Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L15

Applicazioni lineari II

Quando due spazi sono lo stesso spazio con nomi diversi, come un polinomio di grado 2 e la lista dei suoi tre numeri. Poi come si scrive qualsiasi macchina lineare con una tabella di numeri, scegliendo una base in partenza e una in arrivo. Da qui in poi ogni conto su polinomi o matrici diventa un conto con le tabelle.

Dispense: lezione 15 · pp. 74–78
Libro: Martelli, §4.2.5, §4.2.7 e §4.3
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 8 punti

Un isomorfismo è una macchina lineare che fa da dizionario perfetto tra due spazi: a ogni vettore di partenza corrisponde uno e un solo vettore di arrivo, e viceversa. La macchina che torna indietro è ancora lineare.
Le dimensioni dicono già molto. Una macchina lineare che non perde niente non può arrivare in uno spazio più piccolo; una che produce tutto non può partire da uno spazio più piccolo.
Due spazi sono isomorfi, cioè lo stesso spazio con nomi diversi, esattamente quando hanno la stessa dimensione. Per esempio i polinomi di grado al massimo 2 e le liste di 3 numeri.
Scelta una base in partenza e una in arrivo, ogni macchina lineare si scrive con una matrice associata: nella colonna $j$ ci sono le coordinate di dove va il vettore $j$ della base di partenza.
Nella scrittura $[f]_{C}^{B}$ la base di partenza sta in alto, quella di arrivo in basso.
Con la matrice associata ogni macchina diventa un prodotto: le coordinate dell'uscita sono la matrice per le coordinate dell'entrata.
La stessa macchina ha matrici diverse in basi diverse. L'identità, con la stessa base in partenza e in arrivo, ha sempre la matrice identità.
All'esame la matrice associata è una delle domande più frequenti del quiz.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Lo stesso spazio con nomi diversi: gli isomorfismi

p. 74

Nella lezione L14 hai visto le macchine lineari, con il loro nucleo (quello che si perde) e la loro immagine (quello che esce). Qui la domanda è: quando due spazi diversi si comportano esattamente allo stesso modo?

Una convenzione di scrittura, come nelle dispense: i vettori di $K^{n}$ sono colonne. Nel testo, per risparmiare spazio, li scriviamo spesso in riga, come $(1, 2)$ . Negli appelli trovi anche la scrittura $^{t} (1, 2)$ , «la trasposta della riga $(1, 2)$ », che è di nuovo la colonna.

Un dizionario tra polinomi e liste di numeri

Prendi i polinomi di grado al massimo 2, come $1 + 2 x + 3 x^{2}$ . Ognuno è deciso dai suoi tre numeri, quindi lo posso abbinare alla lista $(1, 2, 3)$ . Guarda che cosa succede ai conti:

Con i polinomi	Con le liste di numeri
$p = 1 + 2 x + 3 x^{2}$	$(1, 2, 3)$
$q = - 1 + x^{2}$	$(- 1, 0, 1)$
$p + q = 2 x + 4 x^{2}$	$(1, 2, 3) + (- 1, 0, 1) = (0, 2, 4)$
$2 q = - 2 + 2 x^{2}$	$2 \cdot (- 1, 0, 1) = (- 2, 0, 2)$

Sommare i polinomi e poi prendere i numeri dà lo stesso risultato che prendere i numeri e poi sommare le liste. Lo stesso per i multipli.

E il dizionario è perfetto: a ogni polinomio corrisponde una sola lista, e a ogni lista un solo polinomio. Per l'algebra lineare i polinomi di grado al massimo 2 e le liste di tre numeri sono lo stesso spazio con nomi diversi. Il nome tecnico è isomorfi, dal greco «della stessa forma».

Le parole che servono

Ricorda tre parole sulle funzioni, che vedi meglio in Matematica Discreta. Una funzione $f : V \to W$ è:

iniettiva se entrate diverse danno sempre uscite diverse. Per una macchina lineare vuol dire che il nucleo contiene solo lo zero (Proposizione 14.11);
suriettiva se ogni vettore di $W$ esce da qualche entrata, cioè l'immagine è tutto $W$ ;
biettiva se è tutte e due le cose. Allora ogni vettore di $W$ esce da una e una sola entrata, e c'è una macchina che fa il percorso al contrario: l'inversa $f^{- 1}$ , «effe alla meno uno».

Le dispense chiamano isomorfismo una macchina lineare di questo tipo.

Definizione 15.1 · Isomorfismo e spazi isomorfi

Un'applicazione lineare $f : V \to W$ è un isomorfismo se è biettiva. (Ricordiamo che una funzione $f$ è biettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.)

Diciamo che due spazi vettoriali $V$ e $W$ sullo stesso campo $K$ sono isomorfi se esiste un isomorfismo $f : V \to W$ .

Come si legge.

Un isomorfismo è prima di tutto una macchina lineare. Una funzione biettiva ma non lineare non è un isomorfismo.
«Biettiva» si controlla in due metà: il nucleo è solo lo zero (iniettiva) e l'immagine è tutto lo spazio di arrivo (suriettiva).
«Sullo stesso campo»: si confrontano spazi con gli stessi numeri, per esempio due spazi reali.
Due spazi sono isomorfi quando esiste almeno un dizionario perfetto tra loro, anche se tante altre macchine tra gli stessi spazi non lo sono.

Esempio · tre macchine, un solo isomorfismo

(a) $f (x, y) = (2 x + y, x + y)$ , dal piano al piano. È la macchina della matrice $A = (2111)$ .

Nucleo: $2 x + y = 0$ e $x + y = 0$ . Togliendo la seconda dalla prima resta $x = 0$ , e poi $y = 0$ . Il nucleo è solo lo zero: iniettiva.
Per il teorema della dimensione l'immagine ha dimensione $2 - 0 = 2$ : è tutto il piano, quindi suriettiva.

È un isomorfismo.

(b) La derivata $D$ , dai polinomi di grado al massimo 2 a sé stessi. La derivata del polinomio costante 5 è 0, quindi 5 sta nel nucleo: $D$ non è iniettiva e non è un isomorfismo. Non è nemmeno suriettiva: la derivata ha grado al massimo 1, quindi $x^{2}$ non esce mai.

(c) $g (x, y) = (x, y, 0)$ , dal piano allo spazio. È iniettiva: se $(x, y, 0) = (0, 0, 0)$ allora $x = y = 0$ . Ma non è suriettiva: $(0, 0, 1)$ non esce mai. Non è un isomorfismo.

Prova tu

La macchina

f (x, y) = (x + y, x + y)

è un isomorfismo?

No: $f (1, - 1) = (0, 0)$ , quindi $(1, - 1)$ sta nel nucleo e la macchina non è iniettiva.

La macchina che torna indietro è lineare

Ecco l'inversa dell'esempio (a). Per trovare $f^{- 1} (a, b)$ cerco l'entrata $(x, y)$ con $f (x, y) = (a, b)$ :

{2 x + y = a x + y = b

Togliendo la seconda dalla prima: $x = a - b$ . Poi $y = b - x = - a + 2 b$ . Quindi

f^{- 1} (a, b) = (a - b, - a + 2 b),

che è di nuovo lineare: è la macchina della matrice inversa $A^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)$ (lezione L10). Controllo: $f (3, 1) = (7, 4)$ e $f^{- 1} (7, 4) = (7 - 4, - 7 + 8) = (3, 1)$ .

Succede sempre. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 15.2

Se una funzione lineare $f : V \to W$ è biettiva, l'inversa $f^{- 1} : W \to V$ è anch'essa lineare.

Come si legge. Se un dizionario perfetto rispetta somme e multipli in un verso, li rispetta anche nell'altro.

Dimostrazione · della Proposizione 15.2 (dal libro di Martelli, §4.2.5; le dispense non la riportano)

Siano $w, w^{'}$ due vettori di $W$ e $λ$ un numero. Chiamo $v = f^{- 1} (w)$ e $v^{'} = f^{- 1} (w^{'})$ , cioè $f (v) = w$ e $f (v^{'}) = w^{'}$ .

Somma. Per la linearità di $f$ : $f (v + v^{'}) = f (v) + f (v^{'}) = w + w^{'}$ . Quindi $v + v^{'}$ è il vettore che $f$ manda in $w + w^{'}$ : $f^{- 1} (w + w^{'}) = v + v^{'} = f^{- 1} (w) + f^{- 1} (w^{'})$ .
Multipli. $f (λ v) = λ f (v) = λ w$ , quindi $f^{- 1} (λ w) = λ v = λ f^{- 1} (w)$ .

In ogni passo si usa che $f$ è biettiva: il vettore che va in $w + w^{'}$ , o in $λ w$ , è unico, quindi è proprio quello trovato.

Che cosa dicono le dimensioni

Una macchina dal piano allo spazio non può produrre tutto lo spazio: l'immagine ha dimensione al massimo 2. Una macchina dallo spazio al piano deve perdere qualcosa: il nucleo ha dimensione almeno $3 - 2 = 1$ . Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 15.3

Sia $f : V \to W$ un'applicazione lineare.

Se $f$ è iniettiva, allora $dim V \leq dim W$ . (Infatti $dim V = dim Im f \leq dim W$ .)
Se $f$ è suriettiva, allora $dim V \geq dim W$ . (Infatti $dim V \geq dim Im f = dim W$ .)
Se $f$ è un isomorfismo, allora $dim V = dim W$ . (Dai due punti precedenti.)

