Modulo 7. Esponenziali e logaritmi

In breve

La funzione esponenziale $y = a^x$ ha senso solo con base $a > 0$ e $a \neq 1$ . È sempre positiva, passa per il punto $(0, 1)$ , cresce se $a > 1$ e decresce se $0 < a < 1$ .
Il logaritmo $\log_a b$ è l'esponente da dare alla base $a$ per ottenere $b$ : dire $\log_a b = y$ è come dire $a^y = b$ . Esiste solo se $a > 0$ , $a \neq 1$ e $b > 0$ .
Le proprietà dei logaritmi trasformano i prodotti in somme, i quozienti in differenze e le potenze in fattori; il cambio di base porta ogni logaritmo nella base che preferisci. Per $\log_a(x + y)$ non esiste nessuna regola.
$\ln$ indica il logaritmo in base $e$ (logaritmo naturale; $e$ è un numero irrazionale che vale circa $2{,}718$ ), $\log_{10}$ il logaritmo in base 10.
Esponenziale e logaritmo con la stessa base sono funzioni inverse: i loro grafici sono simmetrici rispetto alla retta $y = x$ .
Equazioni esponenziali: con la stessa base si uguagliano gli esponenti, altrimenti si passa ai logaritmi. Equazioni logaritmiche: prima le condizioni di esistenza, poi i calcoli, alla fine si scartano le soluzioni non accettabili.
Disequazioni: con base maggiore di 1 il verso resta, con base tra 0 e 1 il verso si inverte. Nelle disequazioni logaritmiche il risultato va messo a sistema con le condizioni di esistenza.

7.1 Esponenziali e logaritmi

Dalle potenze agli esponenti reali

Una potenza $a^n$ è un modo breve per scrivere un prodotto: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Il numero $a$ si chiama base, il numero $n$ si chiama esponente. Per costruire la funzione esponenziale bisogna dare un significato ad $a^x$ per ogni esponente reale $x$ : anche negativo, frazionario o irrazionale. Il significato si costruisce a tappe, in modo che le regole delle potenze restino sempre valide.

Esponente	Significato	Esempio
naturale $n \geq 1$	prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$	$2^3 = 8$
zero	$a^0 = 1$ (con $a \neq 0$ )	$5^0 = 1$
intero negativo	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \dfrac{1}{8}$
frazione $\dfrac{m}{n}$	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = \sqrt[3]{64} = 4$
irrazionale	si approssima l'esponente con frazioni sempre più vicine	$2^{\sqrt{2}} \approx 2{,}67$

Qui $\sqrt[n]{a}$ è la radice $n$ -esima di $a$ e il simbolo $\approx$ si legge «circa uguale a».

Perché la base deve essere positiva. Con esponente $\frac{1}{2}$ si ha $a^{1/2} = \sqrt{a}$ : se $a$ fosse negativo, per esempio $a = -4$ , bisognerebbe calcolare $\sqrt{-4}$ , che nei numeri reali non esiste. Per questo nella funzione esponenziale si chiede sempre $a > 0$ ; anche $a = 0$ resta fuori, perché $0^{-1} = \frac{1}{0}$ non esiste. Si esclude anche $a = 1$ : $1^x = 1$ per ogni $x$ , e si otterrebbe una funzione costante, sempre uguale a 1. Con base positiva il risultato è sempre positivo: $a^x > 0$ per ogni $x$ .

Regola 7.1 Proprietà delle potenze (con

a > 0

b > 0

ed esponenti reali qualsiasi)

Regola	Esempio
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{5^6}{5^4} = 5^2$
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(3^2)^3 = 3^6$
$a^n \cdot b^n = (ab)^n$	$2^3 \cdot 5^3 = 10^3$
$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$	$\dfrac{6^2}{3^2} = 2^2$
$\left(\dfrac{1}{a}\right)^n = a^{-n}$	$\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = 3^{-2}$

La funzione esponenziale

−3−2−112312345xy

O

(0, 1)

(1, 2)

(-1, 2)

y = 2^x

y = \left(\frac{1}{2}\right)^x

y = 2^x

(crescente) e

y = \left(\frac{1}{2}\right)^x

(decrescente)

I due grafici sono simmetrici rispetto all'asse $y$ : infatti $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ , quindi il valore di $\left(\frac12\right)^x$ in $x = 3$ è uguale al valore di $2^x$ in $x = -3$ .

Il logaritmo

L'equazione $2^x = 8$ si risolve a occhio: $x = 3$ . Ma $2^x = 5$ ? L'esponente cercato sta tra 2 e 3, perché $2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3$ , e non è un numero «semplice». Gli si dà un nome: è il logaritmo in base 2 di 5, e si scrive $\log_2 5$ .

