Modulo 4. Fratte, irrazionali e con valore assoluto

In breve

Prima di tutto scrivi le condizioni di esistenza: ogni denominatore diverso da zero, ogni radicando di una radice di indice pari maggiore o uguale a zero.
Equazione fratta: porta tutto nella forma $\frac{N(x)}{D(x)} = 0$ . Una frazione vale zero quando si annulla il numeratore: risolvi $N(x) = 0$ e scarta le soluzioni che annullano un denominatore.
Disequazione fratta: non moltiplicare per il denominatore, perché il suo segno cambia con $x$ . Porta a $\frac{N(x)}{D(x)} > 0$ (o $<$ , $\geq$ , $\leq$ ), studia il segno di numeratore e denominatore e usa la tabella dei segni.
Radice di indice dispari: elevi alla potenza e basta, senza perdere né aggiungere soluzioni.
Radice di indice pari: una radice quadrata non è mai negativa. Per $\sqrt{f(x)} = g(x)$ servono $f(x) = g(x)^2$ e $g(x) \geq 0$ ; per le disequazioni ci sono due schemi da sapere.
Il valore assoluto di un numero è la sua distanza da zero; $|x - a|$ è la distanza tra $x$ e $a$ .
Con $c > 0$ : $|A| = c$ significa $A = \pm c$ ; $|A| < c$ significa $-c < A < c$ ; $|A| > c$ significa $A < -c$ oppure $A > c$ . Se $c < 0$ le risposte sono "mai" (per $=$ e $<$ ) e "sempre" (per $>$ ).
Con più valori assoluti dividi la retta in intervalli secondo il segno di ciascun argomento.

4.1 Equazioni e disequazioni fratte

Condizioni di esistenza

Equazioni fratte

Nota Il denominatore comune

Il denominatore comune è il minimo comune multiplo dei denominatori e si calcola come con i numeri: scomponi ogni denominatore e prendi tutti i fattori che compaiono, ciascuno una sola volta e con l'esponente più alto. Per esempio con i denominatori $x - 2$ , $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ e $x^2 + 2x = x(x + 2)$ il denominatore comune è $x(x - 2)(x + 2)$ . Poi ogni numeratore va moltiplicato per i fattori che mancano al suo denominatore.

Attento ai fattori opposti, come $1 - x = -(x - 1)$ oppure $x - 3x^2 = -x(3x - 1)$ : porta fuori il meno e riconoscerai lo stesso fattore. Per esempio in $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = \frac{1}{x}$ (C.E.: $x \neq 0$ e $x \neq 1$ ) la seconda frazione è $-\frac{3}{x - 1}$ , quindi il primo membro vale $-\frac{1}{x - 1}$ ; moltiplicando per $x(x - 1)$ ottieni $-x = x - 1$ , cioè $x = \frac{1}{2}$ , accettabile.

Esempio 4.3 Una soluzione da scartare:

\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x^2 - 1}

Scomponi: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ . C.E.: $x \neq 1$ e $x \neq -1$ .

Con il denominatore comune $(x - 1)(x + 1)$ , il numeratore deve annullarsi:

x(x + 1) + (x - 1) - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 + 2x - 3 = 0

(la freccia $\Rightarrow$ si legge "quindi"). Le soluzioni sono $x = -3$ e $x = 1$ (somma $-2$ , prodotto $-3$ ). Ma $x = 1$ annulla i denominatori: non accettabile. Unica soluzione: $x = -3$ .

Controllo: $\frac{-3}{-4} + \frac{1}{-2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ e $\frac{2}{9 - 1} = \frac{1}{4}$ .

Disequazioni fratte e tabella dei segni

Nelle disequazioni fratte non puoi moltiplicare per il denominatore come nelle equazioni: il denominatore contiene $x$ e il suo segno cambia a seconda di $x$ , quindi non sai se il verso va ribaltato o no. Si ragiona invece sui segni.

