Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L13

Sistemi lineari III

Le domande della lezione L07 sui vettori (sono indipendenti? generano tutto? sono una base?) diventano sistemi: si mettono i vettori in colonna, si fa Gauss e si contano i pivot. Poi le coordinate, cioè le dosi della ricetta rispetto a una base, e un'applicazione: due numeri in più per trovare e correggere un errore in un messaggio.

Dispense: lezione 13 · pp. 62–67
Libro: Martelli, §2.3 e §3.2
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 8 punti

Ogni domanda sui vettori diventa un sistema: si mettono i vettori in colonna in una matrice, si fa Gauss e si contano i pivot.
I vettori sono indipendenti quando c'è un pivot in ogni colonna, cioè il rango è uguale al numero di vettori.
I vettori generano tutto lo spazio quando c'è un pivot in ogni riga, cioè il rango è uguale al numero di coordinate.
Con tanti vettori quante coordinate la matrice è quadrata: sono una base esattamente quando il determinante non è zero.
Rispetto a una base ogni vettore ha una sola ricetta. Le dosi di questa ricetta sono le sue coordinate.
Le coordinate si trovano risolvendo un sistema, con Gauss oppure con l'inversa.
Collegamento con l'informatica: aggiungendo a un messaggio due numeri, scelti con un sistema, si può scoprire e correggere un errore di trasmissione.
All'esame: «generatori e/o linearmente indipendenti?», «il vettore delle coordinate è…», «il rango della matrice è…».

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

C'è un doppione? Un sistema lo dice

pp. 62–63

Nella lezione L07 hai visto che due vettori del piano sono dipendenti quando uno è multiplo dell'altro. Per esempio $(1, 2)$ e $(2, 4)$ : il secondo è il doppio del primo, un doppione. Con tre vettori nello spazio però l'occhio non basta più: può darsi che nessuno sia multiplo di un altro, e che uno sia comunque una ricetta con gli altri due.

Questa lezione trasforma la domanda in un sistema, che sai risolvere sempre (lezioni L11 e L12). Le dispense ripartono dalla definizione della lezione L07.

Definizione · Dipendenza e indipendenza lineare (p. 62)

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e siano $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ . Questi vettori sono linearmente dipendenti se esistono dei coefficienti $λ_{1}, \dots, λ_{k} \in K$ , non tutti nulli, tali che

λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} = 0. (13.1)

Invece $v_{1}, \dots, v_{k}$ sono linearmente indipendenti se l'unica soluzione di (13.1) è $λ_{1} = \dots = λ_{k} = 0$ .

Come si legge. È la definizione della lezione L07. Dipendenti: c'è una ricetta con dosi non tutte zero che dà il vettore zero. Indipendenti: l'unica ricetta che dà zero è quella con tutte le dosi zero.

L'idea: la ricetta è un sistema

Guarda l'equazione (13.1) con occhi nuovi. I vettori sono dati; le incognite sono le dosi $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ . Un esempio nel piano, con i vettori $(1, 2)$ e $(3, 1)$ :

λ_{1} (12) + λ_{2} (31) = (00) .

Coordinata per coordinata sono due equazioni:

{λ_{1} + 3 λ_{2} = 0 2 λ_{1} + λ_{2} = 0

La matrice di questo sistema ha i vettori in colonna: $(1231)$ .

In generale, con $k$ vettori che hanno $m$ coordinate, l'equazione (13.1) è un sistema di $m$ equazioni nelle $k$ incognite $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ . È un sistema omogeneo, con zeri a destra, e la sua matrice ha i vettori in colonna:

A = (v_{1} ∣ v_{2} ∣ \dots ∣ v_{k}) .

La soluzione con tutte le dosi zero c'è sempre (lezione L12: un sistema omogeneo non è mai impossibile).
I vettori sono indipendenti esattamente quando questa è l'unica soluzione.
Per Rouché–Capelli le dosi libere sono $k - rk (A)$ : c'è solo la soluzione zero quando non ci sono dosi libere, cioè quando il rango è $k$ .

Metodo · Indipendenti o no?

Scrivi la matrice $A = (v_{1} ∣ \dots ∣ v_{k})$ con i vettori in colonna.
Calcola il rango con Gauss (lezione L12). I vettori sono indipendenti esattamente quando il rango è $k$ , cioè c'è un pivot in ogni colonna.
Se i vettori sono tanti quante le coordinate, la matrice è quadrata e basta il determinante: indipendenti esattamente quando non è zero (Corollario 12.8: una sola soluzione, quella zero).
Se sono dipendenti, risolvi il sistema: ogni soluzione con dosi non tutte zero è una ricetta che dà zero, e mostra il doppione.

Esempio 13.1 · Tre vettori dipendenti di $R^{3}$

Prendiamo

v_{1} = 110, v_{2} = 011, v_{3} = 10 - 1 .

Dobbiamo studiare le soluzioni di $λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + λ_{3} v_{3} = 0$ , cioè del sistema lineare omogeneo

⎩ ⎨ ⎧ λ_{1} + λ_{3} = 0 λ_{1} + λ_{2} = 0 λ_{2} - λ_{3} = 0 A = 110011 10 - 1 = (v_{1} ∣ v_{2} ∣ v_{3}) .

Con il determinante. Il sistema ha un'unica soluzione se $det A \neq = 0$ . Sviluppando lungo la prima riga (il termine centrale ha il coefficiente $0$ ):

det A = 1 \cdot det (11 0 - 1) + 1 \cdot det (1011) = - 1 + 1 = 0.

Quindi esistono infinite soluzioni e i vettori sono linearmente dipendenti.

Con le mosse di Gauss.

A A_{2} \to A_{2} - A_{1} 100011 1 - 1 - 1 A_{3} \to A_{3} - A_{2} 100010 1 - 1 0

$A$ ha rango $2 < 3$ : di nuovo infinite soluzioni $(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3})$ , e i vettori sono dipendenti.

Con lo Span. Se $A$ ha rango 2, $Span (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ ha dimensione 2; tre vettori indipendenti genererebbero uno spazio di dimensione 3. Quindi sono dipendenti.

Qui le dispense chiamano le righe della matrice $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ , con il numero in basso come nella lezione L08, invece di $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ . La mossa $A_{2} \to A_{2} - A_{1}$ è la solita mossa del terzo tipo.

Le dispense si fermano a «sono dipendenti». Vale la pena trovare il doppione. Dalla forma a scalini: $λ_{3} = t$ è libera, la seconda riga dà $λ_{2} = t$ e la prima $λ_{1} = - t$ . Con $t = 1$ :

- v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0, cio \overset{e}{ˋ} v_{3} = v_{1} - v_{2} .

Controllo: $- (1, 1, 0) + (0, 1, 1) + (1, 0, - 1) = (0, 0, 0)$ . Nessuno dei tre vettori è multiplo di un altro, eppure il terzo si ottiene dai primi due. È il caso che la lezione L07 segnalava: guardare i vettori a coppie non basta.

Premi «Calcola»: due pivot, rango 2, quindi i tre vettori sono dipendenti. Scegli poi «nucleo e immagine»: il nucleo è generato da $(- 1, 1, 1)$ , proprio le dosi della ricetta $- v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0$ . Prova a cambiare l'ultimo numero da $- 1$ a $1$ : il rango diventa 3 e i vettori diventano indipendenti.

Trappola · Troppi vettori sono sempre dipendenti

Una matrice con $m$ righe ha rango al massimo $m$ . Quindi più di $m$ vettori con $m$ coordinate sono sempre dipendenti: 4 vettori dello spazio a tre coordinate non possono essere indipendenti, qualunque siano. Nel quiz non serve nessun conto per escludere l'indipendenza; resta da capire se generano.

Trappola · Colonne, non righe

Per l'indipendenza potresti mettere i vettori anche in riga, perché la trasposta ha lo stesso rango (Proposizione 8.6). Ma per i generatori e per le coordinate, dove si risolve un sistema con dei termini noti, i vettori vanno in colonna: le dosi moltiplicano le colonne. Abituati a metterli sempre in colonna.

Prova tu

I vettori

(1, 2)

(3, 1)

sono indipendenti? Usa il determinante.

In colonna: $det (1231) = 1 - 6 = - 5$ , non zero. Sono indipendenti.

Da ricordare

Vettori in colonna, Gauss, pivot: indipendenti esattamente quando c'è un pivot in ogni colonna.
Con la matrice quadrata basta il determinante: indipendenti esattamente quando non è zero.

