Settimana 3: proposizioni, condizionali, equivalenze e argomentazioni

«Torino è in Piemonte» è una proposizione; una domanda, un ordine o «x è maggiore di 3» no. Al posto delle frasi si usano lettere, e i connettivi si scrivono con i simboli:

• Precedenze: senza parentesi prima «non», poi «e», poi «o». Il «non» si attacca solo a quello che segue: $\neg p\wedge q$ è $(\neg p)\wedge q$.
• Costruire una tavola: una colonna per ogni lettera, le righe in ordine (con 3 lettere, la prima cambia ogni 4 righe, la seconda ogni 2, la terza a ogni riga), poi una colonna per ogni pezzo della formula, dall'interno verso l'esterno.
• Una formula vera in tutte le righe è una tautologia, come $p\vee \neg p$; falsa in tutte, una contraddizione, come $p\wedge \neg p$.
• «Né p né q» vuol dire $\neg p\wedge \neg q$: nessuna delle due.

«Se la squadra vince, offro la pizza» è una promessa. È infranta in un solo caso: la squadra vince e la pizza non arriva. Se la squadra perde, la promessa non è infranta comunque vada: la frase è vera a vuoto.

• Sufficiente e necessaria: in $p\to q$ l'ipotesi $p$ è condizione sufficiente, la conclusione $q$ è condizione necessaria.
• «Solo se»: «p solo se q» è $p\to q$. Quello che segue «solo se» è la conclusione.
• Inversa e contronominale: l'inversa $q\to p$ dice un'altra cosa; la contronominale $\neg q\to \neg p$ dice la stessa cosa della frase di partenza.
• «Se e solo se»: $p\leftrightarrow q$ è vera quando le due parti hanno lo stesso valore.

Equivalenze da sapere. Due formule sono equivalenti, $\equiv$, quando hanno la stessa tavola:

• De Morgan: $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ e $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$;
• la freccia senza freccia: $p\to q\equiv \neg p\vee q$;
• la negazione di una promessa: $\neg (p\to q)\equiv p\wedge \neg q$.

Un detective mette in fila gli indizi e arriva a una conclusione. Le frasi di partenza sono le premesse, quella d'arrivo la conclusione. L'argomentazione è valida quando, se tutte le premesse sono vere, la conclusione non può essere falsa. Valida non vuol dire vera: vuol dire che la conclusione segue dalle premesse.

Le regole di inferenza sono argomentazioni valide corte, da usare come passi:

Mettendo in fila le regole si arriva alla conclusione senza tavole: è una dimostrazione. Con 4 o 5 lettere conviene, perché le tavole avrebbero 16 o 32 righe.

• Il valore di una formula riga per riga: è il quiz 3 della simulazione 1 del 2023/24, con $(A\to B)\leftrightarrow (B\to A)$. Si scrive una colonna per pezzo.
• Formule equivalenti nei circuiti: nel quiz 6 della stessa simulazione bisogna riconoscere con De Morgan che due formule descrivono lo stesso circuito.
• Tradurre e negare: «solo se», «condizione necessaria», la negazione di un «se… allora». Con i quantificatori del §1.5 tornano nella simulazione 2.
• L'esame è un quiz di 9 domande da 3 punti in 45 minuti, con Safe Exam Browser. Appelli 2026/27: venerdì 29/01/2027 e giovedì 18/02/2027, alle 9:00.

Le domande vere che conosco sono quelle delle due simulazioni d'esame ufficiali del 2023/24. Le prime tre vengono da lì: le simulazioni hanno domande a più risposte, che qui sono diventate domande con una risposta giusta. Sulle argomentazioni e sulle traduzioni con «solo se» nelle simulazioni non ci sono domande: le ultime quattro sono sul modello di quelle vere, con gli esercizi del libro. Ho ricontrollato tutte le tavole con un programma.