Modulo 2. Polinomi e scomposizione

In breve

Un polinomio in $x$ è una somma di termini del tipo $a x^k$ con esponenti naturali; il grado è l'esponente più alto che compare con coefficiente diverso da zero.
Somma e differenza: si sommano i termini simili. Prodotto: ogni termine per ogni termine, e i gradi si sommano.
I prodotti notevoli vanno saputi a memoria nei due versi: da sinistra a destra per sviluppare, da destra a sinistra per scomporre.
La regola di Ruffini divide un polinomio per $x - a$ in pochi passaggi; per il teorema del resto il resto è il valore del polinomio in $a$ .
$x - a$ è un fattore di $P(x)$ se e solo se $P(a) = 0$ . Le radici razionali si cercano tra le frazioni $\pm\frac{\text{divisore del termine noto}}{\text{divisore del coefficiente direttivo}}$ , sia con il segno più sia con il segno meno.
Per scomporre si segue un ordine: raccoglimento totale, prodotti notevoli, trinomio somma e prodotto, raccoglimento parziale, Ruffini. Poi si controlla se i fattori trovati si scompongono ancora.
Non tutti i polinomi si scompongono: $x^2 + 1$ e $x^2 + x + 1$ non hanno fattori di primo grado.
Nelle frazioni algebriche si semplificano solo i fattori, mai gli addendi, e si scrivono le condizioni di esistenza (denominatore diverso da zero).

2.1 Polinomi e fattorizzazione

Monomi

Che cos'è un polinomio

Il nome viene dal greco e vuol dire "molti termini": un polinomio è una somma di monomi.

Un polinomio è ordinato se i termini sono scritti per esponenti decrescenti ed è completo se ci sono tutte le potenze di $x$ , dal grado massimo fino al termine noto. Un termine che manca ha coefficiente $0$ : $4x^3 - x + 2 = 4x^3 + 0x^2 - x + 2$ . Nella divisione e nella regola di Ruffini questi zeri vanno scritti.

Il valore di un polinomio in un numero $a$ si ottiene sostituendo $a$ al posto di $x$ e si indica con $P(a)$ . Se $P(x) = 2x^3 - x + 5$ , allora $P(-1) = 2(-1)^3 - (-1) + 5 = -2 + 1 + 5 = 4$ . Metti sempre tra parentesi i numeri negativi che sostituisci.

Somma e differenza

Il grado di una somma è al massimo il grado più alto dei due addendi, ma può anche scendere: $(x^2 + x) + (-x^2 + 1) = x + 1$ .

Prodotto

Prodotti notevoli

Regola 2.3 I prodotti notevoli

nome	formula
quadrato di binomio	$(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$
somma per differenza	$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$
cubo di binomio	$(A \pm B)^3 = A^3 \pm 3A^2B + 3AB^2 \pm B^3$
quadrato di trinomio	$(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC$
somma di cubi	$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
differenza di cubi	$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

$A^2 - AB + B^2$ e $A^2 + AB + B^2$ si chiamano falsi quadrati: somigliano allo sviluppo di un quadrato di binomio, ma il termine centrale è $AB$ invece di $2AB$ .

Il simbolo $\pm$ ("più o meno") riassume due formule in una: quella con tutti i segni di sopra e quella con tutti i segni di sotto. Nelle formule $A$ e $B$ possono essere qualunque cosa: numeri, $x$ , $3x$ , $x^2$ …

Divisione tra polinomi

Esempio 2.6 Dividere

x^3 + 2x^2 - 5x + 7

per

x^2 - x + 1

$x^3 : x^2 = x$ è il primo termine del quoziente. $x \cdot (x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x$ . Sottraggo: $(x^3 + 2x^2 - 5x + 7) - (x^3 - x^2 + x) = 3x^2 - 6x + 7$ .
$3x^2 : x^2 = 3$ . $3 \cdot (x^2 - x + 1) = 3x^2 - 3x + 3$ . Sottraggo: $(3x^2 - 6x + 7) - (3x^2 - 3x + 3) = -3x + 4$ .
$-3x + 4$ ha grado 1, minore di 2: mi fermo.

