Formulario — OFA di matematica

Modulo 1. Linguaggio, insiemi, logica e numeri

Appunti del modulo 1, con spiegazioni, esempi ed esercizi.

1.1 Elementi di teoria degli insiemi e logica

Definizione 1.4 Le operazioni nel modulo

Intersezione: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}$ , gli elementi comuni. Se $A \cap B = \varnothing$ , $A$ e $B$ si dicono disgiunti.
Unione: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ o } x \in B\}$ , gli elementi che stanno in almeno uno dei due (anche in entrambi).
Differenza: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \notin B\}$ , gli elementi di $A$ che non stanno in $B$ (si scrive anche $A - B$ ).
Differenza simmetrica: $A \,\Delta\, B$ , gli elementi che stanno in uno solo dei due insiemi: $A \,\Delta\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ .
Complementare di $A$ in $X$ : $\overline{A} = X \setminus A = \{x \in X \mid x \notin A\}$ .
Prodotto cartesiano: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}$ , l'insieme delle coppie ordinate con il primo elemento in $A$ e il secondo in $B$ .

Definizione 1.8 I connettivi nel modulo

Negazione $\lnot p$ ("non $p$ "): vera quando $p$ è falsa, falsa quando $p$ è vera.
Congiunzione $p \wedge q$ (" $p$ e $q$ "): vera solo se $p$ e $q$ sono entrambe vere.
Disgiunzione inclusiva $p \vee q$ (" $p$ o $q$ "): falsa solo se $p$ e $q$ sono entrambe false.
Disgiunzione esclusiva $p \,\dot{\vee}\, q$ ("o $p$ o $q$ "): vera se è vera una sola delle due.
Implicazione $p \Rightarrow q$ ("se $p$ allora $q$ "): falsa solo se $p$ è vera e $q$ è falsa. $p$ si chiama antecedente (o ipotesi), $q$ conseguente (o tesi).
Doppia implicazione (o equivalenza logica) $p \Leftrightarrow q$ (" $p$ se e solo se $q$ "): vera se $p$ e $q$ hanno lo stesso valore di verità. Vuol dire $p \Rightarrow q$ e anche $q \Rightarrow p$ .

La tavola di verità riassume tutti i casi:

		non	e	o	o… o…	se… allora	se e solo se
$p$	$q$	$\lnot p$	$p \wedge q$	$p \vee q$	$p \,\dot{\vee}\, q$	$p \Rightarrow q$	$p \Leftrightarrow q$
V	V	F	V	V	F	V	V
V	F	F	F	V	V	F	F
F	V	V	F	V	V	V	F
F	F	V	F	F	F	V	V

Regola 1.5 Le implicazioni collegate a

p \Rightarrow q

nel modulo

nome	forma	equivale all'implicazione di partenza?
inversa	$q \Rightarrow p$	no
contraria	$\lnot p \Rightarrow \lnot q$	no
contronominale	$\lnot q \Rightarrow \lnot p$	sì, sempre

Esempio: "se un numero è multiplo di 4, allora è pari" è vera; la contronominale "se un numero non è pari, allora non è multiplo di 4" è vera anche lei; l'inversa "se un numero è pari, allora è multiplo di 4" è falsa (controesempio: 6).

Regola 1.6 Regole di negazione nel modulo

frase	negazione
$p \wedge q$	$\lnot p \vee \lnot q$
$p \vee q$	$\lnot p \wedge \lnot q$
$p \Rightarrow q$	$p \wedge \lnot q$
$\forall x,\ P(x)$	$\exists x \mid \lnot P(x)$
$\exists x \mid P(x)$	$\forall x,\ \lnot P(x)$
$\lnot p$	$p$ (doppia negazione)
$x > a$	$x \le a$
$x \ge a$	$x < a$

Le prime due righe sono le leggi di De Morgan della logica.