Metodo Risolvere una disequazione fratta

Scrivi le C.E.
Porta tutto al primo membro e fai il denominatore comune: arrivi a $\frac{N(x)}{D(x)} > 0$ (oppure $\geq 0$ , $< 0$ , $\leq 0$ ). A destra deve esserci $0$ .
Studia il segno del numeratore: risolvi $N(x) > 0$ , oppure $N(x) \geq 0$ se il verso della disequazione è $\geq$ o $\leq$ .
Studia il segno del denominatore: risolvi $D(x) > 0$ , sempre con il segno stretto, perché $D(x)$ non può mai essere zero.
Riporta i risultati in una tabella dei segni e applica la regola dei segni colonna per colonna.
Scegli gli intervalli con il segno richiesto: positivi per $>$ e $\geq$ , negativi per $<$ e $\leq$ . Con $\geq$ o $\leq$ aggiungi gli zeri del numeratore; gli zeri del denominatore sono sempre esclusi.

Esempio 4.6

\frac{x - 2}{x + 3} \geq 0

C.E.: $x \neq -3$ .

Numeratore: $x - 2 \geq 0$ per $x \geq 2$ . Denominatore: $x + 3 > 0$ per $x > -3$ .

Nella tabella dei segni ogni riga è un tratto della retta; le colonne sono il numeratore $x - 2$ , il denominatore $x + 3$ e la frazione.

Tratto	Numeratore	Denominatore	Frazione
$x < -3$	$-$	$-$	$+$
$x = -3$	$-$	$0$	non esiste
$-3 < x < 2$	$-$	$+$	$-$
$x = 2$	$0$	$+$	$0$
$x > 2$	$+$	$+$	$+$

Il verso è $\geq$ : servono i tratti positivi e lo zero del numeratore. Soluzione: $x < -3$ oppure $x \geq 2$ , cioè $(-\infty, -3) \cup [2, +\infty)$ .

−32

Soluzioni di

\frac{x - 2}{x + 3} \geq 0

Il grafico della funzione $y = \frac{x - 2}{x + 3}$ conferma la tabella: sta sopra l'asse $x$ a sinistra di $-3$ e a destra di $2$ , sotto l'asse tra $-3$ e $2$ . In $x = -3$ il grafico si spezza, perché lì la frazione non esiste.

−8−6−4−224−4−224xy

O

x = -3

y = \frac{x - 2}{x + 3}

è positiva per

x < -3

e per

x > 2

Esempio 4.7 Numeratore di secondo grado:

\frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2} < 0

C.E.: $x \neq 2$ .

Numeratore: $x^2 - 4x + 3 > 0$ . Le radici sono $1$ e $3$ , quindi è positivo per $x < 1$ oppure $x > 3$ e negativo tra $1$ e $3$ . Denominatore: $x - 2 > 0$ per $x > 2$ .

Tratto	Numeratore	Denominatore	Frazione
$x < 1$	$+$	$-$	$-$
$1 < x < 2$	$-$	$-$	$+$
$2 < x < 3$	$-$	$+$	$-$
$x > 3$	$+$	$+$	$+$

Verso $<$ : tratti negativi, estremi esclusi. Soluzione: $x < 1$ oppure $2 < x < 3$ .

123

Soluzioni di

\frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2} < 0

4.2 Equazioni e disequazioni irrazionali

Radici di indice pari e dispari

Un'equazione o disequazione è irrazionale quando l'incognita compare sotto il segno di radice. Il simbolo $\sqrt[n]{a}$ ("radice $n$ -esima di $a$ ") indica il numero che elevato alla $n$ dà $a$ : il numero $n$ è l'indice, $a$ è il radicando. Quando l'indice non è scritto vale $2$ (radice quadrata).

L'idea per risolvere è sempre togliere la radice elevando alla potenza giusta. Il punto delicato è che elevare a una potenza pari non è un passaggio sicuro:

Equazioni con un radicale

Consideriamo equazioni del tipo $\sqrt[n]{f(x)} = g(x)$ , dove $f(x)$ e $g(x)$ sono polinomi.

Metodo Indice pari

Per $\sqrt{f(x)} = g(x)$ imposta il sistema

\begin{cases} f(x) = g(x)^2 \\ g(x) \geq 0 \end{cases}

Con un altro indice pari $n$ (radice quarta, sesta, ...) si eleva alla $n$ : il sistema diventa $f(x) = g(x)^n$ e $g(x) \geq 0$ .

$g(x) \geq 0$ perché una radice di indice pari non è mai negativa, quindi non può essere uguale a un numero negativo.
La condizione $f(x) \geq 0$ non serve scriverla: se $f(x) = g(x)^2$ (o $g(x)^n$ con $n$ pari), allora $f(x)$ è una potenza pari e non è negativa.

In alternativa puoi elevare al quadrato (o alla $n$ ) senza condizioni e poi verificare ogni soluzione sostituendola nell'equazione di partenza.

Il grafico mostra da dove viene la soluzione estranea. Elevando al quadrato risolvi insieme $\sqrt{x + 7} = x + 1$ e $-\sqrt{x + 7} = x + 1$ : la soluzione $x = -3$ appartiene alla seconda equazione, non alla nostra.

−6−4−224−3−2−11234xy

O

(2, 3)

(-3, -2)

La retta rossa

y = x + 1

incontra

y = \sqrt{x + 7}

(curva piena) solo in

x = 2

; in

x = -3

incontra

y = -\sqrt{x + 7}

(tratteggiata)

Equazioni con due o più radicali quadratici

Con più radici quadrate, per esempio $\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} = h(x)$ oppure $\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} = \sqrt{h(x)}$ , si eleva al quadrato più volte finché le radici spariscono. Scrivere tutte le condizioni diventa lungo, perciò di solito si procede così:

Esempio 4.14

\sqrt{2x + 1} + \sqrt{x} = 1

C.E.: $x \geq 0$ (con $x \geq 0$ anche $2x + 1$ è positivo).

Isola la prima radice: $\sqrt{2x + 1} = 1 - \sqrt{x}$ . Eleva al quadrato:

2x + 1 = 1 - 2\sqrt{x} + x \quad\Rightarrow\quad x = -2\sqrt{x}

Eleva ancora al quadrato: $x^2 = 4x$ , cioè $x(x - 4) = 0$ : $x = 0$ oppure $x = 4$ .

Verifica: con $x = 0$ ottieni $\sqrt{1} + \sqrt{0} = 1$ , vero. Con $x = 4$ ottieni $\sqrt{9} + \sqrt{4} = 5 \neq 1$ : soluzione estranea. Unica soluzione: $x = 0$ .

Si poteva anche ragionare così: in $x = -2\sqrt{x}$ il primo membro è $\geq 0$ e il secondo è $\leq 0$ , quindi devono essere entrambi zero.

Disequazioni con un radicale

Con l'indice pari bisogna distinguere se la radice deve essere minore o maggiore di $g(x)$ . Gli schemi qui sotto sono scritti per la radice quadrata; con un altro indice pari $n$ sono identici, con $g(x)^n$ al posto di $g(x)^2$ .

Regola 4.4 Radice quadrata minore di

g(x)

\sqrt{f(x)} < g(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g(x)^2 \end{cases}

La doppia freccia $\Longleftrightarrow$ si legge "equivale a": a sinistra e a destra ci sono le stesse soluzioni.

$f(x) \geq 0$ : la radice deve esistere;
$g(x) > 0$ : la radice è positiva o nulla, quindi può essere minore di $g(x)$ solo se $g(x)$ è positivo;
$f(x) < g(x)^2$ : ora i due membri sono positivi o nulli e si può elevare al quadrato senza cambiare il verso.

Con $\leq$ al posto di $<$ il sistema diventa $f(x) \geq 0$ , $g(x) \geq 0$ , $f(x) \leq g(x)^2$ .

