Riassunto settimanale · Parte 2 (modB) · Algebra lineare e Geometria · Canali A, B e C · 05/10 – 09/10/2026

Settimana 2: numeri complessi e polinomi

Le tre lezioni della settimana in poche pagine: come si fanno i conti con i numeri complessi, quando conviene la forma polare, come si trovano le radici di un polinomio, e le domande per controllarti.

Lezioni: L02 mar 06/10 · L03 mer 07/10 · L04 gio 08/10, nel canale B
Dispense: Buzano e Radeschi 2026, pp. 6–19
Tempo di ripasso: 40 minuti

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre le dispense
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La settimana in 6 punti

Nessun numero reale al quadrato dà meno uno. Si aggiunge allora l'unità immaginaria $i$ , con $i^{2} = - 1$ .
Un numero complesso è un punto del piano: $3 + 2 i$ sta 3 passi a destra e 2 in su.
Il coniugato cambia il segno davanti alla $i$ ; il modulo è la distanza dal centro. Per dividere si moltiplica sopra e sotto per il coniugato del numero sotto.
In forma polare un numero è una distanza e un angolo. Nei prodotti le distanze si moltiplicano e gli angoli si sommano.
Le radici $n$ -esime di un numero diverso da zero sono sempre $n$ , in cerchio.
Un polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ radici complesse, contate con la molteplicità: è il teorema fondamentale dell'algebra.

§1

L02 · Numeri complessi I (mar 06/10)

Un numero complesso è un punto di un foglio a quadretti, descritto da due numeri reali. Si scrive per esempio $3 + 2 i$ . Il primo è la parte reale, il secondo la parte immaginaria, senza la $i$ . Sul foglio a quadretti è il punto 3 passi a destra e 2 in su.

Operazione	Come si fa	Esempio
somma	parte reale con parte reale, immaginaria con immaginaria	$(1 + 2 i) + (3 - i) = 4 + i$
prodotto	quattro prodotti, poi $- 1$ al posto di $i^{2}$	$(3 + 2 i) (1 - i) = 5 - i$
coniugato	cambia il segno davanti alla $i$	il coniugato di $3 + 2 i$ è $3 - 2 i$
modulo	Pitagora: la radice di $a^{2} + b^{2}$	$∣ 3 + 4 i ∣ = 5$
potenze di $i$	si ripetono ogni 4: $i$ , $- 1$ , $- i$ , $1$	$i^{7} = - i$ , perché 7 diviso 4 dà resto 3

1234−2−112ReIm

∣ z ∣

z = 3 + 2 i

\overset{z}{ˉ} = 3 - 2 i

Il numero

z = 3 + 2 i

è il punto

(3, 2)

. Il coniugato

\overset{z}{ˉ} = 3 - 2 i

è il suo riflesso rispetto all'asse orizzontale; il modulo

∣ z ∣ = 13

è la lunghezza del segmento dall'origine.

Metodo · Dividere due numeri complessi

Scrivi la divisione come frazione.
Moltiplica sopra e sotto per il coniugato del numero sotto: sotto resta un numero reale, il quadrato del modulo.
Separa la parte reale e la parte immaginaria.
Controlla moltiplicando.

Per $(1 + i) z = 3 + 2 i$ : $z = \frac{3 + 2 i}{1 + i} = \frac{( 3 + 2 i ) ( 1 - i )}{2} = \frac{5 - i}{2}$ . È il tipo della prima domanda del quiz in tre appelli.

I numeri complessi formano un campo, ma non sono ordinati: non ha senso chiedere quale sia il maggiore.
Nel piano: «parte reale uguale a 2» è una retta verticale; «distanza da $c$ uguale a $r$ » è una circonferenza.

Prova tu

Quanto vale

(2 + i) (2 - i)

? E il modulo di

2 + i

$(2 + i) (2 - i) = 4 - i^{2} = 5$ . Il modulo è la radice di 5: un numero per il suo coniugato dà il quadrato del modulo.

Da ricordare

Il prodotto non si fa pezzo per pezzo: servono quattro prodotti.
Per dividere, il coniugato del numero sotto.

§2

L03 · Numeri complessi II (mer 07/10)

Un punto del piano si può dire in due modi: «3 passi a destra e 4 in su», oppure «guarda in quella direzione e fai 5 passi». Il secondo usa una distanza e un angolo: sono le coordinate polari.

Forma polare: $z = r e^{i ϑ}$ . La distanza è il modulo, l'angolo si chiama argomento. La scrittura con la $e$ è un'abbreviazione: vuol dire il punto del cerchio di raggio 1 a quell'angolo, cioè $cos ϑ + i sin ϑ$ .
Gli angoli si misurano in radianti: un giro intero è $2 π$ . Angoli che differiscono di giri interi danno lo stesso punto.

Operazione	In forma polare
prodotto	distanze moltiplicate, angoli sommati
quoziente	distanze divise, angoli sottratti
potenza $z^{n}$	distanza alla $n$ , angolo per $n$
moltiplicare per $i$	un quarto di giro in senso antiorario

Metodo · Le radici n-esime

Cercare le radici $n$ -esime di un numero diverso da zero vuol dire risolvere $z^{n} = z_{0}$ . Le soluzioni sono sempre esattamente $n$ .

La distanza è la radice $n$ -esima della distanza di $z_{0}$ .
Il primo angolo è l'angolo di $z_{0}$ diviso per $n$ .
Gli altri si ottengono aggiungendo ogni volta un $n$ -esimo di giro.

Le soluzioni sono i vertici di un poligono regolare. Per $z^{3} = 8$ sono i vertici di un triangolo sul cerchio di raggio 2: il primo è 2, gli altri sono $- 1 + 3 i$ e $- 1 - 3 i$ .

Prova tu

Quanto vale

(1 + i)^{8}

$1 + i$ ha distanza $2$ e angolo $\frac{π}{4}$ . All'ottava: distanza $(2)^{8} = 16$ , angolo $8 \cdot \frac{π}{4} = 2 π$ , cioè un giro intero. Il risultato è 16.

Da ricordare

Prodotti e potenze: in forma polare. Somme: in forma cartesiana.
Le radici $n$ -esime sono $n$ punti in cerchio, a distanze uguali.

§3

L04 · Polinomi (gio 08/10)

Un polinomio funziona come una macchina: metti un numero al posto della lettera ed esce un numero. Il grado è l'esponente più alto.

I polinomi si dividono con il resto, come i numeri: dividendo uguale quoziente per divisore più resto. Per dividere per $x - a$ c'è Ruffini: abbassa, moltiplica per $a$ , somma.
Una radice è un numero che fa uscire zero. Un numero $a$ è radice esattamente quando $x - a$ divide il polinomio: il resto di quella divisione è proprio il valore del polinomio in $a$ .
La molteplicità dice quante volte $x - a$ ci sta: in $(x - 1)^{2} (x + 2)$ la radice 1 è doppia.

Metodo · Scomporre un polinomio

Cerca una radice tra i divisori del termine noto: per $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ prova 1, 2, 3, 6 e i loro opposti.
Con 1 il polinomio vale 0: dividi per $x - 1$ con Ruffini e ottieni $x^{2} - 5 x + 6$ .
Ripeti, oppure usa la formula del secondo grado: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .

Il risultato: $(x - 1) (x - 2) (x - 3)$ .

Un polinomio di grado $n$ ha al massimo $n$ radici reali. Tra i complessi ne ha esattamente $n$ , contate con la molteplicità.
Se i numeri del polinomio sono reali, le radici non reali vengono a coppie coniugate: le radici di $x^{2} + 1$ sono $i$ e il suo coniugato.
Per il secondo grado decide il $Δ$ : positivo due radici reali, zero una doppia, negativo due complesse coniugate.

Prova tu

È vero che 2 è una radice di

x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

? Quanto vale il resto della divisione per

x - 2

Sì: $8 - 24 + 22 - 6 = 0$ . Il resto della divisione per $x - 2$ è il valore in 2, cioè 0.

Da ricordare

Radice $a$ vuol dire che $x - a$ divide il polinomio.
Coefficienti reali: le radici complesse vengono a coppie coniugate.

§4

Verso l'esame

esame

La domanda sui complessi del quiz, dal 2024 al 2026: trovare $z$ da un'uguaglianza (divisione), potenze alte e radici (forma polare), «quale di questi numeri è una radice?» (polinomi).
Le radici dei polinomi tornano nei problemi sugli autovalori, nelle lezioni L17 e L18.
Senza calcolatrice: a lezione e all'esame i conti con le radici e gli angoli si fanno a mano. Servono i seni e i coseni degli angoli notevoli: 30, 45, 60 e 90 gradi.
Appelli 2026/27: venerdì 22/01/2027 e venerdì 05/02/2027, alle 14:00, con 4 facciate di appunti scritti a mano.

§5

Domande di ripasso

autoverifica

Quanto vale

i^{2}

? E

i^{10}

$i^{2} = - 1$ . $i^{10}$ : 10 diviso 4 dà resto 2, quindi $i^{10} = i^{2} = - 1$ .

Che cosa sono il coniugato e il modulo di

a + bi

Il coniugato è $a - bi$ , il riflesso rispetto all'asse orizzontale. Il modulo è la distanza dal centro, la radice di $a^{2} + b^{2}$ .

Come si divide per un numero complesso?

Si moltiplicano sopra e sotto per il coniugato del numero sotto: sotto resta un numero reale.

Come si moltiplicano due numeri in forma polare?

Le distanze si moltiplicano e gli angoli si sommano.

Quante soluzioni ha

z^{5} = 1

tra i numeri complessi? Come sono messe?

Cinque: sono i vertici di un pentagono regolare sul cerchio di raggio 1, il primo in 1.

Quando un numero

a

è radice di un polinomio?

Quando il polinomio vale 0 in $a$ , cioè quando $x - a$ lo divide senza resto.

Che cosa dice il teorema fondamentale dell'algebra?

Che un polinomio di grado $n$ ha esattamente $n$ radici tra i numeri complessi, contate con la molteplicità.

La settimana in 6 punti

L02 · Numeri complessi I (mar 06/10)

L03 · Numeri complessi II (mer 07/10)

L04 · Polinomi (gio 08/10)

Verso l'esame

Domande di ripasso

Quiz d'esame