Quoziente $Q(x) = x + 3$ , resto $R(x) = -3x + 4$ . Verifica: $(x^2 - x + 1)(x + 3) + (-3x + 4) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7$ .

La regola di Ruffini

Quando il divisore è di primo grado, del tipo $x - a$ , la divisione si fa molto più in fretta con la regola di Ruffini.

Teorema del resto e teorema di Ruffini

Il motivo: $P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R$ , dove $R$ è un numero (il resto ha grado minore di quello del divisore $x - a$ , che è 1). Sostituendo $x = a$ il primo pezzo si annulla e resta $P(a) = R$ . Nell'esempio di prima: $3 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 4 = 24 - 20 + 4 = 8$ , proprio il resto trovato con Ruffini.

Scomporre in fattori: da dove partire

Scomporre (o fattorizzare) un polinomio vuol dire scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso. Un polinomio che non si può scomporre si dice irriducibile. La forma scomposta serve per semplificare le frazioni algebriche, per risolvere equazioni e disequazioni (moduli 3 e 4) e per studiare il segno di un'espressione.

La tabella riassume quale metodo provare guardando la forma del polinomio.

come si presenta	metodo	esempio
un fattore comune a tutti i termini	raccoglimento totale	$6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$
due quadrati separati dal meno	differenza di quadrati	$4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$
due cubi	somma o differenza di cubi	$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$
tre termini: due quadrati e il loro doppio prodotto	quadrato di binomio	$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$
tre termini del tipo $x^2 + Sx + P$	somma e prodotto	$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$
quattro termini: due cubi e i due tripli prodotti	cubo di binomio	$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$
quattro termini con fattori comuni a coppie	raccoglimento parziale	$x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x + 1)(x^2 + 2)$
nessuno dei casi precedenti	Ruffini	$x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$

Raccoglimento totale e parziale

Scomposizione con i prodotti notevoli

Esempio 2.14 Quadrati e cubi di binomio

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ : $x^2$ e $25$ sono i quadrati di $x$ e di $5$ , e il termine centrale è il doppio prodotto $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ , con il segno meno.
$12x^2 + 12x + 3 = 3(4x^2 + 4x + 1) = 3(2x + 1)^2$ .
$x^6 - 6x^3 + 9 = (x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot 3 + 3^2 = (x^3 - 3)^2$ : i prodotti notevoli funzionano anche con potenze più alte.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3$ : $x^3$ e $-8 = (-2)^3$ sono cubi, e i termini centrali sono $3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2$ e $3 \cdot x \cdot 2^2 = 12x$ , con i segni alterni.

Il trinomio somma e prodotto

Radici e scomposizione con Ruffini

Se $a$ è una radice di $P(x)$ , per il teorema di Ruffini $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$ , e il quoziente $Q(x)$ si trova proprio con la regola di Ruffini. Il problema è trovare una radice: per quelle razionali c'è un criterio preciso.

Esempio 2.18

P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6

Candidati: i divisori di $6$ , cioè $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . La somma dei coefficienti è $1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , quindi $P(1) = 0$ e $x - 1$ è un fattore.

\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -2 & -5 & 6 \\ 1 & & 1 & -1 & -6 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array}

Quoziente $x^2 - x - 6$ , che si scompone con somma $-1$ e prodotto $-6$ : $(x - 3)(x + 2)$ . In conclusione

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

Controllo con due valori: per $x = 0$ il prodotto vale $(-1)(-3)(2) = 6$ e $P(0) = 6$ ; per $x = 2$ vale $(1)(-1)(4) = -4$ e $P(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$ . Le radici $-2$ , $1$ e $3$ sono i punti in cui il grafico di $y = P(x)$ taglia l'asse $x$ .