Come si legge. Le spiegazioni tra parentesi usano il teorema della dimensione della lezione L14: quello che entra è uguale a quello che si perde più quello che esce, $dim V = dim Ker f + dim Im f$ .

Se $f$ è iniettiva, non si perde niente: il nucleo ha dimensione 0, quindi $dim V$ è la dimensione dell'immagine. E l'immagine sta dentro $W$ , quindi non è più grande di $W$ .
Se $f$ è suriettiva, l'immagine è tutto $W$ , quindi $dim V = dim Ker f + dim W$ , che è almeno $dim W$ .
Un isomorfismo è tutte e due le cose, quindi valgono tutte e due le disuguaglianze.

In pratica, guardando solo le dimensioni si escludono molte cose:

Dimensioni	Può essere iniettiva?	Può essere suriettiva?	Può essere un isomorfismo?
partenza più piccola (per esempio dal piano allo spazio)	sì	mai	mai
partenza più grande (per esempio da 4 a 2 dimensioni)	mai	sì	mai
stessa dimensione	sì	sì	sì

Trappola · Le dimensioni escludono, non garantiscono

Partire da uno spazio più piccolo non basta per essere iniettiva. La macchina nulla dal piano allo spazio, che manda tutto in zero, ha partenza più piccola ma nucleo uguale a tutto il piano. La Proposizione 15.3 dice solo che cosa succede se $f$ è iniettiva, o suriettiva. Per dimostrare che una macchina precisa è iniettiva bisogna calcolare il nucleo.

Prova tu

Una macchina lineare va da uno spazio di dimensione 5 a uno di dimensione 3. Può essere iniettiva? Può essere suriettiva?

Iniettiva no: il nucleo ha dimensione almeno $5 - 3 = 2$ . Suriettiva sì, può esserlo.

Stessa dimensione, spazi isomorfi

Vale anche il contrario dell'ultimo punto. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 15.4

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Allora

V e W sono isomorfi ⟺ dim V = dim W .

In particolare, tutti gli spazi vettoriali su $K$ di dimensione $n$ sono isomorfi a $K^{n}$ .

Come si legge. Due spazi sono lo stesso spazio con nomi diversi esattamente quando hanno la stessa dimensione. In particolare ogni spazio di dimensione $n$ è, a parte i nomi, lo spazio delle liste di $n$ numeri.

Le dispense dicono anche quale dizionario usare: quello che manda ogni vettore nelle sue coordinate rispetto a una base (lezione L13, Definizione 13.5). Questo dizionario dipende dalla base scelta.

Esempio · lo stesso polinomio, due coordinate diverse

Tra i polinomi di grado al massimo 2 prendi la base canonica $B = {1, x, x^{2}}$ e la base $B^{'} = {1, x - 1, (x - 1)^{2}}$ . Il polinomio $x^{2}$ ha coordinate $(0, 0, 1)$ rispetto a $B$ . Rispetto a $B^{'}$ cerco $a$ , $b$ , $c$ con

x^{2} = a \cdot 1 + b (x - 1) + c (x - 1)^{2} = (a - b + c) + (b - 2 c) x + c x^{2} .

Confronto i numeri davanti alle potenze:

davanti a $x^{2}$ : $c = 1$ ;
davanti a $x$ : $b - 2 c = 0$ , quindi $b = 2$ ;
termine noto: $a - b + c = 0$ , quindi $a = 1$ .

Le coordinate sono $(1, 2, 1)$ . Controllo: $1 + 2 (x - 1) + (x - 1)^{2} = 1 + 2 x - 2 + x^{2} - 2 x + 1 = x^{2}$ .

Le due basi danno due dizionari diversi: il primo traduce $x^{2}$ in $(0, 0, 1)$ , il secondo in $(1, 2, 1)$ .

Alcune coppie di spazi isomorfi che incontrerai spesso:

Spazio	Dimensione	È isomorfo a
$R_{n} [x]$ (polinomi di grado al massimo $n$ )	$n + 1$	$R^{n + 1}$
$M (m, n, R)$ (matrici $m \times n$ )	$mn$	$R^{mn}$
$M (2, R)$	4	$R^{4}$ , e anche $R_{3} [x]$
$C$ visto come spazio sui reali	2	$R^{2}$ (il piano dei numeri complessi, lezione L02)
il piano ${(x, y, z) \in R^{3} ∣ x + y + z = 0}$	2	$R^{2}$

Oltre le dispense · come si costruisce il dizionario, e una scorciatoia utile

Perché stessa dimensione basta (Martelli, Proposizione 4.2.30). Supponi che $V$ e $W$ abbiano tutti e due dimensione $n$ . Scegli una base di $V$ , $v_{1}, \dots, v_{n}$ , e una base di $W$ , $w_{1}, \dots, w_{n}$ . Definisci la macchina mandando $v_{i}$ in $w_{i}$ e ogni ricetta nella ricetta con le stesse dosi: $f (λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n}) = λ_{1} w_{1} + \dots + λ_{n} w_{n}$ (Martelli, Proposizione 4.1.18). L'immagine contiene tutti i $w_{i}$ , quindi è tutto $W$ ; per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione $n - n = 0$ . Quindi $f$ è biettiva.

La scorciatoia (Martelli, Proposizione 4.2.24). Se partenza e arrivo hanno la stessa dimensione, per una macchina lineare «iniettiva», «suriettiva» e «isomorfismo» vogliono dire la stessa cosa: basta controllarne una (esercizio 15). Per la macchina di una matrice quadrata: è un isomorfismo esattamente quando il determinante non è zero, cioè quando il rango è $n$ .

Da ricordare

Un isomorfismo è una macchina lineare biettiva: un dizionario perfetto. La sua inversa è lineare.
Due spazi sono isomorfi esattamente quando hanno la stessa dimensione.
Partenza più piccola: mai suriettiva. Partenza più grande: mai iniettiva.

§2

Coordinate di un vettore

p. 74

Tutto il resto della lezione usa le coordinate, quindi rivediamole con calma. Con una base $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ , ogni vettore $v$ ha una sola ricetta (Proposizione 13.4):

v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n} .

Le dosi, scritte in colonna, sono il vettore delle coordinate di $v$ rispetto a $B$ :

[v]_{B} = λ_{1} ⋮ λ_{n} .

Esempio · coordinate in una base non canonica del piano

Sia $B = {v_{1}, v_{2}}$ con $v_{1} = (1, 1)$ e $v_{2} = (1, - 1)$ , e sia $v = (3, 1)$ . Cerco le dosi con $λ_{1} (1, 1) + λ_{2} (1, - 1) = (3, 1)$ :

{λ_{1} + λ_{2} = 3 λ_{1} - λ_{2} = 1

Sommando le equazioni: $2 λ_{1} = 4$ , cioè $λ_{1} = 2$ ; poi $λ_{2} = 3 - 2 = 1$ . Quindi $[v]_{B} = (2, 1)$ : per arrivare in $v$ si fanno due passi lungo $v_{1}$ e uno lungo $v_{2}$ .

123−112xy

2 v_{1}

+ v_{2}

v_{1}

v_{2}

v = 2 v_{1} + v_{2}

v = (3, 1)

ha coordinate

(2, 1)

rispetto a

B = {v_{1}, v_{2}}

Trappola · L'ordine dei vettori della base conta

Per le coordinate una base è una lista in ordine. Con $B^{'} = {v_{2}, v_{1}}$ , stessi vettori in ordine scambiato, lo stesso $v$ ha coordinate $(1, 2)$ . Per questo, anche se si scrive con le graffe, $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ va letta come una lista in quell'ordine.

Prova tu

Quali sono le coordinate di

(5, 1)

nella base

(1, 1), (1, - 1)

$λ_{1} + λ_{2} = 5$ e $λ_{1} - λ_{2} = 1$ . Sommando: $λ_{1} = 3$ , poi $λ_{2} = 2$ . Coordinate $(3, 2)$ ; controllo: $3 (1, 1) + 2 (1, - 1) = (5, 1)$ .

Da ricordare

Le coordinate rispetto a una base sono le dosi della ricetta, scritte in colonna, nell'ordine della base.
Si trovano risolvendo un sistema.

§3

La macchina scritta con i numeri

pp. 74–75

Nella lezione L14 hai visto che una macchina lineare rispetta le ricette:

f (λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n}) = λ_{1} f (v_{1}) + \dots + λ_{n} f (v_{n}) .

Quindi, se sai dove vanno i vettori di una base, sai dove va tutto. Ogni uscita $f (v_{j})$ è un vettore dello spazio di arrivo, e la scrivo con le sue coordinate rispetto a una base di arrivo. Ottengo una colonna di numeri per ogni vettore della base di partenza: una tabella. Questa tabella è la matrice associata.

Un esempio piccolo. La macchina $f (x, y) = (x + 2 y, 3 y)$ , con le basi canoniche:

$f (1, 0) = (1, 0)$ : è la prima colonna;
$f (0, 1) = (2, 3)$ : è la seconda colonna.

La matrice è $(1023)$ : nelle colonne c'è scritto dove vanno i vettori della base.

Le dispense scrivono la definizione così.

