Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L16

Applicazioni lineari III

Lo stesso vettore si può dire in lingue diverse, come una lunghezza in metri o in piedi: la matrice di cambiamento di base fa da traduttore. Poi perché mettere due macchine una dopo l'altra vuol dire moltiplicare le loro matrici, e quando due matrici descrivono la stessa macchina in due lingue: le matrici simili.

Dispense: lezione 16 · pp. 79–84
Libro: Martelli, §4.2.4, §4.3.3, §4.3.5 e §4.4
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 7 punti

Le coordinate di un vettore dipendono dalla base, come una misura dipende dall'unità. La matrice di cambiamento di base è il traduttore: prende le coordinate in una base e restituisce quelle nell'altra.
Se la base di arrivo è quella canonica, il traduttore si scrive subito: i vettori della base di partenza in colonna. Per tradurre nel verso opposto si usa la matrice inversa.
Mettere due macchine lineari una dopo l'altra dà ancora una macchina lineare, e la sua matrice è il prodotto delle due matrici. La macchina che agisce per prima sta a destra.
Una macchina è un isomorfismo esattamente quando la sua matrice è invertibile; la matrice della macchina inversa è la matrice inversa.
Un endomorfismo è una macchina che parte e arriva nello stesso spazio. Cambiando base, la sua matrice cambia secondo la formula $M^{- 1} A M$ .
Due matrici sono simili quando descrivono la stessa macchina in due basi diverse. Hanno lo stesso rango, lo stesso determinante e la stessa traccia, ma questo non basta per dire che sono simili.
All'esame: matrici di cambiamento di base, matrici di una composizione e matrici in una base data sono tra le domande più frequenti.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Il traduttore tra due basi

pp. 79–80

Una stanza è lunga 3 metri, cioè circa 9,84 piedi. La lunghezza è la stessa; cambiano i numeri, perché cambia l'unità di misura. Con i vettori succede lo stesso: un vettore resta lo stesso, ma le sue coordinate cambiano se cambia la base (lezione L15).

Come nelle dispense, i vettori di $K^{n}$ sono colonne; nel testo li scriviamo in riga, $(1, 2)$ , per risparmiare spazio.

Un esempio per cominciare

Nel piano prendi due basi. La prima, che chiamo $B$ , è fatta dai vettori $(1, 1)$ e $(1, - 1)$ . La seconda è la base canonica, che chiamo $C$ . Un vettore ha coordinate $(2, 1)$ nella prima base: si arriva con due passi lungo $(1, 1)$ e un passo lungo $(1, - 1)$ . Che vettore è? Basta rifare la ricetta:

v = 2 \cdot (1, 1) + 1 \cdot (1, - 1) = (3, 1) .

Nella base canonica le coordinate sono i numeri stessi del vettore: $(3, 1)$ .

Lo stesso conto si scrive come un prodotto, mettendo in colonna i vettori di $B$ :

(11 1 - 1) (21) = (2 + 1 2 - 1) = (31) .

La matrice che ha in colonna i due vettori della prima base traduce le coordinate da quella base alla base canonica. È la matrice della macchina identità, quella che lascia ogni vettore com'è, scritta con $B$ in partenza e $C$ in arrivo: la colonna $j$ è $[id (v_{j})]_{C} = [v_{j}]_{C}$ . Le dispense le danno un nome.

Definizione 16.1 · Matrice di cambiamento di base

Sia $V$ uno spazio vettoriale e $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ e $C = {w_{1}, \dots, w_{n}}$ due basi di $V$ . La matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$ è la matrice

A = [id]_{C}^{B} .

Come si legge.

È la matrice della macchina identità, con $B$ in partenza (in alto) e $C$ in arrivo (in basso). È quadrata $n \times n$ .
Ogni colonna contiene le coordinate di un vettore della base di partenza, scritte nella base di arrivo: $A^{j} = [v_{j}]_{C}$ .
L'inversa è il traduttore nel verso opposto: $A^{- 1} = [id]_{B}^{C}$ . Che sia proprio l'inversa lo dimostra il Corollario 16.7, più avanti.

Dalla Proposizione 15.9 della lezione L15, con la macchina identità, viene subito la regola per tradurre.

Proposizione 16.2

Per ogni $v \in V$ vale

[v]_{C} = A \cdot [v]_{B} .

Come si legge. Le coordinate nella base $C$ sono il traduttore per le coordinate nella base $B$ .

Nota · Un rimando da correggere

Nelle dispense, a p. 79, la Proposizione 16.2 è introdotta con «Dalla Proposizione 15.10 ricaviamo». Il risultato usato è la Proposizione 15.9 ( $[f (v)]_{C} = [f]_{C}^{B} [v]_{B}$ ); il numero 15.10 è un esempio.

Trappola · In quale verso traduce la matrice?

$[id]_{C}^{B}$ prende coordinate rispetto a $B$ (in alto) e restituisce coordinate rispetto a $C$ (in basso). Nelle colonne ha i vettori di $B$ scritti nella base $C$ . L'errore tipico è usare la matrice con i vettori di $B$ in colonna per passare dalle coordinate canoniche a quelle rispetto a $B$ : per quello serve l'inversa.

Nell'esempio, per tornare indietro si usa l'inversa $(11 1 - 1)^{- 1} = \frac{1}{2} (11 1 - 1)$ , e infatti $\frac{1}{2} (3 + 1, 3 - 1) = (2, 1)$ : sono di nuovo le coordinate nella prima base.

Metodo · La matrice di cambiamento di base, due casi

La base di arrivo è quella canonica. Le coordinate di un vettore nella base canonica sono i suoi numeri, quindi il traduttore si scrive subito: i vettori della base di partenza in colonna, nell'ordine. Per il verso opposto si calcola l'inversa.
Nessuna delle due basi è canonica. Si risolve un sistema per ogni vettore della base di partenza, come nella Soluzione 1 qui sotto. Oppure si passa dalla base canonica $E$ : $[id]_{C}^{B} = [id]_{C}^{E} [id]_{E}^{B} = ([id]_{E}^{C})^{- 1} [id]_{E}^{B}$ . È la regola delle macchine una dopo l'altra, che vedi nella prossima sezione.

Prova tu

Nella base

{(2, 1), (1, 1)}

un vettore ha coordinate

(1, 3)

. Chi è il vettore?

Il traduttore verso la base canonica ha i due vettori in colonna: $(2111) (13) = (2 + 3 1 + 3) = (54)$ .

Un esempio svolto in due modi

Le dispense chiamano questo esempio «Esercizio 16.3» e lo risolvono nel testo, con due metodi.

Esempio · Esercizio 16.3 · Dalla base canonica alla base $B$

Siano $A = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ la base canonica di $R^{3}$ e $B = {w_{1}, w_{2}, w_{3}}$ definita da

w_{1} = 123, w_{2} = 021, w_{3} = 011 .

Vogliamo trovare la matrice di cambiamento di base $A = [id]_{B}^{A}$ .

Soluzione 1. Per costruzione $A = (a_{ij})$ , dove gli $a_{ij}$ sono le soluzioni del sistema

⎩ ⎨ ⎧ e_{1} = a_{11} w_{1} + a_{21} w_{2} + a_{31} w_{3} e_{2} = a_{12} w_{1} + a_{22} w_{2} + a_{32} w_{3} e_{3} = a_{13} w_{1} + a_{23} w_{2} + a_{33} w_{3} .

La prima equazione, componente per componente, diventa

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} = 1 2 a_{11} + 2 a_{21} + a_{31} = 0 3 a_{11} + a_{21} + a_{31} = 0

Con $a_{11} = 1$ : $2 a_{21} + a_{31} = - 2$ e $a_{21} + a_{31} = - 3$ . Sottraendo, $a_{21} = 1$ , e poi $a_{31} = - 3 - 1 = - 4$ . Allo stesso modo:

per $e_{2}$ : $a_{12} = 0$ , $2 a_{22} + a_{32} = 1$ , $a_{22} + a_{32} = 0$ , quindi $a_{22} = 1$ e $a_{32} = - 1$ ;
per $e_{3}$ : $a_{13} = 0$ , $2 a_{23} + a_{33} = 0$ , $a_{23} + a_{33} = 1$ , quindi $a_{23} = - 1$ e $a_{33} = 2$ .

Mettendo le soluzioni in colonna:

A = 11 - 4 01 - 1 0 - 1 2 .

Soluzione 2. Calcoliamo prima $A^{- 1} = [id]_{A}^{B}$ . La sua colonna $j$ è $[w_{j}]_{A}$ , e siccome $A$ è la base canonica $[w_{j}]_{A} = w_{j}$ . Quindi

A^{- 1} = 123021011, A = 123021011^{- 1} = 11 - 4 01 - 1 0 - 1 2 .

