Riassunto settimanale · Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · 12/10 – 16/10/2026

Settimana 3: spazi vettoriali, sottospazi e Span

Le due lezioni della settimana in poche pagine: che cosa vuol dire spazio vettoriale, come si riconosce un sottospazio in pochi secondi, che cos'è lo Span, e le domande vere degli appelli 2024–2026 su questi argomenti.

Lezioni: L05 mar 13/10 · L06 gio 15/10, nel canale B
Dispense: Buzano e Radeschi 2026, pp. 20–30
Tempo di ripasso: 35 minuti

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La settimana in 6 punti

Un vettore è una lista ordinata di numeri. Nel piano $(3, 2)$ è lo spostamento «3 a destra e 2 in su».
I vettori si sommano un posto alla volta e si moltiplicano per un numero, lo scalare, moltiplicando ogni posto.
Uno spazio vettoriale è un insieme in cui queste due operazioni non fanno mai uscire e seguono otto regole. Lo sono anche i polinomi, le funzioni, le successioni e le matrici.
Un sottospazio è una parte di uno spazio vettoriale da cui non si esce: contiene lo zero ed è chiusa rispetto a somme e multipli.
Una combinazione lineare è una ricetta: alcuni vettori, ciascuno moltiplicato per una dose, poi sommati. Lo Span è l'insieme di tutte le ricette, ed è sempre un sottospazio.
All'esame «quale di questi insiemi è (o non è) un sottospazio?» è una domanda del quiz in quasi ogni appello.

§1

L05 · Spazi vettoriali I (mar 13/10)

I vettori e le due operazioni. Su una mappa a quadretti, fare un passo a destra e due in su, e poi tre a destra e uno in su, porta quattro a destra e tre in su. Quindi $(1, 2) + (3, 1) = (4, 3)$ : sommare vuol dire fare uno spostamento dopo l'altro, un posto alla volta. Moltiplicare per 2 vuol dire fare lo stesso spostamento due volte; per $- 1$ , farlo al contrario.

1234123xy

v + w

v

w

La somma di

v = (1, 2)

w = (3, 1)

è la diagonale del parallelogramma costruito sui due vettori:

(4, 3)

. Nell'altro ordine si arriva nello stesso punto.

Si sommano solo vettori con lo stesso numero di coordinate: $(1, 2) + (1, 2, 3)$ non ha senso.
Tutti i multipli di un vettore diverso da zero stanno su una retta che passa per l'origine.
Le otto regole sono quattro per la somma e quattro per i multipli. Per la somma: l'ordine non conta, le parentesi non contano, c'è il vettore zero, ogni vettore ha l'opposto. Per i multipli: due distributive, due scalari uno dopo l'altro, lo scalare 1 che non cambia niente.

Gruppi e campi. Sono i nomi di due liste di regole, la parte più teorica della lezione.

Nome	Che cosa chiede	Sì	No
gruppo	un'operazione che non fa uscire, con elemento neutro, associativa, con l'inverso di ogni elemento	$Z$ con la somma	$N$ con la somma: manca l'opposto
campo	le quattro operazioni senza uscire, dividendo solo per numeri diversi da zero	$Q$ , $R$ , $C$	$N$ , $Z$ : $1/2$ esce

Lo spazio vettoriale. Un insieme con una somma e un prodotto per scalare che non fanno uscire e rispettano le otto regole. Gli scalari sono i numeri di un campo: nel corso $R$ o $C$ . Tra due vettori non c'è un prodotto.

Spazio	I vettori	Il vettore zero
$R^{n}$ , $C^{n}$	liste di $n$ numeri	$(0, \dots, 0)$
successioni	liste infinite di numeri	la successione di soli zeri
funzioni da un insieme in $R$	una funzione, sommata punto per punto	la funzione che vale sempre 0
$R_{k} [x]$	i polinomi di grado al massimo $k$	il polinomio nullo

Trappola · Due zeri e due gradi

Il numero zero è uno scalare; il vettore zero è il vettore che sommato non cambia niente. Qualunque vettore per il numero zero dà il vettore zero. E i polinomi di grado esattamente 2 non sono uno spazio vettoriale: $x^{2} + (- x^{2} + x) = x$ ha grado 1, ed esce.

Metodo · «È uno spazio vettoriale?»

Scrivi chi sono i vettori, chi sono gli scalari e quali sono le due operazioni.
Prova con elementi concreti: una somma, un multiplo per $- 1$ e per 0. Restano dentro?
Il vettore zero c'è?
Per dire no basta un esempio. Per dire sì serve un ragionamento che valga per tutti.

Prova tu

L'insieme dei vettori

(x, y)

del piano con

x \geq 0

è uno spazio vettoriale con le operazioni solite?

No. $(1, 0)$ ci sta, ma $(- 1) \cdot (1, 0) = (- 1, 0)$ no: un multiplo esce.

Da ricordare

Spazio vettoriale: somma e prodotto per scalare che non fanno uscire, più le otto regole.
Per dire di no: manca lo zero, oppure una somma o un multiplo escono.

§2

L06 · Spazi vettoriali II (gio 15/10)

Le matrici. Una matrice è una tabella di numeri: con $m$ righe e $n$ colonne si chiama $m \times n$ ; $a_{ij}$ è il numero nella riga $i$ e nella colonna $j$ . Le matrici della stessa forma si sommano e si moltiplicano per un numero casella per casella: formano lo spazio vettoriale $M (m, n, K)$ .

I sottospazi. Una parte di uno spazio vettoriale è un sottospazio quando supera tre controlli:

contiene il vettore zero;
la somma di due suoi vettori resta dentro;
ogni multiplo di un suo vettore resta dentro.

−3−2−1123−2−11234xy

y = 2 x

y = 2 x + 1

O

(0, 1)

(1, 3)

(1, 4)

La retta

y = 2 x

passa per l'origine ed è un sottospazio. La retta

y = 2 x + 1

no: non contiene l'origine, e la somma dei suoi punti

(0, 1)

(1, 3)

(1, 4)

, che sta fuori.

Trappola · Un solo controllo non basta

Il primo quadrante contiene lo zero e le somme restano dentro, ma il multiplo per $- 1$ esce. I due assi insieme hanno lo zero e i multipli, ma $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ esce. Allo stesso modo «le triangolari», superiori oppure inferiori, non sono un sottospazio; lo sono le superiori e le inferiori separatamente.

Cinque classi di matrici quadrate, tutte sottospazi:

Classe	Che cosa vuol dire
diagonali	zeri fuori dalla diagonale
triangolari superiori	zeri sotto la diagonale
triangolari inferiori	zeri sopra la diagonale
simmetriche	uguali allo specchio sulla diagonale: $a_{ij} = a_{j i}$
antisimmetriche	opposte allo specchio: $a_{ij} = - a_{j i}$ , e quindi diagonale di zeri

Combinazioni lineari e Span. Con gli ingredienti $v_{1}, \dots, v_{k}$ e le dosi $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ la ricetta è $λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}$ . Lo $Span (v_{1}, \dots, v_{k})$ è l'insieme di tutte le ricette: è sempre un sottospazio (Proposizione 6.7), ed è il più piccolo che contiene gli ingredienti.

Lo Span di un vettore diverso da zero è la retta dei suoi multipli: $Span ((1, 2)) = Span ((2, 4))$ .
Lo Span di due vettori non è l'insieme dei due vettori: contiene infinite ricette.
Il vettore sta nello Span? Chiama le dosi con delle lettere, scrivi la ricetta uguale al vettore coordinata per coordinata, risolvi il sistema. Se trovi le dosi, sì; se arrivi a una cosa impossibile, come $3 = 4$ , no.

Metodo · «È un sottospazio?» in pochi secondi

Se l'insieme è descritto da…	allora…
equazioni lineari senza termine noto: $x - 2 y = 0$ , $a = 2 c$ , $p (1) = 0$	sì
un'equazione con termine noto: $x + y = 1$ , $p (0) = 1$	no: manca lo zero
disuguaglianze: $x \geq 0$	quasi sempre no: prova il multiplo per $- 1$
prodotti o potenze delle lettere: $x y = 0$ , $x^{2} = 1$	quasi sempre no: prova una somma
una lettera con un pezzo fisso: ${(1 + t) x^{2} + t x}$	no: nessun valore di $t$ dà lo zero
uno Span	sì, sempre

Prova tu

Il vettore

(1, 1)

sta nello

Span ((1, 2), (2, 4))

No. Ogni ricetta è $λ (1, 2) + μ (2, 4) = (λ + 2 μ) (1, 2)$ , un multiplo di $(1, 2)$ : la seconda coordinata è sempre il doppio della prima.

Da ricordare

Sottospazio: zero, somme, multipli. Per dire no basta un esempio che non funziona.
Lo Span è l'insieme di tutte le ricette con quegli ingredienti, ed è sempre un sottospazio.

§3

Verso l'esame

esame

Quiz: «quale di questi insiemi è (o non è) un sottospazio?» è uscita il 08/02/2024, il 03/06/2025, il 05/02/2026 e il 07/09/2026. Si risolve con la tabella dei segnali della L06: quasi sempre basta guardare se c'è lo zero.
Span tra i polinomi: il 24/01/2024 la domanda 1 chiedeva quali polinomi generano un sottospazio dato.
Questi argomenti tornano in tutto il corso: dimensione e basi nella L07, nucleo e immagine nella L14, autospazi nella L18.
Appelli 2026/27: venerdì 22/01/2027 e venerdì 05/02/2027, alle 14:00, con 4 facciate scritte a mano e senza calcolatrice.

§4

Domande di ripasso

autoverifica

Quanto fa

(1, 2) + (3, 1)

? E

- 2 \cdot (1, - 3)

$(4, 3)$ e $(- 2, 6)$ : si lavora un posto alla volta.

Perché

Z

non è un campo?

Perché non sempre si può dividere senza uscire: $1/2$ non è intero.

I polinomi di grado esattamente 3 formano uno spazio vettoriale?

No: il polinomio nullo non ha grado 3, e $x^{3} + (- x^{3} + 1) = 1$ ha grado 0.

Quali sono i tre controlli per un sottospazio?

Contiene lo zero; la somma di due suoi vettori resta dentro; ogni multiplo di un suo vettore resta dentro.

Le matrici

2 \times 2

con

a_{11} = 1

sono un sottospazio?

No: la matrice nulla ha $a_{11} = 0$ , quindi manca lo zero.

Che cos'è lo Span di un solo vettore

v \neq = 0

nel piano?

La retta che passa per l'origine e contiene $v$ : tutti i suoi multipli.

La settimana in 6 punti

L05 · Spazi vettoriali I (mar 13/10)

L06 · Spazi vettoriali II (gio 15/10)

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