Regola 1.7 Dizionario tra logica e insiemi nel modulo

Se $A = \{x \in X \mid p(x)\}$ e $B = \{x \in X \mid q(x)\}$ sono gli insiemi in cui valgono due predicati $p(x)$ e $q(x)$ , ogni connettivo corrisponde a un'operazione tra insiemi.

logica	insiemi
congiunzione $p(x) \wedge q(x)$	intersezione $A \cap B$
disgiunzione inclusiva $p(x) \vee q(x)$	unione $A \cup B$
disgiunzione esclusiva $p(x) \,\dot{\vee}\, q(x)$	differenza simmetrica $A \,\Delta\, B$
negazione $\lnot p(x)$	complementare $\overline{A}$
$p(x) \Rightarrow q(x)$ vera per ogni $x$	inclusione $A \subseteq B$
$p(x) \Leftrightarrow q(x)$ vera per ogni $x$	uguaglianza $A = B$

1.2 Numeri

Regola 1.8 Proprietà di somma e prodotto nel modulo

Per ogni $a$ , $b$ , $c$ :

proprietà	somma	prodotto
commutativa	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
associativa	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
elemento neutro	$a + 0 = 0 + a = a$	$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

La proprietà distributiva lega le due operazioni: $a(b + c) = ab + ac$ .

Regola 1.14 Proprietà delle potenze, con basi diverse da zero nel modulo

regola	esempio
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
$a^m : a^n = a^{m-n}$	$5^6 : 5^4 = 5^2 = 25$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(3^2)^3 = 3^6$
$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$	$2^5 \cdot 5^5 = 10^5$
$a^n : b^n = (a : b)^n$	$6^3 : 2^3 = 3^3 = 27$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \frac18$
$a^0 = 1$	$(-7)^0 = 1$

Definizione 1.19 Intervalli nel modulo

Un intervallo è l'insieme dei reali compresi tra due estremi $a < b$ (un segmento della retta) oppure dei reali maggiori o minori di un numero dato (una semiretta). La parentesi quadra vuol dire estremo incluso, la tonda estremo escluso. Nelle semirette compaiono i simboli $+\infty$ ("più infinito") e $-\infty$ ("meno infinito").

intervallo	disuguaglianza	nome
$[a, b]$	$a \le x \le b$	chiuso
$(a, b)$	$a < x < b$	aperto
$[a, b)$	$a \le x < b$	chiuso a sinistra, aperto a destra
$(a, b]$	$a < x \le b$	aperto a sinistra, chiuso a destra
$[a, +\infty)$	$x \ge a$	semiretta chiusa
$(a, +\infty)$	$x > a$	semiretta aperta
$(-\infty, b]$	$x \le b$	semiretta chiusa
$(-\infty, b)$	$x < b$	semiretta aperta
$(-\infty, +\infty)$	qualunque $x$	tutto $\R$

Regola 1.20 Quali operazioni restano nell'insieme nel modulo

La tabella dice quali operazioni danno sempre un risultato che resta nello stesso insieme ("no" vuol dire che almeno in un caso si esce: $3 - 5 \notin \N$ , $2 : 3 \notin \Z$ , $\sqrt2 \notin \Q$ ).

insieme	somma	differenza	prodotto	divisione per un numero $\ne 0$	radice quadrata di un numero $\ge 0$
$\N$	sì	no	sì	no	no
$\Z$	sì	sì	sì	no	no
$\Q$	sì	sì	sì	sì	no
$\R$	sì	sì	sì	sì	sì

Regola 1.21 Le traduzioni più frequenti nel modulo

a parole	in simboli
il doppio di $x$ ; il triplo di $x$	$2x$ ; $3x$
la metà di $x$	$\tfrac{x}{2}$
il doppio di $x$ , aumentato di 3	$2x + 3$
il doppio della somma di $x$ e 3	$2(x + 3)$
il quadrato della somma di $a$ e $b$	$(a + b)^2$
la somma dei quadrati di $a$ e $b$	$a^2 + b^2$
$a$ supera $b$ di 5	$a = b + 5$
$a$ è il triplo di $b$	$a = 3b$
tre interi consecutivi	$n$ , $n + 1$ , $n + 2$
un numero pari; un numero dispari	$2k$ ; $2k + 1$ , con $k \in \Z$
un multiplo di 7	$7k$ , con $k \in \Z$
$x$ aumentato del 12%	$1{,}12\,x$
il reciproco di $x$ ; l'opposto di $x$	$\tfrac{1}{x}$ (con $x \ne 0$ ); $-x$

Modulo 2. Polinomi e scomposizione

Appunti del modulo 2, con spiegazioni, esempi ed esercizi.