§2

Si cucina tutto? Lo Span

pp. 63–64

Ora l'altra domanda: con questi vettori si cucina tutto lo spazio? Le dispense ricordano che vuol dire $Span (v_{1}, \dots, v_{k}) = V$ : ogni vettore $v$ dello spazio è una ricetta con $v_{1}, \dots, v_{k}$ . Cioè, per ogni $v$ ci sono delle dosi con

λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} = v . (13.2)

Anche (13.2) è un sistema nelle dosi, con la stessa matrice $A = (v_{1} ∣ \dots ∣ v_{k})$ , ma ora con i termini noti dati da $v$ . Quindi:

$v$ sta nello Span esattamente quando il sistema $(A ∣ v)$ ha soluzione. Per Rouché–Capelli: quando $(A ∣ v)$ e $A$ hanno lo stesso rango.
I vettori generano tutto lo spazio a $m$ coordinate esattamente quando il sistema ha soluzione per ogni $v$ . Questo succede quando il rango di $A$ è $m$ : un pivot in ogni riga.

Il perché dell'ultima frase. Se il rango di $A$ è $m$ , anche $(A ∣ v)$ ha rango $m$ : ha solo $m$ righe, quindi non può avere più di $m$ pivot. I ranghi sono uguali per ogni $v$ . Se invece il rango di $A$ è più piccolo di $m$ , lo Span ha dimensione più piccola di $m$ e non può essere tutto lo spazio.

Esempio 13.2 · Tre vettori che generano $R^{3}$

Prendiamo

w_{1} = 110, w_{2} = 011, w_{3} = 11 - 1 .

Prendiamo un qualsiasi vettore $v = (a, b, c)$ : dobbiamo studiare le soluzioni di $λ_{1} w_{1} + λ_{2} w_{2} + λ_{3} w_{3} = v$ , cioè del sistema

⎩ ⎨ ⎧ λ_{1} + λ_{3} = a λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = b λ_{2} - λ_{3} = c A = 110011 11 - 1 = (w_{1} ∣ w_{2} ∣ w_{3}) .

Con il determinante, lungo la prima riga:

det A = 1 \cdot det (11 1 - 1) + 1 \cdot det (1011) = - 2 + 1 = - 1 \neq = 0.

$A$ è invertibile (quindi ha rango 3) e il sistema ha sempre una soluzione, per qualsiasi $v$ . Allora $Span (w_{1}, w_{2}, w_{3}) = R^{3}$ .

Con le mosse di Gauss.

A A_{2} \to A_{2} - A_{1} 100011 10 - 1 A_{3} \to A_{3} - A_{2} 100010 10 - 1

$A$ ha rango 3, quindi $Span (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ ha dimensione 3 ed è tutto $R^{3}$ : ogni altro sottospazio di $R^{3}$ ha dimensione strettamente minore di 3.

Si può anche scrivere la ricetta per ogni vettore. Risolvendo il sistema con $v = (a, b, c)$ generico, oppure con l'inversa che trovi nell'Esempio 13.6:

λ_{1} = 2 a - b + c, λ_{2} = - a + b, λ_{3} = - a + b - c .

Per esempio $(1, 0, 0) = 2 w_{1} - w_{2} - w_{3}$ . Controllo: $2 (1, 1, 0) - (0, 1, 1) - (1, 1, - 1) = (2 - 0 - 1, 2 - 1 - 1, 0 - 1 + 1) = (1, 0, 0)$ .

Prova tu

I vettori

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

generano tutto lo spazio a tre coordinate?

No: sono solo due, e il rango di una matrice con due colonne è al massimo 2, non 3. Generano il piano orizzontale, dove la terza coordinata è zero.

Quando i vettori non generano tutto: l'equazione dello Span

I vettori $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ dell'Esempio 13.1 hanno rango 2: non generano tutto lo spazio. Ma che cosa generano? Si scopre facendo Gauss con un vettore generico $v = (a, b, c)$ come termine noto:

110011 10 - 1 a b c R_{2} \to R_{2} - R_{1} 100011 1 - 1 - 1 a b - a c

R_{3} \to R_{3} - R_{2} 100010 1 - 1 0 a b - a a - b + c

L'ultima riga dice $0 = a - b + c$ . Il sistema ha soluzione, cioè $v$ sta nello Span, esattamente quando $a - b + c = 0$ . Quindi

Span (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ x - y + z = 0},

un piano per l'origine. Controllo sui tre vettori:

$v_{1}$ dà $1 - 1 + 0 = 0$ ;
$v_{2}$ dà $0 - 1 + 1 = 0$ ;
$v_{3}$ dà $1 - 0 - 1 = 0$ .

Invece $(1, 0, 0)$ dà 1, non 0: non è una ricetta con $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ .

Metodo · Un vettore sta nello Span? E che equazioni ha lo Span?

Scrivi $(v_{1} ∣ \dots ∣ v_{k} ∣ v)$ con $v = (a, b, c, \dots)$ generico.
Riduci a scalini: le lettere $a, b, c$ viaggiano nell'ultima colonna.
Ogni riga che a sinistra diventa tutta zero dà una condizione «espressione con $a, b, c$ = 0»: sono le equazioni dello Span.
Un vettore con i numeri sta nello Span esattamente quando rispetta tutte le equazioni.

Oltre le dispense · una base dello Span senza conti in più

Le mosse di Gauss sulle righe non cambiano le ricette tra le colonne: una ricetta $λ_{1} A^{1} + \dots + λ_{k} A^{k} = 0$ è una soluzione del sistema omogeneo, e le mosse non cambiano le soluzioni (Proposizione 11.4). Quindi i vettori $v_{j}$ le cui colonne hanno un pivot nella forma a scalini sono una base dello Span. Nell'Esempio 13.1 i pivot sono nelle colonne 1 e 2: $v_{1}, v_{2}$ sono una base del piano $x - y + z = 0$ . Attenzione: si prendono i vettori di partenza, non le colonne della matrice ridotta. È l'«algoritmo di estrazione» di Martelli (§2.3.6), fatto con Gauss.

Trappola · Troppo pochi vettori non generano mai

Lo Span di $k$ vettori ha dimensione al massimo $k$ . Quindi meno di $m$ vettori non possono generare tutto lo spazio a $m$ coordinate: due vettori dello spazio a tre coordinate generano al massimo un piano.

Da ricordare

I vettori generano tutto lo spazio esattamente quando c'è un pivot in ogni riga.
Gauss con un vettore generico come termine noto dà le equazioni dello Span.

§3

Basi

p. 64

Una base è una lista di vettori che passa tutti e due i controlli: niente doppioni, e si cucina tutto. Le dispense ricordano la definizione della lezione L07.

Definizione · Base (p. 64)

Una sequenza $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ di vettori è una base se sono soddisfatte entrambe queste condizioni:

i vettori $v_{1}, \dots, v_{n}$ sono indipendenti;
i vettori $v_{1}, \dots, v_{n}$ generano $V$ .

Se sappiamo già che $V$ ha dimensione $n$ , basta controllare una delle due proprietà: l'altra segue automaticamente (Teorema 7.12).

Come si legge. Una base deve essere indipendente e deve generare. Ma se i vettori sono tanti quanta è la dimensione, basta un controllo solo (Teorema 7.12, lezione L07).

Esempio 13.3 · Una base sì, una no

$v_{1}, v_{2}, v_{3}$ dell'Esempio 13.1 non formano una base di $R^{3}$ , perché non sono linearmente indipendenti. Invece $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ dell'Esempio 13.2 formano una base di $R^{3}$ : sono generatori e sono tre vettori, e $R^{3}$ ha dimensione 3. Devono allora per forza essere linearmente indipendenti (Teorema 7.12), un fatto che si verifica anche in modo diretto: il sistema omogeneo con $det A = - 1 \neq = 0$ ha solo la soluzione nulla.

Con il rango le tre domande hanno una risposta sola. La matrice $A = (v_{1} ∣ \dots ∣ v_{k})$ ha $k$ colonne e $m$ righe; chiamo $r$ il suo rango.

