Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L12

Sistemi lineari II

Perché un sistema lineare ha sempre zero, una o infinite soluzioni, e mai due? Tutte le soluzioni sono una soluzione di partenza più gli spostamenti permessi, e contando i pivot si sa in anticipo quante sono. In fondo, il metodo per i sistemi con un parametro, uno dei due problemi da 11 punti in molti appelli.

Dispense: lezione 12 · pp. 56–61
Libro: Martelli, §3.2
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 8 punti

Un sistema è un indovinello con più indizi. Il sistema omogeneo associato ha gli stessi indizi, ma tutti finiscono con «= 0». La soluzione zero c'è sempre, e le sue soluzioni formano un sottospazio.
Tutte le soluzioni di un sistema sono: una soluzione di partenza, la soluzione particolare, più tutte le soluzioni del sistema omogeneo, cioè gli spostamenti permessi.
Un insieme così, un sottospazio spostato, si chiama sottospazio affine: un punto, una retta o un piano che non passa per forza per l'origine.
Il rango di una matrice si conta con i pivot di una forma a scalini.
Teorema di Rouché–Capelli: confrontando il rango della matrice dei coefficienti con quello della matrice completa si sa se ci sono soluzioni, e quante incognite restano libere.
Le soluzioni sono zero, una o infinite: mai due, mai «un numero finito maggiore di 1».
Con una matrice quadrata: una sola soluzione esattamente quando il determinante non è zero. Se è zero, le soluzioni sono zero oppure infinite.
Nei sistemi con un parametro si cercano i valori speciali della lettera e si studiano a parte.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Gli indizi che finiscono con zero

p. 56

Nella lezione L11 hai imparato a risolvere un sistema con le mosse di Gauss. Questa lezione guarda il problema dall'alto: che forma ha l'insieme delle soluzioni, e come si capisce in anticipo se ci sono e quante.

Parti da un indizio solo: «due numeri la cui somma fa 2», cioè $x + y = 2$ . Le soluzioni sono tante:

(2, 0), (1, 1), (0, 2), (3, - 1), \dots

In generale, se il secondo numero è $t$ , il primo è $2 - t$ . Nel disegno sono i punti di una retta.

Ora cambia l'indizio mettendo zero al posto del 2: $x + y = 0$ . Le soluzioni sono $(0, 0)$ , $(- 1, 1)$ , $(1, - 1)$ , …: se il secondo è $t$ , il primo è $- t$ . Un'altra retta, parallela alla prima, che passa per l'origine.

−2−1123−2−1123xy

S

S_{0}

(2, 0)

(- 1, 1)

Le soluzioni di

x + y = 2

(retta

S

) sono quelle di

x + y = 0

(retta

S_{0}

) spostate del vettore

(2, 0)

Guarda il disegno. Ogni soluzione della prima retta si ottiene da una della seconda aggiungendo $(2, 0)$ , che è a sua volta una soluzione della prima, perché $2 + 0 = 2$ . Con i numeri:

(2 - t, t) = (2, 0) + (- t, t) .

Tutta la lezione è in questa riga.

Il nome

Il sistema generale, come nella lezione L11, ha $k$ equazioni e $n$ incognite:

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}, ⋮ a_{k 1} x_{1} + \dots + a_{k n} x_{n} = b_{k} . (12.1)

I numeri $b_{1}, \dots, b_{k}$ a destra sono i termini noti. Mettendoli tutti a zero si ottiene un nuovo sistema. Le dispense lo chiamano così.

Definizione 12.1 · Sistema omogeneo associato

Il sistema omogeneo associato è quello ottenuto semplicemente mettendo a zero tutti i termini noti $b_{i}$ , cioè:

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0, ⋮ a_{k 1} x_{1} + \dots + a_{k n} x_{n} = 0. (12.2)

Come si legge.

Omogeneo vuol dire «con tutti i termini noti uguali a zero». I numeri a sinistra restano gli stessi del sistema di partenza: cambia solo la colonna di destra.
Se $A$ è la matrice dei coefficienti e $b$ la colonna dei termini noti, il sistema di partenza ha matrice completa $(A ∣ b)$ . Il sistema omogeneo ha matrice completa $(A ∣ 0)$ , o più in breve solo $A$ : la colonna di zeri non cambia con le mosse di Gauss, quindi non serve scriverla.
Le dispense chiamano $S$ l'insieme delle soluzioni del sistema di partenza e $S_{0}$ quello delle soluzioni del sistema omogeneo.

Esempio · Un sistema e il suo omogeneo

{x + 2 y - z = 3 2 x + 4 y + z = 3 ⟶ {x + 2 y - z = 0 2 x + 4 y + z = 0

Le matrici sono $(A ∣ b) = (1224 - 1 1 33)$ e $(A ∣ 0) = (1224 - 1 1 00)$ : la stessa $A$ , un'altra colonna a destra.

Le soluzioni dell'omogeneo formano un sottospazio

Per l'omogeneo, la soluzione con tutti zeri c'è sempre. E le soluzioni si possono sommare e moltiplicare senza perdere niente. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 12.2

Le soluzioni $S_{0} \subset K^{n}$ formano un sottospazio vettoriale di $K^{n}$ .

Come si legge. $S_{0}$ è una «stanza» nel senso della lezione L06: contiene lo zero, e sommando o moltiplicando per un numero delle soluzioni dell'omogeneo si resta tra le soluzioni.

Bisogna controllare le tre condizioni di sottospazio (Definizione 6.2, lezione L06). Prendo una delle equazioni, $a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{in} x_{n} = 0$ .

Lo zero è una soluzione. Con tutte le incognite a zero: $a_{i 1} \cdot 0 + \dots + a_{in} \cdot 0 = 0$ .
Somma. Se $x$ e $y$ sono soluzioni, anche $x + y$ lo è. Raccogliendo:
$a_{i 1} (x_{1} + y_{1}) + \dots + a_{in} (x_{n} + y_{n}) = (a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{in} x_{n}) + (a_{i 1} y_{1} + \dots + a_{in} y_{n}) = 0 + 0 = 0.$
Multipli. Se $x$ è una soluzione e $λ$ un numero, anche $λ x$ lo è:
$a_{i 1} (λ x_{1}) + \dots + a_{in} (λ x_{n}) = λ (a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{in} x_{n}) = λ \cdot 0 = 0.$

Lo stesso vale per tutte le equazioni, quindi $S_{0}$ è un sottospazio.

Il sistema di partenza invece no

Con termini noti diversi da zero le cose cambiano. Se un termine noto $b_{i}$ non è zero, mettendo tutte le incognite a zero l'equazione dice $0 = b_{i}$ : falso. Quindi lo zero non è una soluzione, e l'insieme $S$ non è un sottospazio.

Si rompe anche la somma. Nell'esempio di prima, $(3, 0, 0)$ e $(1, 1, 0)$ risolvono la prima equazione, $x + 2 y - z = 3$ . La loro somma $(4, 1, 0)$ dà $4 + 2 - 0 = 6$ , non 3.

Trappola · Il sistema omogeneo non è mai impossibile

Un sistema omogeneo ha sempre almeno la soluzione zero: non può mai avere nessuna soluzione. Nella forma a scalini la colonna di destra resta tutta di zeri, quindi non c'è mai un pivot nell'ultima colonna. Per un sistema omogeneo la domanda interessante è un'altra: c'è solo la soluzione zero, o ce ne sono altre?

Prova tu

Scrivi il sistema omogeneo associato a

x - y = 4

3 x + y = 1

. Lo zero risolve il sistema di partenza? E l'omogeneo?

L'omogeneo è $x - y = 0$ , $3 x + y = 0$ . Lo zero non risolve il sistema di partenza ( $0 - 0 = 0$ , non 4), ma risolve l'omogeneo.

Da ricordare

Il sistema omogeneo associato ha gli stessi numeri a sinistra e tutti zeri a destra.
Le soluzioni dell'omogeneo formano un sottospazio; quelle del sistema di partenza, con termini noti non tutti zero, no.

§2

Una soluzione più gli spostamenti permessi

pp. 57–58

Torna al disegno iniziale: la retta delle soluzioni di $x + y = 2$ è la retta dell'omogeneo, spostata. Succede sempre così. Le dispense lo scrivono in questo modo.

Proposizione 12.3

Se $S \neq = \emptyset$ , allora $S$ è ottenuto prendendo una qualsiasi soluzione $x \in S$ e aggiungendo a questa tutti i vettori di $S_{0}$ .

Come si legge. $\emptyset$ è l'insieme vuoto: «se ci sono soluzioni». Allora tutte le soluzioni si ottengono così: se ne prende una qualsiasi, e le si aggiungono, una alla volta, tutte le soluzioni dell'omogeneo. Le soluzioni dell'omogeneo sono gli spostamenti permessi: muovendosi così si passa da una soluzione all'altra.

Perché vale, in due passi. Fisso una soluzione $x$ del sistema di partenza.