2.1 Polinomi e fattorizzazione

Regola 2.3 I prodotti notevoli nel modulo

nome	formula
quadrato di binomio	$(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$
somma per differenza	$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$
cubo di binomio	$(A \pm B)^3 = A^3 \pm 3A^2B + 3AB^2 \pm B^3$
quadrato di trinomio	$(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC$
somma di cubi	$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
differenza di cubi	$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

$A^2 - AB + B^2$ e $A^2 + AB + B^2$ si chiamano falsi quadrati: somigliano allo sviluppo di un quadrato di binomio, ma il termine centrale è $AB$ invece di $2AB$ .

Regola 2.9 Forma scomposta e radici nel modulo

Un polinomio di grado $n$ ha al massimo $n$ radici reali; può averne meno, o nessuna. Se ne ha esattamente $n$ , cioè $x_1, x_2, \dots, x_n$ (una radice che compare due volte, come in $(x - 5)^2$ , si conta due volte), allora

P(x) = a_n (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n)

dove $a_n$ è il coefficiente direttivo. Per esempio $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ ha coefficiente direttivo $2$ e radici $-1$ , $2$ e $\tfrac12$ , quindi è uguale a $2(x + 1)(x - 2)\left(x - \tfrac12\right) = (x + 1)(x - 2)(2x - 1)$ .

Modulo 3. Equazioni e disequazioni di 1° e 2° grado, sistemi

Appunti del modulo 3, con spiegazioni, esempi ed esercizi.

3.1 Equazioni e disequazioni di primo grado

3.2 Equazioni e disequazioni di secondo grado

Regola 3.7 Segno di

ax^2 + bx + c

quando

a > 0

nel modulo

Siano $x_1 < x_2$ le soluzioni dell'equazione associata quando $\Delta > 0$ , e $x_0 = -\frac{b}{2a}$ la soluzione doppia quando $\Delta = 0$ .

Verso	$\Delta > 0$	$\Delta = 0$	$\Delta < 0$
$> 0$	$x < x_1$ oppure $x > x_2$	ogni $x \neq x_0$	ogni $x \in \R$
$\geq 0$	$x \leq x_1$ oppure $x \geq x_2$	ogni $x \in \R$	ogni $x \in \R$
$< 0$	$x_1 < x < x_2$	nessuna soluzione	nessuna soluzione
$\leq 0$	$x_1 \leq x \leq x_2$	solo $x = x_0$	nessuna soluzione

In breve, con $\Delta > 0$ : verso $>$ → intervalli esterni, verso $<$ → intervallo interno. Se $a < 0$ moltiplica tutto per $-1$ , ribalta il verso e poi usa la tabella.

3.3 Sistemi di equazioni

Regola 3.8 Confronto dei coefficienti nel modulo

Per il sistema $a_1 x + b_1 y = c_1$ , $a_2 x + b_2 y = c_2$ , con coefficienti diversi da zero:

Condizione	Sistema	Rette
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$	determinato (una soluzione)	incidenti
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$	impossibile	parallele e distinte
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$	indeterminato	coincidenti

Modulo 4. Fratte, irrazionali e con valore assoluto

Appunti del modulo 4, con spiegazioni, esempi ed esercizi.

4.1 Equazioni e disequazioni fratte

4.2 Equazioni e disequazioni irrazionali

Regola 4.4 Radice quadrata minore di

g(x)

nel modulo

\sqrt{f(x)} < g(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g(x)^2 \end{cases}

La doppia freccia $\Longleftrightarrow$ si legge "equivale a": a sinistra e a destra ci sono le stesse soluzioni.

$f(x) \geq 0$ : la radice deve esistere;
$g(x) > 0$ : la radice è positiva o nulla, quindi può essere minore di $g(x)$ solo se $g(x)$ è positivo;
$f(x) < g(x)^2$ : ora i due membri sono positivi o nulli e si può elevare al quadrato senza cambiare il verso.