L'inversa della Soluzione 2 si calcola con i cofattori (lezione L10). Il determinante, lungo la prima riga, è $1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1$ . La trasposta dei cofattori, divisa per 1, dà proprio $A$ . Controllo sulla prima colonna: $1 \cdot w_{1} + 1 \cdot w_{2} - 4 \cdot w_{3} = (1 + 0 - 0, 2 + 2 - 4, 3 + 1 - 4) = (1, 0, 0) = e_{1}$ .

Nello strumento qui sotto la matrice è già $A^{- 1}$ : i vettori di $B$ in colonna, cioè scritti per righe come $100; 221; 311$ . Premi il pulsante e guarda le mosse di Gauss che trasformano $(A^{- 1} ∣ I)$ in $(I ∣ A)$ .

Da ricordare

La matrice di cambiamento di base traduce le coordinate da una base all'altra. Nelle colonne ha i vettori della base di partenza, scritti nella base di arrivo.
Verso la base canonica: i vettori in colonna. Nel verso opposto: l'inversa.

§2

Due macchine una dopo l'altra

pp. 80–81

Oltre a sommarle (lezione L15), le macchine lineari si possono mettere in fila: prima agisce $f$ , poi sull'uscita agisce $g$ . La nuova macchina si chiama composizione e si scrive $g \circ f$ , che si legge «g dopo f».

Esempio · comporre e moltiplicare

Siano $f (x, y) = (x + y, y)$ e $g (u, v) = (2 u, u - v)$ , dal piano al piano. Allora

(g \circ f) (x, y) = g (x + y, y) = (2 (x + y), (x + y) - y) = (2 x + 2 y, x) .

Le matrici nelle basi canoniche sono $[f] = (1011)$ e $[g] = (21 0 - 1)$ , e il prodotto

[g] [f] = (21 0 - 1) (1011) = (2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = (2120)

è proprio la matrice di $g \circ f$ . Controllo su un vettore: $f (3, 5) = (8, 5)$ e $g (8, 5) = (16, 3)$ ; con la matrice, $(2 \cdot 3 + 2 \cdot 5, 3) = (16, 3)$ .

Per prima cosa, la nuova macchina è ancora lineare. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 16.4

Se $f : V \to W$ e $g : W \to Z$ sono funzioni lineari, anche la composizione

g \circ f : V \to Z

lo è.

Come si legge. Due macchine che rispettano somme e multipli, messe in fila, danno una macchina che rispetta somme e multipli.

Dimostrazione · della Proposizione 16.4 (le dispense non la riportano)

Per $v, v^{'}$ in $V$ e un numero $λ$ :

(g \circ f) (v + v^{'}) = g (f (v) + f (v^{'})) = g (f (v)) + g (f (v^{'})), (g \circ f) (λ v) = g (λ f (v)) = λ g (f (v)) .

Nel primo passaggio di ciascuna catena si usa la linearità di $f$ , nel secondo quella di $g$ .

Per le macchine date da una matrice, la composizione è proprio il prodotto delle matrici. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 16.5

Siano $A \in M (k, m, K)$ e $B \in M (m, n, K)$ . Consideriamo

L_{A} : K^{m} \to K^{k}, L_{B} : K^{n} \to K^{m} .

Vale la relazione

L_{A} \circ L_{B} = L_{A B} .

Come si legge. Moltiplicare prima per una matrice e poi per un'altra è come moltiplicare una volta sola per il loro prodotto. Il motivo, per ogni colonna $x$ :

L_{A} (L_{B} (x)) = A (B x) = (A B) x = L_{A B} (x) .

Il passaggio in mezzo è la regola delle parentesi del prodotto di matrici (lezione L08). Anche le taglie tornano. Per esempio, se $B$ è $3 \times 2$ trasforma coppie di numeri in terne. Se poi $A$ è $4 \times 3$ , trasforma le terne in liste di 4 numeri. Il prodotto $A B$ è $4 \times 2$ : va direttamente dalle coppie alle liste di 4 numeri.

Lo stesso vale con basi qualsiasi. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 16.6

Siano $f : U \to V$ e $g : V \to W$ due applicazioni lineari. Siano $B$ , $C$ e $D$ basi di $U$ , $V$ e $W$ . Troviamo

[g \circ f]_{D}^{B} = [g]_{D}^{C} [f]_{C}^{B} .

Come si legge. La matrice delle due macchine in fila è il prodotto delle due matrici, con quella della prima macchina a destra. La base $C$ dello spazio di mezzo compare in tutte e due le matrici e «sparisce» nel risultato.

La dimostrazione delle dispense, con i passaggi:

Sia $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ . Nella colonna $i$ della matrice di $g \circ f$ ci sono le coordinate di $g (f (v_{i}))$ .
Per la Proposizione 15.9, con la macchina $g$ e il vettore $f (v_{i})$ : $[g (f (v_{i}))]_{D} = [g]_{D}^{C} [f (v_{i})]_{C}$ .
Ma le coordinate di $f (v_{i})$ sono proprio la colonna $i$ della matrice di $f$ . E una colonna di un prodotto di due matrici è la prima matrice per la colonna corrispondente della seconda.
Quindi le due matrici hanno le stesse colonne: sono uguali.

Trappola · L'ordine: si legge da destra a sinistra

«g dopo f» vuol dire che agisce prima $f$ , e nel prodotto la sua matrice sta a destra: $[g] [f]$ . Il prodotto di matrici non rispetta lo scambio, quindi $[f] [g]$ di solito è un'altra matrice, o non si può nemmeno calcolare se le taglie non tornano. Un aiuto: nella formula le basi si incastrano come tessere del domino, $[g]_{D}^{C} [f]_{C}^{B}$ , e la base $C$ in mezzo deve essere la stessa sopra e sotto.

Esempio · composizione con i polinomi

Siano $f : R^{2} \to R_{2} [x]$ , $f (u, v) = u x^{2} + v$ , e $g : R_{2} [x] \to R^{2}$ , $g (p) = (p (1), p (2))$ . Con le basi canoniche $E$ di $R^{2}$ e $B = {1, x, x^{2}}$ dei polinomi:

$f (e_{1}) = x^{2}$ e $f (e_{2}) = 1$ , con coordinate $(0, 0, 1)$ e $(1, 0, 0)$ , quindi $[f]_{B}^{E} = 001100$ ;
$g (1) = (1, 1)$ , $g (x) = (1, 2)$ , $g (x^{2}) = (1, 4)$ , quindi $[g]_{E}^{B} = (111214)$ .

Per la Proposizione 16.6:

[g \circ f]_{E}^{E} = (111214) 001100 = (1411) .

Controllo diretto: $(g \circ f) (u, v) = g (u x^{2} + v) = (u + v, 4 u + v)$ , che ha proprio questa matrice.

Prova tu

Siano

f (x, y) = (2 x, y)

g (x, y) = (y, x)

. Qual è la matrice di

g \circ f

$[g] [f] = (0110) (2001) = (0210)$ . Controllo: $g (f (x, y)) = g (2 x, y) = (y, 2 x)$ .

Isomorfismi e matrici invertibili

Una macchina ha un'inversa, cioè si può disfare, esattamente quando la sua matrice si può invertire. Le dispense lo scrivono così.

Corollario 16.7

La funzione $f$ è un isomorfismo se e solo se la matrice associata $[f]_{C}^{B}$ è invertibile, e in questo caso la sua inversa è

[f^{- 1}]_{B}^{C} .

Come si legge. Per sapere se una macchina è un isomorfismo, basta guardare la sua matrice: deve essere quadrata con determinante diverso da zero. E la matrice della macchina inversa è la matrice inversa.

Dimostrazione · del Corollario 16.7

La dimostrazione delle dispense, spiegata.

Se $f$ è un isomorfismo, la matrice è invertibile. C'è la macchina inversa $f^{- 1}$ , con $f^{- 1} \circ f = id_{V}$ e $f \circ f^{- 1} = id_{W}$ . Per la Proposizione 16.6 e la Proposizione 15.11 ( $[id]_{B}^{B} = I_{n}$ ):
$[f^{- 1}]_{B}^{C} [f]_{C}^{B} = [f^{- 1} \circ f]_{B}^{B} = I_{n} e [f]_{C}^{B} [f^{- 1}]_{B}^{C} = [f \circ f^{- 1}]_{C}^{C} = I_{n},$
quindi $[f^{- 1}]_{B}^{C}$ è l'inversa di $[f]_{C}^{B}$ .
Se la matrice è invertibile, $f$ è un isomorfismo. Sia $A = [f]_{C}^{B}$ . Per il Teorema 15.12 ogni matrice è la matrice di una macchina lineare: c'è $g$ con $[g]_{B}^{C} = A^{- 1}$ . Allora $[g \circ f]_{B}^{B} = A^{- 1} A = I_{n} = [id_{V}]_{B}^{B}$ , e siccome la matrice decide la macchina, $g \circ f = id_{V}$ . Allo stesso modo $f \circ g = id_{W}$ . Quindi $g$ è l'inversa di $f$ .