Le condizioni sulla base sono quelle degli esponenziali. L'argomento deve essere positivo perché $a^y$ è sempre positivo: nessun esponente trasforma $a$ in zero o in un numero negativo.

Esempio 7.3 Logaritmi calcolati con la definizione

$\log_3 81 = 4$ , perché $3^4 = 81$ .
$\log_2 \frac{1}{8} = -3$ , perché $2^{-3} = \frac{1}{8}$ .
$\log_{1/2} 8 = -3$ , perché $\left(\frac12\right)^{-3} = 2^3 = 8$ .
$\log_9 3 = \frac{1}{2}$ , perché $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$ .
$\log_4 8$ : $4 = 2^2$ e $8 = 2^3$ , quindi $\log_4 8 = \frac{3}{2}$ . Controllo: $4^{3/2} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 8$ .
$\log_{1/4} 32$ : $\frac14 = 2^{-2}$ e $32 = 2^5$ , quindi $\log_{1/4} 32 = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$ .
$\log_{10} 0{,}01 = -2$ , perché $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$ .
$\log_{\sqrt{3}} 9 = 4$ , perché $\left(\sqrt{3}\right)^4 = 3^2 = 9$ .

Le proprietà dei logaritmi

Le proprietà dei logaritmi sono le proprietà delle potenze lette dal punto di vista degli esponenti. Se $x = a^m$ e $y = a^n$ , allora $xy = a^{m+n}$ : quindi $\log_a(xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$ . Moltiplicando due potenze gli esponenti si sommano, e il logaritmo è proprio un esponente.

Regola 7.5 Proprietà dei logaritmi (con

a > 0

a \neq 1

x > 0

y > 0

)

Nome	Formula	Esempio
prodotto	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$	$\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$
quoziente	$\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$	$\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 8 = 3$
potenza	$\log_a x^n = n \log_a x$	$\log_3 \sqrt{27} = \frac{1}{2}\log_3 27 = \frac{3}{2}$
reciproco	$\log_a \dfrac{1}{x} = -\log_a x$	$\log_5 \frac{1}{25} = -\log_5 25 = -2$
cambio di base	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$	$\log_4 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 4} = \dfrac{5}{2}$

Nel cambio di base l'argomento $b$ è positivo e la nuova base $c$ è positiva e diversa da 1. Una conseguenza utile: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ (con $b \neq 1$ ). Per esempio $\log_5 2 \cdot \log_2 25 = \dfrac{1}{\log_2 5} \cdot 2\log_2 5 = 2$ .

Esempio 7.5 Sviluppare e riunire

Sviluppare $\log_3 \dfrac{9x^2}{y}$ , con $x > 0$ e $y > 0$ : prima il quoziente, poi il prodotto, poi la potenza.

\log_3 \frac{9x^2}{y} = \log_3 9 + \log_3 x^2 - \log_3 y = 2 + 2\log_3 x - \log_3 y

Allo stesso modo $\log_2 \dfrac{x^3\sqrt{y}}{4} = 3\log_2 x + \dfrac{1}{2}\log_2 y - 2$ , perché $\sqrt{y} = y^{1/2}$ e $\log_2 4 = 2$ .

Riunire $2\log_2 x + \log_2 3 - \log_2 y$ in un solo logaritmo: prima i coefficienti diventano esponenti, poi le somme diventano prodotti e le differenze quozienti.

2\log_2 x + \log_2 3 - \log_2 y = \log_2 x^2 + \log_2 3 - \log_2 y = \log_2 \frac{3x^2}{y}

Errore frequente Gli errori più comuni

Sbagliato	Giusto	Controesempio
$\log_a(x + y) = \log_a x + \log_a y$	per la somma non c'è regola	$\log_2(4 + 4) = 3$ , ma $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$
$\log_a(xy) = \log_a x \cdot \log_a y$	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$	$\log_2(4 \cdot 8) = 5$ , ma $2 \cdot 3 = 6$
$\dfrac{\log_a x}{\log_a y} = \log_a \dfrac{x}{y}$	$\dfrac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x$	$\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$ , ma $\log_2 2 = 1$
$(\log_a x)^2 = \log_a x^2$	$\log_a x^2 = 2\log_a x$ (con $x > 0$ )	$(\log_2 8)^2 = 9$ , ma $\log_2 64 = 6$

Le basi $e$ e 10

Due basi sono usate più di tutte le altre, e sono quelle che trovi sulle calcolatrici.

Il numero di Nepero $e$ è un numero irrazionale: $e \approx 2{,}71828$ . Il logaritmo in base $e$ si chiama logaritmo naturale (o neperiano) e si scrive $\ln x$ , senza indicare la base. Quindi $\ln e = 1$ , $\ln 1 = 0$ , $\ln e^3 = 3$ ed $e^{\ln 5} = 5$ . La base $e$ ha una proprietà comoda: quando $y$ è vicino a zero,

\ln(1 + y) \approx y

Per esempio $\ln 1{,}01 \approx 0{,}01$ (il valore vero è $0{,}00995\ldots$ ).

Il logaritmo in base 10 si chiama logaritmo decimale. In molti libri e sulle calcolatrici si scrive solo $\log$ ; qui scriviamo sempre la base, $\log_{10}$ . Sulle potenze di 10 si calcola subito: $\log_{10} 1000 = 3$ e $\log_{10} 0{,}001 = -3$ .

Nota Notazione scientifica: caratteristica e mantissa

Ogni numero positivo si può scrivere in notazione scientifica, $x = m \cdot 10^k$ con $1 \leq m < 10$ e $k$ intero. Allora

\log_{10} x = k + \log_{10} m, \qquad 0 \leq \log_{10} m < 1

La parte intera $k$ si chiama caratteristica, la parte decimale $\log_{10} m$ si chiama mantissa. Esempio: $4500 = 4{,}5 \cdot 10^3$ , quindi $\log_{10} 4500 = 3 + \log_{10} 4{,}5 \approx 3 + 0{,}653 = 3{,}653$ . E $45 = 4{,}5 \cdot 10^1$ dà $\log_{10} 45 \approx 1{,}653$ : stesse cifre, stessa mantissa, cambia solo la caratteristica. Questo funziona solo in base 10. Conseguenza pratica: se un numero maggiore o uguale a 1 ha $n$ cifre prima della virgola, il suo logaritmo decimale è almeno $n - 1$ e minore di $n$ .

Le calcolatrici di solito hanno i tasti solo per $\ln$ e per il logaritmo in base 10: le altre basi si ottengono con il cambio di base, per esempio $\log_3 7 = \dfrac{\ln 7}{\ln 3}$ . Al test non c'è la calcolatrice, quindi un numero come $\log_3 7$ resta scritto così, oppure nella forma equivalente $\dfrac{\ln 7}{\ln 3}$ .

La funzione logaritmica

1234567−3−2−1123xy

O

y = \log_2 x

y = \log_{1/2} x

(1, 0)

(2, 1)

\left(\frac{1}{2}, 1\right)

y = \log_2 x

(crescente) e

y = \log_{1/2} x

(decrescente)

Anche qui i due grafici sono simmetrici, questa volta rispetto all'asse $x$ : con il cambio di base, $\log_{1/2} x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 \frac12} = -\log_2 x$ .

Esempio 7.6 Domini

$f(x) = \log_2(x - 3)$ : serve $x - 3 > 0$ , dominio $(3, +\infty)$ .
$f(x) = \ln(4 - x^2)$ : serve $4 - x^2 > 0$ , cioè $x^2 < 4$ , dominio $(-2, 2)$ .
$f(x) = \ln(x^2 + 1)$ : $x^2 + 1$ è sempre positivo, dominio $\R$ .
$f(x) = \log_3 \dfrac{x + 1}{x - 2}$ : serve $\dfrac{x + 1}{x - 2} > 0$ . Il numeratore è positivo per $x > -1$ , il denominatore per $x > 2$ ; la frazione è positiva quando hanno lo stesso segno, cioè per $x < -1$ oppure $x > 2$ . Dominio $(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$ , dove $\cup$ indica l'unione.

−12

Dominio di

\log_3 \frac{x+1}{x-2}

Esponenziale e logaritmo sono funzioni inverse

−224−224xy

O

y = x

y = 2^x

y = \log_2 x

y = 2^x

y = \log_2 x

sono simmetriche rispetto alla retta

y = x

	$y = a^x$	$y = \log_a x$
dominio	$\R$	$(0, +\infty)$
immagine	$(0, +\infty)$	$\R$
passa per	$(0, 1)$ e $(1, a)$	$(1, 0)$ e $(a, 1)$
asintoto	asse $x$ (orizzontale)	asse $y$ (verticale)
monotonia	crescente se $a > 1$ , decrescente se $0 < a < 1$	la stessa dell'esponenziale

Dominio e immagine si scambiano, come succede sempre tra una funzione e la sua inversa.

Modelli esponenziali

Molti fenomeni crescono o diminuiscono della stessa percentuale a intervalli di tempo regolari: una popolazione di batteri, un capitale investito, una sostanza radioattiva che decade. A ogni intervallo la quantità viene moltiplicata per lo stesso fattore $q$ , quindi dopo $t$ intervalli

N(t) = N_0 \cdot q^t

dove $N_0$ è la quantità iniziale. Se $q > 1$ la quantità cresce, se $0 < q < 1$ diminuisce.

Aumento del $p\%$ a ogni passo: $q = 1 + \frac{p}{100}$ . Per esempio un aumento del $10\%$ all'anno dà $q = 1{,}1$ .
Diminuzione del $p\%$ a ogni passo: $q = 1 - \frac{p}{100}$ .
Raddoppio a ogni passo: $q = 2$ ; dimezzamento: $q = \frac12$ .

Nella prova Esponenziali e logaritmi nelle domande del test

Calcolo di logaritmi (risposta numerica o una su quattro): scrivi base e argomento come potenze dello stesso numero e controlla al contrario, elevando la base al risultato.
Vero o falso sulle proprietà: se non ricordi una formula, provala con numeri semplici (base 2, argomenti 4 e 8). Un solo controesempio basta per rispondere «falso».
Stime senza calcolatrice: $\log_2 10$ è tra 3 e 4, perché $2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4$ . Spesso una stima così basta per scartare le opzioni sbagliate.
Riconoscere i grafici: il grafico di $y = a^x$ passa per $(0, 1)$ e sta tutto sopra l'asse $x$ ; quello di $y = \log_a x$ passa per $(1, 0)$ e sta tutto a destra dell'asse $y$ . Se il grafico scende, la base è tra 0 e 1.
Dominio: l'argomento di ogni logaritmo deve essere strettamente positivo; poi si prendono i valori che rispettano tutte le condizioni.

7.2 Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Le equazioni e le disequazioni in cui l'incognita sta all'esponente o nell'argomento di un logaritmo si dicono trascendenti: non sono algebriche come quelle dei moduli 3 e 4. Tutti i metodi si basano su due fatti visti sopra: esponenziali e logaritmi sono funzioni monotone (quindi danno lo stesso valore solo con lo stesso esponente o lo stesso argomento), e sono una l'inversa dell'altra.

Equazioni esponenziali

In un'equazione esponenziale l'incognita compare all'esponente. Le condizioni sulle basi ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ) si danno per scontate. Qui sotto $f(x)$ e $g(x)$ indicano espressioni che contengono $x$ .

Metodo I quattro casi tipici

Stessa base: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ . Spesso bisogna prima scrivere tutto come potenza della stessa base ( $4 = 2^2$ , $\frac19 = 3^{-2}$ , $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ ).
Esponenziale uguale a un numero: $a^{f(x)} = c$ . Se $c \leq 0$ l'equazione è impossibile. Se $c > 0$ si applica $\log_a$ ai due membri: $f(x) = \log_a c$ .
Basi diverse: $a^{f(x)} = b^{g(x)}$ . Si applica lo stesso logaritmo ai due membri (per esempio $\ln$ ): $f(x)\ln a = g(x)\ln b$ , e si risolve.
Equazioni riconducibili: si raccoglie una potenza, oppure si pone $t = a^x$ (con $t > 0$ ) e si risolve un'equazione algebrica in $t$ .

Equazioni logaritmiche

In un'equazione logaritmica l'incognita compare nell'argomento di uno o più logaritmi.

Esempio 7.14 Con le proprietà: soluzioni da scartare

$\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ .

C.E.: $x > 0$ e $x - 2 > 0$ , quindi $x > 2$ .

Con la proprietà del prodotto: $\log_2[x(x - 2)] = 3$ , cioè $x(x - 2) = 2^3 = 8$ , quindi $x^2 - 2x - 8 = 0$ , con soluzioni $x = 4$ e $x = -2$ . Solo $x = 4$ rispetta le C.E. Controllo: $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ .

Da dove viene $x = -2$ ? L'espressione $\log_2[x(x-2)]$ esiste anche per $x < 0$ , quella di partenza no: la trasformazione ha allargato il dominio. Per questo le C.E. si scrivono sempre sull'equazione iniziale.

Disequazioni esponenziali

Esempio 7.18 Stessa base

$3^{2x-1} > 3^{x+2}$ : base $3 > 1$ , il verso resta. $2x - 1 > x + 2$ , quindi $x > 3$ .
$\left(\frac12\right)^{x-1} \geq \frac18$ : $\frac18 = \left(\frac12\right)^3$ e la base è tra 0 e 1, il verso si inverte: $x - 1 \leq 3$ , quindi $x \leq 4$ .
$\left(\frac13\right)^x < 9$ : $9 = \left(\frac13\right)^{-2}$ , il verso si inverte: $x > -2$ . Si arriva allo stesso risultato in base 3: $3^{-x} < 3^2$ , quindi $-x < 2$ , cioè $x > -2$ .
$2^{x^2} < 2^{x+2}$ : base 2, il verso resta: $x^2 < x + 2$ , cioè $x^2 - x - 2 < 0$ . Le radici sono $-1$ e $2$ e la parabola è negativa tra le radici: $-1 < x < 2$ .

−12

Soluzioni di

2^{x^2} < 2^{x+2}

Esempio 7.20 Basi diverse: attenzione al segno del coefficiente

$2^x > 3^{x-1}$ . Applico $\ln$ (base $e > 1$ , il verso resta):

x\ln 2 > (x - 1)\ln 3 \;\Rightarrow\; x\ln 2 - x\ln 3 > -\ln 3 \;\Rightarrow\; x(\ln 2 - \ln 3) > -\ln 3

Il coefficiente $\ln 2 - \ln 3$ è negativo (perché $2 < 3$ ): dividendo per lui il verso si inverte.

x < \frac{-\ln 3}{\ln 2 - \ln 3} = \frac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2} \approx 2{,}71

−11232468xy

O

y = 2^x

y = 3^{x-1}

y = 2^x

sta sopra

y = 3^{x-1}

per

x < 2{,}71

circa

Disequazioni logaritmiche

Esempio 7.23 Un numero al secondo membro

$\log_2(x + 1) \leq 3$ . C.E.: $x > -1$ . Poiché $3 = \log_2 8$ : $x + 1 \leq 8$ , cioè $x \leq 7$ . Soluzioni: $-1 < x \leq 7$ , cioè l'intervallo $(-1, 7]$ .
$\log_{1/2}(x - 2) \geq -1$ . C.E.: $x > 2$ . Poiché $-1 = \log_{1/2} 2$ e la base è tra 0 e 1, il verso si inverte: $x - 2 \leq 2$ , cioè $x \leq 4$ . Soluzioni: $2 < x \leq 4$ .
$\ln(2x - 1) < 0$ . C.E.: $x > \frac12$ . Poiché $0 = \ln 1$ : $2x - 1 < 1$ , cioè $x < 1$ . Soluzioni: $\frac12 < x < 1$ .

−17

Soluzioni di

\log_2(x+1) \leq 3

: l'estremo

-1

è escluso, il 7 è incluso

Un'applicazione: il pH

In chimica l'acidità di una soluzione si misura con il pH:

\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]

dove $[\mathrm{H}^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno. Se $\mathrm{pH} < 7$ la soluzione è acida, se $\mathrm{pH} > 7$ è basica.

$[\mathrm{H}^+] = 10^{-3}$ dà $\mathrm{pH} = -\log_{10} 10^{-3} = 3$ : soluzione acida.
Se $\mathrm{pH} = 9$ , allora $\log_{10}[\mathrm{H}^+] = -9$ e $[\mathrm{H}^+] = 10^{-9}$ : soluzione basica.
Un'unità di pH in meno significa una concentrazione 10 volte più grande; due unità in meno, 100 volte più grande.

Nella prova Equazioni e disequazioni nelle domande del test

Equazioni: spesso è più veloce sostituire le opzioni nell'equazione che risolverla. Prima di tutto scarta le opzioni che non rispettano le condizioni di esistenza.
Disequazioni: prova un valore comodo (come $x = 0$ o $x = 1$ ) nella disequazione di partenza ed elimina le opzioni che lo trattano nel modo sbagliato. Poi guarda gli estremi: sono esclusi se lo impongono le C.E. o il segno stretto.
Errori da evitare: il verso non invertito con base tra 0 e 1, le C.E. dimenticate, i valori di $t$ scambiati per soluzioni. Ricorda anche che la stessa soluzione si può scrivere in forme diverse: $\log_{3/2} 2$ e $\frac{\ln 2}{\ln 3 - \ln 2}$ sono lo stesso numero.
Risposta numerica: senza calcolatrice un numero come $\log_3 7$ non si trasforma in decimale. Se una domanda che chiede un numero ti porta lì, ricontrolla i passaggi.

Esercizi

Esercizio 7.1BaseCalcolare logaritmi

Calcola senza calcolatrice:

$\log_2 32$
$\log_3 \frac{1}{27}$
$\log_{1/2} 16$
$\log_{25} 5$
$\log_{10} 0{,}001$
$\log_8 4$

Soluzione

Per ciascuno cerco l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento.

$32 = 2^5$ , quindi $\log_2 32 = 5$ .
$\frac{1}{27} = 3^{-3}$ , quindi $\log_3 \frac{1}{27} = -3$ .
$16 = 2^4 = \left(\frac12\right)^{-4}$ , quindi $\log_{1/2} 16 = -4$ .
$5 = \sqrt{25} = 25^{1/2}$ , quindi $\log_{25} 5 = \frac12$ .
$0{,}001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$ , quindi $\log_{10} 0{,}001 = -3$ .
$8 = 2^3$ e $4 = 2^2$ , quindi $\log_8 4 = \frac{2}{3}$ . Controllo: $8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ .

Esercizio 7.2BasePotenze con esponente frazionario e negativo

Calcola: $16^{3/4}$ , $\;27^{-2/3}$ , $\;\left(\frac{4}{9}\right)^{-1/2}$ , $\;2^3 \cdot 4^{-1} \cdot 8^{1/3}$ .

Soluzione

$16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$ .
$27^{-2/3} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$ .
$\left(\frac{4}{9}\right)^{-1/2} = \left(\frac{9}{4}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac94} = \frac{3}{2}$ .
Tutto in base 2: $4^{-1} = 2^{-2}$ e $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$ . Quindi $2^3 \cdot 2^{-2} \cdot 2^1 = 2^{3 - 2 + 1} = 2^2 = 4$ .

Esercizio 7.3BaseMettere in ordine senza calcolatrice

Metti in ordine dal più piccolo al più grande: $2^{-1}$ , $\;2^{0{,}5}$ , $\;\left(\frac12\right)^{-2}$ , $\;4^0$ .

Soluzione

Scrivo tutto come potenza di 2: $\left(\frac12\right)^{-2} = 2^2$ e $4^0 = 1 = 2^0$ . Ora ho $2^{-1}$ , $2^{0{,}5}$ , $2^2$ , $2^0$ .

La base 2 è maggiore di 1: è più grande la potenza con l'esponente più grande. Gli esponenti in ordine sono $-1 < 0 < 0{,}5 < 2$ , quindi

2^{-1} < 4^0 < 2^{0{,}5} < \left(\frac12\right)^{-2}

cioè $0{,}5 < 1 < \sqrt{2} < 4$ (con $\sqrt2 \approx 1{,}41$ ).

Esercizio 7.4BaseEquazioni esponenziali elementari

Risolvi: $3^{x+1} = 27$ , $\;5^{2x} = \frac{1}{5}$ , $\;2^x = -8$ , $\;7^{x-2} = 1$ .

Soluzione

$27 = 3^3$ , quindi $x + 1 = 3$ e $x = 2$ .
$\frac15 = 5^{-1}$ , quindi $2x = -1$ e $x = -\frac12$ .
$2^x$ è sempre positivo e non può valere $-8$ : l'equazione è impossibile.
$1 = 7^0$ , quindi $x - 2 = 0$ e $x = 2$ .

Esercizio 7.5BaseEquazioni logaritmiche elementari

Risolvi: $\log_2(3x - 1) = 3$ e $\log_5(x + 4) = \log_5(2x + 1)$ .

Soluzione

Prima equazione. C.E.: $3x - 1 > 0$ , cioè $x > \frac13$ . Per la definizione di logaritmo $3x - 1 = 2^3 = 8$ , quindi $3x = 9$ e $x = 3$ . Poiché $3 > \frac13$ , la soluzione è accettabile.

Seconda equazione. C.E.: $x + 4 > 0$ e $2x + 1 > 0$ , cioè $x > -4$ e $x > -\frac12$ : insieme, $x > -\frac12$ . Argomenti uguali: $x + 4 = 2x + 1$ , quindi $x = 3$ , accettabile. Controllo: $\log_5 7 = \log_5 7$ .

Esercizio 7.6MedioSviluppare e riunire

Sviluppa $\log_2 \dfrac{8a^3}{\sqrt{b}}$ (con $a > 0$ e $b > 0$ ). Poi scrivi come un solo logaritmo $2\ln x - \ln(x + 1) + \ln 3$ (con $x > 0$ ).

Soluzione

Sviluppo. Quoziente, poi prodotto, poi potenze ( $\sqrt{b} = b^{1/2}$ ):

\log_2 \frac{8a^3}{\sqrt{b}} = \log_2 8 + \log_2 a^3 - \log_2 b^{1/2} = 3 + 3\log_2 a - \frac{1}{2}\log_2 b

Riunione. Il coefficiente 2 diventa un esponente, poi somme e differenze diventano prodotti e quozienti:

2\ln x - \ln(x + 1) + \ln 3 = \ln x^2 + \ln 3 - \ln(x + 1) = \ln \frac{3x^2}{x + 1}

Esercizio 7.7MedioCalcolare con le proprietà

Calcola: $\log_6 12 + \log_6 3$ , $\;\log_3 54 - \log_3 2$ , $\;\log_9 27$ , $\;\log_2 3 \cdot \log_3 16$ .

Soluzione

Prodotto: $\log_6 12 + \log_6 3 = \log_6 36 = 2$ .
Quoziente: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$ .
Cambio di base, in base 3: $\log_9 27 = \dfrac{\log_3 27}{\log_3 9} = \dfrac{3}{2}$ .
Cambio di base, in base $e$ : $\log_2 3 \cdot \log_3 16 = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \cdot \dfrac{\ln 16}{\ln 3} = \dfrac{\ln 16}{\ln 2} = \log_2 16 = 4$ .

Esercizio 7.8MedioRaccogliere una potenza

Risolvi $3^{x+1} + 3^{x-1} = 30$ .

Soluzione

Scrivo le due potenze come multipli di $3^x$ : $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$ e $3^{x-1} = \frac13 \cdot 3^x$ . Raccolgo:

3^x\left(3 + \frac{1}{3}\right) = 30 \;\Rightarrow\; 3^x \cdot \frac{10}{3} = 30 \;\Rightarrow\; 3^x = 9 \;\Rightarrow\; x = 2

Controllo: $3^3 + 3^1 = 27 + 3 = 30$ .

Esercizio 7.9MedioEquazione logaritmica con il prodotto

Risolvi $\log_3 x + \log_3(x + 6) = 3$ .

Soluzione

C.E.: $x > 0$ e $x + 6 > 0$ ; insieme, $x > 0$ .

Con la proprietà del prodotto: $\log_3[x(x + 6)] = 3$ , quindi $x(x + 6) = 3^3 = 27$ , cioè $x^2 + 6x - 27 = 0$ . Si scompone: $(x + 9)(x - 3) = 0$ , quindi $x = -9$ oppure $x = 3$ .

$x = -9$ non rispetta le C.E. e si scarta. L'unica soluzione è $x = 3$ . Controllo: $\log_3 3 + \log_3 9 = 1 + 2 = 3$ .

Esercizio 7.10MedioUna esponenziale e una logaritmica

Risolvi: $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x - 3} > \frac{1}{8}$ e $\log_2(x - 3) \leq 2$ .

Soluzione

Prima. $\frac18 = \left(\frac12\right)^3$ , quindi $\left(\frac12\right)^{2x-3} > \left(\frac12\right)^3$ . La base è tra 0 e 1: il verso si inverte, $2x - 3 < 3$ , cioè $x < 3$ .

Seconda. C.E.: $x > 3$ . Poiché $2 = \log_2 4$ e la base è maggiore di 1: $x - 3 \leq 4$ , cioè $x \leq 7$ . Sistema con le C.E.: $3 < x \leq 7$ , cioè l'intervallo $(3, 7]$ .

Esercizio 7.11MedioBase tra 0 e 1

Risolvi $\log_{1/3}(2x - 1) > -2$ .

Soluzione

C.E.: $2x - 1 > 0$ , cioè $x > \frac12$ .

Scrivo $-2$ come logaritmo in base $\frac13$ : $-2 = \log_{1/3}\left(\frac13\right)^{-2} = \log_{1/3} 9$ . La disequazione diventa $\log_{1/3}(2x - 1) > \log_{1/3} 9$ . La base è tra 0 e 1, il verso si inverte:

2x - 1 < 9 \;\Rightarrow\; x < 5

Sistema con le C.E.: $\frac12 < x < 5$ .

Esercizio 7.12Livello provaSostituzione

L'equazione $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ : quante soluzioni ha e quanto vale la loro somma?

Soluzione

Poiché $9^x = \left(3^x\right)^2$ , pongo $t = 3^x$ (con $t > 0$ ): $t^2 - 4t + 3 = 0$ , con soluzioni $t = 1$ e $t = 3$ , entrambe positive.

Torno a $x$ : $3^x = 1$ dà $x = 0$ ; $3^x = 3$ dà $x = 1$ . Le soluzioni sono due e la loro somma è $0 + 1 = 1$ .

Attenzione: 4 è la somma dei valori di $t$ , non delle soluzioni in $x$ .

Esercizio 7.13Livello provaUna disequazione in due pezzi

Risolvi $\log_2(x^2 - 4x) < 5$ .

Soluzione

C.E.: $x^2 - 4x > 0$ , cioè $x(x - 4) > 0$ : $x < 0$ oppure $x > 4$ .

Poiché $5 = \log_2 32$ e la base è maggiore di 1: $x^2 - 4x < 32$ , cioè $x^2 - 4x - 32 < 0$ . Si scompone: $(x - 8)(x + 4) < 0$ , vera tra le radici: $-4 < x < 8$ .

Sistema con le C.E.: $-4 < x < 0$ oppure $4 < x < 8$ .

−4048

Soluzioni di

\log_2(x^2 - 4x) < 5

Esercizio 7.14Livello provaBasi diverse e stima

Risolvi $2^{x+1} = 5^x$ e stabilisci tra quali due numeri interi consecutivi cade la soluzione.

Soluzione

Applico $\ln$ ai due membri: $(x + 1)\ln 2 = x\ln 5$ , quindi $\ln 2 = x(\ln 5 - \ln 2)$ e

x = \frac{\ln 2}{\ln 5 - \ln 2} = \frac{\ln 2}{\ln \frac{5}{2}}

Oppure: divido i due membri per $2^x$ e ottengo $2 = \left(\frac52\right)^x$ , cioè $x = \log_{5/2} 2$ .

Stima: $\left(\frac52\right)^0 = 1 < 2 < \frac52 = \left(\frac52\right)^1$ e la base $\frac52$ è maggiore di 1, quindi l'esponente cercato sta tra 0 e 1: $0 < x < 1$ (vale circa $0{,}76$ ).

Esercizio 7.15Livello provaCrescita di una colonia

Una colonia di batteri raddoppia ogni 3 ore. Alle 8 del mattino ci sono 500 batteri. A che ora saranno 8000?

Soluzione

Dopo $t$ ore la colonia ha raddoppiato $\frac{t}{3}$ volte, quindi $N(t) = 500 \cdot 2^{t/3}$ . Impongo $N(t) = 8000$ :

500 \cdot 2^{t/3} = 8000 \;\Rightarrow\; 2^{t/3} = 16 = 2^4 \;\Rightarrow\; \frac{t}{3} = 4 \;\Rightarrow\; t = 12

Dodici ore dopo le 8 del mattino: alle 20.

Esercizio 7.16Livello provaUna fratta con l'esponenziale

Risolvi $\dfrac{3^x - 9}{x + 1} \geq 0$ .

Soluzione

C.E.: $x + 1 \neq 0$ , cioè $x \neq -1$ .

Studio il segno dei due pezzi:

numeratore: $3^x - 9 \geq 0$ quando $3^x \geq 3^2$ , cioè $x \geq 2$ ;
denominatore: $x + 1 > 0$ quando $x > -1$ .

Tabella dei segni: per $x < -1$ numeratore negativo e denominatore negativo, frazione positiva; per $-1 < x < 2$ numeratore negativo e denominatore positivo, frazione negativa; per $x > 2$ frazione positiva. In $x = 2$ il numeratore vale zero e la frazione è nulla: con il $\geq$ il valore $x = 2$ è accettato.

Soluzioni: $x < -1$ oppure $x \geq 2$ .

−12

Soluzioni di

\frac{3^x - 9}{x+1} \geq 0

Esercizio 7.17Livello provaAttenzione al quadrato

Quante soluzioni ha l'equazione $\ln(x^2) = \ln(x + 6)$ ?

Soluzione

C.E.: $x^2 > 0$ , cioè $x \neq 0$ , e $x + 6 > 0$ , cioè $x > -6$ .

Argomenti uguali: $x^2 = x + 6$ , cioè $x^2 - x - 6 = 0$ , che si scompone in $(x - 3)(x + 2) = 0$ : $x = 3$ oppure $x = -2$ .

Tutte e due rispettano le C.E. (per $x = -2$ : $x^2 = 4 > 0$ e $x + 6 = 4 > 0$ ). Le soluzioni sono due. Chi trasforma $\ln(x^2)$ in $2\ln x$ impone $x > 0$ e perde $x = -2$ .

Quiz di verifica

Checklist

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Refusi noti in questo materiale

Nel materiale di questo modulo sono stati trovati alcuni refusi, verificati sulle pagine e sui PDF originali; negli appunti c'è la versione corretta.

Soluzioni 7.2, esercizio 6 ( $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 1} < 9^{2x}$ ): la soluzione è $x < -2 - \sqrt{5}$ oppure $x > -2 + \sqrt{5}$ . Il foglio scrive $x < -1 - \sqrt{5}$ nella prima parte; la seconda è giusta.

I refusi di tutti i moduli, con le avvertenze.

Esponenziali e logaritmi

#In breve

#7.1 Esponenziali e logaritmi

#Dalle potenze agli esponenti reali

#La funzione esponenziale

#Il logaritmo

#Le proprietà dei logaritmi

#Le basi eee e 10

#La funzione logaritmica

#Esponenziale e logaritmo sono funzioni inverse

#Modelli esponenziali

#7.2 Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

#Equazioni esponenziali

#Equazioni logaritmiche

#Disequazioni esponenziali

#Disequazioni logaritmiche

#Un'applicazione: il pH

#Esercizi

#Quiz di verifica

#Checklist

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Refusi noti in questo materiale

In breve

7.1 Esponenziali e logaritmi

Dalle potenze agli esponenti reali

La funzione esponenziale

Il logaritmo

Le proprietà dei logaritmi

Le basi $e$ e 10

La funzione logaritmica

Esponenziale e logaritmo sono funzioni inverse

Modelli esponenziali

7.2 Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Equazioni esponenziali

Equazioni logaritmiche

Disequazioni esponenziali

Disequazioni logaritmiche

Un'applicazione: il pH

Esercizi

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