Domanda	Risposta	Serve che
indipendenti?	sì esattamente quando $r = k$	$k \leq m$
generano tutto?	sì esattamente quando $r = m$	$k \geq m$
base?	sì esattamente quando $r = k = m$	$k = m$ , cioè determinante diverso da zero

E senza nessun conto, solo contando:

Quanti vettori, con $m$ coordinate	Indipendenti?	Generano tutto?
meno di $m$	possibile	mai
esattamente $m$	quando il determinante non è zero	quando il determinante non è zero
più di $m$	mai	possibile

Esempio · Quattro polinomi di $R_{2} [x]$

I polinomi $1 + x$ , $x + x^{2}$ , $1 + x^{2}$ , $1$ di $R_{2} [x]$ (lo spazio dei polinomi di grado al massimo 2, di dimensione 3) sono generatori e/o indipendenti? Un polinomio $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ si scrive con i suoi tre coefficienti $(a_{0}, a_{1}, a_{2})$ : sono le sue coordinate rispetto alla base $1, x, x^{2}$ , come nella prossima sezione. La matrice con i polinomi in colonna è

A = 110011101100 .

Le prime tre colonne hanno determinante $1 \cdot (1 - 0) - 0 + 1 \cdot (1 - 0) = 2$ , non zero: sono già una base. Quindi il rango è 3 e i quattro polinomi generano. Ma sono 4 in uno spazio di dimensione 3: non sono indipendenti. Infatti $1 = \frac{1}{2} ((1 + x) - (x + x^{2}) + (1 + x^{2}))$ .

Prova tu

Tre vettori con tre coordinate, messi in colonna, danno determinante 7. Sono una base?

Sì: il determinante non è zero, quindi sono indipendenti, e per il Teorema 7.12 generano anche tutto.

Da ricordare

Base: pivot in ogni riga e in ogni colonna; con la matrice quadrata, determinante diverso da zero.
Più vettori delle coordinate: mai indipendenti. Meno: mai generatori.

§4

Le dosi della ricetta: le coordinate

pp. 64–65

Una base serve a dare un indirizzo a ogni vettore. Nel piano prendi la base $v_{1} = (1, 1)$ , $v_{2} = (- 1, 1)$ e il vettore $w = (2, 0)$ . Si può scrivere

w = 1 \cdot v_{1} + (- 1) \cdot v_{2}, infatti (1, 1) - (- 1, 1) = (2, 0) .

Per arrivare a $w$ fai un passo lungo $v_{1}$ e un passo all'indietro lungo $v_{2}$ . Le dosi della ricetta sono 1 e $- 1$ : nella base $v_{1}, v_{2}$ il vettore $w$ ha «indirizzo» $(1, - 1)$ . Sono le sue coordinate (esempio dal libro di Martelli, Esempio 2.3.12).

−1121xy

v_{1}

v_{2}

w

- v_{2}

w = (2, 0)

si raggiunge con un passo lungo

v_{1}

e un passo all'indietro lungo

v_{2}

: coordinate

(1, - 1)

Perché l'indirizzo abbia senso deve essere uno solo. Ed è qui che servono le due proprietà della base. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 13.4

Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $v_{1}, \dots, v_{n}$ una base di $V$ . Ogni vettore $v \in V$ si scrive in modo unico come

v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n} .

Come si legge. Con gli ingredienti di una base, ogni vettore ha una e una sola ricetta.

Il perché, in tre passi.

Una ricetta c'è. I vettori della base generano tutto, quindi $v$ è una loro ricetta.
Supponiamo che ce ne siano due: $v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n} = μ_{1} v_{1} + \dots + μ_{n} v_{n}$ . Sottraendo:
$(λ_{1} - μ_{1}) v_{1} + \dots + (λ_{n} - μ_{n}) v_{n} = 0.$
I vettori sono indipendenti, quindi tutte le dosi di questa ricetta sono zero: $λ_{i} - μ_{i} = 0$ , cioè $μ_{i} = λ_{i}$ per ogni $i$ . Le due ricette erano la stessa.

Le dosi di questa ricetta hanno un nome.

Definizione 13.5 · Coordinate

I coefficienti $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $v_{1}, \dots, v_{n}$ . Il vettore colonna di coordinate è il vettore

λ_{1} ⋮ λ_{n} .

Come si legge.

Le coordinate sono le dosi dell'unica ricetta che dà $v$ con gli ingredienti della base.
Dipendono dalla base: lo stesso vettore ha coordinate diverse in basi diverse.
Dipendono anche dall'ordine dei vettori della base: $λ_{1}$ è la dose del primo vettore, $λ_{2}$ del secondo, e così via.
Le coordinate sono numeri: il vettore delle coordinate è una lista di numeri anche quando $V$ è fatto di polinomi o di matrici.
Nella base canonica le coordinate sono i numeri del vettore stesso; nella base $1, x, \dots, x^{n}$ dei polinomi sono i coefficienti, dal termine noto in su.

Esempio 13.6 · Lo stesso vettore in due basi

Sia $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ la base canonica di $R^{3}$ e sia $v = (3, 4, 5)$ . Le coordinate rispetto alla base canonica sono proprio le componenti di $v$ , visto che

3 e_{1} + 4 e_{2} + 5 e_{3} = 3100 + 4010 + 5001 = 345 .

Allora il vettore di coordinate di $v$ è proprio $v$ . Questo non è più vero con un'altra base. Sia per esempio $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ la base dell'Esempio 13.2. Per trovare le coordinate di $v$ in questa base dobbiamo risolvere il sistema

λ_{1} 110 + λ_{2} 011 + λ_{3} 11 - 1 = 345 .

Nell'Esempio 13.2 abbiamo visto che la soluzione è sempre unica, perché $det A = - 1$ . Il vettore di coordinate di $v$ in questa base è

A^{- 1} 345 = 2 - 1 - 1 - 1 11 10 - 1 345 = 71 - 4 .

In alternativa si può risolvere il sistema con l'algoritmo di Gauss–Jordan.

I conti che le dispense lasciano a te.

Il prodotto: prima riga $2 \cdot 3 - 1 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 7$ ; seconda $- 3 + 4 + 0 = 1$ ; terza $- 3 + 4 - 5 = - 4$ .
L'inversa è giusta? $A$ per l'inversa deve dare l'identità. Prima riga di $A$ , $(1, 0, 1)$ , per le colonne dell'inversa: $2 - 1 = 1$ , poi $- 1 + 1 = 0$ , poi $1 - 1 = 0$ . Le altre righe si controllano allo stesso modo.
Controllo del risultato: $7 w_{1} + w_{2} - 4 w_{3} = (7, 7, 0) + (0, 1, 1) - (4, 4, - 4) = (3, 4, 5)$ .
Con Gauss, senza inversa:
$110011 11 - 1 345 R_{2} \to R_{2} - R_{1} 100011 10 - 1 315$

$R_{3} \to R_{3} - R_{2} 100010 10 - 1 314$
Poi $R_{3} \to - R_{3}$ dà $(0, 0, 1 ∣ - 4)$ e $R_{1} \to R_{1} - R_{3}$ dà $(1, 0, 0 ∣ 7)$ : l'ultima colonna della forma ridotta è $(7, 1, - 4)$ .

Lo strumento risolve il sistema $(w_{1} ∣ w_{2} ∣ w_{3} ∣ v)$ e trova $x_{1} = 7$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = - 4$ : sono le coordinate. Cambia l'ultima colonna con un altro vettore, per esempio 1 0 0 al posto di 3 4 5: trovi $(2, - 1, - 1)$ , la prima colonna dell'inversa.

Metodo · Le coordinate di un vettore rispetto a una base

Con vettori di numeri: scrivi $(v_{1} ∣ \dots ∣ v_{n} ∣ v)$ e fai Gauss fino in fondo; l'ultima colonna della forma ridotta è il vettore delle coordinate. Con due vettori, o se hai già l'inversa, usa $A^{- 1} v$ .
Con i polinomi: scrivi $λ_{1} p_{1} + \dots + λ_{n} p_{n} = p$ , raccogli le potenze di $x$ e uguaglia i numeri davanti a $1, x, x^{2}, \dots$ a sinistra e a destra. Ne esce un sistema nelle dosi.
Controlla sempre: rifai la ricetta $λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n}$ e verifica che dia $v$ .

Esempio · Coordinate di un polinomio

Le coordinate di $p = 2 + 3 x + 4 x^{2}$ rispetto alla base $1, 1 + x, 1 + x + x^{2}$ di $R_{2} [x]$ . Scrivo

λ_{1} \cdot 1 + λ_{2} (1 + x) + λ_{3} (1 + x + x^{2}) = (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}) + (λ_{2} + λ_{3}) x + λ_{3} x^{2}

e uguaglio i numeri con quelli di $p$ :

davanti a $x^{2}$ : $λ_{3} = 4$ ;
davanti a $x$ : $λ_{2} + λ_{3} = 3$ , quindi $λ_{2} = - 1$ ;
termine noto: $λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = 2$ , quindi $λ_{1} = - 1$ .

