Simulazione 1non ancora svoltaSimulazione 2non ancora svoltaSimulazione 3non ancora svoltaSimulazione 4non ancora svoltaSimulazione 5non ancora svoltaSimulazione 6non ancora svoltaSimulazione 7non ancora svoltaSimulazione 8non ancora svolta
Come usarle
- Fai ogni simulazione tutta di seguito, come al test: 45 minuti col cronometro, niente calcolatrice, un foglio per la brutta.
- Ogni domanda vale 2 punti; quando è divisa in a) e b), ogni parte vale 1 punto. La sufficienza è 6/10.
- Nelle domande a scelta multipla qui il punteggio è pieno solo se scegli tutte le risposte giuste e nessuna sbagliata. Non sappiamo se il test vero dia punti parziali: ci alleniamo con la regola più severa.
- Le risposte sbagliate non tolgono punti: rispondi sempre, anche a una domanda che non sai fare, scegliendo tra le opzioni che non hai scartato.
- Nelle risposte numeriche puoi scrivere un intero, un decimale (con la virgola o col punto) o una frazione:
2,5,2.5e5/2vanno bene tutti. - Le simulazioni vanno in ordine di difficoltà: la 1 e la 2 sono le più semplici, dalla 3 alla 6 il livello è intermedio, la 7 e la 8 sono le più impegnative (parametri, casi da distinguere, formule meno usate).
- Dopo la correzione leggi la spiegazione di ogni domanda, anche di quelle giuste: spesso c'è una strada più corta. Sotto ogni simulazione trovi il modulo di ogni domanda: se sbagli sempre sullo stesso, torna agli appunti di quel modulo e rifai i suoi esercizi prima della simulazione successiva.
Simulazione 1
Simulazione 1
5 domande · 45 minuti · sufficienza 6/10 · senza calcolatrice
- Sia l'insieme dei divisori naturali di e sia .Quanti elementi ha l'insieme ?7Scrivo prima gli insiemi per elenco. I divisori di sono ; in ci sono i naturali da a (il è escluso perché la disuguaglianza è stretta): . L'unione contiene gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi, contati una volta sola: , cioè elementi. Errore tipico: sommare . I elementi comuni () vanno contati una volta sola: .La differenza simmetrica (gli elementi che stanno in uno solo dei due insiemi) èGli elementi comuni sono : sono proprio quelli da togliere dall'unione. Restano e (solo in ) e (solo in ), quindi . In simboli: . Le altre opzioni: è l'intersezione, contiene solo gli elementi di che non stanno in (manca il ), è l'unione.
- Quali dei seguenti numeri sono radici del polinomio ?Una o più risposte giusteLe radici intere vanno cercate tra i divisori del termine noto : . Provo : , quindi è radice e è divisibile per . Con Ruffini (coefficienti e radice ) il quoziente è con resto . Il trinomio si scompone con due numeri di somma e prodotto , cioè e :Le radici sono , e . Controllo sulle altre opzioni: , , , nessuna è zero. Un polinomio di terzo grado ha al massimo tre radici: trovate le prime tre, puoi fermarti.
- Un rettangolo ha perimetro cm e area cm². Chiama la lunghezza, in cm, di un lato.Quanto misura, in cm, il lato più lungo?7Il semiperimetro è , quindi se un lato misura l'altro misura (con ). L'area dà l'equazione , cioè . Due numeri con somma e prodotto sono e (con la formula: e ). I lati misurano cm e cm: il più lungo è cm.Se il perimetro resta cm, per quali valori di l'area del rettangolo è almeno cm²?L'area è e deve essere , cioè . Moltiplico per e cambio il verso: . L'equazione associata ha soluzioni e (somma , prodotto ). La parabola è rivolta verso l'alto, quindi è negativa o nulla tra le due radici, estremi compresi: , che sta già dentro . Chi dimentica di cambiare il verso trova gli intervalli esterni; chi dimentica l'uguale perde e , eppure il rettangolo ha area esattamente .