Con $\leq$ al posto di $<$ il sistema diventa $f(x) \geq 0$ , $g(x) \geq 0$ , $f(x) \leq g(x)^2$ .

4.3 Equazioni e disequazioni con valore assoluto

Modulo 5. Geometria analitica: retta e coniche

Appunti del modulo 5, con spiegazioni, esempi ed esercizi.

Introduzione: il piano cartesiano

5.1 La retta nel piano cartesiano

Regola 5.5 Parallele e perpendicolari nel modulo

Per $r: y = mx + q$ e $r': y = m'x + q'$ :

$r$ e $r'$ sono parallele ( $r \parallel r'$ ) se e solo se $m = m'$ ;
$r$ e $r'$ sono perpendicolari ( $r \perp r'$ ) se e solo se $m \cdot m' = -1$ , cioè $m' = -\frac{1}{m}$ : la pendenza della perpendicolare è l'antireciproco.

In forma implicita, $ax + by + c = 0$ e $a'x + b'y + c' = 0$ sono parallele se $ab' = a'b$ e perpendicolari se $aa' + bb' = 0$ . Queste due condizioni valgono anche per le rette orizzontali e verticali: due rette verticali sono parallele, una retta orizzontale e una verticale sono perpendicolari.

Definizione 5.3 Fasci di rette nel modulo

Il fascio improprio è l'insieme di tutte le rette parallele a una retta data: $y = mx + q$ con $m$ fisso e $q$ che varia; le rette verticali formano il fascio $x = k$ , con $k$ che varia. Il fascio proprio di centro $C = (x_C, y_C)$ è l'insieme di tutte le rette che passano per $C$ : $y - y_C = m(x - x_C)$ al variare di $m$ , più la verticale $x = x_C$ . Se due rette $ax + by + c = 0$ e $a'x + b'y + c' = 0$ si incontrano in $C$ , il fascio proprio si scrive anche $\lambda(ax + by + c) + \mu(a'x + b'y + c') = 0$ , con $\lambda$ (lambda) e $\mu$ (mu) numeri reali non entrambi nulli.

5.2 Le coniche

Regola 5.12 Equazione canonica dell'ellisse nel modulo

Con i fuochi $F = (c, 0)$ e $F' = (-c, 0)$ sull'asse $x$ e il centro nell'origine:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad b^2 = a^2 - c^2 \quad (a > b)

vertici $A = (a, 0)$ , $A' = (-a, 0)$ , $B = (0, b)$ , $B' = (0, -b)$ ; centro $O$ ;
simmetrica rispetto ai due assi e all'origine; contenuta nel rettangolo $-a \le x \le a$ , $-b \le y \le b$ ;
eccentricità $e = \frac{c}{a}$ , con $0 \le e < 1$ : più è vicina a $0$ , più l'ellisse è "rotonda". Se $a = b$ allora $c = 0$ e l'ellisse è una circonferenza.

Se nell'equazione $b > a$ , i fuochi stanno sull'asse $y$ : $(0, \pm c)$ con $c^2 = b^2 - a^2$ , e l'eccentricità è $\frac{c}{b}$ (sempre il rapporto tra $c$ e il semiasse maggiore).

Regola 5.13 Equazione canonica dell'iperbole nel modulo

Con i fuochi $F = (c, 0)$ e $F' = (-c, 0)$ :

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad b^2 = c^2 - a^2 \quad (c^2 = a^2 + b^2)

vertici $A = (a, 0)$ e $A' = (-a, 0)$ , dove l'iperbole è tangente alle rette $x = \pm a$ ; nessun punto sull'asse $y$ e nessun punto con $-a < x < a$ , quindi la curva è formata da due rami;
simmetrica rispetto ai due assi e all'origine;
asintoti $y = \pm\frac{b}{a}x$ : rette per l'origine a cui i rami si avvicinano sempre di più senza mai toccarle; sono le diagonali del rettangolo di vertici $(\pm a, \pm b)$ ;
eccentricità $e = \frac{c}{a} > 1$ .

