Il corso «OFA Matematica»

#In breve

• Il corso di riallineamento si chiama «OFA Matematica» e sta su www.ofa.unito.it (corso numero 20). Si entra con le credenziali SCU di UniTo e ci si iscrive da soli, senza chiavi.
• Ha 8 moduli, divisi in unità numerate (1.1, 1.2, 2.1, …). Per ogni unità ci sono un libro, quasi sempre un foglio interattivo «Esplora», spesso una pagina di applicazioni, esercizi e soluzioni in PDF e un test online; in fondo a ogni modulo c'è un test di fine modulo.
• Le domande della prova sono preparate su tutto il materiale del corso: gli appunti di questa guida seguono gli stessi moduli e le stesse unità, ma non lo sostituiscono.
• Nel materiale ci sono alcuni refusi: li trovi in fondo a questa pagina, già verificati. Negli appunti c'è la versione corretta.

#Le attività di ogni unità

Il libro scrive le formule come immagini: se una formula non si legge bene, ingrandisci la pagina.

#I moduli e le unità

#Modulo 1 · Linguaggio, insiemi, logica e numeri

Sezione del modulo sul portale · appunti: modulo 1

• 1.1 Elementi di teoria degli insiemi e logica: libro; Esplora «Gli insiemi»; Applicazioni «Un rompicapo tra logica e vita quotidiana» (PDF); esercizi e soluzioni «Ulteriori esercizi di logica»; Test 1.1.
• 1.2 Numeri: libro; Esplora «Operazioni tra numeri»; Applicazioni «Dal linguaggio quotidiano alla simbologia matematica»; esercizi e soluzioni «Ulteriori esercizi sui numeri»; Test 1.2.
• Test modulo 1.

#Modulo 2 · Polinomi e scomposizione

Sezione del modulo sul portale · appunti: modulo 2

• 2.1 Polinomi e fattorizzazione: libro; Esplora «Polinomi e loro fattorizzazione»; Applicazioni «La fattorizzazione di polinomi in matematica e non solo»; esercizi e soluzioni «Ulteriori esercizi sui polinomi»; Test 2.1.
• Test modulo 2.

#Modulo 3 · Equazioni e disequazioni di 1° e 2° grado, sistemi

Sezione del modulo sul portale · appunti: modulo 3

• 3.1 Equazioni e disequazioni algebriche di 1° grado con una incognita: libro; Esplora «Le equazioni di 1° grado con una incognita»; Applicazioni «Un'equazione di 1° grado per esprimere l'età di tre fratelli»; esercizi e soluzioni; Test 3.1.
• 3.2 Equazioni e disequazioni algebriche di 2° grado con una incognita: libro; Esplora «Le equazioni di 2° grado con una incognita»; esercizi e soluzioni «Applicazione di equazioni di 2° grado alla risoluzione di problemi»; Test 3.2.
• 3.3 Sistemi di equazioni: libro; Applicazione «Alla ricerca di un numero che soddisfi le richieste»; esercizi e soluzioni «Sistemi lineari di equazioni».
• Test modulo 3.

#Modulo 4 · Fratte, irrazionali e con valore assoluto

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• 4.1 Equazioni e disequazioni algebriche fratte: libro; Esplora; Applicazione «Le equazioni fratte e la realtà: un binomio possibile?»; esercizi e soluzioni; Test 4.1.
• 4.2 Equazioni e disequazioni irrazionali: libro; Esplora «Le disequazioni irrazionali»; esercizi e soluzioni; Test 4.2.
• 4.3 Equazioni e disequazioni con valore assoluto: libro; Esplora; Applicazione «Una disequazione con valore assoluto per esprimere la temperatura corporea»; esercizi e soluzioni; Test 4.3.
• Test finale modulo 4.

#Modulo 5 · Geometria analitica: retta e coniche

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• Introduzione: il piano cartesiano (una pagina).
• 5.1 La retta nel piano cartesiano: libro; Esplora; Applicazioni «Quale parcheggio è più conveniente?»; esercizi e soluzioni «Ulteriori esercizi su piano cartesiano e retta»; Test 5.1.
• 5.2 Le coniche: libro (circonferenza, parabola, ellisse, iperbole); Esplora «La parabola nel piano cartesiano»; Applicazioni «La parabola per la risoluzione di disequazioni»; Curiosità «Perché le coniche si chiamano "coniche"?»; esercizi e soluzioni; Test 5.2.
• Test fine modulo 5.

