Modulo 5. Geometria analitica: retta e coniche

In breve

Distanza e punto medio di $A = (x_A, y_A)$ e $B = (x_B, y_B)$ : $d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ e $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .
Ogni retta ha un'equazione $ax + by + c = 0$ ; se non è verticale si scrive $y = mx + q$ , con coefficiente angolare $m = -\frac{a}{b}$ e ordinata all'origine $q$ .
Retta per un punto: $y - y_P = m(x - x_P)$ . Per due punti: prima $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , poi la formula precedente.
Parallele: stesso $m$ . Perpendicolari: $m \cdot m' = -1$ . Il punto comune a due rette si trova risolvendo il sistema.
Distanza punto-retta: $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ; serve anche per capire se una retta è tangente a una circonferenza.
Circonferenza $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ : centro $\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ , raggio $\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c}$ ; se sotto radice viene un numero negativo non è una circonferenza reale.
Parabola $y = ax^2 + bx + c$ : vertice in $x_V = -\frac{b}{2a}$ , concavità verso l'alto se $a > 0$ . Il suo grafico risolve le disequazioni di 2° grado.
Ellisse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ e iperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : vertici, fuochi ( $c^2 = a^2 - b^2$ per l'ellisse con $a > b$ , $c^2 = a^2 + b^2$ per l'iperbole) e, per l'iperbole, asintoti $y = \pm\frac{b}{a}x$ . L'iperbole equilatera riferita agli asintoti è $xy = k$ .

Introduzione: il piano cartesiano

La geometria analitica traduce la geometria in algebra: un punto diventa una coppia di numeri, una retta o una curva diventano un'equazione in $x$ e $y$ . Così i problemi geometrici si risolvono con equazioni, sistemi e disequazioni, e al contrario un'equazione si può "vedere" come una figura.

Il riferimento cartesiano

Gli assi dividono il piano in quattro quadranti, numerati in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle $x$ . I punti che stanno sugli assi non appartengono a nessun quadrante: sull'asse $x$ hanno $y = 0$ , sull'asse $y$ hanno $x = 0$ .

Quadrante	Segni delle coordinate	Esempio
I	$x > 0$ , $y > 0$	$P = (3, 2)$
II	$x < 0$ , $y > 0$	$Q = (-2, 3)$
III	$x < 0$ , $y < 0$	$R = (-3, -2)$
IV	$x > 0$ , $y < 0$	$S = (2, -3)$

−4−224−3−2−1123xy

O

P

Q

R

S

IIIIIIIV

I quattro quadranti e i punti della tabella

Distanza tra due punti

Non serve impararla a memoria: è il teorema di Pitagora. Il segmento $AB$ è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha un cateto orizzontale lungo $|x_B - x_A|$ e uno verticale lungo $|y_B - y_A|$ (le barre $|\ldots|$ indicano il valore assoluto). Le differenze vengono elevate al quadrato, quindi l'ordine della sottrazione non conta. Se i due punti hanno la stessa ordinata la distanza è semplicemente $|x_B - x_A|$ ; se hanno la stessa ascissa è $|y_B - y_A|$ .

12345123456xy

O

d = 5

3

4

A

B

Distanza tra

A = (1, 2)

B = (4, 6)

: cateti

3

4

, ipotenusa

5

Punto medio di un segmento

5.1 La retta nel piano cartesiano

In questa unità ogni retta viene descritta da un'equazione di primo grado in $x$ e $y$ . Un punto appartiene a una retta (o a qualsiasi curva) se e solo se le sue coordinate, sostituite nell'equazione, la rendono vera.

Rette particolari

L'asse $x$ è formato dai punti con ordinata nulla: ha equazione $y = 0$ . L'asse $y$ ha equazione $x = 0$ .
Le rette orizzontali, parallele all'asse $x$ , hanno equazione $y = k$ : tutti i loro punti hanno ordinata $k$ . Le rette verticali, parallele all'asse $y$ , hanno equazione $x = h$ .
Le rette che passano per l'origine, tranne l'asse $y$ , hanno equazione $y = mx$ : per ogni loro punto $(x, y)$ con $x \ne 0$ il rapporto $\frac{y}{x}$ vale sempre $m$ .
La bisettrice del I e III quadrante contiene i punti con coordinate uguali, del tipo $(x, x)$ : ha equazione $y = x$ . La bisettrice del II e IV quadrante contiene i punti $(x, -x)$ : ha equazione $y = -x$ .

