Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L14

Applicazioni lineari I

Le macchine che trasformano vettori in vettori rispettando somme e multipli: come si riconoscono e perché ogni matrice ne descrive una. Poi che cosa distruggono, che cosa riescono a produrre, e una regola di conteggio che lega le due cose e all'esame fa risparmiare molti conti.

Dispense: lezione 14 · pp. 68–73
Libro: Martelli, §4.1 e §4.2
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 3–4 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare
Ripasso

La lezione in 7 punti

Un'applicazione lineare è una macchina che trasforma vettori in vettori e rispetta due cose: le somme e i multipli. Per esempio: se in entrata metti il doppio, in uscita trovi il doppio.
Per scoprire che una macchina non è lineare basta un solo esempio con i numeri. I segnali tipici sono un numero fisso aggiunto, un quadrato, un prodotto tra le entrate.
Ogni matrice, cioè ogni tabella di numeri, è una macchina lineare: prende un vettore, lo moltiplica e ne restituisce un altro. Nelle colonne della tabella c'è scritto dove vanno i vettori più semplici.
Il nucleo è l'insieme dei vettori che la macchina schiaccia sullo zero. L'immagine è l'insieme dei vettori che la macchina riesce a produrre.
Una macchina è iniettiva se entrate diverse danno sempre uscite diverse: succede esattamente quando nel nucleo c'è solo lo zero. È suriettiva se riesce a produrre ogni vettore dello spazio di arrivo.
Il teorema della dimensione è una regola di conteggio: quello che entra è uguale a quello che si perde più quello che esce.
All'esame servono tre cose: riconoscere se una formula è lineare, trovare nucleo e immagine con Gauss, usare il teorema della dimensione per rispondere senza fare conti.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Macchine che rispettano somme e multipli

p. 68

Al mercato le mele costano 3 euro al chilo. Il banco funziona come una macchina: entra un numero di chili, esce un prezzo in euro.

Ripasso · che cos'è una funzione

Una funzione è una macchina: metti dentro una cosa e ne esce un'altra. A ogni entrata corrisponde una sola uscita.

La macchina ha un nome, di solito una lettera come $f$ . La scrittura $f (2)$ si legge «effe di 2» e vuol dire: quello che esce quando entra 2.

Per dare la regola una volta per tutte, al posto dell'entrata si mette una lettera: $f (x) = 3 x$ . Si legge «effe di x è uguale a 3 per x». Tra un numero e una lettera il segno «per» non si scrive. Con questa regola, se entra 2 esce $3 \cdot 2 = 6$ .

La macchina delle mele è proprio $f (x) = 3 x$ : entrano i chili, escono gli euro. Ha due proprietà che la maggior parte delle macchine non ha.

Prima proprietà: comprare in due volte o in una volta sola costa uguale.

2 chili costano 6 euro. 5 chili costano 15 euro. In tutto $6 + 15 = 21$ euro.
7 chili comprati insieme costano $3 \cdot 7 = 21$ euro.

Seconda proprietà: quattro volte le mele, quattro volte il prezzo. 2 chili costano 6 euro, e 8 chili costano $3 \cdot 8 = 24$ euro, cioè 4 volte 6.

Ora due macchine che queste proprietà non le hanno.

Il taxi. Un taxi costa 1 euro alla partenza, più 2 euro al chilometro. La regola è $g (x) = 2 x + 1$ , dove la lettera $x$ indica i chilometri.

Una corsa di 2 chilometri costa $2 \cdot 2 + 1 = 5$ euro. Una corsa di 5 chilometri costa $2 \cdot 5 + 1 = 11$ euro. In tutto 16 euro.
Una corsa sola di 7 chilometri costa $2 \cdot 7 + 1 = 15$ euro.

Non è lo stesso. Con due corse separate paghi due volte l'euro di partenza.

La piastrella. Una piastrella quadrata con il lato lungo $x$ ha area $x \cdot x$ . La regola è $h (x) = x^{2}$ . Il piccolo 2 in alto si legge «al quadrato» e vuol dire: il numero moltiplicato per sé stesso.

Con il lato 2 l'area è $2 \cdot 2 = 4$ . Con il lato 5 l'area è $5 \cdot 5 = 25$ . In tutto 29.
Con il lato 7 l'area è $7 \cdot 7 = 49$ .

Non è lo stesso. E se il lato diventa 4 volte più lungo, da 2 a 8, l'area passa da 4 a 64: diventa 16 volte più grande, non 4.

Ecco i conti delle tre macchine, uno accanto all'altro.

Macchina	Entra $2 + 5$	Entrano 2 e 5, poi sommi le uscite	Entra $4 \cdot 2$	Entra 2, poi moltiplichi l'uscita per 4	Rispetta somme e multipli?
mele: $f (x) = 3 x$	$21$	$6 + 15 = 21$	$24$	$4 \cdot 6 = 24$	sì
taxi: $g (x) = 2 x + 1$	$15$	$5 + 11 = 16$	$17$	$4 \cdot 5 = 20$	no
piastrella: $h (x) = x^{2}$	$49$	$4 + 25 = 29$	$64$	$4 \cdot 4 = 16$	no

L'idea

Una macchina è lineare quando rispetta le somme e i multipli. Sommare prima di entrare, oppure dopo essere usciti, dà lo stesso risultato. Moltiplicare per un numero prima di entrare, oppure dopo, dà lo stesso risultato.

Guarda la figura qui sotto. Una macchina sui numeri si disegna così: in orizzontale le entrate, in verticale le uscite. La macchina delle mele dà una retta che passa per l'origine, cioè per il punto in cui i due assi si incrociano. Anche il taxi dà una retta, ma non passa per l'origine: con zero chilometri paghi già 1 euro. Basta questo a rovinare tutto.

−11−3−2−11234xy

f (x) = 3 x

g (x) = 2 x + 1

f (x) = 3 x

è lineare;

g (x) = 2 x + 1

no: il grafico è una retta, ma non passa per l'origine

Dalle macchine sui numeri alle macchine sui vettori

Le macchine di questo corso non lavorano su un numero solo: lavorano sui vettori.

Ricorda: un vettore è una lista di numeri, come $(3, 2)$ . Puoi pensarlo come uno spostamento su una mappa a quadretti: «3 passi a destra, 2 in su» (lezione L05). I vettori fatti di due numeri reali formano l'insieme $R^{2}$ , che si legge «erre due». Quelli fatti di tre numeri formano $R^{3}$ , «erre tre».

Sui vettori si fanno due operazioni.

Somma: si sommano i numeri che stanno nello stesso posto. Per esempio $(1, 1) + (3, 2) = (4, 3)$ .
Multiplo: si moltiplica ogni numero del vettore per lo stesso numero. Per esempio $3 \cdot (1, 1) = (3, 3)$ .

Prendiamo una macchina sui vettori e chiamiamola $S$ , come «stira». Entra un vettore di due numeri, esce un vettore di due numeri. La regola: il primo numero raddoppia, il secondo resta com'è.

S (x, y) = (2 x, y)

Controlliamo le somme con i vettori $(1, 1)$ e $(3, 2)$ , e i multipli con il vettore $(1, 1)$ e il numero 3. Ogni volta ci sono due strade.

Strada	Conti	Risultato
prima sommo, poi entro	$(1, 1) + (3, 2) = (4, 3)$ , poi $S (4, 3) = (2 \cdot 4, 3)$	$(8, 3)$
prima entro, poi sommo	$S (1, 1) = (2, 1)$ e $S (3, 2) = (6, 2)$ , poi $(2, 1) + (6, 2)$	$(8, 3)$
prima moltiplico, poi entro	$3 \cdot (1, 1) = (3, 3)$ , poi $S (3, 3) = (2 \cdot 3, 3)$	$(6, 3)$
prima entro, poi moltiplico	$S (1, 1) = (2, 1)$ , poi $3 \cdot (2, 1)$	$(6, 3)$

Le due strade portano allo stesso vettore, sia per le somme sia per i multipli. Nella prossima sezione vedi come si controlla per tutti i vettori insieme, e non solo su un esempio.

I nomi: dominio, codominio, immagine

Servono quattro nomi, che ritrovi in ogni pagina delle dispense.

Lo spazio dei vettori che entrano si chiama dominio.
Lo spazio in cui stanno i vettori che escono si chiama codominio.
L'uscita che corrisponde a un'entrata si chiama immagine di quell'entrata. Per la macchina che stira, l'immagine di $(1, 1)$ è $(2, 1)$ .
Una macchina lineare si chiama applicazione lineare. In matematica «funzione», «applicazione» e «mappa» vogliono dire la stessa cosa.

Per scrivere in una riga da dove parte e dove arriva una macchina si usa una freccia:

S : R^{2} \to R^{2}

Si legge «esse da erre due a erre due». A sinistra della freccia c'è il dominio, a destra il codominio. Una macchina che prende tre numeri e ne restituisce due si scrive con $R^{3} \to R^{2}$ .

Dominio e codominio non devono per forza essere fatti di liste di numeri. Basta che siano spazi vettoriali: posti in cui si può sommare e moltiplicare per un numero senza uscire (lezione L05). Anche i polinomi e le matrici formano spazi vettoriali. Lì l'immagine dello spostamento sulla mappa non regge più: restano solo le due regole, somme e multipli.

Come lo scrivono le dispense

Ora la definizione con le parole e i simboli delle dispense.

Definizione 14.1 · Applicazione lineare

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$ . Un'applicazione lineare è una funzione

f : V ⟶ W

tale che

$f (v + w) = f (v) + f (w)$ per ogni $v, w \in V$ ;
$f (λ v) = λ f (v)$ per ogni $v \in V$ e $λ \in K$ .

Come si legge. Un pezzo alla volta.

Le lettere $V$ e $W$ sono i nomi di due spazi vettoriali: il dominio e il codominio. Negli esempi di prima erano tutti e due $R^{2}$ .
$K$ si legge «cappa». Le dispense lo scrivono per dire «i numeri reali oppure i numeri complessi». «Sullo stesso campo» vuol dire: da tutte e due le parti si moltiplica per lo stesso tipo di numeri. In questi appunti pensa sempre ai numeri reali.
La riga con la freccia lunga si legge «effe da $V$ a $W$ »: è la macchina.
Il simbolo $\in$ si legge «appartiene a». «Per ogni $v, w \in V$ » vuol dire: qualunque coppia di vettori tu prenda nel dominio.
La condizione 1 è la regola delle somme. Si legge «effe di $v$ più $w$ è uguale a effe di $v$ più effe di $w$ ». A sinistra il segno più somma due vettori che entrano, a destra due vettori che escono.
$λ$ è la lettera greca lambda e indica un numero qualsiasi. Un numero che moltiplica un vettore si chiama scalare.
La condizione 2 è la regola dei multipli. Si legge «effe di lambda $v$ è uguale a lambda per effe di $v$ ».

Prima conseguenza: lo zero va nello zero

Ogni spazio vettoriale ha un vettore fatto di soli zeri: il vettore nullo. Tra i vettori di due numeri è $(0, 0)$ . Le dispense lo scrivono con un semplice $0$ .

Guarda che cosa fanno le macchine di prima quando entra lo zero.

Le mele: zero chili costano $3 \cdot 0 = 0$ euro. Esce zero.
La macchina che stira: entra $(0, 0)$ , esce $(2 \cdot 0, 0) = (0, 0)$ . Esce il vettore nullo.
Il taxi: zero chilometri costano $2 \cdot 0 + 1 = 1$ euro. Non esce zero. E infatti il taxi non è lineare.

Non è un caso. Ogni applicazione lineare manda il vettore nullo nel vettore nullo. Il motivo sta nella regola dei multipli, e le dispense lo scrivono in una riga:

f (0) = f (0 \cdot 0) = 0 \cdot f (0) = 0.

In questa riga lo stesso simbolo indica tre cose diverse. Leggila da sinistra, un uguale alla volta.

All'inizio, lo zero tra parentesi è il vettore nullo del dominio.
Dopo il primo uguale è scritto come un prodotto: il numero zero per il vettore nullo. Non è cambiato niente, perché il numero zero per un vettore dà sempre il vettore nullo.
Dopo il secondo uguale il numero zero è uscito dalla macchina, per la regola dei multipli.
Il numero zero per un vettore qualsiasi dà il vettore nullo: questa volta quello del codominio.

Seconda conseguenza: le ricette restano ricette

Ricorda: una combinazione lineare è una ricetta fatta con dei vettori, per esempio «2 parti del primo più 3 parti del secondo» (lezione L06). I numeri della ricetta, qui 2 e 3, si chiamano coefficienti.

Esempio · Dove va una ricetta

Di una macchina lineare $T$ sappiamo solo due cose. Un certo vettore $v_{1}$ va in $(1, 2)$ . Un altro vettore $v_{2}$ va in $(0, 3)$ . I numerini in basso servono a distinguere i due vettori: $v_{1}$ è «il primo», $v_{2}$ è «il secondo».

Dove va la ricetta $2 v_{1} + 3 v_{2}$ ? Non serve conoscere la formula della macchina. Bastano le due regole.

La regola delle somme spezza la ricetta in due pezzi:
$T (2 v_{1} + 3 v_{2}) = T (2 v_{1}) + T (3 v_{2}) .$
La regola dei multipli fa uscire i numeri 2 e 3:
$T (2 v_{1}) + T (3 v_{2}) = 2 \cdot T (v_{1}) + 3 \cdot T (v_{2}) .$
Ora mettiamo le due uscite che conosciamo:
$2 \cdot (1, 2) + 3 \cdot (0, 3) .$
Facciamo i conti: $(2, 4) + (0, 9) = (2, 13)$ .

Quindi la ricetta va in $(2, 13)$ .

La macchina ha trasformato «2 parti del primo vettore più 3 parti del secondo» in «2 parti della prima uscita più 3 parti della seconda uscita». Stessi coefficienti, ingredienti trasformati.

Le dispense scrivono la stessa cosa con le lettere, per una ricetta con un numero qualsiasi di ingredienti:

f (λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}) = λ_{1} f (v_{1}) + \dots + λ_{k} f (v_{k}) .

Un pezzo alla volta.

$v_{1}, \dots, v_{k}$ è un elenco di vettori. Il primo si chiama $v_{1}$ , l'ultimo $v_{k}$ , e la lettera $k$ dice quanti sono.
$λ_{1}, \dots, λ_{k}$ sono i coefficienti della ricetta, uno per ogni vettore.
I puntini vogliono dire «e avanti così, con la stessa regola».
Tutta la riga, a parole: una macchina lineare manda una ricetta nella ricetta con gli stessi coefficienti, fatta con le uscite.

Conta all'esame · La proprietà che userai di più

Se sai dove una macchina lineare manda pochi vettori, sai dove manda tutte le loro combinazioni. Per questo negli esercizi basta conoscere la macchina sui vettori di una base. Allenati con l'esercizio 5.

Prova tu

La macchina

g (x) = x + 5

rispetta le somme? Prova con 1 e 2.

No. Se entra la somma: $g (1 + 2) = g (3) = 3 + 5 = 8$ .

Se entrano uno alla volta: $g (1) = 6$ e $g (2) = 7$ , e la somma delle uscite è 13.

8 e 13 sono diversi. Si poteva capire anche dallo zero: $g (0) = 5$ , non 0.

Di una macchina lineare

T

sai che

T (v) = (1, 4)

T (w) = (2, 0)

. Quanto fa

T (v + w)

? E

T (3 v)

Per la regola delle somme: $T (v + w) = T (v) + T (w) = (1, 4) + (2, 0) = (3, 4)$ .

Per la regola dei multipli: $T (3 v) = 3 \cdot T (v) = 3 \cdot (1, 4) = (3, 12)$ .

Da ricordare

Un'applicazione lineare è una macchina che rispetta le somme e i multipli: sommare o moltiplicare prima di entrare, oppure dopo, è lo stesso.
Lo spazio di partenza è il dominio, quello di arrivo è il codominio.
Una macchina lineare manda sempre lo zero nello zero.
Manda una ricetta nella ricetta con gli stessi coefficienti, fatta con le uscite.

§2

Quali macchine sono lineari e quali no

pp. 68–69

Per riconoscere una macchina lineare serve allenamento. In questa sezione trovi i quattro esempi delle dispense, tutti con vettori di due numeri, e poi una tabella per allenare l'occhio.