#Modulo 6 · Funzioni reali di variabile reale

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• Nota introduttiva (PDF).
• 6.1 Definizione di funzione e principali caratteristiche: libro; Esplora «Grafici di funzione»; Applicazioni «Legame tra grafici ed equazioni»; esercizi e soluzioni; Test 6.1.
• 6.2 Esempi di funzioni utili: libro; Esplora «Il valore assoluto di una funzione»; Applicazioni «Proporzionalità diretta e inversa in fisica»; esercizi e soluzioni; Test 6.2.
• Test fine modulo 6.

#Modulo 7 · Esponenziali e logaritmi

Sezione del modulo sul portale · appunti: modulo 7

• 7.1 Esponenziali e logaritmi: libro; Nota «La base $e$, la base $10$»; Esplora «La funzione esponenziale» e «La funzione logaritmica»; Applicazioni «Esponenziali per modellizzare la realtà»; esercizi e soluzioni «Ulteriori esercizi sui logaritmi»; Test 7.1.
• 7.2 Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche: libro; Applicazioni «Il pH di una soluzione chimica»; esercizi e soluzioni; Test 7.2.
• Test fine modulo 7.

#Modulo 8 · Trigonometria

Sezione del modulo sul portale · appunti: modulo 8

• Introduzione: circonferenza goniometrica e angoli (una pagina).
• 8.1 Funzioni trigonometriche: libro; Esplora «La funzione trigonometrica seno» e «La funzione trigonometrica coseno»; Applicazioni «Legami con la fisica»; esercizi e soluzioni; Test 8.1.
• 8.2 Equazioni e disequazioni trigonometriche: libro; Applicazioni «Trigonometria e triangoli»; esercizi e soluzioni; Test 8.2.
• Test fine modulo 8.

#La notazione del corso

Gli appunti usano la stessa notazione, così alla prova non trovi sorprese:

• funzioni goniometriche $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ e $\operatorname{cotan} x$; logaritmo naturale $\ln x$, logaritmo in base $a$ $\log_a x$;
• intervalli con le parentesi tonde (estremo escluso) e quadre (estremo incluso): $(-2, 3]$, $(-\infty, 1)$;
• nelle soluzioni: $\forall x \in \R$ (ogni numero reale), $\nexists x \in \R$ (nessuna soluzione), $\vee$ per «oppure»; «t.c.» per «tale che»;
• negli esercizi di trigonometria le soluzioni generali si scrivono con $k \in \Z$, per esempio $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

#Refusi nel materiale

Ricalcolando gli esercizi del corso per scrivere gli appunti si sono trovati alcuni refusi. Ognuno è stato ricontrollato con il calcolo simbolico e confrontato con la pagina o il PDF originale il 30 settembre 2026. Negli appunti c'è la versione corretta. L'elenco riporta solo i refusi verificati e non è una revisione completa del materiale; nel modulo 3 non se ne sono trovati. Se ne trovi altri puoi segnalarli all'helpdesk della piattaforma.

#Modulo 1

• Libro 1.1, dimostrazione per assurdo che se $n^2$ è pari anche $n$ è pari: con $n = 2p + 1$ si ha $n^2 = 4p^2 + 4p + 1$, non $4p^2 + 2p + 1$. La conclusione ($n^2$ è dispari) resta giusta.
• Libro 1.1, esempio sul modo di enunciare un teorema: due numeri reali con lo stesso valore assoluto sono uguali o opposti ($a = b$ oppure $a = -b$), non «uguali ed opposti».
• Libro 1.2, estensione da $\Z$ a $\Q$: l'equazione $ax = b$ ha la soluzione $x = \frac{b}{a}$ quando $a \ne 0$; il libro scrive $b \ne 0$.
• Soluzioni 1.1, esercizio 2, punti iv e v: la negazione di «tutti i bambini hanno più di 6 anni» è «almeno un bambino ha al più 6 anni», non «meno di 6 anni» (un bambino di 6 anni esatti rende falsa la frase di partenza). Allo stesso modo la negazione di «esiste un palazzo con più di 10 piani» è «ogni palazzo ha al più 10 piani».
• Soluzioni 1.2, esercizio 1: il più grande numero di quattro cifre in cui unità più decine fa quanto centinaia più migliaia è $9999$ ($9 + 9 = 9 + 9$), non $9054$. Anche chiedendo cifre tutte diverse ci sono numeri più grandi di $9054$, per esempio $9687$.
• Soluzioni 1.2, esercizio 5: $\frac{27}{8}$ non è uguale a $\frac{9}{2}$; una frazione equivalente è $\frac{27}{6}$.

