Riassunto settimanale · Parte 1 (modA) · Matematica Discreta · Canali A, B e C · 12/10 – 16/10/2026

Settimana 3: composizione e inverse, insiemi finiti, primi conteggi

Le tre lezioni della settimana in poche pagine: come si calcola una composizione senza sbagliare l'ordine, come si contano un'unione e i multipli, quale formula usare nei primi problemi di conteggio, e le domande vere della domanda 3 e della domanda 4 del quiz.

Lezioni: D05 lun 12/10 · D06 mer 14/10 · D07 ven 16/10
Libro: A. Mori, Lezioni di Matematica Discreta, cap. 2, pp. 23–29; cap. 3, pp. 39–55
Tempo di ripasso: 45 minuti

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre il libro
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La settimana in 7 punti

Comporre vuol dire applicare due funzioni una dopo l'altra. In $g \circ f$ si applica prima la funzione scritta a destra.
La composizione è associativa ma non commutativa: scambiando l'ordine il risultato in generale cambia, e a volte la composta nell'altro ordine non esiste.
Una funzione ha l'inversa se e solo se è biettiva. L'inversa di una formula si trova scrivendo $y = f (x)$ e ricavando $x$ .
Due insiemi hanno lo stesso numero di elementi quando c'è una biezione tra loro. Tra insiemi finiti con lo stesso numero di elementi, iniettiva, suriettiva e biettiva sono la stessa cosa.
Piccioni: con più piccioni che gabbie, una gabbia ne ha almeno due. Inclusione-esclusione: l'unione di due insiemi ha la somma dei loro elementi meno quelli in comune.
Scelte successive: se una cosa si costruisce con più scelte una dopo l'altra, i numeri di possibilità si moltiplicano. Da qui vengono tutte le formule della D07.
All'esame la domanda 3 del quiz è quasi sempre una composizione, la domanda 4 un conteggio.

§1

D05 · Composizione e funzioni inverse (lun 12/10)

Una funzione dopo l'altra. Alla mensa ogni studente sceglie un piatto, e ogni piatto ha un prezzo: «dallo studente al prezzo» è la composizione delle due funzioni. Con $f : A \to B$ e $g : B \to C$ la composta $g \circ f$ va da $A$ a $C$ : $(g \circ f) (a) = g (f (a))$ . Si può comporre solo se l'arrivo della prima è la partenza della seconda.

A

B

C

a

f (a)

g (f (a))

f

g

g \circ f

g \circ f

si legge da destra: prima

f

porta

a

B

, poi

g

porta

f (a)

C

. La freccia tratteggiata è la composta, che salta il passaggio intermedio.

Metodo · La domanda 3 del quiz

Leggi ogni catena da destra a sinistra: la funzione più vicina alla variabile si usa per prima.
Con un valore, come $g \circ f \circ f (0)$ , calcola un passo alla volta e scrivi ogni numero.
Con una formula, sostituisci con le parentesi: in $g (f (n))$ , al posto di ogni $n$ di $g$ va tutta la formula di $f$ . Poi controlla su $x = 0$ .
Se chiede quale composizione «non è definita», segui gli insiemi da destra: l'arrivo di ogni funzione deve essere la partenza della successiva.
Se chiede $g$ conoscendo $g \circ f$ , prova le cinque risposte.

Un esempio dall'appello del 06/06/2025. Con $f (n) = 2 n + 3$ e $g (n) = 3 n - 2$ :

(g \circ f) (n) = g (2 n + 3) = 3 (2 n + 3) - 2 = 6 n + 7.

Le regole. Con tre o più funzioni le parentesi non contano, conta solo l'ordine. L'identità non cambia niente; una costante, prima o dopo, rende costante la composta. Composte di iniettive restano iniettive, composte di suriettive restano suriettive.

Le inverse. Due funzioni sono inverse quando le due composte, nei due ordini, sono l'identità. L'inversa esiste solo per le biezioni ed è una sola (Teorema 2.20).

Per trovarla: controlla che $f$ sia biettiva con il dominio e il codominio dati, scrivi $y = f (x)$ , ricava $x$ , controlla componendo.
$f (x) = 2 x + 5$ sui reali: da $y = 2 x + 5$ viene $x = \frac{y - 5}{2}$ , quindi $f^{- 1} (y) = \frac{1}{2} y - \frac{5}{2}$ .
L'inversa di una composta si fa al contrario, come calze e scarpe: $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$ .

