Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L18

Autovalori e autovettori II

Quando una matrice è diagonalizzabile? Si contano due cose per ogni autovalore: quante volte è radice del polinomio caratteristico, e quanti autovettori indipendenti ha davvero. Se i due conti tornano per tutti, la matrice è diagonalizzabile. Con questo si risolve il problema aperto più frequente dell'esame: le matrici con un parametro.

Dispense: lezione 18 · pp. 90–95
Libro: Martelli, §5.2
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 7 punti

Autovettori con autovalori diversi sono sempre indipendenti. Quindi, se una matrice $n \times n$ ha $n$ autovalori tutti diversi, è diagonalizzabile. Il contrario non vale: la matrice identità è diagonale e ha un solo autovalore.
Tutti gli autovettori di uno stesso autovalore, con lo zero, formano un sottospazio: l'autospazio. È la zona dello spazio che la macchina allunga tutta dello stesso fattore.
Per ogni autovalore si fanno due conti. La molteplicità algebrica dice quante volte è radice del polinomio caratteristico: sono i posti che prenota sulla diagonale. La molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio: sono i posti che riesce a occupare con autovettori indipendenti.
I posti occupati sono sempre almeno 1 e mai più di quelli prenotati. Un autovalore che prenota un posto solo non dà mai problemi.
Teorema di diagonalizzabilità: una matrice è diagonalizzabile esattamente quando il polinomio caratteristico ha tutte le sue radici nel campo dei numeri usato, e ogni autovalore occupa tutti i posti che prenota.
Il campo conta: la rotazione di un quarto di giro è diagonalizzabile sui complessi ma non sui reali.
Con un parametro: si trovano gli autovalori in funzione del parametro. Dove sono tutti diversi la matrice è diagonalizzabile; nei valori in cui due autovalori coincidono si calcola un rango.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Autovalori diversi, autovettori indipendenti

p. 90

Nella lezione L17 hai visto che una macchina è diagonalizzabile se c'è una base fatta tutta di autovettori: in quella base la macchina allunga ogni vettore della base di un certo fattore, e la matrice è diagonale. Per costruire una base così servono autovettori indipendenti. Quando lo sono?

Come nelle dispense, i vettori di $K^{n}$ sono colonne; nel testo li scriviamo in riga, $(1, 2)$ , per risparmiare spazio.

Un primo esempio, dalla lezione L17. La matrice $A = (3042)$ allunga di 3 il vettore $(1, 0)$ e di 2 il vettore $(- 4, 1)$ . I due vettori non sono uno multiplo dell'altro: sono indipendenti. Non è un caso. Se fossero sulla stessa retta, la macchina dovrebbe allungarli dello stesso fattore. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 18.1

Se $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ sono autovettori per $T$ con autovalori $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ distinti, allora sono linearmente indipendenti.

Come si legge. Prendi autovettori che la macchina allunga di fattori tutti diversi: allora nessuno di loro si ottiene come ricetta degli altri.

Il caso di due autovettori contiene già tutta l'idea. Siano $T (v_{1}) = λ_{1} v_{1}$ e $T (v_{2}) = λ_{2} v_{2}$ , con $λ_{1}$ diverso da $λ_{2}$ . Supponi che una ricetta dia zero:

α_{1} v_{1} + α_{2} v_{2} = 0.

Applico la macchina, che manda lo zero nello zero: $α_{1} λ_{1} v_{1} + α_{2} λ_{2} v_{2} = 0$ .
Invece moltiplico la ricetta di partenza per $λ_{2}$ : $α_{1} λ_{2} v_{1} + α_{2} λ_{2} v_{2} = 0$ .
Tolgo la seconda dalla prima: il pezzo con $v_{2}$ sparisce e resta $α_{1} (λ_{1} - λ_{2}) v_{1} = 0$ .
Il vettore $v_{1}$ non è zero, perché è un autovettore, e $λ_{1} - λ_{2}$ non è zero. Quindi $α_{1} = 0$ . Allora resta $α_{2} v_{2} = 0$ , e siccome $v_{2}$ non è zero anche $α_{2} = 0$ .

L'unica ricetta che dà zero è quella con tutte le dosi zero: i due vettori sono indipendenti. Con più vettori si ripete lo stesso trucco, eliminando un vettore alla volta: è la dimostrazione per induzione delle dispense.

Dimostrazione · della Proposizione 18.1 (dalle dispense)

Procediamo per induzione su $k$ . Se $k = 1$ , il vettore $v_{1}$ è indipendente perché non è nullo (per definizione, un autovettore non è mai nullo).

Diamo per buono il caso $k - 1$ e mostriamo il caso $k$ . Supponiamo di avere una combinazione lineare nulla

α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} = 0.

Dobbiamo dimostrare che $α_{i} = 0$ per ogni $i$ . Applicando $T$ otteniamo

α_{1} T (v_{1}) + \dots + α_{k} T (v_{k}) = α_{1} λ_{1} v_{1} + \dots + α_{k} λ_{k} v_{k} = T (0) = 0.

Moltiplicando la prima equazione per $λ_{k}$ troviamo

α_{1} λ_{k} v_{1} + \dots + α_{k} λ_{k} v_{k} = 0

e prendendo la differenza tra queste due equazioni deduciamo che

α_{1} (λ_{1} - λ_{k}) v_{1} + \dots + α_{k - 1} (λ_{k - 1} - λ_{k}) v_{k - 1} = 0.

Questa è una combinazione lineare nulla di $k - 1$ autovettori con autovalori distinti: per l'ipotesi induttiva tutti i coefficienti $α_{i} (λ_{i} - λ_{k})$ devono essere nulli. Siccome $λ_{i} \neq = λ_{k}$ , ne deduciamo che $α_{i} = 0$ per ogni $i = 1, \dots, k - 1$ . Nella prima equazione resta $α_{k} v_{k} = 0$ con $v_{k} \neq = 0$ , quindi anche $α_{k} = 0$ .

Da qui viene subito un criterio comodo. Le dispense lo scrivono così.

Corollario 18.2

Se il polinomio caratteristico $p_{T} (λ)$ ha $n$ radici distinte in $K$ , l'endomorfismo $T$ è diagonalizzabile.

Come si legge. Se una macchina su uno spazio di dimensione $n$ ha $n$ autovalori tutti diversi, è diagonalizzabile.

Il perché, come nel libro di Martelli (Corollario 5.2.2):

ognuna delle $n$ radici è un autovalore (Proposizione 17.13), quindi ha almeno un autovettore;
gli $n$ autovettori così trovati sono indipendenti, per la Proposizione 18.1;
sono $n$ vettori indipendenti in uno spazio di dimensione $n$ , quindi formano una base (Teorema 7.12). È una base di autovettori.

Esempio · diagonalizzabile senza cercare gli autovettori

$A = 100720 - 1 83$ è triangolare, quindi i suoi autovalori sono i numeri sulla diagonale: $1, 2, 3$ (lezione L17). Sono tre, tutti diversi, per una matrice $3 \times 3$ : per il Corollario 18.2, $A$ è diagonalizzabile. Non serve calcolare gli autovettori per saperlo. Se servono, sono $(1, 0, 0)$ , $(7, 1, 0)$ e $(55, 16, 2)$ .

Trappola · Il Corollario 18.2 va in un verso solo

« $n$ autovalori diversi» basta per essere diagonalizzabile, ma non è obbligatorio. La matrice identità $3 \times 3$ ha un solo autovalore, 1, ed è già diagonale. Quando qualche autovalore si ripete il corollario non dice niente: serve il teorema di diagonalizzabilità, più avanti.

Prova tu

La matrice

100 5 - 2 0 274

è diagonalizzabile?

Sì. È triangolare, con autovalori $1$ , $- 2$ e $4$ sulla diagonale: tre autovalori diversi per una matrice $3 \times 3$ .

Da ricordare

Autovettori con autovalori diversi sono indipendenti.
$n$ autovalori diversi in dimensione $n$ : diagonalizzabile. Se qualcuno si ripete, bisogna fare altri conti.

§2

La zona allungata dello stesso fattore

pp. 90–91

Se la macchina allunga di 3 due vettori, allunga di 3 anche la loro somma e i loro multipli: $T (v + w) = 3 v + 3 w = 3 (v + w)$ . Quindi tutti i vettori allungati di 3, insieme allo zero, formano un sottospazio. Può essere una retta, un piano o di più. Le dispense gli danno un nome.

Definizione 18.3 · Autospazio

Sia $T : V \to V$ un endomorfismo. Per ogni autovalore $λ$ di $T$ definiamo l'autospazio

V_{λ} = {v \in V ∣ T (v) = λ v} = Ker (T - λ id)

come l'insieme di tutti gli autovettori $v$ con autovalore $λ$ , più l'origine $0 \in V$ (ricordiamo che $0 \in V$ non è autovettore per definizione).

Come si legge.

$V_{λ}$ , «vu lambda», raccoglie tutti i vettori che la macchina allunga di $λ$ , più lo zero.
$T - λ id$ è la macchina che prende $v$ e restituisce $T (v) - λ v$ . Il suo nucleo è fatto dei vettori con $T (v) - λ v = 0$ , cioè $T (v) = λ v$ : per questo le due scritture dicono la stessa cosa.
È un sottospazio, perché ogni nucleo lo è (Proposizione 14.10).
Con le matrici: l'autospazio è l'insieme delle soluzioni del sistema $(A - λ I_{n}) x = 0$ . Una sua base si trova con Gauss, come per ogni nucleo.
Non è mai solo lo zero, perché $λ$ è un autovalore: c'è almeno un autovettore.