−4−224−3−2−1123xy

O

y = 2

x = -3

y = x

y = -x

Le rette

y = 2

x = -3

e le bisettrici

y = x

y = -x

Forma esplicita: coefficiente angolare e ordinata all'origine

Il coefficiente angolare misura quanto sale la retta: se $x$ aumenta di $1$ , $y$ aumenta di $m$ . Presi due punti qualsiasi $A$ e $B$ della retta,

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

dove $\Delta$ (si legge "delta") indica una variazione: $\Delta x$ è di quanto cambia l'ascissa, $\Delta y$ di quanto cambia l'ordinata. Vale anche $m = \tan\alpha$ , dove $\alpha$ (si legge "alfa") è l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle $x$ (la tangente $\tan$ la ritroverai in trigonometria).

$m > 0$ : la retta sale da sinistra a destra e forma un angolo acuto con l'asse $x$ ;
$m < 0$ : la retta scende, angolo ottuso;
$m = 0$ : retta orizzontale;
retta verticale: $m$ non esiste, perché $\Delta x = 0$ .

Più $|m|$ è grande, più la retta è ripida.

−3−2−1123−2−11234xy

O

m = 2

m = \frac{1}{2}

m = 0

m = -1

q = 1

Rette per

(0, 1)

con coefficienti angolari diversi

Forma implicita

Casi particolari:

$b = 0$ : resta $ax + c = 0$ , cioè $x = -\frac{c}{a}$ , una retta verticale senza coefficiente angolare. È l'unico caso che la forma esplicita non comprende.
$a = 0$ : $y = -\frac{c}{b}$ , retta orizzontale.
$c = 0$ : la retta passa per l'origine.

La stessa retta ha infinite equazioni implicite: moltiplicando tutti i coefficienti per lo stesso numero $k \ne 0$ la retta non cambia. Per esempio $2x - y + 1 = 0$ e $4x - 2y + 2 = 0$ sono la stessa retta.

−4−3−2−112−3−2−11234xy

O

(0, 3)

(-2, 0)

\Delta x = 2

\Delta y = 3

La retta

3x - 2y + 6 = 0

: spostandosi di

2

a destra si sale di

3

, quindi

m = \frac{3}{2}

Retta per un punto e retta per due punti

Intersezione di due rette

Un punto comune a due rette deve verificare entrambe le equazioni: si risolve il sistema formato dalle due equazioni, con i metodi dei sistemi lineari. I casi sono tre:

una sola soluzione: rette incidenti (coefficienti angolari diversi);
nessuna soluzione (sistema impossibile): rette parallele distinte;
infinite soluzioni (sistema indeterminato): rette coincidenti.

24682468101214xy

O

A

B

(5, 10)

Tariffa A

y = 2x

e tariffa B

y = x + 5

: si incontrano in

(5, 10)

Parallelismo e perpendicolarità

Regola 5.5 Parallele e perpendicolari

Per $r: y = mx + q$ e $r': y = m'x + q'$ :

$r$ e $r'$ sono parallele ( $r \parallel r'$ ) se e solo se $m = m'$ ;
$r$ e $r'$ sono perpendicolari ( $r \perp r'$ ) se e solo se $m \cdot m' = -1$ , cioè $m' = -\frac{1}{m}$ : la pendenza della perpendicolare è l'antireciproco.

In forma implicita, $ax + by + c = 0$ e $a'x + b'y + c' = 0$ sono parallele se $ab' = a'b$ e perpendicolari se $aa' + bb' = 0$ . Queste due condizioni valgono anche per le rette orizzontali e verticali: due rette verticali sono parallele, una retta orizzontale e una verticale sono perpendicolari.

Esempio 5.10 Parallela e perpendicolare per un punto

Retta per $P = (2, -1)$ parallela a $r: y = 3x + 5$ : stessa pendenza $3$ , quindi $y + 1 = 3(x - 2)$ , cioè $y = 3x - 7$ . Retta per $P$ perpendicolare a $r$ : pendenza $-\frac{1}{3}$ , quindi $y + 1 = -\frac{1}{3}(x - 2)$ , cioè $y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$ .

