Modulo 8. Trigonometria — OFA di matematica

In breve

$180^\circ$ corrispondono a $\pi$ radianti: per passare dai gradi ai radianti si moltiplica per $\frac{\pi}{180}$ , per tornare indietro per $\frac{180}{\pi}$ .
Sulla circonferenza goniometrica (centro nell'origine, raggio 1) il punto dell'angolo $x$ è $P = (\cos x, \sin x)$ ; la tangente è $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .
Relazione fondamentale: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Il segno di seno, coseno e tangente dipende dal quadrante.
I valori di $0$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{2}$ vanno saputi a memoria; gli altri angoli si riportano al primo quadrante con gli archi associati.
Le formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione danno i valori esatti di angoli come $15^\circ$ o $105^\circ$ .
Seno e coseno hanno periodo $2\pi$ e valori in $[-1, 1]$ ; la tangente ha periodo $\pi$ e non esiste in $\frac{\pi}{2} + k\pi$ , con $k$ intero.
$\sin x = c$ e $\cos x = c$ hanno soluzioni solo se $-1 \leq c \leq 1$ , e allora ne hanno infinite: si scrivono con $+2k\pi$ ( $+k\pi$ per la tangente). Le disequazioni si risolvono leggendo archi sulla circonferenza.
Nel triangolo rettangolo un cateto è l'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto; in ogni triangolo valgono il teorema del coseno e il teorema dei seni.

Introduzione: circonferenza goniometrica e angoli

La circonferenza goniometrica

Gli angoli si disegnano con il vertice nell'origine. Il primo lato è sempre il semiasse positivo delle $x$ , cioè va verso il punto $A = (1, 0)$ ; il secondo lato taglia la circonferenza in un punto $P$ . A ogni angolo corrispondono un solo punto $P$ e un arco $AP$ . Per convenzione:

ruotando in senso antiorario si ottengono angoli positivi;
ruotando in senso orario si ottengono angoli negativi.

Gli angoli si indicano spesso con lettere greche: $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gamma), $\theta$ (theta). Quando si studiano le funzioni si usa anche la solita $x$ . Gli assi dividono il piano in quattro quadranti, numerati in senso antiorario: il I va da $0^\circ$ a $90^\circ$ , il II da $90^\circ$ a $180^\circ$ , il III da $180^\circ$ a $270^\circ$ , il IV da $270^\circ$ a $360^\circ$ .

−11−11xy

O

\alpha

A

P

IIIIIIIV

La circonferenza goniometrica e l'angolo

\alpha = 120^\circ

, nel II quadrante

Gradi e radianti

Una circonferenza di raggio $r$ è lunga $2\pi r$ , cioè contiene $2\pi$ volte il raggio: l'angolo giro misura quindi $2\pi$ radianti. Il numero $\pi$ («pi greco») vale circa $3{,}14$ . Dunque $360^\circ$ corrispondono a $2\pi$ radianti e $180^\circ$ a $\pi$ radianti. Quando un angolo è scritto senza unità di misura, è in radianti.

Gradi	Radianti	Gradi	Radianti
$0^\circ$	$0$	$180^\circ$	$\pi$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$210^\circ$	$\frac{7\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$225^\circ$	$\frac{5\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$240^\circ$	$\frac{4\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$300^\circ$	$\frac{5\pi}{3}$
$135^\circ$	$\frac{3\pi}{4}$	$315^\circ$	$\frac{7\pi}{4}$
$150^\circ$	$\frac{5\pi}{6}$	$330^\circ$	$\frac{11\pi}{6}$

Un trucco: i multipli di $30^\circ$ si scrivono con $\pi$ fratto 6 (o fratto 3, o fratto 2), i multipli di $45^\circ$ con $\pi$ fratto 4. Per esempio $210^\circ = 7 \cdot 30^\circ$ , quindi $\frac{7\pi}{6}$ . L'angolo giro, $360^\circ$ , è $2\pi$ .

Angoli maggiori di un giro e angoli negativi

Aggiungendo o togliendo un giro completo ( $2\pi$ , cioè $360^\circ$ ) si torna nello stesso punto $P$ . Quindi gli angoli $x$ e $x + 2k\pi$ , dove $k$ è un numero intero qualsiasi, corrispondono allo stesso punto. Si scrive $k \in \Z$ , dove $\in$ si legge «appartiene a» e $\Z$ è l'insieme dei numeri interi $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ (il simbolo $\pm$ si legge «più o meno»).

8.1 Funzioni trigonometriche

Seno e coseno

Se $H$ è la proiezione di $P$ sull'asse $x$ , il segmento $OH$ misura $|\cos x|$ e il segmento $HP$ misura $|\sin x|$ . Il segno dice da che parte sta $P$ : il coseno è positivo a destra dell'asse $y$ , il seno è positivo sopra l'asse $x$ .

−11xy

O

\cos x

\sin x

x

P

H

A

\cos x

è l'ascissa di

P

\sin x

è la sua ordinata

Regola 8.2 Valori limitati e angoli sugli assi

Poiché $P$ sta su una circonferenza di raggio 1, seno e coseno sono sempre compresi tra $-1$ e $1$ :

-1 \leq \sin x \leq 1 \qquad\qquad -1 \leq \cos x \leq 1

$x$	$0$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
punto $P$	$(1, 0)$	$(0, 1)$	$(-1, 0)$	$(0, -1)$	$(1, 0)$
$\cos x$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$

I nomi vengono dal latino: «seno» da sinus (insenatura, piega), «coseno» da complementi sinus, il seno dell'angolo complementare. Infatti, come vedremo, $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ .

Tangente e cotangente

Significato geometrico. Traccia la retta tangente alla circonferenza nel punto $A$ (il nome viene dal latino tangere, «toccare»): è la retta verticale $x = 1$ . La retta $OP$ la incontra in un punto $R$ , e l'ordinata di $R$ è $\tan x$ . Se $P$ sta a sinistra dell'asse $y$ (II e III quadrante), per arrivare a $R$ bisogna prolungare $OP$ dall'altra parte, oltre l'origine. Il motivo: i triangoli $OHP$ e $OAR$ sono simili, quindi $\frac{AR}{OA} = \frac{HP}{OH}$ ; poiché $OA = 1$ , si ottiene $AR = \frac{\sin x}{\cos x}$ (a meno del segno). Allo stesso modo la retta orizzontale $y = 1$ è tangente alla circonferenza nel punto $B = (0, 1)$ : la retta $OP$ la incontra in un punto che ha ascissa $\operatorname{cotan} x$ .

−111xy

O

\tan x

x

P

R

A

La tangente di

x

è l'ordinata del punto

R

, sulla retta

x = 1

Collegamento con la retta. La tangente è la pendenza della retta $OP$ . In generale, una retta che forma un angolo $\alpha$ con il semiasse positivo delle $x$ ha coefficiente angolare $m = \tan\alpha$ . Per esempio $y = \sqrt{3}\,x$ forma un angolo di $60^\circ$ con l'asse $x$ , perché $\tan 60^\circ = \sqrt3$ ; la bisettrice $y = x$ forma un angolo di $45^\circ$ .

Regola 8.3 Segni nei quadranti

Quadrante	I	II	III	IV
$\sin x$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos x$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\tan x$ e $\operatorname{cotan} x$	$+$	$-$	$+$	$-$

La relazione fondamentale

La scrittura $\sin^2 x$ significa $(\sin x)^2$ , il quadrato del seno; non è $\sin(x^2)$ . Dalla relazione fondamentale si ricavano $\cos x = \pm\sqrt{1 - \sin^2 x}$ e $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$ : il segno giusto si sceglie guardando il quadrante.

Valori notevoli

Regola 8.5 Tabella dei valori notevoli

Angolo	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\operatorname{cotan}$
$0$ ( $0^\circ$ )	$0$	$1$	$0$	non esiste
$\frac{\pi}{6}$ ( $30^\circ$ )	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{4}$ ( $45^\circ$ )	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$\frac{\pi}{3}$ ( $60^\circ$ )	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi}{2}$ ( $90^\circ$ )	$1$	$0$	non esiste	$0$
$\pi$ ( $180^\circ$ )	$0$	$-1$	$0$	non esiste
$\frac{3\pi}{2}$ ( $270^\circ$ )	$-1$	$0$	non esiste	$0$

Da dove vengono. Per $45^\circ$ il triangolo $OHP$ è rettangolo e isoscele, con ipotenusa 1: i cateti sono uguali e, chiamata $\ell$ la loro lunghezza, per il teorema di Pitagora $2\ell^2 = 1$ , quindi $\ell = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$ . Per $30^\circ$ e $60^\circ$ si usa metà di un triangolo equilatero di lato 1: ha lati $1$ e $\frac12$ e altezza $\sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ ; il lato $\frac12$ sta di fronte all'angolo di $30^\circ$ . Infine $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1/2}{\sqrt3/2} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ , razionalizzando.

Per ricordarli. I seni di $0^\circ$ , $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ sono $\frac{\sqrt0}{2}$ , $\frac{\sqrt1}{2}$ , $\frac{\sqrt2}{2}$ , $\frac{\sqrt3}{2}$ , $\frac{\sqrt4}{2}$ ; i coseni sono gli stessi numeri in ordine inverso.

0,510,51xy

O

\left(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12\right)

\left(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2}\right)

\left(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)

I punti degli angoli

\frac{\pi}{6}

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{3}

Archi associati

Per calcolare seno, coseno e tangente di un angolo qualsiasi lo si riporta a un angolo del primo quadrante, sfruttando le simmetrie della circonferenza. Gli angoli $x$ , $\pi - x$ , $\pi + x$ e $-x$ hanno punti simmetrici: cambiano solo i segni delle coordinate.

−11xy

O

x

\pi - x

\pi + x

-x

I punti di

x

\pi - x

\pi + x

-x

(qui

x = \frac{\pi}{6}

)

Regola 8.6 Formule degli archi associati

Angolo	Simmetria del punto	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$-x$ (opposto)	rispetto all'asse $x$	$-\sin x$	$\cos x$	$-\tan x$
$\pi - x$ (supplementare)	rispetto all'asse $y$	$\sin x$	$-\cos x$	$-\tan x$
$\pi + x$	rispetto all'origine	$-\sin x$	$-\cos x$	$\tan x$
$2\pi - x$	rispetto all'asse $x$	$-\sin x$	$\cos x$	$-\tan x$
$\frac{\pi}{2} - x$ (complementare)	rispetto alla retta $y = x$	$\cos x$	$\sin x$	$\operatorname{cotan} x$

Inoltre, per la periodicità, $x + 2k\pi$ ha gli stessi valori di $x$ .

Esempio 8.5 Angoli ridotti al primo quadrante

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac12$ .
$\cos\frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2}$ .
$\tan\frac{2\pi}{3} = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt3$ .
$\cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}$ .
$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt3}{2}$ .
$\sin\frac{19\pi}{6}$ : tolgo un giro, $\frac{19\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ , quindi $\sin\frac{19\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac12$ .
In gradi: $\cos 300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac12$ .

Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione

Regola 8.7 Formule trigonometriche

Addizione e sottrazione

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

Nel coseno il segno si inverte: il simbolo $\mp$ vuol dire «meno quando a sinistra c'è più, più quando a sinistra c'è meno».