Esempio · gli autospazi di una matrice $3 \times 3$

Sia $A = 3 - 4 0 0 - 1 0 0 - 8 3$ , la matrice dell'Esempio 18.11 più avanti. I suoi autovalori sono $3$ e $- 1$ .

Per 3: $A - 3 I_{3} = 0 - 4 0 0 - 4 0 0 - 8 0$ . Resta una sola equazione, $- 4 x - 4 y - 8 z = 0$ , cioè $x = - y - 2 z$ . Scegliendo $y = 1, z = 0$ e poi $y = 0, z = 1$ : $V_{3} = Span ((- 1, 1, 0), (- 2, 0, 1))$ , un piano.
Per $- 1$ : $A + I_{3} = 4 - 4 0 000 0 - 8 4$ . Dalla prima riga $x = 0$ , dalla terza $z = 0$ , e $y$ è libera. $V_{- 1} = Span ((0, 1, 0))$ , una retta.

La macchina allunga di 3 tutto un piano e ribalta una retta.

Prova tu

Il vettore

(- 3, 1, 1)

sta nell'autospazio

V_{3}

dell'esempio?

Sì: l'equazione è $x = - y - 2 z$ , e $- 1 - 2 = - 3$ . Controllo: $A (- 3, 1, 1) = (- 9, 3, 3) = 3 \cdot (- 3, 1, 1)$ .

Autospazi che non si sovrappongono

Per il passo successivo serve la somma di sottospazi: $V_{1} + \dots + V_{k}$ è l'insieme di tutti i vettori che si scrivono come $v_{1} + \dots + v_{k}$ , con ogni $v_{i}$ preso nel suo sottospazio. È il più piccolo sottospazio che li contiene tutti.

La somma è «pulita» quando ogni vettore si scrive in un modo solo. Le dispense la chiamano così.

Definizione 18.4 · Somma diretta

Siano $V_{1}, \dots, V_{k}$ sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ . Diciamo che la loro somma è diretta se ogni vettore

v \in V_{1} + \dots + V_{k}

si può scrivere in modo unico nella forma

v = v_{1} + \dots + v_{k}, v_{i} \in V_{i} .

In questo caso scriviamo $V_{1} \oplus \dots \oplus V_{k}$ .

Equivalentemente, l'unica relazione $v_{1} + \dots + v_{k} = 0$ con $v_{i} \in V_{i}$ è quella in cui $v_{1} = \dots = v_{k} = 0$ .

Come si legge. La somma è diretta quando i sottospazi non si «pestano i piedi»: ogni vettore della somma ha una sola scomposizione in pezzi, uno per sottospazio. Il simbolo $\oplus$ si legge «somma diretta». Per controllarlo basta guardare lo zero: l'unico modo di ottenere zero deve essere con tutti i pezzi uguali a zero.

Esempio · rette in somma diretta, e no

Nello spazio le tre rette degli assi, $Span (e_{1})$ , $Span (e_{2})$ e $Span (e_{3})$ , sono in somma diretta: se $a e_{1} + b e_{2} + c e_{3} = 0$ allora $(a, b, c) = 0$ , quindi i tre pezzi sono nulli.

Invece $Span (e_{1})$ , $Span (e_{2})$ e $Span (e_{1} + e_{2})$ non lo sono: $e_{1} + e_{2} + (- (e_{1} + e_{2})) = 0$ con pezzi non nulli. Il vettore $e_{1} + e_{2}$ si scrive in due modi: $e_{1} + e_{2} + 0$ oppure $0 + 0 + (e_{1} + e_{2})$ .

Gli autospazi di una macchina non si pestano mai i piedi. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 18.5

Sia $T : V \to V$ un endomorfismo e siano $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ i suoi autovalori. I corrispettivi autospazi sono sempre in somma diretta:

V_{λ_{1}} \oplus \dots \oplus V_{λ_{k}} .

Come si legge. Prendi un vettore da ogni autospazio: se la loro somma è zero, sono tutti zero.

Il perché. Supponi che $v_{1} + \dots + v_{k} = 0$ , con ogni $v_{i}$ nel suo autospazio, e che qualcuno non sia zero. I pezzi non nulli sono autovettori con autovalori diversi. La relazione dice che la loro somma, con tutte le dosi uguali a 1, fa zero: sarebbero dipendenti. Questo va contro la Proposizione 18.1. Quindi tutti i pezzi sono zero.

Ecco perché gli autospazi sono la chiave della diagonalizzazione. Le dispense lo scrivono così.

Corollario 18.6

L'endomorfismo $T$ è diagonalizzabile se e solo se

V = V_{λ_{1}} \oplus \dots \oplus V_{λ_{k}} .

Come si legge. La macchina è diagonalizzabile esattamente quando gli autospazi, messi insieme, riempiono tutto lo spazio.

La dimostrazione delle dispense, con i passaggi. Sappiamo già che la somma è diretta; resta da capire quando riempie tutto.

Se gli autospazi riempiono lo spazio, prendi una base di ogni autospazio e mettile insieme. Sono tutti autovettori. Generano la somma, cioè tutto lo spazio. E sono indipendenti. Una ricetta che dà zero si spezza in un pezzo per autospazio, e la somma diretta dice che ogni pezzo è zero. Dentro ogni autospazio i vettori scelti sono una base, quindi tutte le dosi sono zero. Quindi c'è una base di autovettori.
Se c'è una base di autovettori, ogni vettore è una ricetta di autovettori. Raggruppando quelli con lo stesso autovalore, lo scrivi come somma di un pezzo per autospazio.

In pratica: la macchina è diagonalizzabile esattamente quando le dimensioni degli autospazi sommano a $n$ . Nell'esempio sopra il piano e la retta danno $2 + 1 = 3$ : quella matrice è diagonalizzabile.

Da ricordare

L'autospazio di $λ$ è il nucleo di $A - λ I_{n}$ : tutti i vettori allungati di $λ$ , più lo zero.
Gli autospazi sono sempre in somma diretta.
Diagonalizzabile esattamente quando le loro dimensioni sommano a $n$ .

§3

Due conti per ogni autovalore

pp. 91–92

Ecco il punto centrale. Se una matrice $3 \times 3$ è diagonalizzabile con autovalori 2, 2 e 5, la matrice diagonale ha 2 in due posti della diagonale e 5 in uno. Per riempire le due colonne del 2 servono due autovettori indipendenti di autovalore 2.

Quindi ogni autovalore prenota dei posti sulla diagonale, tanti quante volte è radice del polinomio caratteristico. Poi deve occupare quei posti con autovettori indipendenti. A volte non ci riesce.

Ricorda dalla lezione L04 (Definizione 4.3) la molteplicità di una radice: quante volte il fattore compare. Per esempio $(x - 1)^{3} (x + 1)$ ha la radice 1 con molteplicità 3 e la radice $- 1$ con molteplicità 1. Le dispense danno un nome ai due conti.

Definizione 18.7 · Molteplicità algebrica e geometrica

Sia $T : V \to V$ un endomorfismo e sia $λ$ un autovalore per $T$ . La molteplicità algebrica $m_{a} (λ)$ è la molteplicità di $λ$ come radice del polinomio caratteristico $p_{T}$ . La molteplicità geometrica $m_{g} (λ)$ è la dimensione dell'autospazio associato a $λ$ , cioè

m_{g} (λ) = dim V_{λ} .

Come si legge.

$m_{a} (λ)$ , «emme a di lambda», sono i posti prenotati: si legge dal polinomio scomposto. In $(3 - λ)^{2} (- 1 - λ)$ l'autovalore 3 ha $m_{a} = 2$ e l'autovalore $- 1$ ha $m_{a} = 1$ .
$m_{g} (λ)$ , «emme g di lambda», sono i posti occupati: quanti autovettori indipendenti ci sono. Si calcola con il rango, per il teorema della dimensione (lezione L14):
$m_{g} (λ) = dim Ker (A - λ I_{n}) = n - rk (A - λ I_{n}) .$
I nomi: «algebrica» perché viene dal polinomio, «geometrica» perché misura lo spazio degli autovettori, una retta, un piano, eccetera.

Ecco un autovalore che non riesce a occupare tutti i suoi posti.

Esempio 18.8 · Le due molteplicità possono essere diverse

Sia $L_{A} : R^{2} \to R^{2}$ l'endomorfismo dato da

A = (1011) .

Il polinomio caratteristico è $p_{A} (λ) = (1 - λ)^{2} = λ^{2} - 2 λ + 1 = (λ - 1)^{2}$ . Troviamo un solo autovalore $λ_{1} = 1$ , con molteplicità algebrica $m_{a} (1) = 2$ . D'altra parte,

m_{g} (1) = dim V_{1} = dim Ker (A - I_{2}) = 2 - rk (A - I_{2}) = 2 - rk (0010) = 2 - 1 = 1.

Abbiamo quindi trovato in questo caso $m_{a} (1) = 2$ e $m_{g} (1) = 1$ .

