Settimana 1: i numeri reali

• Ogni famiglia sta dentro la successiva e ha qualcosa in più: $\mathbb{N}⊊\mathbb{Z}⊊\mathbb{Q}⊊\mathbb{R}$.
• Una frazione ha tante scritture: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$. Le frazioni sono i numeri con la virgola che finiscono o si ripetono; quelli che non si ripetono mai sono irrazionali.
• Una stranezza: $0,999\dots =1$, due scritture dello stesso numero.
• In modo preciso un numero reale è una lista di frazioni che si avvicinano sempre di più tra loro: serve per capire, non per l'esame. $\mathbb{R}$ è completo, cioè non ha buchi; $\mathbb{Q}$ invece sì: ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ sale verso $e\approx 2,718$, che non è una frazione.

Perché $\sqrt{2}$ non è una frazione. $\sqrt{2}$ è la diagonale di un quadrato di lato 1, per Pitagora. Si ragiona per assurdo:

1. fai finta che $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, con la frazione già ridotta ai minimi termini;
2. allora $a^2=2b^2$, quindi $a^2$ è pari e anche $a$ è pari: $a=2k$;
3. sostituendo, $4k^2=2b^2$, cioè $b^2=2k^2$: anche $b$ è pari;
4. ma allora la frazione si poteva ancora semplificare per 2. Contraddizione: $\sqrt{2}$ non è una frazione.

Le nove regole dei conti. Per la somma: associativa, commutativa, c'è lo 0, ogni numero ha l'opposto. Per il prodotto: associativa, commutativa, c'è l'1, ogni numero diverso da 0 ha l'inverso. In più la distributiva, $a(b+c)=ab+ac$.

Come si legge. In pratica un campo è un insieme in cui fai le quattro operazioni senza uscirne. $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$ sono campi; $\mathbb{N}$ no, perché manca $-1$; $\mathbb{Z}$ no, perché manca $\frac{1}{2}$. Lo zero non ha inverso: non si divide per zero.

L'ordine. $a>b$ vuol dire che $a-b$ è positivo, cioè che $a$ sta più a destra sulla retta dei numeri. $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono ordinati; $\mathbb{C}$ no.

• Prova comune ai tre canali: 10 quiz a 5 risposte; con almeno 6 giuste si correggono i 2 problemi da 11 punti. Dura 2 ore, senza calcolatrice, e si possono portare solo 4 facciate scritte a mano.
• Appelli 2026/27: venerdì 22/01/2027 e venerdì 05/02/2027, alle 14:00. Il voto di MDAG è la media con Matematica Discreta.
• Da questa lezione: riconoscere un campo, usare le parentesi giuste, semplificare le radici. Nell'appello del 07/09/2026 le risposte per una distanza erano $3$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $3\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$ e $3+\sqrt{3}$: bisogna riconoscere che $\frac{1}{\sqrt{3}}$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ sono lo stesso numero.
• Sul foglio da 4 facciate: la tabella delle famiglie, le nove regole, le regole delle radici.

Nei 15 appelli di Algebra lineare dal 2024 al 2026 non c'è una domanda solo sui numeri reali. I conti di questa settimana, con radici e frazioni senza calcolatrice, stanno però dentro molte domande vere. Le prime tre domande qui sotto sono proprio quei conti, presi dalle domande indicate; la quarta è una domanda vera intera. Le risposte sono quelle delle soluzioni ufficiali, ricontrollate con un programma.