Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L20

Prodotti scalari II

Il prodotto scalare della lezione L19 diventa un righello e un goniometro. Prima come cambia la sua matrice cambiando base e che cosa sono le forme quadratiche. Poi la lunghezza di un vettore, che è il teorema di Pitagora, la distanza tra due punti e l'angolo tra due vettori, anche con prodotti scalari diversi.

Dispense: lezione 20 · pp. 100–104
Libro: Martelli, §7.1.5, §7.2.2 e §8.1
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 8 punti

Lo stesso prodotto scalare ha matrici diverse in basi diverse. Per passare da una all'altra si moltiplica a destra per la matrice di cambiamento di base. A sinistra si moltiplica per la sua trasposta, non per l'inversa come per le macchine lineari.
Una forma quadratica è un polinomio in cui ogni pezzo ha grado 2, come $x_{1}^{2} - 6 x_{1} x_{2}$ . Ognuna viene da una sola matrice simmetrica: sulla diagonale i numeri davanti ai quadrati, fuori dalla diagonale metà dei numeri davanti ai prodotti misti.
Da qui in avanti il prodotto scalare è sempre definito positivo: un vettore non nullo per sé stesso dà sempre un numero positivo.
La norma di un vettore è la sua lunghezza: la radice del prodotto scalare del vettore con sé stesso. Con il prodotto di tutti i giorni è il teorema di Pitagora: $(3, 4)$ è lungo 5.
Due disuguaglianze fondamentali. Cauchy–Schwarz: il prodotto scalare non supera mai il prodotto delle lunghezze. Triangolare: un lato di un triangolo non supera la somma degli altri due.
La distanza tra due punti è la lunghezza del vettore che va dall'uno all'altro.
L'angolo tra due vettori si ricava dal coseno: prodotto scalare diviso per il prodotto delle lunghezze. Il segno del prodotto scalare dice subito se l'angolo è acuto, retto o ottuso.
All'esame: norme e angoli con un prodotto scalare dato, la matrice di una forma quadratica, il cambiamento di base. Tutto senza calcolatrice: servono i coseni degli angoli notevoli.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

La stessa misura in un'altra base

p. 100

Nella lezione L19 hai visto due matrici per lo stesso prodotto scalare, quello di tutti i giorni nel piano. Nella base canonica è la matrice identità; nella base $B = {(1, 0), (1, 1)}$ è $(1112)$ (Esempio 19.14). Che legame c'è tra le due? Serve una formula, come quella della lezione L16 per le macchine lineari.

Il ricordo della lezione L16. Prendi due basi dello stesso spazio, una vecchia e una nuova. Il traduttore dalla base nuova alla base vecchia è la matrice di cambiamento di base

M = [id]_{B}^{B^{'}} .

Ogni sua colonna contiene le coordinate di un vettore nuovo, scritte nella base vecchia. Le dispense chiamano $M^{i}$ la colonna numero $i$ .

Il conto. Chiama $S$ la matrice del prodotto scalare nella base vecchia e $S^{'}$ quella nella base nuova. Ogni casella di $S^{'}$ è il prodotto scalare tra due vettori nuovi. Per calcolarlo si usano le loro coordinate nella base vecchia (Corollario 19.16):

S_{ij}^{'} = g (v_{i}^{'}, v_{j}^{'}) =^{t} (M^{i}) S M^{j} .

A destra c'è una riga della trasposta di $M$ , per $S$ , per una colonna di $M$ . È proprio come si calcola una casella del prodotto $^{t} M S M$ . Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 20.1

Vale

S^{'} =^{t} M S M .

Come si legge. La matrice nella base nuova si ottiene mettendo la matrice vecchia in mezzo, $M$ a destra e la sua trasposta a sinistra.

Esempio 20.2 · Il prodotto euclideo nella base ${(1, 0), (1, 1)}$

Per il prodotto scalare euclideo di $R^{2}$ , rispetto alla base $B = {(1, 0), (1, 1)}$ abbiamo già trovato $(1112)$ . Qui la base «vecchia» è quella canonica $C$ , dove la matrice è $I_{2}$ . La matrice di cambiamento di base è

M = [id]_{C}^{B} = (1011)

(colonne: i vettori di $B$ scritti nella base canonica), e infatti

^{t} M I_{2} M = (1101) (1011) = (1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = (1112) .

Nelle dispense, in questo esempio, la matrice nella nuova base si chiama $S$ e quella vecchia è $I_{2}$ : i nomi cambiano, la regola no. Vecchia matrice in mezzo, $M$ a destra, la trasposta a sinistra.

Esempio · Una base in cui $g_{S}$ diventa l'identità

Prendi $S = (2111)$ (Esempio 19.11) e la nuova base $B^{'} = {(1, - 1), (0, 1)}$ . La base vecchia è quella canonica, quindi $M = (1 - 1 01)$ . Un prodotto alla volta:

S M = (2111) (1 - 1 01) = (1011),

^{t} M (S M) = (10 - 1 1) (1011) = (1001) .

È lo stesso risultato che nella lezione L19 (esercizio 5) si otteneva casella per casella: nella base nuova questo prodotto scalare ha la matrice identità.

Trappola · Trasposta per i prodotti scalari, inversa per le macchine

Con la stessa matrice di cambiamento di base $M$ :

una macchina lineare cambia come $M^{- 1} A M$ (lezione L16);
un prodotto scalare cambia come $^{t} M S M$ .

Le due formule danno risultati diversi. Con $M = (1011)$ e la matrice identità: come macchina, l'identità resta l'identità; come prodotto scalare diventa $(1112)$ . Le due formule coincidono sempre solo quando la trasposta di $M$ è anche la sua inversa: sono le matrici ortogonali della lezione L22.

Metodo · Due modi per trovare la matrice nella base nuova

Casella per casella (lezione L19): ogni casella è il prodotto scalare tra due vettori nuovi. Comodo con due vettori, o se il prodotto è dato con una formula.
Con la formula $^{t} M S M$ : metti nelle colonne di $M$ le coordinate dei vettori nuovi nella base in cui conosci $S$ . Calcola prima $S M$ , poi la trasposta di $M$ per il risultato.

In tutti e due i casi controlla alla fine che la matrice sia simmetrica: se non lo è, c'è un errore di conto.

Oltre le dispense · Il segno del determinante non cambia

Per il teorema di Binet (Teorema 10.4), e siccome una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante:

det S^{'} = det (^{t} M) det S det M = (det M)^{2} det S .

Siccome $M$ è invertibile, $(det M)^{2}$ è positivo: $det S^{'}$ ha lo stesso segno di $det S$ . In particolare una è degenere esattamente quando lo è l'altra, perché il prodotto scalare è lo stesso. È un buon controllo veloce all'esame. Martelli chiama congruenti due matrici simmetriche legate in questo modo (§7.2.3).

Prova tu

Il prodotto scalare di tutti i giorni nel piano, nella base

{(1, 1), (0, 1)}

: che matrice ha?

$M = (1101)$ , e $^{t} M I_{2} M = (1011) (1101) = (2111)$ . Controllo: $(1, 1) \cdot (1, 1) = 2$ , $(1, 1) \cdot (0, 1) = 1$ , $(0, 1) \cdot (0, 1) = 1$ .

Da ricordare

Matrice di un prodotto scalare nella base nuova: $^{t} M S M$ , con la trasposta.
Per le macchine lineari invece si usa l'inversa: $M^{- 1} A M$ .

§2

Le forme quadratiche

pp. 100–102

Se in un prodotto scalare metti lo stesso vettore nei due posti, ottieni un polinomio di secondo grado nelle coordinate. Per esempio con $S = (2111)$ :

g_{S} (x, x) = 2 x_{1} x_{1} + x_{1} x_{2} + x_{2} x_{1} + x_{2} x_{2} = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} .

I due pezzi misti $x_{1} x_{2}$ e $x_{2} x_{1}$ ora sono lo stesso e si sommano. Questi polinomi hanno un nome.

Polinomi omogenei. Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi pezzi hanno lo stesso grado. Gli esempi delle dispense:

Polinomio	Pezzi e gradi	Omogeneo di grado
$x_{1} + x_{2} - 3 x_{3}$	tre pezzi di grado 1	1
$2 x_{1} x_{2} - x_{3}^{2} + x_{1} x_{3}$	tre pezzi di grado 2	2
$x_{1}^{3} - x_{2} x_{3}^{2}$	due pezzi di grado 3	3

Invece $x_{1}^{2} + x_{2}$ non è omogeneo, perché ha un pezzo di grado 2 e uno di grado 1. Nemmeno $x_{1} x_{2} + 1$ lo è: la costante ha grado 0. Le dispense danno un nome a quelli di grado 2.