Una soluzione più uno spostamento permesso è ancora una soluzione. Se $x^{'}$ risolve l'omogeneo, allora in ogni equazione
$a_{i 1} (x_{1} + x_{1}^{'}) + \dots + a_{in} (x_{n} + x_{n}^{'}) = (a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{in} x_{n}) + (a_{i 1} x_{1}^{'} + \dots + a_{in} x_{n}^{'}) = b_{i} + 0 = b_{i} .$
Ogni soluzione si ottiene così. Se $x^{''}$ è un'altra soluzione, la differenza $x^{'} = x^{''} - x$ risolve l'omogeneo:
$a_{i 1} (x_{1}^{''} - x_{1}) + \dots + a_{in} (x_{n}^{''} - x_{n}) = b_{i} - b_{i} = 0.$
Quindi $x^{''} = x + x^{'}$ , con $x^{'}$ soluzione dell'omogeneo.

Il punto 1 dice che tutte le somme «soluzione più spostamento» sono soluzioni; il punto 2 dice che non ce ne sono altre.

La soluzione fissata si chiama soluzione particolare.

L'idea · la formula da ricordare

Tutte le soluzioni = una soluzione particolare + tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato. In simboli $S = x + S_{0}$ , quando ci sono soluzioni. La soluzione particolare può essere qualsiasi: cambiandola, l'insieme delle soluzioni resta lo stesso.

Esempio 12.4 · Una retta di soluzioni in $R^{3}$

Prendiamo il sistema in $R^{3}$

{x - y + z = 1 y - z = 2

Il sistema omogeneo associato è $x - y + z = 0$ , $y - z = 0$ . Dalla seconda $y = z$ ; nella prima $x - z + z = 0$ , cioè $x = 0$ . Con $z = t$ le soluzioni sono precisamente i vettori

S_{0} = ⎩ ⎨ ⎧ 0 t t t \in R ⎭ ⎬ ⎫ = Span 011 .

Una soluzione particolare è $(3, 0, - 2)$ : controllo $3 - 0 + (- 2) = 1$ e $0 - (- 2) = 2$ .

Tutte le soluzioni si ottengono sommando:

30 - 2 + 0 t t = 3 t t - 2, t \in R .

Da dove viene la soluzione particolare? Dalle mosse di Gauss, come nella lezione L11:

(10 - 1 1 1 - 1 12) R_{1} \to R_{1} + R_{2} (1001 0 - 1 32)

La colonna di $z$ non ha pivot, quindi $z$ è libera: $z = u$ . Poi $x = 3$ e $y = 2 + u$ . Separando la parte con $u$ :

3 2 + u u = 320 + u 011 .

Con $u = 0$ si trova la soluzione particolare $(3, 2, 0)$ , diversa da quella delle dispense. La parte con $u$ è proprio $S_{0}$ . L'insieme è lo stesso di prima: la soluzione $(3, 0, - 2)$ delle dispense è quella con $u = - 2$ (Martelli, p. 87, fa proprio questo confronto).

Metodo · Soluzione particolare e spostamenti in un colpo solo

Risolvi il sistema con Gauss e scrivi le soluzioni separando la parte di ogni lettera libera: $x = x_{0} + t_{1} v_{1} + \dots + t_{h} v_{h}$ . Allora:

$x_{0}$ , con tutte le lettere a zero, è una soluzione particolare;
le soluzioni dell'omogeneo sono lo Span di $v_{1}, \dots, v_{h}$ .

Prova tu

Le soluzioni di un sistema sono

(1 + t, 2, - t)

al variare di

t

. Scrivi una soluzione particolare e le soluzioni dell'omogeneo.

Con $t = 0$ : la soluzione particolare $(1, 2, 0)$ . La parte con $t$ è $t (1, 0, - 1)$ : le soluzioni dell'omogeneo sono lo Span di $(1, 0, - 1)$ .

Sottospazi affini

Una retta che non passa per l'origine non è un sottospazio, ma è un sottospazio spostato. Le dispense danno un nome a questi insiemi.

Definizione 12.5 · Sottospazio affine

Geometricamente, $S$ è un sottospazio affine. Sia $V$ uno spazio vettoriale. Un sottospazio affine di $V$ è un qualsiasi sottoinsieme del tipo

S = {x + v ∣ v \in W} =: x + W

dove $x$ è un punto fissato di $V$ e $W \subset V$ è un sottospazio vettoriale. La dimensione di $S$ è la dimensione del sottospazio $W$ .

Come si legge.

$x + W$ è il sottospazio $W$ spostato del vettore $x$ : a ogni vettore di $W$ si somma $x$ .
Il simbolo $=:$ vuol dire «e chiamiamo questo insieme»: è il nome abbreviato $x + W$ .
La dimensione è quella di $W$ e non dipende da $x$ : spostare una retta non la fa diventare un piano.
Casi tipici: con $W$ fatto solo dallo zero si ottiene un punto (dimensione 0); con $W$ lo Span di un vettore diverso da zero, una retta (dimensione 1); con $W$ lo Span di due vettori indipendenti, un piano (dimensione 2).
Martelli chiama $W$ la giacitura: la direzione, senza la posizione. Per le soluzioni di un sistema la giacitura è $S_{0}$ .

Esempio · La stessa retta scritta in due modi (dal libro di Martelli, Esempio 3.2.5)

Sia $W = Span ((1, 1))$ in $R^{2}$ . Le due rette affini

r_{1} = (1, 0) + W = {(1 + t, t) ∣ t \in R},

r_{2} = (0, - 1) + W = {(u, u - 1) ∣ u \in R}

sono la stessa retta, di equazione $y = x - 1$ : nella prima $y = t = x - 1$ , nella seconda $y = u - 1 = x - 1$ . Il punto di partenza cambia, la giacitura no. Funziona perché la differenza dei due punti, $(1, 0) - (0, - 1) = (1, 1)$ , sta in $W$ .

−2−1123−2−1123xy

W

y = x - 1

(1, 0)

(0, - 1)

(1, 1)

La retta

y = x - 1

(1, 0) + W

ma anche

(0, - 1) + W

, con

W = Span ((1, 1))

tratteggiato

Approfondimento · quando un sottospazio affine è un sottospazio vettoriale

$x + W$ passa per l'origine esattamente quando $x$ sta in $W$ , e in quel caso $x + W = W$ : è un sottospazio vettoriale. Per esempio $(2, 2) + Span ((1, 1))$ è la retta $y = x$ , che passa per l'origine. Per i sistemi: $S$ è un sottospazio vettoriale esattamente quando contiene lo zero, cioè quando il sistema è omogeneo.

Da ricordare

Tutte le soluzioni = una soluzione particolare + le soluzioni dell'omogeneo.
Un sottospazio affine è un sottospazio spostato; la sua dimensione è quella del sottospazio.

§3

Il sistema letto per colonne

p. 58

Riprendi l'indovinello della lezione L11: «due numeri, la somma fa 5, la differenza fa 1». Cioè $x + y = 5$ e $x - y = 1$ . Lo riscrivo mettendo in evidenza le colonne dei numeri:

x (11) + y (1 - 1) = (51) .

Letto così, il sistema chiede una ricetta: con quali dosi $x$ e $y$ le due colonne danno il vettore $(5, 1)$ ? Con $x = 3$ e $y = 2$ : $3 \cdot (1, 1) + 2 \cdot (1, - 1) = (5, 1)$ .

In generale, chiamo $A^{1}, \dots, A^{n}$ le colonne di $A$ , con il numero in alto come nella lezione L08. Il sistema diventa

x_{1} A^{1} + \dots + x_{n} A^{n} = b .

Quindi ci sono soluzioni esattamente quando $b$ si ottiene con una ricetta dalle colonne di $A$ , cioè

b \in Span (A^{1}, \dots, A^{n}) .

Esempio · Quando $b$ esce dallo Span delle colonne

Il sistema $x + 2 y = 1$ , $2 x + 4 y = 3$ si scrive $x (1, 2) + y (2, 4) = (1, 3)$ .

Le due colonne sono una multipla dell'altra: $(2, 4) = 2 \cdot (1, 2)$ . Lo Span è solo la retta $y = 2 x$ .
Il vettore $b = (1, 3)$ non sta su questa retta: dovrebbe avere seconda coordinata $2 \cdot 1 = 2$ , e invece ha 3.
Nessuna ricetta con le colonne dà $b$ : il sistema non ha soluzioni.

Con Gauss: $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ dà la riga $(0, 0 ∣ 1)$ , cioè $0 = 1$ .

12341234xy

A^{2}

A^{1}

b

Le colonne

A^{1} = (1, 2)

A^{2} = (2, 4)

generano solo la retta tratteggiata;

b = (1, 3)

è fuori

Il rango si conta con i pivot

Nella lezione L08 il rango di una matrice è stato definito come la dimensione dello Span delle colonne, cioè quante colonne dicono davvero qualcosa di nuovo. Ora serve un modo pratico per calcolarlo. Le dispense lo ricavano in tre passi.

Le mosse di Gauss non cambiano lo Span delle righe. Ogni riga nuova è una ricetta con le righe vecchie. E ogni mossa si può disfare (lezione L11), quindi vale anche il contrario. Le mosse non cambiano il rango per righe, che è uguale al rango per colonne (Proposizione 8.6).
Nella forma ridotta si vede tutto. Alla fine di Gauss le colonne con i pivot diventano i vettori $e_{1}, e_{2}, \dots$ della base canonica. Tutte le altre colonne sono ricette con questi.
Quindi lo Span delle colonne della forma ridotta è generato da tanti vettori della base canonica quanti sono i pivot. La sua dimensione è il numero dei pivot.