- L'insieme delle soluzioni della disequazione èCondizione di esistenza: . Studio separatamente il segno di numeratore e denominatore. Numeratore: per oppure . Denominatore: per (il denominatore non può essere zero, quindi solo il ). Regola dei segni: per ho fratto , negativo; per ho fratto , positivo; per ho fratto , negativo; per ho fratto , positivo. Prendo gli intervalli positivi più gli zeri del numeratore , dove la frazione vale : . Il valore è sempre escluso perché annulla il denominatore: per questo è sbagliato. è la soluzione della disequazione opposta, . contiene , dove la frazione non esiste, e i valori tra e , dove è negativa.
- Nel piano cartesiano sono dati i punti e .Quanto misura il segmento ?10Formula della distanza tra due punti:Attenzione al segno: , non .Vero o falso: il punto è equidistante da e da .Calcolo le due distanze: e . Sono uguali, quindi è vero. Detto in altro modo, sta sull'asse del segmento , cioè sulla retta perpendicolare ad nel suo punto medio . Il coefficiente angolare di è , quello dell'asse è l'antireciproco , e l'asse ha equazione : per si ottiene proprio .
Moduli delle domande. 1: insiemi (modulo 1) · 2: radici di un polinomio e Ruffini (modulo 2) · 3: problema di 2° grado e disequazione (modulo 3) · 4: disequazione fratta (modulo 4) · 5: distanza tra punti e asse di un segmento (modulo 5).
Simulazione 2
Simulazione 2
5 domande · 45 minuti · sufficienza 6/10 · senza calcolatrice
- In una cartoleria quaderni e penne costano in tutto €, mentre quaderni e penne costano €. I quaderni hanno tutti lo stesso prezzo, e anche le penne. Quanto costa un quaderno, in euro?2,5Chiamo il prezzo di un quaderno e quello di una penna. Il testo dà il sistema formato da e . Metodo di riduzione: moltiplico la prima equazione per e la seconda per , così ha lo stesso coefficiente in entrambe: e . Sottraggo la prima dalla seconda: , quindi . Sostituisco nella seconda equazione di partenza: , da cui . Un quaderno costa €. Verifica nella prima equazione: . Conviene sempre ricontrollare la soluzione di un sistema sostituendola in tutte le equazioni: un errore di calcolo salta subito all'occhio.
- L'equazione ha come soluzioniLa radice ha indice pari, quindi è maggiore o uguale a zero: deve esserlo anche il secondo membro, , cioè . Con questa condizione posso elevare al quadrato (il radicando sarà automaticamente non negativo, perché uguale a un quadrato): , cioè . Due numeri con somma e prodotto : e . Confronto con la condizione : va scartato, è accettabile. Verifica: e . Con invece si ottiene a sinistra e a destra: è una soluzione estranea, nata dall'elevamento al quadrato.
- Considera le funzioni e , definite su tutto .Quanto vale ?2vuol dire: prima applico , poi . Quindi . Calcolo e poi . Errore tipico: invertire l'ordine e calcolare .Quali delle seguenti affermazioni sono vere?Una o più risposte giusteIl grafico di è una retta non orizzontale (coefficiente angolare ): a valori diversi di corrispondono valori diversi di , quindi è iniettiva (anzi biiettiva da in ). Per l'inversa ricavo da : ; poi chiamo di nuovo la variabile: . non è pari: per esempio ma . Infine ; l'espressione è invece . Nemmeno la proporzionalità diretta va bene: ha la forma , con il grafico che passa per l'origine, mentre ; infatti raddoppiando non raddoppia : e .