Esempio · un isomorfismo tra polinomi e coppie di numeri

Sia $f (p) = (p (0), p (1))$ , dai polinomi di grado al massimo 1 al piano. Con la base ${1, x}$ e la base canonica: $f (1) = (1, 1)$ e $f (x) = (0, 1)$ , quindi

[f] = (1101), det [f] = 1.

Il determinante non è zero: $f$ è un isomorfismo. La matrice dell'inversa è la matrice inversa: con la regola delle $2 \times 2$ (lezione L10), $[f^{- 1}] = (1 - 1 01)$ . Quindi $f^{- 1} (a, b)$ ha coordinate $(a, b - a)$ :

f^{- 1} (a, b) = a + (b - a) x .

È il polinomio di grado al massimo 1 che vale $a$ in 0 e $b$ in 1. Controllo: $p (0) = a$ e $p (1) = a + b - a = b$ .

Cambiare le basi di una macchina

Con la regola delle macchine in fila si può cambiare base a qualsiasi macchina: la si scrive come «traduci, applica, traduci di nuovo». Le dispense lo scrivono così.

Corollario 16.8

Sia $f : V \to W$ un'applicazione lineare. Siano $B_{1}, B_{2}$ due basi di $V$ e $C_{1}, C_{2}$ due basi di $W$ . Applicando la Proposizione 16.6 troviamo

[f]_{C_{2}}^{B_{2}} = [id_{W}]_{C_{2}}^{C_{1}} \cdot [f]_{C_{1}}^{B_{1}} \cdot [id_{V}]_{B_{1}}^{B_{2}} .

Come si legge. Per passare dalla matrice in certe basi alla matrice in altre basi, si moltiplica a sinistra e a destra per due traduttori. Il motivo: $f = id_{W} \circ f \circ id_{V}$ , e le basi si incastrano come nel domino. Si legge da destra a sinistra:

il traduttore a destra porta le coordinate di partenza dalla base nuova a quella che conosci;
$[f]_{C_{1}}^{B_{1}}$ applica la macchina nelle basi che conosci già;
il traduttore a sinistra porta il risultato nella nuova base di arrivo.

Esempio · l'Esempio 15.8 rifatto con il Corollario 16.8

Nella lezione L15 la macchina $f (p) = (p (2), p (- 2))$ , dai polinomi di grado al massimo 2 al piano, aveva matrice $(11 2 - 2 44)$ con la base canonica $C$ in arrivo. La base $C^{'} = {(1, - 1), (0, 1)}$ in arrivo richiedeva tre sistemi. Con il corollario la base di partenza non cambia, quindi il traduttore a destra è l'identità:

$[id]_{C}^{C^{'}} = (1 - 1 01)$ , con i vettori di $C^{'}$ in colonna; quindi $[id]_{C^{'}}^{C} = (1 - 1 01)^{- 1} = (1101)$ ;
$[f]_{C^{'}}^{B} = [id]_{C^{'}}^{C} [f]_{C}^{B} = (1101) (11 2 - 2 44) = (122048) .$

È la matrice dell'Esempio 15.8. Lo stesso conto è l'Esempio 4.3.14 del libro di Martelli.

Da ricordare

Due macchine in fila: la matrice è il prodotto, con la prima macchina a destra.
Una macchina è un isomorfismo esattamente quando la sua matrice è invertibile.
Per cambiare base: traduttore a sinistra, matrice, traduttore a destra.

§3

La stessa macchina in due lingue: le matrici simili

pp. 81–83

Molte macchine partono e arrivano nello stesso spazio: girare il piano, derivare i polinomi, trasporre le matrici quadrate. Le dispense danno loro un nome.

Definizione 16.9 · Endomorfismo

Sia $V$ uno spazio vettoriale. Un endomorfismo è un'applicazione lineare

f : V \to V .

Come si legge. Un endomorfismo è una macchina lineare che parte e arriva nello stesso spazio. Esempi che conosci già: la macchina di una matrice quadrata; la derivata, dai polinomi di grado al massimo $n$ a sé stessi; la trasposta, dalle matrici quadrate a sé stesse; la moltiplicazione per un numero fisso, $v \mapsto λ v$ .

Per un endomorfismo è naturale usare la stessa base in partenza e in arrivo. Con una base $B$ , ogni endomorfismo ha una matrice quadrata $[f]_{B}^{B}$ , e due endomorfismi in fila hanno come matrice il prodotto (Proposizione 16.6 con tre basi uguali):

[f \circ g]_{B}^{B} = [f]_{B}^{B} [g]_{B}^{B} .

Come cambia la matrice di un endomorfismo

Siano $B$ e $C$ due basi dello stesso spazio, e sia

M = [id]_{C}^{B}

il traduttore da $B$ a $C$ . Allora

[f]_{B}^{B} = M^{- 1} [f]_{C}^{C} M .

Da dove viene: è il Corollario 16.8 con $B_{1} = C_{1} = C$ e $B_{2} = C_{2} = B$ :

[f]_{B}^{B} = [id]_{B}^{C} [f]_{C}^{C} [id]_{C}^{B} = M^{- 1} [f]_{C}^{C} M,

perché il traduttore nel verso opposto è l'inverso di $M$ . A parole, leggendo da destra: traduci dalla base nuova a quella vecchia, applica la macchina nella base vecchia, traduci il risultato nella base nuova.

Metodo · Cambio di base per un endomorfismo, in quattro passi

$A = [f]_{C}^{C}$ nella base canonica $C$ : si legge dai numeri davanti alle lettere.
$M = [id]_{C}^{B}$ : i vettori della nuova base $B$ in colonna.
L'inversa $M^{- 1}$ : per una $2 \times 2$ scambia la diagonale, cambia segno agli altri due e dividi per il determinante; per una $3 \times 3$ usa i cofattori o Gauss.
$[f]_{B}^{B} = M^{- 1} A M$ . Controllo senza inversa: la colonna $j$ deve dare le coordinate di $f (v_{j})$ nella nuova base. Oppure moltiplica: $M$ per il risultato deve essere uguale ad $A$ per $M$ .

Ecco l'esempio delle dispense: una base in cui la matrice della macchina si legge a colpo d'occhio.

Esempio 16.10 · Una base in cui la matrice diventa diagonale

Prendiamo $f : R^{2} \to R^{2}$ dato da

f (x y) = (x + y - y) .

Rispetto alla base canonica $C = {e_{1}, e_{2}}$ troviamo

[f]_{C}^{C} = (10 1 - 1) .

Prendiamo adesso come base

B = {(10), (- 1 2)} .

La matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$ ha in colonna i vettori di $B$ :

M = [id]_{C}^{B} = (10 - 1 2),

e la sua inversa ( $det M = 2$ ) è

M^{- 1} = [id]_{B}^{C} = \frac{1}{2} (2011) = (10 1/2 1/2) .

Quindi la matrice associata a $f$ nella base $B$ è

[f]_{B}^{B} = M^{- 1} [f]_{C}^{C} M = (10 1/2 1/2) (10 1 - 1) (10 - 1 2) = (10 0 - 1) .

Passaggio intermedio: $[f]_{C}^{C} M = (10 1 - 2)$ , e $M^{- 1}$ per questa dà $(1 + 0 0 1 - 1 - 1) = (10 0 - 1)$ .

Possiamo verificare direttamente il risultato: il primo vettore della base $B$ viene mandato in se stesso, mentre il secondo viene mandato nel suo opposto:

f (10) = (10), f (- 1 2) = (1 - 2) .

Nota · Un simbolo mancante

Nelle dispense, a p. 82, l'ultima formula dell'Esempio 16.10 comincia con « $_{B}^{B} = M^{- 1} [f]_{C}^{C} M$ »: manca il $[f]$ davanti, va letto $[f]_{B}^{B} = M^{- 1} [f]_{C}^{C} M$ .

Nel disegno $f$ è uno specchio obliquo (nel libro di Martelli è l'Esempio 4.4.2): lascia ferma la retta di $(1, 0)$ e ribalta la retta di $(- 1, 2)$ . Nella base canonica la matrice non lo mostra. Nella base $B$ , fatta di vettori speciali per $f$ , la matrice è diagonale e si legge tutto. È proprio l'idea degli autovettori della lezione L17.