Proposizione · Rango e pivot (p. 58)

Il rango di $A$ è il numero di pivot in una sua (qualsiasi) riduzione a scalini.

Come si legge. Per calcolare il rango: mosse di Gauss fino a una forma a scalini, poi si contano i pivot. Non importa quali mosse si usano: il numero di pivot viene sempre lo stesso.

Esempio · Il rango letto sulla forma ridotta

Nella matrice ridotta $R = 100200010340$ i pivot sono nelle colonne 1 e 3, che sono $e_{1} = (1, 0, 0)$ ed $e_{2} = (0, 1, 0)$ . Le altre colonne sono ricette con queste: la colonna 2 è $(2, 0, 0) = 2 e_{1}$ e la colonna 4 è $(3, 4, 0) = 3 e_{1} + 4 e_{2}$ . Lo Span delle colonne è lo Span di $e_{1}$ ed $e_{2}$ , di dimensione 2: il rango è 2, il numero dei pivot.

Nota · Attenzione alle lettere

In questo passaggio le dispense scrivono che le colonne con i pivot diventano «i primi $k$ vettori $e_{1}, \dots, e_{k}$ della base canonica di $K^{m}$ »: qui $k$ è il numero dei pivot e $m$ il numero delle righe di $A$ (lo spazio in cui vivono le colonne). Nel sistema (12.1), invece, $k$ era il numero delle equazioni. È solo un cambio di lettere, ma conviene saperlo quando si rilegge la pagina 58.

Premi «Calcola»: la matrice ha 3 righe e 4 colonne, ma dopo Gauss restano solo 2 righe non nulle, quindi il rango è 2. Prova poi a cambiare l'ultimo numero da 4 a 5: la terza riga non è più la somma delle prime due e il rango sale a 3.

Prova tu

Qual è il rango di

(1326)

$R_{2} \to R_{2} - 3 R_{1}$ dà la riga $(0, 0)$ . Resta un pivot solo: rango 1. Infatti la seconda riga è il triplo della prima.

Da ricordare

Un sistema ha soluzioni esattamente quando la colonna dei termini noti è una ricetta con le colonne di $A$ .
Il rango si calcola contando i pivot di una forma a scalini.

§4

Contare i pivot: il teorema di Rouché–Capelli

pp. 58–59

Nella lezione L11 il sistema era impossibile quando compariva un indizio assurdo. Per esempio la riga $0 = 1$ : un pivot nell'ultima colonna, quella dei termini noti. E le incognite libere erano quelle senza pivot. Contando i pivot, quindi, si sa tutto.

I pivot di $A$ sono il suo rango. I pivot della matrice completa, con l'ultima colonna, sono il rango di $(A ∣ b)$ . Ci sono due casi soltanto:

i due ranghi sono uguali: nessun pivot nell'ultima colonna, il sistema ha soluzioni;
quello della completa è più grande di uno: c'è un pivot nell'ultima colonna, il sistema è impossibile.

Le dispense lo scrivono così. È il teorema più importante della lezione.

Teorema 12.6 · Rouché–Capelli

Il sistema (12.1) ha soluzioni se e solo se

rk (A ∣ b) = rk (A) .

In caso affermativo, lo spazio delle soluzioni $S \subset K^{n}$ è un sottospazio affine di dimensione $n - rk (A)$ .

Come si legge.

$rk (A)$ è il rango della matrice dei coefficienti; $rk (A ∣ b)$ quello della matrice completa, che ha una colonna in più.
Una colonna in più non abbassa mai il rango, e lo alza al massimo di 1. Quindi o i due ranghi sono uguali, o quello della completa è più grande di uno.
$n$ è il numero di incognite, cioè di colonne di $A$ . La dimensione $n - rk (A)$ è il numero di incognite libere, quelle che scegli tu.
Il numero di equazioni non entra nel conto della dimensione.

Dimostrazione · del Teorema 12.6

La dimostrazione delle dispense, passo per passo.

Il sistema ha soluzioni esattamente quando $b$ sta nello Span delle colonne di $A$ (sezione precedente).
Questo succede esattamente quando aggiungere $b$ alle colonne non allarga lo Span:
$Span (A^{1}, \dots, A^{n}, b) = Span (A^{1}, \dots, A^{n}) .$
Se $b$ è una ricetta con le colonne, ogni ricetta con le colonne e $b$ è già una ricetta con le sole colonne. Se invece non lo è, lo Span con $b$ è più grande.
Due sottospazi uno dentro l'altro coincidono esattamente quando hanno la stessa dimensione, e le dimensioni qui sono i due ranghi.
Se ci sono soluzioni, $S = x + S_{0}$ (Proposizione 12.3), quindi la dimensione di $S$ è quella di $S_{0}$ (Definizione 12.5).
Resta da contare la dimensione di $S_{0}$ . Con Gauss le soluzioni dell'omogeneo si scrivono $t_{1} v_{1} + \dots + t_{h} v_{h}$ , con un vettore per ogni colonna senza pivot: $h = n - rk (A)$ . Questi vettori generano $S_{0}$ e sono indipendenti: $v_{i}$ ha un 1 al posto della $i$ -esima incognita libera e 0 ai posti delle altre incognite libere. Se $t_{1} v_{1} + \dots + t_{h} v_{h} = 0$ , guardando il posto della $i$ -esima incognita libera si trova $t_{i} = 0$ .
Quindi la dimensione di $S$ è $n - rk (A)$ .

Esempio · Tre sistemi, tre verdetti

$(11 1 - 1 51)$ : i due ranghi valgono 2, e le incognite sono 2. Soluzioni, con $2 - 2 = 0$ incognite libere: un punto, $(3, 2)$ .
$(122413)$ : dopo $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ diventa $(102011)$ . $A$ ha un pivot, la completa due: ranghi 1 e 2, nessuna soluzione.
Esempio 12.4: $(10 - 1 1 1 - 1 12)$ è già a scalini. I due ranghi valgono 2, le incognite sono 3: soluzioni, con $3 - 2 = 1$ incognita libera, una retta.

Prova tu

Un sistema ha 4 incognite, e i due ranghi valgono tutti e due 3. Ci sono soluzioni? Quante incognite libere?

Sì, perché i ranghi sono uguali. Le incognite libere sono $4 - 3 = 1$ : le soluzioni sono una retta.

Zero, una o infinite

Da Rouché–Capelli viene subito il conteggio delle soluzioni. Qui i numeri sono quelli di sempre, reali o complessi.

Corollario 12.7

Il sistema (12.1) ha $0$ , $1$ oppure $\infty$ soluzioni. Più precisamente, le soluzioni sono

$0$ se $rk (A ∣ b) > rk A$ ,
$1$ se $rk (A ∣ b) = rk A = n$ ,
$\infty$ se $rk (A ∣ b) = rk A < n$ .

Come si legge. Se i ranghi sono diversi: nessuna soluzione. Se sono uguali e valgono quanto le incognite: nessuna incognita libera, una soluzione sola. Se sono uguali ma più piccoli del numero di incognite: almeno un'incognita libera, che può prendere infiniti valori, e valori diversi danno soluzioni diverse.

$rk (A)$	$rk (A ∣ b)$	Soluzioni	Incognite libere
$r$	$r + 1$	nessuna	—
$n$	$n$	una sola	0
$r < n$	$r$	infinite	$n - r$

Approfondimento · perché serve un campo infinito

Nella parte di Matematica Discreta si lavora anche con insiemi finiti di numeri, come $Z_{2} = {0, 1}$ . Lì un'incognita libera può prendere solo 2 valori, e un sistema con $h$ incognite libere ha esattamente $2^{h}$ soluzioni: per esempio $x + y = 1$ su $Z_{2}$ ha le due soluzioni $(1, 0)$ e $(0, 1)$ . Con i numeri reali e complessi, quelli dell'esame, questo non succede: la risposta «un numero finito, maggiore di 1» nei quiz è sempre sbagliata.

Sistemi quadrati

Quando le equazioni sono tante quante le incognite, la matrice $A$ è quadrata e c'è un'altra strada: il determinante (lezioni L09 e L10). Le dispense lo scrivono così.

Corollario 12.8

Se $A$ è una matrice quadrata (allora il numero di equazioni è uguale al numero di variabili), il sistema $A x = b$ ha esattamente una soluzione se $rk A = n \Leftrightarrow det A \neq = 0$ . In questo caso $A$ è invertibile e la soluzione è $x = A^{- 1} b$ .

Come si legge.

$A x = b$ è il sistema scritto con il prodotto riga per colonna (lezione L08): la riga $i$ di $A$ per la colonna delle incognite dà la parte sinistra dell'equazione $i$ .
La freccia doppia si legge «se e solo se»: rango $n$ e determinante diverso da zero sono la stessa cosa (lezione L10).
In quel caso c'è una sola soluzione, per qualsiasi colonna di termini noti: la matrice completa ha solo $n$ righe, quindi anche il suo rango è $n$ .
La formula: $A$ è invertibile, e moltiplicando $A x = b$ a sinistra per l'inversa si ottiene $x = A^{- 1} b$ . L'inversa disfa $A$ .

