Modulo 1. Linguaggio, insiemi, logica e numeri

In breve

Un insieme si descrive per elenco o con una proprietà caratteristica. Il simbolo $\in$ ("appartiene") lega un elemento a un insieme, il simbolo $\subseteq$ ("è contenuto in") lega due insiemi.
Le operazioni tra insiemi traducono i connettivi logici: intersezione = "e", unione = "o", complementare = "non", differenza simmetrica = "o… o…".
"Se $p$ allora $q$ " è falsa solo quando $p$ è vera e $q$ è falsa. Equivale alla contronominale "se non $q$ allora non $p$ ", non all'inversa "se $q$ allora $p$ ".
Per negare: "e" diventa "o" (e viceversa), "per ogni" diventa "esiste almeno uno che non", "esiste" diventa "per ogni… non". La negazione di $x > 3$ è $x \le 3$ .
Un solo controesempio basta per dire che un'affermazione generale è falsa; per dire che è vera serve una dimostrazione.
$\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ (naturali, interi, razionali, reali). I razionali hanno decimali finiti o periodici, gli irrazionali ( $\sqrt2$ , $\pi$ …) decimali infiniti e non periodici.
Frazioni, potenze, radicali e percentuali si fanno a mano: servono poche regole sicure (tabella delle potenze, portare fuori dalla radice, razionalizzare, aumenti e sconti come moltiplicazioni).
Negli intervalli la parentesi quadra include l'estremo, la tonda lo esclude; accanto a $+\infty$ e $-\infty$ c'è sempre la tonda.

1.1 Elementi di teoria degli insiemi e logica

Insiemi ed elementi

In matematica insieme è un concetto primitivo: non si definisce, si usa. Pensalo come una collezione di oggetti, gli elementi, per cui è sempre chiaro se un oggetto ne fa parte oppure no. "I numeri pari" è un insieme; "i numeri grandi" no, perché "grande" non è un criterio oggettivo.

Di solito gli insiemi si indicano con lettere maiuscole ( $A$ , $B$ , $X$ ) e gli elementi con lettere minuscole.

Un insieme si può rappresentare in tre modi.

Per elenco: scrivi gli elementi tra parentesi graffe, per esempio $V = \{a, e, i, o, u\}$ . L'ordine non conta e gli elementi ripetuti contano una volta sola: $\{2, 5, 5, 7\} = \{7, 2, 5\}$ .
Con una proprietà caratteristica: $P = \{n \in \N \mid n \text{ è pari}\}$ . La barra verticale $\mid$ si legge "tale che" (qualche libro usa i due punti). Quindi: "l'insieme degli $n$ naturali tali che $n$ è pari".
Con un diagramma di Eulero-Venn: una linea chiusa con dentro dei punti che rappresentano gli elementi.

L'insieme che non ha elementi si chiama insieme vuoto e si indica con $\varnothing$ . Per esempio $\{x \in \R \mid x^2 = -1\} = \varnothing$ , perché nessun numero reale ha il quadrato negativo.

Gli insiemi più usati sono quelli numerici, che studierai nella seconda parte del modulo: $\N$ (naturali), $\Z$ (interi relativi), $\Q$ (razionali), $\R$ (reali).

Sottoinsiemi e uguaglianza

Per ogni insieme $A$ valgono sempre $\varnothing \subseteq A$ e $A \subseteq A$ : sono i sottoinsiemi impropri di $A$ . Tutti gli altri sottoinsiemi si dicono propri.

Insieme delle parti

Operazioni tra insiemi

Considera due insiemi $A$ e $B$ contenuti in un insieme "ambiente" $X$ , detto insieme universo.

Definizione 1.4 Le operazioni

Intersezione: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}$ , gli elementi comuni. Se $A \cap B = \varnothing$ , $A$ e $B$ si dicono disgiunti.
Unione: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ o } x \in B\}$ , gli elementi che stanno in almeno uno dei due (anche in entrambi).
Differenza: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \notin B\}$ , gli elementi di $A$ che non stanno in $B$ (si scrive anche $A - B$ ).
Differenza simmetrica: $A \,\Delta\, B$ , gli elementi che stanno in uno solo dei due insiemi: $A \,\Delta\, B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ .
Complementare di $A$ in $X$ : $\overline{A} = X \setminus A = \{x \in X \mid x \notin A\}$ .
Prodotto cartesiano: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}$ , l'insieme delle coppie ordinate con il primo elemento in $A$ e il secondo in $B$ .

Esempio 1.3 Tutte le operazioni su due insiemi

$A = \{\text{divisori di } 12\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ e $B = \{\text{numeri primi minori di } 10\} = \{2, 3, 5, 7\}$ .

$A \cap B = \{2, 3\}$
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12\}$ (il 2 e il 3 si scrivono una volta sola)
$A \setminus B = \{1, 4, 6, 12\}$ e $B \setminus A = \{5, 7\}$ : la differenza non è commutativa
$A \,\Delta\, B = \{1, 4, 5, 6, 7, 12\}$ : tutto $A \cup B$ tranne la parte comune
con universo $X = \{1, 2, \dots, 12\}$ : $\overline{B} = \{1, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12\}$

A

B

1,\ 4

6,\ 12

2,\ 3

5,\ 7

Diagramma di Eulero-Venn di

A

B

; in rosso l'intersezione

A \cap B = \{2, 3\}

Proposizioni e predicati

Esempi: "7 è un numero dispari" è una proposizione vera; "10 è divisibile per 4" è una proposizione falsa; "il blu è il colore più bello" non è una proposizione (è un'opinione); " $x + 1 = 5$ " non è ancora una proposizione, perché dipende da $x$ .

Quantificatori

Un predicato preceduto da un quantificatore diventa una proposizione, cioè è vero o falso.

$\forall x \in \R,\ x^2 \ge 0$ : "ogni numero reale ha quadrato maggiore o uguale a zero". Vera.
$\exists x \in \N \mid x + 3 = 1$ : "esiste un naturale che sommato a 3 dà 1". Falsa: servirebbe $x = -2$ , che non è naturale.
$\exists x \in \Z \mid x^2 = 9$ : vera, e i valori sono addirittura due ( $3$ e $-3$ ). "Esiste" vuol dire almeno uno.
$\exists!\, x \in \R \mid 2x + 1 = 7$ : vera, l'unica soluzione è $x = 3$ . Invece $\exists!\, x \in \Z \mid x^2 = 9$ è falsa, perché le soluzioni sono due.

Il quantificatore si può scrivere anche in fondo: " $x^2 + 1 > 0,\ \forall x \in \R$ " vuol dire la stessa cosa di " $\forall x \in \R,\ x^2 + 1 > 0$ ".

Connettivi logici

A partire da due proposizioni $p$ e $q$ se ne costruiscono altre con i connettivi.

Definizione 1.8 I connettivi

Negazione $\lnot p$ ("non $p$ "): vera quando $p$ è falsa, falsa quando $p$ è vera.
Congiunzione $p \wedge q$ (" $p$ e $q$ "): vera solo se $p$ e $q$ sono entrambe vere.
Disgiunzione inclusiva $p \vee q$ (" $p$ o $q$ "): falsa solo se $p$ e $q$ sono entrambe false.
Disgiunzione esclusiva $p \,\dot{\vee}\, q$ ("o $p$ o $q$ "): vera se è vera una sola delle due.
Implicazione $p \Rightarrow q$ ("se $p$ allora $q$ "): falsa solo se $p$ è vera e $q$ è falsa. $p$ si chiama antecedente (o ipotesi), $q$ conseguente (o tesi).
Doppia implicazione (o equivalenza logica) $p \Leftrightarrow q$ (" $p$ se e solo se $q$ "): vera se $p$ e $q$ hanno lo stesso valore di verità. Vuol dire $p \Rightarrow q$ e anche $q \Rightarrow p$ .

La tavola di verità riassume tutti i casi:

		non	e	o	o… o…	se… allora	se e solo se
$p$	$q$	$\lnot p$	$p \wedge q$	$p \vee q$	$p \,\dot{\vee}\, q$	$p \Rightarrow q$	$p \Leftrightarrow q$
V	V	F	V	V	F	V	V
V	F	F	F	V	V	F	F
F	V	V	F	V	V	V	F
F	F	V	F	F	F	V	V

Esempio: "se un numero è multiplo di 4, allora è pari" è vera. Essere multiplo di 4 è sufficiente per essere pari; essere pari è necessario per essere multiplo di 4, ma non sufficiente (6 è pari e non è multiplo di 4).

Regola 1.5 Le implicazioni collegate a

p \Rightarrow q

nome	forma	equivale all'implicazione di partenza?
inversa	$q \Rightarrow p$	no
contraria	$\lnot p \Rightarrow \lnot q$	no
contronominale	$\lnot q \Rightarrow \lnot p$	sì, sempre

Esempio: "se un numero è multiplo di 4, allora è pari" è vera; la contronominale "se un numero non è pari, allora non è multiplo di 4" è vera anche lei; l'inversa "se un numero è pari, allora è multiplo di 4" è falsa (controesempio: 6).

Negare una proposizione

Regola 1.6 Regole di negazione

frase	negazione
$p \wedge q$	$\lnot p \vee \lnot q$
$p \vee q$	$\lnot p \wedge \lnot q$
$p \Rightarrow q$	$p \wedge \lnot q$
$\forall x,\ P(x)$	$\exists x \mid \lnot P(x)$
$\exists x \mid P(x)$	$\forall x,\ \lnot P(x)$
$\lnot p$	$p$ (doppia negazione)
$x > a$	$x \le a$
$x \ge a$	$x < a$

Le prime due righe sono le leggi di De Morgan della logica.

Dimostrazioni e controesempi

Molti teoremi hanno la forma $H \Rightarrow T$ : dalle ipotesi $H$ segue la tesi $T$ . A volte il "se… allora…" è nascosto: "la somma di due numeri dispari è pari" vuol dire "se $a$ e $b$ sono dispari, allora $a + b$ è pari".

Per ragionare su pari e dispari usa queste scritture: $n$ è pari se $n = 2k$ con $k \in \Z$ ; $n$ è dispari se $n = 2k + 1$ con $k \in \Z$ .

Logica e insiemi: lo stesso linguaggio

Regola 1.7 Dizionario tra logica e insiemi

Se $A = \{x \in X \mid p(x)\}$ e $B = \{x \in X \mid q(x)\}$ sono gli insiemi in cui valgono due predicati $p(x)$ e $q(x)$ , ogni connettivo corrisponde a un'operazione tra insiemi.

logica	insiemi
congiunzione $p(x) \wedge q(x)$	intersezione $A \cap B$
disgiunzione inclusiva $p(x) \vee q(x)$	unione $A \cup B$
disgiunzione esclusiva $p(x) \,\dot{\vee}\, q(x)$	differenza simmetrica $A \,\Delta\, B$
negazione $\lnot p(x)$	complementare $\overline{A}$
$p(x) \Rightarrow q(x)$ vera per ogni $x$	inclusione $A \subseteq B$
$p(x) \Leftrightarrow q(x)$ vera per ogni $x$	uguaglianza $A = B$

Le leggi di De Morgan per gli insiemi e per la logica sono la stessa regola scritta in due lingue.

Nella prova Insiemi e logica

Negazioni, per esempio a scelta una su quattro: applica le regole una parola alla volta e diffida delle opzioni con "nessuno" al posto di "almeno uno… non", con la "e" non trasformata in "o", o con $<$ al posto di $\le$ .
Vero/falso su affermazioni generali: cerca subito un controesempio con numeri piccoli ( $0$ , $1$ , $-1$ , $\tfrac12$ , $2$ ). Se lo trovi, la risposta è "falso".
Condizione necessaria o sufficiente: riscrivi la frase come "se… allora…". Ciò che sta dopo "se" è sufficiente, ciò che sta dopo "allora" è necessario.
Insiemi dati per elenco: scrivi gli elementi uno per uno, non a colpo d'occhio. Per contare usa $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ .
Insieme delle parti, per esempio a risposta numerica: $2^n$ sottoinsiemi, compresi $\varnothing$ e l'insieme stesso.

1.2 Numeri

Numeri naturali

I numeri si scrivono in notazione posizionale in base dieci: si usano le cifre $0, 1, \dots, 9$ e il valore di ogni cifra dipende dal posto che occupa. Per esempio $5037 = 5 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 7$ .

In $\N$ la somma e il prodotto di due naturali sono sempre naturali.

Regola 1.8 Proprietà di somma e prodotto

Per ogni $a$ , $b$ , $c$ :

proprietà	somma	prodotto
commutativa	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
associativa	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
elemento neutro	$a + 0 = 0 + a = a$	$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

La proprietà distributiva lega le due operazioni: $a(b + c) = ab + ac$ .

Le operazioni inverse invece non sempre si possono fare in $\N$ : $3 - 5$ e $3 : 5$ non sono naturali. Per poter sempre sottrarre si passa agli interi relativi, per poter sempre dividere (per un numero diverso da zero) ai razionali.

Divisibilità, numeri primi, MCD e mcm

Criteri utili senza calcolatrice: un numero è divisibile per $2$ se l'ultima cifra è pari; per $3$ (o per $9$ ) se la somma delle cifre è divisibile per $3$ (o per $9$ ); per $4$ se lo è il numero formato dalle ultime due cifre; per $5$ se finisce con $0$ o $5$ ; per $10$ se finisce con $0$ .

Numeri interi relativi

In $\Z$ la sottrazione si può sempre fare: l'equazione $m + x = n$ ha sempre la soluzione intera $x = n - m$ . La divisione invece no: $2x = 3$ non ha soluzioni intere.

Il valore assoluto $|a|$ è la distanza di $a$ da $0$ : vale $a$ se $a \ge 0$ e $-a$ se $a < 0$ . Per esempio $|-7| = 7$ e $|7| = 7$ .

Numeri razionali e frazioni

Ogni intero è razionale ( $5 = \tfrac51$ ), quindi $\Z \subset \Q$ . In $\Q$ ogni numero diverso da zero ha il reciproco (o inverso): il reciproco di $\tfrac{a}{b}$ è $\tfrac{b}{a}$ , perché $\tfrac{a}{b} \cdot \tfrac{b}{a} = 1$ . Per questo l'equazione $ax = b$ con $a \ne 0$ ha sempre la soluzione $x = \tfrac{b}{a}$ . Lo zero non ha reciproco: non si divide per zero.

Lo stesso razionale si scrive con infinite frazioni equivalenti: $\tfrac{a}{b} = \tfrac{a \cdot k}{b \cdot k}$ per ogni $k \ne 0$ , per esempio $\tfrac23 = \tfrac46 = \tfrac{-10}{-15}$ . Una frazione è ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore non hanno divisori comuni maggiori di 1; per ridurla li dividi entrambi per il loro MCD: $\tfrac{84}{90} = \tfrac{14}{15}$ (diviso 6).

Decimali finiti e periodici

Ogni frazione si trasforma in numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore. Il risultato è di due tipi:

decimale finito: $\tfrac78 = 0{,}875$ ;
decimale periodico: da un certo punto in poi un gruppo di cifre, il periodo, si ripete all'infinito, e si indica con una lineetta sopra: $\tfrac23 = 0{,}666\ldots = 0{,}\overline{6}$ , $\tfrac{3}{11} = 0{,}\overline{27}$ , $\tfrac56 = 0{,}8\overline{3}$ (qui la cifra $8$ tra la virgola e il periodo si chiama antiperiodo).

