Argomentazioni e regole di inferenza

In mensa è sparita una torta. Il detective raccoglie quattro informazioni su Bruno:

1. se sulle scarpe di Bruno c'è farina, allora Bruno è entrato in cucina;
2. sulle scarpe di Bruno c'è farina;
3. se Bruno è entrato in cucina, allora ha lavato i piatti o ha mangiato la torta;
4. Bruno non ha lavato i piatti.

E conclude: «Bruno ha mangiato la torta». Il ragionamento è corretto? Non chiediamo se le informazioni sono vere: chiediamo se, ammesso che siano vere, la conclusione deve esserlo per forza.

Il libro chiama argomentazione un ragionamento così: una lista di frasi di partenza e una frase finale. Le frasi di partenza si chiamano premesse, o ipotesi; la frase finale è la conclusione. Il libro la scrive in colonna, con le premesse una sotto l'altra e la conclusione dopo il simbolo $\therefore$, che si legge «quindi».

Come si legge. Le premesse sono gli indizi, la conclusione è il verdetto. «Valida» vuol dire che il verdetto segue dagli indizi: se gli indizi sono veri, il verdetto è vero. Il libro chiama questo modo di ragionare ragionamento deduttivo: trarre una conclusione da una sequenza di proposizioni.

La definizione dice «quando le premesse sono tutte vere». Con le lettere, ogni riga della tavola è una situazione possibile. Quindi il controllo è questo: si guardano le righe in cui le premesse sono tutte vere, e solo quelle.

Lo strumento qui sotto fa il controllo per te. Le righe con le premesse tutte vere diventano verdi se la conclusione è vera, rosse se è falsa. Le premesse si separano con il punto e virgola.

Con 4 lettere la tavola ha 16 righe, con 5 ne ha 32. Il detective non fa tavole: ragiona a piccoli passi, e ogni passo è un ragionamento corto già noto, che si sa essere valido. Questi ragionamenti si chiamano regole di inferenza. Il libro ne elenca sette.

Le due regole con la freccia

Le più importanti sono le prime due. Tutte e due partono da una promessa «se $p$ allora $q$», come la promessa della pizza della lezione 07.

• Modus ponens, «modo che afferma»: l'ipotesi si è avverata, quindi anche la conclusione. La squadra ha vinto: arriva la pizza.
• Modus tollens, «modo che nega»: la conclusione manca, quindi manca anche l'ipotesi. La pizza non è arrivata: la squadra non ha vinto. È la contronominale della lezione 07 usata come passo.

Perché sono valide

Ogni regola si controlla con una tavola, come nella sezione prima. Per il modus tollens, le premesse sono $p\to q$ e $\neg q$:

Solo nell'ultima riga le premesse sono tutte e due vere, e lì $\neg p$ è vera. È la tavola delle soluzioni del libro, esercizio 33.

Due ragionamenti somigliano al modus ponens e al modus tollens, ma non sono validi. Sono errori così comuni da avere un nome.

Con la strada bagnata:

• «Se piove la strada è bagnata. La strada è bagnata. Quindi piove.» Non è valida: la strada può essere bagnata perché è passata l'autobotte.
• «Se piove la strada è bagnata. Non piove. Quindi la strada non è bagnata.» Non è valida, per lo stesso motivo.

Il controesempio è in tutti e due i casi la riga «non piove, ma la strada è bagnata». È l'errore di confondere una promessa con la sua inversa, della lezione 07.

Torna al detective della torta. Con le lettere:

• $F$: «sulle scarpe di Bruno c'è farina»;
• $C$: «Bruno è entrato in cucina»;
• $L$: «Bruno ha lavato i piatti»;
• $T$: «Bruno ha mangiato la torta».

Le premesse sono $F\to C$, $F$, $C\to (L\vee T)$ e $\neg L$. La conclusione è $T$. Con la tavola servirebbero 16 righe. Con le regole bastano tre passi, ognuno giustificato da una regola:

Il ragionamento del detective è valido. Una catena così, in cui ogni passo è una premessa o segue dai passi prima con una regola, è una dimostrazione della conclusione.

La seconda parte della lezione, nel diario, è di esercizi. Il §1.4 del libro ne ha di tre tipi: argomentazioni con le lettere, argomentazioni a parole da tradurre, e domande sul nome delle regole. Ecco i modelli, con le soluzioni ufficiali.

Con le lettere: valida o no?

L'esercizio 6 è un ragionamento per casi: da $p\vee q$ ci sono due possibilità. Se è vera $p$, con $p\to s$ arriva $s$; se è vera $q$, con $q\to r$ arriva $r$. In tutti e due i casi è vera $r\vee s$.

A parole: tradurre e decidere

Il nome della regola

Alcuni esercizi danno un ragionamento e chiedono quale regola usa. Nelle soluzioni dell'esercizio 27, per esempio, la risposta è «addizione». Si riconosce guardando la forma: una frase sola che diventa un «o» è sempre un'addizione.

È il rompicapo che il canale A risolve a lezione. Tre amici al bar, e quattro informazioni:

1. se Alberto ordina un caffè, lo ordina anche Bice;
2. Bice o Carlo ordinano un caffè, ma non tutti e due;
3. Alberto o Carlo ordinano un caffè, o tutti e due;
4. se Carlo ordina un caffè, lo ordina anche Alberto.