Esempio · Un sistema 2 × 2 risolto con l'inversa

${x + 2 y = 5 3 x + 4 y = 6$ , cioè $A = (1324)$ e $b = (56)$ .

$det A = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = - 2$ , non zero: una sola soluzione.
L'inversa, con la regola delle $2 \times 2$ (lezione L10): scambio la diagonale, cambio segno agli altri due, divido per $- 2$ . Viene $A^{- 1} = (- 2 \frac{3}{2} 1 - \frac{1}{2})$ .
$x = A^{- 1} b = (- 2 \cdot 5 + 1 \cdot 6 \frac{3}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 6) = (- 4 \frac{9}{2})$ .
Controllo: $- 4 + 2 \cdot \frac{9}{2} = - 4 + 9 = 5$ e $3 \cdot (- 4) + 4 \cdot \frac{9}{2} = - 12 + 18 = 6$ .

Trappola · Determinante zero non vuol dire «nessuna soluzione»

Il Corollario 12.8 parla solo del caso con determinante diverso da zero. Se il determinante è zero, le soluzioni sono zero oppure infinite, e dipende dai termini noti: bisogna confrontare i due ranghi. Con $A = (1111)$ , che ha determinante zero: con $b = (1, 1)$ le due equazioni sono uguali e le soluzioni sono infinite; con $b = (1, 2)$ le equazioni $x + y = 1$ e $x + y = 2$ si contraddicono, e non ce n'è nessuna.

Oltre le dispense · il caso omogeneo, da tenere a mente per gli autovettori

Per un sistema omogeneo $A x = 0$ i due ranghi sono sempre uguali: la colonna di zeri non aggiunge niente. Le soluzioni ci sono sempre e formano un sottospazio di dimensione $n - rk (A)$ (Martelli, Corollario 3.2.16). Se $A$ è quadrata, ci sono soluzioni diverse da zero esattamente quando il determinante è zero. Questa frase tornerà nelle lezioni L17–L18: gli autovettori sono proprio le soluzioni diverse da zero di $(A - λ I) x = 0$ .

Nota · Collegamento con l'informatica: programmazione lineare e simplesso (p. 59)

Le dispense accennano a un problema che si studia in un corso successivo di ottimizzazione: trovare il massimo di $^{t} c x$ tra i vettori con $A x = b$ e $x \geq 0$ (programmazione lineare). Il metodo del simplesso usa tutti i concetti visti fin qui. Se $A$ ha $m$ righe e rango $m$ , una base del simplesso è una scelta di $m$ colonne indipendenti di $A$ : formano una matrice quadrata $A_{B}$ invertibile. Si mettono a zero le variabili delle altre colonne e si ricavano le variabili «di base» risolvendo $A_{B} x_{B} = b$ , cioè $x_{B} = A_{B}^{- 1} b$ .

Un esempio piccolo: $A = (11 1 - 1 1001)$ , $b = (42)$ . Scegliendo le colonne 1 e 2, $A_{B} = (11 1 - 1)$ ha determinante $- 2$ e $x_{B} = A_{B}^{- 1} b = (3, 1)$ : il vettore $x = (3, 1, 0, 0)$ risolve $A x = b$ . Scegliendo le colonne 3 e 4, $A_{B}$ è l'identità e $x = (0, 0, 4, 2)$ . Indipendenza, rango, matrici invertibili e sistemi lineari lavorano tutti insieme in uno degli algoritmi fondamentali dell'ottimizzazione.

Prova tu

Una matrice

3 \times 3

ha determinante 0. Il sistema

A x = b

può avere esattamente una soluzione?

No. Con determinante zero il rango è meno di 3, quindi almeno un'incognita è libera oppure il sistema è impossibile: zero o infinite soluzioni.

Da ricordare

Rouché–Capelli: soluzioni esattamente quando i due ranghi sono uguali; incognite libere = numero di incognite meno il rango.
Le soluzioni sono zero, una o infinite.
Matrice quadrata: determinante diverso da zero vuol dire una sola soluzione, $x = A^{- 1} b$ ; determinante zero vuol dire zero o infinite.

§5

Quando c'è una lettera nel sistema

p. 60

All'esame i sistemi contengono spesso una lettera al posto di qualche numero. Di solito è la $k$ , e la domanda è: per ogni valore di $k$ , quante soluzioni ci sono? L'idea: per quasi tutti i valori di $k$ la risposta è la stessa; ci sono pochi valori speciali, quelli che fanno sparire un pivot, e vanno studiati a parte.

Ecco l'esempio delle dispense.

Esempio 12.9 · Un sistema che dipende da $k$

Prendiamo il sistema, dipendente da un parametro $k \in R$ ,

{x + k y = 4 - k k x + 4 y = 4

(a) Vogliamo sapere al variare di $k \in R$ se ci sono soluzioni e, in caso affermativo, che dimensione hanno. (b) Vogliamo risolvere il sistema per $k = 1$ .

(a) Applichiamo l'algoritmo di Gauss su $(A ∣ b)$ , con la mossa $R_{2} \to R_{2} - k R_{1}$ :

(1 k k 4 4 - k 4) ⟶ (10 k 4 - k^{2} 4 - k 4 - 4 k + k^{2})

Il conto della seconda riga: $(k, 4, 4) - k (1, k, 4 - k) = (0, 4 - k^{2}, 4 - 4 k + k^{2})$ . Per calcolare i ranghi basta fermarsi qui: andare avanti serve solo per scrivere le soluzioni.

Notiamo che $4 - 4 k + k^{2} = (k - 2)^{2}$ e $4 - k^{2} = (2 - k) (2 + k)$ . La matrice è a scalini per ogni $k \in R$ e ci sono sempre due pivot, tranne per $k = 2$ , in cui ce n'è uno solo. Quindi il rango di $(A ∣ b)$ è $1$ per $k = 2$ e $2$ per $k \neq = 2$ . La matrice dei coefficienti è diventata

(10 k 4 - k^{2})

e ha rango $1$ per $k = \pm 2$ e rango $2$ per $k \neq = \pm 2$ . Quindi:

se $k = - 2$ , allora $rk (A ∣ b) \neq = rk (A)$ e non ci sono soluzioni;
se $k = 2$ , allora $rk (A ∣ b) = rk (A) = 1$ , quindi le soluzioni formano un sottospazio affine di $R^{2}$ di dimensione $2 - 1 = 1$ , cioè una retta affine: infinite soluzioni;
se $k \neq = \pm 2$ , allora $rk (A ∣ b) = rk (A) = 2$ , quindi le soluzioni formano un sottospazio affine di $R^{2}$ di dimensione $2 - 2 = 0$ , cioè un punto: una soluzione sola.

(b) Per $k = 1$ la matrice ridotta diventa $(101331)$ . Dalla seconda riga $3 y = 1$ , quindi $y = \frac{1}{3}$ ; dalla prima $x = 3 - y = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$ .

I due valori speciali, scritti per esteso:

$k = - 2$ : la seconda riga diventa $(0, 4 - 4, 4 + 8 + 4) = (0, 0 ∣ 16)$ , cioè $0 = 16$ . Un indizio assurdo: nessuna soluzione.
$k = 2$ : la seconda riga diventa $(0, 0 ∣ 0)$ e resta la sola equazione $x + 2 y = 2$ . Con $y = t$ , le soluzioni sono $(2 - 2 t, t)$ : la retta $(2, 0) + Span ((- 2, 1))$ .

Controllo di (b) nel sistema di partenza con $k = 1$ : $\frac{8}{3} + \frac{1}{3} = 3 = 4 - 1$ e $\frac{8}{3} + \frac{4}{3} = 4$ .

Approfondimento · la soluzione per ogni

k

diverso da

\pm 2

, e un controllo con il determinante

La matrice $A$ è quadrata e $det A = 1 \cdot 4 - k \cdot k = 4 - k^{2}$ : per il Corollario 12.8 c'è una sola soluzione esattamente quando $k$ non è $2$ né $- 2$ , come trovato sopra. Finendo i conti, per questi $k$ :

y = \frac{( k - 2 ) ^{2}}{( 2 - k ) ( 2 + k )} = \frac{2 - k}{2 + k}, x = 4 - k - k y = \frac{8}{2 + k} .

Con $k = 1$ si ritrovano $x = \frac{8}{3}$ e $y = \frac{1}{3}$ .

Metodo · Discutere un sistema con un parametro $k$

Se $A$ è quadrata, parti dal determinante: per i $k$ che non lo annullano la soluzione è una sola (Corollario 12.8). Restano da studiare solo i valori che lo annullano.
Altrimenti, o per controllo, fai Gauss su $(A ∣ b)$ tenendo $k$ come una lettera. Scegli i pivot tra i numeri senza $k$ quando puoi: si evitano divisioni pericolose.
Guarda i pivot che contengono $k$ e trova i valori di $k$ che li annullano. Sono i valori speciali.
Per ogni valore speciale sostituisci il numero nella matrice e rifai il conto: confronta i due ranghi.
Scrivi la conclusione per tutti i $k$ : nessuna soluzione per…, infinite con … incognite libere per…, una sola per tutti gli altri valori.

