Lo spazio euclideo II

Nella lezione L22 hai incontrato un'operazione che esiste solo nello spazio a tre dimensioni: prende due vettori e restituisce un vettore, mentre il prodotto scalare restituisce un numero. In questi appunti, per risparmiare spazio, i vettori che le dispense scrivono in colonna li scriviamo spesso in riga: $(1,2,2)$ vuol dire la colonna ${}^t(1,2,2)$. Ecco la definizione, come nelle dispense.

Come si legge. $v\times w$ si legge «vu vettore vu doppio». In pratica si fa così:

1. scrivi $v$ e $w$ uno accanto all'altro, come due colonne;
2. prima componente: copri la prima riga e calcola il determinante $2\times 2$ che resta;
3. seconda componente: copri la seconda riga, calcola il determinante e cambia segno;
4. terza componente: copri la terza riga e calcola il determinante.

Le dispense ricordano anche una regola per la memoria: un «determinante» con una colonna fatta dei vettori della base. Non è una vera matrice, perché $e_1,e_2,e_3$ non sono numeri:

Dalla lezione L22 servono anche tre fatti:

• il prodotto vettoriale è perpendicolare a tutti e due i fattori (Proposizione 22.15): è il controllo appena fatto;
• è zero esattamente quando i due vettori sono dipendenti, cioè uno è multiplo dell'altro (Proposizione 22.16);
• se i due vettori sono indipendenti, loro due e il loro prodotto vettoriale formano una base dello spazio (Corollario 22.17).

Parti da un caso che si disegna sul foglio. Prendi $v=(3,0,0)$ e $w=(1,2,0)$: stanno tutti e due sul pavimento, il piano $z=0$. Il parallelogramma con lati $v$ e $w$ ha base 3 e altezza 2, quindi area 6.

Ora calcola il prodotto vettoriale. Le righe affiancate sono $(3,1)$, $(0,2)$, $(0,0)$:

Il vettore punta in verticale, perpendicolare al pavimento dove stanno $v$ e $w$, ed è lungo 6: proprio l'area. Non è un caso, ed è quello che dimostra questa sezione.

L'identità di Lagrange

Tutto parte da un'uguaglianza tra tre numeri. Le dispense la scrivono così.

Come si legge. La lunghezza al quadrato del prodotto vettoriale, più il quadrato del prodotto scalare, fa il prodotto delle lunghezze al quadrato. Se conosci due di queste tre cose, trovi la terza. Qui lunghezze e prodotto scalare sono quelli di tutti i giorni (lezione L20).

Dall'identità all'area

Prendi ora due vettori indipendenti. Stanno in un piano, e dentro quel piano c'è il parallelogramma con lati $v$ e $w$: la Figura 8 delle dispense lo disegna con il prodotto vettoriale che esce dal piano. L'area si calcola come base per altezza. Le dispense lo scrivono così.

Come si legge. $P$ è il parallelogramma e $\vartheta$ l'angolo fra $v$ e $w$. Prendi $v$ come base, lunga $\Vert v\Vert$. L'altezza è la distanza della punta di $w$ dalla retta di $v$. Nel triangolo rettangolo con ipotenusa $w$ e angolo $\vartheta$, il cateto opposto all'angolo misura $\Vert w\Vert \sin \vartheta$: è la definizione di seno delle superiori, e il libro di Martelli usa lo stesso argomento. Base per altezza dà la formula. Nel disegno sopra: $3\cdot \sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=6$.

Mettendo insieme le due cose, le dispense ricavano il risultato della sezione.

Come si legge. La lunghezza del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma. «Modulo» qui vuol dire lunghezza.

Il perché, un passaggio alla volta:

1. dalla definizione di angolo (lezione L20), $⟨v,w⟩=\Vert v\Vert \Vert w\Vert \cos \vartheta$;
2. lo metto nell'identità di Lagrange: $\Vert v\times w{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2\Vert w{\Vert }^2(1-{\cos }^2\vartheta )$;
3. siccome ${\sin }^2\vartheta +{\cos }^2\vartheta =1$, viene $\Vert v\times w{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2\Vert w{\Vert }^2{\sin }^2\vartheta$;
4. prendo la radice. Serve che il seno non sia negativo, e infatti l'angolo fra due vettori sta sempre tra 0 e $\pi$, dove il seno non è mai negativo.

Trascina il disegno per girarlo: il parallelogramma giallo ha area $\sqrt{29}$, circa 5,385. Prova poi $v=(2,4,4)$, che è il doppio di $u$: il parallelogramma si schiaccia su un segmento e il prodotto vettoriale diventa nullo (Proposizione 22.16). Infine scambia $u$ e $v$: il prodotto vettoriale si capovolge, come vedrai nella prossima sezione.

Se i due vettori sono dipendenti, il prodotto vettoriale è zero e non c'è altro da dire. Se sono indipendenti, sappiamo già due cose:

• la direzione: il prodotto vettoriale è perpendicolare al piano che contiene i due vettori;
• la lunghezza: è l'area del parallelogramma.

Restano due candidati, opposti: uno «sopra» il piano e uno «sotto». Per scegliere si usa la regola della mano destra (Figura 9 delle dispense). Con la mano destra, metti il pollice lungo il primo vettore e l'indice lungo il secondo: il medio, piegato ad angolo retto rispetto al palmo, indica il verso del prodotto. Nel primo esempio della sezione precedente $v$ puntava a destra, $w$ in alto a destra, e il prodotto $(0,0,6)$ esce dal foglio verso di te.

In formule la regola diventa un determinante. Le dispense lo scrivono così.

Come si legge.

• Una base positiva è una base i cui tre vettori, messi in colonna, danno una matrice con determinante positivo. La scrittura $(u_1\mid u_2\mid u_3)$ indica la matrice con quelle colonne.
• L'esempio tipico è la base canonica: la sua matrice è l'identità, con determinante 1, e infatti $e_1\times e_2=e_3$.
• La regola della mano destra è la traduzione «fisica» di questo determinante positivo.

Dalla definizione seguono due regole, che le dispense elencano subito dopo la Proposizione 23.4.

1. Scambiare i fattori cambia il segno. Per ogni coppia di vettori:

Il motivo: scambiando i due vettori, in ogni componente i due prodotti si scambiano di posto. Per esempio la prima componente diventa $w_2{v}_3-w_3{v}_2=-(v_2{w}_3-v_3{w}_2)$. Con i numeri di prima: $w\times v=(-2,4,-3)$. Una conseguenza: un vettore per sé stesso dà l'opposto di sé stesso, quindi dà zero.

2. Somme e multipli escono fuori. Il prodotto vettoriale si comporta come il prodotto scalare, in ciascuno dei due posti:

Il motivo: ogni componente è una somma di pezzi del tipo «una coordinata del primo per una coordinata del secondo». Un'espressione così rispetta somme e multipli in ciascun vettore, se l'altro resta fisso. Per esempio $(2,4,4)\times (0,3,4)=(16-12,0-8,6-0)=(4,-8,6)$, che è il doppio di $(2,-4,3)$.

I prodotti dei vettori della base canonica, da tenere a mente:

Si legge «riga per colonna»: $e_1\times e_2=e_3$. Girando in avanti nel ciclo $e_1,e_2,e_3,e_1$ il segno è più; all'indietro è meno.

3. Le parentesi contano. Qui c'è la differenza più grande con i prodotti di numeri o di matrici. L'esempio delle dispense:

Stessi tre vettori, parentesi diverse, risultati diversi.

Pensa al pavimento di una stanza, con l'origine in un angolo. È il piano $z=0$, e lo puoi descrivere in due modi:

• con una prova: «un punto sta sul pavimento se la sua altezza $z$ è zero»;
• con una ricetta: «i punti del pavimento sono tutti quelli del tipo $(t,s,0)$, con $t$ e $s$ numeri qualsiasi».

La prima è un'equazione, la seconda usa dei parametri. Le dispense danno un nome alle due scritture.

Come si legge.

• Forma cartesiana: le equazioni, cioè la prova. Descrive il sottospazio dicendo chi ci sta dentro.
• Forma parametrica: i generatori, cioè la ricetta. Descrive il sottospazio dicendo come sono fatti i suoi punti, al variare dei parametri.
• Ogni sottospazio si può scrivere in tutti e due i modi.

L'esempio delle dispense è proprio il pavimento. In forma cartesiana ha l'equazione $z=0$; in forma parametrica è generato da $e_1$ ed $e_2$:

Spesso è più comoda la ricetta, ma dipende da che cosa devi fare:

Prendi una retta del piano che non passa per l'origine. Per esempio la retta $y=x-1$: il punto $(0,0)$ non soddisfa l'equazione. Quindi non è un sottospazio vettoriale, che contiene sempre lo zero. Però è la retta $y=x$ spostata di un passo verso destra: ogni suo punto è $(1,0)$ più un multiplo di $(1,1)$. Tutte le rette e i piani che non passano per l'origine sono fatti così. Le dispense li chiamano con un nome già visto nella lezione L12.

Come si legge. Un sottospazio affine è un sottospazio vettoriale $W$ spostato in modo da passare per il punto $x$. La scrittura $x+W$ si legge «ics più vu doppio».

Le dispense ricordano da dove vengono: le soluzioni di un sistema lineare sono niente, oppure un sottospazio affine. Se c'è almeno una soluzione $x$, tutte le soluzioni sono $x$ più le soluzioni del sistema omogeneo associato. È il sistema con le stesse equazioni e i termini noti uguali a zero, e le sue soluzioni formano un sottospazio vettoriale. È quello che hai fatto nella lezione L12: «una soluzione particolare più le soluzioni dell'omogeneo».

Quando due scritture danno lo stesso insieme

Lo stesso sottospazio affine si può scrivere in molti modi, perché come punto di partenza va bene qualsiasi suo punto. Le dispense dicono quando due scritture coincidono.

Come si legge. Due scritture danno lo stesso insieme esattamente quando valgono due cose:

• la stessa direzione: lo stesso sottospazio vettoriale, anche se scritto con generatori diversi;
• i punti di partenza sullo stesso insieme: il vettore che va da un punto di partenza all'altro è una direzione ammessa.

Ecco l'esempio delle dispense.

Controllo in tre modi:

1. con la Proposizione 23.5: la direzione è la stessa, e $(1,0)-(0,-1)=(1,1)$ sta in $W$;
2. con l'equazione: in $r_1$ il punto $(t+1,t)$ ha $y=t=(t+1)-1=x-1$; in $r_2$ il punto $(u,u-1)$ ha $y=u-1=x-1$;
3. con i parametri: il punto di $r_1$ con parametro $t$ è quello di $r_2$ con parametro $u=t+1$.

Invece la retta $y=x$, cioè $(0,0)+W$, è diversa: $(1,0)-(0,0)=(1,0)$ non è un multiplo di $(1,1)$. È una retta parallela a $r_1$.

La giacitura e la dimensione

Il sottospazio vettoriale da cui si parte ha un nome. Le dispense lo scrivono così.

Come si legge. La giacitura sono le direzioni in cui ci si può muovere restando dentro l'insieme: le differenze tra due suoi punti. Il punto di partenza si può cambiare, la giacitura no (Proposizione 23.5). Una retta spostata ha dimensione 1, un piano spostato dimensione 2.

Anche i sottospazi affini hanno le due forme.

• Ricetta, cioè forma parametrica:
  $$S=x+\mathrm{Span}(v_1,\dots ,v_k)=\{x+t_1{v}_1+\cdots +t_k{v}_k\mid t_1,\dots ,t_k\in \mathbb{R}\},$$
  dove $v_1,\dots ,v_k$ sono una base della giacitura. Allora la dimensione è $k$: un parametro per ogni vettore della base.
• Prova, cioè forma cartesiana: le soluzioni di un sistema $Ax=b$. Per il teorema di Rouché–Capelli (Teorema 12.6) l'insieme non è vuoto esattamente quando $A$ e la matrice completa hanno lo stesso rango. In quel caso la dimensione è il numero delle incognite meno il rango di $A$.

Nello spazio i sottospazi affini sono di quattro tipi. Per Rouché–Capelli, il numero di equazioni indipendenti che servono è 3 meno la dimensione.

• Un piano si descrive con un'equazione $ax+by+cz=d$, con $(a,b,c)$ non nullo, oppure con un punto e due vettori indipendenti che generano la giacitura.
• Una retta si descrive con due equazioni di quel tipo, oppure, più comodamente, con la ricetta $P_0+tv$, con $v$ non nullo: il vettore direzione.

Dalla prova alla ricetta

Si risolve il sistema, per esempio con Gauss (lezione L11): le variabili libere diventano i parametri.

Dalla ricetta alla prova: il trucco del prodotto vettoriale

A volte serve il contrario. Per i piani dello spazio c'è un metodo rapido. Prendi il piano $P_0+t{v}_1+u{v}_2$, con $v_1,v_2$ indipendenti:

1. calcola $v_1\times v_2$: avrà tre numeri $a,b,c$;
2. il piano è $ax+by+cz=d$, per un certo numero $d$;
3. trovi $d$ imponendo che $P_0$ stia sul piano, cioè sostituendo le sue coordinate.

Perché funziona: $n=v_1\times v_2$ è perpendicolare a $v_1$ e a $v_2$ (Proposizione 22.15). Per ogni punto $P=P_0+t{v}_1+u{v}_2$ del piano

quindi tutti i punti del piano soddisfano la stessa equazione, con $d=⟨n,P_0⟩$. E $n$ non è zero, perché $v_1$ e $v_2$ sono indipendenti (Proposizione 22.16).

Ecco l'esempio delle dispense.

I conti del prodotto vettoriale, riga per riga, con le righe affiancate $(1,2)$, $(0,-1)$, $(1,0)$:

• prima componente, copro la prima riga: $0\cdot 0-(-1)\cdot 1=1$;
• seconda, copro la seconda riga: $1\cdot 0-2\cdot 1=-2$, e cambio segno: $2$;
• terza, copro la terza riga: $1\cdot (-1)-2\cdot 0=-1$.

Controllo finale con un altro punto del piano, per esempio con $t=s=1$: $P=(1+1+2,2+0-1,-3+1+0)=(4,1,-2)$, e $4+2\cdot 1-(-2)=8$.

Nota una cosa: nell'esempio precedente, con la stessa equazione, avevamo trovato un'altra ricetta, $(0,0,-8)+s(1,0,1)+t(0,1,2)$. Nessuna contraddizione, per la Proposizione 23.5. Le giaciture coincidono, perché $(2,-1,0)=2(1,0,1)-(0,1,2)$. E la differenza dei punti di partenza, $(1,2,-3)-(0,0,-8)=(1,2,5)=(1,0,1)+2(0,1,2)$, sta nella giacitura.

Il piano viola è $x+2y-z=8$ e la freccia $n$ è il vettore normale $(1,2,-1)$. Il punto $P=(4,1,-2)$ sta sul piano: lo strumento dice che la sua distanza dal piano è 0. Prova a cambiare $d$, per esempio con $x+2y-z=0$: il piano si sposta parallelo a sé stesso, perché la giacitura non cambia. La distanza di un punto da un piano la studierai nella lezione L24.

Due sottospazi vettoriali si incontrano sempre, almeno nell'origine. Due sottospazi affini no: i piani $x+y+z=1$ e $x+y+z=2$ non hanno punti in comune, perché nessun punto può avere $x+y+z$ uguale a 1 e a 2 nello stesso momento. Le dispense danno un nome a quelli che si incontrano.

Come si legge. Incidenti vuol dire che hanno almeno un punto in comune. $S\cap S^{\prime }$ si legge «esse intersecato esse primo».

Se si incontrano, prendi un punto $x$ comune e scrivi tutti e due a partire da lì: $S=x+W$ e $S^{\prime }=x+W^{\prime }$, come permette la Definizione 23.7. Un punto $y$ sta in tutti e due esattamente quando $y-x$ sta sia in $W$ sia in $W^{\prime }$. Quindi

In particolare l'intersezione, se non è vuota, è sempre un sottospazio affine, con giacitura $W\cap W^{\prime }$.

Tre casi, tre conti

Il conto dipende da come sono scritti i due insiemi. L'Esempio 23.9 delle dispense mostra i tre casi; li svolgiamo fino in fondo.

Due prove: un punto sta in tutti e due se le supera entrambe. Le dispense si fermano al sistema; risolviamolo. Dalla prima $x=1-y$. Sostituisco nella seconda: $1-y-y+z=3$, cioè $z=2+2y$. Con $y=t$:

È una retta. Controllo: $(1,0,2)$ soddisfa $1+0=1$ e $1-0+2=3$. La direzione $(-1,1,2)$ soddisfa le equazioni con zero a destra: $-1+1=0$ e $-1-1+2=0$.

Una ricetta e una prova: si mettono i punti della ricetta dentro la prova, e si guarda quali la superano. Il punto viene da $t=\frac{1}{2}$: $\left(1+\frac{1}{2},-1+1,1-\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},0,-\frac{1}{2}\right)$. Controllo nel piano: $\frac{3}{2}+0+\frac{1}{2}=2$. Attenzione al segno: $-(1-3t)=-1+3t$.

Due ricette: si cerca un punto che esca da tutte e due. Un esempio nostro: $r=(1,0,1)+t(1,1,0)$ e $r^{\prime }=(0,3,-1)+s(1,-1,1)$. Uguagliando le coordinate:

Dalla terza $s=2$; dalla prima $t=s-1=1$; la seconda va controllata: $t=1$ e $3-s=1$, torna. Le rette si incontrano nel punto $(2,1,1)$, che si ottiene sia con $t=1$ sulla prima sia con $s=2$ sulla seconda.

Con la calcolatrice qui sotto puoi rifare il primo caso: la matrice completa del sistema ha righe $(1,1,0\mid 1)$ e $(1,-1,1\mid 3)$. Lo strumento riduce con Gauss e scrive le soluzioni con un parametro.

Lo strumento sceglie come parametro la terza incognita e trova $(2,-1,0)+t\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$. Sembra un risultato diverso dal nostro, ma è la stessa retta, per la Proposizione 23.5: la direzione è metà di $(-1,1,2)$, e $(2,-1,0)-(1,0,2)=(1,-1,-2)$ sta nella giacitura.

Quando si incontrano di sicuro

L'ultima proposizione della lezione dà una condizione sulle giaciture che garantisce l'incontro. Le dispense la scrivono così.

Come si legge.

• La somma delle giaciture (lezione L07) raccoglie tutti i vettori ottenuti muovendosi prima in una direzione del primo insieme e poi in una del secondo.
• L'ipotesi dice che, combinando le due mosse, si raggiunge qualsiasi punto dello spazio.
• La conclusione: i due insiemi si incontrano. Non dice dove: per quello bisogna fare i conti.

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Che cosa di questa lezione compare negli appelli 2023–2026. Le intersezioni sono tra gli argomenti più frequenti in assoluto:

• quiz sull'intersezione tra una retta e un piano: appelli del 07/02/2025 (domanda 10) e del 03/07/2026 (domanda 8). Le risposte proposte sono sempre del tipo «un punto», «tutta la retta», «tutto il piano», «vuota»;
• quiz sull'intersezione di due rette date con la ricetta: appelli del 03/06/2025 e del 10/07/2025, domanda 10 in tutti e due;
• problemi aperti: scrivere la retta in cui si incontrano due piani come «punto più Span» (24/01/2024, 10/07/2024, 06/09/2024, 15/01/2026); dimostrare che una retta e un piano si incontrano (24/01/2024, 10/07/2024); trovare l'intersezione di tre piani (06/09/2024, 15/01/2026); piani o rette che dipendono da un parametro (03/06/2025, 02/09/2025).

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 07/02/2025, domanda 10. Il testo: «L'intersezione della retta $r={}^t(2,-2,0)+s{}^t(1,-2,1)$ con il piano $\pi =\{2x-2y+z=1\}$ è: (a) tutto il piano; (b) $P={}^t(-1,-1,1)$; (c) $P={}^t(1,0,-1)$; (d) non hanno un'intersezione; (e) tutta la retta».

In pratica chiede: una ricetta e una prova. Quali punti della retta superano la prova del piano?