Test d'ingresso

Per negare «tutti gli elementi hanno una proprietà» si dice «esiste almeno un elemento che non ha quella proprietà». Qui: esiste almeno un numero primo che non è dispari, cioè pari. La negazione è vera ($2$ è primo e pari), quindi la frase di partenza è falsa. «Tutti i numeri primi sono pari» non è la negazione: è falsa anche lei (per esempio $3$ è primo e dispari), mentre una frase e la sua negazione hanno sempre valori di verità opposti. «Nessun numero primo è dispari» dice la stessa cosa, quindi è sbagliata per lo stesso motivo. «Esiste almeno un numero primo dispari» è vera, ma non nega la proprietà «dispari»: non è la negazione.

Lo sconto è il $15\%$ di $80$: $\frac{15}{100} \cdot 80 = 12$ €, quindi si pagano $80 - 12 = 68$ €. In un solo passaggio: si paga il $100\% - 15\% = 85\%$ del prezzo, cioè $0{,}85 \cdot 80 = 68$.

Una frazione ridotta ai minimi termini ha rappresentazione decimale finita se e solo se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori $2$ e $5$. $\frac{7}{40}$: $40 = 2^3 \cdot 5$, finita ($0{,}175$). $\frac{21}{35}$ va prima ridotta: $\frac{21}{35} = \frac{3}{5} = 0{,}6$, finita, anche se $35 = 5 \cdot 7$ contiene un $7$. $\frac{5}{6}$: $6 = 2 \cdot 3$, periodica ($0{,}8\overline{3}$). $\frac{4}{15}$: $15 = 3 \cdot 5$, periodica ($0{,}2\overline{6}$).

Quadrato di un binomio: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, con $A = 2x$ e $B = 3$: $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$. Errori tipici: dimenticare il doppio prodotto ($4x^2 - 9$ è invece il prodotto $(2x - 3)(2x + 3)$) oppure scriverlo senza il fattore $2$ (così viene $-6x$).

Per il teorema del resto, il resto della divisione di un polinomio $P(x)$ per $x - a$ è $P(a)$. Qui $a = 2$: $P(2) = 8 - 6 + 5 = 7$. Con Ruffini (coefficienti $1, 0, -3, 5$: attenzione allo $0$ al posto del termine in $x^2$, che manca) si trovano il quoziente $x^2 + 2x + 1$ e il resto $7$.

Prima raccolgo il fattore comune $2x$: $2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4)$. Poi $x^2 - 4$ è una differenza di quadrati: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Quindi $2x^3 - 8x = 2x(x - 2)(x + 2)$, e $x$, $x - 2$, $x + 2$ sono fattori. $x - 4$ non lo è: per $x = 4$ il polinomio vale $128 - 32 = 96 \ne 0$. $x^2 + 4$ non lo è: $2x^3 - 8x = 2x(x^2 + 4) - 16x$, quindi la divisione per $x^2 + 4$ lascia il resto $-16x$, che non è zero.

Moltiplico entrambi i membri per $6$, il minimo comune multiplo dei denominatori: $3(x - 1) - 2(x + 1) = 6$. Tolgo le parentesi, attento al meno davanti alla seconda: $3x - 3 - 2x - 2 = 6$, cioè $x - 5 = 6$, quindi $x = 11$. Verifica: $\frac{10}{2} - \frac{12}{3} = 5 - 4 = 1$.

L'equazione associata $x^2 - x - 6 = 0$ ha soluzioni $-2$ e $3$ (somma $1$, prodotto $-6$). La parabola $y = x^2 - x - 6$ è rivolta verso l'alto (coefficiente di $x^2$ positivo), quindi è negativa tra le radici e nulla nelle radici: con $\le$ la soluzione è $-2 \le x \le 3$, estremi compresi. Gli intervalli esterni risolvono $\ge 0$; $-3 \le x \le 2$ viene da un errore di segno nelle radici.

Moltiplico la prima equazione per $2$: $2x + 4y = 6$. La seconda dice $2x + 4y = 5$. La stessa quantità $2x + 4y$ non può valere insieme $6$ e $5$: il sistema è impossibile (incompatibile). Nel piano cartesiano le due equazioni sono rette parallele distinte, entrambe con coefficiente angolare $-\frac{1}{2}$.

Condizione di esistenza: $x \ne 2$. Il numeratore è positivo per $x > -1$, il denominatore per $x > 2$. Una frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno: entrambi negativi per $x < -1$, entrambi positivi per $x > 2$. Soluzione: $x < -1$ oppure $x > 2$. Il valore $x = -1$ è escluso perché lì la frazione vale $0$ e la disuguaglianza è stretta; tra $-1$ e $2$ la frazione è negativa.

La radice quadrata è maggiore o uguale a zero, quindi deve essere $x \ge 0$. Elevo al quadrato: $2x + 3 = x^2$, cioè $x^2 - 2x - 3 = 0$, con soluzioni $3$ e $-1$ (somma $2$, prodotto $-3$). $x = -1$ non rispetta $x \ge 0$ e va scartata: sostituendo si otterrebbe $\sqrt{1} = 1$ a sinistra e $-1$ a destra. Resta $x = 3$: $\sqrt{9} = 3$.