L'autovalore 1 prenota due posti ma ne occupa uno solo. Gli autovettori sono solo i multipli di $(1, 0)$ : il sistema $(A - I_{2}) x = 0$ dice $y = 0$ . Una sola retta di autovettori nel piano non basta per una base. La macchina è uno scorrimento: sposta ogni punto in orizzontale di quanto è alto, come le carte di un mazzo spinte di lato. Nello strumento qui sotto trascina $x$ : solo sull'asse orizzontale $A x$ resta sulla stessa retta.

I posti occupati non superano mai quelli prenotati

L'esempio mostra che i due conti possono essere diversi. Ma vanno sempre nello stesso verso. Le dispense lo scrivono così.

Teorema 18.9

Sia $T : V \to V$ un endomorfismo. Per ogni autovalore $λ_{0}$ di $T$ valgono le disuguaglianze

1 \leq m_{g} (λ_{0}) \leq m_{a} (λ_{0}) .

Come si legge. Un autovalore occupa sempre almeno un posto, e mai più posti di quelli che ha prenotato.

L'idea, dalle dispense:

Almeno un posto: un autovalore ha almeno un autovettore, quindi l'autospazio ha dimensione almeno 1.
Non più di quelli prenotati: prendi una base dell'autospazio e completala a una base di tutto lo spazio. Nella matrice in questa base compare un blocco diagonale con $λ_{0}$ ripetuto $m_{g} (λ_{0})$ volte. Quindi il polinomio caratteristico contiene il fattore $(λ_{0} - λ)$ almeno $m_{g} (λ_{0})$ volte.

Dimostrazione · del Teorema 18.9, secondo punto, con i dettagli (dal libro di Martelli, Proposizione 5.2.10)

Sia $k = m_{g} (λ_{0})$ e sia ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ una base di $V_{λ_{0}}$ , completata a una base $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ di $V$ . Per $i \leq k$ vale $T (v_{i}) = λ_{0} v_{i}$ , quindi le prime $k$ colonne di $[T]_{B}^{B}$ sono $λ_{0} e_{1}, \dots, λ_{0} e_{k}$ e la matrice ha la forma a blocchi

[T]_{B}^{B} = (λ_{0} I_{k} 0 C D), D \in M (n - k) .

Il determinante di una matrice a blocchi di questo tipo (con il blocco in basso a sinistra nullo) è il prodotto dei determinanti dei blocchi diagonali. Quindi

p_{T} (λ) = det (λ_{0} I_{k} - λ I_{k}) \cdot det (D - λ I_{n - k}) = (λ_{0} - λ)^{k} p_{D} (λ) .

Il fattore $(λ_{0} - λ)^{k}$ divide $p_{T}$ , quindi $λ_{0}$ ha molteplicità almeno $k$ : $m_{a} (λ_{0}) \geq k = m_{g} (λ_{0})$ .

L'idea · Gli autovalori semplici non danno mai problemi

Se un autovalore prenota un posto solo, $m_{a} = 1$ , il Teorema 18.9 dice che ne occupa almeno 1 e al massimo 1: quindi $m_{g} = 1$ , senza fare conti. Negli esercizi il rango di $A - λ I_{n}$ va calcolato solo per gli autovalori che prenotano due o più posti.

Prova tu

Per

A = (2002)

, quanto valgono

m_{a} (2)

m_{g} (2)

Il polinomio è $(2 - λ)^{2}$ , quindi $m_{a} (2) = 2$ . La matrice $A - 2 I_{2}$ è tutta zero, con rango 0, quindi $m_{g} (2) = 2 - 0 = 2$ .

Da ricordare

$m_{a}$ = posti prenotati, dal polinomio scomposto; $m_{g}$ = posti occupati, $n - rk (A - λ I_{n})$ .
Sempre $1 \leq m_{g} \leq m_{a}$ . Se $m_{a} = 1$ , allora $m_{g} = 1$ .

§4

Il teorema di diagonalizzabilità

pp. 92–93

Ora si può dire con precisione quando una matrice è diagonalizzabile: tutti i posti della diagonale devono essere prenotati e poi occupati. Prendiamo uno spazio $V$ di dimensione $n$ sul campo $K$ . Le dispense lo scrivono così.

Teorema 18.10 · Teorema di diagonalizzabilità

Un endomorfismo $T : V \to V$ è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

$p_{T} (λ)$ ha $n$ radici in $K$ , contate con molteplicità.
$m_{a} (λ) = m_{g} (λ)$ per ogni autovalore $λ$ di $T$ .

Come si legge.

Condizione 1: tutti i posti sono prenotati. Il polinomio si scompone tutto in fattori di primo grado, con numeri del campo che stai usando. Sui complessi succede sempre (teorema fondamentale dell'algebra, lezione L04). Sui reali può mancare: un fattore come $λ^{2} + 1$ non ha radici reali, e i suoi due posti restano senza prenotazione.
Condizione 2: ogni autovalore occupa tutti i posti che ha prenotato. Per gli autovalori semplici è automatica.
Insieme, le due condizioni dicono che le dimensioni degli autospazi sommano a $n$ .

La dimostrazione delle dispense, con i passaggi:

Gli autospazi sono in somma diretta (Proposizione 18.5). Chiamo $W$ la loro somma.
La macchina è diagonalizzabile esattamente quando $W$ è tutto lo spazio (Corollario 18.6), cioè quando $W$ ha dimensione $n$ .
In una somma diretta le dimensioni si sommano:
$dim W = m_{g} (λ_{1}) + \dots + m_{g} (λ_{k}) \leq m_{a} (λ_{1}) + \dots + m_{a} (λ_{k}) \leq n .$
La prima disuguaglianza viene dal Teorema 18.9. La seconda viene dal fatto che il polinomio caratteristico ha grado $n$ , quindi ha al massimo $n$ radici contate con molteplicità.
$dim W = n$ esattamente quando tutte e due le disuguaglianze sono uguaglianze. La prima lo è quando ogni autovalore occupa tutti i suoi posti (condizione 2). La seconda quando tutti i posti sono prenotati (condizione 1).

I quattro comportamenti possibili, con matrici $2 \times 2$ (dal riepilogo del libro di Martelli, §5.1.7):

Matrice	Autovalori	Diagonalizzabile sui reali?	Sui complessi?	Perché
$(1001)$	1 ( $m_{a} = m_{g} = 2$ )	sì	sì	è già diagonale
$(- 1 - 4 25)$	1 e 3	sì	sì	due autovalori diversi
$(01 - 1 0)$	$\pm i$	no	sì	sui reali manca la condizione 1
$(1011)$	1 ( $m_{a} = 2$ , $m_{g} = 1$ )	no	no	manca la condizione 2

Metodo · Stabilire se una matrice è diagonalizzabile

Il polinomio caratteristico scomposto: $p_{A} (λ) = det (A - λ I_{n})$ , sviluppato lungo la riga o la colonna con più zeri.
Condizione 1: tutte le radici stanno nel campo? Sui reali, un fattore $λ^{2} + bλ + c$ con $b^{2} - 4 c < 0$ basta per rispondere no.
I posti prenotati dal polinomio scomposto. Se sono tutti 1, cioè gli autovalori sono tutti diversi: sì, per il Corollario 18.2.
Condizione 2, solo per gli autovalori con $m_{a}$ almeno 2: calcola $m_{g} = n - rk (A - λ I_{n})$ . Se per uno di loro $m_{g} < m_{a}$ : no. Altrimenti: sì.
Se serve una base di autovettori: una base di ogni autospazio, con Gauss su $A - λ I_{n}$ , tutte insieme. $M$ ha questi vettori in colonna, $D$ i loro autovalori nello stesso ordine. Controllo: $A M = M D$ .

Ecco l'esempio delle dispense: un autovalore che prenota due posti e li occupa tutti e due.

Esempio 18.11 · Un autovalore doppio che non dà problemi

Studiamo la diagonalizzabilità su $R$ della matrice

A = 3 - 4 0 0 - 1 0 0 - 8 3 .

Il polinomio caratteristico si calcola sviluppando $det (A - λ I_{3})$ lungo la prima riga, che ha un solo elemento non nullo, $3 - λ$ ; resta il minore $(- 1 - λ 0 - 8 3 - λ)$ , triangolare:

p_{A} (λ) = (3 - λ) (- 1 - λ) (3 - λ),

quindi ha radici $λ_{1} = 3$ con $m_{a} (λ_{1}) = 2$ e $λ_{2} = - 1$ con $m_{a} (λ_{2}) = 1$ . Tutte le radici di $p_{A} (λ)$ sono reali, quindi $A$ è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche di ciascun autovalore coincidono. Per il secondo autovalore $λ_{2}$ il Teorema 18.9 implica che $m_{g} (λ_{2}) = m_{a} (λ_{2}) = 1$ , e quindi siamo a posto.

Dobbiamo concentrarci solo sull'autovalore $λ_{1}$ , che ha $m_{a} (λ_{1}) = 2$ . Il Teorema 18.9 ci dice che $m_{g} (λ_{1})$ può essere 1 oppure 2: nel primo caso $A$ non è diagonalizzabile, nel secondo sì. Facciamo i conti:

m_{g} (3) = dim V_{3} = dim Ker (A - 3 I_{3}) = 3 - rk (A - 3 I_{3}),

dove nell'ultima uguaglianza si usa il teorema della dimensione (o Rouché–Capelli). Quindi

m_{g} (3) = 3 - rk 0 - 4 0 0 - 4 0 0 - 8 0 = 3 - 1 = 2.

Abbiamo scoperto che $m_{a} (λ_{1}) = m_{g} (λ_{1}) = 2$ , e quindi $A$ è diagonalizzabile.

Le dispense si fermano qui. Con gli autospazi calcolati prima si completa la diagonalizzazione: il piano dell'autovalore 3 è generato da $(- 1, 1, 0)$ e $(- 2, 0, 1)$ , la retta dell'autovalore $- 1$ da $(0, 1, 0)$ . Quindi

M = - 1 10 - 2 01 010, D = 300030 00 - 1 .

Controllo: il determinante di $M$ è 1, quindi $M$ è invertibile. E $A M = M D$ colonna per colonna: $A (- 1, 1, 0) = (- 3, 3, 0)$ , $A (- 2, 0, 1) = (- 6, 0, 3)$ , $A (0, 1, 0) = (0, - 1, 0)$ .

Prova tu

La matrice

(2032)

è diagonalizzabile?

No. L'autovalore 2 prenota due posti. Ma $A - 2 I_{2} = (0030)$ ha rango 1, quindi $m_{g} (2) = 2 - 1 = 1$ : ne occupa uno solo.

Da ricordare

Diagonalizzabile esattamente quando (1) tutte le radici del polinomio sono nel campo e (2) per ogni autovalore $m_{g} = m_{a}$ .
Il rango si calcola solo per gli autovalori multipli.

§5

Matrici con un parametro

pp. 94–95

Negli esami arriva spesso una matrice con dentro una lettera, e la domanda: per quali valori della lettera è diagonalizzabile? Di solito la lettera si chiama $k$ . Il ragionamento è sempre lo stesso. Per quasi tutti i valori di $k$ gli autovalori sono diversi, e allora va tutto bene. Restano pochi valori speciali, quelli in cui due autovalori coincidono: lì si fa il conto del rango. Ecco l'esempio delle dispense.

Esempio 18.12 · Una matrice con un parametro $k$

Studiamo la diagonalizzabilità su $R$ della matrice

A = 3 - 1 0 k + 4 - 3 0 1 - 1 2

al variare del parametro $k \in R$ .

Il polinomio caratteristico. La terza riga di $A - λ I_{3}$ è $(0, 0, 2 - λ)$ : sviluppando lungo di essa,

p_{A} (λ) = (2 - λ) det (3 - λ - 1 k + 4 - 3 - λ) = (2 - λ) ((3 - λ) (- 3 - λ) + (k + 4)) = (2 - λ) (λ^{2} + k - 5),

perché $(3 - λ) (- 3 - λ) = λ^{2} - 9$ e $- 9 + k + 4 = k - 5$ .

Se $k > 5$ , il fattore $λ^{2} + k - 5$ non ha radici reali ( $λ^{2} = 5 - k < 0$ ): quindi $p_{A} (λ)$ ha una radice sola in $R$ e $A$ non è diagonalizzabile (manca la condizione 1).

Se $k \leq 5$ , il polinomio ha tre radici reali

λ_{1} = 2, λ_{2} = 5 - k, λ_{3} = - 5 - k .

Se le tre radici sono distinte, la matrice $A$ è diagonalizzabile (Corollario 18.2). Restano da considerare i casi in cui le tre radici non sono distinte:

$λ_{2} = λ_{3}$ quando $5 - k = 0$ , cioè $k = 5$ ;
$λ_{2} = λ_{1}$ quando $5 - k = 2$ , cioè $5 - k = 4$ , $k = 1$ (invece $λ_{3} = - 5 - k$ non è mai uguale a 2).

Questi due casi vanno analizzati separatamente con le tecniche dell'esempio precedente.

Se $k = 1$ , gli autovalori sono $λ_{1} = 2$ , $λ_{2} = 2$ e $λ_{3} = - 2$ , e la matrice è

A = 3 - 1 0 5 - 3 0 1 - 1 2 .

Calcoliamo la molteplicità geometrica dell'autovalore 2:

m_{g} (2) = 3 - rk 1 - 1 0 5 - 5 0 1 - 1 0 = 3 - 1 = 2

(la seconda riga è l'opposta della prima). Otteniamo $m_{g} (2) = 2 = m_{a} (2)$ , e quindi $A$ è diagonalizzabile.

Se $k = 5$ , gli autovalori sono $λ_{1} = 2$ , $λ_{2} = 0$ e $λ_{3} = 0$ , e la matrice è

A = 3 - 1 0 9 - 3 0 1 - 1 2 .

La molteplicità geometrica dell'autovalore 0 è $m_{g} (0) = 3 - rk (A) = 3 - 2 = 1 \neq = 2 = m_{a} (0)$ : le prime due colonne sono proporzionali ( $(9, - 3, 0) = 3 \cdot (3, - 1, 0)$ ) ma la terza non è loro combinazione, quindi il rango è 2. Quindi $A$ non è diagonalizzabile.

Riassumendo, la matrice $A$ è diagonalizzabile se e solo se $k < 5$ .

Trappola · Un valore speciale non vuol dire «non diagonalizzabile»

Per $k = 1$ due autovalori coincidono, eppure la matrice è diagonalizzabile; per $k = 5$ no. Nei valori speciali si calcola sempre il rango, non si indovina. E il rango va calcolato dopo aver messo il valore di $k$ nella matrice.

Oltre le dispense · la stessa matrice sui complessi

Se si studia la stessa matrice sui complessi, con $k$ reale, per $k > 5$ le radici $\pm i k - 5$ esistono e sono diverse tra loro e da 2: la matrice è diagonalizzabile. La risposta diventerebbe «diagonalizzabile sui complessi esattamente quando $k$ è diverso da 5». Per questo il testo di un esercizio dice sempre su quale campo lavorare: negli appelli 2023–2026 compaiono sia $k \in R$ sia $k \in C$ .

Lo strumento qui sotto calcola autovalori, molteplicità e autospazi. È impostato sull'Esempio 18.12 con $k = 1$ : guarda $m_{g} (2) = 2$ . Poi scrivi la matrice con $k = 5$ , cioè $391; - 1 - 3 - 1; 002$ , e guarda comparire $m_{g} (0) = 1$ , minore di 2.

Oltre le dispense · dove trovarlo nel libro

Nel libro di Martelli: §5.2.1 «Autovettori con autovalori distinti» (pp. 163–165), §5.2.2 «Autospazio» (pp. 165–166), §5.2.3 «Molteplicità algebrica e geometrica» (pp. 166–167, con la dimostrazione completa del Teorema 18.9), §5.2.4 «Matrici simili» (p. 167: matrici simili hanno anche le stesse molteplicità geometriche), §5.2.5–5.2.6 «Teorema di diagonalizzabilità» ed «Esempi» (pp. 167–169; il parametro lì si chiama $t$ ). Gli esercizi di fine capitolo (p. 170) sono un buon allenamento.

Prova tu

Per quali

k

la matrice

(10 k 2)

è diagonalizzabile?

Per tutti i $k$ : è triangolare, con autovalori 1 e 2, diversi qualunque sia $k$ .

Da ricordare

Con un parametro: autovalori in funzione di $k$ , poi i valori di $k$ in cui due coincidono.
Negli altri valori la matrice è diagonalizzabile; nei valori speciali si mette $k$ nella matrice e si calcola il rango.

§6

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$V_{λ}$	«vu lambda»	l'autospazio: i vettori allungati di $λ$ , più lo zero	$V_{3} = Span ((- 1, 1, 0), (- 2, 0, 1))$
$Ker (A - λ I_{n})$	«nucleo di a meno lambda i»	lo stesso autospazio, scritto come nucleo
$V_{1} + V_{2}$	«vu uno più vu due»	tutte le somme di un vettore del primo e uno del secondo
$V_{1} \oplus V_{2}$	«somma diretta»	una somma in cui ogni vettore si scompone in un modo solo
$m_{a} (λ)$	«molteplicità algebrica»	posti prenotati: quante volte $λ$ è radice	in $(λ - 2)^{2}$ , $m_{a} (2) = 2$
$m_{g} (λ)$	«molteplicità geometrica»	posti occupati: $n - rk (A - λ I_{n})$
$p_{A} (λ)$	«pi di a»	il polinomio caratteristico, $det (A - λ I_{n})$ (lezione L17)
$diag (1, 2, 3)$	«diagonale uno, due, tre»	la matrice diagonale con quei numeri sulla diagonale

§7

Verso l'esame

esame

La prova di Algebra lineare e Geometria ha 10 domande a risposta multipla, con 5 risposte e una sola giusta. Ci sono poi 2 problemi da 11 punti, corretti solo con almeno 6 risposte giuste. Dura 2 ore, senza calcolatrice, e si può portare solo un foglio da 4 facciate scritto a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione serve all'esame. La diagonalizzabilità è il problema aperto più frequente: negli appelli 2023–2026 compare come problema 11 in almeno otto appelli su quindici.