Con la forma implicita: $2x - 3y + 1 = 0$ e $6x - 9y + 4 = 0$ sono parallele, perché $2 \cdot (-9) = 6 \cdot (-3) = -18$ ; $2x - 3y + 1 = 0$ e $3x + 2y - 5 = 0$ sono perpendicolari, perché $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 0$ .

−3−2−11234−4−3−2−1123xy

O

r

s

t

P

Per

P = (2, -1)

: la parallela

s

e la perpendicolare

t

alla retta

r: y = 3x + 5

Distanza di un punto da una retta

La retta va scritta in forma implicita. Per le rette parallele agli assi è più semplice: la distanza di $P_0$ dalla retta $x = h$ è $|x_0 - h|$ , dalla retta $y = k$ è $|y_0 - k|$ .

−3−2−1123−4−3−2−11xy

O

r

P

H

d = 2

La distanza di

P = (2, -1)

dalla retta

3x + 4y + 8 = 0

è la lunghezza di

PH

Fasci di rette

Definizione 5.3 Fasci di rette

Il fascio improprio è l'insieme di tutte le rette parallele a una retta data: $y = mx + q$ con $m$ fisso e $q$ che varia; le rette verticali formano il fascio $x = k$ , con $k$ che varia. Il fascio proprio di centro $C = (x_C, y_C)$ è l'insieme di tutte le rette che passano per $C$ : $y - y_C = m(x - x_C)$ al variare di $m$ , più la verticale $x = x_C$ . Se due rette $ax + by + c = 0$ e $a'x + b'y + c' = 0$ si incontrano in $C$ , il fascio proprio si scrive anche $\lambda(ax + by + c) + \mu(a'x + b'y + c') = 0$ , con $\lambda$ (lambda) e $\mu$ (mu) numeri reali non entrambi nulli.

−2−11234−1123456xy

O

y = 2x

C

(3, 6)

Alcune rette del fascio proprio di centro

C = (1, 2)

; in rosso quella per

(3, 6)

5.2 Le coniche

Circonferenza, parabola, ellisse e iperbole si chiamano coniche. Sono tutte descritte da equazioni di secondo grado in $x$ e $y$ .

La circonferenza

Con $C = (\alpha, \beta)$ (si leggono "alfa" e "beta"), la formula della distanza elevata al quadrato dà l'equazione.

Si riconosce così: equazione di secondo grado in $x$ e $y$ , senza il termine $xy$ , con i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ uguali. Se non valgono $1$ , dividi prima tutta l'equazione per quel numero.

−112345−4−3−2−112xy

O

C

r = 3

La circonferenza

x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0

, di centro

(2, -1)

e raggio

3

Metodo Circonferenza per tre punti

Tre punti non allineati individuano una sola circonferenza. Sostituisci le loro coordinate in $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ : ottieni un sistema lineare di tre equazioni nelle incognite $a$ , $b$ , $c$ . Con $O = (0, 0)$ , $A = (4, 0)$ , $B = (0, 2)$ : da $O$ viene $c = 0$ ; da $A$ : $16 + 4a = 0$ , $a = -4$ ; da $B$ : $4 + 2b = 0$ , $b = -2$ . La circonferenza è $x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0$ , con centro $(2, 1)$ e raggio $\sqrt{4 + 1} = \sqrt5$ . In alternativa, il centro è il punto d'incontro degli assi di due corde (l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio), per esempio degli assi dei segmenti $OA$ e $OB$ : $x = 2$ e $y = 1$ .

Retta e circonferenza

Esempio 5.15 Tre rette e la circonferenza

x^2 + y^2 = 25

Centro $O$ , raggio $5$ .

$3x + 4y - 25 = 0$ : $d = \frac{|-25|}{5} = 5 = r$ , tangente. Il punto di contatto è $T = (3, 4)$ : sta su entrambe, perché $9 + 16 = 25$ e $9 + 16 - 25 = 0$ .
$y = x - 1$ : sostituendo, $x^2 + (x - 1)^2 = 25$ , cioè $2x^2 - 2x - 24 = 0$ , ossia $x^2 - x - 12 = 0$ , con soluzioni $x = 4$ e $x = -3$ . Secante nei punti $(4, 3)$ e $(-3, -4)$ .
$y = x + 8$ , cioè $x - y + 8 = 0$ : $d = \frac{8}{\sqrt2} = 4\sqrt2$ , circa $5{,}66 > 5$ . Esterna.

−8−6−4−22468−6−4−2246xy

O

esternasecantetangente

T

Retta esterna, tangente e secante alla circonferenza

x^2 + y^2 = 25

Fasci di circonferenze

Date due circonferenze con centri diversi, $C_1: x^2 + y^2 + a_1x + b_1y + c_1 = 0$ e $C_2: x^2 + y^2 + a_2x + b_2y + c_2 = 0$ , il fascio che individuano è

\lambda(x^2 + y^2 + a_1x + b_1y + c_1) + \mu(x^2 + y^2 + a_2x + b_2y + c_2) = 0

se $\lambda + \mu \ne 0$ si ottiene una circonferenza (dividi per $\lambda + \mu$ );
se $\lambda + \mu = 0$ i termini di secondo grado spariscono e resta una retta, l'asse radicale. In pratica si trova sottraendo le due equazioni: $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + (c_1 - c_2) = 0$ .

Esempio 5.16 Due circonferenze che si tagliano

$C_1: x^2 + y^2 - 4 = 0$ (centro $O$ , raggio $2$ ) e $C_2: x^2 + y^2 - 4x = 0$ (centro $(2, 0)$ , raggio $2$ ). Asse radicale: $(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 4x) = 4x - 4 = 0$ , cioè $x = 1$ . Punti comuni: con $x = 1$ in $C_1$ trovi $1 + y^2 = 4$ , $y = \pm\sqrt3$ (si legge "più o meno": $y = \sqrt3$ oppure $y = -\sqrt3$ ), quindi $P_1 = (1, \sqrt3)$ e $P_2 = (1, -\sqrt3)$ . L'asse centrale è l'asse $x$ , perpendicolare a $x = 1$ . Circonferenza del fascio che passa per $(3, 0)$ : sostituendo in $\lambda(x^2 + y^2 - 4) + \mu(x^2 + y^2 - 4x) = 0$ trovi $5\lambda - 3\mu = 0$ . Scegli $\lambda = 3$ , $\mu = 5$ : $8x^2 + 8y^2 - 20x - 12 = 0$ , cioè $x^2 + y^2 - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} = 0$ , con centro $\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ sull'asse centrale e raggio $\frac{7}{4}$ .

−2−11234−2−112xy

O

x = 1

P_1

P_2

x^2 + y^2 = 4

x^2 + y^2 - 4x = 0

, l'asse radicale

x = 1

e (tratteggiata) la circonferenza del fascio per

(3, 0)

La parabola

Prendendo $F = (0, c)$ e la direttrice $y = -c$ , la condizione è $\sqrt{x^2 + (y - c)^2} = |y + c|$ ; elevando al quadrato e semplificando resta $x^2 = 4cy$ , cioè $y = \frac{1}{4c}x^2$ .

Per l'ordinata del vertice spesso è più comodo sostituire $x_V$ nell'equazione. Il fuoco sta sull'asse, a distanza $\frac{1}{4|a|}$ dal vertice, dalla parte verso cui la parabola è aperta ("dentro" la parabola); la direttrice è perpendicolare all'asse e sta alla stessa distanza dal vertice, dalla parte opposta.

1234−1123xy

O

y = x^2 - 4x + 3

f

V

F

y = x^2 - 4x + 3

con vertice

V

, fuoco

F

, asse

x = 2

e direttrice

y = -\frac{5}{4}

Retta e parabola si studiano come retta e circonferenza: si mette a sistema e si guarda il $\Delta$ dell'equazione di secondo grado che si ottiene. Per esempio $y = x^2$ e $y = 2x - 1$ danno $x^2 - 2x + 1 = 0$ , con $\Delta = 0$ : la retta è tangente nel punto $(1, 1)$ . Attenzione: una retta parallela all'asse, come $x = 1$ , incontra la parabola in un solo punto ma non è tangente.

