Autovalori e autovettori I

Una matrice quadrata è una macchina: entra un vettore, ne esce un altro dello stesso tipo. In questa sezione guardiamo che cosa succede alla direzione dei vettori quando passano nella macchina.

In tutta la lezione le macchine sono lineari: rispettano le somme e i multipli (lezione L14). Per esempio, se in entrata metti il doppio di un vettore, in uscita trovi il doppio. Le macchine fatte con una matrice sono sempre lineari.

Prima due avvisi su come sono scritti i vettori.

• Nelle dispense i vettori sono scritti in colonna, con i numeri uno sotto l'altro. In queste pagine, dentro le frasi, li scriviamo in riga per risparmiare spazio: $(1,2)$ è il vettore con 1 sopra e 2 sotto.
• Due vettori del piano hanno un nome fisso: $e_1=(1,0)$ ed $e_2=(0,1)$. Sono «un passo a destra» e «un passo in su». Insieme formano la base canonica del piano (lezione L07).

Una macchina alla prova

Prendiamo la matrice del ripasso e chiamiamola $A$:

Facciamo entrare quattro vettori e guardiamo che cosa esce.

L'ultima colonna è quella che conta. Per riempirla serve ricordare che cos'è un multiplo.

Guarda la tabella: si notano due cose.

Quasi tutti i vettori escono girati. Entra $(1,1)$ ed esce $(7,2)$, che punta in un'altra direzione. Lo stesso succede a $(0,1)$.

Due vettori invece restano sulla loro retta. Entra $(1,0)$ ed esce il suo triplo. Entra $(-4,1)$ ed esce il suo doppio. La macchina li ha allungati, ma non li ha girati.

Guarda la figura. Le frecce chiare sono i vettori che entrano, quelle scure i vettori che escono. Nella figura $u$ è il vettore $(-4,1)$. La freccia di $e_1$ e quella che esce stanno sulla stessa retta tratteggiata. Lo stesso vale per le due frecce viola. La freccia ambra invece esce dalla sua retta: il vettore $e_2$ viene girato.

I nomi e i simboli

Servono quattro parole nuove.

• Autovettore e autovalore. Il pezzo «auto» traduce il tedesco eigen, che vuol dire «proprio»: sono i vettori «propri» della macchina, e i suoi numeri «propri».
• Scalare. È un numero normale, come 3 o $-2$. Si chiama così per distinguerlo dai vettori.
• Endomorfismo. È una macchina lineare in cui i vettori che escono sono dello stesso tipo di quelli che entrano: entra un vettore del piano, esce un vettore del piano (lezione L16). Deve essere così, altrimenti non avrebbe senso chiedersi se quello che esce è un multiplo di quello che è entrato.

L'autovalore si indica con la lettera greca $\lambda$, che si legge «lambda». È un numero.

La frase «esce un multiplo di quello che è entrato» si scrive così:

Si legge «$A$ per $v$ è uguale a lambda per $v$». A sinistra c'è quello che esce dalla macchina quando entra $v$. A destra c'è $v$ moltiplicato per il numero $\lambda$.

Con la matrice di prima e il vettore $(1,0)$ la riga dice: esce 3 volte $(1,0)$. Qui $\lambda$ vale 3.

Le dispense usano altri tre simboli.

• $T:V\to V$ è la macchina. Si chiama $T$, prende i vettori da uno spazio vettoriale $V$ e li restituisce nello stesso spazio. Uno spazio vettoriale è un insieme di vettori in cui si può sommare e moltiplicare per un numero senza uscire (lezione L05): per esempio il piano. La freccia si legge «da $V$ a $V$». La scrittura $T(v)$ si legge «$T$ di $v$»: è il vettore che esce quando entra $v$.
• $L_A$ è la macchina «moltiplica per la matrice $A$» (lezione L14). Quindi $L_A(v)$ e $Av$ sono la stessa cosa.
• $\mathbb{K}$ è un modo breve per dire «i numeri reali oppure i numeri complessi». In questa lezione i numeri sono quasi sempre reali.