Appello	Che cosa chiede il problema 11
24/01/2024	per $k = 1$ : autovalori con $m_{a}$ e $m_{g}$ , diagonalizzabile?
08/02/2024	$k \in C$ : autovalori al variare di $k$ , per quali $k$ è diagonalizzabile, base di autovettori per $k = i$
10/06/2024	$k = i$ : autovalori con $m_{a}$ , $m_{g}$ ; per quali $k \in C$ è diagonalizzabile
06/09/2024	$k \in R$ : invertibilità, base di $Ker A$ , per quali $k$ è diagonalizzabile
16/01/2025	base di $Ker (A - k I)$ , per quali $k$ è diagonalizzabile, $P$ e $D$ per $k = 0$
03/06/2025	autovalori $1, k, k^{2}$ ; base dell'autospazio di 1; molteplicità; per quali $k$
10/07/2025	matrice triangolare con $k$ : molteplicità, diagonalizzabilità, $P$ e $D$ per $k = 1$
03/06/2026	$k = i$ : autovalori, molteplicità, basi degli autospazi; per quali $k \in C$

Nel quiz compaiono: l'autospazio di un autovalore dato (24/01/2024 d. 9; 10/06/2024 d. 6; 07/02/2025 d. 9; 05/02/2026 d. 9, gli ultimi tre per macchine sui polinomi di grado al massimo 2); che cosa segue dal polinomio caratteristico (10/07/2024 d. 8); per quale $k$ una matrice triangolare è diagonalizzabile (02/09/2025 d. 6). Il foglio 3 del tutorato, esercizi 7–10, è tutto su questo.

Metodo · Il problema con il parametro, passo per passo

Il polinomio caratteristico in funzione di $k$ , scomposto. Sviluppa lungo la riga o la colonna con più zeri: spesso un fattore come $(a - λ)$ si raccoglie subito.
Gli autovalori in funzione di $k$ . Sui reali, se un fattore di secondo grado non ha radici reali per certi $k$ , per quei $k$ la risposta è «non diagonalizzabile».
I valori speciali: per ogni coppia di autovalori, cerca i $k$ in cui sono uguali. Per tutti gli altri $k$ gli autovalori sono diversi e la matrice è diagonalizzabile.
Per ogni valore speciale: metti $k$ nella matrice, trova l'autovalore multiplo e calcola $m_{g} = n - rk (A - λ I_{n})$ .
La conclusione in una frase: « $A$ è diagonalizzabile esattamente quando $k \neq = \dots$ », oppure «quando $k < \dots$ ».
Se chiesto, le basi degli autospazi, $P$ (o $M$ ) e $D$ , con il controllo $A P = P D$ .

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 02/09/2025, domanda 6. Il testo: «Per quale valore di $k$ la matrice $400 k - 1 40 k - 3 12$ è diagonalizzabile?». Le risposte erano $k = 1, 2, 4, 0, 3$ .

In pratica chiede: l'autovalore che si ripete riesce a occupare tutti i suoi posti? E per quale $k$ ?

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: gli autovalori. La matrice è triangolare, quindi gli autovalori sono sulla diagonale: 4, 4 e 2. Il 4 prenota due posti, il 2 uno solo.

Passo 2: chi va controllato. Il 2 è semplice: va sempre bene. Si controlla solo il 4: servono due autovettori indipendenti, cioè $rk (A - 4 I_{3}) = 3 - 2 = 1$ .

Passo 3: la matrice da guardare.

A - 4 I_{3} = 000 k - 1 00 k - 3 1 - 2 .

La terza riga è $- 2$ volte la seconda. Il rango è 1 esattamente quando anche la prima riga è un multiplo di $(0, 0, 1)$ .

Passo 4: il valore di $k$ . Serve che il numero al secondo posto della prima riga sia zero: $k - 1 = 0$ , cioè $k = 1$ . Allora la prima riga è $(0, 0, - 2)$ e il rango è 1. Per ogni altro $k$ la prima riga ha un numero diverso da zero al secondo posto, la seconda riga no: sono indipendenti e il rango è 2.

La risposta è $k = 1$ . La risposta più attraente tra le sbagliate è $k = 3$ : annulla l'ultimo numero della prima riga, ma non quello che conta.

Altre due domande vere

Conta all'esame · Appello del 24/01/2024, domanda 9

La matrice $A = 320 - 4 - 3 0 42 - 1$ ha autovalore $λ = - 1$ . Qual è l'autospazio? Tra le risposte: $Span ((2, 1, - 1), (2, 1, 0))$ , $Span ((2, 1, - 1))$ , $Span ((1, 0, - 1), (1, 1, 0))$ e altre.

Soluzione.

$A + I_{3} = 420 - 4 - 2 0 420$ ha rango 1, quindi l'autospazio ha dimensione $3 - 1 = 2$ .
La risposta è lo Span di due vettori indipendenti che soddisfano l'unica equazione, $x - y + z = 0$ .
$(1, 0, - 1)$ dà $1 - 0 - 1 = 0$ , sì; $(1, 1, 0)$ dà $1 - 1 + 0 = 0$ , sì. Invece $(2, 1, 0)$ dà $2 - 1 = 1$ : no.

La risposta giusta è $Span ((1, 0, - 1), (1, 1, 0))$ .

Conta all'esame · Appello del 10/07/2024, domanda 8

Sia $A$ una matrice quadrata con polinomio caratteristico $t (t - 1)^{2} (t - 2)$ . Quale delle seguenti non è automaticamente verificata? Le risposte: « $A$ non è invertibile»; « $A$ ha autovalori $0, 1, 2$ »; « $A$ ha un autovalore con molteplicità algebrica 2»; « $A$ ammette una base di autovettori»; « $A$ è $4 \times 4$ ».

Soluzione. Dal polinomio si legge molto: ha grado 4, quindi $A$ è $4 \times 4$ ; le radici sono $0, 1, 2$ , con l'1 che prenota due posti; 0 è un autovalore, quindi il determinante è zero e $A$ non è invertibile. Ma l'autovalore 1 potrebbe occupare un posto solo, $m_{g} (1) = 1$ , e allora non c'è una base di autovettori. Quindi « $A$ ammette una base di autovettori» non è automatica.

Errori da evitare.

Concludere «non diagonalizzabile» appena due autovalori coincidono: bisogna calcolare $m_{g}$ .
Calcolare $m_{g}$ per gli autovalori semplici, che è tempo perso perché vale 1, e dimenticarlo per quelli multipli.
Calcolare il rango di $A - λ I$ con $k$ ancora generico invece di mettere il valore speciale.
Dimenticare la condizione 1 sui reali: con un fattore $λ^{2} + 1$ la matrice non è diagonalizzabile sui reali, anche se tutto il resto va bene.
Scrivere un autospazio con il numero sbagliato di generatori: $n - rk (A - λ I)$ dice quanti vettori servono.
Nei problemi sui complessi, sbagliare i conti con $i$ : ricorda $i^{2} = - 1$ e $\frac{1}{i} = - i$ .

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione: «autovalori diversi: autovettori indipendenti; $n$ autovalori diversi: diagonalizzabile»; « $V_{λ} = Ker (A - λ I)$ , $m_{g} = n - rk (A - λ I)$ »; « $1 \leq m_{g} \leq m_{a}$ »; «diagonalizzabile esattamente con (1) tutte le radici nel campo e (2) $m_{a} = m_{g}$ per ogni $λ$ »; la ricetta del problema con parametro in sei righe.

§9

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: autovalori diversi base

Stabilisci se $A = (20 5 - 1)$ è diagonalizzabile e trova un autovettore per ogni autovalore.

Soluzione

È triangolare: gli autovalori sono 2 e $- 1$ , diversi. Quindi è diagonalizzabile (Corollario 18.2).
Per 2: $A - 2 I_{2} = (00 5 - 3)$ dà $y = 0$ . Autovettore $(1, 0)$ .
Per $- 1$ : $A + I_{2} = (3050)$ dà $3 x + 5 y = 0$ . Autovettore $(5, - 3)$ .

Controllo: $A (5, - 3) = (10 - 15, 3) = (- 5, 3) = - 1 \cdot (5, - 3)$ .

2 · Riscaldamento: leggere i posti prenotati base

Una matrice ha polinomio caratteristico $(λ - 2)^{3} (λ + 1) (λ - 4)^{2}$ . Quanto è grande? Quali sono le molteplicità algebriche? Che cosa sai già delle molteplicità geometriche?

Soluzione

Il grado è $3 + 1 + 2 = 6$ : la matrice è $6 \times 6$ .
$m_{a} (2) = 3$ , $m_{a} (- 1) = 1$ , $m_{a} (4) = 2$ .
Per il Teorema 18.9: $m_{g} (- 1) = 1$ sicuramente; $m_{g} (2)$ è 1, 2 o 3; $m_{g} (4)$ è 1 o 2. Per decidere servono i ranghi.

3 · Riscaldamento: posti occupati con il rango base

Per $A = 300130003$ calcola $m_{a} (3)$ e $m_{g} (3)$ . È diagonalizzabile?

Soluzione

È triangolare con 3 tre volte sulla diagonale: $m_{a} (3) = 3$ .
$A - 3 I_{3} = 000100000$ ha rango 1, quindi $m_{g} (3) = 3 - 1 = 2$ .
Il 3 prenota tre posti e ne occupa due: non è diagonalizzabile.

4 · Riscaldamento: è un autovettore? base

Sia $A = (1221)$ . Quali tra $(1, 1)$ , $(1, - 1)$ e $(1, 0)$ sono autovettori, e di quale autovalore?

Soluzione

$A (1, 1) = (3, 3) = 3 \cdot (1, 1)$ : autovettore di autovalore 3.
$A (1, - 1) = (1 - 2, 2 - 1) = (- 1, 1) = - 1 \cdot (1, - 1)$ : autovettore di autovalore $- 1$ .
$A (1, 0) = (1, 2)$ , che non è un multiplo di $(1, 0)$ : non è un autovettore.

I due autovettori hanno autovalori diversi, quindi sono una base: $A$ è diagonalizzabile.

5 · Un autovalore doppio con una sola retta di autovettori base

Stabilisci se $A = (51 - 1 3)$ è diagonalizzabile.

Soluzione

La traccia è 8 e il determinante $15 + 1 = 16$ , quindi $p_{A} (λ) = λ^{2} - 8 λ + 16 = (λ - 4)^{2}$ : un solo autovalore, 4, che prenota due posti.

$A - 4 I_{2} = (11 - 1 - 1)$ ha rango 1, perché le righe sono uguali. Quindi $m_{g} (4) = 2 - 1 = 1$ , meno di 2: non è diagonalizzabile. Gli autovettori sono i multipli non nulli di $(1, 1)$ .

Un'altra via: se fosse diagonalizzabile con l'unico autovalore 4, sarebbe simile a $4 I_{2}$ , e quindi uguale a $4 I_{2}$ (esercizio 14). Ma $A$ non è $4 I_{2}$ .

6 · Esercizio 18.13 delle dispense: autospazi e base di autovettori medio

Consideriamo la matrice $A = 200130103$ . (1) Calcolare il polinomio caratteristico di $A$ e determinare gli autovalori. (2) Trovare gli autospazi corrispondenti. (3) Calcolare la molteplicità algebrica e geometrica di ogni autovalore. (4) Stabilire se $A$ è diagonalizzabile. (5) In caso affermativo, trovare una base di $R^{3}$ formata da autovettori.

Soluzione

(1) $A$ è triangolare, quindi $p_{A} (λ) = (2 - λ) (3 - λ)^{2}$ . Autovalori: 2 e 3.

(2) Per 2: $A - 2 I_{3} = 000110101$ . Dalla terza riga $z = 0$ , dalla seconda $y = 0$ ; $x$ è libera. $V_{2} = Span ((1, 0, 0))$ .

Per 3: $A - 3 I_{3} = - 1 00 100100$ . Una sola equazione, $- x + y + z = 0$ , cioè $x = y + z$ . Con $(y, z) = (1, 0)$ e $(0, 1)$ : $V_{3} = Span ((1, 1, 0), (1, 0, 1))$ .

(3) $m_{a} (2) = 1 = m_{g} (2)$ . $m_{a} (3) = 2$ e $m_{g} (3) = 3 - rk (A - 3 I_{3}) = 3 - 1 = 2$ .

(4) Tutte le radici sono reali e ogni autovalore occupa tutti i suoi posti: per il Teorema 18.10 $A$ è diagonalizzabile.

(5) $B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}$ . Controllo: $A (1, 1, 0) = (3, 3, 0)$ e $A (1, 0, 1) = (3, 0, 3)$ . Con $M$ che ha questi vettori in colonna (determinante 1) e $D = diag (2, 3, 3)$ vale $A M = M D$ .

7 · Esercizio 18.14 delle dispense: stesso polinomio, comportamento diverso medio

Consideriamo le due matrici $A = 100010002$ e $B = 100110002$ . (1) Verificare che $A$ e $B$ hanno lo stesso polinomio caratteristico. (2) Calcolare la molteplicità geometrica dell'autovalore 1 per entrambe le matrici. (3) Stabilire quale delle due matrici è diagonalizzabile.

Soluzione

(1) Tutte e due sono triangolari con diagonale $1, 1, 2$ : il polinomio è $(1 - λ)^{2} (2 - λ)$ per entrambe.

(2) $A - I_{3} = 000000001$ ha rango 1: per $A$ , $m_{g} (1) = 3 - 1 = 2$ . $B - I_{3} = 000100001$ ha rango 2: per $B$ , $m_{g} (1) = 3 - 2 = 1$ .

(3) In tutte e due l'1 prenota due posti. In $A$ li occupa tutti e due ( $A$ è già diagonale). In $B$ ne occupa uno solo, quindi $B$ non è diagonalizzabile.

Conseguenza: $A$ e $B$ non sono simili, anche se hanno lo stesso polinomio caratteristico, quindi stessi autovalori, traccia e determinante. Se lo fossero, $B$ sarebbe simile a una matrice diagonale, cioè diagonalizzabile. Il polinomio caratteristico non basta a riconoscere le matrici simili.

8 · Un autovalore doppio che va bene: trova $M$ e $D$ medio

Sia $A = 12 - 2 030003$ . Mostra che è diagonalizzabile e trova $M$ e $D$ con $D = M^{- 1} A M$ .

Soluzione

$A$ è triangolare: $p_{A} (λ) = (1 - λ) (3 - λ)^{2}$ . Autovalori 1 (un posto) e 3 (due posti).

$A - 3 I_{3} = - 2 2 - 2 000000$ : tutte le righe sono multiple di $(1, 0, 0)$ , rango 1, quindi $m_{g} (3) = 2 = m_{a} (3)$ . $A$ è diagonalizzabile. L'unica equazione è $x = 0$ : $V_{3} = Span (e_{2}, e_{3})$ .

$A - I_{3} = 02 - 2 020002$ : $x + y = 0$ e $- x + z = 0$ , cioè $y = - x$ e $z = x$ . $V_{1} = Span ((1, - 1, 1))$ .

M = 1 - 1 1 010001, D = 100030003 .

Il determinante di $M$ è 1. Controllo $A M = M D$ : $A (1, - 1, 1) = (1, 2 - 3, - 2 + 3) = (1, - 1, 1)$ , $A e_{2} = (0, 3, 0)$ , $A e_{3} = (0, 0, 3)$ .

9 · Un parametro fuori dalla diagonale (foglio 3 del tutorato, esercizio 7) medio

Determina per quali $k \in R$ la matrice $A = 100111 k 02$ è diagonalizzabile.

Soluzione

Sviluppo $det (A - λ I_{3})$ lungo la prima colonna, $(1 - λ, 0, 0)$ :

p_{A} (λ) = (1 - λ) det (1 - λ 1 0 2 - λ) = (1 - λ)^{2} (2 - λ) .

Gli autovalori non dipendono da $k$ : 1 prenota due posti, 2 uno. Tutto si decide su $m_{g} (1)$ :

A - I_{3} = 000101 k 01 .

Le righe non nulle sono $(0, 1, k)$ e $(0, 1, 1)$ : sono proporzionali, anzi uguali, solo se $k = 1$ . Quindi il rango è 1 se $k = 1$ , e 2 altrimenti.

$k = 1$ : $m_{g} (1) = 2 = m_{a} (1)$ , diagonalizzabile. Gli autospazi sono $V_{1} = Span ((1, 0, 0), (0, - 1, 1))$ e $V_{2} = Span ((1, 0, 1))$ .
$k \neq = 1$ : $m_{g} (1) = 1$ , meno di 2, non diagonalizzabile.

$A$ è diagonalizzabile esattamente quando $k = 1$ .

10 · La trasposizione come endomorfismo (foglio 3 del tutorato, esercizio 8.1) medio

Sia $T : M (2, R) \to M (2, R)$ , $T (A) =^{t} A$ . Trova autovalori e autospazi e stabilisci se $T$ è diagonalizzabile.

Soluzione

Uso la base $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ , dove $E_{ij}$ ha un 1 al posto $(i, j)$ e zeri altrove. La trasposta scambia solo $E_{12}$ ed $E_{21}$ , quindi

[T] = 1000001001000001, p_{T} (λ) = (1 - λ)^{2} (λ^{2} - 1) = (λ - 1)^{3} (λ + 1) .

Il blocco centrale $(- λ 1 1 - λ)$ ha determinante $λ^{2} - 1$ .

Senza conti, dall'equazione $^{t} A = λ A$ :

$λ = 1$ : $^{t} A = A$ , le matrici simmetriche. $V_{1} = Span ((1000), (0001), (0110))$ , dimensione 3.
$λ = - 1$ : $^{t} A = - A$ , le matrici antisimmetriche. $V_{- 1} = Span ((0 - 1 10))$ , dimensione 1.

Ogni autovalore occupa tutti i posti che prenota: $T$ è diagonalizzabile, e nella base formata da queste quattro matrici $[T] = diag (1, 1, 1, - 1)$ (è l'Esempio 5.1.14 del libro di Martelli). In particolare ogni matrice $2 \times 2$ è in un solo modo somma di una simmetrica e di una antisimmetrica: $M (2, R) = V_{1} \oplus V_{- 1}$ .

11 · Un endomorfismo di $R_{2} [x]$ con autovalori complessi (foglio 3 del tutorato, esercizio 8.2) medio

Sia $T : R_{2} [x] \to R_{2} [x]$ , $T (p) = p (0) + p (1) x + p (- 1) x^{2}$ . Trova gli autovalori reali e i relativi autovettori. $T$ è diagonalizzabile?

Soluzione

Nella base ${1, x, x^{2}}$ : $T (1) = 1 + x + x^{2}$ , $T (x) = 0 + x - x^{2}$ , $T (x^{2}) = 0 + x + x^{2}$ , quindi

[T] = 111 01 - 1 011 .

Sviluppo lungo la prima riga, $(1 - λ, 0, 0)$ :

p_{T} (λ) = (1 - λ) det (1 - λ - 1 1 1 - λ) = (1 - λ) ((1 - λ)^{2} + 1) .

Il secondo fattore non è mai zero sui reali, perché è almeno 1: le sue radici sono $1 \pm i$ . L'unico autovalore reale è 1.

$[T] - I_{3} = 011 00 - 1 010$ dà, con le coordinate $x, y, z$ , le equazioni $x + z = 0$ e $x - y = 0$ . Soluzione $(1, 1, - 1)$ : il polinomio $1 + x - x^{2}$ . Controllo: con $p = 1 + x - x^{2}$ viene $p (0) = 1$ , $p (1) = 1$ , $p (- 1) = 1 - 1 - 1 = - 1$ , e $T (p) = 1 + x - x^{2} = p$ .

$T$ non è diagonalizzabile sui reali: manca la condizione 1 del Teorema 18.10.

12 · Come all'esame: un parametro reale tipo esame

Si consideri la matrice $A = k 00 111002$ con $k \in R$ . (1) Calcolare gli autovalori di $A$ al variare di $k$ . (2) Determinare per quali valori di $k$ la matrice è diagonalizzabile. (3) Per $k = 0$ , trovare $M$ invertibile e $D$ diagonale con $D = M^{- 1} A M$ .

Soluzione

(1) Sviluppo $det (A - λ I_{3})$ lungo la prima colonna, $(k - λ, 0, 0)$ :

p_{A} (λ) = (k - λ) det (1 - λ 1 0 2 - λ) = (k - λ) (1 - λ) (2 - λ) .

Autovalori: $k$ , 1 e 2.

(2) Sono tutti reali. Se $k$ è diverso da 1 e da 2 sono diversi: diagonalizzabile. I valori speciali:

$k = 1$ : l'1 prenota due posti. $A - I_{3} = 000101001$ ha le righe non nulle $(0, 1, 0)$ e $(0, 1, 1)$ , indipendenti: rango 2, $m_{g} (1) = 1$ . Non diagonalizzabile.
$k = 2$ : il 2 prenota due posti. $A - 2 I_{3} = 000 1 - 1 1 000$ ha tutte le righe multiple di $(0, 1, 0)$ : rango 1, $m_{g} (2) = 2$ . Diagonalizzabile.

Conclusione: $A$ è diagonalizzabile esattamente quando $k$ è diverso da 1.

(3) Con $k = 0$ gli autovalori sono 0, 1 e 2.

Per 0: $A = 000111002$ dà $y = 0$ , poi $2 z = 0$ ; $x$ è libera. Autovettore $(1, 0, 0)$ .
Per 1: $A - I_{3} = - 1 00 101001$ dà $y = x$ e $z = - y$ . Autovettore $(1, 1, - 1)$ .
Per 2: $A - 2 I_{3} = - 2 00 1 - 1 1 000$ dà $y = 0$ , poi $x = 0$ ; $z$ è libera. Autovettore $(0, 0, 1)$ .

M = 100 11 - 1 001, D = 000010002 .

Il determinante di $M$ è 1. Controllo $A M = M D$ : $A (1, 0, 0) = (0, 0, 0)$ , $A (1, 1, - 1) = (1, 1, - 1)$ , $A (0, 0, 1) = (0, 0, 2)$ .

13 · Come all'esame: un parametro complesso tipo esame

Si consideri $A = k 10 001 0 - 4 0 \in M (3, C)$ con $k \in C$ . (1) Posto $k = 2 i$ , calcolare gli autovalori con molteplicità algebrica e geometrica e una base di ogni autospazio. $A$ è diagonalizzabile? (2) Determinare per quali $k \in C$ la matrice è diagonalizzabile su $C$ . E su $R$ , per $k$ reale?

Soluzione

Il polinomio caratteristico, sviluppando lungo la prima riga $(k - λ, 0, 0)$ :

p_{A} (λ) = (k - λ) det (- λ 1 - 4 - λ) = (k - λ) (λ^{2} + 4) .

Da $λ^{2} = - 4$ vengono $λ = \pm 2 i$ . Autovalori: $k$ , $2 i$ e $- 2 i$ .

(1) Con $k = 2 i$ : l'autovalore $2 i$ prenota due posti e $- 2 i$ uno solo, quindi $m_{g} (- 2 i) = 1$ .

A - 2 i I_{3} = 010 0 - 2 i 1 0 - 4 - 2 i .

Le righe $(1, - 2 i, - 4)$ e $(0, 1, - 2 i)$ sono indipendenti: la seconda ha 0 al primo posto, la prima no. Rango 2, quindi $m_{g} (2 i) = 3 - 2 = 1$ , meno di 2. Non diagonalizzabile.

Le basi. Dalla terza riga $y = 2 i z$ ; dalla seconda $x = 2 i y + 4 z = 2 i \cdot 2 i z + 4 z = - 4 z + 4 z = 0$ . Con $z = 1$ : $V_{2 i} = Span ((0, 2 i, 1))$ . Per $- 2 i$ : $A + 2 i I_{3} = 4 i 10 0 2 i 1 0 - 4 2 i$ dà $x = 0$ e $y = - 2 i z$ ; la seconda riga torna, perché $2 i \cdot (- 2 i) - 4 = 4 - 4 = 0$ . $V_{- 2 i} = Span ((0, - 2 i, 1))$ . Controllo: $A (0, 2 i, 1) = (0, - 4, 2 i) = 2 i (0, 2 i, 1)$ .

(2) Sui complessi la condizione 1 vale sempre. Se $k$ è diverso da $\pm 2 i$ , gli autovalori sono diversi: diagonalizzabile. Per $k = 2 i$ no, per il punto (1). Per $k = - 2 i$ , con lo stesso conto, $A + 2 i I_{3} = 010 0 2 i 1 0 - 4 2 i$ ha rango 2 e $m_{g} (- 2 i) = 1$ : no. Quindi è diagonalizzabile sui complessi esattamente quando $k$ è diverso da $\pm 2 i$ .

Sui reali, con $k$ reale, mai: il fattore $λ^{2} + 4$ non ha radici reali. Confronta con la domanda 9 del quiz: lì, nel valore speciale, la matrice era diagonalizzabile. La differenza è l'1 al posto $(2, 1)$ , che qui c'è e nel quiz no. Senza di lui la seconda riga di $A - 2 i I_{3}$ sarebbe $(0, - 2 i, - 4) = - 2 i \cdot (0, 1, - 2 i)$ : il rango scenderebbe a 1 e $m_{g} (2 i)$ salirebbe a 2.

14 · Un solo autovalore e diagonalizzabile: allora è $λ I$ difficile

(a) Dimostra che se $A \in M (n, K)$ ha un solo autovalore $λ$ ed è diagonalizzabile, allora $A = λ I_{n}$ . (b) Deduci in una riga che $(1011)$ non è diagonalizzabile.

Soluzione

(a) Se $A$ è diagonalizzabile, $M^{- 1} A M = D$ con $D$ diagonale. Sulla diagonale di $D$ ci sono gli autovalori, quindi solo $λ$ : $D = λ I_{n}$ . Allora

A = M D M^{- 1} = M (λ I_{n}) M^{- 1} = λ M M^{- 1} = λ I_{n} .

Un altro modo: $m_{g} (λ) = m_{a} (λ) = n$ , quindi l'autospazio è tutto lo spazio e $A v = λ v$ per ogni $v$ .

(b) Ha il solo autovalore 1 e non è $I_{2}$ : se fosse diagonalizzabile sarebbe $I_{2}$ .

15 · Due autospazi hanno intersezione nulla difficile

Siano $λ \neq = μ$ due autovalori di $T$ . (a) Dimostra direttamente che $V_{λ} \cap V_{μ} = {0}$ . (b) Deduci che $V_{λ}$ e $V_{μ}$ sono in somma diretta. (c) Perché con tre autospazi non basta controllare le intersezioni a due a due?

Soluzione

(a) Se $v$ sta in tutti e due gli autospazi, allora $T (v) = λ v$ e $T (v) = μv$ . Togliendo, $(λ - μ) v = 0$ . Siccome $λ - μ$ non è zero, $v = 0$ .

(b) Se $v_{1} + v_{2} = 0$ con $v_{1}$ nel primo autospazio e $v_{2}$ nel secondo, allora $v_{1} = - v_{2}$ sta in tutti e due, perché un autospazio contiene gli opposti dei suoi vettori. Per il punto (a) $v_{1} = 0$ , e poi $v_{2} = 0$ . È la forma equivalente della Definizione 18.4.

(c) Per tre sottospazi le intersezioni a due a due possono essere nulle senza che la somma sia diretta. Le rette $Span (e_{1})$ , $Span (e_{2})$ e $Span (e_{1} + e_{2})$ dello spazio si incontrano a due a due solo nello zero, ma $e_{1} + e_{2} - (e_{1} + e_{2}) = 0$ . Per gli autospazi la somma è comunque diretta, ma serve la Proposizione 18.1, con la sua induzione, non solo il punto (a).

§10

Domande di ripasso

autoverifica

Perché autovettori con autovalori diversi sono indipendenti?

Da una ricetta che dà zero si applica la macchina e si toglie $λ_{k}$ volte la ricetta: sparisce $v_{k}$ e restano dosi $α_{i} (λ_{i} - λ_{k})$ su $k - 1$ autovettori. Per induzione sono zero, e siccome $λ_{i}$ è diverso da $λ_{k}$ tutti gli $α_{i}$ sono zero (Proposizione 18.1).

Che cosa dice il Corollario 18.2, e vale il contrario?

Se il polinomio caratteristico ha $n$ radici diverse nel campo, la macchina è diagonalizzabile. Il contrario è falso: la matrice identità è diagonale e ha un solo autovalore.

Che cos'è l'autospazio

V_{λ}

? Perché è un sottospazio?

È l'insieme dei vettori che la macchina allunga di $λ$ , più lo zero: il nucleo di $T - λ id$ . È un nucleo, quindi un sottospazio.

Quando una somma di sottospazi è diretta?

Quando ogni vettore della somma si scrive in un solo modo come somma di un pezzo per sottospazio. Basta controllarlo sullo zero: l'unico modo di ottenere zero è con tutti i pezzi uguali a zero.

Che legame c'è tra autospazi e diagonalizzabilità?

Gli autospazi sono sempre in somma diretta (Proposizione 18.5). La macchina è diagonalizzabile esattamente quando la loro somma è tutto lo spazio, cioè quando le loro dimensioni sommano a $n$ (Corollario 18.6).

Che differenza c'è tra molteplicità algebrica e geometrica? Come si calcolano?

La algebrica conta quante volte l'autovalore è radice del polinomio caratteristico: i posti prenotati sulla diagonale. Si legge dal polinomio scomposto. La geometrica è la dimensione dell'autospazio: i posti occupati. Si calcola come $n - rk (A - λ I_{n})$ .

Che cosa dice il Teorema 18.9? Che conseguenza pratica ha?

$1 \leq m_{g} \leq m_{a}$ : un autovalore occupa almeno un posto e mai più di quelli prenotati. Quindi per un autovalore semplice $m_{g} = 1$ subito, e il rango va calcolato solo per gli autovalori multipli.

Enuncia il teorema di diagonalizzabilità.

Una macchina su uno spazio di dimensione $n$ è diagonalizzabile esattamente quando valgono due cose. (1) Il polinomio caratteristico ha $n$ radici nel campo, contate con molteplicità. (2) Per ogni autovalore la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica.

Perché la stessa matrice può essere diagonalizzabile sui complessi e non sui reali?

Perché la condizione 1 dipende dal campo: $(01 - 1 0)$ ha polinomio $λ^{2} + 1$ , senza radici reali ma con due radici complesse diverse, $\pm i$ .

Come si affronta una matrice con un parametro

k

Si scrive il polinomio caratteristico scomposto in funzione di $k$ e si trovano gli autovalori. Si cercano i $k$ in cui due autovalori coincidono e, sui reali, quelli in cui mancano radici reali. Per gli altri $k$ la matrice è diagonalizzabile; nei valori speciali si mette $k$ nella matrice e si calcola $m_{g} = n - rk (A - λ I_{n})$ .

Nell'Esempio 18.12, perché per

k = 1

la matrice è diagonalizzabile e per

k = 5

no?

Per $k = 1$ l'autovalore 2 prenota due posti e $A - 2 I_{3}$ ha rango 1, quindi li occupa tutti e due. Per $k = 5$ l'autovalore 0 prenota due posti ma $A$ ha rango 2, quindi ne occupa uno solo.

Due matrici con lo stesso polinomio caratteristico sono simili?

Non sempre: $diag (1, 1, 2)$ e $100110002$ hanno lo stesso polinomio, ma la prima è diagonalizzabile e la seconda no (Esercizio 18.14).

§11

Glossario

termini

Autovettori indipendenti: Autovettori con autovalori diversi sono sempre indipendenti (Proposizione 18.1).
Criterio degli autovalori distinti: $n$ radici diverse del polinomio caratteristico nel campo: diagonalizzabile (Corollario 18.2). Il contrario non vale.
Autospazio $V_{λ}$: I vettori allungati di $λ$ , più lo zero: il nucleo di $T - λ id$ (Definizione 18.3).
Somma di sottospazi: $V_{1} + \dots + V_{k}$ : tutte le somme di un vettore per ogni sottospazio.
Somma diretta $\oplus$: Una somma in cui ogni vettore si scompone in un modo solo; basta che lo zero si ottenga solo con tutti i pezzi nulli (Definizione 18.4).
Molteplicità di una radice: Quante volte il fattore $(x - a)$ compare nel polinomio (Definizione 4.3).
Molteplicità algebrica $m_{a} (λ)$: Quante volte $λ$ è radice del polinomio caratteristico: i posti prenotati sulla diagonale.
Molteplicità geometrica $m_{g} (λ)$: La dimensione dell'autospazio, $n - rk (A - λ I_{n})$ : i posti occupati.
Autovalore semplice: Un autovalore con $m_{a} = 1$ ; allora anche $m_{g} = 1$ .
Disuguaglianze delle molteplicità: $1 \leq m_{g} (λ) \leq m_{a} (λ)$ (Teorema 18.9).
Teorema di diagonalizzabilità: Diagonalizzabile esattamente quando tutte le radici sono nel campo e ogni autovalore ha $m_{a} = m_{g}$ (Teorema 18.10).
Taglio (shear): $(1011)$ : un autovalore doppio con una sola retta di autovettori; non diagonalizzabile.
Valore speciale del parametro: Un valore di $k$ in cui due autovalori coincidono: lì si decide calcolando un rango.
Campo degli scalari: Reali o complessi: la diagonalizzabilità dipende dal campo, perché sui reali possono mancare radici.
Base di autovettori: Le basi degli autospazi messe insieme; esiste esattamente quando la macchina è diagonalizzabile.

Autovalori e autovettori II

La lezione in 7 punti

Autovalori diversi, autovettori indipendenti

La zona allungata dello stesso fattore

Autospazi che non si sovrappongono

Due conti per ogni autovalore

I posti occupati non superano mai quelli prenotati

Il teorema di diagonalizzabilità

Matrici con un parametro

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: autovalori diversi base

2 · Riscaldamento: leggere i posti prenotati base

3 · Riscaldamento: posti occupati con il rango base

4 · Riscaldamento: è un autovettore? base

5 · Un autovalore doppio con una sola retta di autovettori base

6 · Esercizio 18.13 delle dispense: autospazi e base di autovettori medio

7 · Esercizio 18.14 delle dispense: stesso polinomio, comportamento diverso medio

8 · Un autovalore doppio che va bene: trova $M$ e $D$ medio

9 · Un parametro fuori dalla diagonale (foglio 3 del tutorato, esercizio 7) medio

10 · La trasposizione come endomorfismo (foglio 3 del tutorato, esercizio 8.1) medio

11 · Un endomorfismo di $R_{2} [x]$ con autovalori complessi (foglio 3 del tutorato, esercizio 8.2) medio

12 · Come all'esame: un parametro reale tipo esame

13 · Come all'esame: un parametro complesso tipo esame

14 · Un solo autovalore e diagonalizzabile: allora è $λ I$ difficile

15 · Due autospazi hanno intersezione nulla difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

La lezione in 7 punti

Autovalori diversi, autovettori indipendenti

La zona allungata dello stesso fattore

Autospazi che non si sovrappongono

Due conti per ogni autovalore

I posti occupati non superano mai quelli prenotati

Il teorema di diagonalizzabilità

Matrici con un parametro

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: autovalori diversi base

2 · Riscaldamento: leggere i posti prenotati base

3 · Riscaldamento: posti occupati con il rango base

4 · Riscaldamento: è un autovettore? base

5 · Un autovalore doppio con una sola retta di autovettori base

6 · Esercizio 18.13 delle dispense: autospazi e base di autovettori medio

7 · Esercizio 18.14 delle dispense: stesso polinomio, comportamento diverso medio

8 · Un autovalore doppio che va bene: trova M e D medio

9 · Un parametro fuori dalla diagonale (foglio 3 del tutorato, esercizio 7) medio

10 · La trasposizione come endomorfismo (foglio 3 del tutorato, esercizio 8.1) medio

11 · Un endomorfismo di R2​[x] con autovalori complessi (foglio 3 del tutorato, esercizio 8.2) medio

12 · Come all'esame: un parametro reale tipo esame

13 · Come all'esame: un parametro complesso tipo esame

14 · Un solo autovalore e diagonalizzabile: allora è λI difficile

15 · Due autospazi hanno intersezione nulla difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

8 · Un autovalore doppio che va bene: trova $M$ e $D$ medio

11 · Un endomorfismo di $R_{2} [x]$ con autovalori complessi (foglio 3 del tutorato, esercizio 8.2) medio

14 · Un solo autovalore e diagonalizzabile: allora è $λ I$ difficile