Un avviso sulla scrittura. Le dispense scrivono spesso i vettori in colonna, con i numeri uno sopra l'altro: la colonna $(a b)$ e la riga $(a, b)$ sono lo stesso vettore. E chiamano spesso le macchine $T$ , come «trasformazione».

Una macchina lineare, controllata fino in fondo

La prima macchina delle dispense ha questa regola:

T (a, b) = (2 a + b, a + 3 b)

A parole: il primo numero in uscita è il doppio del primo numero in entrata, più il secondo. Il secondo numero in uscita è il primo numero in entrata, più il triplo del secondo.

Proviamola con i numeri, sui vettori $(1, 2)$ e $(3, 1)$ .

Entra	Conto	Esce
$(1, 2)$	$(2 \cdot 1 + 2, 1 + 3 \cdot 2)$	$(4, 7)$
$(3, 1)$	$(2 \cdot 3 + 1, 3 + 3 \cdot 1)$	$(7, 6)$
la loro somma, $(4, 3)$	$(2 \cdot 4 + 3, 4 + 3 \cdot 3)$	$(11, 13)$
il triplo del primo, $(3, 6)$	$(2 \cdot 3 + 6, 3 + 3 \cdot 6)$	$(12, 21)$

Controlla le due regole sulla tabella.

Somme. Le uscite dei primi due vettori, sommate, danno $(4 + 7, 7 + 6) = (11, 13)$ . È proprio l'uscita della somma, nella terza riga.
Multipli. Il triplo dell'uscita del primo vettore è $3 \cdot (4, 7) = (12, 21)$ . È proprio l'uscita del triplo, nella quarta riga.

Con questi numeri funziona. Ma una macchina è lineare solo se le due regole valgono per tutti i vettori, e non si possono provare tutti. Per questo le dispense rifanno lo stesso conto con le lettere al posto dei numeri. Una lettera sta per un numero qualsiasi, quindi il conto vale per tutti i vettori in una volta.

Esempio 14.2 · Una funzione lineare

La macchina è $T : R^{2} \to R^{2}$ , con la regola

T (a b) = (2 a + b a + 3 b) .

Prendiamo due vettori qualsiasi e un numero qualsiasi $λ$ :

v = (a_{1} b_{1}), w = (a_{2} b_{2}) .

I numerini in basso servono solo a distinguere: $a_{1}$ e $b_{1}$ sono i due numeri del primo vettore, $a_{2}$ e $b_{2}$ quelli del secondo.

La regola delle somme.

Sommiamo i due vettori, posto per posto:
$v + w = (a_{1} + a_{2} b_{1} + b_{2}) .$
Facciamo entrare la somma. Nella regola, al posto di $a$ mettiamo $a_{1} + a_{2}$ e al posto di $b$ mettiamo $b_{1} + b_{2}$ :
$T (v + w) = (2 (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) (a_{1} + a_{2}) + 3 (b_{1} + b_{2})) .$
Togliamo le parentesi, moltiplicando:
$T (v + w) = (2 a_{1} + 2 a_{2} + b_{1} + b_{2} a_{1} + a_{2} + 3 b_{1} + 3 b_{2}) .$
Mettiamo da una parte i pezzi con il numerino 1 e dall'altra quelli con il numerino 2:
$T (v + w) = (2 a_{1} + b_{1} a_{1} + 3 b_{1}) + (2 a_{2} + b_{2} a_{2} + 3 b_{2}) .$
Il primo vettore è l'uscita di $v$ , il secondo è l'uscita di $w$ . Quindi $T (v + w) = T (v) + T (w)$ .

La regola dei multipli.

Moltiplichiamo il vettore $v$ per il numero $λ$ , posto per posto:
$λ v = (λ a_{1} λ b_{1}) .$
Facciamolo entrare. Al posto di $a$ mettiamo $λ a_{1}$ e al posto di $b$ mettiamo $λ b_{1}$ :
$T (λ v) = (2 λ a_{1} + λ b_{1} λ a_{1} + 3 λ b_{1}) .$
In ogni pezzo c'è $λ$ : lo portiamo fuori.
$T (λ v) = λ (2 a_{1} + b_{1} a_{1} + 3 b_{1}) .$
Il vettore rimasto è l'uscita di $v$ . Quindi $T (λ v) = λ T (v)$ .

Valgono tutte e due le regole. Allora $T$ è lineare.

Da questo conto viene una scorciatoia. In ogni uscita della macchina ci sono solo multipli delle entrate, sommati tra loro. Non ci sono numeri fissi aggiunti, né quadrati, né prodotti tra le due entrate. Quando una formula è fatta così, la macchina è lineare. Nella prossima sezione vedi il motivo: è la macchina di una matrice.

Un numero fisso aggiunto sposta lo zero

La seconda macchina delle dispense assomiglia al taxi: nella regola ci sono due numeri fissi, il 2 e il $- 1$ .

Esempio 14.3 · Una traslazione non è lineare

La macchina è $T : R^{2} \to R^{2}$ , con la regola

T (a b) = (a + 2 a + b - 1) .

Facciamo il test più veloce: mettiamo dentro il vettore nullo, cioè $a = 0$ e $b = 0$ .

T (00) = (0 + 2 0 + 0 - 1) = (2 - 1) .

Non esce il vettore nullo. Una macchina lineare manda sempre lo zero nello zero. Allora $T$ non è lineare.

«Traslazione» vuol dire spostamento: i numeri fissi aggiunti spostano tutto, anche l'origine. Le dispense riassumono l'esempio con il simbolo $\neq =$ , un uguale sbarrato che si legge «diverso da»: $T (0) \neq = 0$ , allora la macchina non è lineare.

Un quadrato rovina le somme

La terza macchina assomiglia alla piastrella: nella regola c'è un quadrato.

Esempio 14.4 · Un quadrato rovina la somma

La macchina è $T : R^{2} \to R^{2}$ , con la regola

T (a b) = (a^{2} a + b) .

Il test dello zero qui non aiuta: entra $(0, 0)$ , esce $(0^{2}, 0 + 0) = (0, 0)$ . Allora proviamo la regola delle somme con due vettori scelti da noi:

v = (21), w = (20) .

Prima strada: sommo, poi entro.

La somma è $v + w = (2 + 2, 1 + 0) = (4, 1)$ .
La sua uscita è $T (4, 1) = (4^{2}, 4 + 1) = (16, 5)$ .

Seconda strada: entro, poi sommo.

$T (v) = T (2, 1) = (2^{2}, 2 + 1) = (4, 3)$ .
$T (w) = T (2, 0) = (2^{2}, 2 + 0) = (4, 2)$ .
La somma delle uscite è $(4 + 4, 3 + 2) = (8, 5)$ .

Le due strade danno $(16, 5)$ e $(8, 5)$ : due vettori diversi. Allora $T$ non è lineare.

Un esempio con i numeri in cui una regola non funziona si chiama controesempio. Per dire che una macchina non è lineare ne basta uno.

Due macchine che esistono sempre

Le due macchine del prossimo esempio si possono costruire con qualunque spazio vettoriale.

Esempio 14.5 · La funzione nulla e l'identità

Prendi due spazi vettoriali qualsiasi $V$ e $W$ . La funzione nulla è la macchina $f : V \to W$ che manda ogni vettore nel vettore nullo: $f (v) = 0$ per ogni $v$ . La funzione nulla è lineare.

Somme: se entra $v + w$ esce $0$ . Se entrano uno alla volta escono $0$ e $0$ , e la loro somma è $0$ .
Multipli: se entra $λ v$ esce $0$ . Se entra $v$ esce $0$ , e $λ \cdot 0 = 0$ .

Prendi uno spazio vettoriale qualsiasi $V$ . La funzione identità è la macchina $id : V \to V$ che manda ogni vettore in sé stesso: $id (v) = v$ per ogni $v$ di $V$ . Anche la funzione identità è lineare.

Somme: se entra $v + w$ esce $v + w$ . Se entrano uno alla volta escono $v$ e $w$ , e la loro somma è $v + w$ .
Multipli: se entra $λ v$ esce $λ v$ . Se entra $v$ esce $v$ , e il suo multiplo è $λ v$ .

La funzione nulla distrugge tutto. L'identità non fa niente. Il simbolo $id$ si legge «identità».

Macchine che si vedono: stirare, girare, fare ombra

Molte macchine lineari sul piano hanno un significato geometrico. Eccone tre, e una che invece lineare non è.

Macchina	Regola	Che cosa fa
stiramento	$(x, y)$ va in $(2 x, y)$	allarga tutto in orizzontale, al doppio
quarto di giro	$(x, y)$ va in $(- y, x)$	gira ogni vettore di un quarto di giro, in senso antiorario
ombra	$(x, y)$ va in $(x, 0)$	schiaccia ogni vettore sull'asse orizzontale, come un'ombra a mezzogiorno
spostamento di lato	$(x, y)$ va in $(x + 1, y)$	sposta tutto di un passo a destra: non è lineare, perché anche l'origine si sposta

Guarda la figura: il vettore grigio $(2, 1)$ entra nelle tre macchine lineari. Lo stiramento lo manda in $(4, 1)$ . Il quarto di giro lo manda in $(- 1, 2)$ . L'ombra lo manda in $(2, 0)$ .

−2−1123412xy

(2, 1)

(4, 1)

(- 1, 2)

(2, 0)

Il vettore

(2, 1)

dentro tre macchine lineari: stiramento, quarto di giro, ombra

Altri esempi per allenare l'occhio

In questa tabella ogni macchina prende un vettore $(x, y)$ e restituisce un vettore di due numeri.

Dove va $(x, y)$	Lineare?	Perché
$(x - y, 2 y)$	sì	ci sono solo multipli delle entrate, sommati
$(0, 5 x)$	sì	anche «zero volte» va bene: il primo numero è $0 x + 0 y$
$(x + 1, y)$	no	lo zero non va nello zero: $(0, 0)$ va in $(1, 0)$
$(x y, x)$	no	c'è un prodotto tra le entrate: $(2, 2)$ va in $(4, 2)$ , ma il doppio dell'uscita di $(1, 1)$ è $(2, 2)$
$(∣ x ∣, y)$	no	$(- 1, 0)$ va in $(1, 0)$ , ma l'opposto dell'uscita di $(1, 0)$ è $(- 1, 0)$

Nell'ultima riga le barre verticali indicano il valore assoluto: il numero senza il segno meno. Per esempio $∣ - 1 ∣ = 1$ .

Metodo · È lineare o no?

Fai il test dello zero. Metti dentro il vettore nullo. Se non esce il vettore nullo, la macchina non è lineare e hai finito (Esempio 14.3).
Guarda la formula. Numeri fissi aggiunti, quadrati, prodotti tra le entrate, valori assoluti, radici, seni: sono i segnali di una macchina non lineare.
Se pensi che non sia lineare, cerca un controesempio. Bastano due vettori con i numeri per cui le somme non tornano. Oppure un vettore e un numero per cui i multipli non tornano (Esempio 14.4).
Se pensi che sia lineare, mostralo con le lettere, come nell'Esempio 14.2. Scorciatoia: se ogni numero in uscita è una somma di multipli delle entrate, la macchina è quella di una matrice ed è lineare (Esempio 14.6, nella prossima sezione).

Trappola · Lo zero che va nello zero non basta

Il test dello zero serve solo a escludere. Una macchina può mandare lo zero nello zero e non essere lineare lo stesso. È il caso dell'Esempio 14.4: lì esce $(0, 0)$ , eppure le somme non tornano.

Prova tu

La macchina manda

(x, y)

(x + y, 3)

. È lineare? Usa il test dello zero.

No. Se entra $(0, 0)$ esce $(0 + 0, 3) = (0, 3)$ , che non è il vettore nullo.

La macchina manda

(x, y)

(x y, y)

. Controlla i multipli con il vettore

(1, 1)

e il numero 2.

Prima moltiplico, poi entro: $2 \cdot (1, 1) = (2, 2)$ , che va in $(2 \cdot 2, 2) = (4, 2)$ .

Prima entro, poi moltiplico: $(1, 1)$ va in $(1 \cdot 1, 1) = (1, 1)$ , e il doppio è $(2, 2)$ .

$(4, 2)$ e $(2, 2)$ sono diversi: la macchina non è lineare.

La macchina manda

(x, y)

(3 x, x - y)

. È lineare?

Sì. Il primo numero in uscita è un multiplo di $x$ . Il secondo è $x$ meno $y$ , cioè $1 x + (- 1) y$ . Ci sono solo multipli delle entrate, sommati.

Da ricordare

Per dire che una macchina è lineare serve un conto con le lettere, oppure la scorciatoia: in uscita solo multipli delle entrate, sommati.
Per dire che non lo è basta un controesempio con i numeri.
Se lo zero non va nello zero, la macchina non è lineare. Il contrario non vale.
La funzione nulla e l'identità sono sempre lineari.

§3

Ogni matrice è una macchina

pp. 69–70

L'esempio più importante del corso è questo: ogni tabella di numeri è una macchina lineare.

Ripasso · matrice per vettore

Una matrice è una tabella di numeri, con righe e colonne (lezione L06). Per moltiplicarla per un vettore si lavora una riga alla volta (lezione L08): moltiplica il primo numero della riga per il primo del vettore, il secondo per il secondo, e somma. È come il conto della spesa: quantità per prezzi, poi si somma.

(2113) (45)

Prima riga, fatta dai numeri 2 e 1: $2 \cdot 4 + 1 \cdot 5 = 13$ .
Seconda riga, fatta dai numeri 1 e 3: $1 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 19$ .

Il risultato è il vettore $(13, 19)$ : un numero per ogni riga della matrice.

Fissiamo una matrice e chiamiamola $A$ :

A = (2113)

Con questa matrice si costruisce una macchina: entra un vettore, la macchina lo moltiplica per la matrice, esce il risultato. Se entra $(4, 5)$ esce $(13, 19)$ , come nel ripasso.

Che cosa esce se entra un vettore qualsiasi $(a, b)$ ? Stesso conto, con le lettere.

Prima riga: $2 \cdot a + 1 \cdot b = 2 a + b$ .
Seconda riga: $1 \cdot a + 3 \cdot b = a + 3 b$ .

Esce $(2 a + b, a + 3 b)$ . È la macchina dell'Esempio 14.2: la sua regola era, in breve, «moltiplica per questa matrice».

La macchina costruita con una matrice ha un nome: $L_{A}$ , che si legge «elle con A». Il vettore che entra si chiama di solito $x$ , e l'uscita si scrive $A x$ , «A per x»:

L_{A} (x) = A x

Quanti numeri entrano e quanti escono

La matrice non deve per forza essere quadrata. Prendiamone una con 2 righe e 3 colonne:

B = (100121)

Ogni riga ha 3 numeri, quindi il vettore che entra deve avere 3 numeri. Le righe sono 2, quindi il vettore che esce ha 2 numeri. Proviamo con $(1, 2, 3)$ .

Prima riga: $1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 7$ .
Seconda riga: $0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 5$ .

Entra $(1, 2, 3)$ , esce $(7, 5)$ . Questa macchina va da $R^{3}$ a $R^{2}$ .

Trappola · Le colonne dicono che cosa entra, le righe che cosa esce

Una matrice con $m$ righe e $n$ colonne si chiama «di taglia $m \times n$ », che si legge «emme per enne». La sua macchina va da $R^{n}$ a $R^{m}$ : l'ordine è rovesciato rispetto al nome della taglia. Il numero delle colonne dice quanti numeri entrano. Il numero delle righe dice quanti ne escono.

Come lo scrivono le dispense

La macchina di una matrice è sempre lineare, perché il prodotto di matrici rispetta somme e multipli (Proposizione 8.11, lezione L08). Le dispense scrivono tutto per una matrice qualsiasi, di qualunque taglia. Per questo usano lettere con due numerini in basso.

Esempio 14.6 · $L_{A}$

Prendiamo una matrice $A = (a_{ij})$ di taglia $m \times n$ . Con il prodotto fra matrici e vettori costruiamo la macchina

L_{A} : K^{n} ⟶ K^{m}, L_{A} (x) = A x .

Nel dettaglio:

L_{A} (x) = A x = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots ⋱ \dots a_{1 n} ⋮ a_{mn} \cdot x_{1} ⋮ x_{n} = a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} ⋮ a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{mn} x_{n} .