−11−11xy

v_{1} = f (v_{1})

v_{2}

f (v_{2}) = - v_{2}

f (x, y) = (x + y, - y)

fissa

v_{1}

e ribalta

v_{2}

: nella base

{v_{1}, v_{2}}

la matrice è diagonale

Nello strumento qui sotto la matrice è quella dell'Esempio 16.10 nella base canonica. Le due rette tratteggiate che compaiono sono quelle su cui $f$ agisce senza girare i vettori: sono proprio le rette dei due vettori della nuova base, $(1, 0)$ e $(- 1, 2)$ . Trascina il vettore $x$ su una di queste rette e guarda $A x$ .

Il nome: matrici simili

Le due matrici dell'Esempio 16.10 descrivono la stessa macchina, in due lingue. Le dispense danno un nome a questa parentela.

Definizione 16.11 · Matrici simili

Sia $M (n)$ l'insieme delle matrici quadrate $n \times n$ . Diciamo che due matrici $A, B \in M (n)$ sono simili (o coniugate) se esiste una matrice invertibile $M \in M (n)$ tale che

A = M^{- 1} B M .

Se $A$ e $B$ sono simili scriviamo $A \sim B$ .

Come si legge.

Due matrici simili descrivono la stessa macchina in due basi diverse.
$M$ deve essere invertibile: è un traduttore, e le sue colonne formano una base.
Nella formula $A = M^{- 1} B M$ , la matrice $B$ descrive la macchina nella base «vecchia». La matrice $A$ la descrive nella base nuova, quella che ha i vettori nelle colonne di $M$ .
Il simbolo $\sim$ si legge «è simile a». Nell'Esempio 16.10: $(10 0 - 1) \sim (10 1 - 1)$ , con $M = (10 - 1 2)$ .

Le dispense osservano che essere simili è una parentela «ben fatta».

Proposizione 16.12

La similitudine è una relazione di equivalenza in $M (n)$ .

Come si legge. Ci sono tre regole. Ogni matrice è simile a sé stessa. Se una matrice è simile a una seconda, anche la seconda è simile alla prima. Se la prima è simile alla seconda e la seconda a una terza, la prima è simile alla terza. Quindi le matrici quadrate si dividono in famiglie separate: ogni famiglia raccoglie tutte le matrici della stessa macchina, al variare della base (lezione D03 di Matematica Discreta).

Dimostrazione · della Proposizione 16.12 (dal libro di Martelli, Proposizione 4.4.5)

Bisogna controllare le tre proprietà di una relazione di equivalenza.

Riflessiva, ogni $A$ è simile a sé stessa: con $M = I_{n}$ viene $A = I_{n}^{- 1} A I_{n}$ .
Simmetrica, se $A$ è simile a $B$ allora $B$ è simile ad $A$ : da $A = M^{- 1} B M$ , moltiplicando a sinistra per $M$ e a destra per $M^{- 1}$ , viene $B = M A M^{- 1}$ . Con $N = M^{- 1}$ , che è invertibile, $B = N^{- 1} A N$ .
Transitiva, se $A$ è simile a $B$ e $B$ a $C$ allora $A$ è simile a $C$ : da $A = M^{- 1} B M$ e $B = N^{- 1} C N$ viene
$A = M^{- 1} N^{- 1} C N M = (N M)^{- 1} C (N M),$
perché $(N M)^{- 1} = M^{- 1} N^{- 1}$ . E $N M$ è invertibile, prodotto di invertibili.

Che cosa hanno in comune le matrici simili

Se due matrici descrivono la stessa macchina, le proprietà della macchina devono vedersi in tutte e due. Per esempio di quanto la macchina ingrandisce le aree, cioè il determinante. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 16.13

Se $A \sim B$ allora

rk (A) = rk (B), det (A) = det (B) .

In particolare

A \overset{e}{ˋ} invertibile ⟺ B \overset{e}{ˋ} invertibile .

Come si legge. Matrici simili hanno lo stesso rango e lo stesso determinante. Quindi sono tutte e due invertibili o tutte e due no.

Il perché, con i passaggi delle dispense. Sia $A = M^{- 1} B M$ .

Determinante. Per il teorema di Binet (lezione L10) e il Corollario 10.5, il determinante di $M^{- 1}$ è $\frac{1}{d e t M}$ :
$det A = det (M^{- 1}) det B det M = \frac{1}{det M} det B det M = det B .$
Rango. Moltiplicare a sinistra o a destra per una matrice invertibile non cambia il rango, quindi $rk (A) = rk (M^{- 1} B M) = rk (B)$ .
Invertibilità. Una matrice quadrata è invertibile esattamente quando ha determinante diverso da zero (Proposizione 10.8), e i due determinanti sono uguali.

Esempio · simili oppure no?

$(1121)$ e $(- 1 1 21)$ non sono simili: i determinanti sono $1 - 2 = - 1$ e $- 1 - 2 = - 3$ .
$(1324)$ e $(4231)$ sono simili. Con $M = (0110)$ , che scambia l'ordine dei due vettori della base e ha $M^{- 1} = M$ , viene $M^{- 1} (1324) M = (4231)$ (esercizio 10).

Trappola · Stesso rango e stesso determinante non bastano

La Proposizione 16.13 va in un verso solo. Un controesempio: $I_{2}$ e $(1011)$ hanno tutte e due rango 2 e determinante 1, ma non sono simili. Infatti $I_{2}$ è simile solo a sé stessa: $M^{- 1} I_{2} M = M^{- 1} M = I_{2}$ per ogni $M$ invertibile. La macchina identità lascia tutto com'è, in qualsiasi lingua. Lo stesso vale per ogni multiplo $λ I_{n}$ .

Oltre le dispense · anche la traccia non cambia

Anche la traccia, la somma dei numeri sulla diagonale (lezione L08), è la stessa per matrici simili. Si usa la regola $tr (X Y) = tr (Y X)$ della Proposizione 8.13, con $X = M^{- 1}$ e $Y = B M$ :

tr (M^{- 1} B M) = tr (B M M^{- 1}) = tr (B) .

Nel quiz è un modo veloce per escludere risposte: due matrici con tracce diverse non sono simili. Nella lezione L17 vedrai il controllo più potente, il polinomio caratteristico.

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

Nel libro di Martelli: §4.2.4 «Composizione di applicazioni lineari» (pp. 126–127), §4.3.3 (pp. 132–134: composizione e Corollario 4.3.10, che è il nostro 16.7), §4.3.5 «Matrice di cambiamento di base» (pp. 135–137, con gli Esempi 4.3.14 e 4.3.15 che rifanno gli esempi della lezione L15), §4.4.1–4.4.3 «Endomorfismi» e «Similitudine fra matrici» (pp. 137–140), §4.4.5 sulla traccia (p. 141).

Prova tu

Le matrici

(1002)

(2002)

sono simili?

No: i determinanti sono 2 e 4, diversi.

Da ricordare

Un endomorfismo parte e arriva nello stesso spazio; cambiando base la sua matrice diventa $M^{- 1} A M$ .
Matrici simili = stessa macchina in due basi. Hanno stesso rango, determinante e traccia, ma queste uguaglianze non bastano per essere simili.

§4

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$id$	«identità»	la macchina che lascia tutto com'è
$[id]_{C}^{B}$	«matrice di cambiamento di base da B a C»	il traduttore delle coordinate	vettori di $B$ in colonna, se $C$ è canonica
$g \circ f$	«g dopo f»	prima agisce $f$ , poi $g$
$L_{A}$	«elle a»	la macchina che moltiplica per $A$	$L_{A} \circ L_{B} = L_{A B}$
$f^{- 1}$	«effe alla meno uno»	la macchina inversa
$M^{- 1} A M$	«emme alla meno uno, a, emme»	la matrice della stessa macchina nella base nuova
$\sim$	«è simile a»	stessa macchina in due basi	$A \sim B$
$tr$	«traccia»	somma dei numeri sulla diagonale	$tr (1324) = 5$
$rk$	«rango»	quante colonne dicono qualcosa di nuovo

§5

Verso l'esame

esame

La prova di Algebra lineare e Geometria ha 10 domande a risposta multipla, con 5 risposte e una sola giusta. Ci sono poi 2 problemi da 11 punti, corretti solo con almeno 6 risposte giuste. Dura 2 ore, senza calcolatrice, e si può portare solo un foglio da 4 facciate scritto a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione serve all'esame. I cambi di base e le matrici associate sono tra gli esercizi più ricorrenti di Algebra lineare. Negli appelli 2023–2026:

Tipo di domanda	Dove
matrice di cambiamento di base nel piano, nello spazio o tra polinomi	10/06/2024 d. 8; 06/09/2024 d. 5; 10/07/2025 d. 6 (basi canoniche permutate); 02/09/2025 d. 8 (tre basi)
matrice di due macchine in fila, o formula della composizione	08/02/2024 d. 5; 16/01/2025 d. 5; 15/01/2026 d. 10 (nucleo di $S \circ T$ ); 03/07/2026 d. 5 ( $T \circ S = 0$ )
matrice $[T]_{B}^{B}$ in una base data, o $A$ ricavata da $[L_{A}]_{B}^{B}$	24/01/2024 d. 3; 03/06/2025 d. 5; 15/01/2026 d. 8
problema aperto: matrici di cambiamento di base, $[T]_{A}^{A}$ e $[T]_{B}^{B}$	07/09/2026 problema 11; matrice della macchina inversa: 10/07/2024 problema 11

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 24/01/2024, domanda 3 (anche foglio 3 del tutorato, esercizio 5). Il testo: «La matrice associata a $T (x, y) = (2 x + y, x + 2 y)$ rispetto alla base $B = {(0, 1), (1, 2)}$ è…».

