Canale B · Lezione 03 · Libro, parte 1, §1.6–1.7

Numeri negativi e numeri in virgola mobile

Con i bit si scrivono anche i numeri negativi e i numeri con la virgola. Come un contachilometri che torna indietro da zero diventa il modo di scrivere i negativi, come si sommano senza guardare il segno, e come un byte tiene un numero con la virgola, perdendo a volte qualche cifra.

Libro: Johnsonbaugh, Brookshear, Brylow, Fondamenti dell'Informatica, parte 1 (Brookshear, cap. 1), §1.6–1.7
Docente: Stefano Berardi · canale B · A.A. 2026/27
Tempo di studio: 3 ore, anche in più volte

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre il libro
Esempio svolto
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare
Ripasso

La lezione in 8 punti

Con i bit della lezione 02 si scrivono solo i numeri da 0 in su. Per i numeri negativi si usa il complemento a 2: è un contachilometri di bit che, tornando indietro da 0000, segna 1111, cioè −1.
In complemento a 2 il bit più a sinistra dice il segno: 0 per i positivi e lo zero, 1 per i negativi. Con 4 bit si va da −8 a 7, con 8 bit da −128 a 127.
Per cambiare segno copi i bit da destra fino al primo 1 compreso e inverti tutti gli altri. Oppure inverti tutti i bit e aggiungi 1.
Le somme si fanno in colonna come nella lezione 02, e il riporto che esce a sinistra si butta. Sottrarre vuol dire sommare l'opposto. C'è overflow quando due numeri con lo stesso segno danno un risultato con il segno opposto.
Nella notazione in eccesso leggi i bit come un numero senza segno e togli sempre lo stesso numero: con 4 bit togli 8, con 3 bit togli 4.
I numeri con la virgola si scrivono in virgola mobile. Nel formato del libro il primo bit è il segno, i 3 bit dopo sono l'esponente, che dice di quanto spostare la virgola, e gli ultimi 4 la mantissa, cioè le cifre.
Quando le cifre non entrano nei 4 bit della mantissa, le ultime si perdono: è l'errore di troncamento. Per questo un decimo non si scrive mai in modo esatto.
All'esame tornano tutte e tre: complemento a 2, notazione in eccesso e virgola mobile. Nelle simulazioni del 2023/24 c'è un quiz sul complemento a 2 con 8 bit e uno sul numero 3,625 in virgola mobile.

Canali A, B e C

Nel canale B è la lezione di lunedì 05/10, dalle 9 alle 11. Per il docente è la lezione 4, perché la prima è stata un'introduzione: qui è la 03. Il diario del canale B la riassume così: «Interi col segno in complemento in base 2. Excess notation, cambio di segno e addizione in complemento in base 2» (§1.6, Storing Integers) e «Floating point notation» (§1.7, Storing Fractions). La sezione 1.8, sul linguaggio Python, è stata omessa dal docente: qui non c'è. Nel programma del canale B è esclusa, ma la mappa comune dei tre canali la elenca: se vuoi esserne sicuro, chiedilo al docente. Qui gli argomenti sono nell'ordine del libro: complemento a 2, somme, notazione in eccesso, virgola mobile. Nel canale A il complemento a 2 è nelle ultime pagine dei lucidi «Cenni sulla codifica dei dati» di Felice Cardone (Moodle del canale A, id 3851, aperto agli ospiti). Nel canale C le stesse sezioni sono nei lucidi del docente.

§1

Il contachilometri all'indietro

libro, §1.6

Nella lezione 02 hai scritto in bit i numeri da 0 in su. Ma servono anche i numeri negativi: una temperatura di −3 gradi, un conto in rosso di −50 euro, l'ascensore che scende al piano −1. Il computer però ha solo bit. Non c'è un posto dove mettere il segno meno.

Tornare indietro da zero

Riprendi il contachilometri della lezione 02, quello del motorino con tre cifre. Segna 000. Ora immagina di spingere il motorino all'indietro per un chilometro. Il contachilometri gira al contrario e segna 999. Un altro chilometro all'indietro: 998.

Quindi 999 sta un passo prima di 000: fa la parte di −1. Il 998 fa la parte di −2, e così via. Basta mettersi d'accordo: da 000 a 499 ci sono i numeri soliti, da 500 a 999 i negativi.

Con i bit si fa la stessa cosa. Prendi un contatore di 3 bit fermo su 000.

Un passo avanti: 001, cioè 1. Poi 010, cioè 2, e 011, cioè 3.
Un passo indietro da 000: il contatore gira e segna 111. Quindi 111 è −1.
Ancora indietro: 110 è −2, 101 è −3, 100 è −4.

Questo modo di scrivere i numeri con il segno si chiama complemento a 2 (two's complement). È quello che usano i computer per gli interi. Ecco le tabelle con 3 bit e con 4 bit, come nel libro.

Bit	011	010	001	000	111	110	101	100
Valore	3	2	1	0	−1	−2	−3	−4

Positivi e zero	Valore	Negativi	Valore
0111	7	1111	−1
0110	6	1110	−2
0101	5	1101	−3
0100	4	1100	−4
0011	3	1011	−5
0010	2	1010	−6
0001	1	1001	−7
0000	0	1000	−8

Guarda la tabella con 4 bit. Si notano tre cose.

Il bit a sinistra dice il segno: 0 per i positivi e per lo zero, 1 per i negativi. Si chiama bit di segno (sign bit).
I positivi si scrivono come nella lezione 02, con uno 0 davanti: 0101 è 5.
−1 è fatto di soli 1: 111 con 3 bit, 1111 con 4, 11111111 con 8. È il passo prima di zero.

L'idea

Il complemento a 2 è un contachilometri di bit. In avanti da zero ci sono i positivi. All'indietro da zero il contatore gira, e ci sono i negativi: −1 è tutto 1.

Prova tu

Con 4 bit, che numero è 1110? E come si scrive −3?

1110 è due passi indietro da 0000: 1111 è −1, 1110 è −2. Quindi vale −2.

−3 è tre passi indietro: 1111, 1110, 1101. Quindi −3 si scrive 1101.

Leggere un numero: la moneta con il segno meno

Contare i passi all'indietro va bene vicino a zero. Per gli altri numeri c'è un modo più veloce, con le monete della lezione 02.

In complemento a 2 la moneta più a sinistra vale con il segno meno. Con 4 bit le monete sono −8, 4, 2 e 1. Il numero vale, come sempre, la somma delle monete sotto cui c'è un 1.

Bit	1	0	1	0
Moneta	−8	4	2	1
La dai?	sì	no	sì	no

Quindi 1010 vale −8 + 2 = −6. Controlla nella tabella: è proprio −6.

Un altro esempio: 0110 ha il bit di segno a 0, quindi la moneta da −8 non c'è. Vale 4 + 2 = 6.

Con 8 bit le monete sono −128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 e 1. Prendi 11111010. Le monete positive sono 64, 32, 16, 8 e 2, che fanno 122. Con la moneta da −128: −128 + 122 = −6.

Perché la moneta di sinistra ha il segno meno? Leggi 1111 senza segno, come nella lezione 02: vale 15. Ma nel contachilometri 1111 è −1, cioè 16 in meno. Succede a tutti i negativi con 4 bit: letti senza segno valgono 16 in più del loro valore vero. Dare alla prima moneta −8 invece di 8 toglie proprio 16.

Metodo · Leggere un numero in complemento a 2

Guarda il bit a sinistra. Se è 0, il numero è positivo o zero: leggilo come nella lezione 02.
Se è 1, il numero è negativo. Somma le monete, ma dai a quella di sinistra il segno meno: −8 con 4 bit, −128 con 8 bit.
Controllo: letto senza segno, un negativo vale 16 in più con 4 bit, 256 in più con 8 bit.

Il controllo su 1010: senza segno vale 8 + 2 = 10, e 10 − 16 = −6. Torna.

Nello strumento parti da 0000 e premi più volte «−1»: il contatore gira a 1111, poi a 1110, come il contachilometri. Clicca sui bit per vedere come cambia il valore. L'ultima riga, la notazione in eccesso, la vedi più avanti.

Prova tu

Con 8 bit, quanto valgono 10000001 e 01111111?

10000001: le monete sono −128 e 1, quindi vale −128 + 1 = −127.

01111111: il bit di segno è 0. Ci sono tutte le altre monete: 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127.

Fin dove si arriva

Con 4 bit i numeri vanno da −8 a 7. Il più piccolo, 1000, ha solo la moneta da −8. Il più grande, 0111, ha tutte le monete positive: 4 + 2 + 1 = 7.

Non è simmetrico: −8 c'è, 8 no. Le file di 4 bit sono 16. Metà cominciano con 1, e sono gli 8 negativi da −1 a −8. Le altre 8 cominciano con 0, e una di loro è lo zero: ai positivi restano solo i numeri da 1 a 7.