- Considera l'equazione .Ha una sola soluzione reale. Quanto vale?2Osservo che . Pongo , con perché un esponenziale è sempre positivo: l'equazione diventa , con soluzioni e (somma , prodotto ). va scartata, perché è impossibile. Resta , quindi . Verifica: .Vero o falso: l'equazione ha come unica soluzione reale .È la stessa equazione con la base al posto di . Pongo , con : di nuovo , quindi (la soluzione va scartata). Ora però non si risolve a occhio: si passa al logaritmo nella stessa base, cioè al logaritmo naturale , che è la funzione inversa di . Quindi (si può scrivere anche ): è vero. Errore tipico: rispondere come nel punto a), ma vale circa , non .
- Considera l'equazione .Le sue soluzioni nell'intervallo sonoIsolo il coseno: . L'angolo del primo quadrante con coseno è . Il coseno è negativo nel secondo e nel terzo quadrante, quindi gli angoli cercati sono e (sono opposti a meno di un giro: ). Le altre coppie: e risolvono ; e risolvono ; in il coseno è positivo.Vero o falso: .è un angolo del terzo quadrante, dove seno e coseno sono entrambi negativi. Per gli archi associati e , quindi e (il valore del punto a). La tangente è il rapporto tra seno e coseno:ed è positiva, quindi è vero. Più in fretta: la tangente ha periodo , quindi . Errore tipico: pensare che nel terzo quadrante la tangente sia negativa come seno e coseno, mentre il rapporto di due numeri negativi è positivo.
Moduli delle domande. 1: sistema lineare in un problema (modulo 3) · 2: equazione irrazionale (modulo 4) · 3: composizione, funzione inversa e proporzionalità (modulo 6) · 4: equazioni esponenziali e logaritmo naturale (modulo 7) · 5: equazione goniometrica, archi associati e tangente (modulo 8).
Simulazione 3
Simulazione 3
5 domande · 45 minuti · sufficienza 6/10 · senza calcolatrice
- Considera la proposizione «per ogni numero naturale esiste un numero naturale tale che », in simboli (il simbolo si legge «tale che»).La sua negazione èPer negare una frase con i quantificatori si scambia ogni «per ogni» con «esiste» (e viceversa) e si nega la proprietà finale. Qui diventa , diventa , e diventa : il contrario di «maggiore» è «minore o uguale». La negazione è quindi , cioè «esiste un naturale maggiore o uguale a tutti i naturali». È falsa, com'è giusto: la frase di partenza è vera (basta prendere ). Le altre risposte: con «» la disuguaglianza è negata male; «per ogni esiste tale che » non scambia i quantificatori; «esiste tale che, per ogni , » inverte solo l'ordine dei quantificatori: cambia il senso della frase, ma non è la sua negazione.Vero o falso: per ogni vale l'implicazione «se , allora ».Un'implicazione è falsa se c'è anche un solo caso in cui l'antecedente è vero e il conseguente è falso: basta un controesempio. Con si ha , ma è falso. In realtà equivale a oppure . È vera invece l'implicazione inversa «se , allora »: è condizione sufficiente per , ma non necessaria.
- Considera il polinomio , dove è un numero reale.Per quale valore di il polinomio è divisibile per ?-3Per il teorema del resto, il resto della divisione di per è , e il polinomio è divisibile quando questo resto è zero. . Pongo : .Con il valore di trovato, la scomposizione di in fattori di primo grado èCon il polinomio è . Divido per con Ruffini: coefficienti , radice . Abbasso il ; e ; e ; e . Il quoziente è , con resto . Il trinomio ha e radici , cioè e , quindi . In tutto . Per scartare le altre opzioni basta sviluppare: per esempio , diverso da .
- Per quali valori di la retta è tangente alla circonferenza ?Una o più risposte giusteNella forma il centro è e il raggio è . Una retta è tangente quando la sua distanza dal centro è uguale al raggio:quindi , cioè oppure : oppure . I valori e nascono da un errore di segno sul centro (usando ); dimentica il . Controllo: con la retta tocca la circonferenza nel solo punto .