La lettera $L$ sta per left, «sinistra» in inglese, perché moltiplichiamo a sinistra per $A$ . La macchina $L_{A}$ è lineare per le proprietà del prodotto di matrici:

$L_{A} (x + x^{'}) = A (x + x^{'}) = A x + A x^{'} = L_{A} (x) + L_{A} (x^{'})$ ;
$L_{A} (λ x) = A (λ x) = λ A x = λ L_{A} (x)$ .

Come si legge. È il conto della spesa del ripasso, scritto con le lettere.

$a_{ij}$ è il numero che sta nella riga $i$ e nella colonna $j$ della matrice. Per esempio $a_{21}$ sta nella riga 2 e nella colonna 1.
$K^{n}$ è l'insieme delle liste di $n$ numeri. Entrano $n$ numeri, tanti quante le colonne. Ne escono $m$ , tanti quante le righe.
$x_{1}, \dots, x_{n}$ sono i numeri del vettore che entra. I puntini vogliono dire «e avanti così».
Il vettore a destra dell'ultimo uguale è l'uscita. In ogni sua riga c'è una riga della matrice moltiplicata per il vettore.
$x^{'}$ si legge «x primo»: è solo il nome di un secondo vettore.
Le righe 1 e 2 in fondo sono le due regole di linearità.

Esempio 14.7 · La matrice dell'Esempio 14.2

Nell'esempio precedente scegliamo la matrice con prima riga 2 e 1 e seconda riga 1 e 3. Otteniamo la macchina $L_{A} : R^{2} \to R^{2}$ data da

L_{A} (a b) = (2113) (a b) = (2 a + b a + 3 b) .

È esattamente l'applicazione lineare dell'Esempio 14.2.

Nelle colonne c'è scritto dove vanno i vettori della base

Ricorda: la base canonica dei vettori di due numeri è fatta dai due vettori più semplici, $e_{1} = (1, 0)$ ed $e_{2} = (0, 1)$ (lezione L07). Ogni vettore è una ricetta fatta con loro. Per esempio $(4, 5)$ è «4 parti di $e_{1}$ più 5 parti di $e_{2}$ ».

Facciamo entrare questi due vettori nella macchina della matrice $A$ di prima.

Entra	Conto	Esce
$e_{1} = (1, 0)$	$(2 \cdot 1 + 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0)$	$(2, 1)$
$e_{2} = (0, 1)$	$(2 \cdot 0 + 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1)$	$(1, 3)$

Ora guarda la matrice. I numeri 2 e 1 formano la sua prima colonna, letta dall'alto in basso. I numeri 1 e 3 formano la seconda colonna.

L'idea

Nelle colonne di una matrice c'è scritto dove la sua macchina manda i vettori della base canonica. La prima colonna è l'uscita del primo vettore della base, la seconda colonna è l'uscita del secondo, e avanti così.

Le dispense indicano le colonne con un numerino in alto: $A^{1}$ è la prima colonna, $A^{2}$ la seconda. Qui il numerino in alto non è una potenza. Con questa scrittura la regola diventa

L_{A} (e_{i}) = A^{i} .

Si legge: la macchina manda il vettore numero $i$ della base canonica nella colonna numero $i$ .

Adesso usiamo il fatto che le ricette restano ricette. Il vettore $(4, 5)$ è «4 parti di $e_{1}$ più 5 parti di $e_{2}$ ». Quindi la sua uscita è «4 parti della prima colonna più 5 parti della seconda»:

4 \cdot (2, 1) + 5 \cdot (1, 3) = (8, 4) + (5, 15) = (13, 19) .

È lo stesso risultato del ripasso, trovato per un'altra strada. Vale per ogni matrice: l'uscita è la ricetta fatta con le colonne, e i coefficienti sono i numeri del vettore che entra. Con le lettere:

A x = x_{1} A^{1} + x_{2} A^{2} + \dots + x_{n} A^{n} .

Nello strumento qui sotto la macchina della matrice $A$ trasforma la griglia a quadretti del piano in una griglia di parallelogrammi. Che cosa guardare e che cosa provare:

le rette restano rette e l'origine resta ferma;
le due frecce con le etichette «A e₁» e «A e₂» sono le due colonne della matrice;
trascina il vettore «x» e guarda dove finisce «A x»;
premi «rotazione di 90°» (il quarto di giro) e «proiezione» (l'ombra);
scrivi nelle caselle la matrice con prima riga 1 e 2 e seconda riga 2 e 4: tutto il piano viene schiacciato su una retta. Lo ritrovi nella sezione sul nucleo.

Oltre le dispense · ogni macchina lineare tra liste di numeri viene da una matrice

Vale anche il contrario (Martelli, Proposizione 4.1.19). Ogni macchina lineare che prende liste di numeri e restituisce liste di numeri è la macchina di una matrice, e di una sola. Per trovarla, metti in colonna le uscite dei vettori della base canonica.

Un esempio: la macchina che manda $(x, y, z)$ in $(x - z, y + 2 z)$ .

Entra $(1, 0, 0)$ . Esce $(1 - 0, 0 + 2 \cdot 0) = (1, 0)$ .
Entra $(0, 1, 0)$ . Esce $(0 - 0, 1 + 2 \cdot 0) = (0, 1)$ .
Entra $(0, 0, 1)$ . Esce $(0 - 1, 0 + 2 \cdot 1) = (- 1, 2)$ .
Metti le tre uscite in colonna, una accanto all'altra:
$A = (1001 - 1 2) .$

C'è un modo ancora più rapido: nelle righe della matrice ci sono i numeri che moltiplicano le entrate. La prima uscita è $1 x + 0 y - 1 z$ , e la prima riga è fatta dai numeri 1, 0 e $- 1$ . Negli appelli questa matrice si chiama «matrice associata rispetto alla base canonica» (lezione L15).

Nota · Collegamento con l'informatica: reti neurali (p. 70)

Una delle operazioni di base di una rete neurale è la moltiplicazione di una matrice per un vettore. Un singolo strato della rete prende un vettore, lo moltiplica per una matrice e poi aggiunge un vettore fisso:

x ⟼ A x + b

La freccia con il trattino all'inizio si legge «viene mandato in». I numeri della matrice e del vettore fisso sono i parametri che vengono modificati durante l'addestramento.

Il pezzo «moltiplica per la matrice» è la macchina lineare di questa sezione. Se il vettore aggiunto non è zero, la trasformazione intera non è lineare: manda lo zero in $b$ , come il taxi. Una macchina fatta così si chiama affine. Gli strati di una rete alternano trasformazioni di questo tipo e operazioni non lineari: per questo matrici e applicazioni lineari sono il linguaggio di base del machine learning.

Prova tu

Una matrice ha prima riga 1 e 2, seconda riga 0 e 1. Che cosa esce dalla sua macchina se entra

(3, 1)

Prima riga: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5$ . Seconda riga: $0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 1$ . Esce $(5, 1)$ .

Una matrice ha 3 righe e 2 colonne. Da dove parte e dove arriva la sua macchina?

Parte da $R^{2}$ , perché le colonne sono 2: entrano vettori di 2 numeri. Arriva in $R^{3}$ , perché le righe sono 3: escono vettori di 3 numeri.

Scrivi la matrice della macchina che manda

(x, y)

(x + 2 y, 3 x)

Nelle colonne vanno le uscite dei vettori della base canonica.

Entra $(1, 0)$ : esce $(1 + 2 \cdot 0, 3 \cdot 1) = (1, 3)$ . È la prima colonna.

Entra $(0, 1)$ : esce $(0 + 2 \cdot 1, 3 \cdot 0) = (2, 0)$ . È la seconda colonna.

La matrice ha prima riga 1 e 2, seconda riga 3 e 0. Controllo con le righe: la prima uscita è $1 x + 2 y$ , la seconda è $3 x + 0 y$ .

Da ricordare

Ogni matrice dà una macchina lineare: entra un vettore, esce la matrice per il vettore. Si chiama $L_{A}$ .
Le colonne dicono quanti numeri entrano, le righe quanti ne escono.
Nelle colonne della matrice ci sono le uscite dei vettori della base canonica.
L'uscita di un vettore è la ricetta fatta con le colonne, con i numeri del vettore come coefficienti.

§4

Macchine che lavorano su matrici e polinomi

p. 70

Le macchine lineari non lavorano solo su liste di numeri. In entrata possono prendere una matrice intera, oppure un polinomio.

Ricorda: anche le matrici di una stessa taglia formano uno spazio vettoriale (lezione L06). Si sommano casella per casella, e si moltiplicano per un numero casella per casella.

La traccia

Ricorda: la traccia di una matrice quadrata è la somma dei numeri sulla diagonale, quella che va dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra (Definizione 8.12, lezione L08). Si scrive $tr A$ e si legge «traccia di A».

La traccia è una macchina: entra una matrice, esce un numero. Proviamola con due matrici.

A = (1324), B = (51 0 - 2)

Entra	Numeri sulla diagonale	Traccia
$A$	1 e 4	$1 + 4 = 5$
$B$	5 e $- 2$	$5 - 2 = 3$
la somma $A + B = (6422)$	6 e 2	$6 + 2 = 8$
il triplo $3 A = (39612)$	3 e 12	$3 + 12 = 15$

Le tracce delle due matrici, sommate, danno $5 + 3 = 8$ : è la traccia della somma. Il triplo della traccia della prima matrice è $3 \cdot 5 = 15$ : è la traccia del triplo.

Il motivo è che la somma di matrici si fa casella per casella. Le dispense lo scrivono per matrici di qualunque grandezza.

Esempio 14.8 · La traccia è lineare

La traccia $tr : M (n, K) \to K$ è un'applicazione lineare.

Prendiamo due matrici quadrate $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{ij})$ , con $n$ righe e $n$ colonne. I numeri sulla diagonale di $A$ sono quelli con i due numerini uguali: $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ .

La somma si fa casella per casella: $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$ . Sulla sua diagonale ci sono i numeri $a_{11} + b_{11}, \dots, a_{nn} + b_{nn}$ .
La traccia della somma è la somma di questi numeri. In una somma l'ordine non conta: mettiamo prima tutti i numeri di $A$ e poi tutti quelli di $B$ .
$tr (A + B) = (a_{11} + b_{11}) + \dots + (a_{nn} + b_{nn}) = tr (A) + tr (B)$
La matrice $λ A$ ha sulla diagonale i numeri $λ a_{11}, \dots, λ a_{nn}$ . Li sommiamo e portiamo fuori $λ$ :
$tr (λ A) = λ a_{11} + \dots + λ a_{nn} = λ \cdot tr (A) .$

Come si legge. $M (n, K)$ è l'insieme delle matrici quadrate con $n$ righe e $n$ colonne: è il dominio. Il codominio è $K$ , cioè i numeri stessi, che formano uno spazio vettoriale di dimensione 1. Quindi la prima riga dice: la traccia prende una matrice quadrata e restituisce un numero.

Trappola · Il determinante non è lineare

Anche il determinante prende una matrice e restituisce un numero. Per due righe e due colonne è il prodotto dei numeri sulla diagonale meno il prodotto degli altri due (lezione L09). Ma non rispetta le somme. Controesempio con due copie della matrice identità $I_{2}$ , che ha 1 sulla diagonale e 0 altrove.

Se entra la somma: $I_{2} + I_{2}$ ha 2 sulla diagonale e 0 altrove. Il suo determinante è $2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 4$ .
Se entrano una alla volta: i due determinanti valgono 1 e 1, e la loro somma è 2.

Non rispetta nemmeno i multipli: per una matrice con $n$ righe vale $det (λ A) = λ^{n} det A$ (Corollario 9.12, lezione L09).

Altre macchine lineari che trovi nei quiz

Nei quiz compaiono spesso macchine tra spazi di matrici o di polinomi. La loro regola è scritta di solito con la freccia $\mapsto$ , che si legge «viene mandato in». A sinistra c'è quello che entra, a destra quello che esce.

Ripasso · i polinomi come vettori

Un polinomio è un'espressione come $x^{2} + 1$ oppure $2 x$ (lezione L04). I polinomi si sommano e si moltiplicano per un numero, quindi formano uno spazio vettoriale (lezione L05).

$R_{2} [x]$ si legge «erre due di x». È lo spazio dei polinomi di grado al massimo 2, cioè quelli del tipo $a x^{2} + b x + c$ . Per scriverne uno servono tre numeri, quindi la sua dimensione è 3.

Se $p$ è un polinomio, $p (3)$ è il numero che ottieni mettendo 3 al posto di $x$ . Con $p = x^{2} + 1$ viene $p (3) = 3 \cdot 3 + 1 = 10$ .

Queste tre macchine sono lineari (Martelli, Esempi 4.1.10, 4.1.13 e 4.1.15).

La trasposizione, scritta $A \mapsto^{t} A$ . Entra una matrice, esce la sua trasposta, cioè la matrice con le righe e le colonne scambiate (lezione L08).
La valutazione, scritta $p \mapsto p (3)$ . Entra un polinomio, esce il numero che si ottiene mettendo 3 al posto di $x$ . Al posto del 3 può esserci qualunque numero fissato.
La derivata. Entra un polinomio, esce la sua derivata. La incontri nel corso di Analisi: se non l'hai ancora vista, salta questa riga.

Un controllo sulla valutazione. I polinomi $x^{2} + 1$ e $2 x$ valgono 10 e 6 in 3. La loro somma $x^{2} + 2 x + 1$ vale $9 + 6 + 1 = 16$ in 3, cioè $10 + 6$ .

Prova tu

Quanto vale la traccia della matrice con prima riga 2 e 7, seconda riga 1 e

- 5

I numeri sulla diagonale sono 2 e $- 5$ . La traccia è $2 + (- 5) = - 3$ .

Una macchina prende una matrice con due righe e due colonne e restituisce il numero in alto a sinistra. È lineare?

Sì. La somma di due matrici si fa casella per casella: il numero in alto a sinistra della somma è la somma dei due numeri in alto a sinistra. Lo stesso vale per i multipli.

Il polinomio è

p = x^{2} - 4

. Quanto vale

p (3)

? E quanto vale in 3 il polinomio

2 p

$p (3) = 3 \cdot 3 - 4 = 5$ . Il doppio del polinomio è $2 x^{2} - 8$ : in 3 vale $2 \cdot 9 - 8 = 10$ , cioè il doppio di 5.

Da ricordare

Una macchina lineare può lavorare anche su matrici e polinomi.
Sono lineari: la traccia, la trasposizione, la valutazione di un polinomio in un numero fissato, la derivata.
Non è lineare il determinante.

§5

Che cosa va perso e che cosa esce: nucleo e immagine

pp. 70–71

Un'applicazione lineare è una macchina: metti dentro un vettore, ne esce un altro. Di ogni macchina conviene sapere due cose: che cosa distrugge e che cosa riesce a produrre.

Partiamo da un esempio con i numeri. La macchina si chiama $T$ . Prende un vettore fatto di due numeri e ne restituisce un altro fatto di due numeri. La regola è:

T (x, y) = (x + y, 2 x + 2 y)

A parole: il primo numero in uscita è la somma dei due in entrata. Il secondo numero in uscita è il doppio di quella somma.

Proviamo la macchina con qualche vettore.

Entra	Conto	Esce
$(1, 0)$	$(1 + 0, 2 + 0)$	$(1, 2)$
$(0, 1)$	$(0 + 1, 0 + 2)$	$(1, 2)$
$(2, 1)$	$(2 + 1, 4 + 2)$	$(3, 6)$
$(1, - 1)$	$(1 - 1, 2 - 2)$	$(0, 0)$
$(3, - 3)$	$(3 - 3, 6 - 6)$	$(0, 0)$

Guarda la tabella: si notano due cose.

Prima cosa: alcuni vettori vengono distrutti. Entrano $(1, - 1)$ e $(3, - 3)$ , ed esce il vettore fatto di soli zeri. Succede ogni volta che i due numeri in entrata sono uno l'opposto dell'altro, perché allora la loro somma è zero. Tutti i vettori che la macchina manda in zero formano il nucleo.

Seconda cosa: non può uscire qualunque vettore. In uscita il secondo numero è sempre il doppio del primo. Un vettore come $(1, 0)$ non esce mai. Tutti i vettori che possono uscire formano l'immagine.

L'idea

Il nucleo è tutto quello che la macchina schiaccia su zero. L'immagine è tutto quello che la macchina riesce a produrre.

Il nucleo è fatto di vettori che entrano. L'immagine è fatta di vettori che escono. Sono due posti diversi.