L'equazione $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ è un'iperbole con vertici $(0, \pm b)$ e fuochi $(0, \pm c)$ sull'asse $y$ ; gli asintoti restano $y = \pm\frac{b}{a}x$ e ancora $c^2 = a^2 + b^2$ .

Modulo 6. Funzioni reali di variabile reale

Appunti del modulo 6, con spiegazioni, esempi ed esercizi.

6.1 Definizione di funzione e principali caratteristiche

Definizione 6.3 Iniettiva, suriettiva, biiettiva nel modulo

$f$ è iniettiva se a elementi distinti del dominio corrispondono immagini distinte: $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ (la freccia $\Rightarrow$ si legge "implica"). In modo equivalente: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ . Una funzione iniettiva non assume mai due volte lo stesso valore.
$f: A \to B$ è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio: per ogni $y \in B$ esiste $x \in A$ con $f(x) = y$ (il simbolo $\in$ si legge "appartiene a"). In altre parole $f(A) = B$ .
$f$ è biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva: c'è una corrispondenza uno a uno tra dominio e codominio.

6.2 Esempi di funzioni utili

Modulo 7. Esponenziali e logaritmi

Appunti del modulo 7, con spiegazioni, esempi ed esercizi.

7.1 Esponenziali e logaritmi

Regola 7.1 Proprietà delle potenze (con

a > 0

b > 0

ed esponenti reali qualsiasi) nel modulo

Regola	Esempio
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{5^6}{5^4} = 5^2$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(3^2)^3 = 3^6$
$a^n \cdot b^n = (ab)^n$	$2^3 \cdot 5^3 = 10^3$
$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$	$\dfrac{6^2}{3^2} = 2^2$
$\left(\dfrac{1}{a}\right)^n = a^{-n}$	$\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 3^{-2}$

Regola 7.5 Proprietà dei logaritmi (con

a > 0

a \neq 1

x > 0

y > 0

) nel modulo

Nome	Formula	Esempio
prodotto	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$	$\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$
quoziente	$\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$	$\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 8 = 3$
potenza	$\log_a x^n = n \log_a x$	$\log_3 \sqrt{27} = \frac{1}{2}\log_3 27 = \frac{3}{2}$
reciproco	$\log_a \dfrac{1}{x} = -\log_a x$	$\log_5 \frac{1}{25} = -\log_5 25 = -2$
cambio di base	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$	$\log_4 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 4} = \dfrac{5}{2}$

Nel cambio di base l'argomento $b$ è positivo e la nuova base $c$ è positiva e diversa da 1. Una conseguenza utile: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ (con $b \neq 1$ ). Per esempio $\log_5 2 \cdot \log_2 25 = \dfrac{1}{\log_2 5} \cdot 2\log_2 5 = 2$ .

7.2 Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Modulo 8. Trigonometria

Appunti del modulo 8, con spiegazioni, esempi ed esercizi.

Introduzione: circonferenza goniometrica e angoli

8.1 Funzioni trigonometriche

Regola 8.2 Valori limitati e angoli sugli assi nel modulo

Poiché $P$ sta su una circonferenza di raggio 1, seno e coseno sono sempre compresi tra $-1$ e $1$ :

-1 \leq \sin x \leq 1 \qquad\qquad -1 \leq \cos x \leq 1

$x$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
punto $P$	$(1, 0)$	$(0, 1)$	$(-1, 0)$	$(0, -1)$	$(1, 0)$
$\cos x$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$

Regola 8.3 Segni nei quadranti nel modulo

Quadrante	I	II	III	IV
$\sin x$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos x$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\tan x$ e $\operatorname{cotan} x$	$+$	$-$	$+$	$-$

Regola 8.5 Tabella dei valori notevoli nel modulo

Angolo	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\operatorname{cotan}$
$0$ ( $0^\circ$ )	$0$	$1$	$0$	non esiste
$\frac{\pi}{6}$ ( $30^\circ$ )	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}$ ( $45^\circ$ )	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$\frac{\pi}{3}$ ( $60^\circ$ )	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{2}$ ( $90^\circ$ )	$1$	$0$	non esiste	$0$
$\pi$ ( $180^\circ$ )	$0$	$-1$	$0$	non esiste
$\frac{3\pi}{2}$ ( $270^\circ$ )	$-1$	$0$	non esiste	$0$