Ecco l'esempio delle dispense. La matrice e i vettori sono quelli della tabella di prima, dove trovi tutti i conti. Nel titolo, $2\times 2$ si legge «due per due»: vuol dire una matrice con 2 righe e 2 colonne.

Le dispense scrivono la definizione così.

Come si legge.

• «Un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ definito su un campo $\mathbb{K}$»: la macchina $T$ lavora dentro un solo spazio, e i numeri che si usano sono reali oppure complessi.
• $v\ne 0$ si legge «$v$ diverso da zero». Qui lo zero è il vettore nullo, quello fatto di soli zeri, come $(0,0)$.
• $T(v)=\lambda v$: dalla macchina esce $v$ moltiplicato per il numero $\lambda$.
• $\lambda \in \mathbb{K}$ si legge «lambda appartiene a $\mathbb{K}$»: vuol dire che $\lambda$ è un numero, reale o complesso. «Per qualche scalare» vuol dire che basta trovarne uno.
• «Relativo a $v$»: ogni autovettore ha il suo autovalore.

Tutta insieme: un autovettore è un vettore non nullo che la macchina manda in un suo multiplo. L'autovalore è il numero per cui viene moltiplicato.

Due zeri da non confondere

Il vettore nullo non è mai un autovettore. Il motivo è questo. Da una macchina lineare, se entra il vettore nullo esce il vettore nullo. E il vettore nullo è multiplo di sé stesso con qualunque numero: 3 volte zero fa zero, 7 volte zero fa zero. Se lo accettassimo come autovettore, ogni numero sarebbe un autovalore, e la parola non vorrebbe più dire niente.

L'autovalore invece può essere zero. Vuol dire che entra un vettore non nullo ed esce il vettore nullo: la macchina lo schiaccia su zero. I vettori che la macchina schiaccia su zero formano il nucleo (lezione L14). Quindi gli autovettori con autovalore 0 sono i vettori non nulli del nucleo.

Un autovettore ha un solo autovalore. Se da un vettore esce il suo triplo, non può uscire anche il suo doppio. Il triplo e il doppio di un vettore non nullo sono due vettori diversi.

Cercare gli autovettori con lo strumento

Nello strumento qui sotto trascina il vettore $x$. In ambra vedi il vettore $Ax$ che esce dalla macchina. Quando $Ax$ cade sulla stessa retta di $x$ hai trovato un autovettore, e lo strumento lo segnala. Le due rette tratteggiate sono le direzioni degli autovettori.

Due cose da provare.

1. Porta $x$ su $(1,0)$ e poi su $(-4,1)$: sono i due autovettori dell'Esempio 17.2.
2. Scegli dai pulsanti la matrice di rotazione di 90°: le rette tratteggiate spariscono. Il perché è nella sezione sulle rotazioni.

Non tutte le macchine lavorano su liste di numeri: alcune lavorano su polinomi, altre su matrici. Questa sezione mostra che non è un problema. Con le coordinate ogni macchina diventa una matrice, e gli autovettori si cercano lì.

Una macchina che lavora sui polinomi

Prendiamo i polinomi di grado al massimo 1. Sono fatti così: un numero, più un numero per $x$. Per esempio $2+5x$. Le dispense chiamano ${\mathbb{R}}_1[x]$ l'insieme di questi polinomi (lezione L05).

La macchina si chiama $T$ e scambia i due numeri del polinomio:

Per esempio da $2+5x$ esce $5+2x$.

Anche qui ha senso cercare gli autovettori: i polinomi da cui esce un loro multiplo.

Guarda l'ultima riga. I due numeri del polinomio sono 1 e $-1$. Scambiati diventano $-1$ e 1. Il polinomio che esce è quello di partenza con tutti i segni cambiati.

Quindi $1+x$ è un autovettore con autovalore 1, e $1-x$ è un autovettore con autovalore $-1$. Qui la parola «vettore» indica un polinomio. L'immagine della freccia sulla mappa non funziona più, ma la regola «esce un multiplo» sì.