Trappola · Dividere per un'espressione che può valere zero

Scrivere $y = \frac{( k - 2 ) ^{2}}{4 - k ^{2}}$ senza commenti è l'errore tipico: per $k = 2$ e $k = - 2$ quella divisione non si può fare, e sono proprio i casi interessanti. Ogni volta che dividi per un'espressione con $k$ , prima metti da parte i valori che la fanno zero.

Nello strumento c'è la matrice completa del sistema $x + 2 y + k z = 1$ , $- x + y - k z = 2$ , $k x + k y + z = k - 1$ (problema 11 dell'appello del 05/02/2026, svolto negli esercizi) con $k = 1$ : infinite soluzioni. Sostituisci $k = - 1$ , cioè 1 2 -1 1; -1 1 1 2; -1 -1 1 -2: compare la riga $0 = 1$ . Con $k = 2$ , cioè 1 2 2 1; -1 1 -2 2; 2 2 1 1, la soluzione è una sola.

Prova tu

Nel sistema

x + y = 1

x + y = k

, per quali

k

ci sono soluzioni?

Togliendo la prima equazione dalla seconda viene $0 = k - 1$ . Se $k = 1$ l'indizio dice $0 = 0$ : infinite soluzioni. Per ogni altro $k$ dice qualcosa di falso: nessuna soluzione.

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

Tutta la lezione segue il libro di Martelli, §3.2 «Teorema di Rouché–Capelli» (pp. 85–93 del libro): sistema omogeneo associato e Proposizione 3.2.1 (pp. 85–86), sottospazi affini e giacitura (pp. 87–88, con gli Esempi 3.2.2 e 3.2.5), rango e pivot (Proposizione 3.2.9 e Corollario 3.2.10, p. 89), Rouché–Capelli con il Corollario 3.2.14 e l'esempio con il parametro (pp. 90–91), sistemi omogenei (Corollario 3.2.16, p. 91).

Da ricordare

Con un parametro: si trovano i valori speciali, quelli che annullano un pivot o il determinante, e si studiano uno per uno.
Per tutti gli altri valori la risposta è la stessa.

§6

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$(A ∣ b)$	«a barra b»	la matrice completa: coefficienti e termini noti
$S$	«esse»	tutte le soluzioni del sistema
$S_{0}$	«esse zero»	tutte le soluzioni del sistema omogeneo
$\emptyset$	«insieme vuoto»	nessun elemento	$S = \emptyset$ : nessuna soluzione
$x + W$	«x più w»	il sottospazio $W$ spostato di $x$	$(1, 0) + Span ((1, 1))$
$=:$	«e lo chiamiamo»	dà un nome a quello che sta a sinistra
$A^{1}, \dots, A^{n}$	«a uno, …, a enne»	le colonne di $A$
$rk (A)$	«rango di a»	quanti pivot ha una forma a scalini
$\Leftrightarrow$	«se e solo se»	le due cose vanno sempre insieme
$A x = b$	«a per x uguale b»	il sistema scritto con il prodotto
$\infty$	«infinite»	infinite soluzioni

§7

Verso l'esame

esame

La prova scritta di Algebra lineare e Geometria ha 10 quiz a 5 risposte e 2 problemi da 11 punti. I problemi si correggono solo con almeno 6 punti nel quiz. Dura 2 ore, senza calcolatrice e con solo 4 facciate di appunti scritti a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione serve all'esame

Il problema da 11 punti sul sistema con parametro. È uscito negli appelli del 07/02/2025, del 05/02/2026 e del 03/07/2026, sempre come problema 11. Le domande sono quasi fisse: (1) per quali $k$ la matrice dei coefficienti è invertibile, o quanto vale il suo determinante; (2) per ogni $k$ , quante soluzioni ha il sistema; (3) le soluzioni per uno o due valori di $k$ dati. Due di questi problemi sono svolti per intero negli esercizi.
Lo stesso tema nei problemi su un'applicazione lineare. Negli appelli dell'08/02/2024 e del 10/07/2025 c'era un problema 12 su una macchina $T$ . Si chiedeva di trovare tutti i vettori con $T (v) = w$ , oppure i valori di $k$ per cui un certo $w$ sta nell'immagine. Sono sistemi, e si risolvono con Rouché–Capelli (lezione L14).
I quiz. Oltre alla domanda «quante soluzioni?» (lezione L11), nell'appello del 07/09/2026 (domanda 3) si chiedeva per quale $k$ un sistema $3 \times 3$ non ha soluzioni. Nell'appello del 10/07/2024 (domanda 6) bisognava riconoscere tutte le soluzioni del sistema dell'Esercizio 12.11 delle dispense.

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 07/09/2026, domanda 3. Il testo: «Per quale $k \in R$ il sistema lineare con matrice completa $123232 k - 1 1 130$ non ha soluzioni reali? (a) Il sistema ha sempre soluzioni reali; (b) $k = \pm 2$ ; (c) $k = - 1$ ; (d) $k = 0$ ; (e) $k \in {1, 2, 3}$ ».

In pratica chiede: c'è una lettera nel sistema. Per quale valore della lettera compare un indizio assurdo?

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: la matrice è quadrata. Tre equazioni, tre incognite. Parto dal determinante: dove non è zero, la soluzione c'è ed è una sola.

Passo 2: il determinante, lungo la prima riga:

det A = 1 \cdot (3 + 2) - 2 \cdot (2 + 3) + k \cdot (4 - 9) = 5 - 10 - 5 k = - 5 (k + 1) .

Passo 3: il valore speciale. Il determinante fa zero solo per $k = - 1$ . Per tutti gli altri $k$ c'è una soluzione sola: le risposte (d) ed (e) sono già sbagliate.

Passo 4: il caso $k = - 1$ . Sostituisco e faccio Gauss:

$R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ : $(2, 3, - 1 ∣ 3) - 2 \cdot (1, 2, - 1 ∣ 1) = (0, - 1, 1 ∣ 1)$ ;
$R_{3} \to R_{3} - 3 R_{1}$ : $(3, 2, 1 ∣ 0) - 3 \cdot (1, 2, - 1 ∣ 1) = (0, - 4, 4 ∣ - 3)$ ;
$R_{3} \to R_{3} - 4 R_{2}$ : $(0, - 4, 4 ∣ - 3) - 4 \cdot (0, - 1, 1 ∣ 1) = (0, 0, 0 ∣ - 7)$ .

L'ultima riga dice $0 = - 7$ : un indizio assurdo. I ranghi sono 2 per $A$ e 3 per la completa.

La risposta è la (c).

Perché la (a) è sbagliata. Determinante zero non vuol dire automaticamente «nessuna soluzione», ma nemmeno «sempre soluzioni»: bisogna fare il conto, e qui il conto dà un indizio assurdo.

Metodo · Il problema «discutere al variare di $k$ », come va scritto sul foglio

Determinante, se $A$ è quadrata: calcolalo e scomponilo, per esempio $det A = - 3 (k - 1) (k + 1)$ . Prima conclusione: per i $k$ diversi dalle radici, $A$ è invertibile e c'è una sola soluzione (Corollario 12.8).
Valori speciali: per ogni radice sostituisci il valore di $k$ , scrivi la matrice completa con i numeri e riducila a scalini. Scrivi i due ranghi e cita il teorema: « $rk (A) = 2 < 3 = rk (A ∣ b)$ , quindi per Rouché–Capelli non ci sono soluzioni» oppure « $rk (A) = rk (A ∣ b) = 2 < 3 = n$ : infinite soluzioni, con $3 - 2 = 1$ incognita libera».
Soluzioni richieste: Gauss sulla matrice con i numeri, lettere libere alle colonne senza pivot, e un controllo sostituendo nel sistema di partenza.
Riassunto finale in una riga per ogni caso: i correttori cercano la conclusione, falla trovare.

Trappola · Gli errori più frequenti

Concludere «nessuna soluzione» solo perché il determinante è zero. Con determinante zero ci possono essere anche infinite soluzioni: nell'appello del 05/02/2026, per $k = 1$ infinite, per $k = - 1$ nessuna, e il determinante è zero in tutti e due i casi.
Dimenticare un valore speciale, per esempio perché si è diviso per $k - 1$ senza dirlo.
Confondere il numero di incognite con il numero di equazioni nel conto delle incognite libere.
Dire che le soluzioni di $A x = b$ con $b$ diverso da zero formano un sottospazio vettoriale: sono un sottospazio affine.

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione: $S = x_{0} + S_{0}$ ; l'enunciato di Rouché–Capelli con la tabella «nessuna / una / infinite» del Corollario 12.7; « $A$ quadrata: determinante diverso da zero vuol dire una sola soluzione, $x = A^{- 1} b$ ; determinante zero vuol dire zero o infinite»; la formula dell'inversa $2 \times 2$ ; i cinque passi del metodo per il parametro.

§9

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: il sistema omogeneo base

Scrivi il sistema omogeneo associato a ${x + y = 3 2 x - y = 0$ . Controlla che $(0, 0)$ risolve l'omogeneo e non il sistema di partenza.

Soluzione

L'omogeneo ha gli stessi numeri a sinistra e zeri a destra: $x + y = 0$ , $2 x - y = 0$ .
Con $(0, 0)$ : $0 + 0 = 0$ e $0 - 0 = 0$ . Risolve l'omogeneo.
Nel sistema di partenza la prima equazione darebbe $0 = 3$ : falso. Non lo risolve.