- Considera la funzione , definita su . Quali delle seguenti affermazioni sono vere?Una o più risposte giusteCompleto il quadrato: . Il grafico è una parabola rivolta verso l'alto con vertice . Quindi scende fino a e poi sale: è decrescente in . Il valore più piccolo è (limitata inferiormente), ma i valori crescono senza limite (non è limitata superiormente). La scrittura dice proprio: in metto al posto di (traslazione di verso destra) e poi sottraggo (traslazione di verso il basso). Non è iniettiva: . Non è pari: , mentre ; il suo asse di simmetria è la retta , non l'asse .
- Considera l'equazione .Quanto vale la sua unica soluzione?3Condizioni di esistenza: entrambi gli argomenti devono essere positivi, e , cioè . Con queste condizioni posso usare la proprietà del prodotto: , cioè , quindi e . Solo rispetta . Verifica: .Vero o falso: è una soluzione dell'equazione .Questa è un'equazione diversa da quella del punto a): qui c'è un solo logaritmo, che esiste quando il prodotto è positivo, cioè per oppure . Per : e , quindi è vero. La lezione: la proprietà vale solo se e sono entrambi positivi. Per questo le condizioni di esistenza si scrivono sull'equazione di partenza, prima di trasformarla: nel punto a) va scartata perché non esiste.
Moduli delle domande. 1: quantificatori, negazione, controesempio (modulo 1) · 2: teorema del resto e Ruffini (modulo 2) · 3: circonferenza e retta tangente (modulo 5) · 4: caratteristiche di una funzione e traslazioni (modulo 6) · 5: equazione logaritmica e condizioni di esistenza (modulo 7).
Simulazione 4
Simulazione 4
5 domande · 45 minuti · sufficienza 6/10 · senza calcolatrice
- Per , l'espressione è uguale aScompongo: è una differenza di cubi, ; è una differenza di quadrati, . Semplifico il fattore (lecito perché ):Ora le due frazioni hanno lo stesso denominatore:dove ho semplificato , lecito perché . Controllo con un numero: per l'espressione vale , proprio come . Errori tipici: scrivere il falso quadrato con il segno sbagliato, , oppure sommare il invece di sottrarlo (così al numeratore compare ).
- Considera l'equazione , dove è un numero reale.Per quale valore di l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti?9Le soluzioni coincidono quando il discriminante è nullo: , cioè . In quel caso e l'unica soluzione è . Per le soluzioni sono due e distinte, per non ci sono soluzioni reali.Per , le soluzioni della disequazione sonoCon la disequazione è . L'equazione associata ha soluzioni e (somma , prodotto ). Il coefficiente di è positivo, quindi la parabola è rivolta verso l'alto ed è negativa tra le radici: , estremi esclusi perché la disuguaglianza è stretta (in e in il trinomio vale ). Gli intervalli esterni sono le soluzioni di ; viene dallo sbagliare il segno delle radici.
- L'insieme delle soluzioni della disequazione èDistinguo i due casi della definizione di valore assoluto. Primo caso, , cioè : il modulo si toglie così com'è, , da cui ; soluzioni . Secondo caso, : il modulo vale , quindi , cioè ; divido per cambiando il verso: ; soluzioni . Unisco i due casi: . Più in fretta: equivale a , cioè , che dà e . è l'errore di chi non cambia il verso dividendo per ; dimentica il secondo caso; risolve la disequazione opposta, .
- Considera la parabola e la retta .Quanto vale l'ordinata del fuoco della parabola?-3/4Per il vertice è e il fuoco è . Qui , , e : vertice , fuoco , quindi l'ordinata è . Controllo: il fuoco sta sull'asse , a distanza dal vertice, dalla parte verso cui è rivolta la parabola (verso l'alto): . La direttrice è la retta , alla stessa distanza dal vertice ma dall'altra parte.Quali dei seguenti punti appartengono sia alla parabola sia alla retta?Una o più risposte giusteI punti comuni si trovano mettendo a sistema le due equazioni: , cioè , con soluzioni e (somma , prodotto ). Le ordinate si ricavano dalla retta: e . I punti comuni sono e . Gli altri: e stanno sulla parabola ma non sulla retta ( e ); sta sulla retta ma non sulla parabola (). Un punto è comune solo se soddisfa entrambe le equazioni.
- Un triangolo ha i lati lunghi , e . Indica con l'angolo opposto al lato e con l'angolo opposto al lato .L'angolo misuraConosco i tre lati, quindi uso il teorema del coseno (di Carnot) sul lato : . Sostituisco: , quindi e . In un triangolo ogni angolo è compreso tra e , e l'unico angolo di quell'intervallo con coseno è , cioè . ha coseno : è l'errore di segno più comune.Vero o falso: .Con il teorema dei seni: , quindi , perché . È vero. Controllo con Carnot sul lato : , da cui , e infatti .
Moduli delle domande. 1: scomposizione e frazioni algebriche (modulo 2) · 2: discriminante e disequazione di 2° grado (modulo 3) · 3: disequazione con valore assoluto (modulo 4) · 4: parabola, fuoco, intersezione con una retta (modulo 5) · 5: triangoli, teoremi del coseno e dei seni (modulo 8).
Simulazione 5
Simulazione 5
5 domande · 45 minuti · sufficienza 6/10 · senza calcolatrice
- Un negozio aumenta del il prezzo di una giacca. Qualche settimana dopo, con i saldi, applica uno sconto del sul nuovo prezzo.Di che percentuale è diminuito il prezzo finale rispetto a quello iniziale? Scrivi solo il numero (per esempio per una diminuzione del ).4Chiamo il prezzo iniziale. Aumentare del vuol dire moltiplicare per ; scontare del vuol dire moltiplicare per . Il prezzo finale ècioè il di quello iniziale: è diminuito del . Errore tipico: pensare che e si annullino. Non succede perché lo sconto è calcolato su un prezzo più alto di quello su cui era stato calcolato l'aumento.Vero o falso: dopo i saldi, per riportare la giacca esattamente al prezzo iniziale basta aumentarne il prezzo del .Dopo i saldi il prezzo è . Aumentandolo del si ottiene , ancora meno di : il di è meno del di . Per tornare a bisogna moltiplicare per , cioè aumentare di del prezzo, circa il . Una percentuale si calcola sempre sul valore a cui viene applicata.
- Il sistema ha una sola soluzione . Quanto vale ?3Uso il metodo di sostituzione. Dalla prima equazione ricavo e la sostituisco nelle altre due. Seconda: , cioè . Terza: , cioè . Ora ho un sistema di due equazioni in due incognite. Dalla prima ricavo e sostituisco nella seconda: , cioè e . Allora e . La soluzione è . Verifica in tutte e tre le equazioni: , , . Scorciatoia: sommando la prima e la terza equazione la sparisce e si ottiene subito .
- L'equazioneCondizioni di esistenza: i denominatori , e non devono annullarsi, quindi e . Il denominatore comune è ; moltiplico entrambi i membri per esso, che è diverso da zero per le condizioni di esistenza: , cioè , quindi e . Entrambi i valori sono esclusi dalle condizioni di esistenza: l'equazione non ha soluzioni. Chi salta le condizioni di esistenza risponde e , ma per questi valori nell'equazione compare una divisione per zero.
- Considera la funzione .Per quale valore di si ha ?10Risolvo con la condizione : moltiplico per e ottengo , quindi , accettabile. Verifica: . In altre parole è la controimmagine di , cioè .Quali delle seguenti affermazioni sono vere?Una o più risposte giusteDominio: l'unica condizione è , quindi . Per l'immagine risolvo rispetto a : , cioè , quindi e . Si può fare per ogni ; per l'equazione diventa , impossibile. Quindi non è immagine di nessun , la funzione è biiettiva da a e, scambiando i nomi delle variabili, l'inversa è . Poi , non . Infine non è pari: , mentre ; del resto il dominio non è nemmeno simmetrico rispetto a (contiene ma non ).