Regola 8.6 Formule degli archi associati nel modulo

Angolo	Simmetria del punto	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$-x$ (opposto)	rispetto all'asse $x$	$-\sin x$	$\cos x$	$-\tan x$
$\pi - x$ (supplementare)	rispetto all'asse $y$	$\sin x$	$-\cos x$	$-\tan x$
$\pi + x$	rispetto all'origine	$-\sin x$	$-\cos x$	$\tan x$
$2\pi - x$	rispetto all'asse $x$	$-\sin x$	$\cos x$	$-\tan x$
$\frac{\pi}{2} - x$ (complementare)	rispetto alla retta $y = x$	$\cos x$	$\sin x$	$\operatorname{cotan} x$

Inoltre, per la periodicità, $x + 2k\pi$ ha gli stessi valori di $x$ .

Regola 8.7 Formule trigonometriche nel modulo

Addizione e sottrazione

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

Nel coseno il segno si inverte: il simbolo $\mp$ vuol dire «meno quando a sinistra c'è più, più quando a sinistra c'è meno».

Duplicazione

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1

Bisezione

\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}

Il segno di $\sin\frac{\alpha}{2}$ e di $\cos\frac{\alpha}{2}$ dipende dal quadrante in cui cade $\frac{\alpha}{2}$ .

Regola 8.8 Caratteristiche delle funzioni trigonometriche nel modulo

Funzione	Dominio	Immagine	Periodo	Simmetria	Zeri
$y = \sin x$	$\R$	$[-1, 1]$	$2\pi$	dispari	$x = k\pi$
$y = \cos x$	$\R$	$[-1, 1]$	$2\pi$	pari	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
$y = \tan x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$	$\R$	$\pi$	dispari	$x = k\pi$
$y = \operatorname{cotan} x$	$x \neq k\pi$	$\R$	$\pi$	dispari	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Seno e coseno sono continue e limitate. Tangente e cotangente non sono limitate: vicino ai punti esclusi dal dominio il grafico ha asintoti verticali. La tangente è crescente in ogni intervallo $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ , la cotangente è decrescente in ogni intervallo $(k\pi, \pi + k\pi)$ .

8.2 Equazioni e disequazioni trigonometriche

Regola 8.11 Casi particolari nel modulo

Equazione	Soluzioni
$\sin x = 0$	$x = k\pi$
$\sin x = 1$	$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$\sin x = -1$	$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$
$\cos x = 0$	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\cos x = 1$	$x = 2k\pi$
$\cos x = -1$	$x = \pi + 2k\pi$

In questi casi le due famiglie di soluzioni coincidono o si fondono in una sola.

Regola 8.14 Triangolo rettangolo (angolo retto in

C

, ipotenusa

c

) nel modulo

$a = c\sin\alpha = c\cos\beta$ e $b = c\sin\beta = c\cos\alpha$ : un cateto è l'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, oppure per il coseno dell'angolo acuto adiacente.
$a = b\tan\alpha = b\operatorname{cotan}\beta$ e $b = a\tan\beta = a\operatorname{cotan}\alpha$ : un cateto è l'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo, oppure per la cotangente dell'angolo adiacente al primo.
$\alpha + \beta = 90^\circ$ .

In parole: $\sin\alpha = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}$ , $\cos\alpha = \dfrac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}$ , $\tan\alpha = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}$ .

Regola 8.15 Triangolo qualsiasi nel modulo

Teorema del coseno (detto anche teorema di Carnot): il quadrato di un lato è la somma dei quadrati degli altri due, meno il doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo che formano.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Con un angolo retto il coseno vale 0 e si ritrova il teorema di Pitagora.

Teorema dei seni: i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

Il teorema del coseno serve quando conosci due lati e l'angolo tra loro (per trovare il terzo lato) oppure tre lati (per trovare un angolo). Il teorema dei seni serve quando conosci due angoli e un lato. Ricorda anche che $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ .