Teorema spettrale I

Fin qui i vettori erano liste di numeri reali, e per misurarli bastava il prodotto scalare. In questa sezione ripassiamo quel prodotto e i numeri complessi. Poi guardiamo che cosa va storto quando si mettono insieme, e come si rimedia.

Da dove partiamo: il conto della spesa

Al mercato compri 2 chili di mele e 1 chilo di pere. Le mele costano 3 euro al chilo, le pere 4. Quanto spendi?

Hai messo in fila le quantità, 2 e 1, e i prezzi, 3 e 4. Hai moltiplicato i numeri nello stesso posto e hai sommato. Questo conto si chiama prodotto scalare (lezione L19): da due liste di numeri tira fuori un numero solo.

La cosa da tenere a mente è questa: la lunghezza viene dal prodotto di un vettore con sé stesso. Se quel prodotto dà un numero strano, la lunghezza non ha più senso.

I numeri complessi, in breve

Il coniugato: cambiare il segno davanti alla i

Prendi un numero complesso e cambia il segno davanti alla $i$. Il numero che ottieni si chiama coniugato del primo.

Il coniugato si scrive con una lineetta sopra. Se il numero si chiama $z$, il suo coniugato è $\bar{z}$ e si legge «zeta coniugato». Quando sotto c'è un'espressione lunga, la lineetta la copre tutta:

L'ultima riga della tabella dice una cosa importante: un numero reale è uguale al suo coniugato. Vale anche il contrario. Se un numero è uguale al suo coniugato, la parte con la $i$ deve essere zero, quindi il numero è reale.

Guarda la figura: sul foglio a quadretti il coniugato è l'immagine allo specchio. Lo specchio è la riga orizzontale.

Un numero per il suo coniugato

Ecco il fatto su cui si regge tutta la lezione. Moltiplichiamo un numero complesso per il suo coniugato:

Si moltiplica ogni pezzo della prima parentesi per ogni pezzo della seconda. I pezzi sono quattro.

La somma dei quattro pezzi:

I due pezzi con la $i$ si cancellano. Resta $9+4$: il quadrato della parte reale più il quadrato della parte immaginaria. Succede con ogni numero complesso, non solo con questo.

Questo risultato ha un significato sul foglio a quadretti. Il punto $3+2i$ sta 3 passi a destra e 2 in su. Per il teorema di Pitagora, $9+4=13$ è il quadrato della sua distanza dal punto di partenza.

La distanza di un numero complesso dal punto di partenza si chiama modulo. Si scrive con due barre verticali: $|z|$ si legge «modulo di zeta». Il fatto di prima diventa:

A parole: un numero per il suo coniugato è il quadrato del suo modulo. Un esempio: il modulo di $3+4i$ è 5, perché $9+16=25$ e la radice di 25 è 5.

Servono ancora quattro regole sul coniugato. Le controlliamo con due numeri: $z=i$ e $w=1+i$. I loro coniugati sono $-i$ e $1-i$.

Vettori fatti di numeri complessi

Un vettore può contenere numeri complessi al posto dei numeri reali. Tre esempi:

Ognuno è una lista di due numeri complessi. L'insieme di tutte le liste di due numeri complessi si scrive ${\mathbb{C}}^2$ e si legge «ci due». Con tre numeri si scrive ${\mathbb{C}}^3$. Con $n$ numeri si scrive ${\mathbb{C}}^n$, «ci alla enne».

Per dire che un vettore è una di quelle liste si usa il simbolo $\in$, che si legge «appartiene a». La scrittura $(1,i)\in {\mathbb{C}}^2$ vuol dire: il vettore $(1,i)$ è una lista di due numeri complessi.

I numeri di un vettore si indicano con un numerino in basso. Se il vettore si chiama $x$, il suo primo numero è $x_1$ («ics uno») e il secondo è $x_2$ («ics due»). Per $x=(1,i)$ vale $x_1=1$ e $x_2=i$.

Qui l'immagine dello spostamento sulla mappa non regge più. Un solo numero complesso occupa già un foglio intero, e un vettore di ${\mathbb{C}}^2$ ne contiene due. Non si può disegnare come una freccia. Resta l'altra immagine: una lista di numeri. I conti si fanno come prima: si somma posto per posto, e si moltiplica ogni numero della lista per lo stesso numero.