2 · Riscaldamento: una soluzione più gli spostamenti base

Una soluzione di $x + y = 2$ è $(2, 0)$ , e le soluzioni di $x + y = 0$ sono i multipli di $(- 1, 1)$ . Scrivi tre soluzioni diverse di $x + y = 2$ e controllale.

Soluzione

Aggiungo a $(2, 0)$ alcuni multipli di $(- 1, 1)$ :

con $t = 1$ : $(2, 0) + (- 1, 1) = (1, 1)$ , e $1 + 1 = 2$ ;
con $t = 2$ : $(2, 0) + (- 2, 2) = (0, 2)$ , e $0 + 2 = 2$ ;
con $t = - 1$ : $(2, 0) + (1, - 1) = (3, - 1)$ , e $3 - 1 = 2$ .

3 · Riscaldamento: contare con i ranghi base

Un sistema ha 3 incognite. Quante soluzioni ha in ciascun caso? (a) $rk (A) = 2$ , $rk (A ∣ b) = 2$ ; (b) $rk (A) = 3$ , $rk (A ∣ b) = 3$ ; (c) $rk (A) = 2$ , $rk (A ∣ b) = 3$ ; (d) $rk (A) = 1$ , $rk (A ∣ b) = 1$ .

Soluzione

(a) Ranghi uguali, $3 - 2 = 1$ incognita libera: infinite soluzioni, una retta.
(b) Ranghi uguali e pari al numero di incognite: una soluzione sola.
(c) Ranghi diversi: nessuna soluzione.
(d) Ranghi uguali, $3 - 1 = 2$ incognite libere: infinite soluzioni, un piano.

4 · Riscaldamento: indizi che si contraddicono base

Quante soluzioni hanno (a) $x + y = 3$ , $2 x + 2 y = 5$ e (b) $x + y = 3$ , $2 x + 2 y = 6$ ?

Soluzione

In tutti e due i casi tolgo dalla seconda equazione il doppio della prima ( $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ ).

(a) Viene $0 = 5 - 6 = - 1$ : un indizio assurdo, nessuna soluzione.
(b) Viene $0 = 6 - 6 = 0$ : l'indizio sparisce, resta $x + y = 3$ . Infinite soluzioni, $(3 - t, t)$ .

5 · Esercizio 12.10 delle dispense: quante soluzioni? base

Quante soluzioni ha il sistema lineare con matrice completa

1713391551117220 ?

Soluzione

Gauss. Prima $R_{2} \to R_{2} - 7 R_{1}$ e $R_{3} \to R_{3} - 13 R_{1}$ :

(7, 9, 11, 2) - 7 (1, 3, 5, 2) = (0, - 12, - 24, - 12), (13, 15, 17, 0) - 13 (1, 3, 5, 2) = (0, - 24, - 48, - 26) .

Poi $R_{3} \to R_{3} - 2 R_{2}$ : $(0, - 24, - 48, - 26) - 2 (0, - 12, - 24, - 12) = (0, 0, 0, - 2)$ .

100 3 - 12 0 5 - 24 0 2 - 12 - 2

Ranghi. Nella parte $A$ ci sono 2 pivot: rango 2. La matrice completa ha un pivot anche nell'ultima colonna: rango 3. Per Rouché–Capelli il sistema non ha soluzioni: l'ultima riga dice $0 = - 2$ .

Il motivo nascosto: la terza riga di $A$ è $2 \cdot (7, 9, 11) - (1, 3, 5) = (13, 15, 17)$ , ma per i termini noti $2 \cdot 2 - 2 = 2$ , non 0. Gli indizi si contraddicono.

6 · Sottospazio o no? base

Stabilisci se sono sottospazi vettoriali di $R^{3}$ : (a) $U = {(x, y, z) ∣ x + y - z = 0}$ ; (b) $V = {(x, y, z) ∣ x + y - z = 1}$ . Per quello che non lo è, di' che cosa è.

Soluzione

(a) $U$ è l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo: una sola equazione, con termine noto 0. Per la Proposizione 12.2 è un sottospazio. La sua dimensione è $3 - 1 = 2$ , perché la matrice $(11 - 1)$ ha rango 1: un piano per l'origine.

(b) $V$ non contiene lo zero: $0 + 0 - 0 = 0$ , non 1. Quindi non è un sottospazio vettoriale. Non funziona neanche la somma: $(1, 0, 0)$ e $(0, 1, 0)$ stanno in $V$ , ma $(1, 1, 0)$ dà $1 + 1 - 0 = 2$ . È un sottospazio affine: $V = (1, 0, 0) + U$ , un piano parallelo a $U$ che non passa per l'origine, di dimensione 2.

7 · Il rango con i pivot base

Calcola il rango di $A = 123246011134$ e trova un insieme massimo di colonne indipendenti.

Soluzione

$R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ dà $(0, 0, 1, 1)$ .
$R_{3} \to R_{3} - 3 R_{1}$ dà $(0, 0, 1, 1)$ .
$R_{3} \to R_{3} - R_{2}$ dà la riga di zeri.
$100200010110$
Due pivot: rango 2. I pivot sono nelle colonne 1 e 3, quindi le colonne 1 e 3 della matrice di partenza, $(1, 2, 3)$ e $(0, 1, 1)$ , sono indipendenti e generano lo Span delle colonne. Infatti la colonna 2 è il doppio della 1, e la colonna 4 è la somma della 1 e della 3: $(1, 3, 4) = (1, 2, 3) + (0, 1, 1)$ . Le mosse sulle righe conservano le ricette tra le colonne, per questo si leggono sulla forma a scalini: lo vedrai meglio nella lezione L13.

8 · Esercizio 12.11 delle dispense: tutte le soluzioni medio

Trova tutte le soluzioni del sistema lineare

⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y - z = 3 x - y + z = 2 3 x - y - 3 z = 4

Soluzione

Gauss. Scambio le prime due righe per avere un pivot uguale a 1, poi tolgo multipli della prima riga:

123 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 3 234 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} - 3 R_{1} 100 - 1 12 1 - 3 - 6 2 - 1 - 2

R_{3} \to R_{3} - 2 R_{2} 100 - 1 10 1 - 3 0 2 - 1 0

I conti: $(2, - 1, - 1, 3) - 2 (1, - 1, 1, 2) = (0, 1, - 3, - 1)$ ; $(3, - 1, - 3, 4) - 3 (1, - 1, 1, 2) = (0, 2, - 6, - 2)$ ; la terza riga è il doppio della seconda.

Rouché–Capelli. I due ranghi valgono 2, le incognite sono 3: infinite soluzioni, un'incognita libera.

Soluzioni. $R_{1} \to R_{1} + R_{2}$ dà $(1, 0, - 2, 1)$ . Con $z = t$ : $y = - 1 + 3 t$ e $x = 1 + 2 t$ .

(x, y, z) = (1 + 2 t, - 1 + 3 t, t) = (1, - 1, 0) + t (2, 3, 1), t \in R .

Controllo con $t = 1$ , cioè $(3, 2, 1)$ : $6 - 2 - 1 = 3$ ; $3 - 2 + 1 = 2$ ; $9 - 2 - 3 = 4$ .

Le soluzioni sono una retta: il punto $(1, - 1, 0)$ , la soluzione particolare, più gli spostamenti permessi, lo Span di $(2, 3, 1)$ . Questo stesso sistema era la domanda 6 dell'appello del 10/07/2024, con la risposta $x = 2 t + 1$ , $y = 3 t - 1$ , $z = t$ .

9 · Soluzione particolare e sistema omogeneo medio

Per il sistema ${x + 2 y - z = 3 2 x + 4 y + z = 3$ trova: (a) tutte le soluzioni $S$ ; (b) le soluzioni $S_{0}$ del sistema omogeneo associato; (c) una soluzione particolare, e verifica che $S = x_{0} + S_{0}$ .

Soluzione

(a) $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ : $(2, 4, 1, 3) - 2 (1, 2, - 1, 3) = (0, 0, 3, - 3)$ , quindi $3 z = - 3$ e $z = - 1$ . La colonna di $y$ non ha pivot: $y = t$ . Dalla prima riga $x = 3 - 2 t + z = 2 - 2 t$ .

S = {(2 - 2 t, t, - 1) ∣ t \in R} = (2, 0, - 1) + Span ((- 2, 1, 0)) .

(b) L'omogeneo ha la stessa $A$ e zeri a destra. Con le stesse mosse: $3 z = 0$ , quindi $z = 0$ , e $x = - 2 t$ , $y = t$ :

S_{0} = Span ((- 2, 1, 0)) .

Controllo: $- 2 + 2 - 0 = 0$ e $- 4 + 4 + 0 = 0$ .

(c) Con $t = 0$ : $x_{0} = (2, 0, - 1)$ . Controllo: $2 + 0 + 1 = 3$ e $4 + 0 - 1 = 3$ . Allora $x_{0} + S_{0} = {(2, 0, - 1) + t (- 2, 1, 0)} = {(2 - 2 t, t, - 1)} = S$ . Anche $(0, 1, - 1)$ , con $t = 1$ , sarebbe una soluzione particolare valida.