In pratica chiede: la stessa macchina, scritta nella lingua della base $(0, 1), (1, 2)$ invece che in quella canonica.

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: la matrice nella base canonica. Dai numeri davanti alle lettere: $A = (2112)$ .

Passo 2: il traduttore. I vettori della base in colonna: $M = (0112)$ , con determinante $0 - 1 = - 1$ .

Passo 3: l'inversa. Scambio la diagonale, cambio segno agli altri due, divido per $- 1$ : $M^{- 1} = (- 2 1 10)$ .

Passo 4: il prodotto, un pezzo alla volta.

A M = (1245), M^{- 1} (A M) = (- 2 + 2 1 - 8 + 5 4) = (01 - 3 4) .

Passo 5: controllo senza inversa. $T (0, 1) = (1, 2)$ , che è il secondo vettore della base: coordinate $(0, 1)$ , la prima colonna. $T (1, 2) = (4, 5) = - 3 \cdot (0, 1) + 4 \cdot (1, 2)$ : coordinate $(- 3, 4)$ , la seconda colonna.

La risposta è $(01 - 3 4)$ . Tra le risposte c'era anche la trasposta $(0 - 3 14)$ : le coordinate vanno in colonna.

Altre due domande vere

Conta all'esame · Appello del 16/01/2025, domanda 5

Siano $f : R^{2} \to R_{2} [x]$ , $f (u, v) = u x^{2} + v x$ , e $g : R_{2} [x] \to R^{2}$ , $g (p) = (p (1) + p (2), p (1) - p (- 1))$ . La matrice di $g \circ f$ rispetto alle basi canoniche è …

Soluzione. La via più corta è far lavorare le due macchine in fila sui vettori della base.

$g (f (e_{1})) = g (x^{2}) = (1 + 4, 1 - 1) = (5, 0)$ .
$g (f (e_{2})) = g (x) = (1 + 2, 1 - (- 1)) = (3, 2)$ .

Quindi la matrice è $(5032)$ . Con il prodotto: $[g] = (203250)$ (colonne $g (1), g (x), g (x^{2})$ ), $[f] = 001010$ , e $[g] [f] = (5032)$ . Una delle risposte sbagliate conteneva le lettere $u$ e $v$ : una matrice associata contiene solo numeri.

Conta all'esame · Appello del 07/09/2026, problema 11 (punti 1–3)

$A$ base canonica di $R^{3}$ ; $B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ con

v_{1} = (1, 1, 0), v_{2} = (1, 0, 1), v_{3} = (1, 1, 1);

$T (a, b, c) = (2 a + c, a + b, - a + b + 3 c)$ . (1) Determinare $[id]_{A}^{B}$ e $[id]_{B}^{A}$ . (2) Trovare $[T]_{A}^{A}$ . (3) Trovare $[T]_{B}^{B}$ .

Soluzione.

$M = [id]_{A}^{B} = 110101111$ , con i $v_{j}$ in colonna. Il determinante è $- 1$ , e $[id]_{B}^{A} = M^{- 1} = 11 - 1 0 - 1 1 - 1 01$ . Controllo: $M M^{- 1} = I_{3}$ .
Dai numeri davanti alle lettere: $[T]_{A}^{A} = 21 - 1 011103$ .
$[T]_{B}^{B} = M^{- 1} [T]_{A}^{A} M = 200120012$ . Controllo senza inverse: $T (v_{1}) = (2, 2, 0) = 2 v_{1}$ ; $T (v_{2}) = (3, 1, 2) = v_{1} + 2 v_{2}$ ; $T (v_{3}) = (3, 2, 3) = v_{2} + 2 v_{3}$ . Le coordinate sono proprio le colonne.

Il punto (4), gli autovalori, si risolve con la lezione L17: la matrice nella base $B$ è triangolare, con 2 sulla diagonale.

Errori da evitare.

Confondere il traduttore con il suo inverso: i vettori di $B$ in colonna portano dalle coordinate in $B$ a quelle canoniche, non il contrario.
Scrivere $M A M^{- 1}$ al posto di $M^{- 1} A M$ , o il contrario. Con $M$ che ha in colonna la base nuova, la matrice nella base nuova è $M^{- 1} A M$ . Nel dubbio, controlla una colonna calcolando $f (v_{1})$ .
Invertire l'ordine nella composizione: la matrice di $g \circ f$ è $[g] [f]$ .
Dimenticare che l'ordine dei vettori di una base cambia l'ordine delle righe e delle colonne.
Pensare che rango e determinante uguali bastino per essere simili.

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione: «colonne di $[id]_{C}^{B}$ = vettori di $B$ in coordinate $C$ ; $[v]_{C} = [id]_{C}^{B} [v]_{B}$ »; « $[g \circ f] = [g] [f]$ , basi come nel domino»; « $[f]_{B}^{B} = M^{- 1} [f]_{C}^{C} M$ con $M = [id]_{C}^{B}$ »; l'inversa $2 \times 2$ ; «matrici simili: stesso rango, determinante e traccia».

§7

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: la base in colonna base

Nella base $B = {(2, 1), (1, 1)}$ del piano scrivi il traduttore $[id]_{C}^{B}$ verso la base canonica $C$ . Poi trova il vettore che ha coordinate $(1, 3)$ nella base $B$ .

Soluzione

La base di arrivo è canonica: i vettori di $B$ in colonna, $[id]_{C}^{B} = (2111)$ .
$(2111) (13) = (2 + 3 1 + 3) = (54)$ .

Controllo con la ricetta: $1 \cdot (2, 1) + 3 \cdot (1, 1) = (5, 4)$ .

2 · Riscaldamento: due macchine in fila base

Siano $f (x, y) = (2 x, y)$ e $g (x, y) = (y, x)$ . Scrivi le loro matrici nella base canonica e la matrice di $g \circ f$ . Controlla con la formula.

Soluzione

$[f] = (2001)$ e $[g] = (0110)$ .
$[g \circ f] = [g] [f] = (0110) (2001) = (0210)$ .
Controllo: $g (f (x, y)) = g (2 x, y) = (y, 2 x)$ , che ha proprio questa matrice.

3 · Riscaldamento: l'ordine conta base

Con le macchine dell'esercizio precedente, calcola la matrice di $f \circ g$ . È uguale a quella di $g \circ f$ ?

Soluzione

$[f \circ g] = [f] [g] = (2001) (0110) = (0120)$ .
Controllo: $f (g (x, y)) = f (y, x) = (2 y, x)$ .

È diversa da $(0210)$ : mettere le macchine in fila in un altro ordine dà un'altra macchina.

4 · Riscaldamento: simili o no? base

(a) $(1002)$ e $(2002)$ sono simili? (b) E $(1002)$ e $(2001)$ ?

Soluzione

(a) No: i determinanti sono 2 e 4.
(b) Sì. È la stessa macchina con i due vettori della base in ordine scambiato. Con $M = (0110)$ , che è l'inversa di sé stessa: $M^{- 1} (1002) M = (0120) (0110) = (2001)$ .

5 · Cambiamento di base in $R^{3}$ (foglio 3 del tutorato, esercizio 1) base

Siano $v_{1} = (1, 0, 2)$ , $v_{2} = (2, 0, 1)$ , $v_{3} = (0, 1, 1)$ . Verifica che $B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ è una base di $R^{3}$ e trova la matrice di cambiamento di base da $B$ alla base canonica $E$ e viceversa.

Soluzione

Il traduttore verso la base canonica ha i vettori in colonna: $M = [id]_{E}^{B} = 102201011$ . Sviluppo lungo la seconda riga, che ha un solo numero diverso da zero (casella $(2, 3)$ , segno meno):

det M = - 1 \cdot det (1221) = - (1 - 4) = 3.

Il determinante non è zero: i tre vettori sono indipendenti e, siccome sono tre nello spazio, formano una base (Teorema 7.12).

Il traduttore nel verso opposto, $[id]_{B}^{E}$ , è l'inversa, con i cofattori o con Gauss:

M^{- 1} = \frac{1}{3} - 1 20 - 2 13 2 - 1 0 .