Il vecchio conto dà lunghezze impossibili

Proviamo a misurare il vettore $(1,i)$ con il conto della spesa. Per la lunghezza serve il prodotto del vettore con sé stesso:

Il vettore non è fatto di soli zeri, eppure il conto dà 0. Sarebbe un vettore diverso da zero ma lungo zero.

Con il vettore $(i,0)$ va peggio:

Qui il conto dà un numero negativo. La lunghezza sarebbe la radice quadrata di $-1$, che non è un numero reale.

Una lunghezza deve essere un numero reale. E deve essere positiva per ogni vettore che non è fatto di soli zeri. Con i numeri complessi il vecchio conto non lo garantisce.

La correzione: coniugare il secondo vettore

Il rimedio lo abbiamo già in mano. Un numero complesso per sé stesso può dare un risultato negativo: $i\cdot i=-1$. Un numero complesso per il suo coniugato dà sempre un numero reale mai negativo: $i\cdot (-i)=1$.

Quindi, nel prodotto di un vettore con sé stesso, moltiplichiamo ogni numero per il suo coniugato. Rifacciamo i due conti.

Per il vettore $(1,i)$:

Per il vettore $(i,0)$:

Adesso i risultati sono reali e positivi. Il primo vettore è lungo $\sqrt{2}$, il secondo è lungo 1.

Per il prodotto di due vettori diversi la regola è la stessa. Si moltiplicano i numeri del primo vettore per i coniugati dei numeri del secondo, e poi si somma.

Questo prodotto si chiama prodotto hermitiano euclideo. La parola «hermitiano» viene da Charles Hermite, un matematico francese dell'Ottocento, e la h non si pronuncia. Nelle prossime due sezioni lo guardiamo con calma: prima le regole generali, poi i conti.

Il prodotto della sezione precedente è solo un esempio. Le dispense fanno un passo in più: dicono quali regole deve rispettare un prodotto tra vettori complessi per chiamarsi hermitiano. Le regole sono tre.

A che cosa serve conoscerle? Nel quiz capita di dover scegliere l'uguaglianza giusta tra cinque che si assomigliano. E dalla terza regola viene il controllo «diagonale reale, specchi coniugati» che userai con le matrici.

Le tre regole viste con i numeri

Usiamo il prodotto della sezione precedente e gli stessi due vettori:

Un conto lo abbiamo già fatto: $⟨x,y⟩=3+i$.

Regola 1: una somma al primo posto si spezza. Il prodotto di una somma di due vettori con un terzo vettore è la somma dei due prodotti. È la stessa regola del prodotto scalare.

Regola 2: un numero che moltiplica il primo vettore esce così com'è. Puoi moltiplicare prima o dopo: non cambia niente.

Regola 3: se scambi i due vettori, il risultato si coniuga.

Nel prodotto scalare tra vettori reali l'ordine dei due vettori non contava. Qui conta: scambiandoli, il risultato diventa il suo coniugato.

Come lo scrivono le dispense

Un prodotto hermitiano è una qualsiasi regola che prende due vettori, restituisce un numero complesso e rispetta queste tre regole. Le dispense lo scrivono così.

Come si legge.

• Uno spazio vettoriale complesso è un insieme di vettori in cui i numeri che si usano sono complessi. L'esempio da tenere in mente è ${\mathbb{C}}^2$. Le dispense lo chiamano $V$.
• La riga con le frecce dice che cosa entra e che cosa esce. Entra una coppia di vettori di $V$: il segno $\times$ qui vuol dire «una coppia». Esce un numero complesso. La freccia $⟶$ si legge «va in».
• La freccia con il trattino all'inizio, $⟼$, si legge «viene mandato in». La coppia $(v,w)$ viene mandata nel numero $⟨v,w⟩$, cioè nel prodotto hermitiano di $v$ e $w$.
• Un assioma è una regola che si chiede per definizione.
• $v^{\prime }$ si legge «vi primo»: è solo il nome di un altro vettore. $\lambda$ è la lettera greca lambda e indica un numero complesso: è questo che dice la scrittura $\lambda \in \mathbb{C}$.
• La riga 1 è la regola 1: una somma al primo posto si spezza.
• La riga 2 è la regola 2: il numero $\lambda$ esce dal primo posto così com'è.
• La riga 3 è la regola 3. La lineetta lunga copre tutto il prodotto di $w$ e $v$: vuol dire «il coniugato di quel numero».
• «Per ogni» vuol dire che le regole devono valere qualunque vettore e qualunque numero tu scelga.

