Modulo 3. Equazioni e disequazioni di 1° e 2° grado, sistemi

In breve

Un'equazione di primo grado si riduce sempre a $ax + b = 0$ . Se $a \neq 0$ ha una sola soluzione, $x = -\frac{b}{a}$ ; se $a = 0$ è impossibile (quando $b \neq 0$ ) oppure è un'identità (quando anche $b = 0$ ).
Le disequazioni si risolvono come le equazioni, con una regola in più: se moltiplichi o dividi per un numero negativo, il verso si ribalta ( $<$ diventa $>$ e viceversa).
Per $ax^2 + bx + c = 0$ calcola prima il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ : due soluzioni se $\Delta > 0$ , una sola (doppia) se $\Delta = 0$ , nessuna soluzione reale se $\Delta < 0$ . Poi usa $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Somma e prodotto delle soluzioni, $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ e $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ , servono per controllare un risultato in pochi secondi.
Per una disequazione di secondo grado pensa alla parabola: con $a > 0$ e $\Delta > 0$ il trinomio è positivo fuori dalle soluzioni e negativo tra le soluzioni.
Un sistema lineare di due equazioni si risolve per sostituzione o per riduzione; può avere una soluzione, nessuna (impossibile) o infinite (indeterminato).
Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle sue equazioni.
Nei problemi: scegli l'incognita, scrivi l'equazione, risolvi e controlla che la soluzione abbia senso (lunghezze ed età positive, numero intero di persone e così via).

3.1 Equazioni e disequazioni di primo grado

Che cos'è un'equazione

Per esempio $2x + 1 = 7$ ha la soluzione $x = 3$ : infatti $2 \cdot 3 + 1 = 7$ . Il numero $1$ invece non è soluzione, perché $2 \cdot 1 + 1 = 3 \neq 7$ (il simbolo $\neq$ si legge "diverso da").

Un'equazione è di primo grado (o lineare) quando, dopo aver fatto tutti i conti, la $x$ compare solo alla prima potenza. Si può sempre scrivere nella forma

ax + b = 0

dove $a$ e $b$ sono numeri reali. Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni: risolvere vuol dire passare da un'equazione a un'altra equivalente ma più semplice, fino ad arrivare a " $x$ uguale a un numero".

I principi di equivalenza

Dai due principi vengono le regole pratiche che userai sempre:

Trasporto: un termine può passare da un membro all'altro cambiando segno. Da $3x - 5 = 7$ si passa a $3x = 7 + 5$ (hai aggiunto $5$ a entrambi i membri).
Cancellazione: un termine uguale nei due membri si può togliere. In $x^2 + 2x = x^2 + 6$ togli $x^2$ da entrambe le parti e resta $2x = 6$ .
Denominatori numerici: moltiplichi tutti i termini per il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori e le frazioni spariscono.
Cambio di segno: moltiplicando tutto per $-1$ cambiano i segni di tutti i termini, e $-x = 4$ diventa $x = -4$ .

Determinata, impossibile, indeterminata

Quando sei arrivato alla forma $ax + b = 0$ , cioè $ax = -b$ , ci sono tre casi.

Coefficienti	Tipo di equazione	Soluzioni
$a \neq 0$	determinata	una sola: $x = -\frac{b}{a}$
$a = 0$ e $b \neq 0$	impossibile	nessuna: diventa $0 \cdot x = -b$ , falsa per ogni $x$
$a = 0$ e $b = 0$	indeterminata (identità)	tutti i numeri reali: diventa $0 \cdot x = 0$

L'insieme dei numeri reali si indica con $\R$ ; l'insieme vuoto, cioè "nessuna soluzione", con $\emptyset$ .

Disequazioni di primo grado

Una disequazione è come un'equazione, ma al posto dell'uguale c'è uno di questi simboli: $>$ (maggiore), $\geq$ (maggiore o uguale), $<$ (minore), $\leq$ (minore o uguale). Le soluzioni di solito sono infinite e formano uno o più intervalli. Ogni disequazione di primo grado si riduce a una delle forme $ax > b$ , $ax \geq b$ , $ax < b$ , $ax \leq b$ .