Chi ordina il caffè? Uso una lettera per ogni amico: $A$ vuol dire «Alberto ordina un caffè», e lo stesso $B$ per Bice e $C$ per Carlo. Le quattro informazioni diventano le premesse $A\to B$, $B\oplus C$, $A\vee C$ e $C\to A$. Le righe sono 8; la tavola dice che una sola rende vere tutte e quattro le informazioni: $A$ = V, $B$ = V, $C$ = F.

Si può anche ragionare per casi, senza tavola.

• Se Carlo ordina il caffè: dalla 4, lo ordina Alberto; dalla 1, lo ordina Bice. Ma allora Bice e Carlo lo ordinano tutti e due, contro la 2. Impossibile.
• Quindi Carlo non lo ordina. Dalla 3, lo ordina Alberto; dalla 1, lo ordina Bice. La 2 è rispettata: Bice sì, Carlo no.

Alberto e Bice ordinano il caffè, Carlo no. Mettilo nello strumento per vedere la riga verde.

Nelle dispense di Felice Cardone, sul Moodle del canale A, la stessa idea ha un altro nome e un altro simbolo. La dispensa dice che il libro scrive $p_1,\dots ,p_n/\therefore p$ per quello che lì si scrive con il simbolo $\models$.

Come si legge. $\models$ si legge «ha come conseguenza logica». È la definizione di argomentazione valida, scritta con un simbolo. Con niente a sinistra, $\models A$ vuol dire che $A$ è vera in tutte le righe: è una tautologia.

C'è un legame preciso tra le due cose, che il canale A dimostra a lezione: $A\models B$ esattamente quando $A\to B$ è una tautologia. «$B$ segue da $A$» vuol dire che nessuna riga ha $A$ vera e $B$ falsa, cioè che $A\to B$ non è mai falsa.

Le regole dell'esame, uguali per i tre canali, sono nella lezione 01 e nella scheda del corso: 9 quiz in 45 minuti al computer, con Safe Exam Browser, da 3 punti l'uno; servono almeno 18 punti.

Che cosa serve di questa lezione

1. Vero o falso su argomentazioni. Domande come «da $A\to B$ e $B$ segue $A$?»: si risponde cercando un controesempio. Nelle simulazioni del 2023/24 che ho non c'è una domanda così; il diario del canale A 2025/26 cita però «problemi relativi a conseguenza logica» tra gli esercizi di ripasso.
2. Il nome delle regole: modus ponens, modus tollens e gli errori classici.
3. Le dimostrazioni della parte 2 del libro, dalla prossima settimana: ogni passo di una dimostrazione è una regola di questa lezione.

Una domanda nello stile del quiz, letta insieme

Il testo: «Quali delle seguenti argomentazioni sono valide? (a) $A\to B,B/\therefore A$; (b) $A\vee B,\neg A/\therefore B$; (c) $A\to B,\neg B/\therefore \neg A$; (d) $A\to B,\neg A/\therefore \neg B$; (e) $A\wedge B/\therefore A\vee B$.»

In pratica chiede: per ognuna, vero o falso. Un controesempio basta per scartare.

Errori da evitare

• Guardare tutte le righe della tavola, invece delle sole righe con le premesse vere.
• Pensare che «valida» voglia dire «con la conclusione vera».
• Affermare il conseguente o negare l'antecedente.
• Dimenticare che basta un controesempio.
• Nel modus tollens, negare la cosa sbagliata: da $p\to q$ e $\neg q$ segue $\neg p$, non $\neg q$.

Argomentazione

Una sequenza di proposizioni, le premesse, seguita da una conclusione.

Premessa

Una delle proposizioni di partenza di un'argomentazione; si chiama anche ipotesi.

Conclusione

La proposizione finale di un'argomentazione, dopo il «quindi».

Argomentazione valida

Se tutte le premesse sono vere, anche la conclusione è vera (Definizione 1.4.1).

Controesempio

Una riga della tavola con tutte le premesse vere e la conclusione falsa.

Regola di inferenza

Un'argomentazione valida corta, usata come passo di un ragionamento.

Modus ponens

Da $p\to q$ e $p$ segue $q$.

Modus tollens

Da $p\to q$ e $\neg q$ segue $\neg p$.

Sillogismo ipotetico

Da $p\to q$ e $q\to r$ segue $p\to r$.

Sillogismo disgiuntivo

Da $p\vee q$ e $\neg p$ segue $q$.

Affermare il conseguente

L'errore di dedurre $p$ da $p\to q$ e $q$.

Negare l'antecedente

L'errore di dedurre $\neg q$ da $p\to q$ e $\neg p$.

Conseguenza logica

$A_1,\dots ,A_n\models A$: la notazione del canale A per l'argomentazione valida.

Spunta quando sai fare la cosa senza guardare gli appunti. Le spunte restano salvate in questo browser.

• So distinguere premesse e conclusione, e tradurre un'argomentazione con le lettere.
• So che «valida» vuol dire che la conclusione segue dalle premesse, non che è vera.
• So controllare un'argomentazione con la tavola, guardando solo le righe con le premesse vere.
• So trovare un controesempio quando un'argomentazione non è valida.
• So le sette regole di inferenza del libro e le riconosco nelle frasi in italiano.
• So riconoscere i due errori: affermare il conseguente e negare l'antecedente.
• So costruire una catena di regole, citando a ogni passo la regola e i passi usati.
• So ragionare per casi a partire da un «o».
• So leggere la notazione $\models$ del canale A.