Trappola · Due cose con lo stesso simbolo

$f^{- 1} (b)$ della lezione D04 è la controimmagine, un insieme, ed esiste sempre. Qui $f^{- 1} (b)$ è il valore della funzione inversa, un elemento, ed esiste solo se $f$ è biettiva. E la stessa formula può essere biettiva sui reali e non sugli interi: $3 n - 2$ sugli interi non raggiunge 0.

Prova tu

Con

f (n) = n + 3

g (n) = 1 - 3 n

sugli interi, quanto fa

(g \circ f) (n)

$g (n + 3) = 1 - 3 (n + 3) = - 8 - 3 n$ . È la risposta giusta dell'appello del 04/02/2025, versione 2.

Da ricordare

$(g \circ f) (a) = g (f (a))$ : prima $f$ , poi $g$ . Si calcola da dentro.
Inversa: solo per le biezioni. Si trova da $y = f (x)$ e si controlla componendo.

§2

D06 · Insiemi finiti e unioni (mer 14/10)

Contare con le biezioni. Due insiemi hanno la stessa cardinalità quando c'è una funzione biettiva tra loro. Con gli insiemi infiniti succedono cose strane: i numeri pari sono «tanti quanti» i naturali, con $n \mapsto 2 n$ .

Un insieme è finito quando ogni funzione iniettiva da sé in sé è anche suriettiva. Tra due insiemi finiti con lo stesso numero di elementi, iniettiva, suriettiva e biettiva vogliono dire la stessa cosa (Nota 3.8).
Principio dei piccioni: 13 persone, 12 mesi, quindi almeno due persone sono nate nello stesso mese. Dice che la gabbia c'è, non quale.
Interi e frazioni si mettono in fila come i naturali: sono numerabili. I reali no.

Contare un'unione. Si sommano i due insiemi e si tolgono gli elementi in comune, che altrimenti si contano due volte:

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣ .

Con tre insiemi: più i tre singoli, meno le tre intersezioni a due, più l'intersezione di tutti e tre.

1–500multipli di 2multipli di 52005050200

Tra 1 e 500 ci sono 250 multipli di 2 e 100 multipli di 5; i 50 multipli di 10 stanno in tutti e due. L'unione ne ha

250 + 100 - 50 = 300

, e fuori restano i 200 numeri coprimi con 1000.

Metodo · Contare i numeri divisibili per qualcosa

I multipli di $k$ tra 1 e $n$ sono la parte intera di $n / k$ : tra 1 e 1000 i multipli di 3 sono 333.
«Divisibile per $a$ e per $b$ » vuol dire multiplo del minimo comune multiplo, non del prodotto: per 6 e 45 è 90, non 270.
«Per $a$ o per $b$ » è un'unione: inclusione-esclusione. «Né per $a$ né per $b$ » è il totale meno l'unione.

Prova tu

Tra 1 e 1000, quanti numeri sono divisibili per 6 ma non per 45?

I multipli di 6 sono 166; quelli divisibili anche per 45 sono i multipli di 90, cioè 11. Restano $166 - 11 = 155$ : è l'appello del 01/07/2026, problema 1.

Da ricordare

Stessa cardinalità: c'è una biezione. Più piccioni che gabbie: una gabbia ne ha due.
Unione di due insiemi: somma meno intersezione. «E» tra divisibilità: minimo comune multiplo.

§3

D07 · Parole, anagrammi, disposizioni (ven 16/10)

Scelte successive. Con 2 primi e 3 secondi i menù possibili sono 6, perché per ogni primo ci sono tre secondi: si moltiplica. Vale anche quando le possibilità di una scelta dipendono dalle precedenti, purché il loro numero sia sempre lo stesso.

Che cosa conti	Esempio	Formula
parole di lunghezza $k$ su $n$ simboli, ripetizioni ammesse (disposizioni con ripetizione)	parole di 6 lettere con 15 simboli	$n^{k}$ : $1 5^{6}$
file di $n$ oggetti diversi (ordinamenti)	5 libri sullo scaffale	$n!$ : $5! = 120$
$k$ oggetti diversi presi da $n$ , in ordine (disposizioni semplici)	podio con 12 atleti	$\frac{n !}{( n - k )!}$ : $12 \cdot 11 \cdot 10$
anagrammi con lettere ripetute	TROTTO	$\frac{6 !}{2 ! 3 !} = 60$

1°2°3°12 scelte11 scelte10 scelte

Il podio con 12 atleti: 12 scelte per l'oro, 11 per l'argento, 10 per il bronzo. Le scelte si moltiplicano:

12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320 = \frac{12 !}{9 !}

Anagrammi. Se tutte le lettere fossero diverse, gli anagrammi di una parola di $n$ lettere sarebbero $n!$ . Ogni lettera ripetuta $r$ volte fa contare ogni parola $r!$ volte: si divide per $r!$ . In TROTTO la T compare 3 volte e la O 2: $\frac{6 !}{3 ! 2 !} = \frac{720}{12} = 60$ .

Combinazioni. Scegliere $k$ oggetti da $n$ senza ordine: dalle 4 piante $a$ , $b$ , $c$ , $d$ le coppie sono 6, mentre le scelte in ordine erano $\frac{4 !}{2 !} = 12$ . La formula generale arriva nella prossima lezione.

Metodo · Quale formula?

Conta l'ordine? Se scambiando due elementi ottieni una cosa diversa, sì.
Si possono ripetere? Se lo stesso simbolo può tornare, sì.
Ordine sì e ripetizioni sì: $n^{k}$ . Ordine sì e ripetizioni no: $\frac{n !}{( n - k )!}$ . Tutti gli $n$ oggetti in fila: $n!$ . Ordine no: combinazioni.

Prova tu

Quanti modi ci sono di far sedere 8 persone in una fila di 11 sedie?

Le persone scelgono la sedia una dopo l'altra: $11 \cdot 10 \dots 4 = \frac{11 !}{3 !}$ . È l'appello del 14/01/2025, domanda 4.

Da ricordare

Scelte una dopo l'altra: si moltiplica. Ordine e ripetizioni decidono la formula.
Anagrammi: $n!$ diviso il fattoriale di quante volte compare ogni lettera ripetuta.

§4

Verso l'esame

esame

Domanda 3 del quiz: in tutti gli appelli 2025–2026 è una composizione, con valori, con formule, con tre funzioni o con «quale non è definita». Il metodo è nella sezione D05.
Domanda 4 del quiz: un conteggio. Nel 2025–2026 sono uscite parole, sedie, colorazioni, palline e anagrammi: tutti con le formule della D07. Le combinazioni (degustazioni di birre, caselle da colorare) servono dalla prossima lezione.
Problemi: l'inclusione-esclusione con i multipli era il problema 1 dell'appello del 01/07/2026; anagrammi e ordinamenti il problema 1 del 03/02/2026.
Appelli 2026/27: martedì 19/01/2027 e mercoledì 03/02/2027, alle 14:00, con libro e appunti.

§5

Domande di ripasso

autoverifica

g \circ f

, quale funzione si applica per prima?

$f$ , quella a destra: $(g \circ f) (a) = g (f (a))$ .

Quando una funzione ha l'inversa?

Quando è biettiva. In quel caso l'inversa è una sola.

Quanto fa

(g \circ f)^{- 1}

$f^{- 1} \circ g^{- 1}$ : si disfa prima l'ultima funzione applicata.

Che cosa dice il principio dei piccioni?

Se ci sono più piccioni che gabbie, almeno una gabbia ha due piccioni o più. Con le funzioni: da un insieme finito più grande a uno più piccolo non ci sono funzioni iniettive.

Tra 1 e 100, quanti numeri sono divisibili per 4 e per 6?

8: sono i multipli di 12, il minimo comune multiplo. Con 24 se ne troverebbero 4, sbagliando.

Quante parole di 3 lettere si formano con 26 lettere? E se le lettere devono essere diverse?

$2 6^{3} = 17576$ ; con lettere diverse $26 \cdot 25 \cdot 24 = 15600$ .

Quanti sono gli anagrammi di ORO?

3: le $3! = 6$ file delle lettere si raggruppano a due a due, perché scambiare le due O non cambia la parola.

La settimana in 7 punti

D05 · Composizione e funzioni inverse (lun 12/10)

D06 · Insiemi finiti e unioni (mer 14/10)

D07 · Parole, anagrammi, disposizioni (ven 16/10)

Verso l'esame

Domande di ripasso

Quiz d'esame