- L'insieme delle soluzioni della disequazione èScrivo tutto con la stessa base : . La disequazione diventa . La base è compresa tra e , quindi l'esponenziale è decrescente e, passando agli esponenti, il verso si inverte: , cioè . Le radici di sono e , e il trinomio è negativo tra le radici: . Chi non inverte il verso trova gli intervalli esterni; chi scrive sbaglia il segno dell'esponente e trova . Controllo con : e , e è vero.
Moduli delle domande. 1: percentuali (modulo 1) · 2: sistema lineare di tre equazioni (modulo 3) · 3: equazione fratta e condizioni di esistenza (modulo 4) · 4: dominio, immagine e funzione inversa (modulo 6) · 5: disequazione esponenziale con base minore di 1 (modulo 7).
Simulazione 6
Simulazione 6
5 domande · 45 minuti · sufficienza 6/10 · senza calcolatrice
- Siano e .Quanti elementi ha l'insieme delle parti del prodotto cartesiano, ?64Il prodotto cartesiano contiene tutte le coppie ordinate con e : sono , cioè . Un insieme con elementi ha sottoinsiemi, quindi ha elementi (compresi l'insieme vuoto e stesso). Errori tipici: rispondere (gli elementi di ) oppure .Quali delle seguenti affermazioni sono vere?Una o più risposte giusteha il primo elemento in e il secondo in : sta in . invece no: nelle coppie ordinate conta l'ordine, e sta in . Gli elementi di sono i sottoinsiemi di , e è un sottoinsieme di : quindi . L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme. Infine gli elementi di sono , , : l'insieme è contenuto in (), ma non è un suo elemento. Attenzione alla differenza tra (tra un elemento e un insieme) e (tra due insiemi).
- Quali dei seguenti polinomi sono fattori (cioè divisori) del polinomio ?Una o più risposte giustecontiene solo potenze pari di : pongo e ottengo , che si scompone con due numeri di somma e prodotto : . Torno a : , e con la differenza di quadratiI fattori di sono i prodotti di alcuni di questi quattro (a meno di una costante). è uno di essi; e sono prodotti di due. non lo è: dividendo per resta . non è fattore perché, per il teorema del resto, .
- Considera l'ellisse di equazione .Quanto misura la distanza tra i due fuochi?8L'equazione è in forma canonica con e , cioè e . Poiché , i fuochi stanno sull'asse , nei punti con , quindi . I fuochi sono e e distano . Errore tipico: usare , che vale per l'iperbole, non per l'ellisse. I vertici sono e .Vero o falso: l'iperbole di equazione ha gli stessi fuochi dell'ellisse.Anche l'iperbole in forma canonica ha i fuochi sull'asse , nei punti , ma per l'iperbole (per l'ellisse invece ). Qui e : e . I fuochi sono e , gli stessi dell'ellisse: è vero. Chi usa la formula dell'ellisse trova e risponde falso. Della stessa iperbole: i vertici sono e gli asintoti sono le rette . Quando l'iperbole si dice equilatera e i suoi asintoti sono le bisettrici .
- Considera la funzione definita a tratti . Quali delle seguenti affermazioni sono vere?Una o più risposte giustePer calcolare in un punto bisogna prima capire quale tratto usare. : , quindi ; poi : , quindi . Dunque . Zeri: nel primo tratto dà , ma il tratto vale solo per , quindi resta ; nel secondo tratto dà , che rispetta . Gli zeri sono e (attenzione: , non ). non è iniettiva, perché assume il valore due volte. Non è continua in : avvicinandosi a da sinistra i valori si avvicinano a , ma , quindi il grafico fa un salto. Infine per molto negativo diventa grande quanto si vuole: non è limitata superiormente.
- Considera l'equazione .Quante soluzioni ha nell'intervallo ?3È un'equazione di secondo grado in . Pongo : , con e , cioè oppure , entrambi accettabili perché compresi tra e . ha in la sola soluzione . ha due soluzioni, nel terzo e nel quarto quadrante: e . In tutto soluzioni.La somma delle soluzioni nell'intervallo èSommo le tre soluzioni trovate: . è la somma di chi dimentica (solo ); è la somma di chi sbaglia il segno e risolve (); è quella di chi sbaglia il segno di entrambe le radici e risolve e ().
Moduli delle domande. 1: prodotto cartesiano e insieme delle parti (modulo 1) · 2: scomposizione di un polinomio (modulo 2) · 3: ellisse e iperbole (modulo 5) · 4: funzione definita a tratti (modulo 6) · 5: equazione goniometrica di 2° grado (modulo 8).
Simulazione 7
Simulazione 7
5 domande · 45 minuti · sufficienza 6/10 · senza calcolatrice
- Considera l'equazione , dove è un parametro reale.L'equazione ha due soluzioni reali distinte se e solo seDue soluzioni distinte richiedono un'equazione di secondo grado, quindi , cioè , e un discriminante positivo. Il coefficiente di è pari (), quindi conviene :e per . Mettendo insieme: e . Con il discriminante è nullo (due soluzioni coincidenti): per questo « e » è sbagliata. «» dimentica il caso , che il punto b) esamina.Vero o falso: per l'equazione ha esattamente una soluzione reale.Per il termine in sparisce: , cioè . È un'equazione di primo grado determinata, con l'unica soluzione : è vero. Quando il coefficiente di contiene un parametro, il caso in cui si annulla va sempre studiato a parte, perché lì la formula risolutiva non si può usare (si dividerebbe per ).
- Quanti numeri interi soddisfano la disequazione ?9È del tipo con indice pari: le soluzioni sono l'unione di due sistemi. Primo sistema: e radicando non negativo, cioè e . Qui la disequazione è sempre vera, perché una radice, che è , è maggiore di un numero negativo: soluzioni . Secondo sistema: ed elevo al quadrato, cioè e . La seconda condizione diventa , cioè , con radici e : . Insieme a : . Unisco i due sistemi: . Gli interi di questo intervallo sono , cioè : è compreso (), no ( non è maggiore di ). Chi eleva subito al quadrato senza distinguere i casi trova e conta solo interi, perdendo i valori da a , che invece vanno bene: con si ha .
- Considera la circonferenza e il punto , esterno alla circonferenza.Quali delle seguenti rette passano per e sono tangenti alla circonferenza?Una o più risposte giusteLe rette per (il fascio di centro ) sono , più la retta verticale , che passa per il centro e quindi è secante. La circonferenza ha centro e raggio . Scrivo la retta come e impongo che la distanza dal centro sia uguale al raggio:quindi oppure . Le altre: dista dal centro, quindi è esterna; dista , anch'essa esterna; è tangente (dista ) ma non passa per , perché per dà .Qual è l'ascissa del punto di contatto tra la circonferenza e la tangente con coefficiente angolare positivo?-2Metto a sistema con : , cioè e, dividendo per , . Il discriminante nullo conferma la tangenza; la soluzione doppia è e il punto di contatto è . Controllo: . In alternativa: il raggio che arriva nel punto di contatto è perpendicolare alla tangente, quindi sta sulla retta ; intersecandola con si ritrova .
- L'insieme delle soluzioni della disequazione èCondizioni di esistenza: e , cioè . Con queste condizioni uso la proprietà del prodotto e scrivo anche come logaritmo in base : , perché . La disequazione diventa . La base è compresa tra e , quindi il logaritmo è decrescente e, passando agli argomenti, il verso si inverte: , cioè , cioè . Intersecando con : . Controllo con : , e è vero. Le altre opzioni: dimentica le condizioni di esistenza, non inverte il verso, fa entrambi gli errori.