Lo stesso conto con le coordinate

Ricorda dalla lezione L15: un polinomio come $a+bx$ si può scrivere come la lista dei suoi due numeri, $(a,b)$. Sono le sue coordinate rispetto alla base fatta dai polinomi $1$ e $x$. Per esempio $2+5x$ diventa $(2,5)$.

Con le coordinate la macchina diventa una matrice. Ricorda come si costruisce: nelle colonne si scrive dove vanno i vettori della base.

1. Il primo vettore della base è il polinomio $1$, cioè $1+0x$. Scambiando i numeri esce $0+1x$. Le sue coordinate sono $(0,1)$: è la prima colonna.
2. Il secondo vettore della base è il polinomio $x$, cioè $0+1x$. Scambiando i numeri esce $1+0x$. Le sue coordinate sono $(1,0)$: è la seconda colonna.

La matrice è

Ora il conto sui polinomi diventa un conto «matrice per vettore».

Come lo scrivono le dispense

Le dispense riassumono tutto in un'osservazione. Per leggerla servono due scritture della lezione L15.

• $[v{]}_{\mathcal{B}}$ si legge «le coordinate di $v$ nella base $\mathcal{B}$». È la lista di numeri che descrive il vettore. La lettera $\mathcal{B}$ è una B scritta in corsivo: è il nome della base.
• $[T{]}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}$ si legge «la matrice di $T$ nella base $\mathcal{B}$». È la tabella che descrive la macchina quando i vettori che entrano e quelli che escono sono scritti con le coordinate di quella base.

Il motivo, in due frasi. Le coordinate di quello che esce si calcolano moltiplicando la matrice per le coordinate di quello che entra: è la Proposizione 15.9 della lezione L15. E due vettori sono uguali esattamente quando hanno le stesse coordinate.

Da qui in poi parleremo di autovalori e autovettori di una matrice. Vuol dire: quelli della macchina «moltiplica per quella matrice».

Esistono macchine che non hanno nessun autovettore. L'esempio più chiaro è una rotazione: la macchina che fa girare tutto il piano intorno all'origine, di un angolo fisso.

Un quarto di giro, con i numeri

Prendiamo la rotazione di un quarto di giro in senso antiorario, cioè nel verso opposto a quello delle lancette dell'orologio. Sulla mappa a quadretti la regola è questa: il vettore $(x,y)$ va in $(-y,x)$.

Nessuno dei tre esce sulla sua retta. E non è un caso.

Perché non può esserci nessun autovettore

I multipli di un vettore stanno tutti sulla sua retta. Un multiplo positivo punta dalla stessa parte del vettore: tra i due c'è un angolo di 0. Un multiplo negativo punta dalla parte opposta: tra i due c'è un angolo di mezzo giro. Non ci sono altri casi.

Una rotazione sposta ogni vettore non nullo dello stesso angolo. Se l'angolo non è 0 e non è mezzo giro, il vettore esce dalla sua retta. Quindi quello che esce non è mai un multiplo di quello che è entrato.

Guarda la figura: il vettore $v$ viene ruotato di 60°. La retta tratteggiata è la retta di $v$, dove stanno tutti i suoi multipli. Il vettore ruotato, in ambra, è fuori da quella retta.

I due angoli speciali

Restano i due casi esclusi.

• Angolo 0. Non si muove niente: ogni vettore esce uguale a com'è entrato. Ogni vettore non nullo è un autovettore con autovalore 1.
• Angolo $\pi$, cioè mezzo giro. Ogni vettore esce ribaltato: diventa il suo opposto. Ogni vettore non nullo è un autovettore con autovalore $-1$.

Tutto questo vale con i numeri reali. Con i numeri complessi le rotazioni hanno autovalori: lo vedi nell'ultima sezione e nell'esercizio 10.

Gli autovettori non arrivano mai da soli: insieme a un autovettore trovi sempre tutta la sua retta. Lo vediamo su una matrice con tre righe e tre colonne.