Le regole 1 e 2 insieme si riassumono così: il prodotto è lineare nel primo posto. «Lineare» vuol dire che rispetta le somme e i multipli, come le macchine della lezione L14.

Quattro conseguenze

Dalle tre regole se ne ricavano altre quattro. Le dispense le numerano da (4) a (7).

La (5) è quella che si sbaglia più spesso. Controlliamola con i numeri.

La (7) è il motivo di tutta la costruzione. Perché vale? Usa la regola 3 con due vettori uguali. Scambiare $v$ con $v$ non cambia niente, ma per la regola 3 il risultato si coniuga. Quindi il numero $⟨v,v⟩$ è uguale al suo coniugato. E un numero uguale al suo coniugato è reale.

Le dispense lo dicono in modo esplicito: il coniugio nella regola (3) è un trucco per ottenere che $⟨v,v⟩$ sia un numero reale. «Coniugio» è il nome dell'operazione di coniugare. Solo se quel numero è reale ha senso chiedersi se è positivo.

Lineare una volta e mezzo

Le dispense danno un nome a questo comportamento «diverso nei due posti».

Il confronto tra i due prodotti, riga per riga:

L'ultima riga parla di matrici: la capirai tra due sezioni.

Adesso sappiamo che il prodotto di un vettore con sé stesso è un numero reale. Quindi ha senso una domanda: è positivo? Quando la risposta è sempre sì, tornano tutti gli attrezzi delle lezioni L20 e L21: lunghezze, vettori perpendicolari, basi ortonormali.

Positivo per ogni vettore

Riprendiamo il prodotto della prima sezione, quello con i coniugati sul secondo vettore. Calcoliamo il prodotto di tre vettori con sé stessi.

Ogni pezzo è un numero per il suo coniugato, quindi è reale e mai negativo. Il risultato è positivo per ogni vettore, tranne che per il vettore fatto di soli zeri. Un prodotto hermitiano con questa proprietà si chiama definito positivo.

Non tutti i prodotti hermitiani lo sono. Nella sezione sulle matrici ne incontrerai uno che a un vettore diverso da zero assegna il numero $-1$.

Le dispense lo scrivono così.

Come si legge. Il simbolo $\ne$ si legge «diverso da». Qui lo zero è il vettore zero, quello fatto di soli zeri. Il simbolo $>$ si legge «maggiore di». Tutta insieme: il prodotto di $v$ con sé stesso è un numero positivo, qualunque vettore $v$ tu scelga, purché non sia il vettore zero.

La domanda «è positivo?» ha senso solo perché quel numero è reale. Tra due numeri complessi non si può dire quale sia il maggiore (lezione L01).

Lunghezza, perpendicolare, base ortonormale

Con un prodotto hermitiano definito positivo si rifà tutto quello che si faceva con i vettori reali. Cambia solo il prodotto che si usa. Ecco le parole, una per una.

Norma. La norma di un vettore è la sua lunghezza. Si calcola come prima: il prodotto del vettore con sé stesso, e poi la radice quadrata. Si scrive con due doppie barre: $\Vert v\Vert$ si legge «norma di $v$».

Dalla tabella qui sopra: la norma di $(1,i)$ è $\sqrt{2}$ e la norma di $(2,1+i)$ è $\sqrt{6}$.

Vettori ortogonali. Due vettori sono ortogonali, cioè perpendicolari, quando il loro prodotto fa 0. Qui l'ordine non conta: se un prodotto fa 0, anche quello con i vettori scambiati fa 0, perché è il coniugato di 0.

Spazio ortogonale. Prendi un sottospazio $U$, cioè una «stanza» dentro lo spazio (lezione L06). Il suo spazio ortogonale è l'insieme dei vettori ortogonali a ogni vettore di $U$. Si scrive $U^{\perp }$ e si legge «U ortogonale» (lezione L21).

Base ortonormale. È una base fatta di vettori di norma 1 e ortogonali tra loro (lezione L21).

Gram–Schmidt. È il procedimento della lezione L21 che trasforma una base qualsiasi in una base di vettori ortogonali. Le dispense avvertono che funziona anche qui. Più sotto c'è un esempio.

Il prodotto più usato: quello euclideo

Il prodotto della prima sezione è l'esempio più importante. Le dispense lo presentano nell'Esempio 25.3 e lo scrivono con le matrici. Per leggerlo servono due scritture.