#Modulo 2

• Libro 2.1, raccoglimento totale: $15x^3 + 3x^2 - 6x = 3x(5x^2 + x - 2)$, non $3x(5x^3 + x^2 - 2)$.
• Soluzioni 2.1, esercizio 3: $(2x^3 - 10x^2 + 3x - 15) : (x - 5)$ dà quoziente $2x^2 + 3$ (resto $0$), non $2x^3 + 3$.
• Soluzioni 2.1, esercizio 6: $8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 = (2x + 3)^3$, non $(2x + 3)^2$: il testo stesso parla di cubo di un binomio.

#Modulo 4

• Libro 4.3, esempio 4 ($|x + 1| + |x - 2| \le 5$): il primo sistema dà $-2 \le x < -1$, non $-2 \le x < 1$. Il risultato finale, $-2 \le x \le 3$, è giusto.
• Soluzioni 4.2, esercizio 6 ($\sqrt{7x + 2} + \sqrt{16 - x^2} > -5$): la soluzione è il campo di esistenza, $-\frac{2}{7} \le x \le 4$, non «per ogni $x$ reale». Il ragionamento del foglio (una somma di radici quadrate non è mai negativa) è giusto, ma vale solo dove le radici esistono.

#Modulo 5

• Libro 5.2, circonferenza, retta tangente a $x^2 + y^2 + 6x - 4y = 0$ nel punto $P_0 = (-6, 4)$: la retta per $P_0$ con coefficiente angolare $\frac{3}{2}$ si scrive $y - 4 = \frac{3}{2}(x + 6)$. Il libro scrive $y - 2 = \frac{3}{2}(x + 3)$, che passa per il centro $(-3, 2)$; il risultato finale, $y = \frac{3}{2}x + 13$, è giusto.

#Modulo 6

• Libro 6.1, traslazioni: $\cos\left(\frac{x}{2} + 1\right)$ si ottiene da $\cos\frac{x}{2}$ con una traslazione verso sinistra di 2 unità, non di una, perché $\cos\left(\frac{x}{2} + 1\right) = \cos\frac{x + 2}{2}$. Allo stesso modo $\cos\left(\frac{x}{2} - 1\right)$ è spostato di 2 unità verso destra. Gli spostamenti verticali ($\pm 1$) sono giusti.
• Soluzioni 6.1, esercizio 1: il dominio di $f(x) = \sqrt{2x^2 - x - 3}$ è $x \le -1$ oppure $x \ge \frac{3}{2}$, non $x \le 1$ oppure $x \ge \frac{3}{2}$.

#Modulo 7

• Soluzioni 7.2, esercizio 6 ($\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 1} < 9^{2x}$): la soluzione è $x < -2 - \sqrt{5}$ oppure $x > -2 + \sqrt{5}$. Il foglio scrive $x < -1 - \sqrt{5}$ nella prima parte; la seconda è giusta.

#Modulo 8

• Libro 8.2, disequazioni, esempio 2 ($\cos 2x < 1$ in $[0, 2\pi]$): $\cos 2x = 1$ quando $2x$ vale $0$, $2\pi$ o $4\pi$, cioè per $x = 0$, $x = \pi$ e $x = 2\pi$. La soluzione è $0 < x < \pi$ oppure $\pi < x < 2\pi$; il libro esclude solo $0$ e $2\pi$.
• Soluzioni 8.2, esercizio 10 ($\tan x \ge 1$ in $[0, 2\pi]$): la soluzione è $\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ oppure $\frac{5}{4}\pi \le x < \frac{3}{2}\pi$. Quella del foglio ($0 \le x < \frac{\pi}{2}$, $\frac{3}{4}\pi \le x < \frac{3}{2}\pi$, $\frac{7}{4}\pi \le x \le 2\pi$) è la soluzione di $\tan x \ge -1$.