Duplicazione

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1

Bisezione

\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}

Il segno di $\sin\frac{\alpha}{2}$ e di $\cos\frac{\alpha}{2}$ dipende dal quadrante in cui cade $\frac{\alpha}{2}$ .

Le formule di duplicazione sono quelle di addizione con $\beta = \alpha$ ; le altre due forme di $\cos 2\alpha$ si ottengono dalla relazione fondamentale. Le formule di bisezione si ricavano da $\cos 2\beta = 1 - 2\sin^2\beta$ e da $\cos 2\beta = 2\cos^2\beta - 1$ ponendo $\beta = \frac{\alpha}{2}$ .

Esempio 8.6 Addizione e sottrazione

$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ\sin 30^\circ$ :

\sin 15^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}

$\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ\cos 45^\circ - \sin 60^\circ\sin 45^\circ$ :

\cos 105^\circ = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2 - \sqrt6}{4}

Il risultato è negativo, come deve essere: $105^\circ$ è nel II quadrante.

Per la tangente basta il rapporto tra seno e coseno. Con lo stesso calcolo, ma con il più, $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$ . Quindi:

\tan 15^\circ = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{\sqrt6 + \sqrt2} = \frac{\left(\sqrt6 - \sqrt2\right)^2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt3}{4} = 2 - \sqrt3

Nel secondo passaggio si moltiplicano numeratore e denominatore per $\sqrt6 - \sqrt2$ , per togliere le radici dal denominatore.

Grafici e caratteristiche

Ora l'angolo $x$ (in radianti) varia su tutti i numeri reali e guardiamo $y = \sin x$ , $y = \cos x$ , $y = \tan x$ come funzioni, con gli strumenti del modulo 6. La loro caratteristica principale è che sono periodiche: ripetono gli stessi valori a intervalli regolari, e per questo descrivono bene i fenomeni che oscillano.

Regola 8.8 Caratteristiche delle funzioni trigonometriche

Funzione	Dominio	Immagine	Periodo	Simmetria	Zeri
$y = \sin x$	$\R$	$[-1, 1]$	$2\pi$	dispari	$x = k\pi$
$y = \cos x$	$\R$	$[-1, 1]$	$2\pi$	pari	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
$y = \tan x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$	$\R$	$\pi$	dispari	$x = k\pi$
$y = \operatorname{cotan} x$	$x \neq k\pi$	$\R$	$\pi$	dispari	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Seno e coseno sono continue e limitate. Tangente e cotangente non sono limitate: vicino ai punti esclusi dal dominio il grafico ha asintoti verticali. La tangente è crescente in ogni intervallo $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$ , la cotangente è decrescente in ogni intervallo $(k\pi, \pi + k\pi)$ .

Il periodo del seno è $2\pi$ perché dopo un giro completo si torna nello stesso punto. La tangente ha periodo $\pi$ : i punti di $x$ e di $x + \pi$ sono simmetrici rispetto all'origine, seno e coseno cambiano entrambi segno e il loro rapporto resta uguale.

−3π/2−π−π/2π/2π3π/2−1−0,50,51xy

O

y = \sin x

y = \cos x

y = \sin x

y = \cos x

(in rosso): la stessa onda, spostata di

\frac{\pi}{2}

−π−π/2π/2π−3−2−1123xy

O

y = \tan x

: periodo

\pi

, asintoti verticali in

x = \frac{\pi}{2} + k\pi

La cotangente ha lo stesso periodo $\pi$ , ma i suoi asintoti sono nei punti $x = k\pi$ , dove il seno si annulla, e in ogni ramo scende invece di salire.

−π−π/2π/2π−3−2−1123xy

O

y = \operatorname{cotan} x

: periodo

\pi

, asintoti verticali in

x = k\pi

−π/2π/2π3π/2−3−2−1123xy

O

y = \sin x

(in grigio) e

y = 3\sin(2x)

(in rosso): ampiezza 3, periodo

\pi

Nella prova Funzioni trigonometriche nelle domande del test

Valori (una su quattro o risposta numerica): prima decidi il segno con il quadrante, poi il valore assoluto con l'angolo di riferimento. Gli errori più frequenti sono il segno sbagliato e lo scambio tra $\frac12$ e $\frac{\sqrt3}{2}$ : controlla proprio questi due punti prima di scegliere.
Identità vere o false: prova con angoli comodi ( $0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{4}$ ). Se l'uguaglianza non vale per un angolo, è falsa. Attenzione: se vale per un angolo, non è ancora detto che valga per tutti.
Periodo: per $\sin(\omega x)$ e $\cos(\omega x)$ è $\frac{2\pi}{|\omega|}$ ; il coefficiente davanti cambia solo l'ampiezza.
Disegna la circonferenza: uno schizzo con il punto $P$ risolve la maggior parte dei dubbi sui segni.

8.2 Equazioni e disequazioni trigonometriche

Equazioni elementari

In un'equazione trigonometrica l'incognita $x$ , che rappresenta un angolo, compare dentro seno, coseno o tangente. Sono equazioni trascendenti, come quelle del modulo 7. Per la periodicità, se un'equazione trigonometrica ha una soluzione ne ha infinite: si scrivono tutte insieme usando $k \in \Z$ .

Perché: sulla circonferenza i punti con ordinata $c$ sono due, simmetrici rispetto all'asse $y$ (angoli $\alpha$ e $\pi - \alpha$ ); i punti con ascissa $c$ sono due, simmetrici rispetto all'asse $x$ (angoli $\alpha$ e $-\alpha$ ); la tangente si ripete dopo mezzo giro.

−11xy

O

\frac{\pi}{3}

\frac{2\pi}{3}

\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}

: i punti con ordinata

\frac{\sqrt3}{2}

sono due

Regola 8.11 Casi particolari

Equazione	Soluzioni
$\sin x = 0$	$x = k\pi$
$\sin x = 1$	$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$\sin x = -1$	$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$
$\cos x = 0$	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\cos x = 1$	$x = 2k\pi$
$\cos x = -1$	$x = \pi + 2k\pi$

In questi casi le due famiglie di soluzioni coincidono o si fondono in una sola.

Esempio 8.10 Equazioni elementari

$\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ : $\alpha = \frac{\pi}{3}$ , e anche $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ . Soluzioni: $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ oppure $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ .
$2\cos x + 1 = 0$ : $\cos x = -\frac12$ , con $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ . Soluzioni: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ; nel primo giro sono $\frac{2\pi}{3}$ e $\frac{4\pi}{3}$ .
$\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$ : $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ , e $\pi - \alpha = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ . Soluzioni: $x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$ oppure $x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ ; nel primo giro $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4}$ .
$\tan x = -\sqrt3$ : $\alpha = -\frac{\pi}{3}$ , quindi $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$ ; nel primo giro $\frac{2\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$ .
$\cos x = 2$ : impossibile, il coseno non supera 1.
$\sin 2x = \frac12$ : l'argomento è $2x$ . $2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ oppure $2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ ; dividendo tutto per 2, $x = \frac{\pi}{12} + k\pi$ oppure $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$ . Nel primo giro le soluzioni sono quattro: $\frac{\pi}{12}$ , $\frac{5\pi}{12}$ , $\frac{13\pi}{12}$ , $\frac{17\pi}{12}$ .
$\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$ : $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , quindi $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$ .

Equazioni con la stessa funzione nei due membri

Equazioni riconducibili a quelle elementari

Equazioni lineari in seno e coseno

Sono le equazioni della forma $a\sin x + b\cos x + c = 0$ , con $a$ , $b$ , $c$ numeri.

Se $c = 0$ l'equazione è omogenea: con $a \neq 0$ , i valori con $\cos x = 0$ non sono soluzioni (lì $\sin x = \pm 1$ ), quindi si può dividere per $\cos x$ e si ottiene $\tan x = -\frac{b}{a}$ , come nell'esempio $\sqrt3\sin x = \cos x$ visto sopra.
In generale si pone $X = \cos x$ e $Y = \sin x$ e si mette a sistema l'equazione con la relazione fondamentale:

\begin{cases} aY + bX + c = 0 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases}

È l'intersezione tra una retta e la circonferenza goniometrica, come nel modulo 5: nel disegno l'ascissa di un punto è $X = \cos x$ e la sua ordinata è $Y = \sin x$ . Ogni punto di intersezione dà un angolo.

In alternativa si usano le formule parametriche: posto $t = \tan\frac{x}{2}$ ,

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

Valgono solo se $\tan\frac{x}{2}$ esiste, cioè per $x \neq \pi + 2k\pi$ : per questo, prima di sostituire, bisogna controllare a parte se $x = \pi$ è una soluzione.

Esempio 8.19 Metodo del sistema

$\sqrt3\sin x + \cos x = 1$ . Con $X = \cos x$ e $Y = \sin x$ :

\begin{cases} \sqrt{3}\,Y + X = 1 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases}

Dalla prima $X = 1 - \sqrt3\,Y$ . Sostituisco nella seconda: $(1 - \sqrt3\,Y)^2 + Y^2 = 1$ , cioè $1 - 2\sqrt3\,Y + 3Y^2 + Y^2 = 1$ , quindi $4Y^2 - 2\sqrt3\,Y = 0$ e $2Y(2Y - \sqrt3) = 0$ .

$Y = 0$ dà $X = 1$ : il punto $A = (1, 0)$ , cioè $x = 2k\pi$ .
$Y = \frac{\sqrt3}{2}$ dà $X = 1 - \frac32 = -\frac12$ : il punto $Q = \left(-\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)$ , cioè $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ .

Controllo con $x = \frac{2\pi}{3}$ : $\sqrt3 \cdot \frac{\sqrt3}{2} - \frac12 = \frac32 - \frac12 = 1$ .

−111xy

O

A

Q

La retta

X + \sqrt{3}\,Y = 1

taglia la circonferenza nei punti

A

(angolo

0

) e

Q

(angolo

\frac{2\pi}{3}

)

Esempio 8.20 Formule parametriche

$\sin x + \cos x + 1 = 0$ .

Primo passo. Controllo $x = \pi$ : $\sin\pi + \cos\pi + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$ . È una soluzione: $x = \pi + 2k\pi$ .

Secondo passo. Per $x \neq \pi + 2k\pi$ pongo $t = \tan\frac{x}{2}$ :

\frac{2t}{1 + t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 1 = 0

Moltiplico per $1 + t^2$ , che non è mai zero: $2t + 1 - t^2 + 1 + t^2 = 0$ , cioè $2t + 2 = 0$ e $t = -1$ .

Terzo passo. $\tan\frac{x}{2} = -1$ dà $\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + k\pi$ , cioè $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ .

Soluzioni: $x = \pi + 2k\pi$ oppure $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (cioè $\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ ). Senza il controllo del primo passo avremmo perso $x = \pi$ . Con il metodo del sistema si ritrovano gli stessi punti: la retta $X + Y = -1$ taglia la circonferenza in $(-1, 0)$ e $(0, -1)$ .

Disequazioni elementari

Metodo Disequazioni con la circonferenza

Risolvi l'equazione associata nel primo giro (per esempio $\sin x = c$ ).
Sulla circonferenza individua i punti buoni: per $\sin x > c$ quelli sopra la retta orizzontale di ordinata $c$ , per $\sin x < c$ quelli sotto; per $\cos x > c$ quelli a destra della retta verticale di ascissa $c$ , per $\cos x < c$ quelli a sinistra; per la tangente usa la retta tangente in $A$ oppure il grafico di $y = \tan x$ .
Leggi gli archi in senso antiorario, da $0$ a $2\pi$ , e scrivi gli intervalli. Gli angoli trovati al punto 1 sono inclusi solo con $\geq$ o $\leq$ . Gli estremi $0$ e $2\pi$ sono inclusi quando lì la disequazione è vera, anche con $>$ o $<$ : per esempio $\cos x > \frac12$ vale in $x = 0$ , quindi si scrive $0 \leq x < \frac{\pi}{3}$ . I punti in cui la funzione non esiste non sono mai inclusi.
Se la disequazione è chiesta su tutto $\R$ , aggiungi $2k\pi$ agli estremi ( $k\pi$ per la tangente).

Esempio 8.22 Un arco che passa per lo zero

$\cos x \geq -\frac{\sqrt2}{2}$ in $[0, 2\pi]$ . L'equazione $\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}$ ha soluzioni $\frac{3\pi}{4}$ e $\frac{5\pi}{4}$ . I punti a destra della retta verticale di ascissa $-\frac{\sqrt2}{2}$ formano un arco che passa per l'angolo 0: in $[0, 2\pi]$ si spezza in due pezzi.

0 \leq x \leq \frac{3\pi}{4} \quad \text{oppure} \quad \frac{5\pi}{4} \leq x \leq 2\pi

Su tutto $\R$ è un solo intervallo che si ripete: $-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ .

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{4}

2\pi

\cos x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}

[0, 2\pi]

Disequazioni riconducibili

Esempio 8.26 Secondo grado nel coseno, con punti isolati

$2\cos^2 x - \cos x - 1 \geq 0$ in $[0, 2\pi]$ . Con $t = \cos x$ : $2t^2 - t - 1 \geq 0$ , cioè $(2t + 1)(t - 1) \geq 0$ , vera per $t \leq -\frac12$ oppure $t \geq 1$ .

$\cos x \leq -\frac12$ dà $\frac{2\pi}{3} \leq x \leq \frac{4\pi}{3}$ .
$\cos x \geq 1$ vale solo quando $\cos x = 1$ , cioè per $x = 0$ e $x = 2\pi$ .

Soluzioni: $x = 0$ , $\frac{2\pi}{3} \leq x \leq \frac{4\pi}{3}$ , $x = 2\pi$ . I due punti isolati si perdono facilmente.

0

\frac{2\pi}{3}

\frac{4\pi}{3}

2\pi

2\cos^2 x - \cos x - 1 \geq 0

[0, 2\pi]

: un intervallo e due punti isolati

Trigonometria e triangoli

La trigonometria serve a risolvere i triangoli: trovare i lati e gli angoli che non si conoscono partendo da quelli noti. In un triangolo $ABC$ chiamiamo $a$ , $b$ , $c$ i lati opposti ai vertici $A$ , $B$ , $C$ , e $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ gli angoli in $A$ , $B$ , $C$ . Così il lato $a$ sta di fronte all'angolo $\alpha$ .

C

A

B

a

b

c

\alpha

\beta

Triangolo rettangolo in

C

, con

a = 3

b = 4

e ipotenusa

c = 5

Regola 8.14 Triangolo rettangolo (angolo retto in

C

, ipotenusa

c

)

$a = c\sin\alpha = c\cos\beta$ e $b = c\sin\beta = c\cos\alpha$ : un cateto è l'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, oppure per il coseno dell'angolo acuto adiacente.
$a = b\tan\alpha = b\operatorname{cotan}\beta$ e $b = a\tan\beta = a\operatorname{cotan}\alpha$ : un cateto è l'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo, oppure per la cotangente dell'angolo adiacente al primo.
$\alpha + \beta = 90^\circ$ .

In parole: $\sin\alpha = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}$ , $\cos\alpha = \dfrac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}$ , $\tan\alpha = \dfrac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}}$ .

Esempio 8.27 Risolvere un triangolo rettangolo

Ipotenusa $c = 10$ e $\alpha = 30^\circ$ : $a = 10\sin 30^\circ = 5$ , $b = 10\cos 30^\circ = 5\sqrt3$ , $\beta = 60^\circ$ .
Cateto $b = 6$ e $\alpha = 60^\circ$ : $a = b\tan\alpha = 6\sqrt3$ e $c = \dfrac{b}{\cos\alpha} = \dfrac{6}{1/2} = 12$ . Controllo con Pitagora: $(6\sqrt3)^2 + 6^2 = 108 + 36 = 144 = 12^2$ .
Cateti $a = 1$ e $b = \sqrt3$ : $\tan\alpha = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt3}$ , quindi $\alpha = 30^\circ$ , $\beta = 60^\circ$ e l'ipotenusa è $\sqrt{1 + 3} = 2$ .

Regola 8.15 Triangolo qualsiasi

Teorema del coseno (detto anche teorema di Carnot): il quadrato di un lato è la somma dei quadrati degli altri due, meno il doppio del loro prodotto per il coseno dell'angolo che formano.

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Con un angolo retto il coseno vale 0 e si ritrova il teorema di Pitagora.

Teorema dei seni: i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

Il teorema del coseno serve quando conosci due lati e l'angolo tra loro (per trovare il terzo lato) oppure tre lati (per trovare un angolo). Il teorema dei seni serve quando conosci due angoli e un lato. Ricorda anche che $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ .

Nella prova Equazioni, disequazioni e triangoli nelle domande del test

Soluzioni scritte come famiglie: per confrontare le opzioni elenca le soluzioni tra $0$ e $2\pi$ , oppure sostituisci un valore dell'opzione nell'equazione.
Quante soluzioni in un intervallo (risposta numerica): scrivi le famiglie, prova i valori interi di $k$ ( $0, 1, 2, \ldots$ e, se serve, anche quelli negativi) e conta solo i valori di $x$ che cadono nell'intervallo. Per esempio $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$ in $[0, 2\pi)$ dà $\frac{2\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$ , con $k = 1$ e $k = 2$ .
Vero o falso sull'esistenza delle soluzioni: $\sin x = c$ e $\cos x = c$ hanno soluzioni solo se $-1 \leq c \leq 1$ . Attenzione ai numeri travestiti: $\frac{\pi}{3} \approx 1{,}05$ è maggiore di 1.
Disequazioni: prova un angolo comodo ( $0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ ) per scartare le opzioni; controlla gli estremi, e ricorda che con la tangente $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$ non sono mai inclusi.
Triangoli: con angoli di $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ , $120^\circ$ i conti vengono puliti. Fai sempre uno schizzo per vedere quale lato sta di fronte a quale angolo.

Esercizi

Esercizio 8.1BaseGradi e radianti

Converti $210^\circ$ e $36^\circ$ in radianti; converti $\frac{3\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{6}$ in gradi. Infine converti $\frac{5\pi}{2}$ in gradi e di' a quale punto della circonferenza goniometrica corrisponde.

Soluzione

$210^\circ = 210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}$ .
$36^\circ = 36 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ .
$\frac{3\pi}{4} = 3 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 135^\circ$ .
$\frac{11\pi}{6} = 11 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 330^\circ$ .
$\frac{5\pi}{2} = 5 \cdot 90^\circ = 450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$ : stesso punto di $90^\circ$ , cioè $(0, 1)$ .

Esercizio 8.2BaseValori con gli archi associati

Calcola $\sin\frac{2\pi}{3}$ , $\;\cos\frac{7\pi}{6}$ , $\;\tan\frac{5\pi}{4}$ , $\;\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$ , $\;\cos\frac{5\pi}{3}$ , $\;\sin\frac{3\pi}{2}$ .

Soluzione

$\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ (II quadrante, seno positivo): $\sin\frac{2\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$ .
$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ (III quadrante, coseno negativo): $\cos\frac{7\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}$ .
$\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ (III quadrante, tangente positiva): $\tan\frac{5\pi}{4} = \tan\frac{\pi}{4} = 1$ .
Il seno è dispari: $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin\frac{5\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac12$ .
$\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$ (IV quadrante, coseno positivo): $\cos\frac{5\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac12$ .
$\frac{3\pi}{2}$ corrisponde al punto $(0, -1)$ : $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$ .

Esercizio 8.3BaseDal coseno alle altre funzioni

Sai che $\cos x = -\frac{7}{25}$ e che $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ . Calcola $\sin x$ , $\tan x$ e $\operatorname{cotan} x$ .

Soluzione

Relazione fondamentale: $\sin^2 x = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$ , quindi $\sin x = \pm\frac{24}{25}$ . Nel III quadrante il seno è negativo: $\sin x = -\frac{24}{25}$ .

Poi $\tan x = \dfrac{-24/25}{-7/25} = \dfrac{24}{7}$ (positiva, come deve essere nel III quadrante) e $\operatorname{cotan} x = \dfrac{7}{24}$ .

Esercizio 8.4BaseEquazioni elementari

Risolvi: $2\sin x = \sqrt2$ , $\;\cos x = 0$ , $\;\tan x = \sqrt3$ , $\;\sin x = \frac54$ .

Soluzione

$\sin x = \frac{\sqrt2}{2}$ : $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ oppure $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ .
$\cos x = 0$ : $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ .
$\tan x = \sqrt3$ : $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ .
$\frac54 > 1$ e il seno non supera 1: nessuna soluzione.

Esercizio 8.5BasePeriodo e immagine

Trova immagine e periodo di $y = 4\sin x$ , $\;y = \cos 4x$ , $\;y = 1 - \cos x$ , $\;y = \tan\frac{x}{2}$ .

Soluzione

$y = 4\sin x$ : ampiezza 4, immagine $[-4, 4]$ ; periodo $2\pi$ .
$y = \cos 4x$ : immagine $[-1, 1]$ ; periodo $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ .
$y = 1 - \cos x$ : poiché $-1 \leq \cos x \leq 1$ , anche $-\cos x$ sta tra $-1$ e $1$ , quindi $1 - \cos x$ sta tra $0$ e $2$ : immagine $[0, 2]$ ; periodo $2\pi$ .
$y = \tan\frac{x}{2}$ : immagine $\R$ ; periodo $\frac{\pi}{1/2} = 2\pi$ .

Esercizio 8.6MedioFormule di addizione

Calcola il valore esatto di $\sin 105^\circ$ e di $\cos 165^\circ$ .

Soluzione

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ\cos 45^\circ + \cos 60^\circ\sin 45^\circ$ :

\sin 105^\circ = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}

$\cos 165^\circ = \cos(120^\circ + 45^\circ) = \cos 120^\circ\cos 45^\circ - \sin 120^\circ\sin 45^\circ$ :

\cos 165^\circ = \left(-\frac12\right)\cdot\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = -\frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}

Controllo dei segni: $105^\circ$ e $165^\circ$ sono nel II quadrante, dove il seno è positivo e il coseno negativo.

Esercizio 8.7MedioFormule di duplicazione

Sai che $\sin x = \frac23$ e che $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ . Calcola $\sin 2x$ e $\cos 2x$ .

Soluzione

Prima il coseno: $\cos^2 x = 1 - \frac49 = \frac59$ ; nel II quadrante il coseno è negativo, quindi $\cos x = -\frac{\sqrt5}{3}$ .

\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2 \cdot \frac23 \cdot \left(-\frac{\sqrt5}{3}\right) = -\frac{4\sqrt5}{9}

\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac49 = \frac19

Controllo: $\left(\frac{4\sqrt5}{9}\right)^2 + \left(\frac19\right)^2 = \frac{80}{81} + \frac{1}{81} = 1$ .

Esercizio 8.8MedioVerificare due identità

Dimostra che $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x$ per ogni $x$ , e che $\dfrac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \tan x$ per ogni $x$ in cui i due membri esistono.

Soluzione

Prima. Sviluppo il quadrato e uso la relazione fondamentale e la duplicazione:

(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x

Seconda. $1 - \cos 2x = 1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x$ e $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ , quindi

\frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

La semplificazione per $\sin x$ è lecita perché dove il primo membro esiste si ha $\sin 2x \neq 0$ , quindi $\sin x \neq 0$ .

Esercizio 8.9MedioSecondo grado nel coseno

Risolvi $2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$ .

Soluzione

Con $t = \cos x$ : $2t^2 + 3t + 1 = 0$ , cioè $(2t + 1)(t + 1) = 0$ , quindi $t = -\frac12$ oppure $t = -1$ . Tutti e due i valori sono tra $-1$ e $1$ .

$\cos x = -\frac12$ dà $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ .
$\cos x = -1$ dà $x = \pi + 2k\pi$ .

Nel primo giro le soluzioni sono $\frac{2\pi}{3}$ , $\pi$ , $\frac{4\pi}{3}$ .

Esercizio 8.10MedioUna disequazione elementare

Risolvi $2\sin x + \sqrt3 < 0$ in $[0, 2\pi]$ .

Soluzione

La disequazione equivale a $\sin x < -\frac{\sqrt3}{2}$ . L'equazione $\sin x = -\frac{\sqrt3}{2}$ ha soluzioni $\frac{4\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$ (angolo di riferimento $\frac{\pi}{3}$ , III e IV quadrante). I punti della circonferenza sotto la retta $y = -\frac{\sqrt3}{2}$ formano l'arco tra i due angoli, estremi esclusi:

\frac{4\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}

\frac{4\pi}{3}

\frac{5\pi}{3}

0

2\pi

2\sin x + \sqrt{3} < 0

[0, 2\pi]

Esercizio 8.11MedioUn triangolo rettangolo

Un triangolo rettangolo ha ipotenusa 8 e un angolo acuto $\alpha = 60^\circ$ . Trova i cateti, l'altro angolo acuto e il perimetro.

Soluzione

Cateto opposto ad $\alpha$ : $a = 8\sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3$ .
Cateto adiacente ad $\alpha$ : $b = 8\cos 60^\circ = 8 \cdot \frac12 = 4$ .
L'altro angolo acuto: $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ .
Perimetro: $8 + 4 + 4\sqrt3 = 12 + 4\sqrt3$ .

Controllo con Pitagora: $(4\sqrt3)^2 + 4^2 = 48 + 16 = 64 = 8^2$ .

Esercizio 8.12Livello provaLineare in seno e coseno

Risolvi $\sin x + \sqrt3\cos x = \sqrt3$ . Quante soluzioni ci sono nell'intervallo $[0, 2\pi)$ ?

Soluzione

Con $X = \cos x$ e $Y = \sin x$ metto a sistema con la relazione fondamentale:

\begin{cases} Y + \sqrt3\,X = \sqrt3 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases}

Dalla prima $Y = \sqrt3(1 - X)$ . Sostituisco: $X^2 + 3(1 - X)^2 = 1$ , cioè $4X^2 - 6X + 2 = 0$ , quindi $2X^2 - 3X + 1 = 0$ , con soluzioni $X = 1$ e $X = \frac12$ .

$X = 1$ dà $Y = 0$ : il punto $(1, 0)$ , cioè $x = 2k\pi$ .
$X = \frac12$ dà $Y = \frac{\sqrt3}{2}$ : il punto $\left(\frac12, \frac{\sqrt3}{2}\right)$ , cioè $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ .

In $[0, 2\pi)$ le soluzioni sono $0$ e $\frac{\pi}{3}$ : due. Controllo con $x = \frac{\pi}{3}$ : $\frac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 \cdot \frac12 = \sqrt3$ .

Esercizio 8.13Livello provaAttenzione al dominio

Risolvi $\tan 3x = \tan x$ .

Soluzione

Condizioni di esistenza: $\tan x$ esiste per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ , $\tan 3x$ esiste per $3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ .

Due tangenti sono uguali quando gli angoli differiscono di un multiplo di $\pi$ : $3x = x + k\pi$ , cioè $x = \frac{k\pi}{2}$ .

Ora controllo le condizioni. Se $k$ è dispari, $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots$ : lì $\tan x$ non esiste, quindi questi valori si scartano. Se $k$ è pari, $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$ : entrambe le tangenti esistono e valgono 0.

Soluzioni: $x = k\pi$ .

Esercizio 8.14Livello provaDisequazione con la tangente

Risolvi $\tan x > -\frac{\sqrt3}{3}$ in $[0, 2\pi]$ .

Soluzione

L'equazione $\tan x = -\frac{\sqrt3}{3}$ ha soluzioni $\frac{5\pi}{6}$ e $\frac{11\pi}{6}$ (angolo di riferimento $\frac{\pi}{6}$ , II e IV quadrante). La tangente non esiste in $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$ e in ogni ramo è crescente:

da $0$ a $\frac{\pi}{2}$ la tangente è positiva: va bene;
da $\frac{\pi}{2}$ a $\frac{5\pi}{6}$ sale da $-\infty$ a $-\frac{\sqrt3}{3}$ : non va bene;
da $\frac{5\pi}{6}$ a $\frac{3\pi}{2}$ sale da $-\frac{\sqrt3}{3}$ a $+\infty$ : va bene;
da $\frac{3\pi}{2}$ a $\frac{11\pi}{6}$ non va bene; da $\frac{11\pi}{6}$ a $2\pi$ va bene.

0 \leq x < \frac{\pi}{2} \quad \text{oppure} \quad \frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2} \quad \text{oppure} \quad \frac{11\pi}{6} < x \leq 2\pi

\frac{\pi}{2}

\frac{5\pi}{6}

\frac{3\pi}{2}

\frac{11\pi}{6}

2\pi

\tan x > -\frac{\sqrt{3}}{3}

[0, 2\pi]

Esercizio 8.15Livello provaDisequazione riconducibile

Risolvi $2\sin^2 x - \sin x < 0$ in $[0, 2\pi]$ .

Soluzione

Raccolgo: $\sin x(2\sin x - 1) < 0$ . Con $t = \sin x$ , il prodotto $t(2t - 1)$ è negativo tra le radici $0$ e $\frac12$ : serve $0 < \sin x < \frac12$ .

$\sin x > 0$ per $0 < x < \pi$ .
$\sin x < \frac12$ per $0 \leq x < \frac{\pi}{6}$ oppure $\frac{5\pi}{6} < x \leq 2\pi$ .

Le due condizioni devono valere insieme:

0 < x < \frac{\pi}{6} \quad \text{oppure} \quad \frac{5\pi}{6} < x < \pi

\frac{\pi}{6}

\frac{5\pi}{6}

\pi

2\pi

2\sin^2 x - \sin x < 0

[0, 2\pi]

Esercizio 8.16Livello provaTeorema del coseno

Un triangolo ha lati 3, 5 e 7. Quanto misura il suo angolo più grande?

Soluzione

L'angolo più grande sta di fronte al lato più lungo, 7. Con il teorema del coseno:

\cos\gamma = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac12

Tra $0^\circ$ e $180^\circ$ l'unico angolo con coseno $-\frac12$ è $120^\circ$ , cioè $\frac{2\pi}{3}$ : il triangolo è ottusangolo.

Esercizio 8.17Livello provaTeorema dei seni

In un triangolo $b = 5\sqrt2$ , $\beta = 45^\circ$ e $\gamma = 60^\circ$ . Trova l'angolo $\alpha$ e il lato $c$ .

Soluzione

Somma degli angoli: $\alpha = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$ .

Teorema dei seni: $\dfrac{c}{\sin\gamma} = \dfrac{b}{\sin\beta}$ , quindi

c = \frac{b\sin\gamma}{\sin\beta} = \frac{5\sqrt2 \cdot \frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} = 5\sqrt3

Quiz di verifica

Checklist

Sul portale OFA

La prova è costruita su questo materiale. Dopo gli appunti, leggi il libro di ogni unità, prova i fogli «Esplora», svolgi gli esercizi in PDF e i test online. Serve l'accesso con le credenziali SCU e l'iscrizione al corso «OFA Matematica»; come usare ogni attività è spiegato nella pagina Il corso ufficiale.

Refusi noti in questo materiale

Nel materiale di questo modulo sono stati trovati alcuni refusi, verificati sulle pagine e sui PDF originali; negli appunti c'è la versione corretta.

Libro 8.2, disequazioni, esempio 2 ( $\cos 2x < 1$ in $[0, 2\pi]$ ): $\cos 2x = 1$ quando $2x$ vale $0$ , $2\pi$ o $4\pi$ , cioè per $x = 0$ , $x = \pi$ e $x = 2\pi$ . La soluzione è $0 < x < \pi$ oppure $\pi < x < 2\pi$ ; il libro esclude solo $0$ e $2\pi$ .
Soluzioni 8.2, esercizio 10 ( $\tan x \ge 1$ in $[0, 2\pi]$ ): la soluzione è $\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ oppure $\frac{5}{4}\pi \le x < \frac{3}{2}\pi$ . Quella del foglio ( $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ , $\frac{3}{4}\pi \le x < \frac{3}{2}\pi$ , $\frac{7}{4}\pi \le x \le 2\pi$ ) è la soluzione di $\tan x \ge -1$ .

I refusi di tutti i moduli, con le avvertenze.

Trigonometria

#In breve

#Introduzione: circonferenza goniometrica e angoli

#La circonferenza goniometrica

#Gradi e radianti

#Angoli maggiori di un giro e angoli negativi

#8.1 Funzioni trigonometriche

#Seno e coseno

#Tangente e cotangente

#La relazione fondamentale

#Valori notevoli

#Archi associati

#Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione

#Grafici e caratteristiche

#8.2 Equazioni e disequazioni trigonometriche

#Equazioni elementari

#Equazioni con la stessa funzione nei due membri

#Equazioni riconducibili a quelle elementari

#Equazioni lineari in seno e coseno

#Disequazioni elementari

#Disequazioni riconducibili

#Trigonometria e triangoli

#Esercizi

#Quiz di verifica

#Checklist

Sul portale OFA

Refusi noti in questo materiale

In breve

Introduzione: circonferenza goniometrica e angoli

La circonferenza goniometrica

Gradi e radianti

Angoli maggiori di un giro e angoli negativi

8.1 Funzioni trigonometriche

Seno e coseno

Tangente e cotangente

La relazione fondamentale

Valori notevoli

Archi associati

Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione

Grafici e caratteristiche

8.2 Equazioni e disequazioni trigonometriche

Equazioni elementari

Equazioni con la stessa funzione nei due membri

Equazioni riconducibili a quelle elementari

Equazioni lineari in seno e coseno

Disequazioni elementari

Disequazioni riconducibili

Trigonometria e triangoli

Esercizi

Quiz di verifica

Checklist