Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · Lezione L24

Lo spazio euclideo III

Quando due rette o due piani si incontrano si misura l'angolo che formano; quando non si incontrano si misura quanto sono lontani. La strada più corta tra due oggetti è sempre quella perpendicolare: da questa idea vengono tutte le formule della lezione, che all'esame diventano conti di poche righe.

Dispense: lezione 24 · pp. 122–128
Libro: Martelli, §9.2.9, §9.2.10 e §8.1
Docenti: Reto Buzano e Marco Radeschi · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 2–3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La lezione in 7 punti

Se due rette o piani si incontrano se ne misura l'angolo; se non si incontrano, la distanza.
Angolo tra due rette che si incrociano: è l'angolo tra le loro direzioni. Dei due angoli possibili si prende sempre quello acuto o retto.
Angolo tra una retta e un piano: è l'angolo tra la retta e la sua ombra sul piano. Più in fretta, si calcola con il vettore normale: i due angoli sommano a un angolo retto.
Angolo tra due piani: è l'angolo acuto tra i loro vettori normali.
La distanza è sempre la lunghezza del segmento più corto, che è quello perpendicolare.
Punto e retta: area del parallelogramma divisa per la base. Rette sghembe: volume del parallelepipedo diviso per l'area della base. Punto e piano: una formula con l'equazione del piano.
All'esame non c'è la calcolatrice: gli angoli si lasciano come $arccos \frac{1}{3}$ , le distanze come $\frac{2}{7} 133$ , e vanno riconosciuti i valori notevoli.

Canali A, B e C

Le dispense di Algebra lineare e Geometria sono le stesse per i canali A, B e C (Buzano insegna nei canali A e B, Radeschi nei canali B e C), quindi questi appunti valgono per tutti e tre. Cambiano solo i giorni delle lezioni: gli avvisi sono sulla pagina Moodle del corso (MDAG2, id 3831). Esame e quiz sono comuni.

§1

Angoli e distanze: l'idea

p. 122

Pensa a due strade. Se si incrociano, la domanda naturale è: con che angolo? Se invece una passa su un cavalcavia sopra l'altra, non si toccano, ma non sono nemmeno parallele: la domanda naturale è quanto sono lontane, cioè l'altezza del cavalcavia. Nello spazio le rette del cavalcavia si chiamano sghembe.

La lezione L23 ha chiamato incidenti due sottospazi affini che si incontrano. Le dispense aprono la lezione 24 così: per due sottospazi incidenti si studia l'angolo, per due sottospazi che non si incontrano la distanza.

Coppia	Se si incontrano	Se non si incontrano
due rette	angolo (Definizione 24.1)	distanza (Definizione 24.13)
retta e piano	angolo (Definizione 24.2)	distanza (oltre le dispense: vedi la sezione sul piano)
due piani	angolo diedrale (Definizione 24.6)	distanza (oltre le dispense)
un punto e una retta o un piano	distanza zero	distanza (Definizioni 24.10 e 24.16)

Tutto si basa sul prodotto scalare di tutti i giorni e sulla lezione L20. In particolare l'angolo tra due vettori non nulli è l'angolo tra 0 e $π$ il cui coseno è il prodotto scalare diviso il prodotto delle lunghezze (Definizione 20.12):

cos ϑ = \frac{⟨ v , w ⟩}{∥ v ∥ ∥ w ∥} .

L'angolo è acuto, retto o ottuso a seconda che il prodotto scalare sia positivo, zero o negativo.

Senza calcolatrice, questi valori vanno riconosciuti al volo:

Angolo $ϑ$	In gradi	$cos ϑ$	$sin ϑ$
$0$	$0^{\circ}$	$1$	$0$
$\frac{π}{6}$	$3 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{π}{4}$	$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2} = \frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$
$\frac{π}{3}$	$6 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$\frac{π}{2}$	$9 0^{\circ}$	$0$	$1$
$\frac{2 π}{3}$	$12 0^{\circ}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$\frac{3 π}{4}$	$13 5^{\circ}$	$- \frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$
$π$	$18 0^{\circ}$	$- 1$	$0$

La colonna del seno serve per la scorciatoia dell'angolo tra una retta e un piano, più avanti. Per gli altri valori la risposta resta scritta con l'arcocoseno: nei quiz d'esame compaiono proprio risposte come $arccos \frac{1}{3}$ o $arccos \frac{6}{42}$ .

Prova tu

Due rette dello spazio hanno la stessa direzione e nessun punto in comune. Si calcola l'angolo o la distanza?

La distanza: non si incontrano. Sono due rette parallele.

Da ricordare

Si incontrano: angolo. Non si incontrano: distanza.
Tieni a mente i coseni degli angoli notevoli; gli altri angoli si lasciano con l'arcocoseno.

§2

L'angolo tra due rette

p. 122

Le dispense trattano tre casi: due rette, una retta e un piano, due piani. Il primo è il più diretto: si guarda l'angolo tra le direzioni.

Definizione 24.1 · Angolo tra rette

Siano $r$ e $r^{'}$ due rette in $R^{3}$ che si intersecano in un punto $P$ . Abbiamo $r = P + Span (v)$ e $r^{'} = P + Span (v^{'})$ , e definiamo l'angolo fra $r$ e $r^{'}$ come l'angolo $ϑ$ formato da $v$ e $v^{'}$ .

Come si legge.

Le rette devono incontrarsi in un punto $P$ : per due rette sghembe questa definizione non si applica.
$v$ e $v^{'}$ sono i vettori direzione delle due rette.
Due rette che si incrociano formano due angoli, $ϑ$ e $π - ϑ$ : girare $v$ nel verso opposto rende ottuso un angolo acuto. Le dispense scelgono sempre quello acuto o retto.

Siccome $cos (π - ϑ) = - cos ϑ$ , scegliere l'angolo acuto vuol dire togliere il segno al prodotto scalare:

cos ϑ = \frac{∣⟨ v , v ^{'} ⟩∣}{∥ v ∥ ∥ v ^{'} ∥} .

r

r^{'}

v

v^{'}

ϑ

π - ϑ

P

Due rette incidenti formano due angoli,

ϑ

π - ϑ

: si sceglie quello acuto

Esempio · Due rette che formano un angolo di $\frac{π}{3}$

Le rette $r = (1, 0, 0) + t (1, 1, 0)$ e $r^{'} = (1, 0, 0) + s (0, 1, 1)$ passano tutte e due per $P = (1, 0, 0)$ . Con $v = (1, 1, 0)$ e $v^{'} = (0, 1, 1)$ :

il prodotto scalare è $0 + 1 + 0 = 1$ ;
le lunghezze sono $2$ e $2$ ;
il coseno è $\frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ , quindi l'angolo è $\frac{π}{3}$ , cioè 60°.

Esempio · Quando il conto dà un angolo ottuso

Le rette per l'origine con direzioni $v = (1, 0, 0)$ e $v^{'} = (- 1, 1, 0)$ : il coseno è $\frac{- 1}{1 \cdot 2} = - \frac{2}{2}$ , cioè $\frac{3 π}{4}$ , ottuso. L'angolo tra le rette è $π - \frac{3 π}{4} = \frac{π}{4}$ : lo stesso che si ottiene togliendo il segno, $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .

Trappola · Angolo tra vettori e angolo tra rette

Tra due vettori l'angolo può essere ottuso. Tra due rette no: il risultato sta tra 0 e $\frac{π}{2}$ . Se trovi un coseno negativo, stai guardando l'angolo tra i vettori: togli il segno meno.

Prova tu

Che angolo formano due rette che si incontrano, con direzioni

(1, 1, 0)

(0, 0, 1)

Il prodotto scalare è 0: l'angolo è retto, $\frac{π}{2}$ .

Da ricordare

Angolo tra rette = angolo tra le direzioni, con il prodotto scalare senza segno.
Il risultato è sempre acuto o retto.

§3

L'angolo tra una retta e un piano

pp. 122–124

Immagina un'asta piantata storta nel pavimento. L'angolo con il pavimento si misura guardando l'ombra dell'asta quando il sole è esattamente sopra. L'ombra è la proiezione ortogonale dell'asta sul pavimento (lezione L21), e l'angolo cercato è quello tra l'asta e la sua ombra. Le dispense lo scrivono così.

Definizione 24.2 · Angolo tra retta e piano

Siano $r$ una retta e $π$ un piano che si intersecano in un punto $P$ . Definiamo l'angolo $ϑ$ fra $r$ e $π$ nel modo seguente. Trasliamo l'origine in modo che $P = 0$ . A questo punto $π$ è un sottospazio vettoriale e definiamo il vettore $v^{'} = p_{π} (v)$ facendo la proiezione ortogonale di $v$ su $π$ . Se $v^{'} = 0$ poniamo $ϑ = \frac{π}{2}$ , altrimenti definiamo $ϑ$ come l'angolo fra $v$ e $v^{'}$ .

Come si legge.

$v$ è la direzione della retta.
«Spostiamo l'origine nel punto d'incontro» serve solo a far passare il piano per l'origine, così si può proiettare. In pratica si usa la giacitura del piano.
$p_{π} (v)$ è l'ombra di $v$ sul piano.
Se l'ombra è nulla, l'asta è verticale: l'angolo è retto.

L'angolo così è sempre acuto o retto. Il resto $v - p_{π} (v)$ è perpendicolare all'ombra, quindi il prodotto scalare tra $v$ e la sua ombra è la lunghezza al quadrato dell'ombra, mai negativa.

Per calcolare l'ombra, le dispense ricordano la formula della lezione L21: con una base ortogonale $v_{1}, v_{2}$ del piano, che si trova sempre con Gram–Schmidt,

p_{π} (v) = \frac{⟨ v , v _{1} ⟩}{⟨ v _{1} , v _{1} ⟩} v_{1} + \frac{⟨ v , v _{2} ⟩}{⟨ v _{2} , v _{2} ⟩} v_{2} .

Ecco l'esempio delle dispense.

Esempio 24.3

Prendiamo $π = {x + y - z = 0} \subset R^{3}$ e il vettore $e_{3}$ . Cerchiamo prima una base ortogonale per $π$ e troviamo ad esempio

v_{1} = 112, v_{2} = 1 - 1 0 .

A questo punto determiniamo la proiezione ortogonale su $π$ di un generico vettore di $R^{3}$ con la formula precedente:

p_{π} x y z = \frac{x + y + 2 z}{6} 112 + \frac{x - y}{2} 1 - 1 0 = \frac{1}{3} 2 x - y + z - x + 2 y + z x + y + 2 z .

Quindi la matrice associata a $p_{π}$ nella base canonica è

\frac{1}{3} 2 - 1 1 - 1 21 112 .

Con questa matrice possiamo calcolare la proiezione ortogonale su $π$ di qualsiasi vettore di $R^{3}$ . In particolare $p_{π} (e_{3}) = \frac{1}{3} (1, 1, 2)$ , e allora l'angolo fra $e_{3}$ e $π$ è

ϑ = arccos \frac{⟨( 1 , 1 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 )⟩}{∥( 1 , 1 , 2 )∥ ∥( 0 , 0 , 1 )∥} = arccos \frac{2}{6} = arccos \frac{6}{3} ≃ 0, 615,

che corrisponde a un angolo di circa $35, 3^{\circ}$ .

Esempio · i passaggi dell'Esempio 24.3

Da dove viene la base ortogonale. Un primo vettore del piano si trova a occhio: $v_{2} = (1, - 1, 0)$ , perché $1 - 1 - 0 = 0$ . Il secondo deve stare nel piano ed essere perpendicolare a $v_{2}$ . Il prodotto vettoriale tra la normale $n = (1, 1, - 1)$ e $v_{2}$ fa proprio questo: dà $(- 1, - 1, - 2)$ , cioè, cambiando segno, $v_{1} = (1, 1, 2)$ . Controllo: $1 + 1 - 2 = 0$ e $⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = 1 - 1 + 0 = 0$ .
I numeri davanti. $⟨(x, y, z), v_{1} ⟩ = x + y + 2 z$ e $⟨ v_{1}, v_{1} ⟩ = 6$ ; $⟨(x, y, z), v_{2} ⟩ = x - y$ e $⟨ v_{2}, v_{2} ⟩ = 2$ .
La somma. Prima componente:
$\frac{x + y + 2 z}{6} + \frac{x - y}{2} = \frac{x + y + 2 z + 3 x - 3 y}{6} = \frac{4 x - 2 y + 2 z}{6} = \frac{2 x - y + z}{3} .$
Allo stesso modo le altre due.
L'angolo. L'ombra di $e_{3}$ è la terza colonna della matrice, $\frac{1}{3} (1, 1, 2)$ . Il fattore $\frac{1}{3}$ non cambia gli angoli. $⟨(1, 1, 2), e_{3} ⟩ = 2$ , la lunghezza di $(1, 1, 2)$ è $6$ e quella di $e_{3}$ è 1. Infine $\frac{2}{6} = \frac{2 6}{6} = \frac{6}{3}$ .

Con la calcolatrice di Gauss puoi rifare il punto 1 con Gram–Schmidt: le righe sono due vettori qualsiasi del piano, $(1, - 1, 0)$ e $(1, 0, 1)$ . Controlla che soddisfano $x + y - z = 0$ . Lo strumento trova $u_{2} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1)$ e nella base finale lo riscrive senza frazioni come $(1, 1, 2)$ : è proprio il $v_{1}$ delle dispense.

La scorciatoia del vettore normale

Il piano ha una direzione speciale che non sta dentro di lui: quella del vettore normale. L'angolo con il piano e l'angolo con la normale, insieme, fanno un angolo retto. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 24.4

L'angolo fra $v$ e il piano $π$ e l'angolo fra $v$ e il vettore ortogonale a $π$ che forma un angolo acuto con $v$ si sommano a $\frac{π}{2}$ .

Come si legge. Se l'asta forma 30° con il pavimento, forma 60° con la verticale. Si usa la normale che forma un angolo acuto con l'asta, cioè quella che punta dalla stessa parte.

π

n

v

p_{π} (v)

ϑ

α

Vista di taglio: il piano

π

è la retta viola,

n

gli è ortogonale;

ϑ

(fra

v

e la sua ombra) e

α

(fra

v

n

) sommano a un angolo retto

Dimostrazione · della Proposizione 24.4 (oltre le dispense)

Spezzo $v = p + q$ , con $p$ l'ombra sul piano e $q = v - p$ parallelo alla normale (lezione L21). Scelgo la normale $n$ che forma un angolo acuto con $v$ : allora $q$ punta come $n$ .
$cos ϑ = \frac{⟨ v , p ⟩}{∥ v ∥ ∥ p ∥} = \frac{∥ p ∥ ^{2}}{∥ v ∥ ∥ p ∥} = \frac{∥ p ∥}{∥ v ∥}$ , perché $⟨ v, p ⟩ = ⟨ p + q, p ⟩ = ∥ p ∥^{2}$ .
Allo stesso modo, con $α$ l'angolo tra $v$ e $n$ : $cos α = \frac{∥ q ∥}{∥ v ∥}$ , perché $⟨ v, n ⟩ = ⟨ q, n ⟩ = ∥ q ∥ ∥ n ∥$ .
Per Pitagora $∥ p ∥^{2} + ∥ q ∥^{2} = ∥ v ∥^{2}$ , quindi $cos^{2} ϑ + cos^{2} α = 1$ , cioè $cos α = sin ϑ$ . Due angoli acuti con $cos α = sin ϑ$ sommano a un angolo retto.

Le dispense rifanno così l'esempio di prima.

Esempio 24.5

Nell'esempio di prima possiamo calcolare l'angolo $ϑ$ anche come $\frac{π}{2} - α$ , dove $α$ è l'angolo fra $e_{3}$ e il vettore $n = (- 1, - 1, 1)$ , che è ortogonale a $π$ . Allora

ϑ = \frac{π}{2} - arccos \frac{⟨( - 1 , - 1 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1 )⟩}{∥( - 1 , - 1 , 1 )∥ ∥( 0 , 0 , 1 )∥} = \frac{π}{2} - arccos \frac{1}{3} ≃ 1, 570 - 0, 955 = 0, 615.

Otteniamo lo stesso risultato.

Perché $(- 1, - 1, 1)$ e non $(1, 1, - 1)$ , che è il vettore dei numeri dell'equazione? Perché la proposizione chiede la normale che forma un angolo acuto con $e_{3}$ : con $(1, 1, - 1)$ il prodotto scalare è $- 1$ , con $(- 1, - 1, 1)$ è $1$ . Togliendo il segno al prodotto scalare il problema sparisce.

Oltre le dispense · Due formule senza Gram–Schmidt

L'ombra su un piano. Se $n$ è un vettore normale del piano, l'ombra di $v$ è $v$ meno la sua ombra sulla normale:

p_{π} (v) = v - \frac{⟨ v , n ⟩}{⟨ n , n ⟩} n .

Nell'Esempio 24.3: $e_{3} - \frac{- 1}{3} (1, 1, - 1) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} (1, 1, 2)$ , come prima.

L'angolo tra retta e piano in una riga. Dalla Proposizione 24.4 e dal punto 4 della dimostrazione:

sin ϑ = \frac{∣⟨ v , n ⟩∣}{∥ v ∥ ∥ n ∥} .

Nell'Esempio 24.3: $sin ϑ = \frac{1}{1 \cdot 3}$ , quindi $ϑ = arcsin \frac{1}{3}$ . È lo stesso angolo di $arccos \frac{6}{3}$ , perché $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ .

Metodo · L'angolo tra una retta e un piano

Controlla che si incontrino: se la retta è parallela al piano, l'angolo non è definito.
Prendi la direzione $v$ della retta e un vettore normale $n$ del piano: i numeri dell'equazione, oppure il prodotto vettoriale dei due vettori della ricetta.
Metodo delle dispense: calcola l'ombra $p_{π} (v)$ e poi l'angolo tra $v$ e l'ombra. Metodo veloce: $sin ϑ = \frac{∣⟨ v , n ⟩∣}{∥ v ∥ ∥ n ∥}$ .
Se $⟨ v, n ⟩ = 0$ la retta è parallela al piano, o ci sta dentro. Se $v$ è proporzionale a $n$ l'angolo è retto.

Prova tu

Che angolo forma la retta

t (1, 0, 1)

con il pavimento

z = 0

La normale è $(0, 0, 1)$ : $sin ϑ = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2}$ , quindi l'angolo è $\frac{π}{4}$ .

Da ricordare

Angolo retta–piano = angolo tra la direzione e la sua ombra sul piano.
Scorciatoia: il seno dell'angolo è il coseno dell'angolo con la normale, senza segno.

§4

L'angolo tra due piani

p. 124

Apri un libro a metà: le due metà della copertina sono due piani che si incontrano nella retta della costola. L'apertura del libro si misura guardando dall'alto, cioè tagliando con un piano perpendicolare alla costola: il taglio è fatto di due segmenti, e l'angolo tra quei segmenti è l'apertura. Le dispense lo scrivono così.

Definizione 24.6 · Angolo tra piani

Siano $π_{1}$ e $π_{2}$ due piani che si intersecano in una retta $r = π_{1} \cap π_{2}$ . L'angolo (diedrale) fra $π_{1}$ e $π_{2}$ è definito nel modo seguente: si prendono due rette $s_{1} \subset π_{1}$ e $s_{2} \subset π_{2}$ incidenti ed entrambe ortogonali a $r$ ; l'angolo diedrale fra $π_{1}$ e $π_{2}$ è per definizione l'angolo $α$ fra $s_{1}$ e $s_{2}$ . Si ottengono in realtà due angoli $α$ e $π - α$ , e scegliamo come sempre quello acuto (o retto).

Come si legge. «Diedrale» vuol dire «tra due facce». Si prende in ciascun piano una retta perpendicolare alla costola, e si misura l'angolo tra queste due rette.

La definizione è chiara nel disegno ma scomoda nei conti. Le dispense la trasformano in un conto con i vettori normali.

Proposizione 24.7

Siano $v_{1}$ e $v_{2}$ due vettori non nulli ortogonali a $π_{1}$ e $π_{2}$ . L'angolo $α$ fra $π_{1}$ e $π_{2}$ è uguale all'angolo acuto (o retto) fra le rette generate da $v_{1}$ e $v_{2}$ .

Come si legge. Per misurare l'apertura del libro basta misurare l'angolo tra le due frecce perpendicolari alle copertine.

L'idea · Perché si possono usare le normali

Guarda tutto nel piano del taglio, perpendicolare alla costola. Lì dentro stanno le due rette della definizione, e stanno anche le due normali, che sono perpendicolari alla costola perché la costola sta in tutti e due i piani. In quel piano ogni normale è perpendicolare alla retta della sua copertina: girare due rette di un angolo retto non cambia l'angolo tra loro. Il libro di Martelli lascia questo fatto come esercizio (Esercizio 9.2.34).

Quindi per due piani $π_{1} = {a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1}}$ e $π_{2} = {a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}}$ l'angolo diedrale si calcola con i vettori dei numeri delle due equazioni:

cos α = \frac{∣ a _{1} a _{2} + b _{1} b _{2} + c _{1} c _{2} ∣}{a _{1}^{2} + b _{1}^{2} + c _{1}^{2} a _{2}^{2} + b _{2}^{2} + c _{2}^{2}} .

Esempio 24.8

I piani $π_{1} = {x + y - z = 3}$ e $π_{2} = {x - y - z = 9}$ formano un angolo

ϑ = arccos \frac{⟨( 1 , 1 , - 1 ) , ( 1 , - 1 , - 1 )⟩}{∥( 1 , 1 , - 1 )∥ ∥( 1 , - 1 , - 1 )∥} = arccos \frac{1}{3 3} = arccos \frac{1}{3} ≃ 1, 230.

Questo corrisponde a un angolo di circa $70, 5^{\circ}$ .

I conti: il prodotto scalare è $1 - 1 + 1 = 1$ , e le due lunghezze sono $3$ . Il coseno $\frac{1}{3}$ non è un valore notevole: la risposta si lascia come $arccos \frac{1}{3}$ . Nota che i numeri a destra, 3 e 9, non servono: l'angolo dipende solo dalle giaciture.

Esempio · Due piani perpendicolari

I due piani dell'Esempio 23.9, ${x + y = 1}$ e ${x - y + z = 3}$ , hanno normali $(1, 1, 0)$ e $(1, - 1, 1)$ , con prodotto scalare $1 - 1 + 0 = 0$ : il coseno è zero e i piani sono perpendicolari.

Trappola · Normali proporzionali

Se le normali sono proporzionali, per esempio $(1, 2, - 1)$ e $(- 2, - 4, 2)$ , il conto darebbe coseno 1: i piani sono paralleli, e non si incontrano oppure coincidono. Non ha senso parlare di angolo diedrale: si calcola la distanza.

Prova tu

Che angolo formano i piani

x = 0

y = 0

Le normali $(1, 0, 0)$ e $(0, 1, 0)$ hanno prodotto scalare zero: l'angolo è retto.

Da ricordare

Angolo tra due piani = angolo acuto tra i vettori normali.
I numeri a destra delle equazioni non contano.

§5

La distanza da una retta

pp. 124–126

Le dispense definiscono la distanza tra due sottospazi affini dello spazio. Se si incontrano la distanza è zero; se non si incontrano è positiva, e si definisce caso per caso. L'idea è sempre la stessa: si cerca il segmento più corto che li collega, ed è sempre quello perpendicolare. Per due punti, la distanza è quella della lezione L20.

Definizione 24.9 · Distanza fra punti

Come già sappiamo, la distanza $d (P, Q)$ fra due punti $P, Q \in R^{3}$ è definita usando la norma:

d (P, Q) = ∥ P Q ∥ = ∥ Q - P ∥ .

Come si legge. La distanza tra due punti è la lunghezza del vettore che va dall'uno all'altro. Per esempio da $(1, 2, 3)$ a $(3, 1, 1)$ il vettore è $(2, - 1, - 2)$ , lungo $4 + 1 + 4 = 3$ .

Per un punto e una retta si scende in perpendicolare. Le dispense lo scrivono così.

Definizione 24.10 · Distanza fra punto e retta

La distanza $d (P, r)$ fra un punto $P$ e una retta $r$ nello spazio è definita nel modo seguente. Tracciamo (Figura 10 delle dispense) la perpendicolare $s$ a $r$ passante per $P$ e definiamo

d (P, r) = d (P, Q), dove Q = r \cap s .

Come si legge. Da $P$ si scende sulla retta in perpendicolare: il punto d'arrivo $Q$ si chiama piede della perpendicolare, ed è il punto della retta più vicino a $P$ . La distanza è la lunghezza di quel segmento.

Se la retta è data con la ricetta $P_{0} + t v_{0}$ , la distanza si calcola senza cercare $Q$ , con il prodotto vettoriale. Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 24.11

Vale l'uguaglianza

d (P, r) = \frac{∥ v _{0} \times v _{1} ∥}{∥ v _{0} ∥}, dove v_{1} = P_{0} P = P - P_{0} .

Come si legge. La distanza è l'area di un parallelogramma divisa per la sua base. La dimostrazione delle dispense calcola la stessa area in due modi.

Prendi il parallelogramma con un lato lungo la retta, $v_{0}$ , e l'altro che va da $P_{0}$ a $P$ , $v_{1}$ .
Per il Corollario 23.3 la sua area è la lunghezza di $v_{0} \times v_{1}$ .
Come base per altezza: la base è la lunghezza di $v_{0}$ , e l'altezza è proprio la distanza di $P$ dalla retta.
Uguagliando e dividendo per la base si ottiene la formula.

1234123xy

r

v_{0}

v_{1}

P_{0}

P

Q

d (P, r)

Il parallelogramma con lati

v_{0}

v_{1} = P - P_{0}

: la sua altezza è la distanza di

P

dalla retta

r

Ecco l'esempio delle dispense.

Esempio 24.12

Prendiamo il punto e la retta

P = 1 - 2 3, r = ⎩ ⎨ ⎧ - 1 01 + t 321 ⎭ ⎬ ⎫ .

La distanza fra $P$ e $r$ è

d (P, r) = \frac{∥ ( 3 , 2 , 1 ) \times ( 2 , - 2 , 2 ) ∥}{∥( 3 , 2 , 1 )∥} = \frac{∥( 6 , - 4 , - 10 )∥}{14} = \frac{2 38}{14} = \frac{2}{7} 133 .

Esempio · i passaggi dell'Esempio 24.12

$P_{0} = (- 1, 0, 1)$ e $v_{0} = (3, 2, 1)$ ; $v_{1} = P - P_{0} = (1 - (- 1), - 2 - 0, 3 - 1) = (2, - 2, 2)$ .
Prodotto vettoriale, con le righe affiancate $(3, 2)$ , $(2, - 2)$ , $(1, 2)$ : $(2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 2), - (3 \cdot 2 - 1 \cdot 2), 3 \cdot (- 2) - 2 \cdot 2) = (6, - 4, - 10)$ .
La sua lunghezza è $36 + 16 + 100 = 152 = 238$ ; quella di $v_{0}$ è $9 + 4 + 1 = 14$ .
Semplifico: $\frac{2 38}{14} = 2 \frac{19}{7} = \frac{2 19 7}{7} = \frac{2 133}{7}$ .

Oltre le dispense · Il piede della perpendicolare, e un controllo

Il punto $Q$ si trova proiettando $v_{1}$ sulla retta (lezione L21):

Q = P_{0} + \frac{⟨ v _{1} , v _{0} ⟩}{⟨ v _{0} , v _{0} ⟩} v_{0} .

Nell'Esempio 24.12: $⟨ v_{1}, v_{0} ⟩ = 6 - 4 + 2 = 4$ e $⟨ v_{0}, v_{0} ⟩ = 14$ , quindi $Q = (- 1, 0, 1) + \frac{2}{7} (3, 2, 1) = (- \frac{1}{7}, \frac{4}{7}, \frac{9}{7})$ . Allora $P - Q = (\frac{8}{7}, - \frac{18}{7}, \frac{12}{7})$ , lungo $\frac{532}{7} = \frac{2 133}{7}$ : la stessa distanza. Controllo che $P - Q$ sia perpendicolare alla retta: $\frac{24 - 36 + 12}{7} = 0$ .

Trappola · Si divide per la lunghezza, non per il suo quadrato

Nella formula c'è la lunghezza di $v_{0}$ al denominatore, non il suo quadrato, che compare invece nella proiezione. E il vettore $v_{1}$ va da un punto della retta al punto $P$ : usare $P$ al posto di $P - P_{0}$ dà un risultato sbagliato, a meno che la retta passi per l'origine.