Le coordinate sono $(- 1, - 1, 4)$ . Controllo: $- 1 - (1 + x) + 4 (1 + x + x^{2}) = 2 + 3 x + 4 x^{2}$ .

Trappola · Le coordinate sono numeri, in ordine

Nel quiz dell'appello dell'08/02/2024 (domanda 3), tra le risposte c'erano scritture come $(2 p_{1}, - p_{2}, p_{3})$ e $(x^{2}, 2 x, 1)$ . Sono sbagliate per come sono fatte: le coordinate sono le dosi, cioè numeri, non i pezzi della ricetta né le potenze di $x$ . E l'ordine conta: rispetto alla base ordinata $x^{2}, x, 1$ il polinomio $2 + 3 x - x^{2}$ ha coordinate $(- 1, 3, 2)$ , non $(2, 3, - 1)$ .

Oltre le dispense · la mappa delle coordinate

Fissata una base $B$ di $V$ , la funzione che manda $v$ nel suo vettore di coordinate, scritto spesso $[v]_{B}$ , rispetta le somme e i multipli: le coordinate di $v + w$ sono la somma delle coordinate, quelle di $λ v$ sono $λ$ volte quelle di $v$ (esercizio 15). È il primo esempio di applicazione lineare tra spazi diversi (lezione L14): grazie a lei ogni spazio di dimensione $n$ si studia come $K^{n}$ (Martelli, Esempio 4.1.17).

Prova tu

Nella base

(1, 0), (1, 1)

del piano, quali sono le coordinate di

(3, 2)

Cerco $a (1, 0) + b (1, 1) = (a + b, b) = (3, 2)$ . Quindi $b = 2$ e $a = 1$ : le coordinate sono $(1, 2)$ . Controllo: $(1, 0) + 2 (1, 1) = (3, 2)$ .

Da ricordare

Con una base, ogni vettore ha una sola ricetta; le sue dosi, in ordine, sono le coordinate.
Le coordinate si trovano risolvendo un sistema; poi si controlla rifacendo la ricetta.

§5

Informatica: codici che correggono gli errori

pp. 66–67

Quando un messaggio viaggia, su un cavo, via radio o su un disco che si rovina, qualche numero può arrivare sbagliato. L'algebra lineare permette di aggiungere informazione ridondante: numeri in più, calcolati dal messaggio, che servono a riconoscere e in alcuni casi a correggere gli errori. Le dispense mostrano un modello ridotto all'osso, che qui segui passo per passo.

Codificare: due numeri di controllo

Vogliamo trasmettere i quattro numeri $2, - 7, 8, - 2$ . Aggiungiamo due numeri $a$ e $b$ , e leggiamo i sei numeri come coefficienti di un polinomio di grado 5:

s (x) = 2 x^{5} - 7 x^{4} + 8 x^{3} - 2 x^{2} + a x + b .

Scegliamo $a$ e $b$ in modo che il polinomio faccia zero in 1 e in 2: sono le due condizioni di controllo, $s (1) = 0$ e $s (2) = 0$ .

$s (1) = 2 - 7 + 8 - 2 + a + b = 1 + a + b$ ;
$s (2) = 2 \cdot 32 - 7 \cdot 16 + 8 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2 a + b = 64 - 112 + 64 - 8 + 2 a + b = 8 + 2 a + b$ .

Le condizioni danno un sistema nelle incognite $a$ e $b$ :

{a + b = - 1 2 a + b = - 8

Togliendo la prima equazione dalla seconda: $a = - 7$ ; poi $b = - 1 - a = 6$ . Trasmettiamo quindi i sei numeri

(2, - 7, 8, - 2, - 7, 6) .

Controllo: $s (1) = 2 - 7 + 8 - 2 - 7 + 6 = 0$ e $s (2) = 64 - 112 + 64 - 8 - 14 + 6 = 0$ .

Nota · Parentesi graffe e ordine

Le dispense scrivono i messaggi tra graffe, ${2, - 7, 8, - 2}$ . Qui però l'ordine conta (il primo numero è il coefficiente di $x^{5}$ , il secondo di $x^{4}$ , …) e i numeri possono ripetersi, come i due $- 7$ : come ricordava la lezione L01, in un insieme ordine e ripetizioni non contano. Per questo in questi appunti i messaggi sono scritti tra parentesi tonde, come sequenze.

Scoprire un errore

Chi riceve ricostruisce il polinomio e controlla che faccia zero in 1 e in 2. Se una delle due prove fallisce, sa che c'è stato un errore. Supponiamo di ricevere

(2, - 7, 8, 4, - 7, 6),

con il quarto numero cambiato: 4 invece di $- 2$ . Il polinomio ricevuto $r (x) = 2 x^{5} - 7 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 6$ dà $r (1) = 6$ , non zero: errore scoperto.

Correggerlo

Supponiamo di sapere che è sbagliato un solo numero, ma non quale. Si prova una posizione alla volta: al suo posto si mette un'incognita $k$ e si chiede di nuovo che il polinomio faccia zero in 1 e in 2. Ogni volta si ottiene un sistema di due equazioni in un'incognita. Con $k$ al quarto posto:

s (x) = 2 x^{5} - 7 x^{4} + 8 x^{3} + k x^{2} - 7 x + 6, {s (1) = k + 2 = 0 s (2) = 4 k + 8 = 0

Tutte e due le equazioni danno $k = - 2$ . Nelle altre posizioni le due equazioni danno valori diversi: il sistema è impossibile.

Posizione di $k$	$s (1) = 0$	$s (2) = 0$	Esito
1ª (coefficiente di $x^{5}$ )	$k + 4 = 0$	$32 k - 40 = 0$	$k = - 4$ e $k = \frac{5}{4}$ : impossibile
2ª ( $x^{4}$ )	$k + 13 = 0$	$16 k + 136 = 0$	$k = - 13$ e $k = - \frac{17}{2}$ : impossibile
3ª ( $x^{3}$ )	$k - 2 = 0$	$8 k - 40 = 0$	$k = 2$ e $k = 5$ : impossibile
4ª ( $x^{2}$ )	$k + 2 = 0$	$4 k + 8 = 0$	$k = - 2$ : va bene
5ª ( $x$ )	$k + 13 = 0$	$2 k + 38 = 0$	$k = - 13$ e $k = - 19$ : impossibile
6ª (termine noto)	$k = 0$	$k + 18 = 0$	$k = 0$ e $k = - 18$ : impossibile

Così si trova la posizione dell'errore e il valore giusto: il quarto numero era $- 2$ .

L'idea · perché funziona, in una riga

Se il numero sbagliato è il coefficiente di $x^{j}$ ed è sbagliato di $d$ , il polinomio ricevuto è $r (x) = s (x) + d x^{j}$ , quindi $r (1) = d$ e $r (2) = d \cdot 2^{j}$ . Qui $r (1) = 6$ e $r (2) = 24$ : allora $d = 6$ e $2^{j} = \frac{24}{6} = 4$ , cioè $j = 2$ . Il rapporto $\frac{r ( 2 )}{r ( 1 )}$ dice dove è l'errore, $r (1)$ dice di quanto: il coefficiente di $x^{2}$ ricevuto, 4, va corretto in $4 - 6 = - 2$ .

Aggiungendo più numeri di controllo si correggono più errori. Per esempio, con quattro numeri in più e le condizioni $s (1) = s (2) = s (3) = s (4) = 0$ si ottiene un sistema di quattro equazioni nei quattro numeri aggiunti. In questo modello, le quattro condizioni bastano per trovare e correggere fino a due numeri sbagliati.

I codici di Reed–Solomon, usati tra l'altro nei QR code e in molti sistemi di memoria e di trasmissione digitale, sfruttano idee molto vicine: i dati diventano polinomi, si aggiunge ridondanza e si usano equazioni per trovare e correggere gli errori. I veri codici di Reed–Solomon lavorano con insiemi finiti di numeri, ma già questo esempio mostra il ruolo concreto di polinomi e sistemi.

Prova tu

Ricevi

(1, 0, 0, 0, 0, 0)

, cioè il polinomio

x^{5}

. Il messaggio è arrivato giusto?

No: $r (1) = 1$ , non zero. C'è un errore.