Un insieme di soluzioni si scrive in tre modi equivalenti: con una disuguaglianza, come intervallo, oppure disegnato sulla retta dei numeri.

Disuguaglianza	Intervallo	Significato
$x > 2$	$(2, +\infty)$	i numeri maggiori di $2$ , escluso $2$
$x \geq 2$	$[2, +\infty)$	i numeri maggiori di $2$ , compreso $2$
$x < 2$	$(-\infty, 2)$	i numeri minori di $2$ , escluso $2$
$x \leq 2$	$(-\infty, 2]$	i numeri minori di $2$ , compreso $2$
$-1 < x \leq 2$	$(-1, 2]$	tra $-1$ (escluso) e $2$ (compreso)

La parentesi tonda indica un estremo escluso, la quadra un estremo compreso. Il simbolo $\infty$ (infinito) non è un numero: accanto a lui la parentesi è sempre tonda. Per mettere insieme due intervalli si usa il simbolo di unione $\cup$ : $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ vuol dire " $x < 1$ oppure $x > 3$ ". A volte "oppure" si scrive $\vee$ e "e" si scrive $\wedge$ .

Il motivo della terza regola: $2 < 5$ è vero, ma moltiplicando per $-1$ ottieni $-2$ e $-5$ , e $-2 > -5$ . Moltiplicare per un numero negativo "ribalta" l'ordine dei numeri sulla retta.

Più disequazioni insieme: sistemi e doppie disequazioni

Un sistema di disequazioni chiede i numeri che soddisfano tutte le disequazioni contemporaneamente: risolvi ciascuna disequazione e prendi la parte comune, cioè l'intersezione (simbolo $\cap$ ). Questo strumento servirà molto nel modulo 4.

Una doppia disequazione come $-1 < 2x + 3 \leq 7$ è un sistema scritto in forma compatta: puoi operare su tutti e tre i "membri" insieme. Togli $3$ : $-4 < 2x \leq 4$ ; dividi per $2$ : $-2 < x \leq 2$ .

Problemi di primo grado

3.2 Equazioni e disequazioni di secondo grado

La forma normale

Prima di tutto devi portare l'equazione in forma normale (tutto a sinistra, zero a destra, termini simili sommati) e leggere i coefficienti con il loro segno. Per esempio:

$3x^2 - x + 5 = 0$ : $a = 3$ , $b = -1$ , $c = 5$ ;
$4 - x^2 = 0$ , cioè $-x^2 + 4 = 0$ : $a = -1$ , $b = 0$ , $c = 4$ ;
$2x^2 = 7x$ , cioè $2x^2 - 7x = 0$ : $a = 2$ , $b = -7$ , $c = 0$ .

Equazioni incomplete

Se $b = 0$ oppure $c = 0$ non serve la formula: bastano due idee semplici.

Tipo	Forma	Come si risolve
pura ( $b = 0$ )	$ax^2 + c = 0$	$x^2 = -\frac{c}{a}$ : se $-\frac{c}{a} > 0$ ci sono due soluzioni opposte $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$ ; se è negativo nessuna
spuria ( $c = 0$ )	$ax^2 + bx = 0$	raccogli: $x(ax + b) = 0$ , quindi $x = 0$ oppure $x = -\frac{b}{a}$
monomia ( $b = c = 0$ )	$ax^2 = 0$	$x = 0$ (soluzione doppia)

Il simbolo $\pm$ si legge "più o meno" e riassume due numeri: $\pm 3$ vuol dire $3$ e $-3$ .