Il nucleo e l'immagine di questa macchina

Ricorda: lo Span di un vettore è l'insieme di tutti i suoi multipli (lezione L06). Sulla mappa è una retta che passa per l'origine.

Il nucleo. Esce zero quando il secondo numero in entrata è l'opposto del primo. I vettori fatti così sono del tipo $(t, - t)$ , dove la lettera $t$ sta per un numero qualsiasi. Sono i multipli di $(1, - 1)$ . Quindi il nucleo è $Span ((1, - 1))$ : una retta per l'origine.

L'immagine. In uscita il secondo numero è il doppio del primo: le uscite sono del tipo $(s, 2 s)$ , cioè i multipli di $(1, 2)$ . E ogni multiplo esce davvero: se entra $(s, 0)$ esce $(s + 0, 2 s + 0) = (s, 2 s)$ . Quindi l'immagine è $Span ((1, 2))$ : un'altra retta per l'origine.

Guarda la figura. La retta blu è il nucleo, la retta ambra è l'immagine. Qui i vettori che entrano e quelli che escono stanno tutti e due nel piano, e per questo le due rette si possono disegnare insieme. Ma la retta blu vive tra i vettori che entrano, la retta ambra tra quelli che escono.

−2−112−2−112xy

Ker T

Im T

Per

T (x, y) = (x + y, 2 x + 2 y)

il nucleo (blu) è la retta

y = - x

del dominio, l'immagine (ambra) è la retta

y = 2 x

del codominio

Come lo scrivono le dispense

Le dispense lo scrivono così.

Definizione 14.9 · Nucleo e immagine

Sia $f : V \to W$ un'applicazione lineare. Il nucleo di $f$ è il sottoinsieme di $V$ definito da

Ker f = {v \in V ∣ f (v) = 0} .

L'immagine di $f$ è il sottoinsieme di $W$ definito da

Im f = {w \in W ∣ \exists v \in V con f (v) = w} .

Come si legge.

$Ker f$ si legge «ker di effe», cioè «nucleo di effe». Viene dall'inglese kernel, che vuol dire «nucleo».
Le parentesi graffe racchiudono un insieme. La barretta verticale si legge «per cui»: a sinistra c'è dove si cercano gli elementi, a destra la condizione che devono rispettare.
La riga del nucleo, a parole: «i vettori $v$ di $V$ per cui $f (v)$ è zero». Sono i vettori che la macchina manda in zero.
$Im f$ si legge «immagine di effe».
La riga dell'immagine, a parole: «i vettori $w$ di $W$ per cui esiste un vettore $v$ di $V$ con $f (v) = w$ ». Il simbolo $\exists$ si legge «esiste». Sono i vettori che escono davvero da qualche entrata.

Attenzione alla parola «immagine», che si usa in due modi. L'immagine di un vettore è la sua uscita. L'immagine della macchina è l'insieme di tutte le uscite.

Prova tu

Per la macchina

T (x, y) = (x + y, 2 x + 2 y)

: il vettore

(2, - 2)

sta nel nucleo? E

(2, 1)

$T (2, - 2) = (2 - 2, 4 - 4) = (0, 0)$ . Esce zero, quindi $(2, - 2)$ sta nel nucleo.

$T (2, 1) = (2 + 1, 4 + 2) = (3, 6)$ . Non esce zero, quindi $(2, 1)$ non sta nel nucleo.

Per la stessa macchina: il vettore

(4, 8)

sta nell'immagine? E

(4, 7)

$(4, 8)$ sì: il secondo numero è il doppio del primo. Esce per esempio da $(4, 0)$ . Invece $(4, 7)$ no: 7 non è il doppio di 4.

Nucleo e immagine sono sottospazi

Ricorda: un sottospazio è una stanza dentro uno spazio vettoriale da cui non si esce né sommando né moltiplicando per un numero. Contiene sempre lo zero (Definizione 6.2, lezione L06). Una retta che passa per l'origine è un sottospazio.

Nell'esempio il nucleo e l'immagine erano due rette per l'origine, cioè due sottospazi. Un controllo con i numeri: $(1, - 1)$ e $(3, - 3)$ stanno nel nucleo, e anche la loro somma $(4, - 4)$ va in zero. Succede per ogni macchina lineare.

Proposizione 14.10

Il nucleo $Ker f$ è un sottospazio vettoriale di $V$ , l'immagine $Im f$ è un sottospazio di $W$ .

Come si legge. I vettori mandati in zero formano una stanza chiusa dentro lo spazio di partenza. Le uscite formano una stanza chiusa dentro lo spazio di arrivo.

Il perché, a parole. Se due vettori vanno in zero, la loro somma va in «zero più zero», che è zero. Se un vettore va in zero, un suo multiplo va in un multiplo di zero, che è zero. E la somma di due uscite è l'uscita della somma delle due entrate.

Dimostrazione · della Proposizione 14.10

Bisogna controllare le tre condizioni che definiscono un sottospazio (Definizione 6.2): c'è lo zero, la somma di due elementi resta dentro, un multiplo di un elemento resta dentro.

Per il nucleo.

Lo zero sta nel nucleo, perché $f (0) = 0$ .
Se $v$ e $w$ stanno nel nucleo, allora $f (v + w) = f (v) + f (w) = 0 + 0 = 0$ . Quindi anche $v + w$ sta nel nucleo.
Se $v$ sta nel nucleo e $λ$ è un numero, allora $f (λ v) = λ f (v) = λ \cdot 0 = 0$ . Quindi anche $λ v$ sta nel nucleo.

Per l'immagine.

Lo zero sta nell'immagine, perché $f (0) = 0$ .
La somma di due uscite è $f (v) + f (v^{'}) = f (v + v^{'})$ : è l'uscita di $v + v^{'}$ , quindi sta nell'immagine.
Il multiplo di un'uscita è $λ f (v) = f (λ v)$ : è l'uscita di $λ v$ , quindi sta nell'immagine.

Trappola · Il nucleo non è mai vuoto

Lo zero va sempre nello zero. Quindi il vettore nullo sta sempre nel nucleo, e anche nell'immagine. Nel caso più piccolo il nucleo contiene solo il vettore nullo: si scrive ${0}$ . Non è l'insieme vuoto, perché un elemento c'è.

Da ricordare

Il nucleo è l'insieme dei vettori che vanno in zero. Sta nello spazio di partenza.
L'immagine è l'insieme dei vettori che escono. Sta nello spazio di arrivo.
Tutti e due sono sottospazi, e contengono sempre il vettore nullo.

§6

Due domande su una macchina: iniettiva, suriettiva

p. 71

Di una macchina ci si fa spesso due domande.

Prima domanda: due entrate diverse possono dare la stessa uscita? Se non succede mai, la macchina si chiama iniettiva. Con una macchina iniettiva si può tornare indietro: guardando l'uscita sai qual era l'entrata, perché non ci sono doppioni.

Seconda domanda: ogni vettore dello spazio di arrivo esce da qualche entrata? Se sì, la macchina si chiama suriettiva. Una macchina suriettiva riempie tutto lo spazio di arrivo.

Queste due parole valgono per tutte le funzioni, non solo per quelle lineari. Le ritrovi anche in Matematica Discreta. Ecco tre macchine a confronto.

Macchina	È iniettiva?	È suriettiva?
da $R^{2}$ a $R^{3}$ : $(x, y)$ va in $(x, y, 0)$	sì: i due numeri in entrata si rileggono nell'uscita	no: $(0, 0, 1)$ non esce mai, perché il terzo numero in uscita è sempre 0
da $R^{3}$ a $R^{2}$ : $(x, y, z)$ va in $(x, y)$	no: $(0, 0, 1)$ e $(0, 0, 2)$ vanno tutti e due in $(0, 0)$	sì: per far uscire $(a, b)$ basta far entrare $(a, b, 0)$
da $R^{2}$ a $R^{2}$ : $(x, y)$ va in $(x + y, 2 x + 2 y)$	no: $(1, 0)$ e $(0, 1)$ vanno tutti e due in $(1, 2)$	no: $(1, 0)$ non esce mai

La scorciatoia: guardare il nucleo

Per sapere se una macchina è iniettiva sembra di dover confrontare tutte le coppie di entrate. Per le macchine lineari c'è una scorciatoia: basta guardare il nucleo.

Guarda la terza macchina della tabella. Le entrate $(1, 0)$ e $(0, 1)$ danno la stessa uscita. La differenza tra le due entrate è $(1, - 1)$ : un vettore del nucleo. Non è un caso, e il ragionamento funziona in tutti e due i versi.

Se due entrate diverse danno la stessa uscita, la loro differenza non è zero ma va in zero. Il motivo: una macchina lineare manda la differenza di due entrate nella differenza delle due uscite, e qui le uscite sono uguali.
Al contrario, se un vettore diverso da zero va in zero, allora lui e il vettore nullo sono due entrate diverse con la stessa uscita.

L'idea

Una macchina lineare è iniettiva esattamente quando l'unico vettore che manda in zero è lo zero.

Per la seconda domanda non c'è niente da scoprire: «ogni vettore dello spazio di arrivo esce» vuol dire proprio che l'immagine è tutto lo spazio di arrivo.

Proposizione 14.11

La funzione $f : V \to W$ è iniettiva $⟺ Ker f = {0}$ . La funzione $f$ è suriettiva $⟺ Im f = W$ .

Come si legge. La doppia freccia $⟺$ si legge «se e solo se», cioè «esattamente quando»: le due frasi ai suoi lati sono vere insieme oppure false insieme. Prima frase: la macchina è iniettiva esattamente quando il nucleo contiene solo il vettore nullo. Seconda frase: è suriettiva esattamente quando l'immagine è tutto lo spazio di arrivo.

Dimostrazione · della Proposizione 14.11

Per la suriettività non c'è niente da dimostrare. Per l'iniettività ci sono due versi.

Se la macchina è iniettiva, nel nucleo c'è solo lo zero.

Sappiamo già che $f (0) = 0$ .
La macchina è iniettiva: un vettore $v$ diverso da zero non può andare dove va lo zero. Quindi $f (v) \neq = 0$ .
Allora l'unico vettore che va in zero è lo zero: $Ker f = {0}$ .

Se nel nucleo c'è solo lo zero, la macchina è iniettiva.

Prendiamo due vettori diversi $v$ e $v^{'}$ . La loro differenza $v - v^{'}$ non è il vettore nullo.
Nel nucleo c'è solo lo zero, quindi la differenza non va in zero: $f (v - v^{'}) \neq = 0$ .
La macchina è lineare, quindi $f (v - v^{'}) = f (v) - f (v^{'})$ .
Allora $f (v) - f (v^{'}) \neq = 0$ , cioè $f (v) \neq = f (v^{'})$ . Due entrate diverse hanno uscite diverse.

Il vantaggio è grande. Per decidere se una macchina è iniettiva non servono confronti: basta cercare i vettori che vanno in zero, cioè risolvere un solo sistema.

Nota · Collegamento con l'informatica: il nucleo come insieme di direzioni ammissibili (p. 71)

In molti problemi un vettore deve rispettare un vincolo, cioè una condizione fissa. Un esempio: tre numeri la cui somma deve fare 3. Il vettore $(1, 1, 1)$ rispetta il vincolo.

In quali direzioni ci si può spostare senza rompere il vincolo? Proviamo a spostarci di $(1, - 1, 0)$ . Arriviamo in $(2, 0, 1)$ , e la somma fa ancora 3. Funziona perché i numeri dello spostamento hanno somma zero.

Le dispense lo dicono in generale. Il vincolo è un sistema, scritto $A x = b$ . Parti da una soluzione $x$ e fai $t$ passi nella direzione $y$ : arrivi in $x + t y$ , e

A (x + t y) = A x + t A y = b + t A y .

Il vincolo resta rispettato, per ogni numero di passi, precisamente quando $A y = 0$ . Cioè quando la direzione sta nel nucleo della macchina della matrice: le dispense scrivono $y \in Ker A$ . Il nucleo descrive tutte le direzioni lungo cui ci si può muovere mantenendo i vincoli di uguaglianza. È un'idea usata direttamente negli algoritmi di ottimizzazione lineare, ed è la Proposizione 12.3 della lezione L12 vista dalla parte del nucleo.

Prova tu

La macchina manda

(x, y)

(x, 0)

: è l'ombra sull'asse orizzontale. Qual è il nucleo? È iniettiva?

Esce $(0, 0)$ quando il primo numero in entrata è 0, e il secondo può essere qualsiasi. Il nucleo è fatto dai vettori $(0, t)$ : è l'asse verticale. Nel nucleo non c'è solo lo zero, quindi la macchina non è iniettiva. Infatti $(0, 1)$ e $(0, 2)$ hanno la stessa uscita.

La macchina manda

(x, y)

(2 x, 3 y)

. Qual è il nucleo? È iniettiva?

Esce $(0, 0)$ solo se $2 x = 0$ e $3 y = 0$ , cioè solo se entra $(0, 0)$ . Nel nucleo c'è solo lo zero, quindi la macchina è iniettiva.

Da ricordare

Iniettiva: entrate diverse danno sempre uscite diverse. Per una macchina lineare vuol dire: nel nucleo c'è solo lo zero.
Suriettiva: ogni vettore dello spazio di arrivo esce. Vuol dire: l'immagine è tutto lo spazio di arrivo.
Per controllare l'iniettività basta risolvere un sistema: quali vettori vanno in zero?

§7

Come si trovano nucleo e immagine con Gauss

p. 72

Per la macchina di una matrice, il nucleo e l'immagine si trovano con conti che conosci già.

Il nucleo è un sistema con tutti zeri a destra. Il nucleo è fatto dai vettori $x$ che la macchina manda in zero, cioè quelli per cui $A x = 0$ . Questo è un sistema lineare omogeneo, cioè con tutti zeri dopo l'uguale (lezione L12). Si risolve con Gauss.

L'immagine è fatta da tutte le ricette delle colonne. Nella sezione sulle matrici hai visto che l'uscita di un vettore è la ricetta fatta con le colonne. I coefficienti sono i numeri del vettore. Se entrano tutti i vettori possibili, escono tutte le ricette possibili.

L'idea

L'immagine della macchina di una matrice è lo Span delle colonne della matrice.

Riprendiamo la macchina che manda $(x, y)$ in $(x + y, 2 x + 2 y)$ . La sua matrice ha prima riga 1 e 1, seconda riga 2 e 2. Le due colonne sono uguali: tutte e due sono $(1, 2)$ . Il loro Span è fatto dai multipli di $(1, 2)$ : è la retta ambra della figura.

Ricorda: dei vettori sono generatori di uno spazio se con le loro ricette si ottiene tutto lo spazio (lezione L06). Le dispense dicono la stessa cosa per una macchina lineare qualsiasi, con la parola «generatori».

Osservazione · Generatori dell'immagine (p. 72)

Se $v_{1}, \dots, v_{n}$ sono generatori di $V$ , allora $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ sono generatori di $Im f$ . In particolare, se $A$ è una matrice $m \times n$ , l'immagine di $L_{A} : K^{n} \to K^{m}$ è lo spazio generato dalle colonne,

Im L_{A} = Span (A^{1}, \dots, A^{n}),

e per ogni matrice $A$ vale

rk (A) = dim Span (A^{1}, \dots, A^{n}) = dim Im L_{A} .

Come si legge.

La prima frase: se fai entrare dei generatori dello spazio di partenza, le loro uscite sono generatori dell'immagine.
«In particolare»: i vettori della base canonica generano lo spazio di partenza, e le loro uscite sono le colonne. Quindi le colonne generano l'immagine.
Nell'ultima riga, $rk (A)$ si legge «rango di A» e $dim$ si legge «dimensione di». Il rango di una matrice è la dimensione dello Span delle sue colonne (Definizione 8.3, lezione L08). Quindi il rango è la dimensione dell'immagine. In pratica si trova contando i pivot dopo Gauss (lezione L12).

Dimostrazione · perché le uscite dei generatori generano l'immagine

Prendiamo un vettore $w$ dell'immagine: esiste un vettore $v$ di $V$ con $f (v) = w$ .
I vettori $v_{1}, \dots, v_{n}$ generano $V$ . Quindi $v$ è una loro ricetta: $v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n}$ .
Le ricette restano ricette: $w = f (v) = λ_{1} f (v_{1}) + \dots + λ_{n} f (v_{n})$ . Quindi $w$ sta nello Span delle uscite.
Al contrario, l'immagine è un sottospazio (Proposizione 14.10) e contiene tutte le uscite $f (v_{i})$ : quindi contiene anche tutte le loro ricette. In conclusione $Im f = Span (f (v_{1}), \dots, f (v_{n}))$ .

