ogni riga per il suo pivot.

Le dispense lo mostrano continuando l'Esempio 11.7. Nei conti compare una frazione.

Le dispense danno un nome a tutto il procedimento.

La matrice che esce da Gauss–Jordan si chiama forma a scalini ridotta. Si riconosce dalle colonne dei pivot: contengono un 1, al posto del pivot, e zeri in tutte le altre caselle.

Ecco un secondo esempio delle dispense, dall'inizio alla fine.

Adesso hai tutti i pezzi. Scrivi la matrice completa, la porti nella forma ridotta con Gauss–Jordan, e poi guardi dove sono i pivot. La posizione dei pivot dice in quale dei tre finali sei.

Vediamo i tre finali uno alla volta, ognuno su una matrice che hai già visto ridurre.

Primo finale: un pivot dopo la barra

Il segnale è questo: un pivot nell'ultima colonna, quella dopo la barra. Vuol dire che una riga ha tutti zeri prima della barra e un numero diverso da zero dopo.

Per accorgersene non serve arrivare alla forma ridotta. Già la forma a scalini dell'Esempio 11.7 aveva la riga $(0,0,0\mid -2)$, cioè l'equazione $0=-2$. Appena compare una riga così ci si può fermare.

Quando non ci sono soluzioni l'insieme $S$ è vuoto. Si scrive $S=\varnothing$. Il simbolo $\varnothing$ è l'insieme vuoto, cioè l'insieme senza elementi (lezione L01).

Attenzione a due righe che si assomigliano e dicono cose opposte.

Secondo finale: un pivot per ogni incognita

Il segnale è questo: nessun pivot dopo la barra, e ogni colonna prima della barra ha il suo pivot. Ogni incognita è fissata da una riga, e la soluzione si legge nell'ultima colonna.

Terzo finale: un'incognita resta senza pivot

Tre parole nuove.

• La lettera $t$ si chiama parametro: è un numero che scegli tu. Le dispense scrivono $t\in \mathbb{R}$. Si legge «$t$ appartiene a $\mathbb{R}$» e vuol dire: $t$ può essere qualsiasi numero reale.
• Un'incognita senza pivot, che riceve un parametro, si chiama variabile libera.
• Un'incognita con il pivot si chiama variabile dipendente: il suo valore dipende dai parametri.

Il segnale del terzo finale è questo: nessun pivot dopo la barra, e almeno una colonna prima della barra senza pivot.

Quando le incognite libere sono più di una

Le incognite libere possono essere più di una. Allora ognuna riceve il suo parametro: $t_1$, $t_2$, $t_3$. Il numerino in basso serve solo a distinguerli.