Con un numero di bit qualunque, che chiamiamo $n$ , la moneta di segno vale $2^{n - 1}$ . Si legge «due elevato alla n meno uno»: l'esponente è $n - 1$ , un bit in meno di quelli che hai. Con 4 bit è $2^{3} = 8$ . Quindi:

il numero più piccolo è $- 2^{n - 1}$ : solo la moneta di segno;
il numero più grande è $2^{n - 1} - 1$ : tutte le monete positive, che fanno la moneta di segno meno 1.

Bit	Dal più piccolo	Al più grande
3	−4	3
4	−8	7
6	−32	31
8	−128	127
16	−32768	32767
32	−2147483648	2147483647

I computer di oggi usano 32 o 64 bit per gli interi: con 32 bit si superano già i due miliardi.

Trappola · «Con 8 bit si arriva a 255»

Vale solo senza segno, come nella lezione 02. In complemento a 2 metà delle file servono per i negativi, e con 8 bit si arriva a 127. Lo stesso byte 11111111 vale 255 senza segno e −1 in complemento a 2: decide la regola con cui lo leggi.

Prova tu

Con 6 bit, qual è il numero più grande e quale il più piccolo?

La moneta di segno vale $2^{5} = 32$ . Il più piccolo è 100000, cioè −32. Il più grande è 011111, cioè 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31. È la domanda 4 del §1.6, con la risposta del libro.

Da ricordare

Complemento a 2 = contachilometri di bit: all'indietro da 0000 si arriva a 1111, cioè −1.
Bit a sinistra 0: positivo o zero. Bit a sinistra 1: negativo. La moneta di sinistra vale con il segno meno: −8 con 4 bit, −128 con 8.
Con $n$ bit si va da $- 2^{n - 1}$ a $2^{n - 1} - 1$ : con 4 bit da −8 a 7, con 8 bit da −128 a 127.

§2

Cambiare segno a un numero

libro, §1.6

Sul contachilometri, 2 e −2 stanno alla stessa distanza da zero: due passi avanti e due passi indietro. Cambiare segno vuol dire passare da uno all'altro. Sui bit ci sono due modi per farlo. Il primo è quello del libro.

Il metodo del libro: copia, poi inverti

Invertire un bit vuol dire cambiarlo: 0 diventa 1, e 1 diventa 0.

Metodo · Cambiare segno: copia fino al primo 1, poi inverti

Parti da destra e copia i bit così come sono, fino al primo 1 compreso.
Inverti tutti i bit che restano a sinistra.

Esempio · Da 6 a −6, con 4 bit

6 si scrive 0110.

Da destra: lo 0 si copia. Poi viene il primo 1, e si copia anche lui. Hai copiato «10».
A sinistra restano «01». Invertiti diventano «10».
Il risultato è 1010.

Controllo con le monete: 1010 vale −8 + 2 = −6.

Funziona anche al contrario. Parti da −6, cioè 1010: copi «10», inverti «10» e ottieni «01». Il risultato è 0110, cioè 6.

L'altro modo: inverti tutto e aggiungi 1

Molti libri usano un altro metodo, che dà lo stesso risultato.

Metodo · Cambiare segno: inverti e aggiungi 1

Inverti tutti i bit.
Aggiungi 1, con la somma in colonna della lezione 02.

Ancora da 6 a −6. Inverti 0110 e ottieni 1001. Aggiungi 1: 1001 + 0001 = 1010. È di nuovo −6.

Perché funziona? Somma un numero e il suo invertito: in ogni colonna c'è un 1 e uno 0, e viene sempre 1. Per esempio 0110 + 1001 = 1111. Ma 1111 è −1. Quindi l'invertito di 6 è il numero che, sommato a 6, dà −1: è −7. Sul contachilometri è un passo troppo indietro. Aggiungendo 1 si arriva a −6.

Nello strumento della sezione precedente c'è il pulsante «cambia segno»: provalo su qualche numero.

Da un numero negativo ai bit

Metodo · Scrivere un numero negativo in complemento a 2

Scrivi il numero senza il segno meno in base 2, con tutti i bit richiesti: metti zeri a sinistra se servono.
Cambia segno, con uno dei due metodi.
Controlla con le monete.

Esempio · −17 con 8 bit (domanda 2 del §1.6)

17 = 16 + 1. Con 8 bit: 00010001.
Da destra copi il primo 1. Inverti gli altri sette bit, 0001000, che diventano 1110111.
Il risultato è 11101111.
Controllo: le monete positive sono 64, 32, 8, 4, 2 e 1, che fanno 111. Con la moneta da −128: −128 + 111 = −17.

Due casi speciali

Lo zero. 0000 non ha nessun 1: si copia tutto, e resta 0000. Lo zero è l'opposto di sé stesso, e ce n'è uno solo.
Il numero più piccolo. Con 4 bit è 1000, cioè −8. Il primo 1 da destra è quello del segno: si copia tutto e resta 1000. Cambiare segno a −8 non funziona, perché 8 con 4 bit non c'è.

Oltre il libro · lo stesso numero con più bit

−6 con 4 bit è 1010. Con 8 bit è 11111010: è la risposta del libro alla domanda 2 del §1.6. Per allungare un numero si copia il bit di segno verso sinistra: i positivi si allungano con degli 0, i negativi con degli 1. Sul contachilometri è naturale: con più cifre, −1 resta tutto 1. Attenzione: 00001010 non è −6. Il bit di segno è 0, e vale 10.

Oltre il libro · due modi che i computer non usano più

Il programma ufficiale del corso nomina anche il complemento a 1: per cambiare segno si invertono tutti i bit, senza aggiungere 1. Con 4 bit −6 diventa 1001. C'è poi la notazione segno e modulo: il primo bit è il segno, gli altri il valore, e −6 è 1110. Tutti e due hanno due zeri: in complemento a 1 sono 0000 e 1111, in segno e modulo 0000 e 1000. In più le somme in colonna danno risultati sbagliati e vanno corrette. Per questo i computer usano il complemento a 2.

Prova tu

(a) Con 8 bit, cambia segno a 01010101. (b) Scrivi −1 con 8 bit.

(a) Da destra copi il primo 1. Inverti gli altri sette bit, 0101010, che diventano 1010101. Il risultato è 10101011. Controllo: 01010101 vale 64 + 16 + 4 + 1 = 85, e 10101011 vale −128 + 32 + 8 + 2 + 1 = −85. È la domanda 3 del §1.6.

(b) 1 con 8 bit è 00000001. Copi l'ultimo 1 e inverti gli altri sette: 11111111. È il numero fatto di soli 1, come deve essere −1.

Da ricordare

Cambiare segno: copia da destra fino al primo 1 compreso, poi inverti il resto. Oppure: inverti tutto e aggiungi 1.
Un negativo si scrive così: prima il numero senza segno, con tutti i bit, poi si cambia segno.
Lo zero resta zero. Il numero più piccolo, 1000 con 4 bit, non ha l'opposto.

§3

Sommare e sottrarre con il segno

libro, §1.6

Il complemento a 2 ha un grande vantaggio: si somma esattamente come nella lezione 02, senza guardare i segni. C'è una sola regola nuova: il riporto che esce dalla colonna più a sinistra si butta via.

Torna al contachilometri. Segna 998, cioè −2. Fai 3 chilometri in avanti: 999, 000, 001. Ora segna 001, cioè 1. E infatti −2 + 3 = 1. In colonna, 998 + 003 fa 1001: quattro cifre. Il contachilometri ne ha tre e mostra 001. L'1 a sinistra si perde, ed è giusto così.

Tre somme con 4 bit

3 + 2. È la somma della lezione 02: 0011 + 0010 = 0101, cioè 5.

−3 + (−2). In bit 1101 + 1110. La prima riga della tabella contiene i riporti che arrivano in ogni colonna. La colonna «fuori» è il posto che non c'è.

	fuori	4ª	3ª	2ª	1ª
riporti		1	0	0
−3		1	1	0	1
−2		1	1	1	0
somma	(1)	1	0	1	1

1 + 0 fa 1: scrivi 1, niente riporto.
0 + 1 fa 1: scrivi 1, niente riporto.
1 + 1 fa 10: scrivi 0 e riporti 1.
1 + 1 più il riporto fa 11: scrivi 1 e riporti 1. Questo riporto esce dai 4 bit e si butta.

Restano 1011. Con le monete: −8 + 2 + 1 = −5. Giusto.

7 + (−5). In bit 0111 + 1011.

	fuori	4ª	3ª	2ª	1ª
riporti		1	1	1
7		0	1	1	1
−5		1	0	1	1
somma	(1)	0	0	1	0

1 + 1 fa 10: scrivi 0 e riporti 1.
1 + 1 più il riporto fa 11: scrivi 1 e riporti 1.
1 + 0 più il riporto fa 10: scrivi 0 e riporti 1.
0 + 1 più il riporto fa 10: scrivi 0. Il riporto esce e si butta.

Restano 0010, cioè 2. Giusto: 7 − 5 = 2.

Nello strumento clicca sui bit dei due numeri: sotto vedi la somma in colonna e il valore di ogni numero con il segno.