Controllo su una colonna: la prima colonna di $M^{- 1}$ deve dare le coordinate di $e_{1}$ : $- \frac{1}{3} v_{1} + \frac{2}{3} v_{2} + 0 v_{3} = (- \frac{1}{3} + \frac{4}{3}, 0, - \frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = (1, 0, 0)$ .

6 · Composizioni nei due ordini base

Siano $f : R^{2} \to R^{3}$ , $f (x, y) = (x, x + y, 2 y)$ , e $g : R^{3} \to R^{2}$ , $g (a, b, c) = (a + c, b - c)$ . Calcola le matrici di $g \circ f$ e di $f \circ g$ nelle basi canoniche, e controlla il risultato con le formule.

Soluzione

$[f] = 110012$ è $3 \times 2$ , $[g] = (1001 1 - 1)$ è $2 \times 3$ .

[g \circ f] = [g] [f] = (1 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 + 2 0 + 1 - 2) = (11 2 - 1) .

Controllo: $g (f (x, y)) = g (x, x + y, 2 y) = (x + 2 y, x + y - 2 y) = (x + 2 y, x - y)$ .

[f \circ g] = [f] [g] = 110012 10 - 2 .

Controllo: $f (g (a, b, c)) = f (a + c, b - c) = (a + c, a + b, 2 b - 2 c)$ .

Nota che $f \circ g$ passa per il piano, quindi la sua immagine ha dimensione al massimo 2. Infatti il determinante di $[f \circ g]$ è $1 \cdot (- 2 - 0) - 0 + 1 \cdot (2 - 0) = 0$ , e il rango è 2.

7 · Esercizio 16.14 delle dispense: un endomorfismo che diventa diagonale medio

Consideriamo l'endomorfismo $f : R^{2} \to R^{2}$ definito da $f (x, y) = (2 x + y, x + 2 y)$ . Siano $C = {e_{1}, e_{2}}$ la base canonica e $B = {v_{1}, v_{2}}$ con $v_{1} = (1, 1)$ , $v_{2} = (1, - 1)$ . (1) Trovare la matrice $A = [f]_{C}^{C}$ . (2) Trovare la matrice di cambiamento di base $M = [id]_{C}^{B}$ . (3) Calcolare $[f]_{B}^{B}$ usando la formula di cambiamento di base. (4) Verificare il risultato calcolando direttamente $f (v_{1})$ e $f (v_{2})$ .

Soluzione

(1) Dai numeri davanti alle lettere: $A = (2112)$ , con colonne $f (e_{1}) = (2, 1)$ e $f (e_{2}) = (1, 2)$ .

(2) La base di arrivo è canonica: i vettori di $B$ in colonna, $M = (11 1 - 1)$ .

(3) Il determinante di $M$ è $- 1 - 1 = - 2$ , quindi

M^{- 1} = \frac{1}{- 2} (- 1 - 1 - 1 1) = (1/2 1/2 1/2 - 1/2) .

Poi, un prodotto alla volta:

M^{- 1} A = (3/2 1/2 3/2 - 1/2), (M^{- 1} A) M = (3/2 1/2 3/2 - 1/2) (11 1 - 1) = (3001) .

Quindi $[f]_{B}^{B} = (3001)$ .

(4) $f (v_{1}) = f (1, 1) = (3, 3) = 3 v_{1} + 0 v_{2}$ e $f (v_{2}) = f (1, - 1) = (1, - 1) = 0 v_{1} + 1 v_{2}$ . Le coordinate $(3, 0)$ e $(0, 1)$ sono le colonne trovate. Nella base $B$ la macchina allunga di 3 la direzione $(1, 1)$ e lascia ferma la direzione $(1, - 1)$ .

8 · Polinomi centrati in 1 (foglio 3 del tutorato, esercizio 2) medio

In $R_{3} [x]$ calcola la matrice del cambio di base da $B = {1, x - 1, (x - 1)^{2}, (x - 1)^{3}}$ alla base canonica $C = {1, x, x^{2}, x^{3}}$ , e viceversa.

Soluzione

Da $B$ a $C$ : sviluppo ogni polinomio di $B$ e leggo i numeri (termine noto, $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ ):

$1$ dà $(1, 0, 0, 0)$ ;
$x - 1$ dà $(- 1, 1, 0, 0)$ ;
$(x - 1)^{2} = 1 - 2 x + x^{2}$ dà $(1, - 2, 1, 0)$ ;
$(x - 1)^{3} = - 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$ dà $(- 1, 3, - 3, 1)$ .

[id]_{C}^{B} = 1000 - 1 100 1 - 2 10 - 1 3 - 3 1 .

Da $C$ a $B$ : invece di invertire, scrivo $x = (x - 1) + 1$ e sviluppo le potenze:

$1$ dà $(1, 0, 0, 0)$ ;
$x = 1 + (x - 1)$ dà $(1, 1, 0, 0)$ ;
$x^{2} = (1 + (x - 1))^{2} = 1 + 2 (x - 1) + (x - 1)^{2}$ dà $(1, 2, 1, 0)$ ;
$x^{3} = 1 + 3 (x - 1) + 3 (x - 1)^{2} + (x - 1)^{3}$ dà $(1, 3, 3, 1)$ .

[id]_{B}^{C} = 1000110012101331 .

Nelle colonne compaiono i numeri del triangolo di Tartaglia. Controllo: il prodotto delle due matrici è $I_{4}$ .

9 · Un isomorfismo e la sua inversa con le matrici medio

Sia $f : R_{2} [x] \to R^{3}$ , $f (p) = (p (- 1), p (0), p (1))$ . (a) Scrivi $[f]$ rispetto a ${1, x, x^{2}}$ e alla base canonica e mostra che $f$ è un isomorfismo. (b) Usa il Corollario 16.7 per scrivere $f^{- 1} (a, b, c)$ . (c) Qual è il polinomio di grado al massimo 2 che vale $1$ in $- 1$ , $0$ in $0$ e $3$ in $1$ ?

Soluzione

(a) Le uscite: $f (1) = (1, 1, 1)$ , $f (x) = (- 1, 0, 1)$ , $f (x^{2}) = (1, 0, 1)$ .

[f] = 111 - 1 01 101 .

Sviluppo lungo la seconda riga, con un solo numero diverso da zero (casella $(2, 1)$ , segno meno): $det [f] = - 1 \cdot det (- 1 1 11) = - (- 1 - 1) = 2$ . Non è zero: la matrice è invertibile e $f$ è un isomorfismo.

(b) $[f^{- 1}] = [f]^{- 1} = \frac{1}{2} 0 - 1 1 20 - 2 011$ ; controllo: $[f] [f]^{- 1} = I_{3}$ . Le coordinate di $f^{- 1} (a, b, c)$ sono $(b, \frac{c - a}{2}, \frac{a - 2 b + c}{2})$ , quindi

f^{- 1} (a, b, c) = b + \frac{c - a}{2} x + \frac{a - 2 b + c}{2} x^{2} .

Controllo: in 0 vale $b$ ; in 1 vale $b + \frac{c - a}{2} + \frac{a - 2 b + c}{2} = b + \frac{2 c - 2 b}{2} = c$ ; in $- 1$ vale $b - \frac{c - a}{2} + \frac{a - 2 b + c}{2} = b + \frac{2 a - 2 b}{2} = a$ .

(c) $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 3$ : $p = 0 + \frac{3 - 1}{2} x + \frac{1 - 0 + 3}{2} x^{2} = x + 2 x^{2}$ . Controllo: $p (- 1) = - 1 + 2 = 1$ , $p (0) = 0$ , $p (1) = 3$ .

10 · Simili oppure no medio

(a) Mostra che $A = (1324)$ e $B = (4231)$ sono simili, trovando $M$ . (b) Mostra che $A$ e $C = (1325)$ non sono simili. (c) $A$ e $D = (4321)$ possono essere simili?

Soluzione

(a) Pensa ad $A$ come alla matrice di $L_{A}$ nella base ${e_{1}, e_{2}}$ , e prova la base in ordine inverso, ${e_{2}, e_{1}}$ . Il traduttore è $M = (0110)$ , e $M^{- 1} = M$ : scambiare due volte non cambia niente. Allora

M^{- 1} A M = (0110) (1324) (0110) = (3142) (0110) = (4231) = B .

Moltiplicare a sinistra per $M$ scambia le righe, a destra scambia le colonne.

(b) $det A = 4 - 6 = - 2$ e $det C = 5 - 6 = - 1$ : determinanti diversi, quindi non simili (Proposizione 16.13).