Un esempio con tre numeri

Un vettore con tre numeri, come $(0,1,1)$, è uno spostamento nello spazio: avanti, di lato, in alto. Il prodotto «matrice per vettore» funziona come prima, una riga alla volta. Solo che ogni riga ha tre numeri.

I tre vettori «un passo lungo un asse» hanno un nome fisso anche qui: $e_1=(1,0,0)$, poi $e_2=(0,1,0)$, poi $e_3=(0,0,1)$.

Perché succede con ogni multiplo

Nell'esempio $w$ è il triplo di $v$, ed è un autovettore con lo stesso autovalore. Non è una coincidenza.

Una macchina lineare rispetta i multipli (lezione L14): se in entrata metti il triplo, in uscita trovi il triplo. Dal vettore $v$ esce il suo doppio. Allora dal triplo di $v$ esce il triplo di quel doppio, cioè 6 volte $v$. E 6 volte $v$ è proprio il doppio del triplo di $v$.

Il ragionamento funziona con qualunque numero al posto di 3, tranne lo zero. Con lo zero otterresti il vettore nullo, che non è un autovettore.

Le dispense lo scrivono con una catena di uguaglianze. Usano due simboli in più.

• $\mu$ è la lettera greca mi. Come $\lambda$, indica un numero. Qui è il numero per cui si moltiplica il vettore: nell'esempio vale 3.
• $\mathrm{Span}(v)$ si legge «span di $v$». È l'insieme di tutti i multipli di $v$, cioè la retta di $v$ (lezione L06).

La catena ha tre passaggi.

1. Il primo uguale usa il fatto che la macchina rispetta i multipli: il numero $\mu$ esce fuori.
2. Il secondo uguale usa che $v$ è un autovettore: al posto di $f(v)$ si scrive $\lambda v$.
3. Il terzo uguale cambia solo l'ordine dei due numeri che si moltiplicano.

All'inizio della catena c'è quello che esce quando entra il multiplo $\mu v$. Alla fine c'è lo stesso multiplo, moltiplicato per $\lambda$. Quindi anche lui è un autovettore con autovalore $\lambda$.

Che cosa cambia negli esercizi

Quando un esercizio chiede «un autovettore», la risposta non è unica: va bene qualunque multiplo non nullo. Conviene scegliere quello con i numeri più comodi. Per esempio al posto di $\left(\frac{1}{2},1\right)$ si prende il suo doppio, $(1,2)$.

Per lo stesso motivo, nel quiz la risposta giusta può essere un multiplo del vettore che hai trovato tu.

Adesso arriva il motivo per cui si cercano gli autovettori: servono a descrivere la macchina con la tabella più corta possibile.

La stessa macchina, vista dagli autovettori

Ricorda due cose delle lezioni precedenti.

• Una base è un gruppo di vettori con cui si costruiscono tutti gli altri, senza doppioni (lezione L07). Nel piano servono due vettori che non stanno sulla stessa retta.
• La matrice di una macchina in una base si costruisce una colonna alla volta (lezione L15). Nella colonna 1 si scrive dove va il primo vettore della base, nella colonna 2 dove va il secondo. Tutto va scritto come ricetta: «tanti del primo vettore, tanti del secondo».

Prendiamo la macchina dell'Esempio 17.2 e i suoi due autovettori. Diamo loro un nome:

Non stanno sulla stessa retta, quindi formano una base del piano. Costruiamo la matrice della macchina in questa base.

1. Colonna 1: dove va $v_1$. Dalla macchina esce 3 volte $v_1$. Come ricetta: 3 del primo vettore, 0 del secondo. La colonna è $(3,0)$.
2. Colonna 2: dove va $v_2$. Dalla macchina esce 2 volte $v_2$. Come ricetta: 0 del primo vettore, 2 del secondo. La colonna è $(0,2)$.