Definizione 20.3 · Forma quadratica

Una forma quadratica è un polinomio omogeneo di grado 2 nelle variabili $x_{1}, \dots, x_{n}$ .

Come si legge. Una forma quadratica è una somma di pezzi come «numero per $x_{i}^{2}$ » e «numero per $x_{i} x_{j}$ », senza pezzi di grado 1 e senza costanti.

Ogni forma quadratica viene da una sola matrice simmetrica. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 20.4

Ogni forma quadratica si scrive in modo unico come

q (x) = g_{S} (x, x) = i, j = 1 \sum n x_{i} S_{ij} x_{j}

per un'opportuna matrice simmetrica $S$ .

Come si legge. Data la forma quadratica, c'è una e una sola matrice simmetrica che, messa nel prodotto scalare con lo stesso vettore due volte, la restituisce.

La dimostrazione delle dispense, con i passaggi spiegati.

Una forma quadratica si scrive $q (x) = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{ij} x_{i} x_{j}$ . La condizione $i \leq j$ serve a non contare due volte lo stesso pezzo: per esempio $x_{1} x_{2}$ e $x_{2} x_{1}$ sono lo stesso pezzo, e compare una volta sola.
Sulla diagonale metti $S_{ii} = a_{ii}$ . Fuori dalla diagonale metti $S_{ij} = S_{j i} = \frac{1}{2} a_{ij}$ : il numero del pezzo misto si divide a metà tra le due caselle simmetriche.
Nella somma con la matrice ogni pezzo misto compare due volte, una per ciascuna delle due caselle simmetriche. In tutto $\frac{1}{2} a_{ij} + \frac{1}{2} a_{ij} = a_{ij}$ : il numero giusto. I quadrati compaiono una volta sola. Quindi la somma è proprio $q (x)$ .
La matrice è l'unica possibile. Una matrice simmetrica che dà $q$ deve avere sulla diagonale i numeri dei quadrati. E in ogni coppia di caselle simmetriche deve avere due numeri uguali con somma $a_{ij}$ , quindi tutti e due $\frac{1}{2} a_{ij}$ .

Metodo · Dalla forma alla matrice e ritorno

Dalla forma alla matrice. Il numero davanti a un quadrato va sulla diagonale, nel posto di quella variabile. Il numero davanti a un pezzo misto si divide per 2 e va nelle due caselle simmetriche di quella coppia di variabili. Le variabili che non compaiono danno righe e colonne di zeri.
Dalla matrice alla forma. I quadrati con il numero della diagonale; i pezzi misti con il doppio del numero fuori dalla diagonale.

Esempio 20.5 · Andata e ritorno

Le matrici simmetriche

(1 - 3 - 3 0), 100010 00 - 1, 011101110

definiscono, nell'ordine, le forme quadratiche

x_{1}^{2} - 6 x_{1} x_{2}, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{3}^{2}, 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} x_{3} + 2 x_{3} x_{1} .

Viceversa, $q (x) = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} - x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2}$ è descritta dalla matrice

S = 120 2 - 1 0 004 .

Controlla i passaggi.

Nella prima matrice fuori dalla diagonale c'è $- 3$ , quindi il pezzo misto è $2 \cdot (- 3) x_{1} x_{2} = - 6 x_{1} x_{2}$ . Il secondo numero della diagonale è 0, quindi $x_{2}^{2}$ non compare.
Nella terza ogni numero fuori dalla diagonale vale 1 e dà un pezzo $2 x_{i} x_{j}$ .
Nell'ultima il 4 davanti al pezzo misto si divide in $2 + 2$ , nelle due caselle simmetriche. Il 4 davanti a $x_{3}^{2}$ invece va sulla diagonale intero.

Trappola · Metà sì, metà no

Si divide per due solo il numero dei pezzi misti, e solo per le forme quadratiche. Nella formula di un prodotto scalare con due vettori diversi, i pezzi $x_{1} y_{2}$ e $x_{2} y_{1}$ sono diversi e vanno nella matrice senza dimezzare (lezione L19). Nell'appello dell'08/02/2024 (domanda 7) tra le risposte sbagliate c'erano proprio le matrici con il numero misto non dimezzato.

La forma di una matrice e la definita positività. Le dispense chiamano $q_{S} (x) = g_{S} (x, x)$ la forma quadratica della matrice simmetrica $S$ . Un prodotto scalare è definito positivo quando ogni vettore non nullo, messo con sé stesso, dà un numero positivo (Definizione 19.2). Quindi il prodotto è definito positivo esattamente quando la sua forma quadratica è positiva per ogni vettore diverso da zero. Per deciderlo basta studiare il segno di un polinomio di secondo grado.

Oltre le dispense · Completare i quadrati, e tornare dalla forma al prodotto

Completare i quadrati. Per vedere che una forma è positiva la si riscrive come somma di quadrati con numeri positivi davanti. Per $q = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2}$ :

q = 2 (x_{1} + \frac{x _{2}}{2})^{2} + \frac{3}{2} x_{2}^{2},

oppure

q = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + (x_{1} + x_{2})^{2} .

In tutte e due le scritture la forma non è mai negativa, ed è zero solo quando tutte e due le variabili sono zero. Per le matrici $2 \times 2$ c'è anche il criterio della lezione L19: $(a b b c)$ è definita positiva esattamente quando $a > 0$ e $a c - b^{2} > 0$ .

Dalla forma al prodotto. La forma quadratica contiene tutto il prodotto scalare. Sviluppando $q (x + y) = q (x) + 2 g (x, y) + q (y)$ (lezione L19) si ricava

g (x, y) = \frac{1}{2} (q (x + y) - q (x) - q (y)) .

Le dispense lo dicono in modo esplicito: per il resto della lezione il prodotto scalare è sempre definito positivo. Serve per le radici quadrate della prossima sezione.

Prova tu

Qual è la matrice simmetrica della forma

x_{1}^{2} + 6 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2}

Diagonale 1 e 2; il 6 si divide in $3 + 3$ : $(1332)$ .

Da ricordare

Forma quadratica: polinomio con tutti i pezzi di grado 2.
Matrice: quadrati sulla diagonale, metà dei numeri misti fuori dalla diagonale.
$g_{S}$ è definito positivo esattamente quando la sua forma quadratica è positiva fuori dallo zero.

§3

La lunghezza di un vettore

pp. 102–103

Disegna un triangolo rettangolo con i cateti lunghi 3 e 4. L'ipotenusa è il vettore $v = (3, 4)$ . Per il teorema di Pitagora la sua lunghezza è

3^{2} + 4^{2} = 25 = 5.

Sotto la radice c'è proprio il prodotto scalare di $v$ con sé stesso: $3 \cdot 3 + 4 \cdot 4$ . L'idea della norma è questa: la lunghezza è la radice del prodotto scalare di un vettore con sé stesso, qualunque sia il prodotto scalare.

12341234xy

v = (3, 4)

3

4

∥ (3, 4) ∥ = 3^{2} + 4^{2} = 5

: la norma euclidea è il teorema di Pitagora

Le dispense lo scrivono così.

Definizione 20.6 · Norma

Sia $V$ uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare definito positivo. La norma di $v \in V$ è

∥ v ∥ = ⟨ v, v ⟩ .

Come si legge.

$∥ v ∥$ si legge «norma di vu» ed è la lunghezza del vettore.
Il prodotto deve essere definito positivo: così sotto la radice non c'è mai un numero negativo.
Le due stanghette servono a non confonderla con il valore assoluto $∣ x ∣$ di un numero.
La norma dipende dal prodotto scalare: lo stesso vettore può avere lunghezze diverse con prodotti diversi.

Esempio 20.8 · La norma euclidea

Per il prodotto scalare euclideo su $R^{n}$ :

∥ x ∥ = x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} .

Per esempio $∥ (3, 4) ∥ = 5$ , $∥ (1, 2, 2) ∥ = 1 + 4 + 4 = 3$ , $∥ (1, 1, 1, 1) ∥ = 4 = 2$ .

Esempio 20.9 · Una norma diversa

Prendiamo il prodotto scalare $g_{S}$ su $R^{2}$ definito da $S = (2111)$ . La norma di $x$ è

∥ x ∥ = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} .

Sotto la radice c'è la forma quadratica $q_{S} (x)$ . Qualche valore:

$x$	$q_{S} (x) = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$	$∥ x ∥$ con $g_{S}$	$∥ x ∥$ euclidea
$(1, 0)$	$2$	$2$	$1$
$(0, 1)$	$1$	$1$	$1$
$(1, - 1)$	$2 - 2 + 1 = 1$	$1$	$2$
$(1, 1)$	$2 + 2 + 1 = 5$	$5$	$2$

Le quattro regole delle lunghezze

Una buona lunghezza deve comportarsi come ci aspettiamo dai righelli. Le dispense raccolgono quattro regole.

Proposizione 20.7

Per ogni $v, w \in V$ e $λ \in R$ valgono:

$∥ v ∥ > 0$ se $v \neq = 0$ e $∥0∥ = 0$ ,
$∥ λ v ∥ = ∣ λ ∣ ∥ v ∥$ ,
$∣ ⟨ v, w ⟩ ∣ \leq ∥ v ∥ ∥ w ∥$ ,
$∥ v + w ∥ \leq ∥ v ∥ + ∥ w ∥$ .

La (3) è la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz e la (4) è la disuguaglianza triangolare.

Come si legge, una regola alla volta, con i numeri.

Solo il vettore nullo ha lunghezza zero. È la definita positività.
Moltiplicare un vettore per un numero moltiplica la lunghezza per il valore assoluto di quel numero: $- 3 v$ è lungo 3 volte $v$ . Il valore assoluto serve perché le lunghezze non sono mai negative.
Il prodotto scalare, preso senza segno, non supera mai il prodotto delle lunghezze. Con $v = (1, 2)$ e $w = (3, 1)$ : il prodotto scalare è 5, il prodotto delle lunghezze è $5 \cdot 10 = 50$ , circa 7,07. Con $w = (2, 4)$ , che è $2 v$ , vale l'uguaglianza: $10 = 5 \cdot 20$ .
In un triangolo un lato non supera la somma degli altri due. Con $v = (3, 0)$ e $w = (0, 4)$ : $v + w = (3, 4)$ è lungo 5, che non supera $3 + 4 = 7$ .

Perché valgono le regole 1 e 2. La regola 1 viene dalla definita positività: se $v$ non è zero, il prodotto con sé stesso è positivo, e la sua radice anche. Per la regola 2 si usano gli assiomi della lezione L19:

∥ λ v ∥ = ⟨ λ v, λ v ⟩ = λ^{2} ⟨ v, v ⟩ = λ^{2} ⟨ v, v ⟩ = ∣ λ ∣ ∥ v ∥.

L'ultimo passaggio usa che la radice di $λ^{2}$ è il valore assoluto di $λ$ : per esempio $(- 3)^{2} = 3$ .

Perché vale Cauchy–Schwarz. Se $w$ è zero, tutti e due i lati valgono 0. Altrimenti chiama $c$ il numero $\frac{⟨ v , w ⟩}{⟨ w , w ⟩}$ . Il vettore $v - c w$ è quello che resta di $v$ dopo avergli tolto la parte nella direzione di $w$ . Nella lezione L21 quella parte si chiamerà proiezione. La sua lunghezza al quadrato non è mai negativa:

sviluppo come $(a - b)^{2}$ :
$0 \leq ∥ v - c w ∥^{2} = ⟨ v, v ⟩ - 2 c ⟨ v, w ⟩ + c^{2} ⟨ w, w ⟩;$
metto al posto di $c$ il suo valore:
$0 \leq ∥ v ∥^{2} - 2 \frac{⟨ v , w ⟩ ^{2}}{∥ w ∥ ^{2}} + \frac{⟨ v , w ⟩ ^{2}}{∥ w ∥ ^{4}} ∥ w ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} - \frac{⟨ v , w ⟩ ^{2}}{∥ w ∥ ^{2}};$
moltiplico per $∥ w ∥^{2}$ , che è positivo: $⟨ v, w ⟩^{2} \leq ∥ v ∥^{2} ∥ w ∥^{2}$ ;
prendo la radice dei due lati, che non sono negativi: $∣ ⟨ v, w ⟩ ∣ \leq ∥ v ∥ ∥ w ∥$ .

Perché vale la disuguaglianza triangolare. Sviluppo il quadrato (lezione L19) e uso Cauchy–Schwarz:

∥ v + w ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} + ∥ w ∥^{2} + 2 ⟨ v, w ⟩ \leq ∥ v ∥^{2} + ∥ w ∥^{2} + 2∥ v ∥ ∥ w ∥ = (∥ v ∥ + ∥ w ∥)^{2} .

Il passaggio con il «minore o uguale» usa Cauchy–Schwarz. Poi si prende la radice dei due lati.

Oltre le dispense · Quando vale l'uguaglianza

In Cauchy–Schwarz vale l'uguaglianza esattamente quando $v$ e $w$ sono paralleli, cioè uno è multiplo dell'altro: nel passaggio 1 l'uguaglianza vuol dire che $v - c w$ ha lunghezza zero, cioè $v = c w$ . Nella triangolare serve anche che puntino nello stesso verso.

Vettori lunghi 1. Un vettore di lunghezza 1 si chiama unitario. Per la regola 2, se $v$ non è zero il vettore $\frac{v}{∥ v ∥}$ è lungo esattamente 1: dividere per la lunghezza si chiama normalizzare. Per esempio $\frac{( 3 , 4 )}{5} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ . Le dispense usano i vettori normalizzati nella prossima sezione e le basi fatte di vettori unitari nella lezione L21.

Prova tu

Quanto è lungo il vettore

(2, - 2, 1)

, con il prodotto di tutti i giorni?

$4 + 4 + 1 = 9 = 3$ .

Da ricordare

Lunghezza = radice del prodotto scalare del vettore con sé stesso. Con il prodotto di tutti i giorni è Pitagora.
Cauchy–Schwarz: il prodotto scalare non supera il prodotto delle lunghezze. Triangolare: un lato non supera la somma degli altri due.

§4

La distanza tra due punti

p. 103

Con un righello si misura subito anche una distanza: la distanza tra due punti è la lunghezza del vettore che va dall'uno all'altro. Il vettore che parte dal primo punto e arriva nel secondo si calcola «arrivo meno partenza»:

P Q = Q - P .

Le dispense scrivono la distanza così.

Definizione 20.10 · Distanza

La distanza fra $P$ e $Q$ è

d (P, Q) = ∥ Q - P ∥.

Come si legge. $d (P, Q)$ si legge «distanza tra pi e qu»: è la lunghezza del vettore che va dal primo punto al secondo.

Esempi con il prodotto di tutti i giorni:

da $P = (1, 2)$ a $Q = (4, 6)$ : il vettore è $(3, 4)$ e la distanza è 5;
da $P = (1, 0, 2)$ a $Q = (3, 1, 0)$ : il vettore è $(2, 1, - 2)$ e la distanza è $4 + 1 + 4 = 3$ .

Con un altro prodotto cambiano anche le distanze. Con il prodotto dell'Esempio 20.9 la distanza tra l'origine e il punto $(1, - 1)$ è 1, come nella tabella, mentre quella di tutti i giorni è $2$ .

La distanza ha le proprietà che ci aspettiamo. Le dispense le scrivono così.

Proposizione 20.11

Per ogni $P, Q, R \in V$ :

$d (P, Q) > 0$ se $P \neq = Q$ e $d (P, P) = 0$ ,
$d (P, Q) = d (Q, P)$ ,
$d (P, R) \leq d (P, Q) + d (Q, R)$ .

Come si legge, punto per punto:

due punti diversi sono a distanza positiva, e un punto è a distanza zero da sé stesso: viene dalla regola 1 delle lunghezze;
andare è lungo quanto tornare: il vettore di ritorno è l'opposto di quello di andata, e per la regola 2 ha la stessa lunghezza;
passare per un punto intermedio non accorcia la strada. Il viaggio si spezza in due tappe, e per la disuguaglianza triangolare
$d (P, R) = ∥ (Q - P) + (R - Q) ∥ \leq ∥ Q - P ∥ + ∥ R - Q ∥ = d (P, Q) + d (Q, R) .$

1234512345xy

P

Q

R

3

4

5

d (P, R) = 5 \leq d (P, Q) + d (Q, R) = 3 + 4

Prova tu

Quanto distano i punti

(1, 1)

(4, 5)

Il vettore è $(4 - 1, 5 - 1) = (3, 4)$ , lungo 5.

Da ricordare

Distanza = lunghezza del vettore «arrivo meno partenza».
È simmetrica, e una tappa intermedia non accorcia mai la strada.

§5

L'angolo tra due vettori

p. 104

In fisica si impara la formula «prodotto scalare = lunghezza per lunghezza per coseno dell'angolo». Il corso la rovescia e la usa per definire l'angolo: prodotto scalare e lunghezze si sanno calcolare, e da loro si ricava il coseno. Le dispense lo scrivono così.

Definizione 20.12 · Angolo

Sia $V$ munito di un prodotto scalare definito positivo. L'angolo fra due vettori non nulli $v, w \in V$ è il numero $ϑ \in [0, π]$ tale che

cos ϑ = \frac{⟨ v , w ⟩}{∥ v ∥ ∥ w ∥} .

Come si legge.

$ϑ$ è la lettera greca «theta». Il suo coseno è il prodotto scalare diviso per il prodotto delle lunghezze.
I vettori non devono essere zero, altrimenti si dividerebbe per zero.
L'angolo è in radianti e sta tra 0 e $π$ , cioè tra 0° e 180°: l'angolo tra due vettori non ha verso e non supera l'angolo piatto.
La definizione funziona grazie a Cauchy–Schwarz: il rapporto sta sempre tra meno uno e uno. E per ogni numero in quell'intervallo c'è uno e un solo angolo tra 0° e 180° con quel coseno.
Lo stesso si scrive con l'arcocoseno, la funzione che dal coseno restituisce l'angolo: $ϑ = arccos \frac{⟨ v , w ⟩}{∥ v ∥ ∥ w ∥}$ .

Il segno del prodotto scalare decide il tipo di angolo, perché le lunghezze sono positive e il coseno è positivo prima dell'angolo retto e negativo dopo:

Prodotto scalare	Coseno	L'angolo è
positivo	positivo	acuto, meno di 90°
zero	zero	retto, 90°
negativo	negativo	ottuso, più di 90°

Senza calcolatrice: all'esame si riconoscono i coseni degli angoli notevoli. Conviene averli sul foglio.

$ϑ$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
gradi	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
$cos ϑ$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{2}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$

Esempio · Quattro angoli con il prodotto euclideo

$v = (1, 0)$ , $w = (1, 1)$ : prodotto 1, lunghezze 1 e $2$ . Coseno $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ : l'angolo è $\frac{π}{4}$ .
$v = (1, 2)$ , $w = (- 2, 1)$ : prodotto $- 2 + 2 = 0$ . L'angolo è retto, $\frac{π}{2}$ .
$v = (1, 0)$ , $w = (- 1, 3)$ : prodotto $- 1$ , lunghezze 1 e $1 + 3 = 2$ . Coseno $- \frac{1}{2}$ : l'angolo è $\frac{2 π}{3}$ .
$v = (1, 1, 1)$ , $w = (1, 2, 3)$ : prodotto 6, lunghezze $3$ e $14$ . Coseno $\frac{6}{42}$ , e l'angolo è $arccos \frac{6}{42}$ , che non è un angolo notevole. È la domanda 10 dell'appello del 07/09/2026.

−11−0,250,250,50,7511,251,51,75xy

v

w

ϑ

v = (1, 0)

w = (- 1, 3)

cos ϑ = - \frac{1}{2}

, quindi

ϑ = \frac{2 π}{3}

(ottuso)

Prova con lo strumento: trascina $v$ in modo che il prodotto scalare cambi segno, e guarda l'angolo passare da acuto a retto a ottuso. Quando il prodotto è zero lo strumento scrive che i vettori sono ortogonali. Attenzione: lo strumento scrive l'angolo in gradi, mentre all'esame si usano i radianti; 90° corrisponde a $\frac{π}{2}$ .

Angoli con un prodotto diverso. La definizione vale per ogni prodotto definito positivo. Con $S = (2111)$ , per esempio, i due vettori della base canonica non sono più perpendicolari. Il loro prodotto è 1 e le lunghezze sono $2$ e 1. Quindi il coseno è $\frac{1}{2}$ e l'angolo è 45° (esercizio 11).

Nota · Collegamento con l'informatica: similarità coseno

Le dispense chiudono la lezione con un collegamento. Molte applicazioni usano i vettori: motori di ricerca, sistemi di raccomandazione, riconoscimento di immagini. Un oggetto, per esempio una parola, un documento o un'immagine, viene rappresentato da un vettore $x \in R^{n}$ , spesso chiamato embedding. Per confrontare due rappresentazioni $x$ e $y$ si usa la similarità coseno

sim (x, y) = \frac{⟨ x , y ⟩}{∥ x ∥ ∥ y ∥} = cos ϑ .

Dipende dall'angolo e non dalla lunghezza dei vettori. Se gli embedding sono normalizzati, cioè lunghi 1, la similarità coseno è il prodotto scalare stesso. Vettori che puntano in direzioni vicine hanno similarità vicina a 1.

Un esempio piccolo: tre documenti descritti dal numero di volte in cui compaiono quattro parole, $d_{1} = (2, 1, 0, 1)$ , $d_{2} = (4, 2, 0, 2)$ , $d_{3} = (0, 1, 3, 0)$ . Il secondo è il primo «scritto due volte»: $sim (d_{1}, d_{2}) = 1$ , anche se $d_{2}$ è più lungo. Invece $sim (d_{1}, d_{3}) = \frac{1}{6 10} = \frac{15}{30}$ , circa 0,13: parlano di cose diverse.

Oltre le dispense · Dove trovarlo nel libro

Martelli: §7.2.2 «Cambiamento di base» (p. 212) e §7.2.3 sulle matrici congruenti (p. 213); §7.1.5 «Forme quadratiche» (pp. 203–204); capitolo 8, §8.1.1 «Norma» (pp. 240–241), §8.1.2 con le applicazioni di Cauchy–Schwarz e la legge del parallelogramma (pp. 241–242), §8.1.3 «Angoli» (pp. 242–243), §8.1.4 «Distanze» (pp. 243–244). Il libro dimostra Cauchy–Schwarz in modo un po' diverso, partendo dalla lunghezza di una ricetta di $v$ e $w$ scelta bene.

Prova tu

Qual è l'angolo tra

(1, 0)

(1, 3)

Prodotto 1, lunghezze 1 e $1 + 3 = 2$ . Coseno $\frac{1}{2}$ : l'angolo è $\frac{π}{3}$ , cioè 60°.

Da ricordare

Coseno dell'angolo = prodotto scalare diviso il prodotto delle lunghezze; l'angolo sta tra 0 e $π$ .
Prodotto positivo: acuto. Zero: retto. Negativo: ottuso.

§6

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$^{t} M$	«emme trasposta»	la matrice con righe e colonne scambiate
$^{t} M S M$	«emme trasposta, esse, emme»	la matrice del prodotto scalare nella base nuova
$q_{S} (x)$	«qu esse di x»	la forma quadratica di $S$ : il prodotto di $x$ con sé stesso	$q_{I} (x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$⟨ v, w ⟩$	«prodotto scalare di vu e vu doppio»	il prodotto scalare (lezione L19)	$⟨(1, 2), (3, 1)⟩ = 5$
$∥ v ∥$	«norma di vu»	la lunghezza	$∥ (3, 4) ∥ = 5$
$∣ λ ∣$	«valore assoluto di lambda»	il numero senza segno	$∣ - 3 ∣ = 3$
$P Q$	«vettore pi qu»	il vettore da $P$ a $Q$ , cioè $Q - P$
$d (P, Q)$	«distanza tra pi e qu»	la lunghezza di $Q - P$
$ϑ$	«theta»	l'angolo tra due vettori, in radianti
$arccos$	«arcocoseno»	dal coseno all'angolo tra 0 e $π$	$arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$

§7

Verso l'esame

esame

La prova di Algebra lineare e Geometria ha 10 domande a risposta multipla, con 5 risposte e una sola giusta. Ci sono poi 2 problemi da 11 punti, corretti solo con almeno 6 risposte giuste. Dura 2 ore, senza calcolatrice, e si può portare solo un foglio da 4 facciate scritto a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione compare negli appelli 2023–2026

Norma e angolo (quiz). Appello del 07/09/2026: domanda 5 (la lunghezza di un vettore con una matrice $3 \times 3$ data) e domanda 10 (un angolo con il prodotto di tutti i giorni). Appello del 03/06/2025, domanda 6 (angolo con $S = (2111)$ ). Appello dell'08/02/2024, domanda 8 (angolo tra i polinomi $x$ e $x^{2}$ ).
Dalla forma quadratica alla matrice (quiz). Appello dell'08/02/2024, domanda 7.
Cambiamento di base (quiz). Appelli del 10/06/2024 e del 03/06/2026, domanda 4: la matrice di $g_{S}$ in una base nuova, con la formula oppure casella per casella.
Problemi. Il punto (1) del problema 12 del 03/07/2026 chiede norme e coseno dell'angolo con un $g_{S}$ su $R^{3}$ . Il punto (2) del problema 12 del 07/02/2025 chiede norme e angolo di due polinomi. Il punto (2) del problema 12 del 05/02/2026 chiede per quali valori di un parametro due vettori sono ortogonali rispetto a $g_{S}$ .

Metodo · Norma e angolo con un $g_{S}$

Calcola una volta i vettori $S v$ e $S w$ .
$∥ v ∥^{2} =^{t} v (S v)$ , $∥ w ∥^{2} =^{t} w (S w)$ , $g_{S} (v, w) =^{t} v (S w)$ : sono prodotti di tutti i giorni tra vettori già calcolati.
Il coseno è $g_{S} (v, w)$ diviso il prodotto delle lunghezze. Semplifica le radici, per esempio $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ e $\frac{3}{12} = \frac{3}{2}$ , e confronta con la tabella degli angoli notevoli.
Se nessun angolo notevole torna, la risposta resta con l'arcocoseno: nel quiz cerca l'opzione equivalente, magari scritta con il denominatore senza radici.

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 07/09/2026, domanda 5. Il testo: «Su $R^{3}$ è dato $g_{S}$ con $S = 211120101$ . Qual è la norma di $v =^{t} (1, 1, 1)$ ?». Le opzioni erano: radice di 2, 2, radice di 7, radice di 3 e 3.

In pratica chiede: quanto è lungo il vettore $(1, 1, 1)$ , se le lunghezze si misurano con il prodotto scalare di questa matrice e non con quello di tutti i giorni?

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: la matrice per il vettore. Ogni riga di $S$ per $(1, 1, 1)$ è la somma dei numeri della riga:

S v = (2 + 1 + 1, 1 + 2 + 0, 1 + 0 + 1) = (4, 3, 2) .

Passo 2: il prodotto con il vettore. $∥ v ∥^{2} =^{t} v (S v) = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 9$ .

Passo 3: la radice. $∥ v ∥ = 9 = 3$ .

La risposta è 3. La trappola è $3$ , la lunghezza di $(1, 1, 1)$ con il prodotto di tutti i giorni: qui il prodotto è $g_{S}$ . Chi dimentica la radice cerca 9, che tra le opzioni non c'è.

Altre due domande vere

Conta all'esame · Appello del 03/06/2025, domanda 6

Con $g_{S} (v, w) =^{t} v S w$ e $S = (2111)$ , qual è l'angolo tra $u =^{t} (0, 2)$ e $w =^{t} (3, 1 - 3)$ ? Le opzioni: $\frac{π}{4}$ , $0$ , $\frac{π}{3}$ , $arccos \frac{1 - 3}{7 - 2 3}$ , $\frac{π}{2}$ .

Soluzione.

$S w = (23 + 1 - 3, 3 + 1 - 3) = (3 + 1, 1)$ .
$g_{S} (u, w) =^{t} u (S w) = 0 \cdot (3 + 1) + 2 \cdot 1 = 2$ .
$S u = (2, 2)$ , quindi $∥ u ∥^{2} = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 4$ e $∥ u ∥ = 2$ .
$∥ w ∥^{2} =^{t} w (S w) = 3 (3 + 1) + (1 - 3) \cdot 1 = 3 + 3 + 1 - 3 = 4$ , quindi $∥ w ∥ = 2$ .

Il coseno è $\frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ , quindi l'angolo è $\frac{π}{3}$ . L'opzione con l'arcocoseno è il coseno calcolato con il prodotto di tutti i giorni: è la trappola per chi dimentica $S$ .

Conta all'esame · Appello del 10/06/2024, domanda 4

Data $S = 111100102$ , qual è la matrice di $g_{S}$ nella base $B = {^{t} (1, 0, 0),^{t} (1, 1, 0),^{t} (1, 1, 1)}$ ?

Soluzione con la formula. $M = 100110111$ , con i vettori della base in colonna. Prima $S M = 111211313$ , poi

^{t} M (S M) = 111011001111211313 = 123234347 .

Controlli: il risultato è simmetrico. Il determinante di $S$ è $- 2$ e quello di $M$ è 1, quindi anche il risultato deve avere determinante $- 2$ : infatti $1 (21 - 16) - 2 (14 - 12) + 3 (8 - 9) = 5 - 4 - 3 = - 2$ .

Le risposte sbagliate sono istruttive. Una era $M$ stessa, che non è simmetrica e si scarta subito. Una era $S$ , la matrice nella base canonica. Una era $^{t} M M$ , cioè la matrice del prodotto di tutti i giorni nella base $B$ , per chi dimentica $S$ . Il modo più veloce per scegliere è calcolare una sola casella: quella al posto $(2, 2)$ è il prodotto di $(1, 1, 0)$ con sé stesso, $^{t} (1, 1, 0) (2, 1, 1) = 3$ , e solo una delle cinque matrici ha 3 in quel posto.

Errori da evitare.

Usare il prodotto di tutti i giorni quando il testo ne dà un altro: è la trappola di tutte e tre le domande qui sopra.
Dimenticare la radice: se la norma al quadrato è 9, la norma è 3.
Usare $M^{- 1} S M$ al posto di $^{t} M S M$ .
Non dimezzare i numeri misti di una forma quadratica.
Dare l'angolo in gradi, o fuori da $[0, π]$ : un coseno negativo dà un angolo ottuso, non un angolo negativo.

Conta all'esame · Sul foglio da 4 facciate

$S^{'} =^{t} M S M$ , con le colonne di $M$ = vettori nuovi nella base vecchia; $det S^{'} = (det M)^{2} det S$ .
Forma quadratica: diagonale = numeri dei quadrati, fuori diagonale = metà dei numeri misti.
$∥ v ∥ = ⟨ v, v ⟩$ ; $∣ ⟨ v, w ⟩ ∣ \leq ∥ v ∥ ∥ w ∥$ ; $∥ v + w ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} + 2 ⟨ v, w ⟩ + ∥ w ∥^{2}$ .
$d (P, Q) = ∥ Q - P ∥$ ; $cos ϑ = \frac{⟨ v , w ⟩}{∥ v ∥ ∥ w ∥}$ , con $ϑ$ tra 0 e $π$ .
La tabella dei coseni degli angoli notevoli.

§9

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: Pitagora base

Calcola la lunghezza di $(5, 12)$ , di $(1, 1)$ e di $(2, 3, 6)$ con il prodotto di tutti i giorni.

Soluzione

$25 + 144 = 169 = 13$ .
$1 + 1 = 2$ .
$4 + 9 + 36 = 49 = 7$ .

2 · Riscaldamento: una distanza base

Quanto distano i punti $P = (2, 1)$ e $Q = (5, 5)$ ?

Soluzione

Il vettore da $P$ a $Q$ è «arrivo meno partenza»: $(5 - 2, 5 - 1) = (3, 4)$ .
La sua lunghezza è $9 + 16 = 5$ .

3 · Riscaldamento: acuto, retto o ottuso? base

Senza calcolare l'angolo, di' di che tipo è l'angolo tra: (a) $(1, 2)$ e $(3, - 1)$ ; (b) $(2, 1)$ e $(- 1, 2)$ ; (c) $(1, 0)$ e $(- 2, 1)$ .

Soluzione

Basta il segno del prodotto scalare.

(a) $3 - 2 = 1$ , positivo: acuto.
(b) $- 2 + 2 = 0$ : retto.
(c) $- 2 + 0 = - 2$ , negativo: ottuso.

4 · Riscaldamento: normalizzare base

Trova il vettore lungo 1 nella stessa direzione e nello stesso verso di $(0, 3, 4)$ e di $(6, 8)$ .

Soluzione

$(0, 3, 4)$ è lungo $9 + 16 = 5$ : diviso per 5 dà $(0, \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .
$(6, 8)$ è lungo $36 + 64 = 10$ : diviso per 10 dà $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

5 · Norme e distanze euclidee base

(a) Calcola $∥ (2, - 1, 2) ∥$ e normalizza il vettore. (b) Calcola la distanza tra $P = (1, 1, 1)$ e $Q = (3, - 1, 2)$ . (c) Normalizza $(1, 1, 1, 1)$ in $R^{4}$ .

Soluzione

(a) $∥ (2, - 1, 2) ∥ = 4 + 1 + 4 = 3$ . Normalizzato: $\frac{1}{3} (2, - 1, 2) = (\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ . Controllo: $\frac{4 + 1 + 4}{9} = 1$ .

(b) $Q - P = (2, - 2, 1)$ e $d (P, Q) = 4 + 4 + 1 = 3$ .

6 · Cinque angoli euclidei base

Calcola l'angolo tra: (a) $(1, 2, 2)$ e $(2, - 1, 2)$ ; (b) $(1, 1)$ e $(1, - 1)$ ; (c) $(1, 3)$ e $(3, 1)$ ; (d) $(1, 0, 1)$ e $(0, 1, 1)$ ; (e) $(1, 1, 0)$ e $(- 1, 0, - 1)$ .

Soluzione

(a) Prodotto $2 - 2 + 4 = 4$ , lunghezze 3 e 3: coseno $\frac{4}{9}$ , angolo $arccos \frac{4}{9}$ , acuto e non notevole.

(b) Prodotto $1 - 1 = 0$ : l'angolo è $\frac{π}{2}$ .

(d) Prodotto $0 + 0 + 1 = 1$ , lunghezze $2$ e $2$ : coseno $\frac{1}{2}$ , angolo $\frac{π}{3}$ .

(e) Prodotto $- 1 + 0 + 0 = - 1$ , lunghezze $2$ e $2$ : coseno $- \frac{1}{2}$ , angolo $\frac{2 π}{3}$ , ottuso.

7 · Forme quadratiche e matrici base

(a) Scrivi le matrici simmetriche di $q_{1} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 3 x_{2}^{2}$ su $R^{2}$ , di $q_{2} = x_{2}^{2} + x_{1} x_{3}$ su $R^{3}$ e di $q_{3} = x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2}$ su $R^{3}$ . (b) Scrivi le forme quadratiche delle matrici $(3110)$ e $010102 02 - 1$ .

Soluzione

(a) Diagonale = numeri dei quadrati, fuori diagonale = metà dei numeri misti:

S_{1} = (1 - 1 - 1 3), S_{2} = 00 \frac{1}{2} 010 \frac{1}{2} 00,

S_{3} = 120200000 .

In $S_{3}$ la variabile $x_{3}$ non compare: riga e colonna 3 sono di zeri. La matrice va comunque scritta $3 \times 3$ , perché la forma è su $R^{3}$ .

(b) Quadrati dalla diagonale, pezzi misti con il doppio del numero:

3 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2}, 2 x_{1} x_{2} + 4 x_{2} x_{3} - x_{3}^{2} .

8 · Esercizio 20.13 delle dispense medio

Su $R^{2}$ consideriamo il prodotto scalare $g (x, y) = 2 x_{1} y_{1} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + 2 x_{2} y_{2}$ .

Trovare la matrice associata a $g$ rispetto alla base canonica e la forma quadratica corrispondente.
Verificare che $g$ è definito positivo.
Calcolare le norme di $e_{1}, e_{2}$ e l'angolo fra questi due vettori.
Trovare la matrice associata a $g$ rispetto alla base $B = {(1, 1), (1, - 1)}$ .

Soluzione

1. Il numero davanti a $x_{i} y_{j}$ va al posto $(i, j)$ (lezione L19):

S = [g]_{C} = (2112) .

La forma quadratica è $q (x) = g (x, x) = 2 x_{1}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{2} x_{1} + 2 x_{2}^{2} = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2}$ .

2. Completo il quadrato:

q (x) = 2 (x_{1}^{2} + x_{1} x_{2}) + 2 x_{2}^{2} = 2 (x_{1} + \frac{x _{2}}{2})^{2} - \frac{x _{2}^{2}}{2} + 2 x_{2}^{2} = 2 (x_{1} + \frac{x _{2}}{2})^{2} + \frac{3}{2} x_{2}^{2} .

Tutti e due i pezzi non sono mai negativi, e la somma è zero solo se $x_{2} = 0$ e poi $x_{1} = 0$ . Quindi $q$ è positiva per ogni $x$ diverso da zero: $g$ è definito positivo. Con il criterio $2 \times 2$ : $2 > 0$ e il determinante è $3 > 0$ .

3. Per il Corollario 19.9: $∥ e_{1} ∥^{2} = S_{11} = 2$ e $∥ e_{2} ∥^{2} = S_{22} = 2$ , quindi tutti e due sono lunghi $2$ . Poi $g (e_{1}, e_{2}) = S_{12} = 1$ :

cos ϑ = \frac{1}{2 2} = \frac{1}{2}, ϑ = \frac{π}{3} .

Con questo prodotto $e_{1}$ ed $e_{2}$ formano un angolo di 60°, non di 90°.

4. Con $M = (11 1 - 1)$ , che ha in colonna i vettori di $B$ :

S M = (2 + 1 1 + 2 2 - 1 1 - 2) = (33 1 - 1),

^{t} M (S M) = (11 1 - 1) (33 1 - 1) = (6002) .

Controllo casella per casella: $g ((1, 1), (1, 1)) = 2 + 1 + 1 + 2 = 6$ ; $g ((1, 1), (1, - 1)) = 2 - 1 + 1 - 2 = 0$ ; $g ((1, - 1), (1, - 1)) = 2 - 1 - 1 + 2 = 2$ . La matrice è diagonale: i due vettori di $B$ sono perpendicolari per $g$ (lezione L21).

9 · Cambiare base per vedere che un prodotto è definito positivo medio

Sia $S = (1225)$ e $B^{'} = {(1, 0), (- 2, 1)}$ . (a) Calcola $[g_{S}]_{B^{'}}$ con la Proposizione 20.1. (b) Deduci che $g_{S}$ è definito positivo.

Soluzione

(a) $M = (10 - 2 1)$ . Prima

S M = (12 - 2 + 2 - 4 + 5) = (1201),

poi

^{t} M (S M) = (1 - 2 01) (1201) = (1 - 2 + 2 01) = (1001) .

(b) Con le coordinate $(λ_{1}, λ_{2})$ nella base $B^{'}$ il prodotto di un vettore con sé stesso diventa $λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2}$ (Corollario 19.16 con la matrice identità). Se il vettore non è zero, le sue coordinate non sono tutte e due zero, quindi il risultato è positivo. È lo stesso del completamento del quadrato $x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 5 x_{2}^{2} = (x_{1} + 2 x_{2})^{2} + x_{2}^{2}$ : le nuove coordinate sono proprio $λ_{1} = x_{1} + 2 x_{2}$ e $λ_{2} = x_{2}$ .

10 · Cauchy–Schwarz e disuguaglianza triangolare con i numeri medio

Siano $v = (1, - 2, 2)$ e $w = (3, 0, 4)$ . (a) Verifica Cauchy–Schwarz. (b) Verifica la disuguaglianza triangolare. (c) Trova un vettore $w^{'}$ per cui Cauchy–Schwarz diventa un'uguaglianza.

Soluzione

(a) Il prodotto è $3 + 0 + 8 = 11$ ; le lunghezze sono $1 + 4 + 4 = 3$ e $9 + 16 = 5$ . Infatti 11 non supera 15.

(b) $v + w = (4, - 2, 6)$ , lungo $16 + 4 + 36 = 56$ . Siccome 56 è meno di 64, $56$ è meno di $8 = 3 + 5$ . Senza calcolatrice si confrontano i quadrati.

(c) Serve un vettore parallelo a $v$ , per esempio $w^{'} = - 2 v = (- 2, 4, - 4)$ . Il prodotto è $- 2 \cdot 9 = - 18$ , senza segno 18; le lunghezze sono 3 e 6, con prodotto 18.

11 · Misurare con $S = (2111)$ medio

Con il prodotto $g_{S}$ : (a) calcola la distanza tra $P = (1, 2)$ e $Q = (2, 1)$ e confrontala con quella euclidea; (b) calcola l'angolo tra $e_{1}$ ed $e_{2}$ .

Soluzione

(a) $Q - P = (1, - 1)$ e la sua lunghezza al quadrato è $2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot (- 1) + 1 = 1$ : la distanza è 1. Con il prodotto di tutti i giorni è $1 + 1 = 2$ .

(b) Il prodotto è $S_{12} = 1$ ; le lunghezze sono $S_{11} = 2$ e $S_{22} = 1$ . Il coseno è $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ , quindi l'angolo è $\frac{π}{4}$ .

12 · Angoli tra polinomi medio

Su $R_{2} [x]$ sia $⟨ p, q ⟩ = p (- 1) q (- 1) + p (0) q (0) + p (1) q (1)$ . Calcola: (a) $∥ x ∥$ ; (b) l'angolo tra $1$ e $x^{2}$ ; (c) l'angolo tra $x$ e $1 + x^{2}$ .

Soluzione

I valori in $- 1, 0, 1$ : $1$ dà $(1, 1, 1)$ , $x$ dà $(- 1, 0, 1)$ , $x^{2}$ dà $(1, 0, 1)$ , $1 + x^{2}$ dà $(2, 1, 2)$ .

(a) $∥ x ∥^{2} = 1 + 0 + 1 = 2$ , quindi $∥ x ∥ = 2$ .

(b) Il prodotto è $1 + 0 + 1 = 2$ , le lunghezze $3$ e $2$ : coseno $\frac{2}{6} = \frac{6}{3}$ , quindi l'angolo è $arccos \frac{6}{3}$ .

13 · Norme, angolo e distanza con un $g_{S}$ su $R^{3}$ tipo esame

Sia $S = 110120003$ (definita positiva, lezione L19, esercizio 11), $u =^{t} (1, 0, 1)$ , $v =^{t} (0, 1, 1)$ . Calcola rispetto a $g_{S}$ : (a) $∥ u ∥$ e $∥ v ∥$ ; (b) il coseno dell'angolo tra $u$ e $v$ ; (c) la distanza tra $u$ e $v$ .

Soluzione

Prima i vettori $S u$ e $S v$ :

S u S v = (1 + 0 + 0, 1 + 0 + 0, 0 + 0 + 3) = (1, 1, 3), = (0 + 1 + 0, 0 + 2 + 0, 0 + 0 + 3) = (1, 2, 3) .

(a) $∥ u ∥^{2} =^{t} u (S u) = 1 + 0 + 3 = 4$ , quindi $∥ u ∥ = 2$ . $∥ v ∥^{2} =^{t} v (S v) = 0 + 2 + 3 = 5$ , quindi $∥ v ∥ = 5$ .

(b) $g_{S} (u, v) =^{t} u (S v) = 1 + 0 + 3 = 4$ , quindi

cos ϑ = \frac{4}{2 5} = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5} .

(c) $v - u = (- 1, 1, 0)$ e $S (v - u) = S v - S u = (0, 1, 0)$ . La lunghezza al quadrato è $^{t} (- 1, 1, 0) (0, 1, 0) = 1$ : la distanza è 1. Controllo con lo sviluppo del quadrato: $∥ v - u ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} - 2 g_{S} (u, v) + ∥ u ∥^{2} = 5 - 8 + 4 = 1$ .

14 · Ortogonalità con un parametro tipo esame

Sia $g_{S}$ su $R^{2}$ con $S = (2112)$ . (a) Per quale $k$ i vettori $u = (1, 0)$ e $v = (k, 1)$ sono ortogonali rispetto a $g_{S}$ ? (b) Per quel $k$ , quanto vale $∥ v ∥$ ? (c) Qual è l'angolo tra $u$ e $(1, 1)$ ?

Soluzione

(a) $g_{S} (u, v) =^{t} u S v$ . La riga $^{t} u S$ è la prima riga di $S$ , $(2, 1)$ , quindi $g_{S} (u, v) = 2 k + 1$ . Vale zero per $k = - \frac{1}{2}$ .

(b) $v = (- \frac{1}{2}, 1)$ e $S v = (- 1 + 1, - \frac{1}{2} + 2) = (0, \frac{3}{2})$ . La lunghezza al quadrato è $- \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ , quindi $∥ v ∥ = \frac{3}{2} = \frac{6}{2}$ .

(c) Il prodotto è $2 + 1 = 3$ , le lunghezze al quadrato sono 2 e $2 + 1 + 1 + 2 = 6$ . Il coseno è $\frac{3}{12} = \frac{3}{2}$ , quindi l'angolo è $\frac{π}{6}$ . Con il prodotto di tutti i giorni sarebbe $\frac{π}{4}$ .

15 · Legge del parallelogramma e polarizzazione difficile

Dimostra che in ogni spazio con prodotto scalare definito positivo (a) $∥ v + w ∥^{2} + ∥ v - w ∥^{2} = 2 (∥ v ∥^{2} + ∥ w ∥^{2})$ ; (b) $⟨ v, w ⟩ = \frac{1}{4} (∥ v + w ∥^{2} - ∥ v - w ∥^{2})$ . (c) Controlla entrambe con $v = (1, 2)$ , $w = (3, - 1)$ .

Soluzione

Sviluppo i due quadrati (lezione L19):

∥ v + w ∥^{2} ∥ v - w ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} + 2 ⟨ v, w ⟩ + ∥ w ∥^{2}, = ∥ v ∥^{2} - 2 ⟨ v, w ⟩ + ∥ w ∥^{2} .

(a) Sommando, i pezzi con $\pm 2 ⟨ v, w ⟩$ si cancellano e resta $2∥ v ∥^{2} + 2∥ w ∥^{2}$ . Nel disegno: in un parallelogramma la somma dei quadrati delle due diagonali è uguale alla somma dei quadrati dei quattro lati.

(b) Togliendo il secondo dal primo, si cancellano le lunghezze di $v$ e di $w$ e resta $4 ⟨ v, w ⟩$ .

(c) $v + w = (4, 1)$ e $v - w = (- 2, 3)$ , con lunghezze al quadrato 17 e 13. Per (a): $17 + 13 = 30 = 2 (5 + 10)$ . Per (b): $\frac{1}{4} (17 - 13) = 1$ , e infatti $⟨ v, w ⟩ = 3 - 2 = 1$ .

16 · Gli angoli di un triangolo nello spazio difficile

Siano $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 1, 0)$ , $C = (0, 0, 2)$ . Calcola i coseni dei tre angoli del triangolo $A B C$ e verifica che il triangolo è isoscele. Poi controlla che l'angolo in $C$ vale $π$ meno il doppio dell'angolo in $A$ .

Soluzione

L'angolo in un vertice è l'angolo tra i due vettori che partono da quel vertice.

In $A$ : $B - A = (- 1, 1, 0)$ e $C - A = (- 1, 0, 2)$ . Prodotto 1, lunghezze $2$ e $5$ : $cos α = \frac{1}{10}$ .
In $B$ : $A - B = (1, - 1, 0)$ e $C - B = (0, - 1, 2)$ . Prodotto 1, lunghezze $2$ e $5$ : $cos β = \frac{1}{10}$ .
In $C$ : $A - C = (1, 0, - 2)$ e $B - C = (0, 1, - 2)$ . Prodotto 4, lunghezze $5$ e $5$ : $cos γ = \frac{4}{5}$ .

Gli angoli in $A$ e in $B$ sono uguali e i lati $A C$ e $B C$ sono lunghi tutti e due $5$ : il triangolo è isoscele. Ora calcolo il coseno di $π - 2 α$ con le regole $cos (π - t) = - cos t$ e $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ :

cos (π - 2 α) = - (2 cos^{2} α - 1) = - (\frac{2}{10} - 1) = \frac{4}{5} = cos γ .

Il coseno di $α$ è positivo, quindi $α$ è acuto e $π - 2 α$ sta tra 0 e $π$ , come $γ$ . Tra 0 e $π$ il coseno prende ogni valore una volta sola. Quindi $γ = π - 2 α$ , cioè $α + β + γ = π$ , come deve essere in un triangolo.

§10

Domande di ripasso

autoverifica

Come cambia la matrice di un prodotto scalare quando cambi base? Da dove viene la formula?

$S^{'} =^{t} M S M$ , dove le colonne di $M$ sono le coordinate dei vettori nuovi nella base vecchia. La casella $(i, j)$ di $S^{'}$ è il prodotto tra i vettori nuovi $i$ e $j$ , calcolato con le loro coordinate: riga $i$ della trasposta di $M$ , per $S$ , per colonna $j$ di $M$ .

Che differenza c'è con la formula di cambiamento di base per le macchine lineari?

Per una macchina lineare si usa $M^{- 1} A M$ , per un prodotto scalare $^{t} M S M$ . Le due formule danno sempre lo stesso risultato solo quando la trasposta di $M$ è anche la sua inversa, cioè quando $M$ è ortogonale (lezione L22).

Che cos'è una forma quadratica? Come si trova la sua matrice?

Un polinomio in cui tutti i pezzi hanno grado 2. La matrice simmetrica che la dà è una sola: sulla diagonale i numeri dei quadrati, ai posti $(i, j)$ e $(j, i)$ metà del numero davanti a $x_{i} x_{j}$ .

Come si legge la definita positività di

g_{S}

sulla forma quadratica?

$g_{S}$ è definito positivo esattamente quando la forma $q_{S} (x) =^{t} x S x$ è positiva per ogni $x$ diverso da zero. Per verificarlo si può completare il quadrato, o per le $2 \times 2$ controllare che il primo numero della diagonale e il determinante siano positivi.

Che cos'è la norma di un vettore? Perché serve un prodotto definito positivo?

È la lunghezza, $∥ v ∥ = ⟨ v, v ⟩$ . Serve che sotto la radice non ci siano numeri negativi, e che solo il vettore nullo abbia lunghezza zero.

Perché

∥ λ v ∥ = ∣ λ ∣ ∥ v ∥

e non

λ ∥ v ∥

Perché $∥ λ v ∥ = λ^{2} ⟨ v, v ⟩$ e la radice di $λ^{2}$ è il valore assoluto di $λ$ . Con $λ = - 1$ : un vettore e il suo opposto sono lunghi uguali.

Enuncia Cauchy–Schwarz e spiega l'idea della dimostrazione.

Il prodotto scalare, preso senza segno, non supera il prodotto delle lunghezze. Per $w$ non nullo si toglie da $v$ la sua parte nella direzione di $w$ : il vettore che resta ha lunghezza al quadrato non negativa, e sviluppando si ottiene $⟨ v, w ⟩^{2} \leq ∥ v ∥^{2} ∥ w ∥^{2}$ .

Come si ricava la disuguaglianza triangolare da Cauchy–Schwarz?

Si sviluppa $∥ v + w ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} + ∥ w ∥^{2} + 2 ⟨ v, w ⟩$ , e con Cauchy–Schwarz il prodotto scalare si maggiora con $∥ v ∥ ∥ w ∥$ . Si ottiene $(∥ v ∥ + ∥ w ∥)^{2}$ ; poi si prende la radice.

Come si definisce la distanza tra due punti? Quali proprietà ha?

È la lunghezza del vettore «arrivo meno partenza», $d (P, Q) = ∥ Q - P ∥$ . È positiva tra punti diversi e zero tra un punto e sé stesso, è simmetrica, e una tappa intermedia non accorcia mai la strada.

Come si definisce l'angolo tra due vettori? Perché la definizione ha senso?

È l'angolo tra 0 e $π$ il cui coseno è il prodotto scalare diviso il prodotto delle lunghezze, per vettori non nulli. Per Cauchy–Schwarz il rapporto sta tra $- 1$ e $1$ , e tra 0 e $π$ il coseno prende ogni valore di quell'intervallo una volta sola.

Come capisci se un angolo è acuto, retto o ottuso senza calcolarlo?

Dal segno del prodotto scalare: positivo acuto, zero retto, negativo ottuso.

Che cos'è la similarità coseno e perché non dipende dalla lunghezza dei vettori?

È il coseno dell'angolo tra due vettori, usato per confrontare embedding. Se allunghi un vettore di un fattore positivo, sopra e sotto la frazione si moltiplicano per lo stesso numero, e il rapporto non cambia.

§11

Glossario

termini

Matrice di cambiamento di base: $M = [id]_{B}^{B^{'}}$ : la colonna $i$ contiene le coordinate del vettore nuovo $v_{i}^{'}$ nella base vecchia $B$ .
Formula $^{t} M S M$: Il legame tra le matrici dello stesso prodotto scalare in due basi: $[g]_{B^{'}} =^{t} M [g]_{B} M$ .
Matrici congruenti: (Termine di Martelli.) Matrici simmetriche legate da $^{t} M S M$ con $M$ invertibile; hanno determinanti dello stesso segno.
Polinomio omogeneo: Un polinomio i cui pezzi hanno tutti lo stesso grado.
Forma quadratica: Un polinomio omogeneo di grado 2; si scrive in un solo modo come $^{t} x S x$ con $S$ simmetrica.
$q_{S}$: La forma quadratica della matrice simmetrica $S$ : il prodotto di $x$ con sé stesso, $g_{S} (x, x)$ .
Norma: La lunghezza di un vettore, $∥ v ∥ = ⟨ v, v ⟩$ , con un prodotto definito positivo.
Norma euclidea: La lunghezza con il prodotto di tutti i giorni, $x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}$ : il teorema di Pitagora.
Vettore unitario: Un vettore lungo 1.
Normalizzare: Dividere un vettore non nullo per la sua lunghezza: si ottiene un vettore lungo 1 con la stessa direzione e lo stesso verso.
Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz: $∣⟨ v, w ⟩∣ \leq ∥ v ∥ ∥ w ∥$ ; vale l'uguaglianza esattamente quando $v$ e $w$ sono paralleli.
Disuguaglianza triangolare: $∥ v + w ∥ \leq ∥ v ∥ + ∥ w ∥$ ; per le distanze, una tappa intermedia non accorcia la strada.
Vettore $P Q$: Il vettore $Q - P$ , che va dal punto $P$ al punto $Q$ .
Distanza: $d (P, Q) = ∥ Q - P ∥$ .
Angolo tra due vettori: L'angolo tra 0 e $π$ con coseno uguale al prodotto scalare diviso il prodotto delle lunghezze.
Arcocoseno: La funzione che a un numero tra $- 1$ e $1$ associa l'angolo tra 0 e $π$ con quel coseno.
Similarità coseno: Il coseno dell'angolo tra due vettori, usato per confrontare embedding; non dipende dalle lunghezze.

Prodotti scalari II

La lezione in 8 punti

La stessa misura in un'altra base

Le forme quadratiche

La lunghezza di un vettore

Le quattro regole delle lunghezze

La distanza tra due punti

L'angolo tra due vettori

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: Pitagora base

2 · Riscaldamento: una distanza base

3 · Riscaldamento: acuto, retto o ottuso? base

4 · Riscaldamento: normalizzare base

5 · Norme e distanze euclidee base

6 · Cinque angoli euclidei base

7 · Forme quadratiche e matrici base

8 · Esercizio 20.13 delle dispense medio

9 · Cambiare base per vedere che un prodotto è definito positivo medio

10 · Cauchy–Schwarz e disuguaglianza triangolare con i numeri medio

11 · Misurare con $S = (2111)$ medio

12 · Angoli tra polinomi medio

13 · Norme, angolo e distanza con un $g_{S}$ su $R^{3}$ tipo esame

14 · Ortogonalità con un parametro tipo esame

15 · Legge del parallelogramma e polarizzazione difficile

16 · Gli angoli di un triangolo nello spazio difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

La lezione in 8 punti

La stessa misura in un'altra base

Le forme quadratiche

La lunghezza di un vettore

Le quattro regole delle lunghezze

La distanza tra due punti

L'angolo tra due vettori

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Altre due domande vere

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: Pitagora base

2 · Riscaldamento: una distanza base

3 · Riscaldamento: acuto, retto o ottuso? base

4 · Riscaldamento: normalizzare base

5 · Norme e distanze euclidee base

6 · Cinque angoli euclidei base

7 · Forme quadratiche e matrici base

8 · Esercizio 20.13 delle dispense medio

9 · Cambiare base per vedere che un prodotto è definito positivo medio

10 · Cauchy–Schwarz e disuguaglianza triangolare con i numeri medio

11 · Misurare con S=(21​11​) medio

12 · Angoli tra polinomi medio

13 · Norme, angolo e distanza con un gS​ su R3 tipo esame

14 · Ortogonalità con un parametro tipo esame

15 · Legge del parallelogramma e polarizzazione difficile

16 · Gli angoli di un triangolo nello spazio difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist

11 · Misurare con $S = (2111)$ medio

13 · Norme, angolo e distanza con un $g_{S}$ su $R^{3}$ tipo esame