−2−1123−6−4−22468xy

O

y = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

taglia l'asse

x

nelle radici

-2

1

3

Esempio 2.19 Coefficiente direttivo diverso da 1:

P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2

Candidati: $\pm1, \pm2, \pm\tfrac12$ . Provo: $P(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2$ , no. $P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0$ , sì.

\begin{array}{c|ccc|c} & 2 & -3 & -3 & 2 \\ -1 & & -2 & 5 & -2 \\ \hline & 2 & -5 & 2 & 0 \end{array}

Quoziente $2x^2 - 5x + 2$ : servono somma $-5$ e prodotto $2 \cdot 2 = 4$ , cioè $-4$ e $-1$ . Quindi $2x^2 - 4x - x + 2 = 2x(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(2x - 1)$ . Risultato: $P(x) = (x + 1)(x - 2)(2x - 1)$ . Le radici sono $-1$ , $2$ e $\tfrac12$ : la radice frazionaria $\tfrac12$ corrisponde al fattore $2x - 1 = 2\left(x - \tfrac12\right)$ .

Polinomi irriducibili

−3−2−112−2246xy

O

y = x^2 + x + 1

(irriducibile) non tocca l'asse

x

; in rosso

y = x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Frazioni algebriche

Nella prova Polinomi e scomposizione

"Quale delle seguenti è la scomposizione di…" (per esempio a scelta una su quattro): invece di scomporre, controlla le opzioni. Con $x = 0$ confronti i termini noti, con $x = 1$ la somma dei coefficienti: spesso bastano per scartare tre opzioni.
Resto della divisione per $x - a$ (per esempio a risposta numerica): non fare la divisione, calcola $P(a)$ . Se il divisore ha grado 2 o più questa scorciatoia non vale: serve la divisione in colonna.
Parametro per la divisibilità per $x - a$ (anche a risposta numerica): imponi $P(a) = 0$ e risolvi l'equazione nel parametro, di solito di primo grado.
Vero/falso su identità come $(a - b)^2 = a^2 - b^2$ o $a^3 + b^3 = (a + b)^3$ : prova con numeri piccoli, per esempio $a = 2$ e $b = 1$ .
Scelta multipla sui fattori: $x - a$ è un fattore se e solo se $P(a) = 0$ ; controlla ogni opzione così.
Frazioni algebriche: diffida delle opzioni che semplificano addendi o dimenticano le C.E.

Esercizi

Esercizio 2.1BaseRiconoscere i polinomi

Per ogni espressione di' se è un polinomio in $x$ ; se lo è, indica grado, coefficiente direttivo e termine noto.

$5 - 2x^3 + x^2$
$x^2 + \dfrac3x$
$\sqrt3\,x^4 - x$
$7$
$\sqrt{x} + 1$

Soluzione

È un polinomio. Ordinato: $-2x^3 + x^2 + 5$ . Grado 3, coefficiente direttivo $-2$ , termine noto $5$ .
Non è un polinomio: $\tfrac3x = 3x^{-1}$ ha esponente negativo.
È un polinomio di grado 4, con coefficiente direttivo $\sqrt3$ (un coefficiente irrazionale va benissimo) e termine noto $0$ .
È un polinomio di grado 0 (una costante): coefficiente direttivo e termine noto coincidono e valgono $7$ .
Non è un polinomio: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ha esponente frazionario.

Esercizio 2.2BaseSomma e differenza

Dati $A(x) = 2x^3 - x^2 + 4$ e $B(x) = x^3 + 3x^2 - 5x - 1$ , calcola $A + B$ , $A - B$ e $B - A$ .

Soluzione

$A + B = (2 + 1)x^3 + (-1 + 3)x^2 - 5x + (4 - 1) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 3$ .
$A - B = 2x^3 - x^2 + 4 - x^3 - 3x^2 + 5x + 1 = x^3 - 4x^2 + 5x + 5$ (il meno davanti a $B$ cambia tutti i suoi segni).
$B - A$ è l'opposto di $A - B$ : $-x^3 + 4x^2 - 5x - 5$ .

Esercizio 2.3BaseProdotti

Calcola: $(x - 4)(2x + 3)$ ; $(2x - 3)^2$ ; $(x + 1)^3$ ; $(5 - x)(5 + x)$ .

Soluzione

$(x - 4)(2x + 3) = 2x^2 + 3x - 8x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$ .
$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ : il doppio prodotto è $2 \cdot 2x \cdot (-3) = -12x$ .
$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ .
$(5 - x)(5 + x) = 25 - x^2$ .

Esercizio 2.4BaseRaccoglimenti

Scomponi: $4x^3 - 8x^2$ ; $10x^4 + 15x^3 + 5x^2$ ; $x(x - 1) + 3(x - 1)$ .

Soluzione

$4x^3 - 8x^2 = 4x^2(x - 2)$ .
$10x^4 + 15x^3 + 5x^2 = 5x^2(2x^2 + 3x + 1)$ . Il trinomio si scompone ancora: somma $3$ e prodotto $2 \cdot 1 = 2$ danno $2$ e $1$ , quindi $2x^2 + 2x + x + 1 = 2x(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)(2x + 1)$ . Risultato: $5x^2(x + 1)(2x + 1)$ .
$x(x - 1) + 3(x - 1) = (x - 1)(x + 3)$ .

Esercizio 2.5BaseRuffini

Dividi $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ per $x - 3$ con la regola di Ruffini. Che cosa puoi concludere? Poi scomponi $P(x)$ completamente.

Soluzione

\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -4 & 1 & 6 \\ 3 & & 3 & -3 & -6 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array}

Quoziente $x^2 - x - 2$ , resto $0$ : $P(x)$ è divisibile per $x - 3$ , cioè $3$ è una radice. Infatti $P(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$ . Il quoziente si scompone con somma $-1$ e prodotto $-2$ , cioè $-2$ e $1$ . Quindi $P(x) = (x - 3)(x - 2)(x + 1)$ .

Esercizio 2.6MedioProdotti notevoli al contrario

Scomponi: $25x^2 - 1$ ; $x^2 - 12x + 36$ ; $2x^3 - 50x$ ; $x^3 - 64$ ; $27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$ .

Soluzione

$25x^2 - 1 = (5x - 1)(5x + 1)$ .
$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$ .
$2x^3 - 50x = 2x(x^2 - 25) = 2x(x - 5)(x + 5)$ : prima il raccoglimento, poi la differenza di quadrati.
$x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)$ .
$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = (3x + 1)^3$ . Controllo: $(3x)^3 = 27x^3$ , $3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 = 27x^2$ , $3 \cdot 3x \cdot 1^2 = 9x$ , $1^3 = 1$ .

Esercizio 2.7MedioTrinomi

Scomponi: $x^2 + 8x + 15$ ; $x^2 - 2x - 24$ ; $x^2 - 11x + 30$ ; $3x^2 - 6x - 9$ ; $3x^2 + 5x - 2$ .

Soluzione

$x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)$ : somma 8, prodotto 15.
$x^2 - 2x - 24 = (x - 6)(x + 4)$ : prodotto negativo, quindi segni opposti; somma $-2$ .
$x^2 - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)$ .
$3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$ : prima si raccoglie il 3.
$3x^2 + 5x - 2$ : servono somma $5$ e prodotto $3 \cdot (-2) = -6$ , cioè $6$ e $-1$ . Quindi $3x^2 + 6x - x - 2 = 3x(x + 2) - (x + 2) = (x + 2)(3x - 1)$ .

Esercizio 2.8MedioRaccoglimento parziale

Scomponi: $x^3 + 5x^2 - 4x - 20$ ; $ab - 2a + 3b - 6$ ; $x^3 - x^2 + x - 1$ .

Soluzione

$x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = x^2(x + 5) - 4(x + 5) = (x + 5)(x^2 - 4) = (x + 5)(x - 2)(x + 2)$ .
$ab - 2a + 3b - 6 = a(b - 2) + 3(b - 2) = (b - 2)(a + 3)$ .
$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$ , e $x^2 + 1$ è irriducibile.

Esercizio 2.9MedioTeorema del resto

Senza fare la divisione, trova il resto di $(x^5 - 3x^2 + 2) : (x + 1)$ .
Trova $k$ in modo che $x^3 + kx^2 - 4$ sia divisibile per $x - 2$ .

Soluzione

Con $P(x) = x^5 - 3x^2 + 2$ : il divisore si annulla per $x = -1$ , quindi il resto è $P(-1) = (-1)^5 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2$ .
Con $P(x) = x^3 + kx^2 - 4$ serve $P(2) = 0$ : $8 + 4k - 4 = 0$ , cioè $4k = -4$ e $k = -1$ . Controllo: $x^3 - x^2 - 4$ in $2$ vale $8 - 4 - 4 = 0$ .

Esercizio 2.10MedioRuffini due volte

Scomponi $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$ .

Soluzione

Candidati: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . La somma dei coefficienti è $1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0$ , quindi $P(1) = 0$ .

\begin{array}{c|cccc|c} & 1 & -1 & -7 & 1 & 6 \\ 1 & & 1 & 0 & -7 & -6 \\ \hline & 1 & 0 & -7 & -6 & 0 \end{array}

$P(x) = (x - 1)(x^3 - 7x - 6)$ . Per $Q(x) = x^3 - 7x - 6$ provo $-1$ : $Q(-1) = -1 + 7 - 6 = 0$ .

\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 0 & -7 & -6 \\ -1 & & -1 & 1 & 6 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array}

$Q(x) = (x + 1)(x^2 - x - 6) = (x + 1)(x - 3)(x + 2)$ . In conclusione

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2)

Esercizio 2.11Livello provaRiconoscere la scomposizione giusta

Quale delle seguenti è la scomposizione di $x^2 - 2x - 15$ ? (a) $(x + 5)(x - 3)$ (b) $(x - 5)(x + 3)$ (c) $(x - 5)(x - 3)$ (d) $(x - 15)(x + 1)$

Soluzione

Metodo veloce: il termine noto è $-15$ , quindi i due numeri hanno segni opposti e la (c), che ha prodotto $+15$ , è da scartare. La somma deve essere $-2$ : nella (a) è $5 - 3 = 2$ , nella (d) è $-15 + 1 = -14$ , nella (b) è $-5 + 3 = -2$ . Risposta (b). Controllo: $(x - 5)(x + 3) = x^2 + 3x - 5x - 15 = x^2 - 2x - 15$ .

Esercizio 2.12Livello provaSemplificare una frazione algebrica

Semplifica $\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}$ , con le condizioni di esistenza, e calcolane il valore per $x = 3$ .

Soluzione

Numeratore: $(x - 2)^2$ . Denominatore: $(x - 2)(x + 2)$ . C.E.: $x \ne 2$ e $x \ne -2$ .

\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 2}{x + 2}

Per $x = 3$ , che rispetta le C.E.: $\dfrac{3 - 2}{3 + 2} = \dfrac15$ .

Esercizio 2.13Livello provaSomma di frazioni algebriche

Calcola $\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{4}{x^2 - 1}$ e semplifica il risultato.

Soluzione

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ , quindi le C.E. sono $x \ne 1$ e $x \ne -1$ , e il denominatore comune è $(x - 1)(x + 1)$ :

\frac{2(x + 1) - 4}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2x - 2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2}{x + 1}

con $x \ne 1$ e $x \ne -1$ .

Esercizio 2.14Livello provaUn parametro

Per quale valore di $k$ il polinomio $x^3 - kx + 6$ è divisibile per $x + 2$ ? Con quel valore di $k$ , scomponi il polinomio.

Soluzione

Chiamo $P(x) = x^3 - kx + 6$ . Il divisore si annulla per $x = -2$ , quindi serve $P(-2) = 0$ : $(-2)^3 - k \cdot (-2) + 6 = -8 + 2k + 6 = 2k - 2 = 0$ , quindi $k = 1$ . Con $k = 1$ il polinomio è $x^3 - x + 6$ , con coefficienti $1, 0, -1, 6$ . Ruffini con $-2$ :

\begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 0 & -1 & 6 \\ -2 & & -2 & 4 & -6 \\ \hline & 1 & -2 & 3 & 0 \end{array}

Quindi $x^3 - x + 6 = (x + 2)(x^2 - 2x + 3)$ . Il secondo fattore è irriducibile: $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$ vale sempre almeno 2.

Esercizio 2.15Livello provaVero o falso

$x^2 + 9 = (x + 3)^2$ .
$x^2 + 9$ non si può scrivere come prodotto di due polinomi di primo grado a coefficienti reali.
$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ .
$(x - y)^2 = (y - x)^2$ .
$x^4 - 1 = (x^2 - 1)^2$ .

Soluzione

Falso: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ . Con $x = 1$ si vede subito: $10 \ne 16$ .
Vero: $x^2 + 9 \ge 9$ per ogni $x$ reale, quindi non ha radici e non ha fattori di primo grado.
Vero: è la differenza di cubi con $A = x$ e $B = 1$ .
Vero: $y - x = -(x - y)$ e il quadrato cancella il segno.
Falso: $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ . Con $x = 0$ : $-1 \ne 1$ .

Esercizio 2.16Livello provaUna radice frazionaria

Verifica che $\tfrac23$ è una radice di $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ . Quale fattore di primo grado compare di sicuro nella scomposizione? Scomponi $P(x)$ .

Soluzione

$P\left(\tfrac23\right) = 3 \cdot \tfrac{8}{27} - 2 \cdot \tfrac49 + 3 \cdot \tfrac23 - 2 = \tfrac89 - \tfrac89 + 2 - 2 = 0$ . Per il teorema di Ruffini compare il fattore $x - \tfrac23$ , o equivalentemente $3x - 2 = 3\left(x - \tfrac23\right)$ . Con un raccoglimento parziale:

3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 = x^2(3x - 2) + (3x - 2) = (3x - 2)(x^2 + 1)

e $x^2 + 1$ è irriducibile.

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Refusi noti in questo materiale

Nel materiale di questo modulo sono stati trovati alcuni refusi, verificati sulle pagine e sui PDF originali; negli appunti c'è la versione corretta.

Libro 2.1, raccoglimento totale: $15x^3 + 3x^2 - 6x = 3x(5x^2 + x - 2)$ , non $3x(5x^3 + x^2 - 2)$ .
Soluzioni 2.1, esercizio 3: $(2x^3 - 10x^2 + 3x - 15) : (x - 5)$ dà quoziente $2x^2 + 3$ (resto $0$ ), non $2x^3 + 3$ .
Soluzioni 2.1, esercizio 6: $8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 = (2x + 3)^3$ , non $(2x + 3)^2$ : il testo stesso parla di cubo di un binomio.

I refusi di tutti i moduli, con le avvertenze.

Polinomi e scomposizione

#In breve

#2.1 Polinomi e fattorizzazione

#Monomi

#Che cos'è un polinomio

#Somma e differenza

#Prodotto

#Prodotti notevoli

#Divisione tra polinomi

#La regola di Ruffini

#Teorema del resto e teorema di Ruffini

#Scomporre in fattori: da dove partire

#Raccoglimento totale e parziale

#Scomposizione con i prodotti notevoli

#Il trinomio somma e prodotto

#Radici e scomposizione con Ruffini

#Polinomi irriducibili

#Frazioni algebriche

#Esercizi

#Quiz di verifica

#Checklist

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Refusi noti in questo materiale

In breve

2.1 Polinomi e fattorizzazione

Monomi

Che cos'è un polinomio

Somma e differenza

Prodotto

Prodotti notevoli

Divisione tra polinomi

La regola di Ruffini

Teorema del resto e teorema di Ruffini

Scomporre in fattori: da dove partire

Raccoglimento totale e parziale

Scomposizione con i prodotti notevoli

Il trinomio somma e prodotto

Radici e scomposizione con Ruffini

Polinomi irriducibili

Frazioni algebriche

Esercizi

Quiz di verifica

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