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

Nel libro di Martelli: indipendenza lineare, basi e coordinate sono nel §2.3 «Dimensione» (pp. 60–75): dipendenza e indipendenza nel §2.3.1 (p. 60), basi nel §2.3.2 (p. 62), coordinate nel §2.3.3 con la Proposizione 2.3.11 e gli Esempi 2.3.12–2.3.15 (pp. 64–65), algoritmo di estrazione nel §2.3.6 (p. 68). L'uso del rango e di Rouché–Capelli per rispondere a queste domande è nel §3.2 (pp. 85–93). Il codice correttore è un'aggiunta delle dispense 2026.

Da ricordare

Due numeri di controllo, scelti risolvendo un sistema, fanno fare zero al polinomio in 1 e in 2.
Per correggere un errore si prova una posizione alla volta: solo quella giusta dà un sistema possibile.

§6

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$(v_{1} ∣ \dots ∣ v_{k})$	«la matrice con i vettori in colonna»	i vettori messi uno accanto all'altro	$(1, 2), (3, 1)$ danno $(1231)$
$λ_{1}, \dots, λ_{k}$	«lambda uno, …»	le dosi della ricetta, le incognite
$A_{2} \to A_{2} - A_{1}$	«la riga 2 diventa la riga 2 meno la riga 1»	una mossa di Gauss (le dispense usano $A_{i}$ per le righe)
$(A ∣ v)$	«a barra v»	la matrice completa con $v$ come termine noto
$rk (A)$	«rango di a»	quanti pivot
$[v]_{B}$	«coordinate di v nella base B»	il vettore delle dosi	$[(2, 0)] = (1, - 1)$ nella base $(1, 1), (- 1, 1)$
$R_{2} [x]$	«erre due di ics»	i polinomi di grado al massimo 2	$1 + x$
$s (1)$	«esse di uno»	il polinomio calcolato in 1

§7

Verso l'esame

esame

La prova scritta di Algebra lineare e Geometria ha 10 quiz a 5 risposte e 2 problemi da 11 punti. I problemi si correggono solo con almeno 6 punti nel quiz. Dura 2 ore, senza calcolatrice e con solo 4 facciate di appunti scritti a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione serve all'esame

«Sono generatori e/o linearmente indipendenti?» È una domanda del quiz con cinque risposte fisse: indipendenti ma non generatori; né l'una né l'altra cosa; domanda mal posta; generatori ma non indipendenti; tutte e due le cose. È uscita negli appelli del 06/09/2024 (domanda 2, quattro vettori dello spazio) e del 16/01/2025 (domanda 2, quattro polinomi). Nell'appello del 07/09/2026 (domanda 2) si chiedeva quale insieme di matrici fosse una base.
«Il vettore delle coordinate di … nella base … è»: appelli dell'08/02/2024 (domanda 3, polinomi), del 16/01/2025 (domanda 8, nel piano) e del 05/02/2026 (domanda 6, dove serve anche la lezione L14).
«Determinare il rango della matrice»: appelli del 16/01/2025 (domanda 6), del 07/02/2025 (domanda 4) e del 05/02/2026 (domanda 4). Si risponde contando i pivot (lezione L12).
Nei problemi aperti le coordinate tornano nei cambi di base e nelle matrici associate, per esempio nell'appello del 07/09/2026 (problema 11): lezioni L15 e L16.

Una domanda vera, letta insieme

Appello dell'08/02/2024, domanda 3. Il testo: «I polinomi $p_{1} (x) = x^{2} + x + 1$ , $p_{2} (x) = x^{2} + x - 1$ , $p_{3} (x) = x - 2$ formano una base di $R_{2} [x]$ . Il vettore delle coordinate di $q (x) = (x + 1)^{2}$ in questa base è: (a) $(1, 2, 1)$ ; (b) $(2 p_{1}, - p_{2}, p_{3})$ ; (c) $(3, - 2, - 1)$ ; (d) $(2, - 1, 1)$ ; (e) $(x^{2}, 2 x, 1)$ ».

In pratica chiede: con quali dosi di $p_{1}$ , $p_{2}$ e $p_{3}$ si cucina il polinomio $q$ ?

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: scarto le risposte senza senso. Le coordinate sono numeri. La (b) e la (e) contengono polinomi: sono sbagliate per come sono fatte.

Passo 2: sviluppo $q$ . $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ .

Passo 3: scrivo la ricetta con dosi sconosciute $a$ , $b$ , $c$ e raccolgo le potenze di $x$ :

a (x^{2} + x + 1) + b (x^{2} + x - 1) + c (x - 2) = (a + b) x^{2} + (a + b + c) x + (a - b - 2 c) .

Passo 4: uguaglio i numeri con quelli di $x^{2} + 2 x + 1$ :

davanti a $x^{2}$ : $a + b = 1$ ;
davanti a $x$ : $a + b + c = 2$ , quindi $c = 2 - 1 = 1$ ;
termine noto: $a - b - 2 c = 1$ , quindi $a - b = 3$ .

Passo 5: risolvo. Sommando $a + b = 1$ e $a - b = 3$ : $2 a = 4$ , quindi $a = 2$ e $b = - 1$ .

Passo 6: controllo. $2 (x^{2} + x + 1) - (x^{2} + x - 1) + (x - 2) = x^{2} + 2 x + 1$ .

La risposta è la (d), $(2, - 1, 1)$ .

Perché la (a) è sbagliata. $(1, 2, 1)$ sono le coordinate di $q$ nella base canonica $x^{2}, x, 1$ , non nella base data.

Metodo · Il quiz «generatori e/o indipendenti?» in tre passi

Conta i vettori, $k$ , e la dimensione dello spazio, $m$ . Per i polinomi di grado al massimo $n$ la dimensione è $n + 1$ ; per le matrici $p \times q$ è $pq$ . Se $k$ è più di $m$ non sono indipendenti; se è meno di $m$ non generano: metà delle risposte cade subito.
Scrivi i vettori in colonna e calcola il rango $r$ . Per i polinomi si usano i coefficienti; per le matrici $2 \times 2$ i quattro numeri.
Indipendenti esattamente quando $r = k$ ; generano tutto esattamente quando $r = m$ . La risposta «la domanda è mal posta» non è mai quella giusta: la domanda ha senso con qualsiasi numero di vettori.

Trappola · Gli errori da evitare

Scambiare righe e colonne quando si impostano le coordinate: le dosi moltiplicano i vettori della base, che vanno in colonna.
Rispondere con i pezzi della ricetta $λ_{i} v_{i}$ invece che con le dosi $λ_{i}$ .
Dimenticare l'ordine della base, soprattutto con i polinomi: una base scritta $x^{2}, x, 1$ non è $1, x, x^{2}$ .
Nel quiz sulle coordinate, non ricontrollare: rifare la ricetta costa dieci secondi ed elimina ogni dubbio.

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione: «vettori in colonna, poi rango $r$ : indipendenti quando $r = k$ , generatori quando $r = m$ , base quando il determinante non è zero»; le due tabelle della sezione sulle basi; il metodo per le coordinate con i polinomi; l'inversa $2 \times 2$ per le coordinate nel piano.

§9

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: i vettori in colonna base

Scrivi la matrice che ha $(1, 2)$ e $(3, 4)$ in colonna, e scrivi il sistema che dice con quali dosi si ottiene $(5, 6)$ . Poi risolvilo.

Soluzione

La matrice è $(1234)$ .
La ricetta $λ_{1} (1, 2) + λ_{2} (3, 4) = (5, 6)$ dà il sistema $λ_{1} + 3 λ_{2} = 5$ , $2 λ_{1} + 4 λ_{2} = 6$ .
Tolgo dalla seconda il doppio della prima: $- 2 λ_{2} = - 4$ , quindi $λ_{2} = 2$ e $λ_{1} = 5 - 6 = - 1$ .

Controllo: $- (1, 2) + 2 (3, 4) = (5, 6)$ .

2 · Riscaldamento: contare senza conti base

Rispondi senza fare conti. (a) Quattro vettori con tre coordinate possono essere indipendenti? (b) Due vettori con tre coordinate possono generare tutto lo spazio? (c) Tre vettori con tre coordinate possono essere una base?

Soluzione

(a) No: sono più delle coordinate, e il rango è al massimo 3.
(b) No: sono meno delle coordinate, e generano al massimo un piano.
(c) Sì, se il determinante della matrice con i vettori in colonna non è zero.

3 · Riscaldamento: coordinate nella base canonica base

Scrivi le coordinate di $(3, - 1, 2)$ nella base canonica dello spazio, e quelle di $5 - x + 2 x^{2}$ nella base $1, x, x^{2}$ .