Sottrarre vuol dire sommare l'opposto

Togliere 5 è come aggiungere −5: 7 − 5 = 7 + (−5). Quindi una sottrazione si fa in due passi: cambi segno al secondo numero e sommi. Il computer non ha bisogno di un circuito per sottrarre: gli bastano quello che cambia segno e quello che somma.

Esempio 4 − 6 con 4 bit (domanda 7 del §1.6)

4 è 0100. 6 è 0110, e con il cambio di segno diventa 1010.
0100 + 1010: da destra 0 + 0 fa 0, 0 + 1 fa 1, 1 + 0 fa 1, 0 + 1 fa 1. Nessun riporto.
Il risultato è 1110. Con le monete: −8 + 4 + 2 = −2. Giusto: 4 − 6 = −2.

Prova tu

(a) Con 4 bit calcola 1110 + 0011. (b) Calcola 3 − 2 con 4 bit, come una somma.

(a) È −2 + 3. Da destra: 0 + 1 fa 1. Poi 1 + 1 fa 10: scrivi 0 e riporti 1. Poi 1 + 0 più il riporto fa 10: scrivi 0 e riporti 1. Poi 1 + 0 più il riporto fa 10: scrivi 0, e il riporto esce e si butta. Resta 0001, cioè 1. È la domanda 5 del §1.6.

(b) 3 è 0011. 2 è 0010, e con il cambio di segno diventa 1110. Poi 0011 + 1110: da destra 1 + 0 fa 1; 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 1 più il riporto fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 1 più il riporto fa 10, scrivi 0 e il riporto si butta. Resta 0001, cioè 1.

Da ricordare

In complemento a 2 si somma in colonna come senza segno. Il riporto che esce a sinistra si butta.
Per sottrarre, cambia segno al secondo numero e somma.

§4

Quando il risultato non ci sta: l'overflow

libro, §1.6

Con 4 bit il numero più grande è 7. Prova a calcolare 5 + 4, cioè 0101 + 0100.

1 + 0 fa 1.
0 + 0 fa 0.
1 + 1 fa 10: scrivi 0 e riporti 1.
0 + 0 più il riporto fa 1.

Il risultato è 1001, che in complemento a 2 vale −8 + 1 = −7. È sbagliato: 5 + 4 fa 9, e 9 con 4 bit non c'è.

Guarda il contachilometri. Parti da 5 e fai 4 passi in avanti: 6, 7, poi 1000, che è −8, poi 1001, che è −7. Hai scavalcato il confine tra il positivo più grande e il negativo più piccolo. Questo è l'overflow dei numeri con il segno: il risultato vero non ci sta nei bit che hai.

Lo stesso succede con due negativi. Calcola −6 + (−6), cioè 1010 + 1010. Da destra: 0 + 0 fa 0; 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 0 più il riporto fa 1; 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e il riporto si butta. Resta 0100, cioè 4. Ma −6 − 6 fa −12, che con 4 bit non c'è.

In tutti e due i casi il segno del risultato è sbagliato. Due positivi non possono dare un negativo, e due negativi non possono dare un positivo. È questo il segnale dell'overflow.

Metodo · Riconoscere l'overflow in complemento a 2

Guarda i bit di segno dei due numeri. Se sono diversi, l'overflow non c'è mai: hai finito.
Se sono uguali, fai la somma e guarda il bit di segno del risultato.
Se è diverso da quello dei due numeri, c'è overflow.

Un positivo più un negativo non va mai in overflow

È la domanda 8 del §1.6. Sommando un positivo e un negativo, il risultato sta sempre tra i due numeri. Per esempio 7 + (−8) fa −1, che sta tra −8 e 7. I due numeri ci stanno nei bit che hai, e quindi ci sta anche il risultato.

Trappola · Il riporto finale non dice niente

Nella lezione 02, per i numeri senza segno, l'overflow c'era quando usciva un riporto a sinistra. Con il segno non funziona così. In −3 + (−2) esce un riporto, ma il risultato −5 è giusto. In 5 + 4 non esce nessun riporto, ma c'è overflow. Con il complemento a 2 guarda solo i segni.

Nello strumento della sezione precedente prova 0101 + 0100 e 1010 + 1010: lo strumento segnala l'overflow.

Con 32 bit si arriva oltre i due miliardi e l'overflow capita di rado. Ma capita, e un programma che conta oltre il massimo si ritrova con un numero negativo.

Prova tu

Con 4 bit: (a) 0101 + 0110; (b) 1010 + 0111. In quale c'è overflow?

(a) I due numeri sono positivi, 5 e 6. Da destra: 1 + 0 fa 1; 0 + 1 fa 1; 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 0 più il riporto fa 1. Il risultato è 1011, che è negativo: overflow. Infatti 5 + 6 = 11, e con 4 bit si arriva a 7.

(b) I segni sono diversi, quindi niente overflow. Da destra: 0 + 1 fa 1; 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 1 più il riporto fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 1 + 0 più il riporto fa 10, scrivi 0 e il riporto si butta. Resta 0001, cioè 1. Infatti −6 + 7 = 1. Sono due voci della domanda 6 del §1.6.

Da ricordare

Overflow in complemento a 2: due numeri con lo stesso segno danno un risultato con il segno opposto.
Un positivo più un negativo non va mai in overflow.
Il riporto che esce a sinistra non c'entra: conta solo il segno.

§5

La notazione in eccesso

libro, §1.6

Immagina un palazzo con otto piani sotto terra e sette sopra. I pulsanti dell'ascensore sono numerati da 0 a 15, dal piano più basso in su. Il piano terra è il pulsante 8. Per sapere a che piano sei, togli 8 dal numero del pulsante: il pulsante 11 porta al piano 3, il pulsante 5 al piano −3.

La notazione in eccesso (excess notation) fa la stessa cosa con i bit. Leggi i bit come un numero senza segno, come nella lezione 02, e poi togli sempre lo stesso numero. Con 4 bit si toglie 8, e si chiama notazione in eccesso 8 (excess eight).

Bit	Senza segno	In eccesso 8	Bit	Senza segno	In eccesso 8
1111	15	7	0111	7	−1
1110	14	6	0110	6	−2
1101	13	5	0101	5	−3
1100	12	4	0100	4	−4
1011	11	3	0011	3	−5
1010	10	2	0010	2	−6
1001	9	1	0001	1	−7
1000	8	0	0000	0	−8

Metodo · Leggere e scrivere in eccesso 8

Dai bit al numero: leggi i bit senza segno e togli 8. Per esempio 1110 è 14, e 14 − 8 = 6.
Dal numero ai bit: aggiungi 8 e scrivi il risultato in base 2 con 4 bit. Per esempio −5 + 8 = 3, cioè 0011.

Con 3 bit si toglie 4: è la notazione in eccesso 4. I bit vanno da 000, cioè −4, a 111, cioè 3. In generale con $n$ bit si toglie $2^{n - 1}$ , la stessa moneta di segno del complemento a 2.

Bit	111	110	101	100	011	010	001	000
In eccesso 4	3	2	1	0	−1	−2	−3	−4

Questa tabella ti serve nella virgola mobile, tra poco.

Il legame con il complemento a 2

Con 4 bit l'eccesso 8 va da −8 a 7, come il complemento a 2. Confronta le due scritture dello stesso numero.

Numero	Complemento a 2	Eccesso 8
−6	1010	0010
−1	1111	0111
0	0000	1000
5	0101	1101

Cambia solo il bit a sinistra. Quindi per passare da una notazione all'altra basta invertire il primo bit.

Trappola · In eccesso il bit a sinistra è al contrario

In complemento a 2 il bit a sinistra è 1 per i negativi. In eccesso è 1 per i positivi e lo zero, e 0 per i negativi. Prima di leggere un numero, guarda bene quale notazione chiede la domanda.

A che cosa serve questa notazione? In eccesso, il numero più grande ha anche i bit più grandi, letti senza segno: l'ordine dei numeri è l'ordine dei bit. Confrontare due numeri diventa facile, e per questo l'eccesso si usa per l'esponente della virgola mobile.

Nello strumento i bit sono 3: guarda la riga dell'eccesso 4 e premi «+1» e «−1».

Prova tu

(a) Quanto vale 0010 in eccesso 8? (b) Come si scrive 0 in eccesso 8? (c) Si può scrivere 9 in eccesso 8?

(a) Senza segno 0010 è 2, e 2 − 8 = −6.

(b) 0 + 8 = 8, cioè 1000.

(c) No. Il numero più grande è 1111, cioè 15 − 8 = 7. È la domanda 11 del §1.6: per lo stesso motivo 6 non si scrive in eccesso 4, che arriva solo a 3.

Da ricordare

Eccesso 8 con 4 bit: leggi senza segno e togli 8. Eccesso 4 con 3 bit: togli 4.
Per scrivere un numero: aggiungi 8 (o 4) e scrivi in base 2.
Eccesso e complemento a 2 differiscono solo nel bit a sinistra.