La matrice della macchina nella base degli autovettori è

Confrontala con la matrice $A$ di partenza. È la stessa macchina, ma adesso la tabella si legge a colpo d'occhio. Lungo il primo autovettore la macchina allunga di 3, lungo il secondo allunga di 2, e non fa nient'altro.

Una matrice così si chiama diagonale. Ha numeri solo sulla diagonale principale, quella che va dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra. In tutti gli altri posti c'è 0.

Quando una base di autovettori esiste, la macchina si chiama diagonalizzabile. Le dispense lo scrivono così.

Come si legge.

• $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ è una base, cioè un elenco di vettori. Il primo si chiama $v_1$, l'ultimo $v_n$, e $n$ è quanti sono. I puntini stanno per «e avanti così».
• «Composta da autovettori per $T$» vuol dire che ogni vettore dell'elenco è un autovettore della macchina. Gli autovalori possono cambiare da un vettore all'altro.

Nel piano servono due autovettori che non stanno sulla stessa retta. Nello spazio ne servono tre.

Il nome «diagonalizzabile» viene dal fatto seguente, che le dispense chiamano cruciale.

Come si legge. «Se e solo se» vuol dire che le due cose succedono insieme. Se la base è fatta di autovettori, la matrice in quella base è diagonale: è il conto che abbiamo appena fatto. E al contrario: se la matrice in una base è diagonale, i vettori di quella base sono tutti autovettori.

Il secondo verso si vede leggendo una colonna. Se la colonna 1 è $(3,0)$, la ricetta di quello che esce dal primo vettore è «3 del primo, 0 del secondo». Quindi dal primo vettore esce il suo triplo: è un autovettore.

Le dispense riassumono così. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se esiste una base in cui la sua matrice è diagonale. Succede proprio quando la base è fatta di autovettori. E i numeri sulla diagonale sono i loro autovalori.

La stessa idea per le matrici

Finora abbiamo parlato di macchine. Per le matrici c'è una definizione che dice la stessa cosa con un prodotto. Servono quattro richiami.

Proviamo con la nostra matrice. Mettiamo i due autovettori in colonna in una matrice e chiamiamola $M$:

Poi calcoliamo $M^{-1}AM$ e guardiamo che cosa viene.

Questa matrice diagonale si indica di solito con la lettera $D$. Le dispense danno la definizione per le matrici così.

Come si legge.

• $A\in M(n,\mathbb{K})$ si legge «$A$ appartiene a $M$ di $n$, $\mathbb{K}$». Vuol dire: $A$ è una matrice quadrata con $n$ righe e $n$ colonne, fatta di numeri reali o complessi.
• La freccia doppia $⟺$ si legge «se e solo se».
• La formula al centro dice: c'è un traduttore $M$ per cui il prodotto $M^{-1}AM$ è una matrice diagonale. Quella matrice diagonale si chiama $D$.

A parole: una matrice è diagonalizzabile quando, cambiando base, la si può far diventare diagonale.

Le due definizioni, quella per le macchine e quella per le matrici, dicono la stessa cosa.

Come si legge. Scegli una base qualsiasi e scrivi la matrice della macchina in quella base. La macchina è diagonalizzabile esattamente quando lo è la matrice. Quindi per decidere se una macchina è diagonalizzabile basta lavorare su una sua matrice, in qualunque base.

Il perché, a parole. Passare da una base a un'altra vuol dire passare da una matrice a una matrice simile (lezione L16). Se tra tutte le basi ce n'è una di autovettori, tra tutte le matrici simili ce n'è una diagonale. E vale anche il contrario.

Ecco i due esempi delle dispense.

Costruire le due matrici: il metodo

All'esame ti chiedono spesso di scrivere le due matrici $M$ e $D$. Una volta trovati gli autovettori non c'è nessun conto da fare: bisogna solo metterli al posto giusto.

Perché il controllo funziona. La forma senza inversa si ottiene moltiplicando a sinistra per $M$ i due lati della formula del passo 4. E si capisce guardando le colonne.