Soluzione

$(3, - 1, 2) = 3 e_{1} - e_{2} + 2 e_{3}$ : coordinate $(3, - 1, 2)$ , i numeri del vettore stesso.
$5 - x + 2 x^{2} = 5 \cdot 1 + (- 1) \cdot x + 2 \cdot x^{2}$ : coordinate $(5, - 1, 2)$ , i coefficienti dal termine noto in su.

4 · Riscaldamento: coordinate in una base del piano base

Nella base $(1, 0), (1, 1)$ del piano, trova le coordinate di $(5, 3)$ e di $(0, 2)$ .

Soluzione

Cerco $a (1, 0) + b (1, 1) = (a + b, b)$ .

Per $(5, 3)$ : $b = 3$ e $a = 5 - 3 = 2$ . Coordinate $(2, 3)$ . Controllo: $2 (1, 0) + 3 (1, 1) = (5, 3)$ .
Per $(0, 2)$ : $b = 2$ e $a = 0 - 2 = - 2$ . Coordinate $(- 2, 2)$ . Controllo: $- 2 (1, 0) + 2 (1, 1) = (0, 2)$ .

5 · Indipendenti o no? E con quale relazione? base

Stabilisci se $v_{1} = (1, 2, 1)$ , $v_{2} = (2, 1, 0)$ , $v_{3} = (- 1, 4, 3)$ sono linearmente indipendenti. Se non lo sono, scrivi una relazione di dipendenza.

Soluzione

Metto i vettori in colonna e riduco:

121210 - 1 43 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} - R_{1} 100 2 - 3 - 2 - 1 64 R_{3} \to R_{3} - \frac{2}{3} R_{2} 100 2 - 3 0 - 1 60

I conti: $(2, 1, 4) - 2 (1, 2, - 1) = (0, - 3, 6)$ ; $(1, 0, 3) - (1, 2, - 1) = (0, - 2, 4)$ ; $(0, - 2, 4) - \frac{2}{3} (0, - 3, 6) = (0, 0, 0)$ .

Rango 2, meno di 3: dipendenti. La ricetta che dà zero:

$λ_{3} = t$ è libera;
dalla seconda riga $- 3 λ_{2} + 6 t = 0$ , quindi $λ_{2} = 2 t$ ;
dalla prima $λ_{1} + 4 t - t = 0$ , quindi $λ_{1} = - 3 t$ .

Con $t = 1$ :

- 3 v_{1} + 2 v_{2} + v_{3} = 0, cio \overset{e}{ˋ} v_{3} = 3 v_{1} - 2 v_{2} .

Controllo: $3 (1, 2, 1) - 2 (2, 1, 0) = (3 - 4, 6 - 2, 3 - 0) = (- 1, 4, 3)$ .

6 · Codificare un messaggio base

Con il codice delle dispense, quali due numeri di controllo si aggiungono al messaggio $(0, 1, 0, - 4)$ ? Verifica il risultato.

Soluzione

Il polinomio è $s (x) = 0 \cdot x^{5} + x^{4} + 0 \cdot x^{3} - 4 x^{2} + a x + b = x^{4} - 4 x^{2} + a x + b$ .

$s (1) = 1 - 4 + a + b = - 3 + a + b$ ;
$s (2) = 16 - 16 + 2 a + b = 2 a + b$ .

Il sistema è $a + b = 3$ e $2 a + b = 0$ . Togliendo la prima dalla seconda: $a = - 3$ ; poi $b = 6$ . Si trasmette $(0, 1, 0, - 4, - 3, 6)$ .

Controllo: $s (x) = x^{4} - 4 x^{2} - 3 x + 6$ ; $s (1) = 1 - 4 - 3 + 6 = 0$ ; $s (2) = 16 - 16 - 6 + 6 = 0$ .

7 · L'equazione di uno Span medio

Sia $W = Span ((1, 0, 2), (0, 1, - 1)) \subset R^{3}$ . (a) Trova un'equazione di $W$ . (b) Il vettore $(1, 1, 1)$ sta in $W$ ? E $(1, 1, 2)$ ?

Soluzione

(a) Riduco $(v_{1} ∣ v_{2} ∣ v)$ con $v = (a, b, c)$ generico:

102 01 - 1 a b c R_{3} \to R_{3} - 2 R_{1} 100 01 - 1 a b c - 2 a R_{3} \to R_{3} + R_{2} 100010 a b c - 2 a + b

Il sistema ha soluzione esattamente quando $c - 2 a + b = 0$ . Quindi $W$ è il piano $2 x - y - z = 0$ . Controllo sui due vettori: $2 - 0 - 2 = 0$ e $0 - 1 + 1 = 0$ .

(b) $(1, 1, 1)$ dà $2 - 1 - 1 = 0$ : sta in $W$ , e infatti $(1, 1, 1) = (1, 0, 2) + (0, 1, - 1)$ . $(1, 1, 2)$ dà $2 - 1 - 2 = - 1$ : non sta in $W$ .

8 · Base e coordinate in $R^{3}$ (Foglio 2 del tutorato, esercizio 6) medio

Verifica che $v_{1} = (1, 0, 1)$ , $v_{2} = (0, 1, 2)$ , $v_{3} = (2, 1, 0)$ sono una base di $R^{3}$ e calcola il vettore delle coordinate di $v = (0, 9, - 2)$ rispetto a questa base.

Soluzione

Base. Tre vettori con tre coordinate: basta il determinante della matrice con i vettori in colonna. Lungo la prima riga:

det 101012210 = 1 \cdot (0 - 2) - 0 + 2 \cdot (0 - 1) = - 2 - 2 = - 4.

Non è zero: sono una base.

Coordinate. Gauss su $(v_{1} ∣ v_{2} ∣ v_{3} ∣ v)$ :

101012210 09 - 2 R_{3} \to R_{3} - R_{1} 100012 21 - 2 09 - 2 R_{3} \to R_{3} - 2 R_{2} 100010 21 - 4 09 - 20

Dal basso: $λ_{3} = 5$ ; $λ_{2} = 9 - 5 = 4$ ; $λ_{1} = 0 - 2 \cdot 5 = - 10$ . Coordinate $(- 10, 4, 5)$ .

Controllo: $- 10 (1, 0, 1) + 4 (0, 1, 2) + 5 (2, 1, 0) = (- 10 + 10, 4 + 5, - 10 + 8) = (0, 9, - 2)$ .

9 · Coordinate di un polinomio (Foglio 2 del tutorato, esercizio 7) medio

Data la base $p_{1} = x - 1$ , $p_{2} = x + 1$ , $p_{3} = x^{2} + x$ di $R_{2} [x]$ , calcola il vettore delle coordinate di $p = 3 x^{2} + 5 x - 1$ .

Soluzione

a p_{1} + b p_{2} + c p_{3} = a (x - 1) + b (x + 1) + c (x^{2} + x) = c x^{2} + (a + b + c) x + (- a + b) .

Uguaglio i numeri con quelli di $3 x^{2} + 5 x - 1$ :

davanti a $x^{2}$ : $c = 3$ ;
davanti a $x$ : $a + b + c = 5$ , quindi $a + b = 2$ ;
termine noto: $- a + b = - 1$ .

Sommando le ultime due: $2 b = 1$ , cioè $b = \frac{1}{2}$ , e $a = \frac{3}{2}$ . Coordinate $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 3)$ .

Controllo: $\frac{3}{2} (x - 1) + \frac{1}{2} (x + 1) + 3 (x^{2} + x) = 3 x^{2} + (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 3) x + (- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = 3 x^{2} + 5 x - 1$ . Le coordinate possono essere frazioni anche quando tutti i dati sono interi.

10 · Tre vettori di $R^{4}$ medio

Stabilisci se $u_{1} = (1, 1, 2, 3)$ , $u_{2} = (0, 1, - 1, 0)$ , $u_{3} = (3, 1, 8, 9)$ sono linearmente indipendenti in $R^{4}$ e se generano $R^{4}$ (Foglio 2 del tutorato, esercizio 3.3).

Soluzione

Generano? No, senza conti: sono 3 vettori e lo spazio ha 4 coordinate.