La formula risolutiva e il discriminante

Da dove viene la formula

La formula si ottiene con il completamento del quadrato: si aggiunge a entrambi i membri il numero che trasforma la parte con la $x$ nel quadrato di un binomio. Guarda prima un caso con i numeri, $x^2 + 6x + 5 = 0$ :

porta il termine noto a destra: $x^2 + 6x = -5$ ;
prendi metà del coefficiente di $x$ , cioè $3$ , e il suo quadrato, $9$ ; aggiungilo a entrambi i membri: $x^2 + 6x + 9 = 4$ ;
a sinistra c'è un quadrato: $(x + 3)^2 = 4$ ;
quindi $x + 3 = 2$ oppure $x + 3 = -2$ , cioè $x = -1$ oppure $x = -5$ .

Nel caso generale si fa lo stesso, dopo aver diviso tutto per $a$ (metà del coefficiente di $x$ è $\frac{b}{2a}$ , e il suo quadrato è $\frac{b^2}{4a^2}$ ):

\begin{aligned} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{aligned}

Se il secondo membro è positivo o nullo puoi prendere la radice quadrata di entrambi i membri, con il $\pm$ :

x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Isolando $x$ trovi la formula risolutiva. Si vede anche perché conta il segno di $\Delta = b^2 - 4ac$ : il primo membro è un quadrato e non può essere negativo, mentre il secondo membro ha lo stesso segno di $\Delta$ (il denominatore $4a^2$ è positivo). Se $\Delta < 0$ l'uguaglianza è impossibile.

Scomposizione, somma e prodotto delle radici

Questa regola generalizza il trinomio notevole del modulo 2, $x^2 + sx + p = (x + A)(x + B)$ quando $A + B = s$ e $A \cdot B = p$ . Adesso puoi scomporre qualunque trinomio di secondo grado con $\Delta \geq 0$ , anche quando i due numeri non si indovinano.

Nella prova Controlli rapidi senza calcolatrice

"Quali sono le soluzioni di $x^2 - x - 12 = 0$ ?": cerca due numeri con somma $1$ e prodotto $-12$ , cioè $4$ e $-3$ . Spesso basta per scegliere l'opzione giusta senza calcolare $\Delta$ .
"Quante soluzioni reali ha...": ti serve solo il segno di $\Delta$ . Se $a$ e $c$ hanno segni opposti, $-4ac$ è positivo e quindi $\Delta > 0$ di sicuro.
Con coefficienti interi, se $\Delta$ è un quadrato perfetto ( $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ ) le soluzioni sono frazioni o interi; se $\Delta$ è positivo ma non è un quadrato perfetto compaiono radici, e le opzioni con soli numeri interi sono sbagliate.
Domande con un parametro ("per quale $k$ ci sono due soluzioni coincidenti?"): imponi $\Delta = 0$ (oppure $\Delta > 0$ , $\Delta < 0$ ) e risolvi rispetto a $k$ .

Disequazioni di secondo grado con la parabola

Una disequazione di secondo grado si riduce a una delle forme $ax^2 + bx + c > 0$ , $\geq 0$ , $< 0$ , $\leq 0$ , con $a \neq 0$ . Il modo più sicuro per risolverla è pensare al grafico di $y = ax^2 + bx + c$ , che è una parabola (la studierai nel modulo 5):

se $a > 0$ la parabola ha la concavità verso l'alto (è "aperta in su"), se $a < 0$ verso il basso;
i punti in cui taglia l'asse $x$ sono le soluzioni dell'equazione associata $ax^2 + bx + c = 0$ ;
il trinomio è positivo dove la parabola sta sopra l'asse $x$ e negativo dove sta sotto.

−2−11234−4−3−2−112xy

O

y = x^2 - 2x - 3

-1

3

y = x^2 - 2x - 3

è negativa tra

-1

3

(zona rossa) e positiva fuori

Regola 3.7 Segno di

ax^2 + bx + c

quando

a > 0

Siano $x_1 < x_2$ le soluzioni dell'equazione associata quando $\Delta > 0$ , e $x_0 = -\frac{b}{2a}$ la soluzione doppia quando $\Delta = 0$ .

Verso	$\Delta > 0$	$\Delta = 0$	$\Delta < 0$
$> 0$	$x < x_1$ oppure $x > x_2$	ogni $x \neq x_0$	ogni $x \in \R$
$\geq 0$	$x \leq x_1$ oppure $x \geq x_2$	ogni $x \in \R$	ogni $x \in \R$
$< 0$	$x_1 < x < x_2$	nessuna soluzione	nessuna soluzione
$\leq 0$	$x_1 \leq x \leq x_2$	solo $x = x_0$	nessuna soluzione

In breve, con $\Delta > 0$ : verso $>$ → intervalli esterni, verso $<$ → intervallo interno. Se $a < 0$ moltiplica tutto per $-1$ , ribalta il verso e poi usa la tabella.

−6−4−2246−11234xy

O

\Delta > 0

\Delta = 0

\Delta < 0

Parabole con

a > 0

: due, una o nessuna intersezione con l'asse

x

Problemi di secondo grado

Il metodo è lo stesso dei problemi di primo grado, ma spesso trovi due soluzioni e una delle due può essere non accettabile (una lunghezza negativa, un'età negativa, un numero non intero di oggetti).

Esempio 3.22 Un sasso lanciato verso l'alto

L'altezza (in metri) di un sasso dopo $t$ secondi è $h = 20t - 5t^2$ . Quando si trova a $15$ m? E per quanto tempo sta sopra i $15$ m?

$20t - 5t^2 = 15$ diventa $5t^2 - 20t + 15 = 0$ , cioè, dividendo per $5$ , $t^2 - 4t + 3 = 0$ : $t = 1$ oppure $t = 3$ . Il sasso passa a $15$ m salendo dopo $1$ secondo e scendendo dopo $3$ secondi.

Sopra i $15$ m: $20t - 5t^2 > 15$ , cioè $-5t^2 + 20t - 15 > 0$ ; dividendo per $-5$ il verso si ribalta: $t^2 - 4t + 3 < 0$ , che vale per $1 < t < 3$ . Il sasso resta sopra i $15$ m per $2$ secondi.

12345101520th

O

h = 15

t = 1

t = 3

L'altezza

h = 20t - 5t^2

in funzione del tempo

t

e la quota

h = 15

3.3 Sistemi di equazioni

Che cos'è un sistema

Un sistema può avere:

una sola soluzione (nei sistemi di grado superiore al primo anche più di una, ma in numero finito): si dice determinato;
infinite soluzioni: si dice indeterminato;
nessuna soluzione: si dice impossibile o incompatibile.

Nei primi due casi il sistema è compatibile.

Un sistema di grado $1$ , fatto solo di equazioni di primo grado, si chiama sistema lineare. Con due equazioni e due incognite la sua forma normale è

\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}

dove $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ sono numeri reali. Se i termini noti $c_1$ e $c_2$ sono entrambi zero il sistema si dice omogeneo, e ha sempre almeno la soluzione $(0, 0)$ , detta soluzione nulla.

Metodo di sostituzione

Metodo del confronto

È una variante della sostituzione: ricavi la stessa incognita da entrambe le equazioni e poi uguagli le due espressioni.

Ogni equazione lineare in $x$ e $y$ rappresenta una retta nel piano cartesiano (modulo 5): risolvere il sistema vuol dire trovare il punto in cui le due rette si incontrano.

−112345−2−11234xy

O

y = 2x - 1

y = -x + 5

(2, 3)

Le rette

y = 2x - 1

y = -x + 5

si incontrano nel punto

(2, 3)

Metodo di riduzione

Quante soluzioni ha un sistema lineare

Se risolvendo un sistema le incognite spariscono tutte insieme, resta un'uguaglianza tra numeri:

se è falsa (per esempio $0 = 1$ ) il sistema è impossibile;
se è vera ( $0 = 0$ ) il sistema è indeterminato: una delle equazioni non aggiunge informazioni.

Regola 3.8 Confronto dei coefficienti

Per il sistema $a_1 x + b_1 y = c_1$ , $a_2 x + b_2 y = c_2$ , con coefficienti diversi da zero:

Condizione	Sistema	Rette
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$	determinato (una soluzione)	incidenti
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$	impossibile	parallele e distinte
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$	indeterminato	coincidenti

−2−11234−1123xy

O

x + 2y = 3

2x + 4y = 5

Rette parallele:

x + 2y = 3

2x + 4y = 5

non si incontrano mai

Sistemi con tre incognite

Con tre equazioni in tre incognite si usano gli stessi metodi: con una sostituzione (o una riduzione) elimini un'incognita e ti riduci a un sistema di due equazioni in due incognite.

Anche con tre incognite un sistema può essere impossibile (a un certo punto trovi un'uguaglianza falsa, come $0 = -2$ ) o indeterminato: in quel caso le soluzioni si scrivono in funzione di un parametro, come nel sistema indeterminato visto sopra.

Sistemi di grado superiore (cenni)

Sistema somma e prodotto. Il sistema

\begin{cases} x + y = s \\ xy = p \end{cases}

ha grado $2$ . I numeri $x$ e $y$ sono le soluzioni dell'equazione $t^2 - st + p = 0$ (è la stessa idea di somma e prodotto delle radici). È il sistema che risolvi senza accorgertene quando scomponi $x^2 + sx + p$ cercando due numeri con somma $s$ e prodotto $p$ .

Un'equazione di secondo grado e una di primo. Si usa la sostituzione: ricavi un'incognita dall'equazione di primo grado e la sostituisci in quella di secondo grado.

−4−224−4−224xy

O

y = x - 2

(3, 1)

(-1, -3)

La circonferenza

x^2 + y^2 = 10

e la retta

y = x - 2

si incontrano in due punti

Un sistema lineare ha al massimo una soluzione (se non è indeterminato); un sistema di secondo grado come questo può averne due. Per gradi più alti i conti diventano presto molto complicati.

Problemi con i sistemi

Quando in un problema ci sono due quantità sconosciute è spesso più naturale usare due incognite e un sistema.

Esercizi

Esercizio 3.1BaseUn'equazione con le parentesi

Risolvi $5x - 2(x + 3) = x + 4$ .

Soluzione

Svolgi il prodotto: $5x - 2x - 6 = x + 4$ , cioè $3x - 6 = x + 4$ .

Trasporta: $3x - x = 4 + 6$ , quindi $2x = 10$ e $x = 5$ .

Verifica: a sinistra $25 - 2 \cdot 8 = 9$ , a destra $5 + 4 = 9$ .

Esercizio 3.2BaseChe tipo di equazione?

Stabilisci se ciascuna equazione è determinata, impossibile o indeterminata, e risolvi quella determinata.

$3(x - 2) = 3x - 6$
$2x + 1 = 2(x + 1)$
$4x - 3 = x + 3$

Soluzione

$3x - 6 = 3x - 6$ , cioè $0 \cdot x = 0$ : indeterminata (identità), ogni $x \in \R$ è soluzione.
$2x + 1 = 2x + 2$ , cioè $0 \cdot x = 1$ : impossibile.
$4x - x = 3 + 3$ , cioè $3x = 6$ : determinata, con soluzione $x = 2$ .

Esercizio 3.3BaseUna disequazione e un sistema di disequazioni

Risolvi $3 - 2x \geq x - 9$ .
Risolvi il sistema formato da $3 - 2x \geq x - 9$ e $2x + 1 > 0$ .

Soluzione

Trasporta: $-2x - x \geq -9 - 3$ , cioè $-3x \geq -12$ . Dividi per $-3$ e ribalta il verso: $x \leq 4$ , cioè $(-\infty, 4]$ .
La seconda disequazione dà $2x > -1$ , cioè $x > -\frac{1}{2}$ . La parte comune con $x \leq 4$ è $-\frac{1}{2} < x \leq 4$ , cioè $\left(-\frac{1}{2}, 4\right]$ .

-1/2

Soluzioni del sistema:

-\frac{1}{2} < x \leq 4

Esercizio 3.4BaseEquazioni di secondo grado

Risolvi:

$x^2 - 7x + 10 = 0$
$3x^2 - 27 = 0$
$5x^2 + 10x = 0$

Soluzione

$\Delta = 49 - 40 = 9$ , $x = \frac{7 \pm 3}{2}$ : $x = 2$ oppure $x = 5$ . Controllo: somma $7$ e prodotto $10$ , come $-\frac{b}{a}$ e $\frac{c}{a}$ .
Equazione pura: $x^2 = 9$ , quindi $x = \pm 3$ .
Equazione spuria: $5x(x + 2) = 0$ , quindi $x = 0$ oppure $x = -2$ .

Esercizio 3.5BaseUn sistema lineare

Risolvi per sostituzione:

\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 2x - y = 3 \end{cases}

Soluzione

Dalla prima $x = 5 - 3y$ . Nella seconda: $2(5 - 3y) - y = 3$ , cioè $10 - 6y - y = 3$ , quindi $-7y = -7$ e $y = 1$ . Poi $x = 5 - 3 = 2$ .

Soluzione: $(2, 1)$ . Verifica: $2 + 3 = 5$ e $4 - 1 = 3$ .

Esercizio 3.6MedioUn'equazione con i denominatori

Risolvi $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = \frac{x}{6} - 1$ .

Soluzione

Il m.c.m. di $3$ , $4$ e $6$ è $12$ . Moltiplica ogni termine per $12$ , anche il $-1$ :

4(2x - 1) - 3(x + 2) = 2x - 12

Svolgi: $8x - 4 - 3x - 6 = 2x - 12$ , cioè $5x - 10 = 2x - 12$ . Trasporta: $3x = -2$ , quindi $x = -\frac{2}{3}$ .

Verifica: a sinistra $\frac{-7/3}{3} - \frac{4/3}{4} = -\frac{7}{9} - \frac{3}{9} = -\frac{10}{9}$ ; a destra $-\frac{1}{9} - 1 = -\frac{10}{9}$ .

Esercizio 3.7MedioUna disequazione con i denominatori

Risolvi $\frac{x - 2}{3} - \frac{x + 1}{2} \geq \frac{x}{6}$ e scrivi la soluzione come intervallo.

Soluzione

Moltiplica per $6$ (positivo, il verso resta): $2(x - 2) - 3(x + 1) \geq x$ , cioè $2x - 4 - 3x - 3 \geq x$ , quindi $-x - 7 \geq x$ .

Trasporta: $-2x \geq 7$ . Dividi per $-2$ e ribalta: $x \leq -\frac{7}{2}$ .

Soluzione: $\left(-\infty, -\frac{7}{2}\right]$ .

Esercizio 3.8MedioTre disequazioni di secondo grado

Risolvi:

$-x^2 + 4x + 5 > 0$
$x^2 - 6x + 9 > 0$
$2x^2 + 3 \leq 0$

Soluzione

Moltiplica per $-1$ e ribalta: $x^2 - 4x - 5 < 0$ . Le radici di $x^2 - 4x - 5 = 0$ sono $-1$ e $5$ (somma $4$ , prodotto $-5$ ). Verso $<$ : intervallo interno, $-1 < x < 5$ .
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ è positivo tranne che in $x = 3$ , dove vale zero. Soluzione: $x \neq 3$ .
$2x^2 + 3$ vale sempre almeno $3$ (un quadrato non è negativo), quindi non è mai $\leq 0$ : nessuna soluzione.

Esercizio 3.9MedioUn gruppo di amici

Un terzo di un gruppo di amici va al cinema, un quarto va a teatro e i restanti $10$ restano a casa. Quante persone ci sono nel gruppo?

Soluzione

Sia $x$ il numero di persone. Al cinema ne vanno $\frac{x}{3}$ , a teatro $\frac{x}{4}$ , a casa ne restano $10$ , e in tutto sono $x$ :

\frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 10 = x

Moltiplica per $12$ : $4x + 3x + 120 = 12x$ , quindi $120 = 5x$ e $x = 24$ . Controllo: $8$ al cinema, $6$ a teatro, $10$ a casa, e $8 + 6 + 10 = 24$ .

Esercizio 3.10MedioUn orto rettangolare

Un orto rettangolare ha perimetro $26$ m e area $40$ m². Quanto misurano i lati?

Soluzione

Se $x$ e $y$ sono i lati, $2(x + y) = 26$ e $xy = 40$ , cioè

\begin{cases} x + y = 13 \\ xy = 40 \end{cases}

È un sistema somma e prodotto: $x$ e $y$ sono le soluzioni di $t^2 - 13t + 40 = 0$ . $\Delta = 169 - 160 = 9$ , $t = \frac{13 \pm 3}{2}$ : $t = 8$ oppure $t = 5$ . I lati misurano $5$ m e $8$ m.

Esercizio 3.11MedioUn sistema con tre incognite

Risolvi

\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + y = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}

Soluzione

Dalla terza $z = 2 - x$ . Nella prima: $x + y - (2 - x) = 1$ , cioè $2x + y = 3$ : è la stessa equazione della seconda. Restano solo due equazioni diverse per tre incognite: il sistema è indeterminato.

Poni $x = t$ (parametro): dalla seconda $y = 3 - 2t$ , dalla terza $z = 2 - t$ . Le soluzioni sono le terne $(t, 3 - 2t, 2 - t)$ con $t \in \R$ ; per esempio con $t = 0$ si ha $(0, 3, 2)$ e con $t = 1$ si ha $(1, 1, 1)$ .

Esercizio 3.12Livello provaUn'equazione con un parametro

Considera l'equazione $(k - 2)x = k + 1$ , dove $k$ è un numero reale.

Per quale valore di $k$ è impossibile?
Esiste un valore di $k$ per cui è indeterminata?
Per $k = 5$ , qual è la soluzione?

Soluzione

È impossibile quando il coefficiente di $x$ è zero e il termine noto no: $k - 2 = 0$ , cioè $k = 2$ . Allora diventa $0 \cdot x = 3$ , falsa per ogni $x$ .
Servirebbero insieme $k - 2 = 0$ e $k + 1 = 0$ , cioè $k = 2$ e $k = -1$ : non può succedere. Nessun valore di $k$ la rende indeterminata.
Con $k = 5$ : $3x = 6$ , quindi $x = 2$ .

Esercizio 3.13Livello provaDiscriminante con parametro

Per quali valori di $k$ l'equazione $x^2 - 6x + k = 0$ ha due soluzioni reali distinte? Per quale valore ne ha una sola, e qual è?

Soluzione

$\Delta = 36 - 4k$ . Due soluzioni distinte se $36 - 4k > 0$ , cioè $k < 9$ . Una sola soluzione se $\Delta = 0$ , cioè $k = 9$ : l'equazione diventa $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0$ e la soluzione è $x = 3$ . Per $k > 9$ non ci sono soluzioni reali.

Esercizio 3.14Livello provaSomma e prodotto

Senza risolvere l'equazione $2x^2 - 7x + 3 = 0$ , calcola la somma e il prodotto delle soluzioni. Poi trova le soluzioni e controlla.

Soluzione

Somma $= -\frac{b}{a} = \frac{7}{2}$ , prodotto $= \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$ .

$\Delta = 49 - 24 = 25$ , $x = \frac{7 \pm 5}{4}$ : $x_1 = \frac{1}{2}$ e $x_2 = 3$ . Controllo: $\frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$ e $\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ .

Esercizio 3.15Livello provaUn sistema con parametro

Per quale valore di $a$ il sistema

\begin{cases} 2x + ay = 1 \\ 4x + 6y = 5 \end{cases}

è impossibile? Per gli altri valori di $a$ quante soluzioni ha?

Soluzione

Rapporti tra i coefficienti: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ per la $x$ , $\frac{a}{6}$ per la $y$ , $\frac{1}{5}$ per i termini noti. I primi due sono uguali se $\frac{a}{6} = \frac{1}{2}$ , cioè $a = 3$ ; in quel caso il rapporto dei termini noti, $\frac{1}{5}$ , è diverso da $\frac{1}{2}$ e il sistema è impossibile. Controllo: con $a = 3$ , moltiplicando la prima per $2$ si ha $4x + 6y = 2$ , in contrasto con $4x + 6y = 5$ .

Per $a \neq 3$ i rapporti dei coefficienti di $x$ e di $y$ sono diversi: il sistema ha una sola soluzione.

Esercizio 3.16Livello provaBiglietti

Per uno spettacolo sono stati venduti $120$ biglietti, in parte interi da $10$ euro e in parte ridotti da $6$ euro, con un incasso di $1000$ euro. Quanti biglietti di ciascun tipo sono stati venduti?

Soluzione

Con $i$ il numero di biglietti interi e $r$ quello dei ridotti:

\begin{cases} i + r = 120 \\ 10i + 6r = 1000 \end{cases}

Dalla prima $r = 120 - i$ ; nella seconda $10i + 720 - 6i = 1000$ , cioè $4i = 280$ e $i = 70$ . Quindi $r = 50$ . Controllo: $700 + 300 = 1000$ .

Esercizio 3.17Livello provaLa somma dei primi numeri naturali

La somma dei numeri naturali da $1$ a $n$ vale $\frac{n(n + 1)}{2}$ . Per quale $n$ la somma vale $78$ ?

Soluzione

$\frac{n(n + 1)}{2} = 78$ diventa $n^2 + n = 156$ , cioè $n^2 + n - 156 = 0$ . $\Delta = 1 + 624 = 625 = 25^2$ , $n = \frac{-1 \pm 25}{2}$ : $n = 12$ oppure $n = -13$ . Serve un numero naturale: $n = 12$ . Controllo: $\frac{12 \cdot 13}{2} = 78$ .

Quiz di verifica

Checklist

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Equazioni e disequazioni di 1° e 2° grado, sistemi

#In breve

#3.1 Equazioni e disequazioni di primo grado

#Che cos'è un'equazione

#I principi di equivalenza

#Determinata, impossibile, indeterminata

#Disequazioni di primo grado

#Più disequazioni insieme: sistemi e doppie disequazioni

#Problemi di primo grado

#3.2 Equazioni e disequazioni di secondo grado

#La forma normale

#Equazioni incomplete

#La formula risolutiva e il discriminante

#Da dove viene la formula

#Scomposizione, somma e prodotto delle radici

#Disequazioni di secondo grado con la parabola

#Problemi di secondo grado

#3.3 Sistemi di equazioni

#Che cos'è un sistema

#Metodo di sostituzione

#Metodo del confronto

#Metodo di riduzione

#Quante soluzioni ha un sistema lineare

#Sistemi con tre incognite

#Sistemi di grado superiore (cenni)

#Problemi con i sistemi

#Esercizi

#Quiz di verifica

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Che cos'è un'equazione

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Determinata, impossibile, indeterminata

Disequazioni di primo grado

Più disequazioni insieme: sistemi e doppie disequazioni

Problemi di primo grado

3.2 Equazioni e disequazioni di secondo grado

La forma normale

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Scomposizione, somma e prodotto delle radici

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