La seconda scrittura è nuova. Una lineetta sopra un vettore vuol dire: coniuga ogni numero del vettore. Se $y=(2,1+i)$, allora $\bar{y}=(2,1-i)$. Lo stesso vale per una matrice: $\bar{A}$ è la matrice $A$ con tutti i numeri coniugati.

Un'ultima scrittura delle dispense: $M(m,n,\mathbb{C})$ è l'insieme delle matrici con $m$ righe e $n$ colonne fatte di numeri complessi.

Per i vettori $x=(1,i)$ e $y=(2,1+i)$ questi conti li abbiamo già fatti tutti. I due prodotti sono $3+i$ e $3-i$. Le due norme sono $\sqrt{2}$ e $\sqrt{6}$. Altri conti dello stesso tipo sono negli esercizi 2 e 4.

Gram–Schmidt con i numeri complessi

Alla stessa base si arriva con il procedimento di Gram–Schmidt. Ricorda l'idea (lezione L21): il primo vettore resta com'è, e al secondo si toglie la sua «ombra» sul primo. Quello che resta è ortogonale al primo.

Si parte da due vettori $v_1$ e $v_2$ e si costruiscono due vettori nuovi, $w_1$ e $w_2$. Il numerino in basso dice solo quale dei due è. La formula per il secondo è:

Una matrice è una tabella di numeri. Nei prodotti scalari le tabelle importanti erano quelle simmetriche (lezioni L19 e L20). Con i numeri complessi il loro posto lo prendono le matrici hermitiane.

A che cosa serve: riconoscere una matrice hermitiana è una domanda del quiz, ed è anche il passo finale delle altre due domande tipiche di questa lezione.

Uno specchio che cambia il segno alla i

Guarda questa matrice. È l'esempio delle dispense.

Si notano due cose.

• Sulla diagonale ci sono $2$ e $1$: due numeri reali.
• Fuori dalla diagonale ci sono $1+i$ in alto a destra e $1-i$ in basso a sinistra. Non sono uguali, quindi la matrice non è simmetrica. Ma ognuno dei due è il coniugato dell'altro.

È come una matrice simmetrica in cui lo specchio, oltre a riflettere, cambia il segno davanti alla $i$. Una matrice fatta così si chiama hermitiana.

Con i simboli delle dispense

Le dispense usano due operazioni sulle matrici.

• La trasposta ${}^{t}H$: scambia le righe con le colonne (ripasso qui sopra).
• La coniugata $\bar{H}$: coniuga ogni numero della tabella, senza spostare niente.

Proviamole tutte e due sulla matrice $H$.

Viene la stessa tabella. Trasporre questa matrice dà lo stesso risultato che coniugarla: la definizione delle dispense chiede proprio questo.

Serve ancora un modo per indicare un numero preciso della tabella. Si usano due numerini in basso: il primo dice la riga, il secondo la colonna. $H_{12}$ si legge «acca uno due» ed è il numero nella riga 1 e nella colonna 2. Nella nostra matrice $H_{12}=1+i$ e $H_{21}=1-i$. Con le lettere al posto dei numerini, $H_{ij}$ è il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$.

Come si legge.

• «Matrice quadrata complessa»: una tabella con tante righe quante colonne, fatta di numeri complessi.
• La prima formula dice: la trasposta è uguale alla coniugata.
• La seconda formula dice la stessa cosa un numero alla volta. Il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$ è il coniugato del numero nella riga $j$ e nella colonna $i$. I due posti sono uno lo specchio dell'altro rispetto alla diagonale.
• «Per ogni $i,j$» vuol dire: per tutte le coppie di posti.
• Sulla diagonale il numero di riga e quello di colonna sono uguali, come in $H_{11}$. Lì la condizione dice che il numero è uguale al suo coniugato. Quindi i numeri sulla diagonale sono reali.

Il metodo applicato a cinque matrici:

Dalla matrice al prodotto

Nella lezione L19 una matrice simmetrica fabbricava un prodotto scalare. Una matrice hermitiana fa lo stesso lavoro con i vettori complessi: fabbrica un prodotto hermitiano. Le dispense lo chiamano $g_H$. La $g$ è il nome del prodotto, e la piccola $H$ in basso ricorda da quale matrice viene.

A parole: il vettore $x$ in riga, per la matrice $H$, per il vettore $y$ coniugato e in colonna. È la formula del prodotto euclideo, con la matrice $H$ infilata in mezzo.

Non è un caso: succede con ogni matrice hermitiana e con ogni coppia di vettori. Le regole (1) e (2) si controllano come per i prodotti scalari. La regola (3) vale proprio perché la matrice è hermitiana. La catena di passaggi delle dispense è nel riquadro.