Indipendenti? In colonna, poi $R_{2} - R_{1}$ , $R_{3} - 2 R_{1}$ , $R_{4} - 3 R_{1}$ :

1123 01 - 1 0 3189 ⟶ 1000 01 - 1 0 3 - 2 20 R_{3} \to R_{3} + R_{2} 10000100 3 - 2 00

Rango 2, meno di 3: dipendenti. Dalla forma ridotta: $λ_{3} = t$ , $λ_{2} = 2 t$ , $λ_{1} = - 3 t$ . Cioè $- 3 u_{1} + 2 u_{2} + u_{3} = 0$ , e quindi $u_{3} = 3 u_{1} - 2 u_{2}$ . Controllo: $3 (1, 1, 2, 3) - 2 (0, 1, - 1, 0) = (3, 1, 8, 9)$ .

11 · Esercizio 13.7 delle dispense: trovare e correggere l'errore medio

Riceviamo la sequenza di sei numeri $(1, - 2, 3, 0, - 1, 2)$ . I primi quattro contengono l'informazione, gli ultimi due sono i numeri di controllo del codice visto sopra. I sei numeri sono i coefficienti di $s (x) = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ e, se la trasmissione è corretta, $s (1) = s (2) = 0$ . Sappiamo che esattamente uno dei sei numeri è stato modificato. Quale? Qual è il suo valore corretto?

Soluzione

Controllo. Il polinomio ricevuto è $r (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 3 x^{3} - x + 2$ : il coefficiente di $x^{2}$ è 0. Allora

r (1) = 1 - 2 + 3 + 0 - 1 + 2 = 3, r (2) = 32 - 32 + 24 + 0 - 2 + 2 = 24.

$r (1)$ non è zero: c'è un errore.

Posizione per posizione. Metto un'incognita $k$ al posto di ogni numero, a turno, e chiedo di nuovo che il polinomio faccia zero in 1 e in 2:

Posizione di $k$	$s (1) = 0$	$s (2) = 0$	Esito
1ª ( $x^{5}$ )	$k + 2 = 0$	$32 k - 8 = 0$	$k = - 2$ e $k = \frac{1}{4}$ : impossibile
2ª ( $x^{4}$ )	$k + 5 = 0$	$16 k + 56 = 0$	$k = - 5$ e $k = - \frac{7}{2}$ : impossibile
3ª ( $x^{3}$ )	$k = 0$	$8 k = 0$	$k = 0$ : va bene
4ª ( $x^{2}$ )	$k + 3 = 0$	$4 k + 24 = 0$	$k = - 3$ e $k = - 6$ : impossibile
5ª ( $x$ )	$k + 4 = 0$	$2 k + 26 = 0$	$k = - 4$ e $k = - 13$ : impossibile
6ª (termine noto)	$k + 1 = 0$	$k + 22 = 0$	$k = - 1$ e $k = - 22$ : impossibile

Per esempio, alla terza riga: con $k$ al posto del 3, $s (1) = 1 - 2 + k + 0 - 1 + 2 = k$ e $s (2) = 32 - 32 + 8 k + 0 - 2 + 2 = 8 k$ .

Conclusione. Il numero sbagliato è il terzo, il coefficiente di $x^{3}$ : il valore giusto è 0 invece di 3. La sequenza trasmessa era $(1, - 2, 0, 0, - 1, 2)$ . Controllo: $s (x) = x^{5} - 2 x^{4} - x + 2$ dà $s (1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$ e $s (2) = 32 - 32 - 2 + 2 = 0$ .

Con l'idea del riquadro. $\frac{r ( 2 )}{r ( 1 )} = \frac{24}{3} = 8 = 2^{3}$ : l'errore è nel coefficiente di $x^{3}$ , ed è sbagliato di $r (1) = 3$ . Il valore giusto è $3 - 3 = 0$ .

12 · Come all'esame: generatori e/o indipendenti? tipo esame

I polinomi $1 + x$ , $x + x^{2}$ , $1 + x^{2}$ e $1$ di $R_{2} [x]$ sono: (a) linearmente indipendenti, ma non generatori; (b) né linearmente indipendenti né generatori; (c) la domanda è mal posta: i polinomi sono 4 e lo spazio ha dimensione 3; (d) generatori, ma non linearmente indipendenti; (e) sia generatori che linearmente indipendenti.

Soluzione

Passo 1. Quattro polinomi in uno spazio di dimensione 3: non possono essere indipendenti. Restano (b) e (d). La (c) è sbagliata perché la domanda ha senso con qualsiasi numero di vettori.

Passo 2. In colonna i coefficienti rispetto a $1, x, x^{2}$ :

110011101100 .

Le prime tre colonne hanno determinante $1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0 + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 2$ , non zero: rango 3, quindi i polinomi generano. Risposta (d).

Il doppione: $(1 + x) - (x + x^{2}) + (1 + x^{2}) = 2$ , quindi $2 \cdot 1 = (1 + x) - (x + x^{2}) + (1 + x^{2})$ . È lo schema delle domande 2 degli appelli del 06/09/2024 e del 16/01/2025.

13 · Come all'esame: il vettore delle coordinate tipo esame

I polinomi $q_{1} = 1 + x$ , $q_{2} = x + x^{2}$ , $q_{3} = 1 + x^{2}$ formano una base di $R_{2} [x]$ . Il vettore delle coordinate di $p = 2 + 4 x + 6 x^{2}$ in questa base è: (a) $(2, 4, 6)$ ; (b) $(0, 4, 2)$ ; (c) $(4, 2, 0)$ ; (d) $(0, 4 q_{2}, 2 q_{3})$ ; (e) $(1, 2, 3)$ .

Soluzione

a q_{1} + b q_{2} + c q_{3} = (a + c) + (a + b) x + (b + c) x^{2} .

Uguaglio i numeri: $a + c = 2$ , $a + b = 4$ , $b + c = 6$ .

Sommando le tre equazioni: $2 (a + b + c) = 12$ , quindi $a + b + c = 6$ .
Togliendo a turno ciascuna equazione: $b = 6 - 2 = 4$ , $c = 6 - 4 = 2$ , $a = 6 - 6 = 0$ .

Risposta (b), $(0, 4, 2)$ .

Controllo: $0 \cdot (1 + x) + 4 (x + x^{2}) + 2 (1 + x^{2}) = 2 + 4 x + 6 x^{2}$ . La (a) sono le coordinate nella base canonica, la (d) non è una lista di numeri, la (c) ha l'ordine sbagliato. È lo schema delle domande dell'appello dell'08/02/2024 (domanda 3) e del 16/01/2025 (domanda 8).

14 · Una base che dipende da $k$ difficile

Per quali $k \in R$ i vettori $u_{1} = (1, k, 0)$ , $u_{2} = (0, 1, k)$ , $u_{3} = (k, 0, 1)$ formano una base di $R^{3}$ ? Per i valori esclusi, scrivi una relazione di dipendenza.

Soluzione

Matrice con i vettori in colonna, e sviluppo lungo la prima riga:

det 1 k 0 01 k k 01 = 1 \cdot (1 - 0) - 0 + k \cdot (k^{2} - 0) = 1 + k^{3} .

Si scompone: $1 + k^{3} = (k + 1) (k^{2} - k + 1)$ . Il secondo fattore non fa mai zero tra i reali: il discriminante è $1 - 4 = - 3$ , negativo. Quindi il determinante fa zero solo per $k = - 1$ : i vettori sono una base per tutti i $k$ tranne $- 1$ .

Per $k = - 1$ : $u_{1} = (1, - 1, 0)$ , $u_{2} = (0, 1, - 1)$ , $u_{3} = (- 1, 0, 1)$ , e $u_{1} + u_{2} + u_{3} = (0, 0, 0)$ . Una ricetta che dà zero è $u_{1} + u_{2} + u_{3} = 0$ .

15 · Le coordinate rispettano somme e multipli difficile

Sia $v_{1}, \dots, v_{n}$ una base di $V$ e indica con $[v]$ il vettore delle coordinate di $v$ . Dimostra che $[v + w] = [v] + [w]$ e $[λ v] = λ [v]$ per ogni $v, w \in V$ e $λ \in K$ .

Soluzione

Siano $[v] = (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ e $[w] = (μ_{1}, \dots, μ_{n})$ , cioè $v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n}$ e $w = μ_{1} v_{1} + \dots + μ_{n} v_{n}$ .

Sommando e raccogliendo: $v + w = (λ_{1} + μ_{1}) v_{1} + \dots + (λ_{n} + μ_{n}) v_{n}$ . Questa è una ricetta per $v + w$ con la base; per la Proposizione 13.4 è l'unica. Quindi le coordinate di $v + w$ sono $(λ_{1} + μ_{1}, \dots, λ_{n} + μ_{n}) = [v] + [w]$ .
Allo stesso modo $λ v = (λ λ_{1}) v_{1} + \dots + (λ λ_{n}) v_{n}$ , e per l'unicità $[λ v] = λ [v]$ .