§6

La virgola che si sposta

libro, §1.7

Sul display di una calcolatrice ci stanno poche cifre. Per scrivere 3500000 bastano due cifre, 35, e un'istruzione: «scrivi 0,35 e sposta la virgola di 7 posti a destra». Per 0,0035 bastano le stesse cifre: «scrivi 0,35 e sposta la virgola di 2 posti a sinistra».

Un numero, quindi, si può scrivere con due cose: le cifre, e di quanti posti spostare la virgola. In fisica si scrive $0, 35 \cdot 1 0^{7}$ , che si legge «zero virgola trentacinque per dieci alla settima». Moltiplicare per $1 0^{7}$ vuol dire spostare la virgola di 7 posti a destra.

In base 2 vale la stessa idea. Ricorda le monete della lezione 02: spostare la virgola di un posto a destra fa passare ogni moneta a quella successiva, che vale il doppio. Quindi il numero raddoppia. Spostarla a sinistra lo dimezza. Per esempio 0,11 vale 3/4, e 1,1 vale 1 e 1/2, il doppio.

Perché non la virgola fissa

Nella lezione 02 la virgola stava in un posto fisso: si chiama virgola fissa. Prova a mettere in un byte 4 bit prima della virgola e 4 dopo. Il numero più piccolo, oltre lo zero, è 0000,0001, cioè 1/16. Il più grande è 1111,1111, cioè 15 e 15/16. Non ci sta 20, e non ci sta 1/32.

La virgola mobile (floating point) usa alcuni bit per dire dove va la virgola. Così con pochi bit si scrivono sia numeri grandi sia numeri piccoli.

Il formato del libro: segno, esponente, mantissa

Il libro usa un formato da un byte, diviso in tre pezzi.

Bit	1°	2°, 3°, 4°	5°, 6°, 7°, 8°
Pezzo	segno	esponente	mantissa
Esempio: 01101011	0	110	1011

Il segno è un bit: 0 per i positivi, 1 per i negativi. Qui gli altri bit non cambiano con il segno: −2 e 2 differiscono solo nel primo bit.
La mantissa (mantissa) sono le 4 cifre. La virgola si immagina a sinistra: la mantissa 1011 vuol dire 0,1011.
L'esponente (exponent) sono 3 bit in eccesso 4, cioè un numero da −4 a 3. Dice di quanti posti spostare la virgola: a destra se è positivo, a sinistra se è negativo.

Metodo · Dal byte al numero

Dividi il byte: 1 bit di segno, 3 di esponente, 4 di mantissa.
Scrivi la mantissa con «0,» davanti.
Leggi l'esponente in eccesso 4: senza segno, meno 4.
Sposta la virgola di tanti posti quanto dice l'esponente: a destra se è positivo, a sinistra se è negativo. Se mancano cifre, aggiungi degli zeri.
Leggi il numero con le monete della lezione 02, dopo la virgola 1/2, 1/4, 1/8. Se il segno è 1, mettici il meno.

Esempio 01101011, l'esempio del libro

Segno 0, esponente 110, mantissa 1011.
La mantissa è 0,1011.
110 senza segno è 6, e 6 − 4 = 2.
Sposti la virgola di 2 posti a destra: 10,11.
Prima della virgola 10 vale 2. Dopo la virgola 1/2 + 1/4 = 3/4. Il segno è 0: il numero è 2 e 3/4.

Esempio 00111100, con l'esponente negativo

Segno 0, esponente 011, mantissa 1100.
La mantissa è 0,1100.
011 senza segno è 3, e 3 − 4 = −1.
Sposti la virgola di un posto a sinistra. Davanti manca una cifra, e aggiungi uno zero: 0,01100.
Dopo la virgola ci sono le monete 1/4 e 1/8: 2/8 + 1/8 = 3/8.

Lo stesso numero si scrive anche così: $0, 1011 \cdot 2^{2}$ , che si legge «zero virgola uno zero uno uno per due alla seconda». Moltiplicare per $2^{2}$ vuol dire spostare la virgola di 2 posti a destra.

Ripasso · Le potenze di 2 con l'esponente negativo

$2^{3} = 8$ vuol dire moltiplicare per 2 tre volte. L'esponente negativo vuol dire dividere: $2^{- 1}$ si legge «due alla meno uno» e vale 1/2; $2^{- 2} = 1/4$ ; $2^{- 3} = 1/8$ . Moltiplicare per $2^{- 1}$ sposta la virgola di un posto a sinistra.

Nello strumento clicca sui bit: vedi i tre pezzi, la virgola che si sposta e il valore.

Prova tu

Che numeri sono (a) 01011010 e (b) 10101000?

(a) Segno 0, esponente 101, mantissa 1010. L'esponente è 5 − 4 = 1: la virgola va di un posto a destra, e 0,1010 diventa 1,010. Vale 1 + 1/4, cioè 1 e 1/4.

(b) Segno 1, esponente 010, mantissa 1000. L'esponente è 2 − 4 = −2: la virgola va di due posti a sinistra, e 0,1000 diventa 0,001000. Vale 1/8, con il meno: −1/8.

Da ricordare

Virgola mobile del libro: 1 bit di segno, 3 bit di esponente in eccesso 4, 4 bit di mantissa.
La mantissa ha la virgola a sinistra. L'esponente dice di quanti posti spostarla: a destra se positivo, a sinistra se negativo.
Per leggere: mantissa con «0,» davanti, sposta la virgola, leggi con le monete, metti il segno.

§7

Dal numero al byte

libro, §1.7

Ora il viaggio al contrario: hai un numero e vuoi il suo byte. Si fanno gli stessi passi della lettura, all'indietro.

Metodo · Dal numero al byte

Segno: 0 se il numero è positivo, 1 se è negativo. Da qui in poi lavora senza il segno meno.
Scrivi il numero in base 2, come nella lezione 02.
Sposta la virgola finché sta subito prima del primo 1, cioè finché il numero comincia con «0,1». Conta i posti. Se l'hai spostata a sinistra, l'esponente è positivo; se a destra, è negativo.
Mantissa: i primi 4 bit dopo la virgola. Se sono meno di 4, aggiungi degli zeri a destra.
Esponente: aggiungi 4 e scrivi il risultato con 3 bit.
Metti in fila segno, esponente e mantissa.

Esempio 1 e 1/8

È positivo: segno 0.
1 e 1/8 in base 2 è 1,001.
Sposti la virgola di un posto a sinistra: 0,1001. L'esponente è 1.
La mantissa è 1001.
1 + 4 = 5, cioè 101.
Il byte è 0 101 1001, cioè 01011001.

Controllo: 0,1001 con la virgola un posto a destra è 1,001, cioè 1 e 1/8.

Esempio 3/8

È positivo: segno 0.
3/8 = 1/4 + 1/8, cioè 0,011.
Il primo 1 è nella seconda posizione dopo la virgola. Sposti la virgola di un posto a destra: 0,11. L'esponente è −1.
La mantissa è 1100: 11 con due zeri in fondo.
−1 + 4 = 3, cioè 011.
Il byte è 0 011 1100, cioè 00111100. È il secondo esempio della sezione precedente.

Perché «subito prima del primo 1»

3/8 si potrebbe scrivere anche in un altro modo. Con l'esponente 0, cioè 100, e la mantissa 0110, il byte è 01000110: vale 0,0110, cioè ancora 3/8. Lo stesso numero avrebbe due byte diversi. In più la mantissa 0110 spreca il primo bit con uno 0, e ha posto solo per tre cifre utili.

Per questo si sceglie sempre la mantissa che comincia con 1. Si chiama forma normalizzata (normalized form). Così ogni numero ha un solo byte, e tutti e 4 i bit della mantissa portano cifre utili. Lo zero non ha nessun 1: si scrive 00000000.

Trappola · Le due direzioni dell'esponente

Se per arrivare a «0,1…» sposti la virgola a sinistra, il numero era grande e l'esponente è positivo. Se la sposti a destra, il numero era piccolo e l'esponente è negativo. Ricontrolla sempre rileggendo il byte che hai scritto.

Prova tu

Scrivi nel formato del libro (a) −1 e 1/2 e (b) 5/16.

(a) Segno 1. 1 e 1/2 è 1,1. La virgola va un posto a sinistra: 0,11, esponente 1. Mantissa 1100. Esponente 1 + 4 = 5, cioè 101. Il byte è 11011100. È la voce (d) della domanda 1 del §1.7, letta al contrario.

(b) Segno 0. 5/16 = 4/16 + 1/16 = 1/4 + 1/16, cioè 0,0101. La virgola va un posto a destra: 0,101, esponente −1. Mantissa 1010. Esponente −1 + 4 = 3, cioè 011. Il byte è 00111010.

Da ricordare

Per scrivere un numero: segno, base 2, virgola subito prima del primo 1, mantissa di 4 bit, esponente più 4 con 3 bit.
Forma normalizzata: la mantissa comincia sempre con 1.
Virgola spostata a sinistra: esponente positivo. A destra: esponente negativo.

§8

I bit che si perdono: il troncamento

libro, §1.7

La mantissa ha 4 bit. Che cosa succede quando le cifre sono di più? Si perdono. L'esempio del libro è 2 e 5/8.

È positivo: segno 0.
2 e 5/8 = 2 + 1/2 + 1/8, cioè 10,101.
Sposti la virgola di due posti a sinistra: 0,10101. L'esponente è 2, cioè 110.
Le cifre sono cinque, 10101, ma la mantissa ne tiene quattro: 1010. L'ultimo 1 si perde.
Il byte è 01101010.

Rileggi il byte: 0,1010 con la virgola due posti a destra è 10,10, cioè 2 e 1/2. È sparito 1/8. Questo è l'errore di troncamento (truncation error), chiamato anche errore di arrotondamento (round-off error).

Nello strumento scrivi un numero e guarda quali cifre restano fuori dalla mantissa.

Un decimo non si scrive esatto

Nella lezione 02 hai visto che un decimo, in base 2, non finisce mai: 0,000110011001100…, con 0011 che si ripete per sempre. Qualunque mantissa, anche di cento bit, lo taglia da qualche parte.

Nel formato del libro va così.

Un decimo è 0,0001100110011…
La virgola va spostata di tre posti a destra: 0,1100110011… L'esponente è −3, cioè −3 + 4 = 1, scritto 001.
La mantissa tiene 1100, e tutto il resto si perde.
Il byte è 00011100.

Rileggi: 0,1100 con la virgola tre posti a sinistra è 0,0001100, cioè 1/16 + 1/32 = 3/32. In base 10 fa 0,09375, invece di 0,1. Ecco perché nei programmi 0.1 + 0.2 non dà esattamente 0.3, come hai visto nella lezione 02.

L'ordine delle somme conta

Il computer tronca dopo ogni operazione. Allora anche l'ordine dei conti cambia il risultato. L'esempio del libro è 2 e 1/2 + 1/8 + 1/8.

Da sinistra. 2 e 1/2 + 1/8 fa 2 e 5/8. È il numero di prima: si tronca a 2 e 1/2. Poi 2 e 1/2 + 1/8 di nuovo: ancora 2 e 5/8, ancora troncato a 2 e 1/2. Il risultato è 2 e 1/2: i due ottavi sono spariti.

Prima i piccoli. 1/8 + 1/8 fa 1/4, che si scrive esatto. Poi 2 e 1/2 + 1/4 fa 2 e 3/4, cioè 10,11: le cifre sono 1011, e stanno nella mantissa. Il risultato è 2 e 3/4, quello giusto.

L'idea

Un numero piccolo sommato a uno grande finisce nelle cifre tagliate. Sommati tra loro, i numeri piccoli diventano più grandi e non si perdono. Regola del libro: quando sommi tanti numeri, comincia dai più piccoli.

Il più grande e il più piccolo

Il numero più grande è 01111111: esponente 3 e mantissa 1111. 0,1111 con la virgola tre posti a destra è 111,1, cioè 7 e 1/2.
Il positivo più piccolo in forma normalizzata è 00001000: esponente −4 e mantissa 1000. 0,1 con la virgola quattro posti a sinistra è 0,00001, cioè 1/32.

È la domanda 4 del §1.7. Il libro aggiunge che molti computer, vicino allo zero, accettano anche mantisse che non cominciano con 1. Allora il positivo più piccolo è 00000001, cioè 1/256.

I numeri positivi in forma normalizzata sono pochi: 8 esponenti per 8 mantisse che cominciano con 1, cioè 64 numeri in tutto. Tutti gli altri si arrotondano.

Approfondimento · I computer veri: 32 e 64 bit, lo standard IEEE 754

Questa parte non compare nei quiz delle simulazioni. I computer usano la stessa idea con più bit, secondo lo standard IEEE 754 (del 1985, aggiornato nel 2008 e nel 2019).

Formato	Bit in tutto	Segno	Esponente	Mantissa	Nome in C
precisione singola	32	1	8	23	`float`
precisione doppia	64	1	11	52	`double`

Tre differenze dal formato del libro.

L'esponente è in eccesso 127 con 8 bit, in eccesso 1023 con 11 bit.
La mantissa normalizzata comincia con «1,» e non con «0,1». Quell'1 è sempre lì e non si scrive: si guadagna un bit.
Alcune file di bit sono riservate: lo zero, l'infinito e «non è un numero» (NaN, not a number).

Un float tiene circa 7 cifre decimali, un double circa 16. Ma anche così un decimo non è esatto.

Prova tu

Scrivi nel formato del libro (a) 4 e 1/2 e (b) 1 e 1/16. C'è troncamento?

(a) 4 e 1/2 è 100,1. La virgola va tre posti a sinistra: 0,1001, esponente 3, cioè 111. La mantissa è 1001. Il byte è 01111001, senza troncamento.

(b) 1 e 1/16 è 1,0001. La virgola va un posto a sinistra: 0,10001, esponente 1, cioè 101. Le cifre sono cinque: la mantissa tiene 1000 e perde l'ultimo 1. Il byte è 01011000, che vale 1: c'è troncamento, e si perde 1/16.

Da ricordare

Se le cifre sono più di 4, la mantissa tiene le prime 4 e le altre si perdono: è l'errore di troncamento.
Un decimo in base 2 non finisce mai: in virgola mobile non è mai esatto.
Il computer tronca dopo ogni operazione: quando sommi tanti numeri, comincia dai più piccoli.
Nel formato del libro: il più grande è 7 e 1/2, il positivo normalizzato più piccolo è 1/32.

§9

I simboli di questa lezione

Simbolo	Si legge	Vuol dire	Esempio
$n$	«enne»	il numero di bit che hai	con un byte, $n = 8$
$2^{n - 1}$	«due elevato alla n meno uno»	la moneta di segno con $n$ bit; in eccesso, il numero da togliere	con 4 bit, 8
$- 2^{n - 1}$	«meno due elevato alla n meno uno»	il numero più piccolo in complemento a 2 con $n$ bit	con 8 bit, −128
$2^{n - 1} - 1$	«due elevato alla n meno uno, meno uno»	il numero più grande in complemento a 2 con $n$ bit	con 8 bit, 127
eccesso 8	«eccesso otto»	leggi i 4 bit senza segno e togli 8	1110 vale 6
0 110 1011	«segno, esponente, mantissa»	i tre pezzi di un byte in virgola mobile	vale 2 e 3/4
$0, 1011 \cdot 2^{2}$	«zero virgola uno zero uno uno per due alla seconda»	sposta la virgola di 2 posti a destra	10,11
$2^{- 1}$	«due alla meno uno»	un mezzo: sposta la virgola di un posto a sinistra	$2^{- 3} = 1/8$
$0, 35 \cdot 1 0^{7}$	«zero virgola trentacinque per dieci alla settima»	sposta la virgola di 7 posti a destra, in base 10	3500000

§10

Verso l'esame

esame

Le regole dell'esame, uguali per i tre canali, sono nella lezione 01 e nella scheda del corso: 9 quiz in 45 minuti, al computer, con Safe Exam Browser.

Che cosa serve di questa lezione

Complemento a 2. La simulazione d'esame 2 del 2023/24, domanda 8, chiede di convertire in base 10 quattro numeri in complemento a 2 su 8 bit: 11111111, 01010101, 00001111 e 10000001. Sono i primi tre quiz qui sotto.
Virgola mobile e troncamento. Nella simulazione 1 (domanda 2) e nella simulazione 2 (domanda 1) c'è lo stesso quiz su 3,625: virgola fissa, virgola mobile nel formato a 8 bit del libro, con l'esponente in eccesso a 3 bit, e troncamento.
Notazione in eccesso. Serve dentro la virgola mobile, e la scheda del corso consiglia di allenarsi anche con l'eccesso.
Somme e overflow. Sono le domande 5–8 del §1.6, e usano la somma della lezione 02.

Conta all'esame · Velocità

5 minuti a quiz. Le monete con il segno meno (−8, −128) leggono un numero in complemento a 2 in pochi secondi. Impara a memoria la tabella dell'esponente in eccesso 4: 100 è 0, 101 è 1, 110 è 2, 111 è 3, 011 è −1, 010 è −2, 001 è −3, 000 è −4.

Una domanda vera, letta insieme

Esempio · Simulazione d'esame 1, 2023/24, domanda 2

Il testo: «Consideriamo il numero 3,625. Selezionare le corrette risposte relative a: (i) rappresentazione binaria del numero in virgola fissa; (ii) rappresentazione del numero in virgola mobile; e, (iii) troncamento nelle rappresentazioni.» Il formato è quello a 8 bit del libro, con l'esponente in eccesso a 3 bit.

In pratica chiede tre cose: 3,625 in base 2 con la virgola; lo stesso numero nel byte del libro; se in uno dei due si perdono cifre.

Virgola fissa. 3 è 11. Per 0,625 raddoppi: 1,25 dà 1; 0,5 dà 0; 1 dà 1. Quindi 0,625 = 0,101, e 3,625 = 11,101. Controllo: 2 + 1 + 1/2 + 1/8 = 3,625. Qui non si perde niente.
Virgola mobile. Segno 0. Sposti la virgola di due posti a sinistra: 0,11101. Esponente 2, cioè 2 + 4 = 6, scritto 110. Le cifre sono cinque, 11101: la mantissa tiene 1110. Il byte è 01101110.
Troncamento. Solo nella virgola mobile: l'ultimo 1 si perde, e 01101110 vale 11,10, cioè 3,5.