10 · Un sistema quadrato con l'inversa medio

Risolvi ${2 x + y = 3 5 x + 3 y = 7$ usando il Corollario 12.8, poi usa la stessa inversa per risolvere il sistema con termini noti $(1, 0)$ .

Soluzione

$A = (2513)$ , con determinante $6 - 5 = 1$ : una sola soluzione per ogni colonna di termini noti.
L'inversa: scambio la diagonale, cambio segno agli altri due, divido per 1.
$A^{- 1} = (3 - 5 - 1 2), A^{- 1} (37) = (9 - 7 - 15 + 14) = (2 - 1) .$
Controllo: $4 - 1 = 3$ e $10 - 3 = 7$ .

Con $b = (1, 0)$ : $A^{- 1} b = (3, - 5)$ , cioè la prima colonna dell'inversa. Controllo: $6 - 5 = 1$ e $15 - 15 = 0$ . Il vantaggio dell'inversa: calcolata una volta, risolve il sistema per qualsiasi termine noto con un solo prodotto.

11 · Come all'esame: appello del 05/02/2026, problema 11 tipo esame

Si consideri il sistema lineare nelle incognite $x, y, z$ , con un parametro $k \in R$ :

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + k z = 1 - x + y - k z = 2 k x + k y + z = k - 1

(1) Calcolare il determinante della matrice $A$ dei coefficienti. (2) Al variare di $k \in R$ , discutere quante soluzioni ammette il sistema. (3) Per $k = 1$ , trovare tutte le soluzioni. (4) Per $k = 2$ , trovare tutte le soluzioni.

Soluzione

(1) Con $R_{2} \to R_{2} + R_{1}$ , che non cambia il determinante (lezione L10), la seconda riga diventa $(0, 3, 0)$ :

det 1 - 1 k 21 k k - k 1 = det 10 k 23 k k 01 = 3 \cdot det (1 k k 1) = 3 (1 - k^{2}) .

Ho sviluppato lungo la seconda riga: l'unico numero diverso da zero è il 3 nella casella $(2, 2)$ , segno più. Quindi $det A = 3 (1 - k) (1 + k)$ .

(2) Per $k$ diverso da 1 e da $- 1$ il determinante non è zero: una sola soluzione (Corollario 12.8). Per i due valori speciali riduco la matrice completa con $k$ come lettera:

$R_{2} \to R_{2} + R_{1}$ dà $(0, 3, 0 ∣ 3)$ ;
$R_{3} \to R_{3} - k R_{1}$ dà $(0, - k, 1 - k^{2} ∣ - 1)$ ;
$R_{3} \to R_{3} + \frac{k}{3} R_{2}$ dà $(0, 0, 1 - k^{2} ∣ k - 1)$ .
$100230 k 0 1 - k^{2} 13 k - 1$

$k = 1$ : l'ultima riga è $(0, 0, 0 ∣ 0)$ . I due ranghi valgono 2, le incognite sono 3: infinite soluzioni, con $3 - 2 = 1$ incognita libera.
$k = - 1$ : l'ultima riga è $(0, 0, 0 ∣ - 2)$ . Rango 2 per $A$ , 3 per la completa: nessuna soluzione.

(3) $k = 1$ : le righe non nulle dicono $x + 2 y + z = 1$ e $3 y = 3$ . Quindi $y = 1$ e, con $z = t$ , $x = 1 - 2 - t = - 1 - t$ :

(x, y, z) = (- 1 - t, 1, t), t \in R .

Controllo con $t = 0$ , cioè $(- 1, 1, 0)$ , nel sistema con $k = 1$ : $- 1 + 2 + 0 = 1$ ; $1 + 1 - 0 = 2$ ; $- 1 + 1 + 0 = 0 = k - 1$ .

(4) $k = 2$ : l'ultima riga è $(0, 0, - 3 ∣ 1)$ , quindi $z = - \frac{1}{3}$ . Poi $y = 1$ e $x = 1 - 2 y - 2 z = 1 - 2 + \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}$ :

(x, y, z) = (- \frac{1}{3}, 1, - \frac{1}{3}) .

Controllo: $- \frac{1}{3} + 2 - \frac{2}{3} = 1$ ; $\frac{1}{3} + 1 + \frac{2}{3} = 2$ ; $- \frac{2}{3} + 2 - \frac{1}{3} = 1 = k - 1$ .

12 · Come all'esame: appello del 03/07/2026, problema 11 tipo esame

Si consideri il sistema lineare

⎩ ⎨ ⎧ x + k y + z = 1 (k + 1) x + (k + 1) y + 2 z = k + 1 x + y + k z = k^{2}

(1) Determinare per quali $k \in R$ la matrice dei coefficienti è invertibile. (2) Al variare di $k$ , discutere il numero di soluzioni. (3) Trovare l'insieme delle soluzioni nei casi $k = 0$ e $k = 1$ .

Soluzione

(1) Sviluppo lungo la prima riga:

det A = 1 \cdot ((k + 1) k - 2) - k \cdot ((k + 1) k - 2) + 1 \cdot ((k + 1) - (k + 1)) = (1 - k) (k^{2} + k - 2) .

Siccome $k^{2} + k - 2 = (k + 2) (k - 1)$ , viene $det A = - (k - 1)^{2} (k + 2)$ . La matrice è invertibile per tutti i $k$ tranne 1 e $- 2$ .

(2) Per $k$ diverso da 1 e da $- 2$ : una sola soluzione. I valori speciali:

$k = 1$ : le tre equazioni diventano $x + y + z = 1$ , $2 x + 2 y + 2 z = 2$ , $x + y + z = 1$ , tutte la stessa. I due ranghi valgono 1: infinite soluzioni, con $3 - 1 = 2$ incognite libere.
$k = - 2$ : la matrice completa è $1 - 1 1 - 2 - 1 1 12 - 2 1 - 1 4$ . Con $R_{2} \to R_{2} + R_{1}$ viene $(0, - 3, 3 ∣ 0)$ , con $R_{3} \to R_{3} - R_{1}$ viene $(0, 3, - 3 ∣ 3)$ , e $R_{3} \to R_{3} + R_{2}$ dà $(0, 0, 0 ∣ 3)$ . Rango 2 per $A$ , 3 per la completa: nessuna soluzione.

(3) $k = 0$ : il sistema è $x + z = 1$ , $x + y + 2 z = 1$ , $x + y = 0$ .

Dalla terza $y = - x$ .
Nella seconda: $x - x + 2 z = 1$ , quindi $z = \frac{1}{2}$ .
Dalla prima $x = \frac{1}{2}$ , e quindi $y = - \frac{1}{2}$ .

Soluzione unica $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ; controllo nella seconda: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 1$ .

$k = 1$ : resta la sola equazione $x + y + z = 1$ . Le colonne senza pivot sono quelle di $y$ e $z$ : $y = s$ , $z = t$ .

S = {(1 - s - t, s, t) ∣ s, t \in R} = (1, 0, 0) + Span ((- 1, 1, 0), (- 1, 0, 1)),

un piano affine di $R^{3}$ .

13 · Come all'esame: quando ci sono infinite soluzioni tipo esame

Determina tutti i valori di $k \in R$ per cui il sistema $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 1 x + 2 y + 3 z = k x + 3 y + 5 z = k^{2}$ ha infinite soluzioni, e scrivile. Per gli altri valori quante soluzioni ci sono?

Soluzione

Qui la lettera è solo nei termini noti, e la matrice dei coefficienti non è invertibile: il suo determinante è zero per ogni $k$ , perché la terza colonna è il doppio della seconda meno la prima. Serve Gauss.

111123135 1 k k^{2} R_{2} \to R_{2} - R_{1} R_{3} \to R_{3} - R_{1} 100112124 1 k - 1 k^{2} - 1

R_{3} \to R_{3} - 2 R_{2} 100110120 1 k - 1 (k - 1)^{2}

L'ultimo numero: $k^{2} - 1 - 2 (k - 1) = k^{2} - 2 k + 1 = (k - 1)^{2}$ .

Il rango di $A$ è 2 per ogni $k$ .
Se $k$ non è 1, l'ultimo numero non è zero: rango 3 per la completa, nessuna soluzione.
Se $k = 1$ : rango 2 anche per la completa, infinite soluzioni con $3 - 2 = 1$ incognita libera. Le righe dicono $x + y + z = 1$ e $y + 2 z = 0$ : con $z = t$ , $y = - 2 t$ e $x = 1 + 2 t - t = 1 + t$ .
$S = {(1 + t, - 2 t, t) ∣ t \in R}, k = 1.$
Controllo con $t = 1$ , cioè $(2, - 2, 1)$ : $2 - 2 + 1 = 1$ ; $2 - 4 + 3 = 1 = k$ ; $2 - 6 + 5 = 1 = k^{2}$ . Non esiste nessun $k$ con una sola soluzione. Lo schema è quello del problema 12 (punto 3) dell'appello del 10/07/2025.

14 · Un sistema con parametro (Foglio 2 del tutorato, esercizio 10) difficile

Risolvi, al variare di $k \in R$ , il sistema $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + 2 z = 1 x + 4 y + 3 z = k + 1 - x + 2 y + k z = 2$

Soluzione

Gauss con $k$ come lettera. $R_{2} \to R_{2} - R_{1}$ e $R_{3} \to R_{3} + R_{1}$ : i pivot scelti non contengono $k$ .