Definizione 15.5 · Matrice associata

Sia $f : V \to W$ un'applicazione lineare fra spazi vettoriali definiti su $K$ . Siano inoltre

B = {v_{1}, \dots, v_{n}}, C = {w_{1}, \dots, w_{m}}

due basi rispettivamente di $V$ e di $W$ . Sappiamo che

f (v_{1}) f (v_{n}) = a_{11} w_{1} + \dots + a_{m 1} w_{m}, ⋮ = a_{1 n} w_{1} + \dots + a_{mn} w_{m}

per qualche insieme di coefficienti $a_{ij} \in K$ . Definiamo la matrice associata a $f$ nelle basi $B$ e $C$ come la matrice $m \times n$

A = (a_{ij})

che raggruppa questi coefficienti, e la indichiamo con il simbolo $A = [f]_{C}^{B}$ .

Come si legge.

Taglia: tante righe quanta è la dimensione dello spazio di arrivo, tante colonne quanta è la dimensione dello spazio di partenza.
Il numero $a_{ij}$ è la coordinata numero $i$ dell'uscita $f (v_{j})$ . L'indice $j$ dice quale vettore della base di partenza entra; l'indice $i$ dice quale coordinata dell'uscita stai leggendo.
La scrittura $[f]_{C}^{B}$ ricorda che la matrice dipende da tre cose: la macchina e le due basi. La base di partenza $B$ sta in alto, quella di arrivo $C$ in basso.
La colonna $j$ , che le dispense chiamano $A^{j}$ , contiene le coordinate di $f (v_{j})$ rispetto a $C$ :
$A^{j} = a_{1 j} ⋮ a_{mj} = [f (v_{j})]_{C} .$

Trappola · Le coordinate vanno in colonna, non in riga

Nella definizione la prima equazione, quella di $f (v_{1})$ , riempie la prima colonna. Se scrivi le coordinate di $f (v_{1})$ nella prima riga ottieni la trasposta, che è sbagliata. Negli appelli la trasposta compare quasi sempre tra le risposte sbagliate.

Metodo · La matrice associata in tre passi

Calcola le uscite $f (v_{1}), \dots, f (v_{n})$ dei vettori della base di partenza, nell'ordine dato.
Scrivi ogni uscita con le coordinate rispetto alla base di arrivo $C$ . Se $C$ è la base canonica, le coordinate sono i numeri stessi del vettore; altrimenti risolvi un sistema.
Metti le coordinate di $f (v_{j})$ nella colonna $j$ .

Controllo veloce: la matrice deve avere tante righe quanta è la dimensione di arrivo e tante colonne quanta è quella di partenza.

Prova tu

Qual è la matrice di

f (x, y) = (3 x - y, x + 2 y)

con le basi canoniche?

$f (1, 0) = (3, 1)$ è la prima colonna, $f (0, 1) = (- 1, 2)$ la seconda: $(31 - 1 2)$ .

Il caso delle basi canoniche

Con le basi canoniche la matrice di una macchina data da una matrice è la matrice stessa. Le dispense lo scrivono così.

Esempio 15.6 · La matrice di $L_{A}$

La matrice associata a $L_{A}$ rispetto alle basi canoniche di $K^{n}$ e $K^{m}$ è proprio $A$ . Infatti, per costruzione, $f (e_{j}) = a_{1 j} e_{1} + \dots + a_{mj} e_{m}$ .

Con i numeri: $A = (102103)$ dà la macchina $L_{A}$ dallo spazio al piano. $L_{A} (e_{1}) = A e_{1}$ è la prima colonna di $A$ , cioè $(1, 0)$ ; nella base canonica le sue coordinate sono $(1, 0)$ , e finiscono nella prima colonna. Lo stesso per $e_{2}$ ed $e_{3}$ : si ritrova $A$ . Per questo, con le basi canoniche, la matrice di $f (x, y, z) = (x + 2 y, y + 3 z)$ si legge dai numeri davanti alle lettere: prima riga $1, 2, 0$ , seconda riga $0, 1, 3$ .

Un esempio con i polinomi

Ecco l'esempio delle dispense: una macchina che prende un polinomio e restituisce due numeri.

Esempio 15.7 · Valori di un polinomio in $2$ e in $- 2$

Prendiamo l'applicazione lineare

f : R_{2} [x] ⟶ R^{2}, f (p) = (p (2) p (- 2))

che assegna a ogni polinomio i suoi valori in $2$ e in $- 2$ . Scriviamo la matrice associata a $f$ nelle basi canoniche $B = {1, x, x^{2}}$ di $R_{2} [x]$ e $C = {e_{1}, e_{2}}$ di $R^{2}$ .

Passo 1, le immagini della base di partenza:

$p = 1$ (il polinomio costante): $p (2) = 1$ e $p (- 2) = 1$ , quindi $f (1) = (1, 1)$ ;
$p = x$ : $p (2) = 2$ e $p (- 2) = - 2$ , quindi $f (x) = (2, - 2)$ ;
$p = x^{2}$ : $p (2) = 4$ e $p (- 2) = (- 2)^{2} = 4$ , quindi $f (x^{2}) = (4, 4)$ .

Passo 2: la base di arrivo è quella canonica, quindi le coordinate sono le componenti stesse.

Passo 3, le tre colonne una accanto all'altra:

[f]_{C}^{B} = (11 2 - 2 44) .

È $2 \times 3$ : $dim R^{2} = 2$ righe, $dim R_{2} [x] = 3$ colonne.

Stessa macchina, altra base in arrivo

Ora la stessa macchina, ma con un'altra base in arrivo. Cambia solo il passo 2.

Esempio 15.8 · Cambiamo la base di arrivo

Prendiamo l'applicazione lineare $f$ e la base $B$ come nell'esempio precedente, ma in arrivo prendiamo la base

C^{'} = {(1 - 1), (01)}

invece della base canonica $C$ . Le immagini sono le stesse di prima; cambia il passo 2: bisogna calcolare le coordinate di ciascuna immagine rispetto a $C^{'}$ , cioè trovare $a, b$ con $a (1, - 1) + b (0, 1) = (a, - a + b)$ uguale all'immagine.

$f (1) = (1, 1)$ : prima componente $a = 1$ ; seconda $- 1 + b = 1$ , quindi $b = 2$ . Quindi $(1, 1) = 1 \cdot (1, - 1) + 2 \cdot (0, 1)$ .
$f (x) = (2, - 2)$ : $a = 2$ ; $- 2 + b = - 2$ , quindi $b = 0$ . Quindi $(2, - 2) = 2 \cdot (1, - 1) + 0 \cdot (0, 1)$ .
$f (x^{2}) = (4, 4)$ : $a = 4$ ; $- 4 + b = 4$ , quindi $b = 8$ . Quindi $(4, 4) = 4 \cdot (1, - 1) + 8 \cdot (0, 1)$ .

La matrice associata diventa quindi

[f]_{C^{'}}^{B} = (122048) .

La stessa macchina ha due matrici diverse: la matrice associata dipende dalle basi. È come descrivere la stessa cosa in due lingue diverse. Nella lezione L16 vedrai la formula che passa da una all'altra con un prodotto di matrici. Nell'esercizio 9 trovi una terza base di arrivo che rende la matrice più semplice.

Per risolvere i sistemi del passo 2 puoi usare lo strumento qui sotto. È già impostato sul sistema dell'Esercizio 15.13 delle dispense (esercizio 12): le prime tre colonne sono i vettori $w_{1} = (1, 1, 0)$ , $w_{2} = (0, 1, 1)$ , $w_{3} = (1, 0, 1)$ della base di arrivo, l'ultima è il vettore $f (v_{1}) = (0, 2, 1)$ di cui cerchi le coordinate. La soluzione $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ è la colonna $[f (v_{1})]_{C}$ . Prova poi a cambiare l'ultima colonna in $(2, 2, - 1)$ per ottenere la seconda colonna della matrice.

Da ricordare

Nella colonna $j$ della matrice associata ci sono le coordinate, rispetto alla base di arrivo, di dove va il vettore $j$ della base di partenza.
Righe = dimensione di arrivo, colonne = dimensione di partenza. Partenza in alto, arrivo in basso.
La matrice cambia se cambiano le basi.

§4

Far lavorare la macchina con la matrice

pp. 76–77

Con la matrice associata si calcola l'uscita di qualsiasi vettore: basta un prodotto riga per colonna (lezione L08). Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 15.9

Per ogni $v \in V$ troviamo

[f (v)]_{C} = [f]_{C}^{B} \cdot [v]_{B} .

Come si legge. Per trovare le coordinate dell'uscita rispetto alla base di arrivo, si moltiplica la matrice associata per le coordinate dell'entrata rispetto alla base di partenza.

Il perché, con i passaggi delle dispense:

Scrivo $v$ nella base $B$ : $v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{n} v_{n}$ , quindi $[v]_{B} = (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ .
La macchina rispetta le ricette: $f (v) = λ_{1} f (v_{1}) + \dots + λ_{n} f (v_{n})$ .
Anche il passaggio alle coordinate rispetta le ricette: è il dizionario della Proposizione 15.4. Quindi
$[f (v)]_{C} = λ_{1} [f (v_{1})]_{C} + \dots + λ_{n} [f (v_{n})]_{C} .$
Ma $[f (v_{j})]_{C}$ è la colonna $j$ della matrice associata. E una ricetta con le colonne, con dosi $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ , è proprio il prodotto della matrice per la colonna delle dosi: la riga $i$ del prodotto è $a_{i 1} λ_{1} + \dots + a_{in} λ_{n}$ .

Osservazione · Ogni applicazione lineare, in coordinate, è una $L_{A}$

Se scriviamo $x = [v]_{B}$ , $A = [f]_{C}^{B}$ e $y = [f (v)]_{C}$ , allora

y = A x = L_{A} (x) .

Questo vuol dire che, dopo aver scelto due basi per $V$ e $W$ , qualsiasi applicazione lineare $V \to W$ può essere interpretata in coordinate come un'applicazione del tipo $L_{A} : K^{n} \to K^{m}$ . È sufficiente sostituire i vettori $v$ e $f (v)$ con le loro coordinate $x$ e $y$ , e usare la matrice associata $A$ .

Lo schema qui sotto riassume l'osservazione: da $v$ alle coordinate di $f (v)$ ci sono due strade, e il risultato è lo stesso. In alto si lavora con i vettori veri (polinomi, matrici, …), in basso solo con colonne di numeri.

v \in V

f (v) \in W

[v]_{B} \in K^{n}

[f (v)]_{C} \in K^{m}

f

A = [f]_{C}^{B}

coordinatecoordinate

Due strade, stesso risultato: prima

f

poi le coordinate, oppure prima le coordinate poi

A

Esempio 15.10 · L'immagine di un polinomio calcolata con la matrice

Riprendiamo la matrice associata rispetto alle basi canoniche

[f]_{C}^{B} = (11 2 - 2 44) .

Usiamola per calcolare in coordinate l'immagine di $p (x) = 3 x^{2} + 5 x + 1$ , che ha come coordinate rispetto a $B = {1, x, x^{2}}$ i suoi coefficienti in ordine inverso: $[p]_{B} = (1, 5, 3)$ . Quindi $f (p)$ ha coordinate

(11 2 - 2 44) 153 = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 1 \cdot 1 - 2 \cdot 5 + 4 \cdot 3) = (1 + 10 + 12 1 - 10 + 12) = (233) .

Verifichiamo con la definizione di $f$ : $p (2) = 3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 1 = 23$ e $p (- 2) = 3 \cdot 4 - 10 + 1 = 3$ . Quindi $f (p) = (23, 3)$ .

Nota · Un rimando da correggere

Nelle dispense, a p. 77, l'Esempio 15.10 comincia con «Nell'Esempio 15.8 sopra, abbiamo ottenuto la matrice associata … rispetto alle basi canoniche». La matrice rispetto alle basi canoniche, $(11 2 - 2 44)$ , è quella dell'Esempio 15.7; l'Esempio 15.8 usa in arrivo la base $C^{'}$ .

Esempio · lo stesso conto con la base $C^{'}$

Con la matrice dell'Esempio 15.8:

[f (p)]_{C^{'}} = (122048) 153 = (1 + 10 + 12 2 + 0 + 24) = (2326) .

Attenzione: $(23, 26)$ non è $f (p)$ , sono le sue coordinate rispetto a $C^{'}$ . Per tornare al vettore si rifà la ricetta: $23 \cdot (1, - 1) + 26 \cdot (0, 1) = (23, - 23 + 26) = (23, 3)$ . Stesso risultato di prima, come deve essere.

Trappola · Coordinate o vettore?

Il prodotto della matrice per le coordinate dà le coordinate dell'uscita rispetto a $C$ . Coincidono con l'uscita solo se $C$ è la base canonica. E prima di moltiplicare bisogna mettere l'entrata in coordinate rispetto a $B$ : per un polinomio, i numeri nell'ordine della base (per ${1, x, x^{2}}$ : termine noto, poi $x$ , poi $x^{2}$ ).

Prova tu

Con la matrice

(1021)

e le basi canoniche, dove va

(3, 1)

$(1021) (31) = (3 + 2 0 + 1) = (51)$ .

Da ricordare

Coordinate dell'uscita = matrice associata per coordinate dell'entrata.
Se la base di arrivo non è quella canonica, alla fine si rifà la ricetta per avere il vettore vero.

§5

La macchina che non fa niente

p. 77

La macchina identità lascia ogni vettore com'è. Con la stessa base in partenza e in arrivo, ogni vettore della base va in sé stesso. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 15.11

Sia $B$ una qualsiasi base di uno spazio $V$ di dimensione $n$ . Troviamo

[id]_{B}^{B} = I_{n} .

Come si legge. L'identità, con la stessa base in partenza e in arrivo, ha come matrice la matrice identità: 1 sulla diagonale e 0 altrove.

Il motivo: $id (v_{j}) = v_{j} = 0 \cdot v_{1} + \dots + 1 \cdot v_{j} + \dots + 0 \cdot v_{n}$ . Quindi nella colonna $j$ c'è un 1 al posto $j$ e zeri altrove. Tutte le colonne insieme formano la matrice identità.

Trappola · Con due basi diverse l'identità non ha la matrice identità

La Proposizione 15.11 chiede la stessa base in partenza e in arrivo. Con $B = {(1, 1), (1, - 1)}$ in partenza e la base canonica $C$ in arrivo, le colonne sono $[id (v_{1})]_{C} = (1, 1)$ e $[id (v_{2})]_{C} = (1, - 1)$ :

[id]_{C}^{B} = (11 1 - 1) \neq = I_{2} .

Questa è una matrice di cambiamento di base, il tema della lezione L16: la stessa cosa detta in due lingue.

Prova tu

Qual è la matrice dell'identità dei polinomi di grado al massimo 2, con la base

{1, x, x^{2}}

in partenza e in arrivo?

La matrice identità $3 \times 3$ : ogni polinomio della base va in sé stesso.

Da ricordare

Con la stessa base in partenza e in arrivo, l'identità ha la matrice identità.
Con due basi diverse no: è una matrice di cambiamento di base.

§6

Sommare macchine

pp. 77–78

Due macchine lineari con la stessa partenza e lo stesso arrivo si possono sommare: l'uscita della somma è la somma delle uscite. Con $f$ e $g$ e un numero $λ$ :

(f + g) (v) = f (v) + g (v), (λ f) (v) = λ f (v) .

Con queste due operazioni tutte le macchine lineari tra $V$ e $W$ formano uno spazio vettoriale. Lo zero è la macchina nulla, e le regole della somma vengono da quelle di $W$ .

Esempio · sommare macchine = sommare matrici

Siano $f (x, y) = (x + y, 0)$ e $g (x, y) = (x, y)$ , dal piano al piano. Allora

(f + g) (x, y) = (x + y + x, 0 + y) = (2 x + y, y), (3 f) (x, y) = (3 x + 3 y, 0) .

Con le basi canoniche: $[f] = (1010)$ , $[g] = (1001)$ e

[f + g] = (2011) = [f] + [g], [3 f] = (3030) = 3 [f] .

Succede sempre. Le dispense lo scrivono così.

Teorema 15.12

Siano $V, W$ due spazi vettoriali di dimensione finita con basi $A = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ , $B = {w_{1}, \dots, w_{m}}$ , rispettivamente. Allora l'insieme delle applicazioni lineari $f : V \to W$ è uno spazio vettoriale, e la mappa

f ⟼ [f]_{B}^{A}

dall'insieme delle applicazioni lineari $f : V \to W$ a $M (m, n, K)$ è un isomorfismo.

Come si legge. Attenzione: qui le basi si chiamano $A$ e $B$ , con $B$ base dello spazio di arrivo. Una volta scelte le basi, macchine lineari e matrici sono la stessa cosa: ogni macchina ha una sola matrice, e ogni matrice della taglia giusta è la matrice di una sola macchina.

Rispetta le somme: la colonna $j$ di $[f + g]$ è $[f (v_{j}) + g (v_{j})]_{B} = [f (v_{j})]_{B} + [g (v_{j})]_{B}$ . Quindi $[f + g] = [f] + [g]$ , e allo stesso modo $[λ f] = λ [f]$ . È quello che hai visto nell'esempio.
È iniettiva: se la matrice è tutta di zeri, tutte le uscite $f (v_{j})$ sono zero, e allora $f$ è la macchina nulla.
È suriettiva: ogni matrice è la matrice di qualche macchina. Basta decidere dove vanno i vettori della base, $f (v_{j}) = a_{1 j} w_{1} + \dots + a_{mj} w_{m}$ , e mandare ogni ricetta nella ricetta con le stesse dosi.

Approfondimento · Hom e la sua dimensione

Nel libro di Martelli (§4.3.4) l'insieme delle macchine lineari da $V$ a $W$ si chiama $Hom (V, W)$ , da «omomorfismo», un altro nome per applicazione lineare. Siccome è isomorfo allo spazio delle matrici $m \times n$ , ha dimensione $mn$ (Corollario 4.3.12). Per esempio le macchine lineari dallo spazio al piano formano uno spazio di dimensione $2 \cdot 3 = 6$ .

Un modo per vedere la matrice associata in azione è lo strumento qui sotto: una matrice $2 \times 2$ come trasformazione del piano. Con $A = (2111)$ , l'isomorfismo dell'esempio (a), le colonne sono le uscite di $e_{1}$ ed $e_{2}$ , e il quadrato di lato 1 diventa un parallelogramma di area $∣ det A ∣ = 1$ . Prova poi a scrivere $A = (1224)$ : il piano si schiaccia su una retta, il nucleo non è più solo lo zero e la macchina non è un isomorfismo.

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

Nel libro di Martelli: §4.2.5 «Isomorfismi» (pp. 127–128, con la dimostrazione della Proposizione 15.2 e la scorciatoia della Proposizione 4.2.24), §4.2.7 «Spazi vettoriali isomorfi» (p. 129), §4.3 «Matrice associata» fino a §4.3.4 «Hom» (pp. 130–135). Gli Esempi 4.3.2 e 4.3.3 del libro sono gli Esempi 15.7–15.8 e l'Esercizio 15.13 delle dispense.

Prova tu

Due macchine dal piano al piano hanno matrici

(1201)

(0131)

. Qual è la matrice della loro somma?

La somma delle matrici, casella per casella: $(1332)$ .

Da ricordare

Le macchine lineari si sommano e si moltiplicano per un numero, come le loro matrici.
Scelte le basi, macchine lineari e matrici sono la stessa cosa.

§7

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$f : V \to W$	«effe da vu a vu doppio»	la macchina $f$ parte da $V$ e arriva in $W$
$f^{- 1}$	«effe alla meno uno»	la macchina inversa, che torna indietro	$f^{- 1} (7, 4) = (3, 1)$
$Ker f$ , $Im f$	«nucleo», «immagine»	quello che si perde, quello che esce (lezione L14)
$≅$	«è isomorfo a»	stesso spazio con nomi diversi	$R_{2} [x] ≅ R^{3}$
$[v]_{B}$	«coordinate di v nella base B»	le dosi della ricetta, in colonna
$[f]_{C}^{B}$	«matrice di f, da B a C»	la macchina scritta con i numeri; partenza in alto, arrivo in basso
$A^{j}$	«a alla j»	la colonna $j$ della matrice
$L_{A}$	«elle a»	la macchina che moltiplica per la matrice $A$	$L_{A} (x) = A x$
$id$	«identità»	la macchina che lascia tutto com'è	$[id]_{B}^{B} = I_{n}$
$Hom (V, W)$	«hom di vu, vu doppio»	tutte le macchine lineari da $V$ a $W$	dimensione $mn$

§8

Verso l'esame

esame

La prova di Algebra lineare e Geometria ha 10 domande a risposta multipla, con 5 risposte e una sola giusta. Ci sono poi 2 problemi da 11 punti, corretti solo con almeno 6 risposte giuste. Dura 2 ore, senza calcolatrice, e si può portare solo un foglio da 4 facciate scritto a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione serve all'esame

La matrice associata è una delle domande più frequenti del quiz. Negli appelli 2023–2026 compare così: la matrice di una macchina dal piano al piano rispetto a una base non canonica (appelli del 24/01/2024, domanda 3, e del 15/01/2026, domanda 8); le coordinate dell'uscita di un vettore (05/02/2026, domanda 6); la matrice di due macchine una dopo l'altra (16/01/2025, domanda 5, che vedrai nella lezione L16). Il foglio 3 del tutorato, esercizi 4 e 5, allena proprio questo.
Gli argomenti di dimensione della Proposizione 15.3 danno la risposta in una riga: appello del 02/09/2025, domanda 5.
Nei problemi aperti si chiede spesso di scrivere la matrice di una macchina nella base canonica e di dire se è biettiva (appello del 10/07/2024, problema 11). Oppure si chiede di calcolare nucleo e immagine a partire dalla matrice.
Tutta la parte sugli autovalori (lezioni L17–L18) usa la matrice associata: per una macchina sui polinomi di grado al massimo 2 si lavora con la sua matrice $3 \times 3$ .

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 15/01/2026, domanda 8. Il testo: «La matrice associata a $T : R^{2} \to R^{2}$ , $T (x, y) = (2 x, 3 y)$ , rispetto alla base $B = {(0, 1), (1, 2)}$ è…». Si intende la stessa base in partenza e in arrivo.

In pratica chiede: la macchina raddoppia la prima coordinata e triplica la seconda. Scritta con la base $(0, 1), (1, 2)$ invece che con quella canonica, che tabella diventa?

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: dove vanno i vettori della base.

$T (0, 1) = (2 \cdot 0, 3 \cdot 1) = (0, 3)$ ;
$T (1, 2) = (2 \cdot 1, 3 \cdot 2) = (2, 6)$ .

Passo 2: le coordinate delle uscite rispetto alla stessa base. Una ricetta con la base è $a (0, 1) + b (1, 2) = (b, a + 2 b)$ .

Per $(0, 3)$ : la prima coordinata dice $b = 0$ , la seconda $a = 3$ . Coordinate $(3, 0)$ .
Per $(2, 6)$ : $b = 2$ , poi $a + 4 = 6$ , quindi $a = 2$ . Coordinate $(2, 2)$ .

Passo 3: le colonne.

[T]_{B}^{B} = (3022) .

Controllo sulla seconda colonna: $2 \cdot (0, 1) + 2 \cdot (1, 2) = (2, 6)$ .

Le due trappole classiche tra le risposte: $(2003)$ è la matrice nella base canonica; $(0112)$ ha i vettori della base, non le loro uscite.

Altre due domande vere

Conta all'esame · Appello del 05/02/2026, domanda 6

Data $T (x, y) = (3 x, x + 2 y)$ e la base $B = {v_{1} = (0, 1), v_{2} = (1, 1)}$ , il vettore di coordinate $[T (v_{1})]_{B}$ è …

Soluzione.

$T (v_{1}) = T (0, 1) = (0, 2)$ .
Cerco $a$ e $b$ con $a (0, 1) + b (1, 1) = (b, a + b) = (0, 2)$ : $b = 0$ e $a = 2$ .

Quindi $[T (v_{1})]_{B} = (2, 0)$ . La risposta sbagliata più attraente era $(0, 2)$ , cioè $T (v_{1})$ stesso: ma la domanda chiede le coordinate.

Conta all'esame · Appello del 02/09/2025, domanda 5

Sia $f : V \to W$ lineare con $dim V = 4$ e $dim W = 2$ . Quale è necessariamente vera?

Soluzione. Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione $4 - dim Im f$ , e l'immagine ha dimensione al massimo 2. Quindi il nucleo ha dimensione almeno 2, e non è mai solo lo zero: $f$ non può essere iniettiva. È il punto 1 della Proposizione 15.3 letto al contrario. Le altre risposte («deve essere suriettiva», «non può essere suriettiva», «deve essere iniettiva», «è un isomorfismo») sono false: la macchina nulla non è suriettiva, mentre $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mapsto (x_{1}, x_{2})$ lo è.

Errori da evitare.

Scrivere le uscite in riga invece che in colonna: si ottiene la trasposta.
Mettere nella colonna l'uscita $f (v_{j})$ invece delle sue coordinate rispetto alla base di arrivo.
Sbagliare la taglia: la matrice ha tante righe quanta è la dimensione di arrivo e tante colonne quanta è quella di partenza.
Cambiare l'ordine della base: l'ordine delle colonne segue la base di partenza, quello delle righe la base di arrivo.
Per i polinomi, dimenticare che le coordinate rispetto a ${1, x, x^{2}}$ sono i numeri dal termine noto in su.

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione bastano tre righe: «colonna $j$ di $[f]_{C}^{B}$ = $[f (v_{j})]_{C}$ , partenza in alto, arrivo in basso»; « $[f (v)]_{C} = [f]_{C}^{B} [v]_{B}$ »; «iniettiva: partenza non più grande dell'arrivo; suriettiva: partenza non più piccola; isomorfi esattamente con la stessa dimensione».

§10

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: stessa dimensione? base

Quali coppie di spazi sono isomorfe? (a) $R^{3}$ e i polinomi di grado al massimo 2; (b) $R^{4}$ e le matrici $2 \times 2$ ; (c) il piano e lo spazio; (d) i polinomi di grado al massimo 3 e le matrici $2 \times 2$ .

Soluzione

Si confrontano le dimensioni.

(a) 3 e 3: isomorfi.
(b) 4 e 4: isomorfi.
(c) 2 e 3: non isomorfi.
(d) 4 e 4: isomorfi.

2 · Riscaldamento: la matrice nelle basi canoniche base

Scrivi la matrice di $f (x, y) = (2 x + y, x - 3 y, 4 y)$ con le basi canoniche.

Soluzione

$f (1, 0) = (2, 1, 0)$ : prima colonna.
$f (0, 1) = (1, - 3, 4)$ : seconda colonna.

La matrice è $210 1 - 3 4$ : 3 righe, perché si arriva nello spazio, e 2 colonne, perché si parte dal piano.

3 · Riscaldamento: righe e colonne base

Quante righe e quante colonne ha la matrice associata di una macchina lineare (a) da $R^{4}$ a $R^{2}$ ; (b) dai polinomi di grado al massimo 2 a quelli di grado al massimo 3; (c) dalle matrici $2 \times 2$ a $R$ ?

Soluzione

Righe = dimensione di arrivo, colonne = dimensione di partenza.

(a) 2 righe e 4 colonne.
(b) 4 righe e 3 colonne.
(c) 1 riga e 4 colonne.

4 · Riscaldamento: dalla matrice all'uscita base

Una macchina ha matrice $(1021)$ con le basi canoniche. Dove va $(3, 1)$ ? E $(0, 2)$ ?

Soluzione

$(1021) (31) = (3 + 2 1) = (51)$ .
$(1021) (02) = (0 + 4 2) = (42)$ .

5 · Isomorfismo oppure no? base

Per ciascuna applicazione lineare di' se è un isomorfismo, motivando: (a) $f : R^{2} \to R^{2}$ , $f (x, y) = (x + y, x - y)$ ; (b) $g : R^{3} \to R^{2}$ , $g (x, y, z) = (x, y)$ ; (c) $h : R_{2} [x] \to R^{3}$ , $h (p) = (p (0), p (1), p (2))$ ; (d) $k : M (2, R) \to M (2, R)$ , $k (A) = A -^{t} A$ .

Soluzione

(a) Sì. Nucleo: $x + y = 0$ e $x - y = 0$ ; sommando, $2 x = 0$ , quindi $x = 0$ e $y = 0$ . Il nucleo è solo lo zero: iniettiva. Partenza e arrivo hanno la stessa dimensione 2, quindi per il teorema della dimensione l'immagine ha dimensione 2: suriettiva. Oppure: $det (11 1 - 1) = - 2$ , non zero.

(b) No. La partenza ha dimensione 3 e l'arrivo 2: per la Proposizione 15.3 un isomorfismo vuole dimensioni uguali. Con i numeri: $g (0, 0, 1) = (0, 0)$ , quindi $g$ non è iniettiva.

(c) Sì. Con la base ${1, x, x^{2}}$ in partenza e quella canonica in arrivo: $h (1) = (1, 1, 1)$ , $h (x) = (0, 1, 2)$ , $h (x^{2}) = (0, 1, 4)$ . Quindi

[h] = 111012014, det [h] = 1 \cdot (1 \cdot 4 - 1 \cdot 2) = 2,

sviluppando lungo la prima riga. Il determinante non è zero: il rango è 3, il nucleo è solo lo zero e l'immagine è tutto lo spazio. A parole: un polinomio di grado al massimo 2 è deciso dai suoi valori in tre punti.

(d) No. Se $A = (a c b d)$ , allora $k (A) = (0 c - b b - c 0)$ . Tutte le matrici simmetriche ( $b = c$ ) vanno in zero, per esempio $k (I_{2}) = 0$ . Il nucleo non è solo lo zero (ha dimensione 3), quindi $k$ non è iniettiva.

6 · Coordinate in basi non canoniche base

(a) Trova le coordinate di $v = (5, 1)$ rispetto a $B = {(1, 1), (1, - 1)}$ . (b) Trova le coordinate di $p (x) = 2 x^{2} - x + 3$ rispetto a ${1, x, x^{2}}$ e rispetto a $B^{'} = {1, x - 1, (x - 1)^{2}}$ .

Soluzione

(a) $λ_{1} (1, 1) + λ_{2} (1, - 1) = (5, 1)$ dà $λ_{1} + λ_{2} = 5$ e $λ_{1} - λ_{2} = 1$ . Sommando: $2 λ_{1} = 6$ , quindi $λ_{1} = 3$ ; poi $λ_{2} = 2$ . Coordinate $(3, 2)$ . Controllo: $3 (1, 1) + 2 (1, - 1) = (5, 1)$ .

(b) Rispetto a ${1, x, x^{2}}$ bastano i numeri dal termine noto in su: $(3, - 1, 2)$ .

Rispetto a $B^{'}$ cerco $a$ , $b$ , $c$ con

a + b (x - 1) + c (x - 1)^{2} = (a - b + c) + (b - 2 c) x + c x^{2} = 3 - x + 2 x^{2} .

Davanti a $x^{2}$ : $c = 2$ .
Davanti a $x$ : $b - 2 c = - 1$ , quindi $b = 3$ .
Termine noto: $a - b + c = 3$ , quindi $a = 3 + 3 - 2 = 4$ .

Coordinate $(4, 3, 2)$ . Controllo: $4 + 3 (x - 1) + 2 (x^{2} - 2 x + 1) = 4 + 3 x - 3 + 2 x^{2} - 4 x + 2 = 2 x^{2} - x + 3$ .

7 · Matrice nelle basi canoniche e immagine di un vettore base

Sia $f : R^{3} \to R^{2}$ , $f (x, y, z) = (x + 2 y, y - z)$ . Scrivi la matrice associata rispetto alle basi canoniche e usala per calcolare $f (1, 1, 1)$ e $f (2, - 1, 3)$ .

Soluzione

Le colonne sono le uscite della base canonica: $f (e_{1}) = (1, 0)$ , $f (e_{2}) = (2, 1)$ , $f (e_{3}) = (0, - 1)$ . Quindi

[f] = (1021 0 - 1) .

Con le basi canoniche coordinate e vettori coincidono:

[f] 111 = (1 + 2 + 0 0 + 1 - 1) = (30), [f] 2 - 1 3 = (2 - 2 + 0 0 - 1 - 3) = (0 - 4) .

Controllo diretto: $f (2, - 1, 3) = (2 - 2, - 1 - 3) = (0, - 4)$ .

8 · La matrice della derivata medio

Sia $D : R_{3} [x] \to R_{2} [x]$ , $D (p) = p^{'}$ . Scrivi $[D]$ rispetto alle basi ${1, x, x^{2}, x^{3}}$ e ${1, x, x^{2}}$ , e usala per calcolare la derivata di $q (x) = 1 + 2 x - x^{2} + 4 x^{3}$ . Quanto valgono $dim Ker D$ e $dim Im D$ ?

Soluzione

Le uscite della base di partenza: $D (1) = 0$ , $D (x) = 1$ , $D (x^{2}) = 2 x$ , $D (x^{3}) = 3 x^{2}$ . Le loro coordinate rispetto a ${1, x, x^{2}}$ : $(0, 0, 0)$ , $(1, 0, 0)$ , $(0, 2, 0)$ , $(0, 0, 3)$ . Quindi

[D] = 000100020003 .

Le coordinate di $q$ sono $(1, 2, - 1, 4)$ , e

[D] 12 - 1 4 = 2 - 2 12,

cioè $q^{'} (x) = 2 - 2 x + 12 x^{2}$ . Controllo diretto: la derivata di $1 + 2 x - x^{2} + 4 x^{3}$ è $2 - 2 x + 12 x^{2}$ .

La matrice ha rango 3, con tre pivot, quindi l'immagine ha dimensione 3: $D$ è suriettiva. Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione $4 - 3 = 1$ : sono i polinomi costanti.

9 · Una base di arrivo che semplifica la matrice medio

Riprendi $f : R_{2} [x] \to R^{2}$ , $f (p) = (p (2), p (- 2))$ , con $B = {1, x, x^{2}}$ in partenza. (a) Calcola $[f]_{C^{''}}^{B}$ con $C^{''} = {(1, 1), (1, - 1)}$ in arrivo. (b) Usala per ritrovare $f (3 x^{2} + 5 x + 1) = (23, 3)$ .

Soluzione

(a) Le uscite sono $f (1) = (1, 1)$ , $f (x) = (2, - 2)$ , $f (x^{2}) = (4, 4)$ . Rispetto a $C^{''}$ :

$(1, 1) = 1 \cdot (1, 1) + 0 \cdot (1, - 1)$ , coordinate $(1, 0)$ ;
$(2, - 2) = 0 \cdot (1, 1) + 2 \cdot (1, - 1)$ , coordinate $(0, 2)$ ;
$(4, 4) = 4 \cdot (1, 1) + 0 \cdot (1, - 1)$ , coordinate $(4, 0)$ .

[f]_{C^{''}}^{B} = (100240) .

Ci sono molti zeri: la prima riga vede solo le potenze pari del polinomio ( $1$ e $x^{2}$ ), la seconda solo quella dispari ( $x$ ).

(b) Le coordinate del polinomio sono $(1, 5, 3)$ , e

(100240) 153 = (1310) .

Sono le coordinate rispetto a $C^{''}$ . Rifaccio la ricetta: $13 (1, 1) + 10 (1, - 1) = (23, 3)$ .

10 · Un isomorfismo costruito con una base medio

In $R_{1} [x]$ considera la base $B = {1 + x, 1 - x}$ . Scrivi esplicitamente l'isomorfismo $Φ : R_{1} [x] \to R^{2}$ che manda $p$ in $[p]_{B}$ , e la sua inversa. Quanto vale $Φ (3 + x)$ ?

Soluzione

Sia $p = a + b x$ . Cerco $α$ e $β$ con $α (1 + x) + β (1 - x) = (α + β) + (α - β) x = a + b x$ :

{α + β = a α - β = b

Sommando: $α = \frac{a + b}{2}$ . Togliendo: $β = \frac{a - b}{2}$ . Quindi

Φ (a + b x) = (\frac{a + b}{2}, \frac{a - b}{2}), Φ^{- 1} (α, β) = α (1 + x) + β (1 - x) = (α + β) + (α - β) x .

Tutte e due sono lineari, come prevede la Proposizione 15.2. Per $p = 3 + x$ : $Φ (3 + x) = (2, 1)$ . Controllo: $2 (1 + x) + 1 \cdot (1 - x) = 3 + x$ .

11 · Una matrice da $M (2, R)$ a $R_{2} [x]$ (foglio 3 del tutorato, esercizio 4) medio

Calcola la matrice associata a $T : M (2, R) \to R_{2} [x]$ ,

T (a c b d) = a x^{2} + (b + c) x + d,

dalla base $A = {(10 0 - 1), (0110), (0 - 1 10), (1001)}$ alla base $B = {1, x, x^{2}}$ . Che cosa puoi dire di $Ker T$ e di $Im T$ ?

Soluzione

La matrice sarà $3 \times 4$ : l'arrivo ha dimensione 3 e la partenza 4. Chiamo $A_{1}, \dots, A_{4}$ le matrici della base.

$T (A_{1})$ : $a = 1$ , $b = c = 0$ , $d = - 1$ , quindi $T (A_{1}) = x^{2} - 1$ , coordinate $(- 1, 0, 1)$ (termine noto, $x$ , $x^{2}$ ).
$T (A_{2})$ : $a = 0$ , $b = c = 1$ , $d = 0$ , quindi $T (A_{2}) = 2 x$ , coordinate $(0, 2, 0)$ .
$T (A_{3})$ : $a = 0$ , $b = 1$ , $c = - 1$ , $d = 0$ , quindi $T (A_{3}) = 0$ , coordinate $(0, 0, 0)$ .
$T (A_{4})$ : $a = 1$ , $b = c = 0$ , $d = 1$ , quindi $T (A_{4}) = x^{2} + 1$ , coordinate $(1, 0, 1)$ .

[T]_{B}^{A} = - 1 01 020000101 .

Le colonne 1, 2 e 4 sono indipendenti: la 1 e la 4 hanno somma $(0, 0, 2)$ e differenza $(2, 0, 0)$ , e la 2 è $(0, 2, 0)$ . Quindi il rango è 3: $T$ è suriettiva, l'immagine è tutto lo spazio dei polinomi di grado al massimo 2. Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione $4 - 3 = 1$ , e la colonna di zeri dice che $A_{3}$ sta nel nucleo: il nucleo è lo Span di $A_{3}$ , le matrici antisimmetriche.

12 · Esercizio 15.13 delle dispense: una matrice con basi non canoniche su $C$ medio

Consideriamo l'applicazione lineare

f : C^{2} ⟶ C^{3}, f (x y) = x - y 2 x y .

Trovare la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $v_{1} = (1, 1)$ , $v_{2} = (1, - 1)$ in partenza e $w_{1} = (1, 1, 0)$ , $w_{2} = (0, 1, 1)$ , $w_{3} = (1, 0, 1)$ in arrivo.

Soluzione

I numeri sono complessi, ma tutti quelli in gioco sono reali: i conti sono quelli di sempre.

Passo 1, le uscite:

f (v_{1}) = f (1, 1) = (1 - 1, 2, 1) = (0, 2, 1), f (v_{2}) = f (1, - 1) = (1 + 1, 2, - 1) = (2, 2, - 1) .

Passo 2, coordinate rispetto a $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ . Una ricetta con la base di arrivo è $a w_{1} + b w_{2} + c w_{3} = (a + c, a + b, b + c)$ .

Per $f (v_{1}) = (0, 2, 1)$ :

⎩ ⎨ ⎧ a + c = 0 a + b = 2 b + c = 1

Dalla prima, $c = - a$ ; la terza diventa $b - a = 1$ .
Sommandola alla seconda: $2 b = 3$ , quindi $b = \frac{3}{2}$ .
Poi $a = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ e $c = - \frac{1}{2}$ .

Coordinate $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$ .

Per $f (v_{2}) = (2, 2, - 1)$ :

⎩ ⎨ ⎧ a + c = 2 a + b = 2 b + c = - 1

Togliendo la seconda dalla prima: $c - b = 0$ , cioè $b = c$ .
La terza dà $2 c = - 1$ , quindi $b = c = - \frac{1}{2}$ .
Poi $a = 2 - c = \frac{5}{2}$ .

Coordinate $(\frac{5}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ .

Passo 3, le colonne:

[f]_{C}^{B} = 1/2 3/2 - 1/2 5/2 - 1/2 - 1/2 = \frac{1}{2} 13 - 1 5 - 1 - 1 .

È il risultato indicato nelle dispense. Controllo sulla prima colonna: $\frac{1}{2} (1, 1, 0) + \frac{3}{2} (0, 1, 1) - \frac{1}{2} (1, 0, 1) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{3}{2}, \frac{3}{2} - \frac{1}{2}) = (0, 2, 1)$ .

Nella lezione L16 ritroverai lo stesso risultato con la formula del cambiamento di base.

13 · Come all'esame: una base che rende la matrice semplice tipo esame

Sia $f : R_{2} [x] \to R^{2}$ , $f (p) = (p (1), p^{'} (1))$ . (1) Scrivi la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $B = {1, x, x^{2}}$ e $C = {e_{1}, e_{2}}$ . (2) Trova $Ker f$ e $Im f$ ; $f$ è iniettiva? È suriettiva? (3) Scrivi la matrice di $f$ rispetto a $B^{'} = {1, x - 1, (x - 1)^{2}}$ in partenza e $C$ in arrivo.

Soluzione

(1) Le uscite:

$f (1) = (1, 0)$ : il polinomio costante vale 1 in 1, e la sua derivata è 0;
$f (x) = (1, 1)$ ;
$f (x^{2}) = (1, 2)$ , perché la derivata $2 x$ vale 2 in 1.

[f]_{C}^{B} = (101112) .

(2) La matrice è già a scalini con due pivot: rango 2. L'immagine ha dimensione 2 ed è tutto il piano: $f$ è suriettiva. Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione $3 - 2 = 1$ : non è iniettiva.

Il nucleo, con $p = a + b x + c x^{2}$ : $a + b + c = 0$ e $b + 2 c = 0$ . Con $c = t$ : $b = - 2 t$ e $a = - b - c = t$ . Quindi $p = t (1 - 2 x + x^{2}) = t (x - 1)^{2}$ , e il nucleo è lo Span di $(x - 1)^{2}$ . Controllo: $(x - 1)^{2}$ vale 0 in 1, e la sua derivata $2 (x - 1)$ vale 0 in 1.

(3) Le uscite della nuova base:

$f (1) = (1, 0)$ ;
$f (x - 1) = (0, 1)$ : $x - 1$ vale 0 in 1 e ha derivata 1;
$f ((x - 1)^{2}) = (0, 0)$ , per il punto (2).

[f]_{C}^{B^{'}} = (100100) .

Con la base «centrata in 1» la matrice è quasi l'identità: si legge subito che $f$ è suriettiva e che il terzo vettore della base genera il nucleo.

14 · Come all'esame: basi non canoniche in partenza e in arrivo tipo esame

Sia $T : R^{3} \to R^{2}$ , $T (a, b, c) = (a + b, b - c)$ , e siano $B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}$ base di $R^{3}$ e $C = {(1, 1), (0, 1)}$ base di $R^{2}$ . (1) Calcola $[T]_{C}^{B}$ . (2) Calcola $[v]_{B}$ per $v = (2, 3, 4)$ . (3) Usa la Proposizione 15.9 per calcolare $T (v)$ , e controlla il risultato con la definizione.

Soluzione

(1) Le uscite: $T (1, 0, 0) = (1, 0)$ , $T (1, 1, 0) = (2, 1)$ , $T (1, 1, 1) = (2, 0)$ . Una ricetta con la base di arrivo è $α (1, 1) + β (0, 1) = (α, α + β)$ : quindi $α$ è la prima coordinata del vettore, e $β$ è la seconda meno $α$ .

$(1, 0)$ : $α = 1$ , $β = - 1$ ;
$(2, 1)$ : $α = 2$ , $β = - 1$ ;
$(2, 0)$ : $α = 2$ , $β = - 2$ .

[T]_{C}^{B} = (1 - 1 2 - 1 2 - 2) .

(2) $x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (1, 1, 1) = (x + y + z, y + z, z) = (2, 3, 4)$ . Dall'ultima $z = 4$ , poi $y = 3 - 4 = - 1$ , poi $x = 2 - (- 1) - 4 = - 1$ . Quindi $[v]_{B} = (- 1, - 1, 4)$ .

(3)

[T (v)]_{C} = (1 - 1 2 - 1 2 - 2) - 1 - 1 4 = (- 1 - 2 + 8 1 + 1 - 8) = (5 - 6) .

Sono coordinate rispetto a $C$ ; rifaccio la ricetta: $T (v) = 5 (1, 1) - 6 (0, 1) = (5, - 1)$ . Controllo con la definizione: $T (2, 3, 4) = (2 + 3, 3 - 4) = (5, - 1)$ .

15 · Iniettiva se e solo se suriettiva difficile

Sia $f : V \to W$ lineare con $dim V = dim W = n$ . Dimostra che $f$ è iniettiva se e solo se è suriettiva. Poi mostra con un esempio che l'ipotesi $dim V = dim W$ non si può togliere.

Soluzione

Per il teorema della dimensione, $n = dim Ker f + dim Im f$ .

Se $f$ è iniettiva, è suriettiva. Il nucleo è solo lo zero, quindi l'immagine ha dimensione $n$ , come $W$ . Un sottospazio di $W$ con la stessa dimensione di $W$ è tutto $W$ : una sua base è fatta di $n$ vettori indipendenti di $W$ , che per il Teorema 7.12 sono una base di $W$ . Quindi l'immagine è tutto $W$ .

Se $f$ è suriettiva, è iniettiva. L'immagine è tutto $W$ , quindi ha dimensione $n$ . Allora il nucleo ha dimensione $n - n = 0$ : è solo lo zero.