Il grafico mette insieme i due esempi: la radice sta sopra la retta $y = x$ per $-2 \leq x < 2$ e sotto per $x > 2$ ; in $x = 2$ le due curve si incontrano ( $\sqrt{4} = 2$ ), e a sinistra di $-2$ la radice non esiste.

−2−11234−2−1123xy

O

y = \sqrt{x + 2}

y = x

(2, 2)

-2

y = \sqrt{x + 2}

sta sopra la retta rossa

y = x

per

-2 \leq x < 2

e sotto per

x > 2

Disequazioni con due radicali quadratici

Qui non c'è uno schema unico: si usano gli stessi ragionamenti, con attenzione. Due idee aiutano:

se entrambi i membri sono maggiori o uguali a zero si può elevare al quadrato senza cambiare il verso;
le condizioni di esistenza di tutte le radici vanno messe a sistema con il resto.

Esempio 4.20

\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 2} > 5

C.E.: $x \geq -3$ e $x \geq 2$ , cioè $x \geq 2$ . Entrambi i membri sono positivi: eleva al quadrato.

x + 3 + x - 2 + 2\sqrt{(x + 3)(x - 2)} > 25 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{(x + 3)(x - 2)} > 12 - x

(nel secondo passaggio hai portato $2x + 1$ a destra e diviso per $2$ ). È una disequazione "radice maggiore di $g(x)$ " con $g(x) = 12 - x$ :

primo sistema: $12 - x < 0$ e $(x + 3)(x - 2) \geq 0$ , cioè $x > 12$ ;
secondo sistema: $12 - x \geq 0$ e $x^2 + x - 6 > 144 - 24x + x^2$ , cioè $x \leq 12$ e $25x > 150$ , quindi $6 < x \leq 12$ .

Unione: $x > 6$ . Tutti questi valori rispettano le C.E. ( $x \geq 2$ ), quindi la soluzione è $x > 6$ . Controllo: con $x = 6$ si ha $\sqrt{9} + \sqrt{4} = 5$ , proprio il valore di confine.

4.3 Equazioni e disequazioni con valore assoluto

Il valore assoluto

Esempi con i numeri: $|7| = 7$ , $|-7| = 7$ , $|0| = 0$ , $|3 - 5| = |-2| = 2$ . Con un'espressione il risultato dipende da $x$ :

|x - 2| = \begin{cases} x - 2 & \text{se } x \geq 2 \\ 2 - x & \text{se } x < 2 \end{cases}

−2−112341234xy

O

y = 2

x = -1

x = 3

y = \lvert x - 1 \rvert

e la retta

y = 2

: si incontrano in

x = -1

e in

x = 3

Equazioni con valore assoluto

Se anche l'altro membro contiene $x$ , come in $|A(x)| = B(x)$ , si usa direttamente la definizione: due sistemi, uno per $A(x) \geq 0$ e uno per $A(x) < 0$ .

Disequazioni con valore assoluto

La tabella riassume tutti i casi, secondo il segno del numero $c$ (colonne: $c > 0$ , $c = 0$ , $c < 0$ ).

Disequazione	Numero positivo	Numero nullo	Numero negativo
$\|A\| < c$	$-c < A < c$	nessuna soluzione	nessuna soluzione
$\|A\| \leq c$	$-c \leq A \leq c$	$A = 0$	nessuna soluzione
$\|A\| > c$	$A < -c$ oppure $A > c$	$A \neq 0$	ogni $x$
$\|A\| \geq c$	$A \leq -c$ oppure $A \geq c$	ogni $x$	ogni $x$

(Qui "ogni $x$ " vuol dire ogni $x$ per cui $A$ esiste.)

Più valori assoluti

Esempio 4.32

|x + 2| + |x - 1| < 5

Gli argomenti si annullano in $-2$ e in $1$ .

Nella tabella: il segno del primo argomento, $x + 2$ , quello del secondo, $x - 1$ , e l'espressione $|x + 2| + |x - 1|$ scritta senza valori assoluti in ogni tratto.

Tratto	Primo argomento	Secondo argomento	Espressione
$x < -2$	$-$	$-$	$-(x + 2) - (x - 1) = -2x - 1$
$-2 \leq x < 1$	$+$	$-$	$(x + 2) - (x - 1) = 3$
$x \geq 1$	$+$	$+$	$(x + 2) + (x - 1) = 2x + 1$

$x < -2$ : $-2x - 1 < 5$ dà $x > -3$ ; insieme a $x < -2$ : $-3 < x < -2$ .
$-2 \leq x < 1$ : $3 < 5$ è sempre vero, quindi va bene tutto l'intervallo.
$x \geq 1$ : $2x + 1 < 5$ dà $x < 2$ ; insieme a $x \geq 1$ : $1 \leq x < 2$ .

Unione: $-3 < x < 2$ .

−4−3−2−11231234567xy

O

y = 5

-3

2

y = \lvert x + 2 \rvert + \lvert x - 1 \rvert

sta sotto la retta

y = 5

per

-3 < x < 2

Esercizi

Esercizio 4.1BaseUn'equazione fratta

Risolvi $\frac{2}{x} + \frac{1}{x - 2} = 0$ .

Soluzione

C.E.: $x \neq 0$ e $x \neq 2$ .

Con il denominatore comune $x(x - 2)$ , il numeratore deve annullarsi: $2(x - 2) + x = 0$ , cioè $3x - 4 = 0$ e $x = \frac{4}{3}$ . È diverso da $0$ e da $2$ : accettabile.

Controllo: $\frac{2}{4/3} = \frac{3}{2}$ e $\frac{1}{4/3 - 2} = \frac{1}{-2/3} = -\frac{3}{2}$ ; la somma è $0$ .

Esercizio 4.2BaseUna disequazione fratta

Risolvi $\frac{x - 3}{x + 1} > 0$ .

Soluzione

C.E.: $x \neq -1$ . Il numeratore è positivo per $x > 3$ , il denominatore per $x > -1$ .

Tratto	Numeratore	Denominatore	Frazione
$x < -1$	$-$	$-$	$+$
$-1 < x < 3$	$-$	$+$	$-$
$x > 3$	$+$	$+$	$+$

Verso $>$ : $x < -1$ oppure $x > 3$ , cioè $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ .

Esercizio 4.3MedioAttenzione alle C.E.

Risolvi $\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} = \frac{6}{x^2 - 1}$ .

Soluzione

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ . C.E.: $x \neq 1$ e $x \neq -1$ .

Con il denominatore comune $(x - 1)(x + 1)$ , il numeratore deve annullarsi:

(x + 2)(x + 1) - x(x - 1) - 6 = 0

cioè $x^2 + 3x + 2 - x^2 + x - 6 = 0$ , quindi $4x - 4 = 0$ e $x = 1$ . Ma $x = 1$ è escluso dalle C.E.: l'equazione è impossibile.

Esercizio 4.4MedioNumeratore di secondo grado

Risolvi $\frac{x^2 - 9}{x - 1} \leq 0$ .

Soluzione

C.E.: $x \neq 1$ . Numeratore: $x^2 - 9 \geq 0$ per $x \leq -3$ oppure $x \geq 3$ . Denominatore: $x - 1 > 0$ per $x > 1$ .

Tratto	Numeratore	Denominatore	Frazione
$x < -3$	$+$	$-$	$-$
$-3 < x < 1$	$-$	$-$	$+$
$1 < x < 3$	$-$	$+$	$-$
$x > 3$	$+$	$+$	$+$

Verso $\leq$ : tratti negativi più gli zeri del numeratore ( $\pm 3$ ), mai lo zero del denominatore. Soluzione: $x \leq -3$ oppure $1 < x \leq 3$ .

−313

Soluzioni di

\frac{x^2 - 9}{x - 1} \leq 0

Esercizio 4.5Livello provaUna frazione maggiore o uguale a un numero

Risolvi $\frac{3}{x - 2} \geq 1$ e indica quanti numeri interi soddisfano la disequazione.

Soluzione

C.E.: $x \neq 2$ . Porta tutto a sinistra: $\frac{3}{x - 2} - 1 \geq 0$ , cioè $\frac{3 - (x - 2)}{x - 2} \geq 0$ , quindi $\frac{5 - x}{x - 2} \geq 0$ .

Numeratore: $5 - x \geq 0$ per $x \leq 5$ . Denominatore: $x - 2 > 0$ per $x > 2$ . La frazione è positiva per $2 < x < 5$ e vale zero in $x = 5$ . Soluzione: $2 < x \leq 5$ .

Gli interi sono $3$ , $4$ e $5$ : sono 3. Attenzione: moltiplicando per $x - 2$ senza pensare al segno avresti trovato $x \leq 5$ , che contiene anche valori sbagliati come $x = 0$ (infatti $\frac{3}{-2} < 1$ ).

Esercizio 4.6Livello provaLavoro in due

Due operai insieme dipingono una stanza in $3$ ore; il primo da solo impiega $4$ ore. Quanto impiega il secondo da solo?

Soluzione

Sia $x$ il tempo in ore del secondo operaio, con $x \neq 0$ . In un'ora il primo fa $\frac{1}{4}$ del lavoro, il secondo $\frac{1}{x}$ , e insieme ne fanno $\frac{1}{3}$ :

\frac{1}{4} + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}

Quindi $\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ e $x = 12$ ore.

Esercizio 4.7BaseUn radicale di indice pari

Risolvi $\sqrt{x + 3} = x - 3$ .

Soluzione

Condizione: $x - 3 \geq 0$ , cioè $x \geq 3$ . Eleva al quadrato: $x + 3 = x^2 - 6x + 9$ , cioè $x^2 - 7x + 6 = 0$ , con soluzioni $x = 1$ e $x = 6$ .

$x = 1$ non rispetta $x \geq 3$ e si scarta (infatti $\sqrt{4} = 2$ , mentre $1 - 3 = -2$ ). Soluzione: $x = 6$ . Controllo: $\sqrt{9} = 3 = 6 - 3$ .

Esercizio 4.8BaseIndice dispari e segni

Risolvi:

$\sqrt[3]{x^2 - 1} = 2$
$\sqrt{x^2 + 4} = -2$

Soluzione

Indice dispari: eleva al cubo, $x^2 - 1 = 8$ , quindi $x^2 = 9$ e $x = \pm 3$ . Vanno bene entrambe.
Una radice quadrata non è mai negativa: nessuna soluzione.

Esercizio 4.9MedioDue radicali

Risolvi $\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$ .

Soluzione

C.E.: $x \geq 1$ . Isola una radice: $\sqrt{x + 4} = 1 + \sqrt{x - 1}$ . Eleva al quadrato:

x + 4 = 1 + 2\sqrt{x - 1} + x - 1 \quad\Rightarrow\quad 4 = 2\sqrt{x - 1} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x - 1} = 2

Eleva ancora: $x - 1 = 4$ , cioè $x = 5$ . Verifica: $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$ . Soluzione: $x = 5$ .

Esercizio 4.10MedioTre radicali

Risolvi $\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{4x + 5}$ .

Soluzione

C.E.: $x + 4 \geq 0$ , $x - 1 \geq 0$ e $4x + 5 \geq 0$ , cioè $x \geq 1$ . I due membri sono positivi o nulli: eleva al quadrato.

x + 4 + x - 1 + 2\sqrt{(x + 4)(x - 1)} = 4x + 5 \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{(x + 4)(x - 1)} = 2x + 2

Dividi per $2$ : $\sqrt{x^2 + 3x - 4} = x + 1$ . Con $x \geq 1$ il secondo membro è positivo, quindi eleva ancora: $x^2 + 3x - 4 = x^2 + 2x + 1$ , cioè $x = 5$ .

Verifica: $\sqrt{9} + \sqrt{4} = 5$ e $\sqrt{25} = 5$ . Soluzione: $x = 5$ .

Esercizio 4.11MedioRadice minore di

g(x)

Risolvi $\sqrt{x + 1} < x - 1$ .

Soluzione

\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ x - 1 > 0 \\ x + 1 < (x - 1)^2 \end{cases}

La prima dà $x \geq -1$ , la seconda $x > 1$ . La terza: $x + 1 < x^2 - 2x + 1$ , cioè $x^2 - 3x > 0$ , $x(x - 3) > 0$ , quindi $x < 0$ oppure $x > 3$ .

Parte comune: $x > 3$ . Controllo: con $x = 3$ si ha $\sqrt{4} = 2$ , uguale e non minore di $3 - 1 = 2$ ; con $x = 8$ si ha $3 < 7$ .

Esercizio 4.12Livello provaRadice maggiore di

g(x)

Risolvi $\sqrt{4 - x} > x - 2$ .

Soluzione

Primo sistema, $x - 2 < 0$ e $4 - x \geq 0$ : $x < 2$ e $x \leq 4$ , cioè $x < 2$ .

Secondo sistema, $x - 2 \geq 0$ e $4 - x > (x - 2)^2$ : $x \geq 2$ e $4 - x > x^2 - 4x + 4$ , cioè $x^2 - 3x < 0$ , che vale per $0 < x < 3$ . Insieme: $2 \leq x < 3$ .

Unione: $x < 3$ , cioè $(-\infty, 3)$ . Tutti questi valori rispettano $4 - x \geq 0$ .

Esercizio 4.13Livello provaSenza fare conti

Trova le soluzioni di:

$\sqrt{x - 5} > -2$
$\sqrt{x - 5} < -2$
$\sqrt[3]{x - 5} < -2$

Soluzione

La radice, quando esiste, è $\geq 0$ e quindi maggiore di $-2$ : la soluzione è il campo di esistenza, $x \geq 5$ (non tutto $\R$ ).
Una radice quadrata non può essere negativa: nessuna soluzione.
Indice dispari: eleva al cubo, $x - 5 < -8$ , cioè $x < -3$ .

Esercizio 4.14BaseEquazione e disequazioni con il modulo

Risolvi:

$|3x - 6| = 9$
$|x + 2| \leq 3$
$|x + 2| > 3$

Soluzione

$3x - 6 = 9$ dà $x = 5$ ; $3x - 6 = -9$ dà $x = -1$ .
$-3 \leq x + 2 \leq 3$ , cioè $-5 \leq x \leq 1$ .
$x + 2 < -3$ oppure $x + 2 > 3$ , cioè $x < -5$ oppure $x > 1$ . Sono proprio i numeri esclusi al punto 2.

Esercizio 4.15MedioModulo uguale a un'espressione

Risolvi $|x^2 - 4| = 3x$ .

Soluzione

Primo caso, $x^2 - 4 \geq 0$ , cioè $x \leq -2$ oppure $x \geq 2$ : l'equazione è $x^2 - 4 = 3x$ , cioè $x^2 - 3x - 4 = 0$ , con soluzioni $x = 4$ e $x = -1$ . Solo $x = 4$ rispetta la condizione.

Secondo caso, $x^2 - 4 < 0$ , cioè $-2 < x < 2$ : l'equazione è $-(x^2 - 4) = 3x$ , cioè $x^2 + 3x - 4 = 0$ , con soluzioni $x = 1$ e $x = -4$ . Solo $x = 1$ rispetta la condizione.

Soluzioni: $x = 1$ e $x = 4$ . Controllo: $|1 - 4| = 3 = 3 \cdot 1$ e $|16 - 4| = 12 = 3 \cdot 4$ .

Esercizio 4.16MedioDue valori assoluti

Risolvi $|x - 1| + |x + 1| \leq 4$ .

Soluzione

Gli argomenti si annullano in $1$ e in $-1$ .

$x < -1$ : $-(x - 1) - (x + 1) = -2x \leq 4$ , cioè $x \geq -2$ ; quindi $-2 \leq x < -1$ .
$-1 \leq x < 1$ : $-(x - 1) + (x + 1) = 2 \leq 4$ , sempre vero: va bene tutto l'intervallo.
$x \geq 1$ : $(x - 1) + (x + 1) = 2x \leq 4$ , cioè $x \leq 2$ ; quindi $1 \leq x \leq 2$ .

Unione: $-2 \leq x \leq 2$ .

Esercizio 4.17Livello provaPrima isola il modulo

Risolvi $5 - |x^2 - 2| < 4$ .

Soluzione

Isola il valore assoluto: $-|x^2 - 2| < -1$ , e moltiplicando per $-1$ (verso ribaltato) $|x^2 - 2| > 1$ . Quindi $x^2 - 2 < -1$ oppure $x^2 - 2 > 1$ :

$x^2 - 2 < -1$ dà $x^2 < 1$ , cioè $-1 < x < 1$ ;
$x^2 - 2 > 1$ dà $x^2 > 3$ , cioè $x < -\sqrt{3}$ oppure $x > \sqrt{3}$ .

Soluzione: $x < -\sqrt{3}$ oppure $-1 < x < 1$ oppure $x > \sqrt{3}$ (ricorda che $\sqrt{3}$ vale circa $1{,}73$ ).

−√3−11√3

Soluzioni di

5 - \lvert x^2 - 2 \rvert < 4

Esercizio 4.18Livello provaQuanti interi

Quanti numeri interi soddisfano $|2x - 1| < 7$ ?

Soluzione

$-7 < 2x - 1 < 7$ ; aggiungi $1$ : $-6 < 2x < 8$ ; dividi per $2$ : $-3 < x < 4$ . Gli interi sono $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ : sono 6.

Quiz di verifica

Checklist

Sul portale OFA

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Refusi noti in questo materiale

Nel materiale di questo modulo sono stati trovati alcuni refusi, verificati sulle pagine e sui PDF originali; negli appunti c'è la versione corretta.

Libro 4.3, esempio 4 ( $|x + 1| + |x - 2| \le 5$ ): il primo sistema dà $-2 \le x < -1$ , non $-2 \le x < 1$ . Il risultato finale, $-2 \le x \le 3$ , è giusto.
Soluzioni 4.2, esercizio 6 ( $\sqrt{7x + 2} + \sqrt{16 - x^2} > -5$ ): la soluzione è il campo di esistenza, $-\frac{2}{7} \le x \le 4$ , non «per ogni $x$ reale». Il ragionamento del foglio (una somma di radici quadrate non è mai negativa) è giusto, ma vale solo dove le radici esistono.

I refusi di tutti i moduli, con le avvertenze.

Fratte, irrazionali e con valore assoluto

#In breve

#4.1 Equazioni e disequazioni fratte

#Condizioni di esistenza

#Equazioni fratte

#Disequazioni fratte e tabella dei segni

#4.2 Equazioni e disequazioni irrazionali

#Radici di indice pari e dispari

#Equazioni con un radicale

#Equazioni con due o più radicali quadratici

#Disequazioni con un radicale

#Disequazioni con due radicali quadratici

#4.3 Equazioni e disequazioni con valore assoluto

#Il valore assoluto

#Equazioni con valore assoluto

#Disequazioni con valore assoluto

#Più valori assoluti

#Esercizi

#Quiz di verifica

#Checklist

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Refusi noti in questo materiale

In breve

4.1 Equazioni e disequazioni fratte

Condizioni di esistenza

Equazioni fratte

Disequazioni fratte e tabella dei segni

4.2 Equazioni e disequazioni irrazionali

Radici di indice pari e dispari

Equazioni con un radicale

Equazioni con due o più radicali quadratici

Disequazioni con un radicale

Disequazioni con due radicali quadratici

4.3 Equazioni e disequazioni con valore assoluto

Il valore assoluto

Equazioni con valore assoluto

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Esercizi

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