• La colonna 1 di $AM$ è la matrice $A$ per il primo autovettore.
• La colonna 1 di $MD$ è il primo autovettore moltiplicato per il suo autovalore.

Le due colonne sono uguali proprio perché il vettore è un autovettore. Lo stesso vale per le altre colonne.

Le dispense si chiedono perché preferiamo le matrici diagonali, e rispondono: perché sono molto più maneggevoli. Ci sono quattro conti che con una matrice qualsiasi sono lunghi. Con una matrice diagonale si fanno un numero alla volta.

In tutta la sezione usiamo la matrice diagonale dell'Esempio 17.9:

Primo conto: matrice per vettore

Ogni numero del vettore viene moltiplicato per il numero della diagonale che sta nello stesso posto.

Gli zeri cancellano tutto il resto. Il primo numero del vettore è diventato 3 volte più grande, il secondo 2 volte.

Secondo conto: il determinante

Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei numeri sulla diagonale. Per la nostra matrice è 3 per 2, cioè 6.

Lo puoi controllare con la regola «diagonale meno l'altra diagonale» della lezione L09:

Terzo conto: il prodotto di due matrici diagonali

Il prodotto di due matrici diagonali è ancora una matrice diagonale. Sulla diagonale ci sono i prodotti dei numeri che stanno nello stesso posto.

Quarto conto: le potenze

Per una matrice diagonale basta usare più volte la regola del terzo conto. Il risultato: per fare una potenza si eleva ogni numero della diagonale.

Anche la potenza numero 100 si scrive subito: sulla diagonale ci sono $3^{100}$ e $2^{100}$.

Le stesse regole con le lettere

Le dispense scrivono i quattro conti per una matrice diagonale con $n$ righe. I numeri sulla diagonale si chiamano ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$. Il numerino in basso dice in quale posto della diagonale sta il numero. I puntini dentro le matrici vogliono dire «e avanti così».

Matrice per vettore:

Determinante (la scrittura $\det A$ si legge «determinante di $A$»):

Prodotto di due matrici diagonali. Gli spazi vuoti sono zeri, e i numeri della seconda matrice si chiamano ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$:

Potenze, con un esponente $k$ qualsiasi:

Le potenze di una matrice diagonalizzabile

E se la matrice non è diagonale, ma è diagonalizzabile? Allora le potenze si calcolano passando per la matrice diagonale $D$. Il trucco sta in due passaggi.

Primo passaggio: scrivere $A$ con $M$ e $D$. Sappiamo che $D=M^{-1}AM$. Moltiplichiamo i due lati a sinistra per $M$ e a destra per $M^{-1}$. Dal lato di $D$ viene $MD{M}^{-1}$. Dall'altro lato compaiono due coppie fatte da $M$ e dalla sua inversa: danno l'identità e spariscono, e resta solo $A$. Quindi

Secondo passaggio: moltiplicare $A$ per sé stessa. Guarda che cosa succede con l'esponente 2:

In mezzo si incontrano $M^{-1}$ e $M$. Il loro prodotto è l'identità, che non cambia niente: la coppia sparisce. Restano due $D$ vicine, cioè $D^2$.

Con l'esponente 3 succede due volte:

Ogni volta che aggiungi un pezzo, in mezzo sparisce una coppia. Quindi per ogni esponente $k$ vale

Un controllo con un esponente piccolo. La stessa formula vale con qualunque esponente al posto di 100. Proviamola con l'esponente 2, dove il conto diretto è corto.

Con la formula, sulla diagonale vengono $3^2=9$ e $2^2=4$. In alto a destra viene 4 per la differenza $9-4$, cioè 20.

Con il prodotto diretto:

I due risultati coincidono.

Finora gli autovettori erano già pronti, e bastava controllarli. Adesso impariamo a trovarli. Il lavoro si fa in due tempi: prima si trovano gli autovalori, poi per ogni autovalore si trovano i suoi autovettori.