Applicazione: la parabola per risolvere le disequazioni

Risolvere $ax^2 + bx + c > 0$ significa trovare le $x$ in cui la parabola $y = ax^2 + bx + c$ sta sopra l'asse $x$ ; per $< 0$ , quelle in cui sta sotto. Le soluzioni dell'equazione associata $ax^2 + bx + c = 0$ sono le ascisse dei punti in cui la parabola incontra l'asse $x$ , cioè le soluzioni del sistema tra $y = ax^2 + bx + c$ e $y = 0$ .

Riassunto per $a > 0$ . Se $a < 0$ , moltiplica prima entrambi i membri per $-1$ cambiando il verso della disequazione (per esempio $-x^2 + 9 > 0$ diventa $x^2 - 9 < 0$ ), poi usa la tabella.

	$\Delta > 0$ , zeri $x_1 < x_2$	$\Delta = 0$ , zero $x_1$	$\Delta < 0$
$ax^2 + bx + c > 0$	$x < x_1$ oppure $x > x_2$	ogni $x \ne x_1$	ogni $x$ reale
$ax^2 + bx + c < 0$	$x_1 < x < x_2$	nessuna $x$	nessuna $x$
$ax^2 + bx + c \ge 0$	$x \le x_1$ oppure $x \ge x_2$	ogni $x$ reale	ogni $x$ reale
$ax^2 + bx + c \le 0$	$x_1 \le x \le x_2$	solo $x = x_1$	nessuna $x$

−3−2−11234−6−4−224xy

O

y = x^2 - x - 6

-2

3

x^2 - x - 6 < 0

dove la parabola sta sotto l'asse

x

, cioè tra

-2

3

\frac{3}{2}

Soluzioni di

2x^2 - 3x \ge 0

x \le 0

oppure

x \ge \frac{3}{2}

L'ellisse

Regola 5.12 Equazione canonica dell'ellisse

Con i fuochi $F = (c, 0)$ e $F' = (-c, 0)$ sull'asse $x$ e il centro nell'origine:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad b^2 = a^2 - c^2 \quad (a > b)

vertici $A = (a, 0)$ , $A' = (-a, 0)$ , $B = (0, b)$ , $B' = (0, -b)$ ; centro $O$ ;
simmetrica rispetto ai due assi e all'origine; contenuta nel rettangolo $-a \le x \le a$ , $-b \le y \le b$ ;
eccentricità $e = \frac{c}{a}$ , con $0 \le e < 1$ : più è vicina a $0$ , più l'ellisse è "rotonda". Se $a = b$ allora $c = 0$ e l'ellisse è una circonferenza.

Se nell'equazione $b > a$ , i fuochi stanno sull'asse $y$ : $(0, \pm c)$ con $c^2 = b^2 - a^2$ , e l'eccentricità è $\frac{c}{b}$ (sempre il rapporto tra $c$ e il semiasse maggiore).

In pratica: i fuochi stanno sull'asse del denominatore più grande e $c^2$ è la differenza tra il denominatore maggiore e quello minore. Il legame $a^2 = b^2 + c^2$ si vede nel vertice $B = (0, b)$ : dista $a$ da ciascun fuoco (la somma è $2a$ ), e $a$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo con cateti $b$ e $c$ .

−6−4−2246−4−224xy

O

F

F'

B

A

A'

5

5

L'ellisse

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1

: da

B

ai fuochi

5 + 5 = 10 = 2a

L'iperbole

Regola 5.13 Equazione canonica dell'iperbole

Con i fuochi $F = (c, 0)$ e $F' = (-c, 0)$ :

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad b^2 = c^2 - a^2 \quad (c^2 = a^2 + b^2)

vertici $A = (a, 0)$ e $A' = (-a, 0)$ , dove l'iperbole è tangente alle rette $x = \pm a$ ; nessun punto sull'asse $y$ e nessun punto con $-a < x < a$ , quindi la curva è formata da due rami;
simmetrica rispetto ai due assi e all'origine;
asintoti $y = \pm\frac{b}{a}x$ : rette per l'origine a cui i rami si avvicinano sempre di più senza mai toccarle; sono le diagonali del rettangolo di vertici $(\pm a, \pm b)$ ;
eccentricità $e = \frac{c}{a} > 1$ .

L'equazione $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ è un'iperbole con vertici $(0, \pm b)$ e fuochi $(0, \pm c)$ sull'asse $y$ ; gli asintoti restano $y = \pm\frac{b}{a}x$ e ancora $c^2 = a^2 + b^2$ .