Metodo · Nucleo e immagine di $L_{A}$

Riduci la matrice con Gauss–Jordan. Segna in quali colonne stanno i pivot.
Nucleo. Scrivi il sistema con tutti zeri a destra, usando la matrice ridotta. Ogni colonna senza pivot dà un'incognita libera. Ogni incognita libera dà un vettore della base del nucleo (lezione L12).
Immagine. Prendi le colonne della matrice di partenza che stanno nei posti dei pivot (lezione L13). Formano una base dell'immagine. Sono tante quante il rango.
Controllo. La dimensione del nucleo più quella dell'immagine deve dare il numero delle colonne. È il teorema della dimensione, nella prossima sezione.

Esempio · Nucleo e immagine, tutto il conto

La matrice è

A = 121242011 .

Ha 3 righe e 3 colonne, quindi la sua macchina va da $R^{3}$ a $R^{3}$ .

Passo 1: Gauss–Jordan. Ricorda: la mossa $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ si legge «la riga 2 diventa la riga 2 meno 2 volte la riga 1» (lezione L11). Sotto l'1 in alto a sinistra ci sono un 2 e un 1: vogliamo farli diventare 0. Poi la riga 2 e la riga 3 diventano uguali, e togliamo l'una dall'altra.

Mossa	Conto, un numero alla volta	Nuova riga
$R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$	$(2 - 2 \cdot 1, 4 - 2 \cdot 2, 1 - 2 \cdot 0)$	$(0, 0, 1)$
$R_{3} \to R_{3} - R_{1}$	$(1 - 1, 2 - 2, 1 - 0)$	$(0, 0, 1)$
$R_{3} \to R_{3} - R_{2}$	$(0 - 0, 0 - 0, 1 - 1)$	$(0, 0, 0)$

La matrice è diventata

100200010 .

Ricorda: il pivot di una riga è il suo primo numero diverso da zero. Qui i pivot sono due: l'1 della riga 1, nella colonna 1, e l'1 della riga 2, nella colonna 3. La colonna 2 non ha pivot.

Passo 2: il nucleo. Il sistema con tutti zeri a destra, letto sulla matrice ridotta, è

{x_{1} + 2 x_{2} = 0 x_{3} = 0

La colonna 2 non ha pivot, quindi l'incognita $x_{2}$ è libera: la chiamiamo $t$ . La prima equazione dà $x_{1} = - 2 t$ . La seconda dà $x_{3} = 0$ . Le soluzioni sono i vettori $(- 2 t, t, 0)$ , cioè i multipli di $(- 2, 1, 0)$ .

Ker L_{A} = Span ((- 2, 1, 0))

Il nucleo ha dimensione 1: è una retta. Controllo con la riga 2 della matrice di partenza: $2 \cdot (- 2) + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$ . Anche le righe 1 e 3 danno $- 2 + 2 + 0 = 0$ .

Passo 3: l'immagine. I pivot stanno nelle colonne 1 e 3. Prendiamo le colonne 1 e 3 della matrice di partenza: sono $(1, 2, 1)$ e $(0, 1, 1)$ .

Im L_{A} = Span ((1, 2, 1), (0, 1, 1))

L'immagine ha dimensione 2: è un piano. La colonna 2 non serve, perché è il doppio della colonna 1.

Passo 4: il controllo. $1 + 2 = 3$ , che è il numero delle colonne.

Lo strumento qui sotto rifà questo conto: riduce la matrice, scrive una base del nucleo e prende come base dell'immagine le colonne di partenza nei posti dei pivot. Prova a cambiare la matrice. Scrivi le due righe «1 2» e «2 4», quelle della trappola qui sotto. Poi scrivi una matrice invertibile, per esempio con le righe «2 1» e «1 3»: il nucleo si riduce al solo vettore nullo.

Trappola · L'immagine si legge sulle colonne di partenza

Le mosse di Gauss lavorano sulle righe, ma cambiano anche le colonne. E con le colonne cambia lo spazio che generano.

Un esempio: la matrice con prima riga 1 e 2 e seconda riga 2 e 4. La mossa $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ dà la nuova seconda riga $(2 - 2, 4 - 4) = (0, 0)$ . La prima colonna della matrice ridotta è $(1, 0)$ .

Ma l'immagine è lo Span della prima colonna di partenza, cioè di $(1, 2)$ . Il vettore $(1, 0)$ non è un multiplo di $(1, 2)$ : nell'immagine non c'è. Dalla matrice ridotta si leggono solo le posizioni dei pivot.

Prova tu

Una matrice ha prima riga 1 e 3, seconda riga 2 e 6. Trova il nucleo della sua macchina.

Il sistema è $x + 3 y = 0$ e $2 x + 6 y = 0$ . La seconda equazione è il doppio della prima: resta $x + 3 y = 0$ .

Chiamo $t$ l'incognita $y$ . Allora $x = - 3 t$ . Le soluzioni sono $(- 3 t, t)$ : il nucleo è $Span ((- 3, 1))$ .

Controllo: riga 1, $1 \cdot (- 3) + 3 \cdot 1 = 0$ . Riga 2, $2 \cdot (- 3) + 6 \cdot 1 = 0$ .

Per la stessa matrice, qual è l'immagine?

Le colonne sono $(1, 2)$ e $(3, 6)$ . La seconda è il triplo della prima, quindi non aggiunge niente. L'immagine è $Span ((1, 2))$ , una retta.

Da ricordare

Il nucleo della macchina di una matrice è l'insieme delle soluzioni del sistema con tutti zeri a destra.
L'immagine è lo Span delle colonne. La sua dimensione è il rango, cioè il numero dei pivot.
Una base dell'immagine: le colonne di partenza nei posti dei pivot.

§8

Entra, si perde, esce: il teorema della dimensione

p. 72

C'è una regola di conteggio che lega il nucleo e l'immagine. Prima la vediamo sugli esempi già fatti.

Ricorda: la dimensione di uno spazio dice quanti numeri servono per dire dove sei (lezione L07). Un punto solo ha dimensione 0, una retta 1, un piano 2, lo spazio 3. Si scrive $dim$ e si legge «dimensione di».

Macchina	Che cosa entra	Che cosa si perde: il nucleo	Che cosa esce: l'immagine	Conteggio
$(x, y)$ va in $(x + y, 2 x + 2 y)$	un piano: 2	una retta: 1	una retta: 1	$1 + 1 = 2$
$(x, y, z)$ va in $(x, y)$	lo spazio: 3	una retta, l'asse verticale: 1	un piano: 2	$1 + 2 = 3$
la matrice dell'esempio svolto	lo spazio: 3	una retta: 1	un piano: 2	$1 + 2 = 3$
la funzione nulla, su uno spazio di dimensione $n$	$n$	tutto: $n$	solo lo zero: 0	$n + 0 = n$
l'identità, su uno spazio di dimensione $n$	$n$	solo lo zero: 0	tutto: $n$	$0 + n = n$

L'idea

Quello che entra è uguale a quello che si perde più quello che esce. Le dimensioni che il nucleo schiaccia sullo zero vanno perse. Quelle che restano formano l'immagine.

Le dispense lo scrivono così.

Teorema 14.12 · Teorema della dimensione

Sia $f : V \to W$ una funzione lineare. Se $V$ ha dimensione finita $n$ , allora

dim Ker f + dim Im f = n .

Come si legge. La formula dice: dimensione del nucleo, più dimensione dell'immagine, uguale a $n$ .

Il numero $n$ è la dimensione dello spazio di partenza, non di quello di arrivo. È l'errore più frequente.
Lo spazio di arrivo può essere qualsiasi.
La formula lega tre numeri. Se ne conosci due, il terzo viene con una sottrazione.

Perché è vero? Le dispense danno l'idea. Scegli una base del nucleo. Poi aggiungi altri vettori, fino ad avere una base di tutto lo spazio di partenza. I vettori del nucleo vanno in zero e non producono niente. Le uscite dei vettori aggiunti formano una base dell'immagine. I passaggi completi sono nel libro di Martelli (Teorema 4.2.9).

Controlliamo sulla macchina che manda $(x, y)$ in $(x + y, 2 x + 2 y)$ . Una base del nucleo è $(1, - 1)$ . Aggiungiamo $(1, 0)$ per avere una base del piano. L'uscita del vettore aggiunto è $(1, 2)$ : è proprio una base dell'immagine.

Per le matrici è il teorema di Rouché–Capelli

Guardiamo la macchina di una matrice con $n$ colonne.

La dimensione del nucleo è il numero delle incognite libere, cioè delle colonne senza pivot.
La dimensione dell'immagine è il rango, cioè il numero delle colonne con il pivot.
Ogni colonna o ha il pivot o non ce l'ha. Quindi i due numeri, sommati, danno $n$ .

Le dispense chiamano $S$ l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo e scrivono:

Ker L_{A} = {x \in K^{n} ∣ L_{A} (x) = 0} = {x \in K^{n} ∣ A x = 0} = S .

A parole: il nucleo è fatto dai vettori che la macchina manda in zero, cioè dalle soluzioni del sistema. Il teorema della dimensione diventa

dim S = n - rk (A) .

È il teorema di Rouché–Capelli per i sistemi omogenei (Teorema 12.6, lezione L12). Due strade molto diverse, una con le mosse di Gauss e una con le basi, portano allo stesso risultato.

Tre conseguenze

Dal teorema vengono subito tre fatti. Le dispense li raccolgono in un corollario, cioè in una conseguenza diretta di un teorema.

Corollario 14.13

Sia $f : V \to W$ un'applicazione lineare. Vale

dim Im f \leq dim V .

Inoltre:

$f$ iniettiva $⟺ dim Im f = dim V$ ;
$f$ suriettiva $⟺ dim Im f = dim W$ .

Come si legge. Il simbolo $\leq$ si legge «minore o uguale». La doppia freccia si legge «esattamente quando».

La prima riga: l'immagine non ha mai più dimensioni dello spazio di partenza. Il motivo: la sua dimensione è quella dello spazio di partenza meno quella del nucleo.
Il punto 1: la macchina è iniettiva esattamente quando esce tutto quello che entra. Il motivo: iniettiva vuol dire che il nucleo ha dimensione 0 (Proposizione 14.11), e allora non si toglie niente.
Il punto 2: la macchina è suriettiva esattamente quando l'immagine è grande quanto lo spazio di arrivo. Il motivo: un sottospazio con la stessa dimensione dello spazio che lo contiene è tutto lo spazio.

Qui, come nel teorema, le dimensioni sono finite.

Oltre le dispense · tre regole per i quiz, senza conti

Dal Corollario 14.13 vengono tre regole (Martelli, Corollario 4.2.23 e Proposizione 4.2.24). Per usarle basta confrontare la dimensione dello spazio di partenza con quella dello spazio di arrivo.

Partenza più grande dell'arrivo: la macchina non può essere iniettiva. L'immagine sta nello spazio di arrivo, quindi è più piccola dello spazio di partenza: qualcosa va perso per forza. Esempio: da $R^{3}$ a $R^{2}$ .
Partenza più piccola dell'arrivo: la macchina non può essere suriettiva. L'immagine non è mai più grande dello spazio di partenza, quindi non riempie lo spazio di arrivo. Esempio: da $R^{2}$ a $R^{3}$ .
Stessa dimensione: iniettiva esattamente quando suriettiva. O valgono tutte e due, o nessuna delle due.

Per la macchina di una matrice con $m$ righe e $n$ colonne (Martelli, Esempio 4.2.16): è iniettiva esattamente quando il rango è $n$ , il numero delle colonne. È suriettiva esattamente quando il rango è $m$ , il numero delle righe.

Esempio · Il teorema della dimensione al posto dei conti (sul modello del libro di Martelli, Esempio 4.2.12, che usa il punto $2$ )

Chiamiamo $W$ l'insieme dei polinomi di grado al massimo 2 che in 1 valgono 0:

W = {p \in R_{2} [x] ∣ p (1) = 0} .

Quanto vale la sua dimensione?

Riconosci un nucleo. Prendi la macchina «calcola in 1»: entra un polinomio $p$ , esce il numero $p (1)$ . È una valutazione, quindi è lineare. I polinomi che manda in zero sono proprio quelli di $W$ : quindi $W$ è il suo nucleo.
Conta quello che entra. Entrano i polinomi di $R_{2} [x]$ , uno spazio di dimensione 3.
Conta quello che esce. Escono numeri, ed esce ogni numero: per far uscire il numero $λ$ basta far entrare il polinomio costante $λ$ . Quindi l'immagine è tutto $R$ , che ha dimensione 1.
Usa il teorema. Quello che si perde è quello che entra meno quello che esce: $dim W = 3 - 1 = 2$ .

Una base. I polinomi $x - 1$ e $x^{2} - 1$ stanno in $W$ : in 1 valgono $1 - 1 = 0$ . Hanno grado diverso, quindi nessuno dei due è un multiplo dell'altro: sono indipendenti. Due vettori indipendenti in uno spazio di dimensione 2 formano una base (Teorema 7.12, lezione L07). Quindi $W = Span (x - 1, x^{2} - 1)$ .

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

§4.1 «Introduzione» (pp. 115–123). Ci sono la definizione, gli esempi di base e la macchina di una matrice (Proposizione 4.1.6, Corollario 4.1.7). Poi trasposizione, valutazione, derivata, coordinate e la Proposizione 4.1.19. Nel libro «lo zero va nello zero» è il primo assioma della definizione: le dispense invece lo ricavano dagli altri due.
§4.2 «Nucleo e immagine» (pp. 123–130). Ci sono le Proposizioni 4.2.1, 4.2.2, 4.2.5 e 4.2.6 e i Corollari 4.2.7, 4.2.8 e 4.2.14. Il teorema della dimensione, con la dimostrazione completa, è il Teorema 4.2.9 (pp. 124–125). Seguono gli Esempi 4.2.10–4.2.13.

Prova tu

Una macchina lineare va da

R^{5}

R^{3}

e il suo nucleo ha dimensione 2. Che dimensione ha l'immagine? La macchina è suriettiva?

Quello che esce è quello che entra meno quello che si perde: $5 - 2 = 3$ . Lo spazio di arrivo $R^{3}$ ha dimensione 3, come l'immagine: la macchina è suriettiva.

Può esistere una macchina lineare iniettiva da

R^{3}

R^{2}

No. L'immagine sta in $R^{2}$ , quindi ha dimensione al massimo 2. Entra uno spazio di dimensione 3: il nucleo ha dimensione almeno $3 - 2 = 1$ , quindi non contiene solo lo zero.

Da ricordare

Teorema della dimensione: dimensione del nucleo più dimensione dell'immagine uguale dimensione dello spazio di partenza.
Per una matrice: colonne senza pivot più colonne con pivot uguale numero delle colonne.
Da uno spazio grande a uno più piccolo una macchina lineare non è mai iniettiva. Da uno piccolo a uno più grande non è mai suriettiva.
Con la stessa dimensione in partenza e in arrivo: iniettiva esattamente quando suriettiva.

§9

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$f (x)$	«effe di x»	quello che esce dalla macchina $f$ quando entra $x$	se $f (x) = 3 x$ , allora $f (2) = 6$
$R^{2}$ , $R^{3}$ , $R^{n}$	«erre due», «erre tre», «erre enne»	le liste di 2, di 3, di $n$ numeri reali	$(3, 2)$ sta in $R^{2}$
$K$	«cappa»	i numeri reali oppure i numeri complessi	$K^{n}$ : le liste di $n$ numeri
$\in$	«appartiene a»	sta dentro l'insieme	$(1, 2) \in R^{2}$
$f : V \to W$	«effe da V a W»	la macchina prende vettori di $V$ e restituisce vettori di $W$	$S : R^{2} \to R^{2}$
$\mapsto$	«viene mandato in»	a sinistra l'entrata, a destra l'uscita	$x \mapsto 3 x$
$λ$	«lambda»	un numero qualsiasi, cioè uno scalare	$λ = 3$
$0$	«zero»	il numero zero oppure il vettore nullo: lo dice il contesto	$(0, 0)$ in $R^{2}$
$v_{1}, \dots, v_{k}$	«vu uno, …, vu cappa»	un elenco di $k$ vettori	$v_{1} = (1, 0)$ , $v_{2} = (0, 1)$
$(a b)$	«il vettore colonna a, b»	il vettore $(a, b)$ scritto in verticale	$(21)$ è $(2, 1)$
$id$	«identità»	la macchina che manda ogni vettore in sé stesso	$id (v) = v$
$a_{ij}$	«a con i, j»	il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$ di una matrice	$a_{21}$ : riga 2, colonna 1
$m \times n$	«emme per enne»	la taglia di una matrice: $m$ righe e $n$ colonne	$2 \times 3$ : 2 righe, 3 colonne
$L_{A}$	«elle con A»	la macchina «moltiplica per la matrice $A$ »	$L_{A} (x) = A x$
$e_{1}, e_{2}$	«e uno, e due»	i vettori della base canonica	$e_{1} = (1, 0)$ , $e_{2} = (0, 1)$
$A^{1}, A^{2}$	«la colonna 1, la colonna 2 di A»	le colonne della matrice; il numero in alto non è una potenza	$L_{A} (e_{1}) = A^{1}$
$x^{'}$	«x primo»	il nome di un secondo vettore	$x + x^{'}$
$tr A$	«traccia di A»	la somma dei numeri sulla diagonale	diagonale 1 e 4: traccia 5
$det A$	«determinante di A»	per due righe e due colonne: $a d - b c$	$det I_{2} = 1$
$^{t} A$	«A trasposta»	la matrice con righe e colonne scambiate	la riga 1 diventa la colonna 1
$M (n, K)$	«emme di enne, cappa»	le matrici quadrate con $n$ righe e $n$ colonne	$M (2, R)$ : due righe, due colonne
$R_{2} [x]$	«erre due di x»	i polinomi di grado al massimo 2	$x^{2} + 1$
$p (3)$	«pi di 3»	il valore del polinomio $p$ quando al posto di $x$ c'è 3	se $p = x^{2} + 1$ , $p (3) = 10$
$Ker f$	«ker di effe», «nucleo di effe»	i vettori che la macchina manda in zero	la retta dei multipli di $(1, - 1)$
$Im f$	«immagine di effe»	i vettori che escono dalla macchina	la retta dei multipli di $(1, 2)$
${0}$	«l'insieme con il solo zero»	l'insieme che contiene solo il vettore nullo	$Ker f = {0}$
${v \in V ∣ \dots}$	«i $v$ di $V$ per cui…»	l'insieme dei vettori che rispettano la condizione	${v \in V ∣ f (v) = 0}$
$\exists$	«esiste»	ce n'è almeno uno	$\exists v$ con $f (v) = w$
$\neq =$	«diverso da»	non uguale	$f (v) \neq = 0$
$Span (\dots)$	«span di…»	tutte le ricette fatte con quei vettori	$Span ((1, 2))$ : i multipli di $(1, 2)$
$dim$	«dimensione di»	quanti numeri servono per dire dove sei	$dim R^{3} = 3$
$rk (A)$	«rango di A»	il numero dei pivot dopo Gauss	una matrice con due righe uguali e non nulle ha rango 1
$\leq$	«minore o uguale»	più piccolo, oppure uguale	$dim Im f \leq dim V$
$⟺$	«se e solo se»	esattamente quando: vere insieme o false insieme	iniettiva $⟺$ nucleo ${0}$
$∣ x ∣$	«valore assoluto di x»	il numero senza il segno meno	$∣ - 1 ∣ = 1$

§10

Verso l'esame

esame

La prova scritta di Algebra lineare e Geometria ha 10 quiz con 5 risposte ciascuno. Servono almeno 6 risposte giuste perché vengano corretti i 2 problemi da 11 punti. Dura 2 ore, senza calcolatrice, e si possono portare solo 4 facciate di appunti scritti a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione viene chiesto

Quasi ogni appello ha almeno una domanda su questi argomenti.

«È lineare?» Appelli del 10/07/2024 (domanda 7: quale formula descrive un'applicazione lineare da $R^{3}$ a $R^{2}$ ) e del 10/07/2025 (domanda 3: la valutazione di un polinomio in 7).
Il nucleo. Appello del 24/01/2024 (domanda 8, con i polinomi di $R_{2} [x]$ ). Appello del 08/02/2024 (domanda 6, con la macchina che manda una matrice nella somma di sé stessa e della sua trasposta). Appello del 15/01/2026 (domanda 10, il nucleo di due macchine messe una dopo l'altra).
L'immagine. Appelli del 07/02/2025 (domanda 7), del 10/07/2025 (domanda 7), del 05/02/2026 (domanda 7) e del 07/09/2026 (domanda 4): quasi sempre per una macchina che prende e restituisce polinomi di $R_{2} [x]$ . Appelli del 03/06/2025 (domanda 7, il rango di una macchina) e del 03/07/2026 (domanda 4, la dimensione dell'immagine).
Il teorema della dimensione senza conti. Appelli del 06/09/2024 (domanda 3, letta qui sotto) e del 02/09/2025 (domanda 5). Nell'appello del 03/07/2026 (domanda 1) si chiede la dimensione di uno spazio di polinomi che valgono 0 in 2 e in $- 2$ : si trova come dimensione di un nucleo, con il metodo dell'esercizio 10.
Problemi aperti. Negli appelli del 08/02/2024 e del 10/07/2025 (problema 12) si chiedono quattro cose. La matrice di una macchina rispetto alla base canonica. Il suo rango. Tutti i vettori che vanno in un vettore assegnato. I valori di un parametro per cui un vettore sta nell'immagine. Nell'appello del 06/09/2024 (problema 11) si chiede una base del nucleo di una matrice con un parametro. Gli esercizi 13 e 14 seguono questi due schemi.

Metodo · L'immagine di una macchina tra polinomi, nel quiz

La macchina prende un polinomio con i tre numeri $a$ , $b$ , $c$ e ne restituisce un altro. Esempio: $a x^{2} + b x + c$ va in $(a - b) x^{2} + (b - a) x + c$ .

Raccogli i numeri che compaiono in uscita. Qui $(b - a) x$ è lo stesso di $- (a - b) x$ , quindi l'uscita è $(a - b) (x^{2} - x) + c \cdot 1$ .
Leggi i generatori. I polinomi che restano accanto ai numeri generano l'immagine. Qui sono $x^{2} - x$ e $1$ .
Togli i doppioni e conta. Se un generatore è una ricetta degli altri, toglilo. Quelli rimasti dicono la dimensione. Qui sono 2. Se viene 3, l'immagine è tutto $R_{2} [x]$ .
Confronta con le risposte. Due Span sono uguali se hanno la stessa dimensione e ogni generatore dell'uno sta nell'altro.

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 06/09/2024, domanda 3:

«Sia $T : R^{6} \to R_{3} [x]$ una applicazione lineare. Se $T$ è suriettiva, allora $ker T$ ha dimensione: (a) 3. (b) 4. (c) 2. (d) 6. (e) 1.»

In pratica chiede: una macchina lineare prende vettori di 6 numeri e restituisce polinomi di grado al massimo 3. Riesce a produrre tutti i polinomi di quel tipo. Quante dimensioni perde?

Quello che entra. I vettori di 6 numeri formano uno spazio di dimensione 6.
Lo spazio di arrivo. Un polinomio di grado al massimo 3 è del tipo $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Servono 4 numeri, quindi la dimensione è 4, non 3.
Quello che esce. La macchina è suriettiva: l'immagine è tutto lo spazio di arrivo, e ha dimensione 4.
Quello che si perde. Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione $6 - 4 = 2$ .

La risposta giusta è la (c). La (a) viene dall'errore di contare 3 per i polinomi di grado al massimo 3. La (b) è la dimensione dell'immagine, non del nucleo. La (d) è la dimensione dello spazio di partenza.

Il metodo vale per tutte le domande di questo tipo: scrivi la dimensione dello spazio di partenza, usa quello che dice il testo («suriettiva», «iniettiva», il rango) e sottrai. Nelle soluzioni ufficiali degli appelli il teorema della dimensione è chiamato anche «teorema del rango». È lo stesso teorema.

Trappola · Gli errori da evitare

Confondere partenza e arrivo. Il nucleo sta nello spazio di partenza, l'immagine in quello di arrivo. Nel teorema della dimensione si usa la dimensione dello spazio di partenza.
Prendere le colonne della matrice ridotta come base dell'immagine. Vanno prese dalla matrice di partenza.
Dire che una macchina è lineare solo perché manda lo zero nello zero.
Sbagliare le dimensioni. $R_{n} [x]$ ha dimensione $n + 1$ : i polinomi di grado al massimo 3 hanno dimensione 4, non 3. Le matrici con $m$ righe e $n$ colonne hanno dimensione $m \cdot n$ : quelle con due righe e due colonne hanno dimensione 4.

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione conviene copiare cinque righe.

Le due regole di linearità, e il test: se lo zero non va nello zero, non è lineare.
Per la macchina di una matrice: le colonne sono le uscite della base canonica. L'immagine è lo Span delle colonne. Il rango è la dimensione dell'immagine. Il nucleo è fatto dalle soluzioni del sistema con tutti zeri a destra.
Il teorema della dimensione: nucleo più immagine uguale spazio di partenza.
Iniettiva esattamente quando il nucleo contiene solo lo zero.
Le tre regole: partenza più grande dell'arrivo, non iniettiva. Partenza più piccola dell'arrivo, non suriettiva. Stessa dimensione: iniettiva esattamente quando suriettiva.

§12

Esercizi

con soluzioni

1 · Far girare una macchina base

La macchina $T : R^{2} \to R^{2}$ ha la regola $T (x, y) = (x + 2 y, 3 x)$ . Calcola $T (1, 0)$ , $T (0, 1)$ e $T (2, 1)$ . Poi controlla che $T (2, 1) = 2 \cdot T (1, 0) + T (0, 1)$ .

Soluzione

Ogni volta metto i due numeri del vettore al posto di $x$ e di $y$ .

$T (1, 0) = (1 + 2 \cdot 0, 3 \cdot 1) = (1, 3)$ .
$T (0, 1) = (0 + 2 \cdot 1, 3 \cdot 0) = (2, 0)$ .
$T (2, 1) = (2 + 2 \cdot 1, 3 \cdot 2) = (4, 6)$ .

Controllo. $2 \cdot (1, 3) + (2, 0) = (2, 6) + (2, 0) = (4, 6)$ : è uguale a $T (2, 1)$ . Il motivo: $(2, 1)$ è la ricetta «2 parti di $(1, 0)$ più 1 parte di $(0, 1)$ », e le ricette restano ricette.

2 · Il test dello zero base

Per ogni macchina calcola l'uscita del vettore nullo e di' che cosa puoi concludere: (a) $T (x, y) = (x + 3, y)$ ; (b) $T (x, y) = (2 x - y, x)$ ; (c) $T (x, y) = (x^{2}, y)$ .

Soluzione

(a) $T (0, 0) = (0 + 3, 0) = (3, 0)$ . Non esce il vettore nullo, quindi la macchina non è lineare.

(b) $T (0, 0) = (2 \cdot 0 - 0, 0) = (0, 0)$ . Il test è superato, ma da solo non basta. Guardo la formula: in uscita ci sono solo multipli delle entrate, sommati. Quindi la macchina è lineare.

(c) $T (0, 0) = (0^{2}, 0) = (0, 0)$ . Il test è superato, ma nella formula c'è un quadrato. Cerco un controesempio con i multipli.

Entra $(1, 0)$ : esce $(1^{2}, 0) = (1, 0)$ . Il doppio dell'uscita è $(2, 0)$ .
Entra il doppio, cioè $(2, 0)$ : esce $(2^{2}, 0) = (4, 0)$ .

$(4, 0)$ e $(2, 0)$ sono diversi, quindi la macchina non è lineare.

3 · Contare con il teorema della dimensione base

(a) Una macchina lineare va da $R^{4}$ a $R^{3}$ e la sua immagine ha dimensione 3. Che dimensione ha il nucleo? (b) Una macchina lineare va da $R^{3}$ a $R^{5}$ ed è iniettiva. Che dimensione ha l'immagine? (c) Una matrice con 6 colonne ha rango 4. Che dimensione ha il nucleo della sua macchina?

Soluzione

La regola è sempre: quello che entra è uguale a quello che si perde più quello che esce.

(a) Entra uno spazio di dimensione 4 ed esce uno spazio di dimensione 3. Il nucleo ha dimensione $4 - 3 = 1$ .

(b) La macchina è iniettiva, quindi nel nucleo c'è solo lo zero: non si perde niente. L'immagine ha dimensione $3 - 0 = 3$ .

(c) Le colonne sono 6, quindi entra uno spazio di dimensione 6. L'immagine ha la dimensione del rango, cioè 4. Il nucleo ha dimensione $6 - 4 = 2$ .

4 · Lineari o no? base

Stabilisci quali sono lineari; per le altre dai un controesempio. (a) $T : R^{2} \to R^{2}$ , $T (x, y) = (3 x - y, 0)$ . (b) $T : R^{2} \to R^{2}$ , $T (x, y) = (x + y, 1)$ . (c) $T : R^{3} \to R^{2}$ , $T (x, y, z) = (x z, y)$ . (d) $T : R_{2} [x] \to R$ , $T (p) = p (0) \cdot p (1)$ .

Soluzione

(a) Lineare. In uscita ci sono solo multipli delle entrate, sommati: il primo numero è $3 x + (- 1) y$ , il secondo è $0 x + 0 y$ . È la macchina della matrice con prima riga 3 e $- 1$ e seconda riga 0 e 0.

(b) Non lineare. Test dello zero: $T (0, 0) = (0 + 0, 1) = (0, 1)$ . Non esce il vettore nullo.

(c) Non lineare. Il test dello zero non basta: $T (0, 0, 0) = (0, 0)$ . Ma nella formula c'è un prodotto tra due entrate. Cerco un controesempio con il vettore $(1, 0, 1)$ e il numero 2.

Prima moltiplico, poi entro: $T (2, 0, 2) = (2 \cdot 2, 0) = (4, 0)$ .
Prima entro, poi moltiplico: $T (1, 0, 1) = (1 \cdot 1, 0) = (1, 0)$ , e il doppio è $(2, 0)$ .

$(4, 0)$ e $(2, 0)$ sono diversi.

(d) Non lineare. La macchina prende un polinomio, lo calcola in 0 e in 1, e moltiplica i due numeri. Uso il polinomio costante $1$ , che vale 1 dappertutto, e il numero 2.

Entra il polinomio $1$ : esce $1 \cdot 1 = 1$ . Il doppio dell'uscita è 2.
Entra il doppio, cioè il polinomio costante $2$ : esce $2 \cdot 2 = 4$ .

4 e 2 sono diversi. Anche qui il polinomio zero va in $0 \cdot 0 = 0$ : il test dello zero non bastava.

5 · Conoscere $T$ dai valori sulla base base

(a) $T : R^{2} \to R^{2}$ è lineare, con $T (1, 0) = (2, 1)$ e $T (0, 1) = (- 1, 3)$ . Calcola $T (3, - 2)$ e la matrice $A$ con $T = L_{A}$ . (b) Se invece si sa che $T (1, 1) = (3, 0)$ e $T (1, - 1) = (1, 2)$ , quanto vale $T (1, 0)$ ?

Soluzione

(a) Scrivo $(3, - 2)$ come ricetta dei due vettori di cui conosco l'uscita.

La ricetta è $(3, - 2) = 3 \cdot (1, 0) - 2 \cdot (0, 1)$ .
Le ricette restano ricette: $T (3, - 2) = 3 \cdot (2, 1) - 2 \cdot (- 1, 3)$ .
Faccio i due multipli: $3 \cdot (2, 1) = (6, 3)$ e $2 \cdot (- 1, 3) = (- 2, 6)$ .
Sottraggo posto per posto: $(6 - (- 2), 3 - 6) = (8, - 3)$ .

Quindi $T (3, - 2) = (8, - 3)$ . La matrice ha come colonne le uscite dei vettori della base canonica:

A = (21 - 1 3)

Controllo. Moltiplico la matrice per $(3, - 2)$ . Riga 1: $2 \cdot 3 + (- 1) \cdot (- 2) = 8$ . Riga 2: $1 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) = - 3$ .

(b) Questa volta conosco le uscite di $(1, 1)$ e di $(1, - 1)$ . Devo scrivere $(1, 0)$ come loro ricetta.

Sommo i due vettori: $(1, 1) + (1, - 1) = (2, 0)$ . È il doppio di $(1, 0)$ .
Quindi $(1, 0)$ è «mezza parte del primo più mezza parte del secondo».
Le ricette restano ricette: $T (1, 0) = \frac{1}{2} \cdot (3, 0) + \frac{1}{2} \cdot (1, 2)$ .
Faccio i conti: $(\frac{3}{2}, 0) + (\frac{1}{2}, 1) = (2, 1)$ .

6 · Nucleo e immagine di una proiezione obliqua base

Trova nucleo e immagine di $T : R^{3} \to R^{2}$ , $T (x, y, z) = (x - z, y + z)$ , e di' se $T$ è iniettiva o suriettiva.

Soluzione

La matrice. Nelle righe metto i numeri che moltiplicano le entrate: la prima riga è fatta da 1, 0 e $- 1$ , la seconda da 0, 1 e 1. È già ridotta. I pivot stanno nelle colonne 1 e 2, quindi il rango è 2.
Il nucleo. Il sistema è $x - z = 0$ e $y + z = 0$ . L'incognita $z$ è libera: la chiamo $t$ . Allora $x = t$ e $y = - t$ . Il nucleo è $Span ((1, - 1, 1))$ , di dimensione 1.
L'immagine. Ha la dimensione del rango, cioè 2. Lo spazio di arrivo $R^{2}$ ha dimensione 2, quindi l'immagine è tutto $R^{2}$ .
Iniettiva o suriettiva? È suriettiva, perché l'immagine è tutto lo spazio di arrivo. Non è iniettiva, perché nel nucleo non c'è solo lo zero. Da $R^{3}$ a $R^{2}$ non poteva esserlo in nessun caso.

Controllo. $T (1, - 1, 1) = (1 - 1, - 1 + 1) = (0, 0)$ . Il teorema della dimensione torna: $1 + 2 = 3$ .

7 · Esercizio 14.14 delle dispense, punto 1 medio

Sia $f_{1} : R^{3} \to R^{2}$ , $f_{1} (x, y, z) = (x + y + z, 2 x + 3 y + 4 z)$ . Controlla che $f_{1}$ è lineare, trova $Ker f_{1}$ e $Im f_{1}$ e verifica il teorema della dimensione.

Soluzione

È lineare. In uscita ci sono solo multipli delle entrate, sommati. Quindi $f_{1}$ è la macchina di una matrice (Esempio 14.6). Nelle righe ci sono i numeri che moltiplicano le entrate:

A = (121314)

Il nucleo. Riduco la matrice con Gauss–Jordan.

Mossa $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ : la nuova riga 2 è $(2 - 2, 3 - 2, 4 - 2) = (0, 1, 2)$ .
Mossa $R_{1} \to R_{1} - R_{2}$ : la nuova riga 1 è $(1 - 0, 1 - 1, 1 - 2) = (1, 0, - 1)$ .
I pivot stanno nelle colonne 1 e 2. La colonna 3 non ha pivot, quindi $z$ è libera: la chiamo $t$ .
La riga 1 dice $x - z = 0$ , cioè $x = t$ . La riga 2 dice $y + 2 z = 0$ , cioè $y = - 2 t$ .

Le soluzioni sono $(t, - 2 t, t)$ : il nucleo è $Span ((1, - 2, 1))$ , di dimensione 1.

L'immagine. I pivot sono 2, quindi l'immagine ha dimensione 2. Lo spazio di arrivo $R^{2}$ ha dimensione 2: l'immagine è tutto $R^{2}$ . Una base: le colonne 1 e 2 della matrice di partenza, cioè $(1, 2)$ e $(1, 3)$ .

Il teorema della dimensione. $1 + 2 = 3$ , la dimensione di $R^{3}$ .

Controllo. $f_{1} (1, - 2, 1) = (1 - 2 + 1, 2 - 6 + 4) = (0, 0)$ .

8 · Esercizio 14.14 delle dispense, punto 2 medio

Sia $f_{2} : R_{2} [x] \to R$ , $f_{2} (p (x)) = p (1) + p (- 1)$ . Controlla che $f_{2}$ è lineare, trova $Ker f_{2}$ e $Im f_{2}$ e verifica il teorema della dimensione.

Soluzione

A parole: la macchina prende un polinomio di grado al massimo 2, lo calcola in 1 e in $- 1$ e somma i due numeri.

Una formula comoda. Scrivo il polinomio con tre numeri: $p = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$ .

In 1: $p (1) = a_{0} + a_{1} + a_{2}$ .
In $- 1$ : $p (- 1) = a_{0} - a_{1} + a_{2}$ , perché $(- 1)^{2} = 1$ .
Sommo: i due pezzi con $a_{1}$ si cancellano, e resta $f_{2} (p) = 2 a_{0} + 2 a_{2}$ .

È lineare. Per calcolare in un punto la somma di due polinomi si sommano i due valori. Quindi, per due polinomi $p$ e $q$ e un numero $λ$ :

f_{2} (p + q) = p (1) + q (1) + p (- 1) + q (- 1) = f_{2} (p) + f_{2} (q),

f_{2} (λ p) = λ p (1) + λ p (- 1) = λ f_{2} (p) .

Il nucleo. Cerco i polinomi che vanno in zero.

La condizione è $2 a_{0} + 2 a_{2} = 0$ , cioè $a_{2} = - a_{0}$ . Il numero $a_{1}$ è libero.
Sostituisco: $p = a_{0} + a_{1} x - a_{0} x^{2} = a_{0} (1 - x^{2}) + a_{1} x$ .
I polinomi $1 - x^{2}$ e $x$ hanno grado diverso, quindi nessuno è un multiplo dell'altro: sono indipendenti.

Il nucleo è $Span (1 - x^{2}, x)$ , di dimensione 2.

L'immagine. Il polinomio costante $\frac{1}{2}$ va in $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . Quindi il numero 1 esce, e con lui tutti i suoi multipli, cioè tutti i numeri. L'immagine è tutto $R$ , di dimensione 1.

Il teorema della dimensione. $2 + 1 = 3$ , la dimensione di $R_{2} [x]$ .

Controllo. Il polinomio $1 - x^{2}$ vale 0 sia in 1 sia in $- 1$ . Il polinomio $x$ vale 1 in 1 e $- 1$ in $- 1$ : la somma è 0.

9 · Esercizio 14.14 delle dispense, punto 3 medio

Sia $f_{3} : M_{2} (R) \to M_{2} (R)$ , $f_{3} (A) = A -^{t} A$ (dove $M_{2} (R) = M (2, R)$ sono le matrici reali $2 \times 2$ ). Controlla che $f_{3}$ è lineare, trova $Ker f_{3}$ e $Im f_{3}$ e verifica il teorema della dimensione.

Soluzione

A parole: la macchina prende una matrice con due righe e due colonne e le toglie la sua trasposta, cioè la matrice con righe e colonne scambiate (lezione L08).

Una formula comoda. Nella trasposta i numeri $b$ e $c$ si scambiano di posto.

f_{3} (A) = (a c b d) - (a b c d) = (0 c - b b - c 0)

È lineare. La trasposta rispetta somme e multipli (lezione L08). Quindi:

f_{3} (A + B) = (A + B) -^{t} (A + B) = A -^{t} A + B -^{t} B = f_{3} (A) + f_{3} (B),

f_{3} (λ A) = λ A - λ^{t} A = λ f_{3} (A) .

Il nucleo. Cerco le matrici che vanno nella matrice di soli zeri.

Dalla formula: serve $b - c = 0$ , cioè $b = c$ . I numeri $a$ e $d$ sono liberi.
Le matrici con $b = c$ sono le matrici simmetriche. Ognuna è una ricetta di tre matrici:
$(a b b d) = a (1000) + b (0110) + d (0001) .$
Le tre matrici sono indipendenti: ognuna ha un 1 in un posto dove le altre due hanno 0.

Il nucleo ha dimensione 3.

L'immagine. Le uscite hanno 0 sulla diagonale, un numero $s$ in alto a destra e $- s$ in basso a sinistra. Il numero $s$ può essere qualsiasi: basta scegliere $b = s$ e $c = 0$ . Sono le matrici antisimmetriche, cioè i multipli di una sola matrice:

Im f_{3} = Span ((0 - 1 10)) .

Il teorema della dimensione. $3 + 1 = 4$ , la dimensione di $M_{2} (R)$ : per scrivere una matrice con due righe e due colonne servono 4 numeri.

10 · Un sottospazio di polinomi come nucleo medio

Sia $W = {p \in R_{3} [x] ∣ p (0) = 0, p (1) = 0}$ . Trova $dim W$ con il teorema della dimensione e poi una base di $W$ .

Soluzione

A parole: $W$ è fatto dai polinomi di grado al massimo 3 che valgono 0 sia in 0 sia in 1.

Riconosco un nucleo. Prendo la macchina che manda un polinomio $p$ nel vettore $(p (0), p (1))$ . Parte da $R_{3} [x]$ e arriva in $R^{2}$ . È fatta di due valutazioni, quindi è lineare. I polinomi che manda in $(0, 0)$ sono proprio quelli di $W$ .
Conto quello che entra. Un polinomio di grado al massimo 3 si scrive con 4 numeri: $R_{3} [x]$ ha dimensione 4.
Conto quello che esce. Il polinomio $1 - x$ va in $(1 - 0, 1 - 1) = (1, 0)$ . Il polinomio $x$ va in $(0, 1)$ . Queste due uscite generano tutto $R^{2}$ : l'immagine ha dimensione 2.
Uso il teorema. Il nucleo ha dimensione $4 - 2 = 2$ . Quindi $dim W = 2$ .

Una base. I polinomi $x^{2} - x$ e $x^{3} - x$ stanno in $W$ : valgono $0 - 0 = 0$ in 0 e $1 - 1 = 0$ in 1. Hanno grado diverso, quindi sono indipendenti. Due vettori indipendenti in uno spazio di dimensione 2 formano una base (Teorema 7.12, lezione L07). Quindi $W = Span (x^{2} - x, x^{3} - x)$ .

È lo schema della domanda 1 dell'appello del 03/07/2026.

11 · Esercizio 14.15 delle dispense difficile

Sia $f : R^{4} \to R^{3}$ l'applicazione lineare $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{1} + x_{2} + x_{3}, x_{2} + x_{3} + x_{4}, x_{1} - x_{4})$ . (1) Trova una base di $Ker f$ . (2) Determina $dim Im f$ con il teorema della dimensione. (3) Trova una base di $Im f$ . (4) Stabilisci se $f$ è iniettiva e se è suriettiva.

Soluzione

La matrice. In ogni riga metto i numeri che moltiplicano le quattro entrate. Dove un'entrata manca, il numero è 0.

A = 101110110 01 - 1

Gauss–Jordan.

Mossa $R_{3} \to R_{3} - R_{1}$ : la nuova riga 3 è $(1 - 1, 0 - 1, 0 - 1, - 1 - 0) = (0, - 1, - 1, - 1)$ .
È l'opposto della riga 2. Mossa $R_{3} \to R_{3} + R_{2}$ : la nuova riga 3 è $(0, 0, 0, 0)$ .
Mossa $R_{1} \to R_{1} - R_{2}$ : la nuova riga 1 è $(1 - 0, 1 - 1, 1 - 1, 0 - 1) = (1, 0, 0, - 1)$ .

100010010 - 1 10

(1) Una base del nucleo.

I pivot stanno nelle colonne 1 e 2. Le incognite $x_{3}$ e $x_{4}$ sono libere: le chiamo $s$ e $t$ .
La riga 1 dice $x_{1} - x_{4} = 0$ , cioè $x_{1} = t$ .
La riga 2 dice $x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0$ , cioè $x_{2} = - s - t$ .
Separo i pezzi con $s$ da quelli con $t$ :
$(t, - s - t, s, t) = s \cdot (0, - 1, 1, 0) + t \cdot (1, - 1, 0, 1) .$

Una base del nucleo è fatta da $(0, - 1, 1, 0)$ e $(1, - 1, 0, 1)$ . Il nucleo ha dimensione 2.

(2) La dimensione dell'immagine. Entra uno spazio di dimensione 4 e il nucleo ha dimensione 2. L'immagine ha dimensione $4 - 2 = 2$ .

(3) Una base dell'immagine. Prendo le colonne 1 e 2 della matrice di partenza, quelle nei posti dei pivot: $(1, 0, 1)$ e $(1, 1, 0)$ . Non sono uno multiplo dell'altro, e l'immagine ha dimensione 2: formano una base.

(4) Iniettiva? Suriettiva? Non è iniettiva, perché nel nucleo non c'è solo lo zero. Non è suriettiva, perché l'immagine ha dimensione 2 e lo spazio di arrivo ha dimensione 3. Un vettore che non esce mai è $(0, 0, 1)$ : le uscite $(x, y, z)$ rispettano tutte $x - y - z = 0$ , e qui viene $- 1$ .

Controllo. I due vettori della base del nucleo vanno in zero:

$f (0, - 1, 1, 0) = (0 - 1 + 1, - 1 + 1 + 0, 0 - 0) = (0, 0, 0)$ ;
$f (1, - 1, 0, 1) = (1 - 1 + 0, - 1 + 0 + 1, 1 - 1) = (0, 0, 0)$ .

12 · Che cosa fa un'applicazione lineare ai vettori dipendenti e indipendenti difficile

Sia $f : V \to W$ lineare e siano $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ . (a) Dimostra che se $v_{1}, \dots, v_{k}$ sono dipendenti, anche $f (v_{1}), \dots, f (v_{k})$ lo sono. (b) Dimostra che se $f$ è iniettiva e $v_{1}, \dots, v_{k}$ sono indipendenti, anche $f (v_{1}), \dots, f (v_{k})$ sono indipendenti. (c) Mostra con un esempio che in (b) l'iniettività serve.

Soluzione

Ricorda (lezione L07): dei vettori sono dipendenti se una loro ricetta dà il vettore nullo anche con coefficienti non tutti zero. Sono indipendenti se una loro ricetta dà il vettore nullo solo quando tutti i coefficienti sono zero.

(a) I passi sono quattro.

I vettori sono dipendenti: esistono numeri $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ , non tutti zero, con $λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} = 0$ .
Faccio entrare nella macchina i due lati. A destra entra lo zero, ed esce lo zero.
A sinistra le ricette restano ricette: $λ_{1} f (v_{1}) + \dots + λ_{k} f (v_{k}) = 0$ .
È una ricetta delle uscite che dà zero, con coefficienti non tutti zero. Quindi le uscite sono dipendenti.

(b) Anche qui quattro passi.

Prendo una ricetta delle uscite che dà zero: $λ_{1} f (v_{1}) + \dots + λ_{k} f (v_{k}) = 0$ . Devo mostrare che tutti i coefficienti sono zero.
Le ricette restano ricette: il vettore $λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}$ va in zero, cioè sta nel nucleo.
La macchina è iniettiva, quindi nel nucleo c'è solo lo zero (Proposizione 14.11). Allora $λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} = 0$ .
I vettori di partenza sono indipendenti: la loro ricetta dà zero solo se tutti i coefficienti sono zero.

(c) Prendo la macchina che manda $(x, y)$ in $(x + y, 2 x + 2 y)$ , che non è iniettiva. I vettori $(1, 0)$ e $(0, 1)$ sono indipendenti, ma le loro uscite sono tutte e due $(1, 2)$ . Due vettori uguali sono dipendenti: il primo meno il secondo dà zero.

13 · Come all'esame: rango, controimmagini e immagine con un parametro tipo esame

Sia $T : R^{3} \to R^{3}$ , $T (x, y, z) = (x + y + 2 z, 2 x + y + 3 z, x + 2 y + 3 z)$ . (1) Scrivi la matrice $A$ con $T = L_{A}$ e calcola il rango di $T$ . (2) Trova tutti i vettori $v$ con $T (v) = (3, 4, 5)$ . (3) Per quali $k \in R$ il vettore $(k, k^{2}, 2)$ appartiene all'immagine di $T$ ? (4) Trova una base di $Ker T$ e di' se $T$ è iniettiva o suriettiva.

Soluzione

Una parola del titolo: i vettori che vanno in un vettore assegnato si chiamano le sue controimmagini. La domanda (2) chiede le controimmagini di $(3, 4, 5)$ .

(1) La matrice e il rango. Nelle righe metto i numeri che moltiplicano le entrate. Le domande (2) e (3) chiedono se certi vettori escono dalla macchina: conviene fare Gauss una volta sola, con un'uscita qualsiasi $(a, b, c)$ a destra della barra.

121112233 a b c

Mossa $R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1}$ . A sinistra: $(2 - 2, 1 - 2, 3 - 4) = (0, - 1, - 1)$ . A destra: $b - 2 a$ .
Mossa $R_{3} \to R_{3} - R_{1}$ . A sinistra: $(1 - 1, 2 - 1, 3 - 2) = (0, 1, 1)$ . A destra: $c - a$ .
Mossa $R_{3} \to R_{3} + R_{2}$ . A sinistra: $(0, 0, 0)$ . A destra: $(c - a) + (b - 2 a) = b + c - 3 a$ .

100 1 - 1 0 2 - 1 0 a b - 2 a b + c - 3 a

A sinistra della barra ci sono due pivot: il rango è 2.

(2) I vettori che vanno in $(3, 4, 5)$ . Metto $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ .

L'ultima riga dice $0 = 4 + 5 - 9$ . È vera, quindi le soluzioni ci sono.
La riga 2 dice $- y - z = 4 - 6 = - 2$ , cioè $y + z = 2$ . La riga 1 dice $x + y + 2 z = 3$ .
La colonna 3 non ha pivot: $z$ è libera, e la chiamo $t$ . Dalla riga 2: $y = 2 - t$ .
Dalla riga 1: $x = 3 - (2 - t) - 2 t = 1 - t$ .

I vettori cercati sono $v = (1 - t, 2 - t, t)$ , per ogni numero $t$ . Controllo con $t = 0$ : $T (1, 2, 0) = (1 + 2 + 0, 2 + 2 + 0, 1 + 4 + 0) = (3, 4, 5)$ .

(3) Per quali $k$ il vettore $(k, k^{2}, 2)$ sta nell'immagine. Un vettore $(a, b, c)$ esce dalla macchina quando il sistema ha soluzione, cioè quando l'ultima riga non è impossibile: $b + c - 3 a = 0$ .

Metto $a = k$ , $b = k^{2}$ , $c = 2$ : la condizione diventa $k^{2} - 3 k + 2 = 0$ .
Cerco due numeri che sommati danno 3 e moltiplicati danno 2: sono 1 e 2. Quindi $k^{2} - 3 k + 2 = (k - 1) (k - 2)$ .
Un prodotto è zero quando uno dei due pezzi è zero: $k = 1$ oppure $k = 2$ .

Il vettore sta nell'immagine per $k = 1$ e per $k = 2$ . Controllo: con $k = 1$ il vettore è $(1, 1, 2)$ , e $1 + 2 - 3 = 0$ . Con $k = 2$ è $(2, 4, 2)$ , e $4 + 2 - 6 = 0$ .

(4) Il nucleo. Uso la stessa matrice ridotta, con $a = b = c = 0$ .

La riga 2 dice $y = - z$ . Con $z = t$ viene $y = - t$ .
La riga 1 dice $x = - y - 2 z = t - 2 t = - t$ .

Le soluzioni sono $(- t, - t, t)$ : una base del nucleo è $(- 1, - 1, 1)$ . La macchina non è iniettiva, perché nel nucleo non c'è solo lo zero. Non è suriettiva, perché l'immagine ha dimensione 2 e lo spazio di arrivo ha dimensione 3.

Controllo: $T (- 1, - 1, 1) = (- 1 - 1 + 2, - 2 - 1 + 3, - 1 - 2 + 3) = (0, 0, 0)$ . Il teorema della dimensione torna: $1 + 2 = 3$ .

Lo schema è quello dei problemi 12 degli appelli del 08/02/2024 e del 10/07/2025.

14 · Come all'esame: il nucleo al variare di $k$ tipo esame

Sia $A = 11 k 1 k 1 k 11$ con $k \in R$ . Al variare di $k$ , trova una base di $Ker L_{A}$ e di' per quali $k$ l'applicazione $L_{A} : R^{3} \to R^{3}$ è iniettiva.

Soluzione

L'idea: nella matrice c'è una lettera $k$ al posto di un numero, e la matrice è quadrata. Se il suo determinante non è zero, il sistema con tutti zeri a destra ha solo la soluzione zero (lezione L12). I valori speciali di $k$ sono quelli che rendono il determinante uguale a zero.

Il determinante. Sviluppo lungo la prima riga (lezione L09).

I tre pezzi: $det A = 1 \cdot (k \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot k) + k \cdot (1 \cdot 1 - k \cdot k)$ .
Faccio i conti nelle parentesi: $det A = (k - 1) - (1 - k) + k (1 - k^{2})$ .
Il pezzo $- (1 - k)$ è uguale a $k - 1$ . E $1 - k^{2} = - (k - 1) (k + 1)$ . Quindi $det A = 2 (k - 1) - k (k - 1) (k + 1)$ .
In tutti e due i pezzi c'è $k - 1$ : lo porto fuori. $det A = (k - 1) (2 - k - k^{2})$ .
Cambio segno alla seconda parentesi: $2 - k - k^{2} = - (k^{2} + k - 2) = - (k - 1) (k + 2)$ .

det A = - (k - 1)^{2} (k + 2)

Il determinante è zero solo per $k = 1$ e per $k = - 2$ .

Primo caso: $k$ diverso da 1 e da $- 2$ . Il determinante non è zero. Nel nucleo c'è solo il vettore nullo: ha dimensione 0 e non ha una base. La macchina è iniettiva, e quindi anche suriettiva.

Secondo caso: $k = 1$ . Tutte e tre le righe sono $(1, 1, 1)$ : il rango è 1.

Resta una sola equazione: $x + y + z = 0$ .
Le incognite $y$ e $z$ sono libere: le chiamo $s$ e $t$ . Allora $x = - s - t$ .
Le soluzioni sono $(- s - t, s, t) = s \cdot (- 1, 1, 0) + t \cdot (- 1, 0, 1)$ .

Una base del nucleo è fatta da $(- 1, 1, 0)$ e $(- 1, 0, 1)$ . Il nucleo ha dimensione $3 - 1 = 2$ .

Terzo caso: $k = - 2$ . Le righe sono $(1, 1, - 2)$ , $(1, - 2, 1)$ e $(- 2, 1, 1)$ .

Mossa $R_{2} \to R_{2} - R_{1}$ : la nuova riga 2 è $(1 - 1, - 2 - 1, 1 + 2) = (0, - 3, 3)$ .
Mossa $R_{3} \to R_{3} + 2 R_{1}$ : la nuova riga 3 è $(- 2 + 2, 1 + 2, 1 - 4) = (0, 3, - 3)$ .
Mossa $R_{3} \to R_{3} + R_{2}$ : la nuova riga 3 è $(0, 0, 0)$ . I pivot sono 2, quindi il rango è 2.
L'incognita $z$ è libera: la chiamo $t$ . La riga 2 dice $- 3 y + 3 z = 0$ , cioè $y = t$ .
La riga 1 dice $x + y - 2 z = 0$ , cioè $x = - t + 2 t = t$ .

Le soluzioni sono $(t, t, t)$ : una base del nucleo è $(1, 1, 1)$ . Il nucleo ha dimensione $3 - 2 = 1$ . Controllo: i numeri di ogni riga, sommati, danno zero. Per esempio $1 + 1 - 2 = 0$ .

Conclusione. La macchina è iniettiva esattamente per $k$ diverso da 1 e da $- 2$ . Lo schema è quello del problema 11, punto 2, dell'appello del 06/09/2024.

§13

Domande di ripasso

autoverifica

Che cos'è un'applicazione lineare?

È una macchina che trasforma vettori in vettori rispettando due regole. Somme: far entrare una somma dà la somma delle uscite. Multipli: far entrare un multiplo dà lo stesso multiplo dell'uscita.

Perché un'applicazione lineare manda

0

0

? Quali tre zeri compaiono?

Il vettore nullo si può scrivere come «numero zero per vettore nullo». Per la regola dei multipli il numero zero esce dalla macchina, e il numero zero per qualunque vettore dà il vettore nullo. I tre zeri sono: il vettore nullo dello spazio di partenza, il numero zero e il vettore nullo dello spazio di arrivo.

Come si dimostra che una funzione non è lineare?

Basta un controesempio con i numeri. Ci sono tre possibilità: lo zero non va nello zero; due vettori per cui le somme non tornano; un vettore e un numero per cui i multipli non tornano. Il test dello zero da solo può non bastare.

Che cos'è

L_{A}

e perché è lineare?

È la macchina «moltiplica per la matrice $A$ ». Se la matrice ha $m$ righe e $n$ colonne, entrano vettori di $n$ numeri ed escono vettori di $m$ numeri. È lineare perché il prodotto di matrici rispetta somme e multipli.

Che cosa sono le colonne di

A

per l'applicazione

L_{A}

Sono le uscite dei vettori della base canonica: il primo va nella prima colonna, il secondo nella seconda, e avanti così. L'uscita di un vettore qualsiasi è la ricetta fatta con le colonne, con i numeri del vettore come coefficienti.

Che cosa sono nucleo e immagine, e dove vivono?

Il nucleo è l'insieme dei vettori che la macchina manda in zero: è un sottospazio dello spazio di partenza. L'immagine è l'insieme dei vettori che escono dalla macchina: è un sottospazio dello spazio di arrivo.

Perché

f

è iniettiva se e solo se

Ker f = {0}

Se la macchina è iniettiva, solo lo zero può andare dove va lo zero. Al contrario, supponi che nel nucleo ci sia solo lo zero e prendi due entrate diverse. La loro differenza non è zero, quindi non va in zero. Ma l'uscita della differenza è la differenza delle uscite: quindi le due uscite sono diverse.

Come si trovano nucleo e immagine di

L_{A}

Il nucleo è l'insieme delle soluzioni del sistema con tutti zeri a destra: ogni incognita libera dà un vettore della base. L'immagine è lo Span delle colonne: una base è fatta dalle colonne di partenza nei posti dei pivot.

Che cosa dice il teorema della dimensione? Qual è l'idea della dimostrazione?

Dice che la dimensione del nucleo più la dimensione dell'immagine dà la dimensione dello spazio di partenza, se questa è finita. L'idea: si prende una base del nucleo e la si completa a una base di tutto lo spazio di partenza. Le uscite dei vettori aggiunti formano una base dell'immagine.

Perché per le matrici il teorema della dimensione è Rouché–Capelli?

Il nucleo della macchina di una matrice è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo, e la dimensione dell'immagine è il rango. Il teorema dice allora: la dimensione dello spazio delle soluzioni è il numero delle colonne meno il rango.

dim V = 4

dim W = 2

, che cosa si sa di

f : V \to W

lineare? E se

dim V = dim W

Nel primo caso la macchina non può essere iniettiva: l'immagine ha dimensione al massimo 2, quindi il nucleo ha dimensione almeno $4 - 2 = 2$ . Nel secondo caso la macchina è iniettiva esattamente quando è suriettiva (Corollario 14.13).

Quali di queste sono lineari: traccia, determinante, trasposizione, valutazione di un polinomio in un punto?

Traccia, trasposizione e valutazione sono lineari. Il determinante no: per la matrice identità con due righe, il determinante del suo doppio è 4, mentre la somma dei due determinanti è $1 + 1 = 2$ .

§14

Glossario

termini

Applicazione lineare: Una macchina che trasforma vettori in vettori e rispetta somme e multipli. Esempio: quella che manda $(x, y)$ in $(2 x, y)$ .
Dominio e codominio: Lo spazio dei vettori che entrano e lo spazio in cui stanno i vettori che escono. Nella scrittura $f : V \to W$ sono $V$ e $W$ .
Funzione nulla: La macchina che manda ogni vettore nel vettore nullo. È lineare. Il suo nucleo è tutto lo spazio di partenza, la sua immagine contiene solo lo zero.
Identità $id$: La macchina che manda ogni vettore in sé stesso. È lineare. Il suo nucleo contiene solo lo zero, la sua immagine è tutto lo spazio.
$L_{A}$: La macchina «moltiplica per la matrice $A$ ». Con $m$ righe e $n$ colonne, entrano liste di $n$ numeri ed escono liste di $m$ numeri.
Base canonica: I vettori con un 1 in un posto e 0 negli altri, come $(1, 0)$ e $(0, 1)$ . Le loro uscite sono le colonne della matrice.
Traccia: La somma dei numeri sulla diagonale di una matrice quadrata. È una macchina lineare: entra una matrice, esce un numero.
Valutazione: La macchina lineare che prende un polinomio e restituisce il suo valore in un numero fissato, per esempio in 3.
Applicazione affine: Una macchina che moltiplica per una matrice e poi aggiunge un vettore fisso $b$ . Se $b$ non è zero non è lineare, perché manda lo zero in $b$ .
Controesempio: Un esempio con i numeri in cui una regola non funziona. Ne basta uno per dire che una macchina non è lineare.
Nucleo $Ker f$: L'insieme dei vettori che la macchina manda in zero. È un sottospazio dello spazio di partenza.
Immagine $Im f$: L'insieme dei vettori che escono dalla macchina. È un sottospazio dello spazio di arrivo.
Iniettiva: Una macchina in cui entrate diverse danno sempre uscite diverse. Se è lineare, vuol dire che nel nucleo c'è solo lo zero.
Suriettiva: Una macchina che produce ogni vettore dello spazio di arrivo: l'immagine è tutto lo spazio di arrivo.
Rango di $f$: La dimensione dell'immagine. Per la macchina di una matrice è il rango della matrice, cioè il numero dei pivot.
Teorema della dimensione: Dimensione del nucleo più dimensione dell'immagine uguale dimensione dello spazio di partenza, se questa è finita.
Corollario 14.13: L'immagine non ha mai più dimensioni dello spazio di partenza. Iniettiva: l'immagine ha la dimensione dello spazio di partenza. Suriettiva: ha la dimensione dello spazio di arrivo.
Controimmagine: Un vettore che la macchina manda in un vettore assegnato. Le controimmagini dello zero formano il nucleo.

La lezione in 7 punti

Macchine che rispettano somme e multipli

Dalle macchine sui numeri alle macchine sui vettori

I nomi: dominio, codominio, immagine

Come lo scrivono le dispense

Prima conseguenza: lo zero va nello zero

Seconda conseguenza: le ricette restano ricette

Quali macchine sono lineari e quali no

Una macchina lineare, controllata fino in fondo

Un numero fisso aggiunto sposta lo zero

Un quadrato rovina le somme

Due macchine che esistono sempre

Macchine che si vedono: stirare, girare, fare ombra

Altri esempi per allenare l'occhio

Ogni matrice è una macchina

Quanti numeri entrano e quanti escono

Come lo scrivono le dispense

Nelle colonne c'è scritto dove vanno i vettori della base

Macchine che lavorano su matrici e polinomi

La traccia

Altre macchine lineari che trovi nei quiz

Che cosa va perso e che cosa esce: nucleo e immagine

Il nucleo e l'immagine di questa macchina

Come lo scrivono le dispense

Nucleo e immagine sono sottospazi

Due domande su una macchina: iniettiva, suriettiva

La scorciatoia: guardare il nucleo

Come si trovano nucleo e immagine con Gauss

Entra, si perde, esce: il teorema della dimensione

Per le matrici è il teorema di Rouché–Capelli

Tre conseguenze

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Quiz

Esercizi

1 · Far girare una macchina base

2 · Il test dello zero base

3 · Contare con il teorema della dimensione base

4 · Lineari o no? base

5 · Conoscere T dai valori sulla base base

6 · Nucleo e immagine di una proiezione obliqua base

7 · Esercizio 14.14 delle dispense, punto 1 medio

8 · Esercizio 14.14 delle dispense, punto 2 medio

9 · Esercizio 14.14 delle dispense, punto 3 medio

10 · Un sottospazio di polinomi come nucleo medio

11 · Esercizio 14.15 delle dispense difficile

12 · Che cosa fa un'applicazione lineare ai vettori dipendenti e indipendenti difficile

13 · Come all'esame: rango, controimmagini e immagine con un parametro tipo esame

14 · Come all'esame: il nucleo al variare di k tipo esame

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

5 · Conoscere $T$ dai valori sulla base base

14 · Come all'esame: il nucleo al variare di $k$ tipo esame