Metodo Dal decimale alla frazione: la frazione generatrice

Decimale finito: scrivi il numero senza virgola e dividi per $1$ seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola, poi riduci: $2{,}35 = \tfrac{235}{100} = \tfrac{47}{20}$ .
Decimale periodico: al numeratore metti il numero scritto senza virgola e senza lineetta, meno il numero formato dalle cifre che precedono il periodo; al denominatore tanti $9$ quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti $0$ quante sono le cifre dell'antiperiodo.

0{,}\overline{4} = \frac{4}{9} \qquad 1{,}\overline{36} = \frac{136 - 1}{99} = \frac{135}{99} = \frac{15}{11} \qquad 0{,}1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac16

Percentuali

Potenze

Regola 1.14 Proprietà delle potenze, con basi diverse da zero

regola	esempio
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
$a^m : a^n = a^{m-n}$	$5^6 : 5^4 = 5^2 = 25$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(3^2)^3 = 3^6$
$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$	$2^5 \cdot 5^5 = 10^5$
$a^n : b^n = (a : b)^n$	$6^3 : 2^3 = 3^3 = 27$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \frac18$
$a^0 = 1$	$(-7)^0 = 1$

Le potenze di 10 servono per la notazione scientifica: un numero si scrive come $c \cdot 10^n$ con $1 \le c < 10$ . Per esempio $3\,500\,000 = 3{,}5 \cdot 10^6$ e $0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}$ .

Radicali

Numeri irrazionali

La diagonale di un quadrato di lato $1$ misura, per il teorema di Pitagora, $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2$ . Questo numero non è razionale.

Numeri reali e ordinamento

In $\R$ valgono tutte le proprietà di somma e prodotto viste finora: commutativa, associativa, elemento neutro, opposto, reciproco dei numeri diversi da zero, distributiva. In più $\R$ è totalmente ordinato: dati due reali $a$ e $b$ , vale sempre $a \le b$ oppure $b \le a$ . La relazione $\le$ ("minore o uguale") è:

riflessiva: $a \le a$ ;
antisimmetrica: se $a \le b$ e $b \le a$ , allora $a = b$ ;
transitiva: se $a \le b$ e $b \le c$ , allora $a \le c$ .

Intervalli

Definizione 1.19 Intervalli

Un intervallo è l'insieme dei reali compresi tra due estremi $a < b$ (un segmento della retta) oppure dei reali maggiori o minori di un numero dato (una semiretta). La parentesi quadra vuol dire estremo incluso, la tonda estremo escluso. Nelle semirette compaiono i simboli $+\infty$ ("più infinito") e $-\infty$ ("meno infinito").

intervallo	disuguaglianza	nome
$[a, b]$	$a \le x \le b$	chiuso
$(a, b)$	$a < x < b$	aperto
$[a, b)$	$a \le x < b$	chiuso a sinistra, aperto a destra
$(a, b]$	$a < x \le b$	aperto a sinistra, chiuso a destra
$[a, +\infty)$	$x \ge a$	semiretta chiusa
$(a, +\infty)$	$x > a$	semiretta aperta
$(-\infty, b]$	$x \le b$	semiretta chiusa
$(-\infty, b)$	$x < b$	semiretta aperta
$(-\infty, +\infty)$	qualunque $x$	tutto $\R$

Sulla retta un estremo incluso si disegna con un pallino pieno, uno escluso con un pallino vuoto.

−23

[-2, 3)

-2

incluso (pallino pieno),

3

escluso (pallino vuoto)

−14

Il complementare di

[-1, 4)

(-\infty, -1) \cup [4, +\infty)

Questo è De Morgan in azione: la negazione di " $x \ge -1$ e $x < 4$ " è " $x < -1$ oppure $x \ge 4$ ".

Inclusioni tra gli insiemi numerici

Ogni insieme numerico contiene il precedente: $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$ . Gli irrazionali sono i reali che non sono razionali, cioè $\R \setminus \Q$ .

\N

0,\ 1,\ 7

\Z

-3

\Q

\tfrac34,\ 0{,}\overline{6}

\R

\sqrt2,\ \pi

\N \subset \Z \subset \Q \subset \R

, con qualche esempio in ogni zona

Regola 1.20 Quali operazioni restano nell'insieme

La tabella dice quali operazioni danno sempre un risultato che resta nello stesso insieme ("no" vuol dire che almeno in un caso si esce: $3 - 5 \notin \N$ , $2 : 3 \notin \Z$ , $\sqrt2 \notin \Q$ ).

insieme	somma	differenza	prodotto	divisione per un numero $\ne 0$	radice quadrata di un numero $\ge 0$
$\N$	sì	no	sì	no	no
$\Z$	sì	sì	sì	no	no
$\Q$	sì	sì	sì	sì	no
$\R$	sì	sì	sì	sì	sì

Dal linguaggio comune alle formule

Molti problemi chiedono di tradurre una frase in simboli.

Regola 1.21 Le traduzioni più frequenti

a parole	in simboli
il doppio di $x$ ; il triplo di $x$	$2x$ ; $3x$
la metà di $x$	$\tfrac{x}{2}$
il doppio di $x$ , aumentato di 3	$2x + 3$
il doppio della somma di $x$ e 3	$2(x + 3)$
il quadrato della somma di $a$ e $b$	$(a + b)^2$
la somma dei quadrati di $a$ e $b$	$a^2 + b^2$
$a$ supera $b$ di 5	$a = b + 5$
$a$ è il triplo di $b$	$a = 3b$
tre interi consecutivi	$n$ , $n + 1$ , $n + 2$
un numero pari; un numero dispari	$2k$ ; $2k + 1$ , con $k \in \Z$
un multiplo di 7	$7k$ , con $k \in \Z$
$x$ aumentato del 12%	$1{,}12\,x$
il reciproco di $x$ ; l'opposto di $x$	$\tfrac{1}{x}$ (con $x \ne 0$ ); $-x$

Nella prova Numeri

Calcoli senza calcolatrice, per esempio a risposta numerica: espressioni con frazioni e potenze. Riduci tutto alla stessa base o allo stesso denominatore prima di fare i conti.
"Quale di questi numeri è razionale (o irrazionale)?": semplifica ogni opzione. $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ e $0{,}\overline{3} = \tfrac13$ sono razionali, $\sqrt8 = 2\sqrt2$ no.
Percentuali, anche a risposta numerica: scrivi sempre il fattore moltiplicativo ( $\times 1{,}2$ , $\times 0{,}75$ ) invece di sommare o sottrarre percentuali.
Ordinamento: porta i numeri alla stessa forma; per le radici confronta i quadrati.
Vero/falso sugli intervalli: "se $a$ e $b$ stanno in $(0, 1)$ , anche $a + b$ ci sta?" Falso: $0{,}7 + 0{,}6 = 1{,}3$ . Il prodotto $ab$ invece resta sempre in $(0, 1)$ .
Problemi a parole: prima la formula con le lettere, poi i numeri.

Esercizi

Esercizio 1.1BaseOperazioni tra insiemi

Sia $X$ l'insieme delle lettere della parola MATEMATICA e $Y$ l'insieme delle lettere della parola STATISTICA. Scrivi $X$ e $Y$ per elenco, poi calcola $X \cap Y$ , $X \cup Y$ , $X \setminus Y$ , $Y \setminus X$ e $X \,\Delta\, Y$ .

Soluzione

Ogni lettera si scrive una volta sola: $X = \{M, A, T, E, I, C\}$ e $Y = \{S, T, A, I, C\}$ .

$X \cap Y = \{A, T, I, C\}$ (le lettere presenti in tutte e due le parole).
$X \cup Y = \{M, A, T, E, I, C, S\}$ .
$X \setminus Y = \{M, E\}$ e $Y \setminus X = \{S\}$ .
$X \,\Delta\, Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) = \{M, E, S\}$ .

Controllo con il conteggio: $|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y| = 6 + 5 - 4 = 7$ , come le lettere dell'unione.

Esercizio 1.2BaseElementi, sottoinsiemi e parti

Sia $X = \{0, 5, 9\}$ .

Scrivi tutti gli elementi di $\mathcal{P}(X)$ .
Di' se sono vere o false: $5 \in X$ ; $\{5\} \in X$ ; $\{5\} \subseteq X$ ; $\{5\} \in \mathcal{P}(X)$ ; $\varnothing \in \mathcal{P}(X)$ ; $\varnothing \in X$ .
Quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme con 6 elementi?

Soluzione

$\mathcal{P}(X) = \{\varnothing, \{0\}, \{5\}, \{9\},$ $\{0, 5\}, \{0, 9\}, \{5, 9\}, X\}$ : sono $2^3 = 8$ elementi.
$5 \in X$ : vero. $\{5\} \in X$ : falso, gli elementi di $X$ sono numeri e non insiemi. $\{5\} \subseteq X$ : vero. $\{5\} \in \mathcal{P}(X)$ : vero, perché è un sottoinsieme di $X$ . $\varnothing \in \mathcal{P}(X)$ : vero, $\varnothing$ è un sottoinsieme di $X$ . $\varnothing \in X$ : falso.
$2^6 = 64$ .

Esercizio 1.3BaseUna tavola di verità

Completa la tavola di verità di $\lnot p \vee q$ e confrontala con quella di $p \Rightarrow q$ . Che cosa noti?

Soluzione

		non	o	se… allora
$p$	$q$	$\lnot p$	$\lnot p \vee q$	$p \Rightarrow q$
V	V	F	V	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

Le ultime due colonne coincidono: $p \Rightarrow q$ è equivalente a $\lnot p \vee q$ ("non $p$ , oppure $q$ "). Da qui, con De Morgan, esce anche la negazione dell'implicazione: $\lnot(\lnot p \vee q)$ è $p \wedge \lnot q$ .

Esercizio 1.4BaseIn quale insieme numerico?

Per ciascun numero indica il più piccolo tra gli insiemi $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ che lo contiene, e di' se è irrazionale: $-6$ , $\sqrt{36}$ , $\tfrac94$ , $\sqrt{10}$ , $0{,}\overline{18}$ , $-\tfrac{12}{3}$ , $\pi - 1$ , $\sqrt{0{,}01}$ .

Soluzione

$-6$ : $\Z$ .
$\sqrt{36} = 6$ : $\N$ .
$\tfrac94 = 2{,}25$ : $\Q$ .
$\sqrt{10}$ : $10$ non è un quadrato perfetto, quindi è irrazionale; sta in $\R$ .
$0{,}\overline{18} = \tfrac{18}{99} = \tfrac{2}{11}$ : periodico, quindi razionale; $\Q$ .
$-\tfrac{12}{3} = -4$ : $\Z$ (la frazione è solo una scrittura diversa di un intero).
$\pi - 1$ : irrazionale meno razionale dà un irrazionale; sta in $\R$ .
$\sqrt{0{,}01} = 0{,}1 = \tfrac{1}{10}$ : $\Q$ .

Esercizio 1.5BaseFrazioni e potenze

Calcola senza calcolatrice:

$\left(\dfrac34 + \dfrac16\right) \cdot \dfrac{8}{11}$
$\left(\dfrac23\right)^{-2} - 2^{-1}$
$\dfrac{9^2 \cdot 3^{-3}}{27^{-1}}$

Soluzione

Il mcm di 4 e 6 è 12: $\tfrac34 + \tfrac16 = \tfrac{9}{12} + \tfrac{2}{12} = \tfrac{11}{12}$ . Poi $\tfrac{11}{12} \cdot \tfrac{8}{11} = \tfrac{8}{12} = \tfrac23$ .
$\left(\tfrac23\right)^{-2} = \left(\tfrac32\right)^2 = \tfrac94$ e $2^{-1} = \tfrac12 = \tfrac24$ . Risultato: $\tfrac94 - \tfrac24 = \tfrac74$ .
Tutto in base 3: $9^2 = 3^4$ e $27^{-1} = 3^{-3}$ . Quindi $\dfrac{3^4 \cdot 3^{-3}}{3^{-3}} = 3^{4 - 3 + 3} = 3^4 = 81$ .

Esercizio 1.6MedioNegazioni

Scrivi la negazione di ogni frase senza usare "non è vero che" e, quando si può, di' se è vera la frase o la sua negazione.

"Tutti i numeri primi sono dispari."
"Esiste un numero reale $x$ tale che $x^2 < 0$ ."
"Ogni studente del corso ha superato almeno un esame."
" $x > -2$ e $x \le 7$ ."
"Per ogni numero naturale, se è divisibile per 6 allora è divisibile per 4."

Soluzione

"Esiste un numero primo che non è dispari." È vera la negazione: $2$ è primo e pari.
"Per ogni numero reale $x$ , $x^2 \ge 0$ ." È vera la negazione: un quadrato non è mai negativo.
"Esiste uno studente del corso che non ha superato nessun esame." Due negazioni in una: "ogni" diventa "esiste… che non", e "almeno un esame" diventa "nessun esame". Qui non puoi sapere quale delle due è vera.
" $x \le -2$ oppure $x > 7$ ": la "e" diventa "o" e ogni disuguaglianza si nega. Dipende da $x$ , quindi non è né vera né falsa finché $x$ non ha un valore.
"Esiste un numero naturale divisibile per 6 e non divisibile per 4." È vera la negazione: $6$ è divisibile per 6 e non per 4.

Esercizio 1.7MedioDimostra o smentisci

Per ciascuna affermazione scrivi una dimostrazione oppure un controesempio.

La somma di un numero pari e di un numero dispari è dispari.
Se $n^2$ è divisibile per 4, allora $n$ è divisibile per 4.
Per ogni $x \in \R$ con $x \ne 0$ vale $x + \tfrac1x \ge 2$ .
Il prodotto di due numeri dispari è dispari.

Soluzione

Vera. Con $a = 2h$ e $b = 2k + 1$ ( $h, k \in \Z$ ): $a + b = 2h + 2k + 1 = 2(h + k) + 1$ , che è dispari.
Falsa. Controesempio: $n = 2$ . $n^2 = 4$ è divisibile per 4, ma $2$ non lo è.
Falsa. Controesempio: $x = -1$ dà $x + \tfrac1x = -1 - 1 = -2 < 2$ . (L'affermazione diventa vera se si chiede $x > 0$ .)
Vera. Con $a = 2h + 1$ e $b = 2k + 1$ : $ab = 4hk + 2h + 2k + 1 = 2(2hk + h + k) + 1$ , che è dispari.

Esercizio 1.8MedioDecimali e frazioni

Trasforma in frazione ridotta ai minimi termini: $0{,}\overline{45}$ ; $2{,}1\overline{6}$ ; $0{,}125$ .
Senza fare la divisione, di' se $\tfrac{11}{16}$ e $\tfrac{7}{15}$ hanno decimale finito o periodico.

Soluzione

$0{,}\overline{45} = \tfrac{45}{99} = \tfrac{5}{11}$ . $2{,}1\overline{6} = \tfrac{216 - 21}{90} = \tfrac{195}{90} = \tfrac{13}{6}$ . $0{,}125 = \tfrac{125}{1000} = \tfrac18$ .
$16 = 2^4$ contiene solo il fattore 2: decimale finito ( $\tfrac{11}{16} = 0{,}6875$ ). $\tfrac{7}{15}$ è già ridotta e $15 = 3 \cdot 5$ contiene il 3: decimale periodico ( $0{,}4\overline{6}$ ).

Esercizio 1.9MedioRadicali

Semplifica $\sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{12}$ .
Razionalizza $\dfrac{6}{\sqrt3}$ e $\dfrac{4}{\sqrt5 + 1}$ .
Metti in ordine crescente $3\sqrt2$ , $2\sqrt5$ , $\sqrt{17}$ .

Soluzione

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt3$ , $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt3$ , $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt3$ . Totale: $(4 - 3 + 2)\sqrt3 = 3\sqrt3$ .
$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . Per il secondo si moltiplica per il coniugato: $\dfrac{4\left(\sqrt5 - 1\right)}{\left(\sqrt5 + 1\right)\left(\sqrt5 - 1\right)} = \dfrac{4\left(\sqrt5 - 1\right)}{5 - 1} = \sqrt5 - 1$ .
Sono tutti positivi, quindi confronto i quadrati: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ , $\left(2\sqrt5\right)^2 = 20$ , $\left(\sqrt{17}\right)^2 = 17$ . Ordine: $\sqrt{17} < 3\sqrt2 < 2\sqrt5$ .

Esercizio 1.10MedioIntervalli

Siano $A = [-3, 2)$ e $B = (0, 5]$ . Calcola $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ e il complementare di $B$ in $\R$ . Rappresenta $A \setminus B$ sulla retta.

Soluzione

$A \cap B = (0, 2)$ : serve $x > 0$ (per stare in $B$ ) e $x < 2$ (per stare in $A$ ).
$A \cup B = [-3, 5]$ .
$A \setminus B = [-3, 0]$ : lo $0$ sta in $A$ ma non in $B$ (in $B$ è escluso), quindi resta.
$B \setminus A = [2, 5]$ : il $2$ non sta in $A$ , quindi resta.
$\overline{B} = (-\infty, 0] \cup (5, +\infty)$ .

−30

A \setminus B = [-3, 0]

Esercizio 1.11Livello provaSconti e aumenti

Un paio di scarpe, dopo uno sconto del 30%, costa 63 euro. Quanto costava prima dello sconto?
Un abbonamento aumenta del 20% e l'anno dopo del 10%. Di quanto è aumentato in tutto, in percentuale?
Il prezzo di un biglietto era $x$ ed è aumentato del 6%. Quale espressione dà il nuovo prezzo? (a) $x + 6$ (b) $0{,}06\,x$ (c) $1{,}06\,x$ (d) $1{,}6\,x$

Soluzione

Dopo lo sconto resta il 70%: $0{,}7\,x = 63$ , quindi $x = \tfrac{63}{0{,}7} = \tfrac{630}{7} = 90$ euro.
I fattori si moltiplicano: $1{,}2 \cdot 1{,}1 = 1{,}32$ . L'aumento totale è del 32%, non del 30%.
(c): $x + \tfrac{6}{100}x = (1 + 0{,}06)\,x = 1{,}06\,x$ . La (a) aggiunge 6 euro, non il 6%; la (b) è solo l'aumento; la (d) corrisponde a un aumento del 60%.

Esercizio 1.12Livello provaDalla frase alla formula

Una bici in condivisione costa 1 euro allo sblocco più 0,25 euro al minuto. Scrivi il costo $C$ di una corsa di $t$ minuti e trova quanto dura una corsa pagata 6,50 euro.
Traduci in simboli: "il quadrato della somma di due numeri supera di 12 la somma dei loro quadrati". Che cosa puoi dire del prodotto dei due numeri?

Soluzione

$C = 1 + 0{,}25\,t$ . Con $C = 6{,}5$ : $0{,}25\,t = 5{,}5$ , quindi $t = \tfrac{5{,}5}{0{,}25} = 22$ minuti.
Chiamo $a$ e $b$ i due numeri: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 12$ . Sviluppando, $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 12$ , cioè $2ab = 12$ : il prodotto è $ab = 6$ .

Esercizio 1.13Livello provaContare con gli insiemi

In un gruppo di 40 studenti, 25 seguono il corso di Programmazione, 18 quello di Matematica discreta e 7 non seguono nessuno dei due. Quanti seguono entrambi i corsi? Quanti seguono solo Programmazione?

Soluzione

Esercizio 1.14Livello provaNecessaria o sufficiente?

Completa con "necessaria ma non sufficiente", "sufficiente ma non necessaria", "necessaria e sufficiente" oppure "né necessaria né sufficiente" ( $x$ è un numero reale, $n$ un numero naturale).

" $x > 5$ " è condizione … per " $x > 3$ ".
" $x^2 = 16$ " è condizione … per " $x = 4$ ".
" $n$ è pari" è condizione … per " $n^2$ è pari".
" $x > 0$ " è condizione … per " $x^2 > 1$ ".

Soluzione

Sufficiente ma non necessaria: se $x > 5$ allora $x > 3$ ; ma $x = 4$ soddisfa $x > 3$ senza soddisfare $x > 5$ .
Necessaria ma non sufficiente: se $x = 4$ allora $x^2 = 16$ ; ma $x^2 = 16$ vale anche per $x = -4$ .
Necessaria e sufficiente: se $n$ è pari, $n^2$ è pari; e se $n^2$ è pari, $n$ è pari (per contronominale: se $n$ è dispari, $n^2$ è dispari).
Né necessaria né sufficiente: $x = \tfrac12$ è positivo ma $x^2 = \tfrac14 < 1$ ; $x = -2$ ha $x^2 = 4 > 1$ ma non è positivo.

Esercizio 1.15Livello provaCavalieri e furfanti

Su un'isola vivono cavalieri, che dicono sempre la verità, e furfanti, che mentono sempre. Incontri due abitanti, $A$ e $B$ . $A$ dice: "Almeno uno di noi due è un furfante". Che cosa sono $A$ e $B$ ?

Soluzione

Si ragiona per casi, come in una dimostrazione per assurdo.

Se $A$ fosse un furfante, la sua frase sarebbe falsa, quindi nessuno dei due sarebbe un furfante, compreso $A$ : contraddizione.
Quindi $A$ è un cavaliere e la sua frase è vera: almeno uno dei due è furfante, e non è $A$ . Dunque $B$ è un furfante.

Risposta: $A$ è un cavaliere, $B$ è un furfante.

Esercizio 1.16Livello provaVero o falso sui numeri

Di' se ogni affermazione è vera o falsa, motivando.

La somma di due numeri irrazionali è sempre irrazionale.
$\sqrt3 \cdot \sqrt{12}$ è un numero naturale.
Tra $0{,}25$ e $0{,}26$ non ci sono numeri razionali.
$0{,}\overline{9} = 1$ .
Se $a$ e $b$ appartengono a $(0, 1)$ , anche $a \cdot b$ appartiene a $(0, 1)$ .

Soluzione

Falsa: $2 + \sqrt3$ e $2 - \sqrt3$ sono irrazionali, ma la loro somma è $4$ .
Vera: $\sqrt3 \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$ .
Falsa: per esempio $0{,}255 = \tfrac{51}{200}$ sta in mezzo, e anzi ce ne sono infiniti.
Vera: con la frazione generatrice $0{,}\overline{9} = \tfrac99 = 1$ .
Vera: se $0 < a < 1$ e $0 < b < 1$ , moltiplicando $a < 1$ per $b > 0$ si ha $ab < b < 1$ , e $ab > 0$ perché è il prodotto di due positivi.

Quiz di verifica

Checklist

Sul portale OFA

La prova è costruita su questo materiale. Dopo gli appunti, leggi il libro di ogni unità, prova i fogli «Esplora», svolgi gli esercizi in PDF e i test online. Serve l'accesso con le credenziali SCU e l'iscrizione al corso «OFA Matematica»; come usare ogni attività è spiegato nella pagina Il corso ufficiale.

Refusi noti in questo materiale

Nel materiale di questo modulo sono stati trovati alcuni refusi, verificati sulle pagine e sui PDF originali; negli appunti c'è la versione corretta.

Libro 1.1, dimostrazione per assurdo che se $n^2$ è pari anche $n$ è pari: con $n = 2p + 1$ si ha $n^2 = 4p^2 + 4p + 1$ , non $4p^2 + 2p + 1$ . La conclusione ( $n^2$ è dispari) resta giusta.
Libro 1.1, esempio sul modo di enunciare un teorema: due numeri reali con lo stesso valore assoluto sono uguali o opposti ( $a = b$ oppure $a = -b$ ), non «uguali ed opposti».
Libro 1.2, estensione da $\Z$ a $\Q$ : l'equazione $ax = b$ ha la soluzione $x = \frac{b}{a}$ quando $a \ne 0$ ; il libro scrive $b \ne 0$ .
Soluzioni 1.1, esercizio 2, punti iv e v: la negazione di «tutti i bambini hanno più di 6 anni» è «almeno un bambino ha al più 6 anni», non «meno di 6 anni» (un bambino di 6 anni esatti rende falsa la frase di partenza). Allo stesso modo la negazione di «esiste un palazzo con più di 10 piani» è «ogni palazzo ha al più 10 piani».
Soluzioni 1.2, esercizio 1: il più grande numero di quattro cifre in cui unità più decine fa quanto centinaia più migliaia è $9999$ ( $9 + 9 = 9 + 9$ ), non $9054$ . Anche chiedendo cifre tutte diverse ci sono numeri più grandi di $9054$ , per esempio $9687$ .
Soluzioni 1.2, esercizio 5: $\frac{27}{8}$ non è uguale a $\frac{9}{2}$ ; una frazione equivalente è $\frac{27}{6}$ .

I refusi di tutti i moduli, con le avvertenze.

Linguaggio, insiemi, logica e numeri

#In breve

#1.1 Elementi di teoria degli insiemi e logica

#Insiemi ed elementi

#Sottoinsiemi e uguaglianza

#Insieme delle parti

#Operazioni tra insiemi

#Proposizioni e predicati

#Quantificatori

#Connettivi logici

#Negare una proposizione

#Dimostrazioni e controesempi

#Logica e insiemi: lo stesso linguaggio

#1.2 Numeri

#Numeri naturali

#Divisibilità, numeri primi, MCD e mcm

#Numeri interi relativi

#Numeri razionali e frazioni

#Decimali finiti e periodici

#Percentuali

#Potenze

#Radicali

#Numeri irrazionali

#Numeri reali e ordinamento

#Intervalli

#Inclusioni tra gli insiemi numerici

#Dal linguaggio comune alle formule

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Proposizioni e predicati

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