Prova tu

Quanto dista il punto

(0, 0, 5)

dall'asse

x

Il piede è l'origine: la distanza è 5. Con la formula: $(1, 0, 0) \times (0, 0, 5) = (0, - 5, 0)$ , lungo 5, diviso per 1.

Da ricordare

La distanza è la lunghezza del segmento perpendicolare.
Punto e retta: $\frac{∥ v _{0} \times ( P - P _{0} )∥}{∥ v _{0} ∥}$ , area diviso base.

§6

La distanza tra due rette

pp. 126–127

Due rette che non si incontrano sono parallele oppure sghembe. In tutti e due i casi c'è una retta che le taglia perpendicolarmente tutte e due: il «pilone» del cavalcavia. Le dispense lo scrivono così.

Definizione 24.13 · Distanza fra rette

La distanza $d (r, r^{'})$ fra due rette $r$ ed $r^{'}$ disgiunte nel piano o nello spazio è definita nel modo seguente. Le due rette $r$ e $r^{'}$ sono parallele o sghembe. In entrambi i casi troviamo una retta $s$ perpendicolare a entrambe. Definiamo quindi

d (r, r^{'}) = d (P, P^{'}), dove P = r \cap s e P^{'} = r^{'} \cap s .

Come si legge.

Se le rette si incontrano, la distanza è zero.
Parallele: stessa direzione, nessun punto comune. Le perpendicolari comuni sono infinite, tutte della stessa lunghezza, come le traversine di un binario.
Sghembe: direzioni diverse e nessun punto comune (lezione L23). La perpendicolare comune è una sola (Martelli, Proposizione 9.2.27).

Con le rette date dalle ricette $P_{0} + t v$ e $P_{0}^{'} + u v^{'}$ , la distanza si calcola in fretta.

Rette parallele. La distanza è quella di un punto della prima dalla seconda: si prende $P_{0}$ e si usa la Proposizione 24.11.

Esempio · Due rette parallele

$r = {t (1, 1, 0)}$ e $r^{'} = {(1, 0, 0) + s (1, 1, 0)}$ hanno la stessa direzione, e l'origine, che sta sulla prima, non sta sulla seconda. Con $P = (0, 0, 0)$ , $P_{0}^{'} = (1, 0, 0)$ e $v_{0} = (1, 1, 0)$ :

$P - P_{0}^{'} = (- 1, 0, 0)$ ;
$(1, 1, 0) \times (- 1, 0, 0) = (1 \cdot 0 - 0 \cdot 0, - (1 \cdot 0 - 0 \cdot (- 1)), 1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1)) = (0, 0, 1)$ ;
la distanza è $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .

Nel piano $z = 0$ sono le rette $y = x$ e $y = x - 1$ : in verticale distano 1, ma il segmento perpendicolare, che misura la distanza vera, è più corto.

Rette sghembe. Qui serve un volume al posto dell'area (Figura 11 delle dispense). Le dispense lo scrivono così.

Proposizione 24.14

Se $r$ e $r^{'}$ sono sghembe, vale la formula

d (r, r^{'}) = \frac{∣ det ( v ∣ v ^{'} ∣ v ^{''} )∣}{∥ v \times v ^{'} ∥}, dove v^{''} = P_{0} P_{0}^{'} = P_{0}^{'} - P_{0} .

Come si legge. La distanza è il volume di una scatola divisa per l'area della sua base. Il ragionamento è lo stesso della Proposizione 24.11, una dimensione più su.

Prendi la scatola, il parallelepipedo, con spigoli $v$ , $v^{'}$ e $v^{''}$ .
Il suo volume è il determinante dei tre vettori, senza segno: è il significato del determinante (Martelli, Proposizione 9.1.9).
Come area di base per altezza: la base è il parallelogramma con lati $v$ e $v^{'}$ , di area $∥ v \times v^{'} ∥$ . L'altezza è la distanza tra i due piani paralleli che contengono le due rette, cioè proprio la distanza tra le rette.
Uguagliando e dividendo per l'area di base si ottiene la formula.

Ecco l'esempio delle dispense.

Esempio 24.15

Calcoliamo la distanza fra le rette sghembe

r = ⎩ ⎨ ⎧ 2 - 5 1 + t 201 ⎭ ⎬ ⎫, r^{'} = ⎩ ⎨ ⎧ 110 + u - 1 - 2 3 ⎭ ⎬ ⎫ .

Questa è

d (r, r^{'}) = \frac{det 2 0 1 - 1 - 2 3 - 1 6 - 1}{∥ ( 2 , 0 , 1 ) \times ( - 1 , - 2 , 3 ) ∥} = \frac{∣ 2 ( 2 - 18 ) + ( - 6 - 2 )∣}{2 ^{2} + ( - 7 ) ^{2} + ( - 4 ) ^{2}} = \frac{40}{69} = \frac{40}{69} 69 .

Esempio · i passaggi dell'Esempio 24.15

$v = (2, 0, 1)$ , $v^{'} = (- 1, - 2, 3)$ e $v^{''} = P_{0}^{'} - P_{0} = (1 - 2, 1 - (- 5), 0 - 1) = (- 1, 6, - 1)$ : sono le tre colonne della matrice.
Determinante con Laplace sulla prima colonna $(2, 0, 1)$ : $2 \cdot det (- 2 3 6 - 1) + 1 \cdot det (- 1 - 2 - 1 6) = 2 (2 - 18) + (- 6 - 2) = - 40$ . Senza segno: 40.
Prodotto vettoriale, con le righe affiancate $(2, - 1)$ , $(0, - 2)$ , $(1, 3)$ : $(0 \cdot 3 - 1 \cdot (- 2), - (2 \cdot 3 - 1 \cdot (- 1)), 2 \cdot (- 2) - 0 \cdot (- 1)) = (2, - 7, - 4)$ , lungo $4 + 49 + 16 = 69$ .
La distanza è $\frac{40}{69} = \frac{40 69}{69}$ .

Oltre le dispense · Il determinante dice anche se due rette si incontrano

Due rette qualsiasi stanno su uno stesso piano, cioè si incontrano o sono parallele, esattamente quando $det (v ∣ v^{'} ∣ P_{0}^{'} - P_{0}) = 0$ (Martelli, Proposizione 9.2.41). Il determinante è zero esattamente quando i tre vettori stanno in uno stesso piano. Ne viene una ricetta completa:

se le direzioni sono proporzionali, le rette sono parallele, o coincidono: distanza con la Proposizione 24.11;
altrimenti calcola il determinante: se è zero le rette si incontrano (distanza zero, e si può calcolare l'angolo); se non è zero sono sghembe e la distanza viene dalla Proposizione 24.14.

Siccome il determinante è $⟨ v \times v^{'}, v^{''} ⟩$ (prodotto triplo, lezione L23), conviene calcolare prima $v \times v^{'}$ : serve sia sopra sia sotto.

Prova tu

Quanto distano l'asse

x

e la retta

(0, 0, 3) + t (0, 1, 0)

Direzioni $(1, 0, 0)$ e $(0, 1, 0)$ , con prodotto vettoriale $(0, 0, 1)$ . Con $v^{''} = (0, 0, 3)$ il prodotto triplo è 3: la distanza è $\frac{3}{1} = 3$ . Una retta passa 3 piani sopra l'altra.

Da ricordare

Rette parallele: distanza di un punto dell'una dall'altra.
Rette sghembe: $\frac{∣ d e t ( v ∣ v ^{'} ∣ P _{0}^{'} - P _{0} )∣}{∥ v \times v ^{'} ∥}$ , volume diviso area di base.

§7

La distanza da un piano

pp. 127–128

Da un punto a un piano si scende in perpendicolare, come da un punto al pavimento. Le dispense lo scrivono così.

Definizione 24.16 · Distanza fra punto e piano

La distanza fra un punto $P_{0}$ e un piano $π$ nello spazio è definita in modo simile a quanto già visto: si traccia la perpendicolare $s$ a $π$ passante per $P_{0}$ e si definisce

d (P_{0}, π) = d (P_{0}, Q), con Q = s \cap π .

Come si legge. La retta perpendicolare al piano per $P_{0}$ ha la direzione della normale; dove tocca il piano c'è il piede $Q$ . La distanza è la lunghezza del segmento da $P_{0}$ a $Q$ .

Se il piano è dato con l'equazione, c'è una formula che non richiede di trovare $Q$ . Le dispense la scrivono così.

Proposizione 24.17

Se $π = {a x + b y + cz = d}$ e $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , vale

d (P_{0}, π) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} .

Come si legge.

Sopra: metti le coordinate del punto nell'equazione portata tutta a sinistra, $a x + b y + cz - d$ , e togli il segno. Viene zero esattamente quando il punto sta sul piano.
Sotto: la lunghezza del vettore normale $n = (a, b, c)$ .
Se moltiplichi l'equazione per un numero, sopra e sotto cambiano dello stesso fattore: la distanza non cambia.

π

P

P_{0}

Q

w

d

n

Distanza punto–piano (vista di taglio): la proiezione di

w = P_{0} - P

sulla normale

n

è lunga proprio

d (P_{0}, π)

Dimostrazione · della Proposizione 24.17 (dal libro di Martelli)

Sia $n = (a, b, c)$ , perpendicolare al piano (lezione L23), e sia $P = (x, y, z)$ un punto qualsiasi del piano.
Chiamo $w = P_{0} - P$ . Il segmento da $P_{0}$ a $Q$ è parallelo a $n$ , e la sua lunghezza è quella dell'ombra di $w$ sulla retta di $n$ : $d (P_{0}, Q) = \frac{∣⟨ w , n ⟩∣}{∥ n ∥}$ (lezione L21).
Sviluppo: $⟨ w, n ⟩ = a (x_{0} - x) + b (y_{0} - y) + c (z_{0} - z) = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} - (a x + b y + cz)$ .
Siccome $P$ sta sul piano, $a x + b y + cz = d$ : quindi $⟨ w, n ⟩ = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} - d$ , e si ottiene la formula.

Ecco l'esempio delle dispense.

Esempio 24.18

Prendiamo il piano e il punto seguenti in $R^{3}$ :

π = {2 x - y + z = 4}, P_{0} = 21 - 2 .

Applicando la formula troviamo

d (P_{0}, π) = \frac{∣ 2 \cdot 2 - 1 - 2 - 4 ∣}{6} = \frac{6}{2} .

I conti: sopra $4 - 1 - 2 - 4 = - 3$ , senza segno 3; sotto $4 + 1 + 1 = 6$ . Infine $\frac{3}{6} = \frac{3 6}{6} = \frac{6}{2}$ .

Lo strumento disegna il piano, il vettore normale $(2, - 1, 1)$ , il punto $P_{0}$ e il piede della perpendicolare $H$ , che nelle dispense si chiama $Q$ . Deve darti una distanza di circa 1,225, cioè $\frac{6}{2}$ , e $H = (3; 0, 5; - 1, 5)$ . Prova a spostare $P_{0}$ parallelo al piano, per esempio in $(3, 3, - 2)$ : scrivi 3 3 -2. Hai aggiunto $(1, 2, 0)$ , che soddisfa $2 - 2 + 0 = 0$ e quindi sta nella giacitura: la distanza non cambia. Poi moltiplica l'equazione per 2, scrivendo 4 -2 2 = 8: anche così la distanza resta la stessa.

Oltre le dispense · Il piede della perpendicolare e altre due distanze

Il piede $Q$ . Partendo da $P_{0}$ ci si muove lungo la normale fino al piano:

Q = P_{0} - \frac{a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} (a, b, c) .

Nell'Esempio 24.18: $Q = (2, 1, - 2) - \frac{- 3}{6} (2, - 1, 1) = (2, 1, - 2) + (1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (3, \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ . Controllo: $6 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 4$ .

Due piani paralleli $a x + b y + cz = d_{1}$ e $a x + b y + cz = d_{2}$ , con gli stessi numeri davanti: la distanza è $\frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ . Basta prendere un punto del primo e usare la Proposizione 24.17.

Una retta parallela a un piano: tutti i suoi punti hanno la stessa distanza dal piano, quindi basta uno qualsiasi.

Oltre le dispense · Tutte le formule in una tabella

Notazioni: $r = P_{0} + Span (v)$ , $r^{'} = P_{0}^{'} + Span (v^{'})$ , piano $π = {a x + b y + cz = d}$ con normale $n = (a, b, c)$ .

Che cosa	Formula	Dove
angolo tra rette che si incontrano	$cos ϑ = \frac{∣⟨ v , v ^{'} ⟩∣}{∥ v ∥ ∥ v ^{'} ∥}$	Def. 24.1
angolo tra retta e piano	angolo tra $v$ e $p_{π} (v)$ ; $sin ϑ = \frac{∣⟨ v , n ⟩∣}{∥ v ∥ ∥ n ∥}$	Def. 24.2, Prop. 24.4
angolo tra piani	$cos α = \frac{∣⟨ n _{1} , n _{2} ⟩∣}{∥ n _{1} ∥ ∥ n _{2} ∥}$	Prop. 24.7
punto e punto	$∥ Q - P ∥$	Def. 24.9
punto e retta	$\frac{∥ v \times ( P - P _{0} )∥}{∥ v ∥}$	Prop. 24.11
rette parallele	$d (P_{0}, r^{'})$	Def. 24.13
rette sghembe	$\frac{∣ d e t ( v ∣ v ^{'} ∣ P _{0}^{'} - P _{0} )∣}{∥ v \times v ^{'} ∥}$	Prop. 24.14
punto e piano	$\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$	Prop. 24.17
piani paralleli	$\frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ , con gli stessi numeri davanti	oltre le dispense

Oltre le dispense · Dove trovarlo nel libro

Nel libro di Martelli: angoli tra rette, tra retta e piano e tra piani nel §9.2.9 (pp. 285–287, con la Proposizione 9.2.33: tra tutte le rette del piano per $P$ , quella proiettata forma l'angolo più piccolo con $r$ ); distanze nel §9.2.10 (pp. 287–291: Proposizioni 9.2.36, 9.2.39, 9.2.41 e 9.2.42, che sono le nostre 24.11, 24.14, il criterio delle rette su uno stesso piano e 24.17). Norma, angolo tra vettori, distanza e proiezione ortogonale sono nel §8.1 (pp. 240–245); il volume del parallelepipedo nella Proposizione 9.1.9 (p. 271); le rette perpendicolari a un piano o a una retta nel §9.2.6 (pp. 279–281).

Prova tu

Quanto dista il punto

(1, 2, 3)

dal pavimento

z = 0

Con la formula: $\frac{∣ 3 ∣}{1} = 3$ . È l'altezza del punto.

Da ricordare

Punto e piano: metti il punto nell'equazione portata a sinistra, togli il segno, dividi per la lunghezza della normale.
Piani paralleli: prima scrivili con gli stessi numeri davanti.

§8

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$ϑ$ , $α$	«theta», «alfa»	angoli
$∣⟨ v, v^{'} ⟩∣$	«valore assoluto del prodotto scalare»	il prodotto scalare senza segno
$arccos$ , $arcsin$	«arcocoseno», «arcoseno»	dal coseno, o dal seno, all'angolo	$arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$
$p_{π} (v)$	«proiezione di vu sul piano»	l'ombra di $v$ sul piano
$n$	«vettore normale»	la freccia perpendicolare al piano	per $x + y - z = 0$ , $n = (1, 1, - 1)$
$d (P, Q)$	«distanza tra pi e qu»	la lunghezza di $Q - P$
$d (P, r)$ , $d (P, π)$	«distanza del punto dalla retta», «dal piano»	la lunghezza del segmento perpendicolare
$d (r, r^{'})$	«distanza tra le due rette»	la lunghezza della perpendicolare comune
$det (v ∣ v^{'} ∣ v^{''})$	«determinante delle tre colonne»	con segno, il volume della scatola con quei tre spigoli

§9

Verso l'esame

esame

La prova di Algebra lineare e Geometria ha 10 domande a risposta multipla, con 5 risposte e una sola giusta. Ci sono poi 2 problemi da 11 punti, corretti solo con almeno 6 risposte giuste. Dura 2 ore, senza calcolatrice, e si può portare solo un foglio da 4 facciate scritto a mano. Gli appelli 2026/27 sono il 22/01/2027 e il 05/02/2027 alle 14:00. Tutti i dettagli sono nella lezione L01.

Che cosa di questa lezione compare negli appelli 2023–2026. Angoli e distanze sono presenti in quasi ogni appello.

Quiz sulla distanza tra due rette: 08/02/2024 (domanda 10), 06/09/2024 (domanda 6), 05/02/2026 (domanda 10, dove le rette si incontrano e la risposta giusta è 0), 03/06/2026 (domanda 10), 07/09/2026 (domanda 7).
Quiz sulla distanza tra un punto e un piano: 16/01/2025 (domanda 4). Quiz sull'angolo tra una retta e un piano: 10/07/2025 (domanda 8). Quiz sulla retta perpendicolare a un piano: 02/09/2025 (domanda 9): la direzione deve essere proporzionale al vettore normale.
Problemi aperti con l'angolo tra una retta e un piano, di solito dopo aver trovato una retta come intersezione di piani o un'ombra: 24/01/2024, 10/06/2024, 10/07/2024, 06/09/2024, 02/09/2025, 03/06/2026, 07/09/2026, sempre nel problema 12. Distanza tra rette in un problema aperto: 10/07/2024 e 03/06/2025.

Una domanda vera, letta insieme

Appello del 07/09/2026, domanda 7. Il testo: «La distanza tra le rette $r_{1} = (2, 0, 0) + Span (0, 1, 1)$ e $r_{2} = (0, 3, 0) + Span (- 1, 1, 0)$ è: (a) $3$ ; (b) $\frac{3}{3}$ ; (c) $33$ ; (d) $3$ ; (e) $3 + 3$ ».

In pratica chiede: due rette, quanto è lungo il loro pilone? Prima bisogna capire se sono parallele, se si incontrano o se sono sghembe.

Esempio · la soluzione, passo per passo

Passo 1: le direzioni. $v = (0, 1, 1)$ e $v^{'} = (- 1, 1, 0)$ non sono proporzionali: le rette non sono parallele.

Passo 2: il vettore tra i due punti. $v^{''} = (0, 3, 0) - (2, 0, 0) = (- 2, 3, 0)$ .

Passo 3: il prodotto vettoriale. Con le righe affiancate $(0, - 1)$ , $(1, 1)$ , $(1, 0)$ :

v \times v^{'} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1, - (0 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1)), 0 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)) = (- 1, - 1, 1),

lungo $3$ .

Passo 4: il prodotto triplo. $⟨(- 1, - 1, 1), (- 2, 3, 0)⟩ = 2 - 3 + 0 = - 1$ . Non è zero: le rette sono sghembe.

Passo 5: la distanza. $\frac{∣ - 1 ∣}{3} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ : risposta (b). Qui serve davvero togliere la radice dal denominatore, come nella lezione L01: senza, non la riconosci tra le risposte.

Un'altra domanda vera

Conta all'esame · Appello del 10/07/2025, domanda 8

L'angolo tra il piano $Π = {x + z = 3}$ e la retta $r =^{t} (1, 0, 1) + s^{t} (2, 2, 0)$ è: (a) $\frac{1}{2}$ ; (b) $0$ ; (c) $\frac{π}{3}$ ; (d) $\frac{π}{2} - \frac{1}{2}$ ; (e) $\frac{π}{6}$ .

Soluzione. $v = (2, 2, 0)$ e $n = (1, 0, 1)$ , con prodotto scalare 2, non zero: la retta non è parallela al piano, quindi (b) è esclusa.

Con la scorciatoia: $sin ϑ = \frac{2}{2 2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ , quindi l'angolo è $\frac{π}{6}$ : risposta (e).
Con il metodo delle dispense: l'ombra è $(2, 2, 0) - \frac{2}{2} (1, 0, 1) = (1, 2, - 1)$ , e $cos ϑ = \frac{2 + 4 + 0}{2 2 \cdot 6} = \frac{6}{4 3} = \frac{3}{2}$ : di nuovo $\frac{π}{6}$ .

Le risposte (a) e (d) sono trappole: $\frac{1}{2}$ è il seno dell'angolo, non l'angolo. La (c) è l'angolo con la normale.

Metodo · Distanza tra due rette, in quattro righe

Scrivi $v$ , $v^{'}$ e $v^{''} = P_{0}^{'} - P_{0}$ .
Se $v$ e $v^{'}$ sono proporzionali: rette parallele, distanza $\frac{∥ v \times ( P _{0}^{'} - P _{0} )∥}{∥ v ∥}$ .
Altrimenti calcola $v \times v^{'}$ e poi il suo prodotto scalare con $v^{''}$ . Se è zero, le rette si incontrano: distanza zero, come nel quiz del 05/02/2026.
Se non è zero: la distanza è quel numero senza segno diviso la lunghezza di $v \times v^{'}$ . Poi togli le radici dal denominatore.

Metodo · L'angolo tra retta e piano nei problemi aperti

I problemi chiedono spesso, nell'ordine: trovare la retta, come intersezione di due piani (lezione L23); mostrare che incontra il piano; calcolare l'ombra della direzione sul piano; infine l'angolo. Il punto «ombra» prepara proprio la Definizione 24.2: trovata l'ombra, l'angolo ha coseno $\frac{⟨ v , p _{π} ( v )⟩}{∥ v ∥ ∥ p _{π} ( v )∥}$ . Se il testo chiede il coseno dell'angolo, come il 03/06/2026, fermati al coseno.

Errori da evitare.

Dare come angolo tra rette, o tra piani, un angolo ottuso: si prende sempre quello acuto o retto.
Confondere l'angolo con la normale e l'angolo con il piano: insieme fanno un angolo retto.
Scrivere come «angolo» il valore del coseno o del seno: è la trappola della risposta $\frac{1}{2}$ .
Nella formula punto–piano, dimenticare di portare tutto a sinistra, oppure il valore assoluto.
Confrontare piani paralleli con equazioni scritte con numeri diversi: $x + 2 y + 2 z = 1$ e $2 x + 4 y + 4 z = 5$ vanno prima resi con gli stessi numeri davanti.
Usare la formula delle rette sghembe per rette parallele: il denominatore è zero.

Conta all'esame · Il foglio da 4 facciate

Da questa lezione: la tabella delle formule (nella sezione sul piano) e la tabella dei coseni notevoli. Poi la ricetta «parallele, incidenti o sghembe» con il determinante, e la formula del piede della perpendicolare su un piano.

§11

Esercizi

con soluzioni

1 · Riscaldamento: l'angolo acuto base

Due rette per l'origine hanno direzioni $(1, 1, 0)$ e $(- 1, 0, 0)$ . Che angolo formano?

Soluzione

Il prodotto scalare è $- 1$ , le lunghezze $2$ e 1.
Tolgo il segno: il coseno è $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .
L'angolo tra le rette è $\frac{π}{4}$ . Tra i vettori sarebbe $\frac{3 π}{4}$ , ottuso.

2 · Riscaldamento: distanza da due piani base

Quanto dista il punto $(1, 1, 1)$ dal piano $z = 0$ ? E dal piano $x + y + z = 0$ ?

Soluzione

Da $z = 0$ : $\frac{∣ 1 ∣}{1} = 1$ .
Da $x + y + z = 0$ : sopra $∣ 1 + 1 + 1 ∣ = 3$ , sotto $3$ ; la distanza è $\frac{3}{3} = 3$ .

3 · Riscaldamento: perpendicolare o parallela? base

Il piano è $x + 2 y - z = 5$ . La retta con direzione $(2, 4, - 2)$ è perpendicolare o parallela al piano? E quella con direzione $(1, 0, 1)$ ?

Soluzione

La normale è $(1, 2, - 1)$ .

$(2, 4, - 2)$ è il doppio della normale: la retta è perpendicolare al piano.
$(1, 0, 1)$ dà con la normale $1 + 0 - 1 = 0$ : la retta è parallela al piano, o ci sta dentro.

4 · Riscaldamento: la distanza da un asse base

Quanto dista il punto $(0, 3, 4)$ dall'asse $x$ ?

Soluzione

La retta è $t (1, 0, 0)$ , quindi $v_{0} = (1, 0, 0)$ e $v_{1} = (0, 3, 4)$ .
$v_{0} \times v_{1} = (0 \cdot 4 - 0 \cdot 3, - (1 \cdot 4 - 0 \cdot 0), 1 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = (0, - 4, 3)$ , lungo 5.
Diviso per la lunghezza di $v_{0}$ , che è 1: la distanza è 5. È Pitagora con 3 e 4.

5 · Angoli fra rette base

(a) Le rette $r = (1, 2, 0) + t (1, 0, 1)$ e $r^{'} = (1, 2, 0) + s (1, 1, 0)$ si incontrano in $(1, 2, 0)$ : calcola l'angolo. (b) Stessa domanda per le rette per l'origine con direzioni $(1, 2, 2)$ e $(2, - 2, - 1)$ . (c) Stessa domanda per le rette per l'origine con direzioni $(1, 1, 1)$ e $(- 1, 0, - 1)$ .

Soluzione

(a) Il prodotto scalare è 1, le lunghezze $2$ e $2$ : il coseno è $\frac{1}{2}$ e l'angolo $\frac{π}{3}$ .

(b) Il prodotto scalare è $2 - 4 - 2 = - 4$ , le lunghezze 3 e 3: il coseno tra i vettori è $- \frac{4}{9}$ , ottuso. Tra le rette si toglie il segno: l'angolo è $arccos \frac{4}{9}$ .

(c) Il prodotto scalare è $- 2$ , le lunghezze $3$ e $2$ : il coseno è $\frac{2}{6} = \frac{6}{3}$ , quindi l'angolo è $arccos \frac{6}{3}$ , circa 35,3°, lo stesso numero dell'Esempio 24.3.

6 · Angolo fra due piani base

Calcola l'angolo diedrale fra i piani $π_{1} = {2 x + y - z = 1}$ e $π_{2} = {x + 2 y + z = 2}$ (sono i piani dell'appello del 24/01/2024). Poi scrivi un piano per l'origine perpendicolare a entrambi.

Soluzione

Le normali sono $n_{1} = (2, 1, - 1)$ e $n_{2} = (1, 2, 1)$ , con prodotto scalare $2 + 2 - 1 = 3$ e lunghezze $6$ e $6$ . Il coseno è $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , e l'angolo $\frac{π}{3}$ .

Due piani sono perpendicolari quando le loro normali sono perpendicolari. Serve quindi una normale $m$ perpendicolare a $n_{1}$ e a $n_{2}$ , per esempio il loro prodotto vettoriale:

m = n_{1} \times n_{2} = (1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2, - (2 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1), 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (3, - 3, 3) .

Il piano $x - y + z = 0$ va bene. Siccome $m$ è anche la direzione della retta comune ai due piani, questo è il piano per l'origine perpendicolare alla costola: il «taglio» della Definizione 24.6.

7 · Distanza punto–retta con la formula e con il piede base

Siano $P = (1, 1, 1)$ e $r = {t (1, 2, 2)}$ . Calcola $d (P, r)$ con la Proposizione 24.11 e poi trovando il piede della perpendicolare $Q$ .

Soluzione

Con la formula. $v_{0} = (1, 2, 2)$ e $v_{1} = (1, 1, 1)$ . Con le righe affiancate $(1, 1)$ , $(2, 1)$ , $(2, 1)$ :

v_{0} \times v_{1} = (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1, - (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1), 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = (0, 1, - 1) .

La distanza è $\frac{2}{3}$ , perché $v_{0}$ è lungo 3.

Con il piede. $Q = \frac{⟨ v _{1} , v _{0} ⟩}{⟨ v _{0} , v _{0} ⟩} v_{0} = \frac{5}{9} (1, 2, 2)$ . Allora $P - Q = (\frac{4}{9}, - \frac{1}{9}, - \frac{1}{9})$ , perpendicolare a $v_{0}$ perché $\frac{4 - 2 - 2}{9} = 0$ , e lungo $\frac{18}{9} = \frac{2}{3}$ . Stesso risultato.

8 · Distanza punto–piano e piede della perpendicolare base

Per il piano $π = {2 x - y + z = 4}$ e il punto $P_{0} = (2, 1, - 2)$ dell'Esempio 24.18: (a) trova il piede $Q$ della perpendicolare; (b) verifica che $d (P_{0}, Q) = \frac{6}{2}$ ; (c) scrivi in forma parametrica la retta $s$ perpendicolare a $π$ passante per $P_{0}$ .

Soluzione

(a) Il piede è dove questa retta tocca il piano. Metto $(2 + 2 λ, 1 - λ, - 2 + λ)$ nell'equazione: $2 (2 + 2 λ) - (1 - λ) + (- 2 + λ) = 4$ , cioè $1 + 6 λ = 4$ e $λ = \frac{1}{2}$ . Quindi $Q = (3, \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ .

(b) $P_{0} - Q = (- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ , lungo $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} = \frac{6}{2}$ .

9 · Una retta e un piano, con due metodi medio

Calcola l'angolo fra il piano $π = {x + y - z = 0}$ e la retta $r = {t (1, 1, 1)}$ : (a) con la proiezione della Definizione 24.2; (b) con la Proposizione 24.4. Controlla che i risultati coincidano.

Soluzione

La retta incontra il piano nell'origine.

(a) Ombra con la formula della normale $n = (1, 1, - 1)$ : il prodotto di $v$ con $n$ è $1 + 1 - 1 = 1$ , e $⟨ n, n ⟩ = 3$ , quindi

p_{π} (v) = (1, 1, 1) - \frac{1}{3} (1, 1, - 1) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}) .

Il prodotto di $v$ con l'ombra è $\frac{8}{3}$ ; $v$ è lungo $3$ , l'ombra $\frac{24}{3} = \frac{2 6}{3}$ . Allora

cos ϑ = \frac{8/3}{3 \cdot 2 6 /3} = \frac{8}{2 18} = \frac{4}{3 2} = \frac{2 2}{3} .

(b) $sin ϑ = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3}$ , quindi l'angolo è $arcsin \frac{1}{3}$ .

Coincidono: $\frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 1$ , quindi $arccos \frac{2 2}{3} = arcsin \frac{1}{3}$ . Un angolo acuto è deciso dal suo seno.

10 · Rette parallele e piani paralleli medio

(a) Calcola la distanza fra le rette parallele $r = {(1, 0, 1) + t (1, 0, - 1)}$ e $r^{'} = {(0, 2, 0) + s (- 2, 0, 2)}$ . (b) Calcola la distanza fra i piani $π_{1} = {x + 2 y + 2 z = 1}$ e $π_{2} = {2 x + 4 y + 4 z = 5}$ .

Soluzione

(a) Le direzioni sono proporzionali: $(- 2, 0, 2) = - 2 (1, 0, - 1)$ . Prendo $P = (1, 0, 1)$ sulla prima e calcolo la sua distanza dalla seconda, con $P_{0}^{'} = (0, 2, 0)$ e direzione $v_{0} = (1, 0, - 1)$ . Allora $P - P_{0}^{'} = (1, - 2, 1)$ e

v_{0} \times (P - P_{0}^{'}) = (0 \cdot 1 - (- 1) (- 2), - (1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1), 1 \cdot (- 2) - 0 \cdot 1) = (- 2, - 2, - 2),

lungo $23$ . La distanza è $\frac{2 3}{2} = 6$ .

(b) Prima rendo uguali i numeri davanti: dividendo per 2, il secondo piano è $x + 2 y + 2 z = \frac{5}{2}$ . Ora la distanza è $\frac{∣ \frac{5}{2} - 1 ∣}{3} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$ . Senza dividere, il conto sbagliato « $\frac{∣ 5 - 1 ∣}{3}$ » darebbe $\frac{4}{3}$ .

11 · Classificare due rette e calcolare la distanza medio

Siano $r = {(1, 1, 0) + t (1, 0, 2)}$ e $r^{'} = {(0, 1, 1) + s (0, 1, 1)}$ . Stabilisci se sono incidenti, parallele o sghembe e calcola la loro distanza.

Soluzione

Le direzioni $v = (1, 0, 2)$ e $v^{'} = (0, 1, 1)$ non sono proporzionali: le rette non sono parallele. Poi $v^{''} = (0, 1, 1) - (1, 1, 0) = (- 1, 0, 1)$ e

v \times v^{'} = (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1, - (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0), 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (- 2, - 1, 1) .

Il prodotto triplo è $2 + 0 + 1 = 3$ , non zero: le rette sono sghembe. La distanza è

d (r, r^{'}) = \frac{3}{∥( - 2 , - 1 , 1 )∥} = \frac{3}{6} = \frac{6}{2} .

12 · Retta, piano, angolo e distanza (appello del 10/07/2024, problema 12) tipo esame

Siano $π_{1} = {x + y + 2 z = 1}$ e $π_{2} = {2 x - 2 y = 2}$ due piani in $R^{3}$ . (1) Calcolare la retta $r = π_{1} \cap π_{2}$ in forma $r = P + Span (v)$ . (2) Dimostrare che $r$ e il piano $π_{3} = {x + y = - 1}$ sono incidenti. (3) Calcolare l'angolo fra $r$ e il piano $π_{3}$ . (4) Calcolare la distanza fra $r$ e la retta $s =^{t} (1, 0, 1) + Span (^{t} (2, 1, - 2))$ .

Soluzione

(1) La seconda equazione, divisa per 2, dà $x - y = 1$ , cioè $x = 1 + y$ . Nella prima: $1 + y + y + 2 z = 1$ , cioè $z = - y$ . Con $y = t$ :

r = {(1 + t, t, - t)} = (1, 0, 0) + Span ((1, 1, - 1)) .

Controllo: $(1, 0, 0)$ soddisfa $1 = 1$ e $2 = 2$ ; la direzione è proporzionale a $(1, 1, 2) \times (2, - 2, 0) = (4, 4, - 4)$ .

(2) La normale del terzo piano è $n = (1, 1, 0)$ , e il suo prodotto con la direzione $(1, 1, - 1)$ è 2, non zero. La direzione non sta nella giacitura del piano, quindi le giaciture sommano a tutto lo spazio e, per la Proposizione 23.10, la retta e il piano si incontrano. Il punto: $(1 + t) + t = - 1$ dà $t = - 1$ , cioè $(0, - 1, 1)$ .

(3) L'ombra della direzione $v = (1, 1, - 1)$ sulla giacitura del piano:

p (v) = v - \frac{⟨ v , n ⟩}{⟨ n , n ⟩} n = (1, 1, - 1) - \frac{2}{2} (1, 1, 0) = (0, 0, - 1) .

Allora $cos ϑ = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{3}{3}$ , e l'angolo è $arccos \frac{3}{3}$ , circa 54,7°. Controllo con la normale: $sin ϑ = \frac{2}{3 2} = \frac{6}{3}$ , e $\frac{1}{3} + \frac{6}{9} = 1$ .

(4) Le direzioni $v = (1, 1, - 1)$ e $v^{'} = (2, 1, - 2)$ non sono proporzionali; $v^{''} = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1)$ .

v \times v^{'} = (1 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 1, - (1 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 2), 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = (- 1, 0, - 1),

lungo $2$ . Il prodotto triplo è $- 1$ , non zero: le rette sono sghembe, e la distanza è $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .

13 · Proiezione, intersezione e angolo tipo esame

Siano $v_{1} = (1, 0, 1)$ e $v_{2} = (1, 2, 1)$ , e sia $V = Span (v_{1}, v_{2})$ . (1) Calcola una base ortogonale di $V$ . (2) Calcola la proiezione ortogonale di $w = (1, 1, 0)$ su $V$ . (3) Calcola il punto di intersezione e l'angolo di intersezione fra la retta $r = (2, 0, 0) + Span (w)$ e il piano $V$ .

Soluzione

(1) Gram–Schmidt: $u_{1} = v_{1} = (1, 0, 1)$ e

u_{2} = v_{2} - \frac{⟨ v _{2} , u _{1} ⟩}{⟨ u _{1} , u _{1} ⟩} u_{1} = (1, 2, 1) - \frac{2}{2} (1, 0, 1) = (0, 2, 0) .

Base ortogonale: $(1, 0, 1)$ e $(0, 2, 0)$ , o più comodo $(0, 1, 0)$ .

(2) L'ombra di $w$ è $\frac{1}{2} (1, 0, 1) + 1 \cdot (0, 1, 0) = (\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})$ . Controllo: $w$ meno l'ombra è $(\frac{1}{2}, 0, - \frac{1}{2})$ , perpendicolare a $u_{1}$ e a $(0, 1, 0)$ .

(3) Il piano ha normale $v_{1} \times v_{2} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 2, - (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1), 1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) = (- 2, 0, 2)$ , cioè è il piano $x - z = 0$ . Il punto generico della retta è $(2 + t, t, 0)$ : $2 + t = 0$ dà $t = - 2$ , e il punto è $(0, - 2, 0)$ . L'angolo è quello tra $w$ e la sua ombra:

cos ϑ = \frac{\frac{1}{2} + 1 + 0}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{3/2}{3} = \frac{3}{2},

quindi l'angolo è $\frac{π}{6}$ . Controllo con la normale $(1, 0, - 1)$ : $sin ϑ = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ . È lo stesso schema dei problemi 12 degli appelli del 10/06/2024, del 03/06/2026 e del 07/09/2026.

14 · La perpendicolare comune a due rette sghembe difficile

Siano $r = {(1, 1, 1) + t (- 1, 2, 1)}$ e $r^{'} = {(0, 1, 2) + s (1, 1, 1)}$ (Martelli, Esempio 9.2.28). (a) Calcola $d (r, r^{'})$ con la Proposizione 24.14. (b) Trova i punti $P \in r$ e $P^{'} \in r^{'}$ tali che il segmento $P P^{'}$ sia perpendicolare a entrambe le rette, e verifica che $d (P, P^{'}) = d (r, r^{'})$ .