100224 21 k + 2 1 k 3 R_{3} \to R_{3} - 2 R_{2} 100220 21 k 1 k 3 - 2 k

I conti: $(1, 4, 3, k + 1) - (1, 2, 2, 1) = (0, 2, 1, k)$ ; $(- 1, 2, k, 2) + (1, 2, 2, 1) = (0, 4, k + 2, 3)$ ; $(0, 4, k + 2, 3) - 2 (0, 2, 1, k) = (0, 0, k, 3 - 2 k)$ .

Valore speciale $k = 0$ . L'ultima riga è $(0, 0, 0 ∣ 3)$ : rango 2 per $A$ , 3 per la completa, nessuna soluzione.

Per $k$ diverso da zero. Tre pivot: una sola soluzione. Dal basso:

z = \frac{3 - 2 k}{k}, y = \frac{k - z}{2} = \frac{k ^{2} + 2 k - 3}{2 k} = \frac{( k + 3 ) ( k - 1 )}{2 k}, x = 1 - 2 y - 2 z = \frac{- k ^{2} + 3 k - 3}{k} .

Per il conto di $x$ : $1 - \frac{k ^{2} + 2 k - 3}{k} - \frac{6 - 4 k}{k} = \frac{k - k ^{2} - 2 k + 3 - 6 + 4 k}{k} = \frac{- k ^{2} + 3 k - 3}{k}$ .

Controllo con $k = 1$ : $x = - 1$ , $y = 0$ , $z = 1$ . Nel sistema: $- 1 + 0 + 2 = 1$ ; $- 1 + 0 + 3 = 2 = k + 1$ ; $1 + 0 + 1 = 2$ . Torna anche con il determinante: è $2 k$ , il prodotto dei pivot $1 \cdot 2 \cdot k$ (ho usato solo mosse del terzo tipo), e fa zero solo per $k = 0$ .

§10

Domande di ripasso

autoverifica

Che cos'è il sistema omogeneo associato a un sistema lineare?

È il sistema con gli stessi numeri a sinistra e tutti i termini noti uguali a zero. Se il sistema di partenza ha matrice completa $(A ∣ b)$ , l'omogeneo ha matrice $(A ∣ 0)$ , scritta anche solo $A$ .

Perché le soluzioni del sistema omogeneo formano un sottospazio?

Perché valgono le tre condizioni: lo zero è una soluzione; la somma di due soluzioni è una soluzione ( $0 + 0 = 0$ in ogni equazione); un multiplo di una soluzione è una soluzione ( $λ \cdot 0 = 0$ ).

Perché, con termini noti non tutti zero, le soluzioni non formano un sottospazio?

Perché non contengono lo zero: mettendo tutte le incognite a zero in un'equazione con termine noto diverso da zero viene un'uguaglianza falsa. Inoltre la somma di due soluzioni risolve il sistema con termini noti doppi, non quello di partenza.

Come si ottengono tutte le soluzioni a partire da una sola?

Si aggiungono alla soluzione particolare tutte le soluzioni del sistema omogeneo, gli spostamenti permessi: $S = x + S_{0}$ (Proposizione 12.3). Qualsiasi soluzione può fare da soluzione particolare.

Che cos'è un sottospazio affine e qual è la sua dimensione?

Un sottospazio spostato: $x + W$ , con $x$ un punto fissato e $W$ un sottospazio. La sua dimensione è quella di $W$ . Punti, rette e piani qualsiasi sono sottospazi affini di dimensione 0, 1 e 2.

Come si legge un sistema per colonne, e che cosa se ne ricava?

Come una ricetta: $x_{1} A^{1} + \dots + x_{n} A^{n} = b$ . Il sistema ha soluzioni esattamente quando $b$ si ottiene con una ricetta dalle colonne di $A$ , cioè sta nel loro Span.

Come si calcola il rango con Gauss, e perché funziona?

Si riduce la matrice a scalini e si contano i pivot. Funziona perché le mosse di Gauss non cambiano lo Span delle righe, quindi nemmeno il rango. E nella forma ridotta le colonne dei pivot sono vettori della base canonica che generano tutte le altre colonne.

Che cosa dice il teorema di Rouché–Capelli?

Il sistema ha soluzioni esattamente quando la matrice dei coefficienti e la matrice completa hanno lo stesso rango. In quel caso le soluzioni formano un sottospazio affine di dimensione «numero di incognite meno rango».

Perché un sistema reale non può avere esattamente due soluzioni?

Perché se ha più di una soluzione, per Rouché–Capelli c'è almeno un'incognita libera, che può prendere infiniti valori reali. Quindi le soluzioni sono zero, una o infinite (Corollario 12.7).

Che cosa si può dire di un sistema quadrato con determinante diverso da zero? E con determinante zero?

Con determinante diverso da zero: una sola soluzione per ogni colonna di termini noti, $x = A^{- 1} b$ (Corollario 12.8). Con determinante zero: zero oppure infinite soluzioni, a seconda dei termini noti; si decide confrontando i due ranghi.

Come si discute un sistema con un parametro

k

Se la matrice è quadrata si parte dal determinante: per i $k$ che non lo annullano la soluzione è una sola. Altrimenti si fa Gauss tenendo $k$ come lettera. I valori speciali, quelli che annullano il determinante o un pivot, si studiano a parte, sostituendoli e confrontando i due ranghi.

Come si trova una soluzione particolare e una base delle soluzioni dell'omogeneo dalla soluzione generale?

Si scrive la soluzione generale separando la parte di ogni lettera libera: $x_{0} + t_{1} v_{1} + \dots + t_{h} v_{h}$ . Con tutte le lettere a zero viene la soluzione particolare $x_{0}$ , e i vettori $v_{1}, \dots, v_{h}$ sono una base delle soluzioni dell'omogeneo.

§11

Glossario

termini

Sistema omogeneo: Sistema lineare con tutti i termini noti uguali a zero: la soluzione zero c'è sempre.
Sistema omogeneo associato: Lo stesso sistema con i termini noti messi a zero; matrice $(A ∣ 0)$ , o anche solo $A$ .
$S$ e $S_{0}$: Le soluzioni del sistema di partenza e quelle del suo omogeneo associato.
Soluzione particolare: Una soluzione qualsiasi, fissata, del sistema di partenza.
Sottospazio affine: Un sottospazio spostato: $x + W$ , con $W$ sottospazio vettoriale. Punti, rette e piani qualsiasi.
Giacitura: Il sottospazio $W$ di un sottospazio affine $x + W$ : la direzione senza la posizione. Per le soluzioni di un sistema è $S_{0}$ .
Dimensione di un sottospazio affine: La dimensione della sua giacitura.
Retta e piano affini: Sottospazi affini di dimensione 1 e 2.
Colonne $A^{1}, \dots, A^{n}$: Le colonne della matrice $A$ ; il sistema si legge come la ricetta $x_{1} A^{1} + \dots + x_{n} A^{n} = b$ .
Rango $rk (A)$: Quante colonne dicono davvero qualcosa di nuovo; si calcola contando i pivot di una forma a scalini.
Teorema di Rouché–Capelli: Il sistema ha soluzioni esattamente quando i due ranghi sono uguali; allora le incognite libere sono le incognite meno il rango.
Corollario 12.7: Con i numeri reali o complessi le soluzioni sono zero, una oppure infinite.
Sistema quadrato: Sistema con tante equazioni quante incognite: la matrice $A$ è quadrata.
Corollario 12.8: Se $A$ è quadrata con determinante diverso da zero, c'è una sola soluzione, $x = A^{- 1} b$ .
Parametro di un sistema: Una lettera, di solito $k$ , nei coefficienti o nei termini noti; si discute il sistema per ogni valore di $k$ .
Caso speciale: Un valore del parametro che annulla il determinante o un pivot: va studiato a parte.

Sistemi lineari II

La lezione in 8 punti

Gli indizi che finiscono con zero

Il nome

Le soluzioni dell'omogeneo formano un sottospazio

Il sistema di partenza invece no

Una soluzione più gli spostamenti permessi

Sottospazi affini

Il sistema letto per colonne

Il rango si conta con i pivot

Contare i pivot: il teorema di Rouché–Capelli

Zero, una o infinite

Sistemi quadrati

Quando c'è una lettera nel sistema

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: il sistema omogeneo base

2 · Riscaldamento: una soluzione più gli spostamenti base

3 · Riscaldamento: contare con i ranghi base

4 · Riscaldamento: indizi che si contraddicono base

5 · Esercizio 12.10 delle dispense: quante soluzioni? base

6 · Sottospazio o no? base

7 · Il rango con i pivot base

8 · Esercizio 12.11 delle dispense: tutte le soluzioni medio

9 · Soluzione particolare e sistema omogeneo medio

10 · Un sistema quadrato con l'inversa medio

11 · Come all'esame: appello del 05/02/2026, problema 11 tipo esame

12 · Come all'esame: appello del 03/07/2026, problema 11 tipo esame

13 · Come all'esame: quando ci sono infinite soluzioni tipo esame

14 · Un sistema con parametro (Foglio 2 del tutorato, esercizio 10) difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist