Riassunto settimanale · Parte 1 (modA) · Matematica Discreta · Canali A, B e C · 05/10 – 09/10/2026

Settimana 2: prodotto cartesiano, relazioni di equivalenza, funzioni

Le due lezioni della settimana in poche pagine: le definizioni da sapere, le tabelle dei pallini per riconoscere relazioni e funzioni, i metodi per la domanda 2 e la domanda 3 del quiz, e le domande per controllarti.

Lezioni: D03 lun 05/10 · D04 ven 09/10
Libro: A. Mori, Lezioni di Matematica Discreta, cap. 1, pp. 13–15; app. A, pp. 153–155; cap. 2, pp. 17–23
Tempo di ripasso: 40 minuti

Definizione o risultato da sapere
Trappola / errore tipico
Conta all'esame
Oltre il libro
L'idea e il metodo, passo per passo
Da ricordare

La settimana in 7 punti

Una coppia ordinata ha un primo e un secondo pezzo: l'ordine conta. Il prodotto cartesiano di due insiemi contiene tutte le coppie con il primo pezzo nel primo insieme e il secondo nel secondo.
Una relazione in un insieme è un sacchetto di coppie: dice chi è legato a chi.
Le quattro proprietà: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. Un'equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva; un ordine è riflessivo, antisimmetrico e transitivo.
Ogni equivalenza divide l'insieme in classi, che formano una partizione.
Una funzione fa corrispondere a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Sulla tabella dei pallini: un pallino in ogni colonna.
Iniettiva: ogni riga ha al massimo un pallino. Suriettiva: ogni riga ne ha almeno uno. Biettiva: esattamente uno.
All'esame la domanda 2 del quiz è quasi sempre sul prodotto cartesiano, la domanda 3 sulle funzioni.

§1

D03 · Prodotto cartesiano e relazioni (lun 05/10)

Coppie e prodotto cartesiano.

Scambiare i due pezzi di una coppia dà un'altra coppia, se i pezzi sono diversi: la casella B3 della battaglia navale non è 3B. Tonde per le coppie, graffe per gli insiemi.
Per scrivere il prodotto si fissa un elemento del primo insieme e lo si accoppia con tutti quelli del secondo, poi si passa al successivo. Il numero di coppie è il prodotto dei due numeri di elementi: 3 per 4 fa 12.
In generale $A \times B \neq = B \times A$ . Se uno dei due insiemi è vuoto, il prodotto è vuoto.

Metodo · La domanda 2 del quiz

Un elemento del prodotto cartesiano è una coppia, con ogni pezzo nel suo insieme.
Un sottoinsieme di $A \times B$ è un sacchetto di coppie così, oppure il vuoto.
Controlla ogni coppia pezzo per pezzo, e nell'ordine giusto.

Nell'appello del 03/02/2026 gli insiemi erano $P = {1, 3, 4, 7, 8}$ e $Q = {2, 3, 5, 6, 9}$ . La risposta giusta era il sacchetto con la coppia $(6, 7)$ : non è un sottoinsieme di $P \times Q$ , perché 6 non sta in $P$ .

Relazioni. Una relazione in un insieme è un sacchetto di coppie di suoi elementi, cioè un sottoinsieme del prodotto dell'insieme con sé stesso. Si scrive $a R b$ quando $a$ è legato a $b$ , e si disegna con una tabella di pallini.

Proprietà	A parole	Sulla tabella
riflessiva	ognuno è legato a sé stesso	tutta la diagonale piena
simmetrica	se $a$ è legato a $b$ , anche $b$ è legato ad $a$	la tabella è uguale allo specchio
antisimmetrica	due elementi diversi non sono legati nei due sensi	fuori dalla diagonale nessun pallino ha lo specchio
transitiva	da $a$ a $b$ e da $b$ a $c$ , allora da $a$ a $c$	le catene si chiudono

Trappola · Antisimmetrica non vuol dire «non simmetrica»

L'uguaglianza è simmetrica e antisimmetrica. Una relazione può anche non essere né l'una né l'altra.

Equivalenze e classi.

Un'equivalenza vuol dire «essere dello stesso tipo»: stesso mese di nascita, stessa parità, stesso resto.
Congruenza modulo $N$ : due interi sono equivalenti quando la loro differenza è un multiplo di $N$ . Con $N = 3$ le classi sono tre: i multipli di 3, quelli con resto 1, quelli con resto 2.
La classe $[x]$ contiene gli elementi equivalenti a $x$ ; se $x \sim y$ allora $[x] = [y]$ . Le classi formano una partizione, e ogni partizione dà un'equivalenza, «stare nello stesso cassetto».

Prova tu

Con

A = {1, 2}

B = {a, b, c}

, quanti elementi ha

A \times B

? La coppia

(a, 1)

ci sta?

6 elementi. $(a, 1)$ non ci sta: il primo pezzo deve essere in $A$ . Sta in $B \times A$ .

Da ricordare

Equivalenza: riflessiva, simmetrica, transitiva. Ordine: riflessivo, antisimmetrico, transitivo.
Le classi di un'equivalenza sono i cassetti di una partizione.

§2

D04 · Funzioni, immagini, controimmagini (ven 09/10)

Una funzione è come la mensa: ogni studente sceglie un solo piatto. Si scrive $f : A \to B$ . In modo preciso è il suo grafico, un sottoinsieme di $A \times B$ in cui ogni elemento di $A$ compare come primo pezzo di una sola coppia.

Dominio $A$ , codominio $B$ . Due funzioni sono uguali se hanno stesso dominio, stesso codominio e stesso grafico.
Funzioni da riconoscere: identità, costanti, proiezioni, successioni, funzione quoziente.
L'immagine $Im (f)$ sono i valori raggiunti davvero; il codominio è quello che potrebbe raggiungere.
La controimmagine $f^{- 1} (b)$ è l'insieme di chi finisce in $b$ : le soluzioni di $f (a) = b$ . Può essere vuota. Non vuol dire «uno diviso $f$ ».

Proprietà	Sulle righe della tabella	Con le controimmagini
iniettiva	al massimo un pallino per riga	ogni $f^{- 1} (b)$ ha al massimo un elemento
suriettiva	almeno un pallino per riga	ogni $f^{- 1} (b)$ è non vuota
biettiva	esattamente un pallino per riga	ogni $f^{- 1} (b)$ ha esattamente un elemento

studentipiattiAnnaBrunoCarlaDariopastarisozuppainsalata

Una funzione dagli studenti ai piatti: da ogni studente parte una sola freccia. La pasta riceve due frecce, quindi la funzione non è iniettiva; l'insalata nessuna, quindi non è suriettiva.

Metodo · Smentire o dimostrare

Non iniettiva: basta trovare due elementi diversi con lo stesso valore, come $1$ e $- 1$ quando c'è un quadrato.
Non suriettiva: basta un elemento del codominio che non arriva mai.
Iniettiva: da $f (a_{1}) = f (a_{2})$ fai i conti fino ad $a_{1} = a_{2}$ .
Suriettiva: prendi un $b$ qualsiasi e trova chi ci arriva.

Due esempi da ricordare. «Due n più uno» sugli interi è iniettiva ma non suriettiva: dà solo i dispari. Il quadrato sui reali non è né l'una né l'altra, ma diventa biettivo sui reali positivi.

Prova tu

Con

f : Z \to Z

f (n) = n^{2} - 1

, quanto valgono

f^{- 1} (8)

f^{- 1} (12)

$f^{- 1} (8) = {3, - 3}$ , perché $n^{2} = 9$ . $f^{- 1} (12) = \emptyset$ , perché 13 non è un quadrato.

Da ricordare

Funzione: un pallino in ogni colonna. Le righe dicono iniettiva, suriettiva, biettiva.
Tra insiemi finiti: dal più grande al più piccolo non c'è mai una funzione iniettiva.

§3

Verso l'esame

esame

Domanda 2 del quiz: elementi e sottoinsiemi del prodotto cartesiano, coppia per coppia.
Domanda 3 del quiz: sulle funzioni. Nel 2025 chiedeva immagini, controimmagini, iniettività; dal 2025 in poi quasi sempre una composizione, l'argomento della lezione D05 del 12/10.
Le classi di equivalenza tornano con le classi di resto, e la buona definizione con i problemi sui gruppi.
Appelli 2026/27: martedì 19/01/2027 e mercoledì 03/02/2027, alle 14:00, con libro e appunti.

§4

Domande di ripasso

autoverifica

Quanti elementi ha

A \times B

A

ha 3 elementi e

B

ne ha 4?

12: si moltiplica il numero degli elementi.

Quali proprietà ha una relazione di equivalenza? E una relazione d'ordine?

L'equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva. L'ordine è riflessivo, antisimmetrico e transitivo.

Quali sono le classi della congruenza modulo 3 sugli interi?

$[0]$ , i multipli di 3; $[1]$ , quelli che danno resto 1; $[2]$ , quelli che danno resto 2.

Come si riconosce una funzione sulla tabella dei pallini?

Ogni colonna, cioè ogni elemento del dominio, ha esattamente un pallino.

Che differenza c'è tra codominio e immagine?

Il codominio è l'insieme d'arrivo dichiarato; l'immagine è l'insieme dei valori raggiunti davvero.

Come si dimostra che una funzione non è iniettiva?

Trovando due elementi diversi con lo stesso valore.

f (n) = 2 n + 1

Z

Z

è suriettiva?

No: i valori sono tutti dispari, e 0 non viene mai raggiunto.

La settimana in 7 punti

D03 · Prodotto cartesiano e relazioni (lun 05/10)

D04 · Funzioni, immagini, controimmagini (ven 09/10)

Verso l'esame

Domande di ripasso

Quiz d'esame