Soluzione

(a) $v = (- 1, 2, 1)$ , $v^{'} = (1, 1, 1)$ , $v^{''} = (0, 1, 2) - (1, 1, 1) = (- 1, 0, 1)$ . Prodotto vettoriale:

v \times v^{'} = (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1, - ((- 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1), (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 1) = (1, 2, - 3),

lungo $14$ . Il prodotto triplo è $- 1 + 0 - 3 = - 4$ . Quindi la distanza è $\frac{4}{14} = \frac{2 14}{7}$ .

(b) Il punto generico della prima retta è $P (t) = (1 - t, 1 + 2 t, 1 + t)$ , quello della seconda $P^{'} (s) = (s, 1 + s, 2 + s)$ . Il vettore $P (t) - P^{'} (s) = (1 - t - s, 2 t - s, - 1 + t - s)$ deve essere perpendicolare a $v$ e a $v^{'}$ :

con $v$ : $- (1 - t - s) + 2 (2 t - s) + (- 1 + t - s) = 6 t - 2 s - 2 = 0$ ;
con $v^{'}$ : $(1 - t - s) + (2 t - s) + (- 1 + t - s) = 2 t - 3 s = 0$ .

Dalla seconda $t = \frac{3 s}{2}$ ; nella prima $9 s - 2 s - 2 = 0$ , cioè $s = \frac{2}{7}$ e $t = \frac{3}{7}$ . Quindi

P = (\frac{4}{7}, \frac{13}{7}, \frac{10}{7}), P^{'} = (\frac{2}{7}, \frac{9}{7}, \frac{16}{7}), P - P^{'} = \frac{2}{7} (1, 2, - 3) .

$P - P^{'}$ è proporzionale a $v \times v^{'}$ , come deve essere, ed è lungo $\frac{2}{7} 14$ : coincide con (a). La perpendicolare comune è la retta $P^{'} + Span ((1, 2, - 3))$ , la stessa trovata da Martelli.

15 · Piani a distanza data difficile

(a) Trova i piani paralleli a $π = {x + 2 y + 2 z = 1}$ che hanno distanza $2$ da $π$ . (b) Trova i punti della retta $r = {t (1, 1, 1)}$ che hanno distanza $3$ dal piano $σ = {x + y + z = 0}$ .

Soluzione

(a) Un piano parallelo ha la forma $x + 2 y + 2 z = c$ , con la stessa normale. La sua distanza dal primo è $\frac{∣ c - 1 ∣}{3}$ ; deve valere 2, quindi $∣ c - 1 ∣ = 6$ , cioè $c = 7$ oppure $c = - 5$ . I piani sono $x + 2 y + 2 z = 7$ e $x + 2 y + 2 z = - 5$ , uno per parte.

(b) Il punto $(t, t, t)$ dista $\frac{∣ 3 t ∣}{3} = 3 ∣ t ∣$ dal piano. Deve valere $3$ , quindi $t = 1$ oppure $t = - 1$ . I punti sono $(1, 1, 1)$ e $(- 1, - 1, - 1)$ .

§12

Domande di ripasso

autoverifica

Quando si calcola un angolo e quando una distanza?

Per due sottospazi affini che si incontrano si calcola l'angolo; per due che non si incontrano la distanza. Se si incontrano, la distanza è zero.

Come si definisce l'angolo tra due rette che si incontrano? Perché si sceglie l'angolo acuto?

È l'angolo tra le direzioni (Definizione 24.1). Girando una direzione nel verso opposto l'angolo diventa il suo supplementare, quindi la scelta non è unica: si prende sempre quello acuto o retto, togliendo il segno al prodotto scalare.

Come si definisce l'angolo tra una retta e un piano?

Si sposta l'origine nel punto d'incontro, si proietta la direzione della retta sul piano e si prende l'angolo tra la direzione e la sua ombra. Se l'ombra è nulla, l'angolo è retto (Definizione 24.2).

Che cosa dice la Proposizione 24.4 e a che cosa serve?

L'angolo con il piano e l'angolo con la normale che punta dalla stessa parte sommano a un angolo retto. Serve a evitare la proiezione: il seno dell'angolo con il piano è il prodotto scalare con la normale, senza segno, diviso il prodotto delle lunghezze.

Come si calcola l'angolo diedrale tra due piani?

È l'angolo acuto, o retto, tra le rette dei vettori normali (Proposizione 24.7). Per piani dati con l'equazione, tra i vettori dei numeri davanti alle incognite.

Come si definisce la distanza tra un punto e una retta? Qual è la formula?

È la distanza tra il punto e il piede della perpendicolare alla retta (Definizione 24.10). Con la retta $P_{0} + t v_{0}$ è $\frac{∥ v _{0} \times ( P - P _{0} )∥}{∥ v _{0} ∥}$ (Proposizione 24.11).

Da dove viene la formula della distanza punto–retta?

L'area del parallelogramma con lati $v_{0}$ e $P - P_{0}$ si calcola in due modi: con il prodotto vettoriale, e come base per altezza. La base è la lunghezza di $v_{0}$ , l'altezza è la distanza.

Come si calcola la distanza tra due rette parallele? E tra due sghembe?

Parallele: è la distanza di un punto di una dall'altra. Sghembe: il prodotto triplo senza segno diviso la lunghezza di $v \times v^{'}$ (Proposizione 24.14), cioè il volume della scatola diviso l'area della base.

Come si capisce se due rette si incontrano, sono parallele o sghembe?

Se le direzioni sono proporzionali sono parallele, o coincidono. Altrimenti si calcola $det (v ∣ v^{'} ∣ P_{0}^{'} - P_{0})$ : se è zero si incontrano, se no sono sghembe.

Qual è la formula della distanza punto–piano e come si dimostra?

$\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ (Proposizione 24.17). Si prende un punto qualsiasi del piano e si proietta sulla normale il vettore che va da lui al punto dato.

Come si calcola la distanza tra due piani paralleli?

Si scrivono con gli stessi numeri davanti, $a x + b y + cz = d_{1}$ e $a x + b y + cz = d_{2}$ ; la distanza è $\frac{∣ d _{1} - d _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .

Quando una retta è perpendicolare a un piano? E parallela?

Perpendicolare quando la sua direzione è proporzionale al vettore normale. Parallela, o contenuta, quando la direzione è perpendicolare al vettore normale, cioè il loro prodotto scalare è zero.

§13

Glossario

termini

Angolo fra due vettori: L'angolo tra 0 e $π$ con coseno uguale al prodotto scalare diviso il prodotto delle lunghezze (Definizione 20.12).
Angolo fra due rette: L'angolo acuto o retto tra le direzioni di due rette che si incontrano (Definizione 24.1).
Angolo fra retta e piano: L'angolo tra la direzione della retta e la sua ombra sul piano; retto se l'ombra è nulla (Definizione 24.2).
Angolo diedrale: L'angolo tra due piani che si incontrano, misurato con due rette perpendicolari alla retta comune; uguale all'angolo acuto tra le normali (Definizione 24.6, Proposizione 24.7).
Vettore normale: Un vettore perpendicolare a un piano; per $a x + b y + cz = d$ è $(a, b, c)$ .
Proiezione ortogonale su un piano: L'ombra $p_{π} (v)$ , con $v - p_{π} (v)$ perpendicolare al piano; $p_{π} (v) = v - \frac{⟨ v , n ⟩}{⟨ n , n ⟩} n$ .
Piede della perpendicolare: Il punto di una retta o di un piano più vicino a un punto dato.
Distanza fra punti: $d (P, Q) = ∥ Q - P ∥$ (Definizione 24.9).
Distanza punto–retta: $\frac{∥ v _{0} \times ( P - P _{0} )∥}{∥ v _{0} ∥}$ (Proposizione 24.11).
Rette sghembe: Rette dello spazio né incidenti né parallele; hanno una sola perpendicolare comune.
Perpendicolare comune: Una retta che incontra due rette disgiunte ed è perpendicolare a tutte e due; il tratto fra le due rette misura la distanza.
Distanza fra rette sghembe: $\frac{∣ d e t ( v ∣ v ^{'} ∣ P _{0}^{'} - P _{0} )∣}{∥ v \times v ^{'} ∥}$ (Proposizione 24.14).
Rette complanari: Rette su uno stesso piano: si incontrano o sono parallele; equivale a $det (v ∣ v^{'} ∣ P_{0}^{'} - P_{0}) = 0$ .
Distanza punto–piano: $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ (Proposizione 24.17).
Volume del parallelepipedo: Il determinante dei tre spigoli in colonna, senza segno.

La lezione in 7 punti

Angoli e distanze: l'idea

L'angolo tra due rette

L'angolo tra una retta e un piano

La scorciatoia del vettore normale

L'angolo tra due piani

La distanza da una retta

La distanza tra due rette

La distanza da un piano

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Un'altra domanda vera

Quiz

Esercizi

1 · Riscaldamento: l'angolo acuto base

2 · Riscaldamento: distanza da due piani base

3 · Riscaldamento: perpendicolare o parallela? base

4 · Riscaldamento: la distanza da un asse base

5 · Angoli fra rette base

6 · Angolo fra due piani base

7 · Distanza punto–retta con la formula e con il piede base

8 · Distanza punto–piano e piede della perpendicolare base

9 · Una retta e un piano, con due metodi medio

10 · Rette parallele e piani paralleli medio

11 · Classificare due rette e calcolare la distanza medio

12 · Retta, piano, angolo e distanza (appello del 10/07/2024, problema 12) tipo esame

13 · Proiezione, intersezione e angolo tipo esame

14 · La perpendicolare comune a due rette sghembe difficile

15 · Piani a distanza data difficile

Domande di ripasso

Glossario

Checklist