Le risposte giuste sono quindi «Rappresentazione fissa: 11.101», «Rappresentazione Virgola Mobile: 01101110» e «Troncamento presente solo nella rappresentazione in virgola mobile». Nei quiz di Moodle la virgola si scrive con il punto.

Metodo · Le quattro operazioni da saper fare

Leggere in complemento a 2: monete, con quella di sinistra negativa.
Cambiare segno: copia fino al primo 1 da destra, inverti il resto.
Overflow: stesso segno nei due numeri, segno diverso nel risultato.
Virgola mobile: segno; base 2; virgola subito prima del primo 1; mantissa di 4 bit; esponente più 4.

Errori da evitare

Leggere un numero in complemento a 2 come senza segno: 11111111 non è 255 ma −1.
Cambiare segno invertendo soltanto i bit: quello è il complemento a 1, e dà un numero sbagliato di 1.
Allungare un negativo con degli zeri a sinistra: 1010 con 8 bit è 11111010, non 00001010.
Cercare l'overflow nel riporto finale: con il segno contano solo i segni.
Confondere il bit a sinistra dell'eccesso con quello del complemento a 2: sono al contrario.
Sbagliare la direzione dell'esponente: virgola spostata a sinistra, esponente positivo.
Scrivere l'esponente in base 2 senza aggiungere 4.
Arrotondare l'ultima cifra della mantissa invece di troncarla: il formato del libro taglia e basta.

§12

Esercizi

con soluzioni

1 · Domanda 1 del §1.6: dal complemento a 2 alla base 10 base

Scrivi in base 10 questi numeri in complemento a 2 con 5 bit: (a) 00011; (b) 01111; (c) 11100; (d) 11010; (e) 00000; (f) 10000.

Soluzione

Con 5 bit le monete sono −16, 8, 4, 2, 1.

Bit	Monete	Valore
00011	2 + 1	3
01111	8 + 4 + 2 + 1	15
11100	−16 + 8 + 4	−4
11010	−16 + 8 + 2	−6
00000	nessuna	0
10000	−16	−16

Sono le risposte del libro. Controllo su (c) con il cambio di segno: copi «100» e inverti «11» in «00»: 00100, cioè 4. Quindi 11100 è −4.

2 · Domanda 2 del §1.6: dalla base 10 al complemento a 2 base

Scrivi in complemento a 2 con 8 bit: (a) 6; (b) −6; (c) −17; (d) 13; (e) −1; (f) 0.

Soluzione

(a) 6 = 4 + 2: 00000110.
(b) Cambi segno a 00000110: copi «10», inverti il resto. Viene 11111010. Controllo: −128 + 122 = −6.
(c) 17 = 16 + 1: 00010001. Copi l'ultimo 1 e inverti il resto: 11101111. Controllo: −128 + 111 = −17.
(d) 13 = 8 + 4 + 1: 00001101.
(e) 1 è 00000001. Copi l'ultimo 1 e inverti il resto: 11111111.
(f) 00000000.

Sono le risposte del libro.

3 · Domanda 3 del §1.6: cambiare segno base

Questi numeri sono in complemento a 2 con 8 bit. Scrivi il loro opposto: (a) 00000001; (b) 01010101; (c) 11111100; (d) 11111110; (e) 00000000; (f) 01111111.

Soluzione

Per ognuno: copi da destra fino al primo 1 compreso, poi inverti il resto.

Numero	Copi	Inverti	Opposto	Valori
00000001	1	0000000 → 1111111	11111111	1 e −1
01010101	1	0101010 → 1010101	10101011	85 e −85
11111100	100	11111 → 00000	00000100	−4 e 4
11111110	10	111111 → 000000	00000010	−2 e 2
00000000	tutto	niente	00000000	0 e 0
01111111	1	0111111 → 1000000	10000001	127 e −127

Sono le risposte del libro.

4 · Domanda 4 del §1.6: il più grande e il più piccolo base

Un computer scrive gli interi in complemento a 2. Qual è il numero più grande e quale il più piccolo, con (a) 4 bit, (b) 6 bit, (c) 8 bit?

Soluzione

Il più piccolo è la sola moneta di segno, con il meno. Il più grande è la somma di tutte le altre monete, cioè la moneta di segno meno 1.

(a) 4 bit: la moneta di segno vale 8. Dal più piccolo −8 al più grande 7.
(b) 6 bit: vale 32. Da −32 a 31.
(c) 8 bit: vale 128. Da −128 a 127.

Sono le risposte del libro.

5 · Domande 9 e 10 del §1.6: la notazione in eccesso 8 base

(a) Senza guardare la tabella, scrivi in base 10 questi numeri in eccesso 8: 1110, 0111, 1000, 0010, 0000, 1001. (b) Scrivi in eccesso 8: 5, −5, 3, 0, 7, −8.

Soluzione

(a) Si legge senza segno e si toglie 8.

Bit	Senza segno	Meno 8
1110	14	6
0111	7	−1
1000	8	0
0010	2	−6
0000	0	−8
1001	9	1

(b) Si aggiunge 8 e si scrive con 4 bit.

Numero	Più 8	Bit
5	13	1101
−5	3	0011
3	11	1011
0	8	1000
7	15	1111
−8	0	0000

Sono le risposte del libro.

6 · Domanda 11 del §1.6: che cosa non ci sta base

Si può scrivere 9 in eccesso 8? E 6 in eccesso 4? Perché?

Soluzione

In eccesso 8 il numero più grande è 1111, cioè 15 − 8 = 7. Il 9 non ci sta.
Per scrivere 9 serve almeno l'eccesso 16, che usa 5 bit.
In eccesso 4 con 3 bit il più grande è 111, cioè 7 − 4 = 3. Il 6 non ci sta.

È la risposta del libro.

7 · Lucidi del canale A: −5 con 6 bit base

Scrivi −5 in complemento a 2 con 6 bit, in due modi: con il cambio di segno e con il metodo dei lucidi di Cardone. Nei lucidi un negativo −K, dove K è il numero senza il segno meno, si scrive come il numero senza segno $2^{6} - K$ .

Soluzione

Con il cambio di segno: 5 con 6 bit è 000101. Copi l'ultimo 1, inverti gli altri cinque bit, 00010, che diventano 11101. Il risultato è 111011.
Con i lucidi: $2^{6} = 64$ , e $64 - 5 = 59$ . In base 2, con le monete: 59 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1, cioè 111011.
Controllo con le monete con il segno: −32 + 16 + 8 + 2 + 1 = −5.

È lo stesso numero. Il secondo metodo è il «16 in più» di questa lezione, con 6 bit al posto di 4: un negativo, letto senza segno, vale 64 in più.

8 · Domanda 5 del §1.6: somme in complemento a 2 medio

Questi numeri sono in complemento a 2 con 4 bit. Fai le somme e controlla in base 10: (a) 0101 + 0010; (b) 0011 + 0001; (c) 0101 + 1010; (d) 1110 + 0011; (e) 1010 + 1110.

Soluzione

(a) Nessun riporto: 0111. Controllo: 5 + 2 = 7.
(b) 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; poi 1 + 0 più il riporto fa 10, scrivi 0 e riporti 1; poi 0 + 0 più il riporto fa 1. Viene 0100. Controllo: 3 + 1 = 4.
(c) Nessun riporto: in ogni colonna c'è un solo 1. Viene 1111. Controllo: 5 + (−6) = −1.
(d) 0 + 1 fa 1; 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 1 + 0 più il riporto fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 1 + 0 più il riporto fa 10, scrivi 0 e il riporto si butta. Viene 0001. Controllo: −2 + 3 = 1.
(e) 0 + 0 fa 0; 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 1 più il riporto fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 1 + 1 più il riporto fa 11, scrivi 1 e il riporto si butta. Viene 1000. Controllo: −6 + (−2) = −8.

Sono le risposte del libro.

9 · Domanda 6 del §1.6: somme con overflow medio

Fai le somme con 4 bit in complemento a 2 e di' quali risultati sono sbagliati per l'overflow: (a) 0100 + 0011; (b) 0101 + 0110; (c) 1010 + 1010; (d) 1010 + 0111; (e) 0111 + 0001.

Soluzione

(a) 4 + 3: viene 0111, cioè 7. Due positivi, risultato positivo: giusto.
(b) 5 + 6: viene 1011. Due positivi, risultato negativo: overflow.
(c) −6 + (−6): viene 0100. Due negativi, risultato positivo: overflow.
(d) −6 + 7: segni diversi, niente overflow. Viene 0001, cioè 1.
(e) 7 + 1: viene 1000. Due positivi, risultato negativo: overflow. Sul contachilometri, un passo dopo 7 c'è −8.

Sono le risposte del libro.

10 · Domanda 7 del §1.6: sottrarre sommando medio

Scrivi i numeri in complemento a 2 con 4 bit, trasforma ogni conto in una somma, come fa un computer, e calcola: (a) 6 − (−1); (b) 3 − 2; (c) 4 − 6; (d) 2 + 4; (e) 1 − 5.

Soluzione

Togliere un numero vuol dire aggiungere il suo opposto.

Conto	Diventa	In bit	Risultato	Controllo
6 − (−1)	6 + 1	0110 + 0001	0111	7
3 − 2	3 + (−2)	0011 + 1110	0001	1
4 − 6	4 + (−6)	0100 + 1010	1110	−2
2 + 4	2 + 4	0010 + 0100	0110	6
1 − 5	1 + (−5)	0001 + 1011	1100	−4

In (b) il riporto che esce a sinistra si butta. In (e): 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 1 più il riporto fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 0 più il riporto fa 1; 0 + 1 fa 1. Viene 1100, cioè −8 + 4 = −4.

Sono le risposte del libro.

11 · Domanda 8 del §1.6: positivo più negativo medio

In complemento a 2, sommando un numero positivo e uno negativo, può esserci overflow? Spiega perché.

Soluzione

L'overflow c'è quando il risultato è troppo grande, o troppo piccolo, per i bit che hai.
Sommando un positivo e un negativo, il risultato sta sempre tra i due numeri. Per esempio 5 + (−7) = −2, che sta tra −7 e 5.
I due numeri ci stanno nei bit, quindi ci sta anche il risultato.

No: non può esserci overflow. È la risposta del libro.

12 · Domanda 1 del §1.7: leggere la virgola mobile medio

Leggi questi byte nel formato in virgola mobile del libro: (a) 01001010; (b) 01101101; (c) 00111001; (d) 11011100; (e) 10101011.

Soluzione

Byte	Segno	Esponente	Mantissa	Virgola spostata	Valore
01001010	+	100: 0	0,1010	0,1010	5/8
01101101	+	110: 2	0,1101	11,01	3 e 1/4
00111001	+	011: −1	0,1001	0,01001	9/32
11011100	−	101: 1	0,1100	1,100	−1 e 1/2
10101011	−	010: −2	0,1011	0,001011	−11/64

Due conti per esteso.

(c) 0,01001 ha le monete 1/4 e 1/32: 8/32 + 1/32 = 9/32.
(e) 0,001011 ha le monete 1/8, 1/32 e 1/64: 8/64 + 2/64 + 1/64 = 11/64. Con il segno: −11/64.

Sono le risposte del libro.

13 · Domanda 2 del §1.7: scrivere in virgola mobile medio

Scrivi nel formato del libro, e di' dove c'è troncamento: (a) 2 e 3/4; (b) 5 e 1/4; (c) 3/4; (d) −3 e 1/2; (e) −4 e 3/8.

Soluzione

(a) 2 e 3/4 = 10,11. Virgola due posti a sinistra: 0,1011, esponente 2, cioè 110. Byte 01101011.
(b) 5 e 1/4 = 101,01. Virgola tre posti a sinistra: 0,10101, esponente 3, cioè 111. Le cifre sono cinque: la mantissa tiene 1010. Byte 01111010, che vale 5: troncamento.
(c) 3/4 = 0,11. La virgola è già prima del primo 1: esponente 0, cioè 100. Mantissa 1100. Byte 01001100.
(d) 3 e 1/2 = 11,1. Virgola due posti a sinistra: 0,111, esponente 2, cioè 110. Mantissa 1110, segno 1. Byte 11101110.
(e) 4 e 3/8 = 100,011. Virgola tre posti a sinistra: 0,100011, esponente 3, cioè 111. La mantissa tiene 1000 e perde 11. Segno 1. Byte 11111000, che vale −4: troncamento.

Sono le risposte del libro.

14 · Domanda 4 del §1.7: il più grande e il più piccolo medio

Nel formato del libro, qual è il numero più grande? E il positivo più piccolo?

Soluzione

Il più grande: segno 0, esponente 111, cioè 3, mantissa 1111. 0,1111 con la virgola tre posti a destra è 111,1, cioè 7 e 1/2. Il byte è 01111111.
Il positivo più piccolo in forma normalizzata: esponente 000, cioè −4, mantissa 1000. 0,1 con la virgola quattro posti a sinistra è 0,00001, cioè 1/32. Il byte è 00001000.
Il libro aggiunge che molti computer, vicino allo zero, non chiedono la forma normalizzata. Allora il più piccolo è 00000001: 0,0001 con la virgola quattro posti a sinistra, cioè 0,00000001, che vale 1/256.

15 · Un byte, quattro letture medio

Il byte 01011100 viene letto (a) come intero senza segno, (b) in complemento a 2, (c) in eccesso 128, (d) nel formato in virgola mobile del libro. Quanto vale nei quattro casi?

Soluzione

(a) Le monete sono 64, 16, 8 e 4: 92.
(b) Il bit di segno è 0, quindi è positivo e vale ancora 92.
(c) In eccesso 128 si toglie 128: 92 − 128 = −36. Con 8 bit l'eccesso è 128, cioè la moneta di segno.
(d) Segno 0, esponente 101, cioè 1, mantissa 1100. 0,1100 con la virgola un posto a destra è 1,100: 1 e 1/2.

Gli stessi bit danno quattro numeri diversi: decide la regola con cui li leggi, come nella lezione 02.

16 · Un decimo nel formato del libro medio

Scrivi 0,1 nel formato in virgola mobile del libro. Quanto vale il byte che ottieni? Di quanto sbaglia?

Soluzione

Con il metodo dei raddoppi della lezione 02: 0,2 dà 0; 0,4 dà 0; 0,8 dà 0; 1,6 dà 1; 1,2 dà 1; 0,4 dà 0; 0,8 dà 0; 1,6 dà 1… Quindi 0,1 = 0,000110011…
Il primo 1 è nella quarta posizione: la virgola va tre posti a destra, 0,110011…, esponente −3. In eccesso 4: −3 + 4 = 1, cioè 001.
La mantissa tiene 1100. Segno 0. Il byte è 00011100.
Lettura: 0,1100 con la virgola tre posti a sinistra è 0,0001100, cioè 1/16 + 1/32 = 3/32 = 0,09375.
L'errore è 0,1 − 0,09375 = 0,00625.

17 · Domanda 3 del §1.7: quale byte è più grande difficile

Nel formato del libro, quale tra 01001001 e 00111101 è il numero più grande? Trova un modo veloce per confrontare due byte.

Soluzione

01001001: esponente 100, cioè 0; mantissa 0,1001, che vale 1/2 + 1/16 = 9/16.
00111101: esponente 011, cioè −1; 0,1101 con la virgola un posto a sinistra è 0,01101, cioè 1/4 + 1/8 + 1/32 = 13/32.
9/16 = 18/32, che è più di 13/32: il primo è più grande.

Il modo veloce dell'appendice del libro, con i byte in forma normalizzata:

se i bit di segno sono diversi, è più grande quello con il segno 0;
se sono tutti e due 0, guarda gli altri bit da sinistra: al primo bit diverso, è più grande il byte che ha l'1;
se sono tutti e due 1, al primo bit diverso è più grande il byte che ha lo 0.

Qui il segno è 0 in tutti e due, e il primo bit diverso è il secondo: 1 nel primo byte. Funziona perché l'esponente è in eccesso: esponente più grande vuol dire bit più grandi. Il libro lo indica proprio come motivo per usare l'eccesso al posto del complemento a 2.

18 · Una somma in virgola mobile difficile

Nel formato del libro scrivi 1 e 3/4 e 3/16. Poi calcola la loro somma e scrivila nel formato. Il risultato è esatto?

Soluzione

1 e 3/4 = 1,11. Virgola un posto a sinistra: 0,111, esponente 1, cioè 101. Mantissa 1110. Byte 01011110.
3/16 = 1/8 + 1/16 = 0,0011. Virgola due posti a destra: 0,11, esponente −2, cioè 010. Mantissa 1100. Byte 00101100.
La somma vera: 1 e 3/4 + 3/16 = 1 e 12/16 + 3/16 = 1 e 15/16, cioè 1,1111.
Virgola un posto a sinistra: 0,11111, esponente 1, cioè 101. Le cifre sono cinque: la mantissa tiene 1111. Byte 01011111.
Lettura: 0,1111 con la virgola un posto a destra è 1,111, cioè 1 e 7/8.

Non è esatto: si perde 1/16. I due numeri si scrivevano esatti, ma la loro somma no.

19 · Leggere, cambiare segno, sommare con 8 bit tipo esame

In complemento a 2 con 8 bit: (a) quanto vale 10010110? (b) Scrivi il suo opposto. (c) Calcola 01100100 + 00110010: c'è overflow?

Soluzione

(a) Le monete sono −128, 16, 4 e 2: −128 + 22 = −106.
(b) Copi «10» da destra e inverti gli altri sei bit, 100101, che diventano 011010. L'opposto è 01101010. Controllo: 64 + 32 + 8 + 2 = 106.
(c) I due numeri sono 100 e 50, tutti e due positivi.
In colonna, da destra: 0 + 0 fa 0; 0 + 1 fa 1; 1 + 0 fa 1; 0 + 0 fa 0; 0 + 1 fa 1; 1 + 1 fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 1 + 0 più il riporto fa 10, scrivi 0 e riporti 1; 0 + 0 più il riporto fa 1. Il risultato è 10010110.
Il risultato ha il bit di segno 1: due positivi danno un negativo, quindi c'è overflow. Infatti 150 supera 127.
Il byte ottenuto è proprio quello della domanda (a): vale −106, cioè 150 − 256.

20 · Simulazione d'esame 1, 2023/24, domanda 2: il numero 3,625 tipo esame

Scrivi 3,625 in virgola fissa e nel formato in virgola mobile del libro. Di' in quale delle due rappresentazioni c'è troncamento, e quanto vale il byte ottenuto.

Soluzione

Parte intera: 3 = 2 + 1, cioè 11.
Parte dopo la virgola, con i raddoppi: 0,625 · 2 = 1,25, cifra 1; 0,25 · 2 = 0,5, cifra 0; 0,5 · 2 = 1, cifra 1. Quindi 0,101.
Virgola fissa: 11,101, senza troncamento.
Virgola mobile: segno 0. Virgola due posti a sinistra: 0,11101, esponente 2, cioè 2 + 4 = 6, scritto 110.
La mantissa tiene 1110 e perde l'ultimo 1. Il byte è 01101110.
Lettura: 0,1110 con la virgola due posti a destra è 11,10, cioè 3,5. Il troncamento c'è solo in virgola mobile, e si perde 1/8.

Le risposte dello studente nella copia svolta a mano della simulazione sono giuste: 11.101, 01101110, troncamento solo in virgola mobile.

§13

Domande di ripasso

autoverifica

Perché il complemento a 2 si può pensare come un contachilometri?

Perché con un numero fisso di bit, tornando indietro da 0000, il contatore gira e segna 1111: quella fila fa la parte di −1, e le successive all'indietro di −2, −3 e così via. I positivi stanno in avanti da zero.

Come si legge un numero in complemento a 2?

Se il bit a sinistra è 0, come un numero senza segno. Se è 1, si sommano le monete dando a quella di sinistra il segno meno: −8 con 4 bit, −128 con 8 bit.

Quali sono i due modi per cambiare segno a un numero?

Copiare i bit da destra fino al primo 1 compreso e invertire tutti gli altri. Oppure invertire tutti i bit e aggiungere 1. Danno lo stesso risultato.

Come si riconosce l'overflow in una somma in complemento a 2?

Quando i due numeri hanno lo stesso segno e il risultato ha il segno opposto. Se i segni dei due numeri sono diversi, l'overflow non c'è mai. Il riporto che esce a sinistra non conta.

Che cos'è la notazione in eccesso 8, e che legame ha con il complemento a 2?

Si leggono i 4 bit senza segno e si toglie 8. Va da −8 a 7, come il complemento a 2 con 4 bit, e le due scritture di un numero differiscono solo nel bit a sinistra.

Com'è fatto il formato in virgola mobile del libro?

Un byte: 1 bit di segno, 3 bit di esponente in eccesso 4 e 4 bit di mantissa. La mantissa sono le cifre, con la virgola a sinistra; l'esponente dice di quanti posti spostare la virgola, a destra se positivo, a sinistra se negativo.

Che cos'è la forma normalizzata, e perché si usa?

È la scelta di una mantissa che comincia con 1. Così ogni numero ha un solo byte, e tutti i bit della mantissa portano cifre utili.

Che cos'è l'errore di troncamento? Fai un esempio.

Quando le cifre del numero sono più dei 4 bit della mantissa, le ultime si perdono. 2 e 5/8 è 10,101: la mantissa tiene 1010 e il byte vale 2 e 1/2. Un decimo non si scrive mai esatto, perché in base 2 ha infinite cifre.

§14

Glossario

termini

Complemento a 2: Il modo di scrivere gli interi con il segno usato dai computer (two's complement): con 4 bit 1111 è −1 e 1000 è −8.
Bit di segno: Il bit più a sinistra (sign bit). In complemento a 2 vale 0 per i positivi e lo zero, 1 per i negativi.
Invertire un bit: Cambiarlo: 0 diventa 1 e 1 diventa 0.
Cambio di segno: Passare da un numero al suo opposto: copia da destra fino al primo 1, poi inverti il resto.
Complemento a 1: Un modo vecchio di scrivere i negativi: si invertono tutti i bit. Ha due zeri.
Overflow: Quando il risultato non ci sta nei bit. In complemento a 2: due numeri con lo stesso segno danno un risultato con il segno opposto.
Notazione in eccesso: Si leggono i bit senza segno e si toglie sempre lo stesso numero (excess notation): 8 con 4 bit, 4 con 3 bit.
Virgola fissa: La virgola sta sempre nello stesso posto, come in 11,101 (fixed point).
Virgola mobile: Il numero si scrive con le cifre e con un esponente che dice dove va la virgola (floating point).
Mantissa: Le cifre di un numero in virgola mobile, con la virgola a sinistra (mantissa). Nel formato del libro sono 4 bit.
Esponente: Di quanti posti spostare la virgola (exponent). Nel formato del libro sono 3 bit in eccesso 4, da −4 a 3.
Forma normalizzata: La mantissa comincia con 1 (normalized form): ogni numero ha un solo byte.
Errore di troncamento: Le cifre che non entrano nella mantissa si perdono (truncation error, anche round-off error): 2 e 5/8 diventa 2 e 1/2.
IEEE 754: Lo standard della virgola mobile nei computer veri: 32 bit (float) e 64 bit (double).

§15

Checklist

0 su 9

Spunta quando sai fare la cosa senza guardare gli appunti. Le spunte restano salvate in questo browser.

So leggere un numero in complemento a 2 con le monete, dando il segno meno a quella di sinistra.
So scrivere un numero negativo in complemento a 2 con un numero di bit dato.
So cambiare segno con «copia fino al primo 1, poi inverti» e con «inverti e aggiungi 1».
So dire fin dove si arriva con $n$ bit in complemento a 2.
So sommare e sottrarre in complemento a 2 e riconoscere l'overflow dai segni.
So leggere e scrivere un numero in eccesso 8 e in eccesso 4.
So leggere un byte nel formato in virgola mobile del libro.
So scrivere un numero nel formato del libro, in forma normalizzata, e dire se c'è troncamento.
So perché un decimo non si scrive esatto e perché l'ordine delle somme conta.

La lezione in 8 punti

Il contachilometri all'indietro

Tornare indietro da zero

Leggere un numero: la moneta con il segno meno

Fin dove si arriva

Cambiare segno a un numero

Il metodo del libro: copia, poi inverti

L'altro modo: inverti tutto e aggiungi 1

Da un numero negativo ai bit

Due casi speciali

Sommare e sottrarre con il segno

Tre somme con 4 bit

Sottrarre vuol dire sommare l'opposto

Quando il risultato non ci sta: l'overflow

Un positivo più un negativo non va mai in overflow

La notazione in eccesso

Il legame con il complemento a 2

La virgola che si sposta

Perché non la virgola fissa

Il formato del libro: segno, esponente, mantissa

Dal numero al byte

Perché «subito prima del primo 1»

I bit che si perdono: il troncamento

Un decimo non si scrive esatto

L'ordine delle somme conta

Il più grande e il più piccolo

I simboli di questa lezione

Verso l'esame

Una domanda vera, letta insieme

Quiz

Esercizi

1 · Domanda 1 del §1.6: dal complemento a 2 alla base 10 base

2 · Domanda 2 del §1.6: dalla base 10 al complemento a 2 base

3 · Domanda 3 del §1.6: cambiare segno base

4 · Domanda 4 del §1.6: il più grande e il più piccolo base

5 · Domande 9 e 10 del §1.6: la notazione in eccesso 8 base

6 · Domanda 11 del §1.6: che cosa non ci sta base

7 · Lucidi del canale A: −5 con 6 bit base

8 · Domanda 5 del §1.6: somme in complemento a 2 medio

9 · Domanda 6 del §1.6: somme con overflow medio

10 · Domanda 7 del §1.6: sottrarre sommando medio

11 · Domanda 8 del §1.6: positivo più negativo medio

12 · Domanda 1 del §1.7: leggere la virgola mobile medio

13 · Domanda 2 del §1.7: scrivere in virgola mobile medio

14 · Domanda 4 del §1.7: il più grande e il più piccolo medio

15 · Un byte, quattro letture medio

16 · Un decimo nel formato del libro medio

17 · Domanda 3 del §1.7: quale byte è più grande difficile

18 · Una somma in virgola mobile difficile

19 · Leggere, cambiare segno, sommare con 8 bit tipo esame

20 · Simulazione d'esame 1, 2023/24, domanda 2: il numero 3,625 tipo esame

Domande di ripasso

Glossario

Checklist