Un valore assoluto è sempre $\ge 0$, quindi serve $x \ge 0$. Con questa condizione $|2x - 4| = x$ equivale a $2x - 4 = x$ oppure $2x - 4 = -x$. La prima dà $x = 4$, la seconda $3x = 4$, cioè $x = \frac{4}{3}$; entrambe rispettano $x \ge 0$. Verifica: $|8 - 4| = 4$ e $\left|\frac{8}{3} - 4\right| = \frac{4}{3}$. Le soluzioni sono due: è vero.

$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. È il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo che ha per cateti lo spostamento orizzontale ($3$) e quello verticale ($4$).

Due rette non verticali sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è $-1$. La retta data ha $m = 2$, quindi la perpendicolare ha $m' = -\frac{1}{2}$, l'antireciproco. Retta per un punto: $y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1)$, cioè $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$. Tutte le opzioni passano per $P$, ma $y = 2x + 1$ è la retta data, $y = -2x + 5$ usa solo l'opposto di $m$ e $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ solo il reciproco: servono tutti e due insieme.

Per $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ il centro è $\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ e il raggio è $\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c}$. Qui $a = -6$, $b = 2$, $c = 6$: centro $(3, -1)$, raggio $\sqrt{9 + 1 - 6} = \sqrt{4} = 2$. Si può anche completare i quadrati: $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 9 + 1 - 6 = 4$. Raggio $4$ è l'errore di chi dimentica la radice, centro $(-3, 1)$ quello di chi sbaglia il segno, centro $(-6, 2)$ e raggio $6$ quello di chi prende i coefficienti $a$, $b$, $c$ così come sono.

Servono due condizioni insieme. La radice quadrata richiede il radicando non negativo: $x + 1 \ge 0$, cioè $x \ge -1$, con $-1$ compreso perché $\sqrt{0} = 0$ esiste. Il denominatore non deve annullarsi: $x \ne 3$. Il dominio è $[-1, 3) \cup (3, +\infty)$. $(-1, 3) \cup (3, +\infty)$ esclude per errore $-1$, $[-1, +\infty)$ dimentica il denominatore, $\R \setminus \{3\}$ dimentica la radice.

Una funzione è pari se $f(-x) = f(x)$ per ogni $x$ del dominio: il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$. $(-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2$: pari. $|-x| = |x|$: pari. $\cos(-x) = \cos x$: pari. $(-x)^3 = -x^3$: è dispari, non pari. $(-x)^2 + (-x) = x^2 - x$, diverso da $x^2 + x$ (per esempio $f(1) = 2$ e $f(-1) = 0$): né pari né dispari.

Si calcola dall'interno verso l'esterno: prima $g(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$, poi $f(3) = 3^2 - 1 = 8$. Nell'ordine opposto si avrebbe $g(f(1)) = g(0) = 1$: la composizione di funzioni in generale non è commutativa.

Scrivo $27$ come potenza di $3$: $27 = 3^3$. Due potenze con la stessa base sono uguali quando hanno lo stesso esponente: $2x - 1 = 3$, quindi $x = 2$. Verifica: $3^{4 - 1} = 3^3 = 27$.

La differenza di due logaritmi nella stessa base è il logaritmo del quoziente: $\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4 = 2$, perché $2^2 = 4$. È vero. Attenzione: $\log_2 12 - \log_2 3$ non è $\log_2(12 - 3)$.

Condizione di esistenza: $x - 1 > 0$, cioè $x > 1$. Scrivo $3$ come logaritmo in base $2$: $3 = \log_2 2^3 = \log_2 8$. La base $2$ è maggiore di $1$, quindi il logaritmo è crescente e il verso resta lo stesso: $x - 1 < 8$, cioè $x < 9$. Con la condizione di esistenza: $1 < x < 9$. $x < 9$ dimentica la condizione di esistenza (per esempio $\log_2(-1)$ non esiste); $1 < x < 7$ confonde $2^3 = 8$ con $2 \cdot 3 = 6$.

Gradi e radianti sono proporzionali: $\theta : 360° = \rho : 2\pi$, cioè a $\pi$ radianti corrispondono $180°$. Quindi $\frac{5}{6}\pi$ radianti sono $\frac{5}{6} \cdot 180° = 150°$.

Uso gli archi associati. $\frac{5}{6}\pi = \pi - \frac{\pi}{6}$ e $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, quindi $\sin\frac{5}{6}\pi = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. $\frac{2}{3}\pi = \pi - \frac{\pi}{3}$ e $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, quindi $\cos\frac{2}{3}\pi = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$. La somma è $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. Sulla circonferenza goniometrica: nel secondo quadrante il seno è positivo e il coseno è negativo.

L'angolo del primo quadrante con coseno $\frac{1}{2}$ è $\frac{\pi}{3}$, cioè $60°$. Due angoli hanno lo stesso coseno quando sono opposti: l'altra soluzione è $-\frac{\pi}{3}$, che in $[0, 2\pi)$ si scrive $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi$ (quarto quadrante, dove il coseno è ancora positivo). $\frac{2}{3}\pi$ ha coseno $-\frac{1}{2}$; $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5}{6}\pi$ sono le soluzioni di $\sin x = \frac{1}{2}$; $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{11}{6}\pi$ quelle di $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.