La formula scritta per esteso

Se fai il conto ${}^{t}xH\bar{y}$ con le lettere al posto dei numeri, in ${\mathbb{C}}^2$ vengono quattro pezzi:

Ogni pezzo è fatto di tre cose: un numero della matrice, un numero di $x$ e un numero di $y$ coniugato. La regola per abbinarli è questa:

• la riga dice quale numero di $x$ compare;
• la colonna dice quale numero di $y$ coniugato compare.

Per esempio $H_{12}$, che sta nella riga 1 e nella colonna 2, moltiplica $x_1{\bar{y}}_2$.

Con la matrice delle dispense la formula diventa:

Un caso particolare. I vettori $e_1=(1,0)$ ed $e_2=(0,1)$ formano la base canonica di ${\mathbb{C}}^2$. Se nella formula metti $e_1$ al primo posto ed $e_2$ al secondo, tre pezzi su quattro contengono uno zero. Resta solo il pezzo con $x_1{\bar{y}}_2$, che vale $H_{12}$. Il prodotto di due vettori della base canonica «pesca» un numero della matrice. Le dispense lo scrivono così:

Qui $e_1,\dots ,e_n$ è la base canonica di ${\mathbb{C}}^n$: il vettore $e_i$ ha un 1 al posto $i$ e 0 negli altri posti. Sono vettori fatti di numeri reali, quindi coniugarli non li cambia.

Una formula è un prodotto hermitiano?

È la domanda più frequente dell'esame su questa lezione. Ti danno una formula con quattro pezzi e chiedono se è un prodotto hermitiano. Il metodo: si legge la formula al contrario, dai pezzi alla matrice.

Un coefficiente è il numero che sta davanti a un pezzo della formula.

Un prodotto hermitiano si può riassumere in una tabella. Basta scegliere una base e scrivere tutti i prodotti tra i vettori della base. È la stessa costruzione fatta per i prodotti scalari nella lezione L19.

A che cosa serve? Spiega perché nel quiz basta guardare la matrice dei coefficienti: ogni prodotto hermitiano viene da una matrice hermitiana. Negli appelli dal 2024 al 2026 nessuna domanda chiede di calcolare la tabella di questa sezione. Se hai poco tempo, leggi il primo esempio e il riquadro «Da ricordare».

Un esempio: la tabella di una base

La regola generale

La ricetta è sempre questa. Hai uno spazio vettoriale complesso con un prodotto hermitiano, e scegli una base. Le dispense chiamano lo spazio $V$ e la base $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$. Vuol dire: un elenco di $n$ vettori, in cui il primo si chiama $v_1$ e l'ultimo $v_n$.

La matrice associata al prodotto in quella base è la tabella dei prodotti. Nel posto di riga $i$ e colonna $j$ c'è il prodotto del vettore numero $i$ con il vettore numero $j$:

Questa tabella è sempre hermitiana. Il motivo è la regola (3). Scambiando i due vettori il prodotto si coniuga, quindi il numero nel posto «riga $j$, colonna $i$» è il coniugato di quello nel posto «riga $i$, colonna $j$»:

Per questo le dispense usano la lettera $H$ e non la $S$ dei prodotti scalari: la matrice non è simmetrica ma hermitiana.

Con la tabella si calcola il prodotto di due vettori qualsiasi, usando solo le loro coordinate. Le dispense scrivono:

A parole: le coordinate di $v$ in riga, per la tabella, per le coordinate di $w$ coniugate e in colonna. È la formula di $g_H$ della sezione precedente, con le coordinate al posto dei vettori.

Perché le coordinate di $w$ vanno coniugate? Perché $w$ sta al secondo posto, e dal secondo posto i numeri escono coniugati (proprietà 5). Le dispense dicono che la formula si dimostra come per un prodotto scalare, «stando attenti alla sesquilinearità».

Ogni prodotto hermitiano viene da una matrice

Prendi ${\mathbb{C}}^n$ con la base canonica. In quella base le coordinate di un vettore sono i suoi stessi numeri. La formula con le coordinate diventa allora quella di $g_H$.

Le dispense concludono: qualsiasi prodotto hermitiano su ${\mathbb{C}}^n$ è della forma $g_H$ per qualche matrice hermitiana $H$.