(c) Qui i controlli visti finora non aiutano: $det D = 4 - 6 = - 2 = det A$ , il rango è 2 per tutte e due, e anche la traccia è la stessa ( $1 + 4 = 5$ e $4 + 1 = 5$ ). Quindi possono essere simili, ma queste uguaglianze da sole non lo dimostrano. Nella lezione L17 vedrai che hanno lo stesso polinomio caratteristico, $λ^{2} - 5 λ - 2$ , con due radici reali diverse. Nella lezione L18 vedrai che per questo sono tutte e due simili alla stessa matrice diagonale, e quindi, per la proprietà transitiva, simili fra loro.

11 · Una matrice con basi diverse in partenza e in arrivo (foglio 3 del tutorato, esercizio 3) medio

Sia $T : R^{3} \to R^{3}$ , $T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (3 x_{1} + x_{2}, x_{1} + x_{3}, x_{2} - x_{3})$ . Siano $A$ la base canonica, $B = {(1, - 1, 1), (0, 3, 1), (0, 2, 1)}$ e $C = {(1, 2, 3), (0, 2, 1), (0, 1, 1)}$ . Trova $[T]_{A}^{A}$ e $[T]_{C}^{B}$ .

Soluzione

Dai numeri davanti alle lettere: $[T]_{A}^{A} = 310101 01 - 1$ .

Per il Corollario 16.8: $[T]_{C}^{B} = [id]_{C}^{A} [T]_{A}^{A} [id]_{A}^{B}$ . La base $C$ è quella dell'Esercizio 16.3, quindi il traduttore $[id]_{C}^{A} = 11 - 4 01 - 1 0 - 1 2$ è già pronto. Invece di moltiplicare tre matrici, conviene calcolare le uscite dei vettori di $B$ e poi tradurle nella base $C$ :

$T (1, - 1, 1) = (3 - 1, 1 + 1, - 1 - 1) = (2, 2, - 2)$ , tradotto: $(2, 2 + 2 + 2, - 8 - 2 - 4) = (2, 6, - 14)$ ;
$T (0, 3, 1) = (3, 1, 2)$ , tradotto: $(3, 3 + 1 - 2, - 12 - 1 + 4) = (3, 2, - 9)$ ;
$T (0, 2, 1) = (2, 1, 1)$ , tradotto: $(2, 2 + 1 - 1, - 8 - 1 + 2) = (2, 2, - 7)$ .

[T]_{C}^{B} = 26 - 14 32 - 9 22 - 7 .

Controllo sulla prima colonna: $2 (1, 2, 3) + 6 (0, 2, 1) - 14 (0, 1, 1) = (2, 4 + 12 - 14, 6 + 6 - 14) = (2, 2, - 2)$ .

12 · Come all'esame: due basi e un endomorfismo di $R^{3}$ tipo esame

Sia $A$ la base canonica di $R^{3}$ e sia $B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ con $v_{1} = (1, 0, 1)$ , $v_{2} = (0, 1, 1)$ , $v_{3} = (1, 1, 1)$ . Sia $T : R^{3} \to R^{3}$ , $T (a, b, c) = (2 a + 2 b - c, a + 3 b - c, 2 b + c)$ . (1) Determina $[id]_{A}^{B}$ e $[id]_{B}^{A}$ . (2) Scrivi $[T]_{A}^{A}$ . (3) Calcola $[T]_{B}^{B}$ con la formula del cambiamento di base. (4) Controlla il risultato calcolando $T (v_{1})$ , $T (v_{2})$ , $T (v_{3})$ , e verifica che $det [T]_{A}^{A} = det [T]_{B}^{B}$ .

Soluzione

(1) $M = [id]_{A}^{B} = 101011111$ . Determinante lungo la prima riga: $1 \cdot (1 - 1) - 0 + 1 \cdot (0 - 1) = - 1$ . L'inversa, con i cofattori divisi per $- 1$ :

[id]_{B}^{A} = M^{- 1} = 0 - 1 1 - 1 01 11 - 1 .

Controllo: la prima riga di $M$ per le colonne di $M^{- 1}$ dà $(0 + 0 + 1, - 1 + 0 + 1, 1 + 0 - 1) = (1, 0, 0)$ , e così via.

(2) $A = [T]_{A}^{A} = 210232 - 1 - 1 1$ .

(3) Prima $A M$ , colonna per colonna: $A v_{1} = (2 - 1, 1 - 1, 0 + 1) = (1, 0, 1)$ , $A v_{2} = (2 - 1, 3 - 1, 2 + 1) = (1, 2, 3)$ , $A v_{3} = (2 + 2 - 1, 1 + 3 - 1, 2 + 1) = (3, 3, 3)$ . Poi $M^{- 1}$ per ciascuna colonna:

$M^{- 1} (1, 0, 1) = (0 + 0 + 1, - 1 + 0 + 1, 1 + 0 - 1) = (1, 0, 0)$ ;
$M^{- 1} (1, 2, 3) = (0 - 2 + 3, - 1 + 0 + 3, 1 + 2 - 3) = (1, 2, 0)$ ;
$M^{- 1} (3, 3, 3) = (0 - 3 + 3, - 3 + 0 + 3, 3 + 3 - 3) = (0, 0, 3)$ .

[T]_{B}^{B} = 100120003 .

(4) $T (v_{1}) = (1, 0, 1) = v_{1}$ ; $T (v_{2}) = (1, 2, 3) = v_{1} + 2 v_{2}$ , infatti $(1, 0, 1) + (0, 2, 2) = (1, 2, 3)$ ; $T (v_{3}) = (3, 3, 3) = 3 v_{3}$ . Le coordinate $(1, 0, 0)$ , $(1, 2, 0)$ , $(0, 0, 3)$ sono le colonne trovate. Determinanti: quello di $[T]_{B}^{B}$ è $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ (triangolare), e $det A = 2 (3 + 2) - 2 (1 - 0) + (- 1) (2 - 0) = 10 - 2 - 2 = 6$ . Uguali, come vuole la Proposizione 16.13.

13 · Come all'esame: la traslazione dei polinomi tipo esame

Sia $f : R_{2} [x] \to R_{2} [x]$ , $f (p) (x) = p (x + 1)$ (per esempio $f (x^{2}) = (x + 1)^{2}$ ). (1) Mostra che $f$ è lineare e scrivi la sua matrice rispetto a $B = {1, x, x^{2}}$ . (2) Mostra che $f$ è un isomorfismo e scrivi la matrice di $f^{- 1}$ ; quanto vale $f^{- 1} (x^{2})$ ? (3) Scrivi la matrice di $f \circ f$ e spiega il risultato.

Soluzione

(1) Linearità: $f (p + q) (x) = (p + q) (x + 1) = p (x + 1) + q (x + 1)$ e $f (λ p) (x) = λ p (x + 1)$ . Le uscite della base: $f (1) = 1$ , $f (x) = x + 1$ , $f (x^{2}) = x^{2} + 2 x + 1$ , con coordinate $(1, 0, 0)$ , $(1, 1, 0)$ , $(1, 2, 1)$ :

[f]_{B}^{B} = 100110121 .

(2) La matrice è triangolare con determinante $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ : non è zero, quindi $f$ è un isomorfismo (Corollario 16.7). L'inversa è lo spostamento all'indietro, $p (x) \mapsto p (x - 1)$ : $1$ va in $1$ , $x$ va in $x - 1$ , $x^{2}$ va in $x^{2} - 2 x + 1$ . Quindi

[f^{- 1}]_{B}^{B} = 100 - 1 10 1 - 2 1,

e il prodotto con $[f]$ è $I_{3}$ . Allora le coordinate di $f^{- 1} (x^{2})$ sono $[f^{- 1}] (0, 0, 1) = (1, - 2, 1)$ , cioè $f^{- 1} (x^{2}) = 1 - 2 x + x^{2} = (x - 1)^{2}$ .

(3) $[f \circ f] = [f]^{2} = 100210441$ . Spostare due volte di 1 è spostare di 2: $f (f (p)) (x) = p (x + 2)$ . Infatti $(x + 2)^{2} = 4 + 4 x + x^{2}$ ha coordinate $(4, 4, 1)$ , la terza colonna.

14 · Similitudine: equivalenza e traccia difficile

(a) Dimostra la Proposizione 16.12 (la similitudine è una relazione di equivalenza). (b) Dimostra che matrici simili hanno la stessa traccia. (c) Trova due matrici $2 \times 2$ con la stessa traccia e lo stesso determinante che non sono simili.

Soluzione

(a) Riflessiva con $M = I_{n}$ . Simmetrica: da $A = M^{- 1} B M$ viene $B = M A M^{- 1}$ , cioè $B = N^{- 1} A N$ con $N = M^{- 1}$ . Transitiva: da $A = M^{- 1} B M$ e $B = N^{- 1} C N$ viene $A = (N M)^{- 1} C (N M)$ . I dettagli sono nel riquadro della dimostrazione, nella sezione sulle matrici simili.