- Nell'intervallo , le soluzioni della disequazione sonoPorto tutto al coseno con la relazione fondamentale, : , cioè ; cambio segno e verso: . Con : , con radici e ; il trinomio è negativo tra le radici: . Sulla circonferenza goniometrica per oppure ; tolgo i punti in cui , cioè e , e resta . include e , dove il primo membro vale , che non è . è l'errore di chi non cambia il verso; confonde i valori notevoli (, non ).
Moduli delle domande. 1: equazione di 2° grado con parametro (modulo 3) · 2: disequazione irrazionale (modulo 4) · 3: rette tangenti a una circonferenza da un punto esterno (modulo 5) · 4: disequazione logaritmica con base minore di 1 (modulo 7) · 5: disequazione goniometrica (modulo 8).
Simulazione 8
Simulazione 8
5 domande · 45 minuti · sufficienza 6/10 · senza calcolatrice
- Sia .Quanti sottoinsiemi di contengono sia sia ?8Un sottoinsieme che contiene e è deciso dalla scelta degli altri suoi elementi, cioè da un sottoinsieme qualsiasi di : per ognuno dei tre elementi scelgo se metterlo o no. Un insieme con elementi ha sottoinsiemi. Eccoli: , , , , , , e . In tutto ha sottoinsiemi, e un quarto di essi contiene sia sia .Quali delle seguenti affermazioni sono vere?Una o più risposte giuste«Se è dispari, allora è dispari»: vera. Dimostro la contronominale, «se è pari, allora è pari»: se , allora , che è pari. Un'implicazione e la sua contronominale sono equivalenti. «La somma di due irrazionali è sempre irrazionale»: falsa, controesempio , che è razionale. «Il prodotto di un razionale non nullo per un irrazionale è irrazionale»: vera, per assurdo. Se è razionale, è irrazionale e fosse razionale, allora sarebbe un quoziente di razionali, quindi razionale: contraddizione. «Se allora »: falsa, controesempio e : ma . Per dimostrare che una frase è falsa basta un controesempio; per dimostrare che è vera non bastano gli esempi, serve un ragionamento valido in tutti i casi.
- Il polinomio è divisibile sia per sia per .Quanto vale ?4Per il teorema del resto, è divisibile per se e per se . dà . dà , cioè . Sommo le due equazioni: , quindi e . Il polinomio è .Vero o falso: con i valori di e trovati, è divisibile anche per .Basta calcolare : il resto è zero, quindi è vero. Si vede anche così: è divisibile per e il quoziente è di primo grado, del tipo ; confrontando i termini noti, , quindi e .
- Considera le funzioni e . Quali delle seguenti affermazioni sono vere?Una o più risposte giuste. Dominio: il radicando deve essere non negativo, , cioè . È pari: . Immagine: varia tra e , quindi varia tra e e la sua radice tra (per ) e (per ): l'immagine è . Non è iniettiva, proprio perché è pari: per esempio vale sia in sia in . Infine solo dove è definita, cioè per : per esempio non esiste. Il grafico di è la semicirconferenza superiore di centro e raggio .
- Quanto vale la soluzione dell'equazione ?16Condizione di esistenza: . Porto tutti i logaritmi in base con la formula del cambiamento di base, : e . Chiamo : l'equazione diventa , cioè , quindi e , che rispetta . Verifica: .
- Siano e due angoli compresi tra e , con e .Quanto vale ?Servono anche i coseni. Dalla relazione fondamentale, e , con il segno perché gli angoli sono nel primo quadrante. Formula di addizione:Le altre opzioni sono i valori di formule vicine: , , .Quanto vale ?-7/25Formula di duplicazione: , cioè . Il risultato è negativo perché , quindi e : l'angolo sta nel secondo quadrante, dove il coseno è negativo.
Moduli delle domande. 1: insieme delle parti, dimostrazioni e controesempi (modulo 1) · 2: divisibilità di un polinomio con due parametri (modulo 2) · 3: composizione di funzioni, dominio e immagine (modulo 6) · 4: equazione logaritmica con cambiamento di base (modulo 7) · 5: formule di addizione e di duplicazione (modulo 8).