Quindi prodotti hermitiani e matrici hermitiane contengono la stessa informazione. Ecco perché il metodo della sezione precedente funziona: per giudicare una formula basta guardare la sua matrice.

Fin qui il prodotto prendeva due vettori e dava un numero. Adesso entra in scena un personaggio diverso: una macchina che trasforma vettori in vettori, cioè un'applicazione lineare (lezione L14).

In questa sezione e nella prossima lo spazio $V$ può essere di due tipi, e tutto vale per entrambi:

• uno spazio di vettori reali con un prodotto scalare definito positivo, come ${\mathbb{R}}^2$ con il conto della spesa;
• uno spazio di vettori complessi con un prodotto hermitiano definito positivo, come ${\mathbb{C}}^2$ con il prodotto euclideo.

A che cosa serve: le macchine di questa sezione sono le protagoniste del teorema spettrale (lezione L26). E «quale di queste applicazioni è autoaggiunta?» è una domanda del quiz.

Un esperimento con due matrici

Prendiamo ${\mathbb{R}}^2$ con il prodotto scalare di sempre e questa matrice:

Scegliamo due vettori, $v=(1,2)$ e $w=(3,1)$, e facciamo due conti diversi.

• Primo conto: passo $v$ nella macchina, poi faccio il prodotto con $w$.
• Secondo conto: passo $w$ nella macchina, poi faccio il prodotto di $v$ con il vettore che esce.

Non è fortuna. Con questa matrice i due conti danno lo stesso numero per ogni coppia di vettori. Ora rifacciamo l'esperimento con un'altra matrice:

Che differenza c'è tra le due matrici? La prima è simmetrica, la seconda no. Tra poco vedrai che il motivo è proprio questo.

Le dispense lo scrivono così.

Come si legge.

• $T:V\to V$ è la macchina: un endomorfismo dello spazio $V$.
• A sinistra dell'uguale c'è il primo conto: passo $v$ nella macchina, poi faccio il prodotto con $w$.
• A destra c'è il secondo conto: passo $w$ nella macchina, poi faccio il prodotto di $v$ con il vettore che esce.
• «Per ogni $v,w\in V$» vuol dire che i due conti devono dare lo stesso numero con qualunque coppia di vettori, non solo con qualcuna.

Il nome aiuta a ricordare: «auto» vuol dire «sé stessa». Dall'altra parte del prodotto ci va la stessa macchina, non un'altra.

Non confonderla con un'isometria

La definizione assomiglia a quella di isometria (lezione L22). Un'isometria è un movimento rigido, come una rotazione: non cambia né le lunghezze né gli angoli. Le dispense avvertono che tra le due definizioni ci sono somiglianze, ma anche differenze importanti. Conviene vederle una accanto all'altra.

Come si riconosce dalla matrice

La definizione chiede di controllare tutte le coppie di vettori, e sono infinite. Serve un test che si faccia in pochi secondi. Il test guarda la matrice della macchina.

Ricorda (lezione L15): scelta una base $\mathcal{B}$, una macchina $T$ si scrive come una matrice, che si indica con $[T{]}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}$. Nelle sue colonne ci sono le coordinate dei vettori in cui la macchina manda i vettori della base.

Per il test la base deve essere ortonormale: vettori di norma 1, ortogonali tra loro. La base canonica lo è.

Scegliamo quindi una base ortonormale $\mathcal{B}$ di $V$, e chiamiamo $A=[T{]}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}$ la matrice della macchina $T$ in quella base. Le dispense dimostrano questo risultato.

Come si legge. «Se e solo se» vuol dire che le due cose vanno sempre insieme. Se la macchina è autoaggiunta, la matrice è hermitiana. Se la matrice è hermitiana, la macchina è autoaggiunta. Nel caso reale «hermitiana» vuol dire «simmetrica». Attenzione all'ipotesi scritta prima del riquadro: $A$ è la matrice di $T$ in una base ortonormale.

Perché è vero? Riguarda l'esperimento con la matrice $B$ e i vettori della base canonica. Il primo conto ha dato 0: è il numero di $B$ nella riga 2 e nella colonna 1. Il secondo conto ha dato 1: è il numero nella riga 1 e nella colonna 2. I due conti «pescano» due numeri della matrice che sono uno lo specchio dell'altro.

Quindi i due conti coincidono quando i numeri a specchio coincidono. Se succede per tutte le coppie di posti, la matrice è simmetrica. Con i numeri complessi il secondo conto pesca il numero coniugato, e «simmetrica» diventa «hermitiana».