L'unicità è il punto chiave: senza la Proposizione 13.4 si saprebbe solo che una ricetta per $v + w$ ha quelle dosi. Con le parole della lezione L14, la funzione che manda $v$ nelle sue coordinate è un'applicazione lineare.

§10

Domande di ripasso

autoverifica

Come si trasforma la domanda «questi vettori sono indipendenti?» in un sistema?

La ricetta $λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} = 0$ è un sistema omogeneo nelle dosi, con la matrice che ha i vettori in colonna. I vettori sono indipendenti esattamente quando l'unica soluzione è quella con tutte le dosi zero.

Qual è il criterio con il rango per l'indipendenza? E quando si può usare il determinante?

Indipendenti esattamente quando il rango è uguale al numero di vettori: un pivot in ogni colonna. Se i vettori sono tanti quante le coordinate, la matrice è quadrata, e sono indipendenti esattamente quando il determinante non è zero.

Come si trova il doppione tra vettori dipendenti?

Si risolve il sistema omogeneo con Gauss: ogni soluzione con dosi non tutte zero è una ricetta che dà zero, e mostra quale vettore si ottiene dagli altri. Nell'Esempio 13.1: $- v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0$ .

Quando dei vettori generano tutto lo spazio a

m

coordinate?

Quando il sistema con un vettore qualsiasi come termine noto ha sempre soluzione, cioè quando il rango della matrice con i vettori in colonna è $m$ : un pivot in ogni riga.

Come si trova un'equazione di uno Span?

Si riduce a scalini la matrice con i vettori in colonna e un vettore generico $(a, b, c, \dots)$ come ultima colonna. Ogni riga che a sinistra diventa tutta zero dà una condizione su $a, b, c, \dots$ : sono le equazioni dello Span.

Perché più vettori delle coordinate sono sempre dipendenti, e meno vettori non generano mai?

Perché una matrice con $m$ righe ha rango al massimo $m$ : con più di $m$ colonne non può avere un pivot in ogni colonna. E lo Span di $k$ vettori ha dimensione al massimo $k$ : con meno di $m$ vettori non può essere tutto lo spazio.

Che cosa dice il Teorema 7.12 e perché è comodo?

Se lo spazio ha dimensione $n$ , $n$ vettori sono una base appena sono indipendenti, oppure appena generano: l'altra condizione arriva da sola. Così basta un controllo solo, per esempio il determinante diverso da zero.

Enuncia e dimostra la Proposizione 13.4.

Con una base, ogni vettore ha una sola ricetta. Una ricetta c'è perché i vettori della base generano. Se ce ne fossero due, sottraendole verrebbe una ricetta che dà zero, e per l'indipendenza tutte le sue dosi sono zero: le due ricette erano la stessa.

Che cosa sono le coordinate di un vettore rispetto a una base?

Le dosi dell'unica ricetta che dà quel vettore con gli ingredienti della base, scritte in colonna nell'ordine della base. Cambiano se cambia la base o il suo ordine.

Come si calcolano le coordinate in pratica?

Con vettori di numeri: si risolve con Gauss la matrice con la base in colonna e il vettore come ultima colonna, oppure si moltiplica per l'inversa. Con i polinomi: si uguagliano i numeri davanti alle potenze di $x$ . Alla fine si rifà la ricetta per controllare.

Come fa il codice delle dispense a scoprire un errore, e come lo corregge?

Il messaggio viene completato con due numeri, scelti risolvendo un sistema, in modo che il polinomio dei sei coefficienti faccia zero in 1 e in 2. Se all'arrivo una delle due prove fallisce, c'è un errore. Per correggerne uno si mette un'incognita a turno in ogni posizione e si rifanno le due prove: solo la posizione sbagliata dà un sistema possibile, e la sua soluzione è il valore giusto.

§11

Glossario

termini

Vettori in colonna: La matrice che ha i vettori dati come colonne: il punto di partenza di tutti i conti della lezione.
Linearmente dipendenti: C'è una ricetta con dosi non tutte zero che dà il vettore zero: un doppione.
Linearmente indipendenti: L'unica ricetta che dà zero ha tutte le dosi zero; con i vettori in colonna, un pivot in ogni colonna.
Relazione di dipendenza: Una ricetta con dosi non tutte zero che dà zero: mostra il doppione.
Generatori: Vettori con cui si cucina tutto lo spazio; con i vettori in colonna, un pivot in ogni riga.
Equazioni dello Span: Le condizioni sul vettore generico che escono da Gauss con l'ultima colonna $(a, b, c, \dots)$ .
Base: Vettori indipendenti che generano; con tanti vettori quante coordinate, determinante diverso da zero.
Teorema 7.12: Se lo spazio ha dimensione $n$ , $n$ vettori indipendenti, oppure $n$ generatori, sono già una base.
Coordinate: Le dosi dell'unica ricetta che dà un vettore con gli ingredienti di una base.
Vettore colonna di coordinate: Le coordinate scritte in colonna, nell'ordine della base.
Base ordinata: Una base con un ordine fissato; l'ordine decide l'ordine delle coordinate.
Informazione ridondante: Numeri aggiunti a un messaggio, calcolati dal messaggio stesso, per scoprire o correggere errori.
Condizioni di controllo: Nel codice delle dispense: il polinomio dei numeri trasmessi deve fare zero in 1 e in 2.
Codici di Reed–Solomon: Codici che correggono gli errori, usati nei QR code e nelle memorie digitali: polinomi con insiemi finiti di numeri.

Sistemi lineari III

La lezione in 8 punti

C'è un doppione? Un sistema lo dice

L'idea: la ricetta è un sistema

Si cucina tutto? Lo Span

Quando i vettori non generano tutto: l'equazione dello Span

Basi

Le dosi della ricetta: le coordinate

Informatica: codici che correggono gli errori

Codificare: due numeri di controllo

Scoprire un errore

Correggerlo

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: i vettori in colonna base

2 · Riscaldamento: contare senza conti base

3 · Riscaldamento: coordinate nella base canonica base

4 · Riscaldamento: coordinate in una base del piano base

5 · Indipendenti o no? E con quale relazione? base

6 · Codificare un messaggio base

7 · L'equazione di uno Span medio

8 · Base e coordinate in $R^{3}$ (Foglio 2 del tutorato, esercizio 6) medio

9 · Coordinate di un polinomio (Foglio 2 del tutorato, esercizio 7) medio

10 · Tre vettori di $R^{4}$ medio

11 · Esercizio 13.7 delle dispense: trovare e correggere l'errore medio

12 · Come all'esame: generatori e/o indipendenti? tipo esame

13 · Come all'esame: il vettore delle coordinate tipo esame

14 · Una base che dipende da $k$ difficile

15 · Le coordinate rispettano somme e multipli difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

La lezione in 8 punti

C'è un doppione? Un sistema lo dice

L'idea: la ricetta è un sistema

Si cucina tutto? Lo Span

Quando i vettori non generano tutto: l'equazione dello Span

Basi

Le dosi della ricetta: le coordinate

Informatica: codici che correggono gli errori

Codificare: due numeri di controllo

Scoprire un errore

Correggerlo

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: i vettori in colonna base

2 · Riscaldamento: contare senza conti base

3 · Riscaldamento: coordinate nella base canonica base

4 · Riscaldamento: coordinate in una base del piano base

5 · Indipendenti o no? E con quale relazione? base

6 · Codificare un messaggio base

7 · L'equazione di uno Span medio

8 · Base e coordinate in R3 (Foglio 2 del tutorato, esercizio 6) medio

9 · Coordinate di un polinomio (Foglio 2 del tutorato, esercizio 7) medio

10 · Tre vettori di R4 medio

11 · Esercizio 13.7 delle dispense: trovare e correggere l'errore medio

12 · Come all'esame: generatori e/o indipendenti? tipo esame

13 · Come all'esame: il vettore delle coordinate tipo esame

14 · Una base che dipende da k difficile

15 · Le coordinate rispettano somme e multipli difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

8 · Base e coordinate in $R^{3}$ (Foglio 2 del tutorato, esercizio 6) medio

10 · Tre vettori di $R^{4}$ medio

14 · Una base che dipende da $k$ difficile