L'idea, in tre mosse

Cerchiamo un numero $\lambda$ e un vettore $v$ diverso da zero per cui

Mossa 1: portare tutto a sinistra. Togliamo $\lambda v$ da tutti e due i lati:

Mossa 2: raccogliere il vettore. Vorremmo scrivere «$A$ meno $\lambda$, per $v$». Ma $A$ è una matrice e $\lambda$ è un numero: una matrice meno un numero non ha senso. Il rimedio è la matrice identità $I$, che non cambia i vettori. Al posto di $\lambda v$ scriviamo $\lambda Iv$, che è lo stesso vettore, e raccogliamo:

La matrice $\lambda I$ ha il numero $\lambda$ sulla diagonale e 0 altrove. Quindi $A-\lambda I$ è la matrice $A$ a cui si toglie $\lambda$ solo sulla diagonale. Per la nostra solita matrice:

Mossa 3: usare il determinante. L'ultima equazione dice che la matrice $A-\lambda I$ manda in zero un vettore che non è zero: lo schiaccia. Ricorda dalle lezioni L09 e L10: una matrice quadrata schiaccia su zero qualche vettore non nullo esattamente quando il suo determinante è zero. Se invece il determinante non è zero, la matrice ha l'inversa, e l'unico vettore che manda in zero è il vettore nullo.

Il primo esempio

Serve il determinante di una matrice con 2 righe: è la regola «diagonale meno l'altra diagonale», ricordata nella sezione sulla diagonalizzazione.

Applichiamo le tre mosse alla matrice dell'Esempio 17.2. Dovremmo ritrovare gli autovalori 3 e 2.

Il nome: polinomio caratteristico

Il determinante di $A-\lambda I$ contiene la lettera $\lambda$. Se sviluppi i prodotti ottieni un'espressione con le potenze di $\lambda$. Nell'esempio:

Un'espressione così si chiama polinomio (lezione L04). Questo in particolare si chiama polinomio caratteristico della matrice $A$. Si indica con $p_A(\lambda )$, che si legge «pi con $A$ di lambda».

Le dispense scrivono la definizione così.

Come si legge.

• $A=(a_{ij})$ è un modo breve per dare un nome ai numeri della matrice. Il numero $a_{ij}$ sta nella riga $i$ e nella colonna $j$. Per esempio $a_{12}$ sta nella riga 1 e nella colonna 2.
• $I_n$ è la matrice identità con $n$ righe.
• Nella matrice grande, $\lambda$ è tolto solo ai numeri sulla diagonale: $a_{11}$, poi $a_{22}$, fino ad $a_{nn}$. Tutti gli altri numeri restano come sono.
• In $p_A(\lambda )$ la piccola $A$ in basso ricorda di quale matrice si parla. La lettera $\lambda$ qui è una variabile: un posto vuoto in cui si può mettere un numero. Si usa $\lambda$ e non $x$ perché $x$ indica già i vettori.

A parole: il polinomio caratteristico è il determinante della matrice dopo aver tolto $\lambda$ sulla diagonale.

Matrici simili, stesso polinomio

Ricorda: due matrici simili descrivono la stessa macchina in due basi. Gli autovalori dicono di quanto la macchina allunga certe direzioni: sono una proprietà della macchina, non della base. Quindi ci aspettiamo che due matrici simili abbiano gli stessi autovalori. Vale una cosa ancora più forte: hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Controllo con i numeri. La matrice $A$ dell'Esempio 17.2 e la matrice diagonale $D$ dell'Esempio 17.9 sono simili. Per la prima il polinomio caratteristico è quello dell'Esempio 17.14. Per la seconda il conto è

È lo stesso polinomio.

Il risultato principale

Le tre mosse dell'inizio valgono per ogni macchina, non solo per l'esempio. Le dispense lo scrivono in una riga.

Come si legge. «Precisamente» vuol dire due cose: tutte le radici sono autovalori, e non ci sono altri autovalori. Quindi per trovare gli autovalori si calcola il polinomio caratteristico e si cercano i numeri che lo fanno diventare zero.

La dimostrazione delle dispense ripete le tre mosse in ordine.