(b) Con la regola $tr (X Y) = tr (Y X)$ (Proposizione 8.13), $X = M^{- 1}$ e $Y = B M$ : $tr (M^{- 1} B M) = tr (B M M^{- 1}) = tr B$ .

§8

Domande di ripasso

autoverifica

Che cos'è la matrice di cambiamento di base da

B

C

, e com'è fatta?

È $[id]_{C}^{B}$ , la matrice della macchina identità con $B$ in partenza e $C$ in arrivo: il traduttore. La colonna $j$ contiene le coordinate del vettore $j$ di $B$ rispetto a $C$ .

A che cosa serve? Scrivi la formula.

A tradurre le coordinate: $[v]_{C} = [id]_{C}^{B} [v]_{B}$ (Proposizione 16.2). Per il verso opposto si usa l'inversa, $[id]_{B}^{C}$ .

Come si scrive in fretta il traduttore se la base di arrivo è quella canonica?

Mettendo in colonna i vettori della base di partenza, nell'ordine: nella base canonica le coordinate sono i numeri del vettore.

Perché la composizione di macchine lineari è lineare?

Perché $(g \circ f) (v + v^{'}) = g (f (v) + f (v^{'})) = g (f (v)) + g (f (v^{'}))$ e $(g \circ f) (λ v) = g (λ f (v)) = λ g (f (v))$ : si usa prima la linearità di $f$ , poi quella di $g$ .

Qual è la matrice di una composizione?

Il prodotto delle due matrici, con la macchina che agisce per prima a destra: $[g \circ f]_{D}^{B} = [g]_{D}^{C} [f]_{C}^{B}$ (Proposizione 16.6). La base dello spazio in mezzo è la stessa nei due fattori. Per le macchine delle matrici: $L_{A} \circ L_{B} = L_{A B}$ .

Come si riconosce un isomorfismo dalla matrice, e qual è la matrice dell'inversa?

È un isomorfismo esattamente quando la sua matrice è invertibile: quadrata, con determinante diverso da zero. La matrice della macchina inversa è la matrice inversa (Corollario 16.7).

Come si passa dalla matrice in certe basi alla matrice in altre basi?

Moltiplicando a sinistra e a destra per due traduttori: $[f]_{C_{2}}^{B_{2}} = [id_{W}]_{C_{2}}^{C_{1}} [f]_{C_{1}}^{B_{1}} [id_{V}]_{B_{1}}^{B_{2}}$ (Corollario 16.8).

Che cos'è un endomorfismo? Come cambia la sua matrice con la base?

Una macchina lineare che parte e arriva nello stesso spazio. Con la stessa base in partenza e in arrivo, se $M = [id]_{C}^{B}$ allora $[f]_{B}^{B} = M^{- 1} [f]_{C}^{C} M$ .

Quando due matrici sono simili, e che cosa significa?

Quando $A = M^{- 1} B M$ per qualche $M$ invertibile. Significa che $A$ e $B$ descrivono la stessa macchina in due basi diverse.

Perché la similitudine è una relazione di equivalenza?

Riflessiva con $M = I_{n}$ ; simmetrica perché $A = M^{- 1} B M$ dà $B = M A M^{- 1}$ ; transitiva perché $A = M^{- 1} B M$ e $B = N^{- 1} C N$ danno $A = (N M)^{- 1} C (N M)$ .

Che cosa hanno in comune due matrici simili?

Rango e determinante (Proposizione 16.13), quindi sono tutte e due invertibili o tutte e due no. Anche la traccia, e dalla lezione L17 il polinomio caratteristico.

Due matrici con lo stesso determinante e lo stesso rango sono simili?

Non per forza: $I_{2}$ e $(1011)$ hanno rango 2 e determinante 1, ma $I_{2}$ è simile solo a sé stessa.

§9

Glossario

termini

Matrice di cambiamento di base: $[id]_{C}^{B}$ : il traduttore delle coordinate da $B$ a $C$ ; la colonna $j$ è $[v_{j}]_{C}$ (Definizione 16.1).
Cambiamento di base inverso: $[id]_{B}^{C}$ , l'inversa del traduttore: traduce nel verso opposto.
Composizione: $g \circ f$ : prima agisce $f$ , poi $g$ ; è lineare se lo sono $f$ e $g$ (Proposizione 16.4).
Matrice della composizione: Il prodotto delle matrici, con la prima macchina a destra: $[g \circ f] = [g] [f]$ ; per le $L_{A}$ , $L_{A} \circ L_{B} = L_{A B}$ .
Associatività: La regola delle parentesi $A (B C) = (A B) C$ : è il motivo per cui $L_{A} (L_{B} (x)) = L_{A B} (x)$ .
Isomorfismo e matrice invertibile: Una macchina è un isomorfismo esattamente quando la sua matrice è invertibile; la matrice dell'inversa è la matrice inversa (Corollario 16.7).
Formula del cambiamento di base: Traduttore a sinistra, matrice, traduttore a destra (Corollario 16.8).
Endomorfismo: Una macchina lineare che parte e arriva nello stesso spazio (Definizione 16.9).
Matrice di un endomorfismo: $[f]_{B}^{B}$ , con la stessa base in partenza e in arrivo.
Matrici simili (coniugate): $A = M^{- 1} B M$ con $M$ invertibile: la stessa macchina in due basi (Definizione 16.11).
Relazione di equivalenza: Una parentela riflessiva, simmetrica e transitiva; la similitudine lo è (Proposizione 16.12).
Invarianti per similitudine: Numeri uguali per matrici simili: rango, determinante, traccia (e il polinomio caratteristico, lezione L17).
Teorema di Binet: Il determinante di un prodotto è il prodotto dei determinanti (lezione L10); da qui $det (M^{- 1} B M) = det B$ .
Inversa di una $2 \times 2$: Scambia la diagonale, cambia segno agli altri due, dividi per $a d - b c$ , se non è zero.

Applicazioni lineari III

La lezione in 7 punti

Il traduttore tra due basi

Un esempio per cominciare

Un esempio svolto in due modi

Due macchine una dopo l'altra

Isomorfismi e matrici invertibili

Cambiare le basi di una macchina

La stessa macchina in due lingue: le matrici simili

Come cambia la matrice di un endomorfismo

Il nome: matrici simili

Che cosa hanno in comune le matrici simili

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: la base in colonna base

2 · Riscaldamento: due macchine in fila base

3 · Riscaldamento: l'ordine conta base

4 · Riscaldamento: simili o no? base

5 · Cambiamento di base in $R^{3}$ (foglio 3 del tutorato, esercizio 1) base

6 · Composizioni nei due ordini base

7 · Esercizio 16.14 delle dispense: un endomorfismo che diventa diagonale medio

8 · Polinomi centrati in 1 (foglio 3 del tutorato, esercizio 2) medio

9 · Un isomorfismo e la sua inversa con le matrici medio

10 · Simili oppure no medio

11 · Una matrice con basi diverse in partenza e in arrivo (foglio 3 del tutorato, esercizio 3) medio

12 · Come all'esame: due basi e un endomorfismo di $R^{3}$ tipo esame

13 · Come all'esame: la traslazione dei polinomi tipo esame

14 · Similitudine: equivalenza e traccia difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

La lezione in 7 punti

Il traduttore tra due basi

Un esempio per cominciare

Un esempio svolto in due modi

Due macchine una dopo l'altra

Isomorfismi e matrici invertibili

Cambiare le basi di una macchina

La stessa macchina in due lingue: le matrici simili

Come cambia la matrice di un endomorfismo

Il nome: matrici simili

Che cosa hanno in comune le matrici simili

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: la base in colonna base

2 · Riscaldamento: due macchine in fila base

3 · Riscaldamento: l'ordine conta base

4 · Riscaldamento: simili o no? base

5 · Cambiamento di base in R3 (foglio 3 del tutorato, esercizio 1) base

6 · Composizioni nei due ordini base

7 · Esercizio 16.14 delle dispense: un endomorfismo che diventa diagonale medio

8 · Polinomi centrati in 1 (foglio 3 del tutorato, esercizio 2) medio

9 · Un isomorfismo e la sua inversa con le matrici medio

10 · Simili oppure no medio

11 · Una matrice con basi diverse in partenza e in arrivo (foglio 3 del tutorato, esercizio 3) medio

12 · Come all'esame: due basi e un endomorfismo di R3 tipo esame

13 · Come all'esame: la traslazione dei polinomi tipo esame

14 · Similitudine: equivalenza e traccia difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

5 · Cambiamento di base in $R^{3}$ (foglio 3 del tutorato, esercizio 1) base

12 · Come all'esame: due basi e un endomorfismo di $R^{3}$ tipo esame