Senza l'ipotesi non funziona: $g (x, y) = (x, y, 0)$ , dal piano allo spazio, è iniettiva ma non suriettiva; $h (x, y, z) = (x, y)$ , dallo spazio al piano, è suriettiva ma non iniettiva.

§11

Domande di ripasso

autoverifica

Che cos'è un isomorfismo? Quando due spazi sono isomorfi?

Una macchina lineare biettiva: iniettiva, cioè con nucleo fatto solo dallo zero, e suriettiva, cioè con immagine uguale a tutto l'arrivo. Due spazi sullo stesso campo sono isomorfi se esiste almeno un isomorfismo fra loro: sono lo stesso spazio con nomi diversi.

L'inversa di un isomorfismo è lineare? Perché?

Sì (Proposizione 15.2). Se $f (v) = w$ e $f (v^{'}) = w^{'}$ , allora $f (v + v^{'}) = w + w^{'}$ e $f (λ v) = λ w$ . Siccome $f$ è biettiva, il vettore che va in $w + w^{'}$ è unico, quindi $f^{- 1} (w + w^{'}) = v + v^{'}$ ; lo stesso per i multipli.

Che cosa si deduce sulle dimensioni se una macchina è iniettiva? E se è suriettiva?

Iniettiva: la partenza non è più grande dell'arrivo. Suriettiva: la partenza non è più piccola dell'arrivo. Isomorfismo: stessa dimensione. Tutto viene dal teorema della dimensione.

Quando due spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi?

Esattamente quando hanno la stessa dimensione (Proposizione 15.4). In particolare ogni spazio di dimensione $n$ è isomorfo allo spazio delle liste di $n$ numeri.

Quale dizionario con le liste di numeri indicano le dispense, e da che cosa dipende?

Quello che manda ogni vettore nelle sue coordinate rispetto a una base. Dipende dalla base: per esempio $x^{2}$ è $(0, 0, 1)$ nella base ${1, x, x^{2}}$ e $(1, 2, 1)$ nella base ${1, x - 1, (x - 1)^{2}}$ .

Come è fatta la matrice associata

[f]_{C}^{B}

Ha tante righe quanta è la dimensione di arrivo e tante colonne quanta è quella di partenza. Nella colonna $j$ ci sono le coordinate, rispetto alla base di arrivo, di dove va il vettore $j$ della base di partenza. La base di partenza sta in alto, quella di arrivo in basso.

Qual è la matrice associata a

L_{A}

rispetto alle basi canoniche?

È $A$ stessa (Esempio 15.6): $L_{A} (e_{j})$ è la colonna $j$ di $A$ , e le sue coordinate nella base canonica sono i suoi numeri.

Come si calcola l'uscita di un vettore usando la matrice associata?

Si scrive l'entrata in coordinate rispetto alla base di partenza; si moltiplica la matrice per quelle coordinate; se la base di arrivo non è quella canonica, si rifà la ricetta con i vettori di arrivo e le dosi trovate.

Perché la stessa macchina ha matrici diverse?

Perché la matrice registra le coordinate delle uscite, e le coordinate dipendono dalle basi scelte in partenza e in arrivo (Esempi 15.7 e 15.8). È la stessa macchina descritta in lingue diverse.

Quanto vale

[id]_{B}^{B}

? E con due basi diverse?

Con la stessa base in partenza e in arrivo è la matrice identità (Proposizione 15.11). Con due basi diverse di solito no: le sue colonne sono le coordinate dei vettori della prima base rispetto alla seconda. È la matrice di cambiamento di base della lezione L16.

Come si sommano due macchine lineari, e che cosa succede alle matrici?

L'uscita della somma è la somma delle uscite, e l'uscita di $λ f$ è $λ$ volte l'uscita di $f$ . Scelte le basi, la matrice della somma è la somma delle matrici, e quella di $λ f$ è $λ$ volte la matrice di $f$ .

Che cosa dice il Teorema 15.12?

Che le macchine lineari da $V$ a $W$ formano uno spazio vettoriale e che, scelte le basi, passare alla matrice associata è un isomorfismo con le matrici $m \times n$ : ogni matrice è la matrice di una e una sola macchina lineare.

§12

Glossario

termini

Iniettiva: Entrate diverse danno uscite diverse; per una macchina lineare, il nucleo è solo lo zero.
Suriettiva: Ogni vettore dello spazio di arrivo esce da qualche entrata: l'immagine è tutto l'arrivo.
Biettiva: Iniettiva e suriettiva; allora c'è la macchina inversa $f^{- 1}$ .
Isomorfismo: Una macchina lineare biettiva (Definizione 15.1): un dizionario perfetto. La sua inversa è lineare.
Spazi isomorfi: Spazi sullo stesso campo tra cui c'è un isomorfismo; in dimensione finita, spazi con la stessa dimensione.
Coordinate $[v]_{B}$: Le dosi della ricetta che dà $v$ con la base $B$ , in colonna e nell'ordine della base.
Base ordinata: Una base usata come lista: l'ordine dei vettori decide l'ordine delle coordinate e delle colonne.
Matrice associata $[f]_{C}^{B}$: La macchina scritta con i numeri: la colonna $j$ è $[f (v_{j})]_{C}$ (Definizione 15.5).
Base di partenza / di arrivo: La base dello spazio da cui si parte (in alto nella scrittura) e quella dello spazio in cui si arriva (in basso).
$L_{A}$: La macchina che moltiplica per la matrice $A$ ; la sua matrice nelle basi canoniche è $A$ .
Formula delle coordinate: Coordinate dell'uscita = matrice associata per coordinate dell'entrata (Proposizione 15.9).
Matrice dell'identità: Con la stessa base in partenza e in arrivo è la matrice identità (Proposizione 15.11).
Somma di applicazioni: L'uscita della somma è la somma delle uscite; la matrice della somma è la somma delle matrici.
$Hom (V, W)$: Il nome del libro di Martelli per lo spazio delle macchine lineari da $V$ a $W$ ; ha dimensione $dim V \cdot dim W$ .
Teorema della dimensione: Quello che entra = quello che si perde + quello che esce (lezione L14): da qui vengono tutte le regole sulle dimensioni.

Applicazioni lineari II

La lezione in 8 punti

Lo stesso spazio con nomi diversi: gli isomorfismi

Un dizionario tra polinomi e liste di numeri

Le parole che servono

La macchina che torna indietro è lineare

Che cosa dicono le dimensioni

Stessa dimensione, spazi isomorfi

Coordinate di un vettore

La macchina scritta con i numeri

Il caso delle basi canoniche

Un esempio con i polinomi

Stessa macchina, altra base in arrivo

Far lavorare la macchina con la matrice

La macchina che non fa niente

Sommare macchine

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: stessa dimensione? base

2 · Riscaldamento: la matrice nelle basi canoniche base

3 · Riscaldamento: righe e colonne base

4 · Riscaldamento: dalla matrice all'uscita base

5 · Isomorfismo oppure no? base

6 · Coordinate in basi non canoniche base

7 · Matrice nelle basi canoniche e immagine di un vettore base

8 · La matrice della derivata medio

9 · Una base di arrivo che semplifica la matrice medio

10 · Un isomorfismo costruito con una base medio

11 · Una matrice da $M (2, R)$ a $R_{2} [x]$ (foglio 3 del tutorato, esercizio 4) medio

12 · Esercizio 15.13 delle dispense: una matrice con basi non canoniche su $C$ medio

13 · Come all'esame: una base che rende la matrice semplice tipo esame

14 · Come all'esame: basi non canoniche in partenza e in arrivo tipo esame

15 · Iniettiva se e solo se suriettiva difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

La lezione in 8 punti

Lo stesso spazio con nomi diversi: gli isomorfismi

Un dizionario tra polinomi e liste di numeri

Le parole che servono

La macchina che torna indietro è lineare

Che cosa dicono le dimensioni

Stessa dimensione, spazi isomorfi

Coordinate di un vettore

La macchina scritta con i numeri

Il caso delle basi canoniche

Un esempio con i polinomi

Stessa macchina, altra base in arrivo

Far lavorare la macchina con la matrice

La macchina che non fa niente

Sommare macchine

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: stessa dimensione? base

2 · Riscaldamento: la matrice nelle basi canoniche base

3 · Riscaldamento: righe e colonne base

4 · Riscaldamento: dalla matrice all'uscita base

5 · Isomorfismo oppure no? base

6 · Coordinate in basi non canoniche base

7 · Matrice nelle basi canoniche e immagine di un vettore base

8 · La matrice della derivata medio

9 · Una base di arrivo che semplifica la matrice medio

10 · Un isomorfismo costruito con una base medio

11 · Una matrice da M(2,R) a R2​[x] (foglio 3 del tutorato, esercizio 4) medio

12 · Esercizio 15.13 delle dispense: una matrice con basi non canoniche su C medio

13 · Come all'esame: una base che rende la matrice semplice tipo esame

14 · Come all'esame: basi non canoniche in partenza e in arrivo tipo esame

15 · Iniettiva se e solo se suriettiva difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

11 · Una matrice da $M (2, R)$ a $R_{2} [x]$ (foglio 3 del tutorato, esercizio 4) medio

12 · Esercizio 15.13 delle dispense: una matrice con basi non canoniche su $C$ medio