Trucco per gli asintoti: sostituisci il secondo membro con $0$ . Da $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ ricavi $y^2 = \frac{b^2}{a^2}x^2$ , cioè $y = \pm\frac{b}{a}x$ . Gli asintoti dividono le rette per l'origine in due famiglie: per l'iperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , quelle con pendenza $m$ tale che $|m| < \frac{b}{a}$ la tagliano in due punti, le altre (asintoti compresi) non la incontrano.

−6−4−2246−6−4−2246xy

O

A

A'

F

F'

L'iperbole

\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1

con gli asintoti

y = \pm\frac{4}{3}x

Iperbole equilatera

−4−224−4−224xy

O

xy = 4

xy = -2

V

V'

Iperboli equilatere riferite agli asintoti:

xy = 4

xy = -2

Riconoscere una conica

Equazione	Conica
$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$	circonferenza, se $a^2 + b^2 - 4c > 0$
$y = ax^2 + bx + c$	parabola con asse verticale
$x = ay^2 + by + c$	parabola con asse orizzontale
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	ellisse (circonferenza se $a = b$ )
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \pm 1$	iperbole
$x^2 - y^2 = a^2$ oppure $xy = k$	iperbole equilatera

Un'equazione del tipo $Ax^2 + By^2 = C$ con $C > 0$ è una circonferenza se $A = B > 0$ , un'ellisse se $A$ e $B$ sono positivi e diversi, un'iperbole se $A$ e $B$ hanno segni opposti.

Esercizi

Esercizio 5.1BaseDistanza e punto medio

Dati $A = (-1, 3)$ e $B = (5, -5)$ , calcola la distanza $AB$ e il punto medio $M$ . In quale quadrante sta $M$ ?

Soluzione

Differenze: $x_B - x_A = 5 - (-1) = 6$ e $y_B - y_A = -5 - 3 = -8$ .

d(A, B) = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

Punto medio: $M = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}\right) = (2, -1)$ . Ha ascissa positiva e ordinata negativa: sta nel IV quadrante.

Esercizio 5.2BaseRetta per due punti

Scrivi l'equazione della retta per $A = (2, -1)$ e $B = (4, 3)$ , in forma esplicita e implicita. Trova dove taglia gli assi e stabilisci se $P = (3, 1)$ e $Q = (1, -2)$ le appartengono.

Soluzione

$m = \frac{3 - (-1)}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$ . Retta per $A$ : $y + 1 = 2(x - 2)$ , cioè $y = 2x - 5$ ; in forma implicita $2x - y - 5 = 0$ . Controllo con $B$ : $2 \cdot 4 - 5 = 3$ .

Asse $y$ ( $x = 0$ ): $y = -5$ , punto $(0, -5)$ . Asse $x$ ( $y = 0$ ): $2x - 5 = 0$ , $x = \frac{5}{2}$ , punto $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ .

$P$ : $2 \cdot 3 - 5 = 1$ , appartiene. $Q$ : $2 \cdot 1 - 5 = -3 \ne -2$ , non appartiene.

Esercizio 5.3BaseCentro e raggio

Trova centro e raggio della circonferenza $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 6 = 0$ . Passa per l'origine?

Soluzione

$a = 6$ , $b = -2$ , $c = -6$ . Centro $\left(-\frac{6}{2}, -\frac{-2}{2}\right) = (-3, 1)$ . Raggio $r = \sqrt{9 + 1 - (-6)} = \sqrt{16} = 4$ .

Non passa per l'origine: sostituendo $(0, 0)$ resta $-6 \ne 0$ . Una circonferenza passa per l'origine solo se il termine noto è $0$ .

Esercizio 5.4BaseGli elementi di una parabola

Per $y = x^2 + 2x - 8$ trova vertice, asse, fuoco, direttrice e intersezioni con gli assi.

Soluzione

$a = 1$ , $b = 2$ , $c = -8$ , $\Delta = 4 + 32 = 36$ .

Vertice: $x_V = -\frac{2}{2} = -1$ , $y_V = 1 - 2 - 8 = -9$ , quindi $V = (-1, -9)$ . Asse $x = -1$ . Concavità verso l'alto ( $a > 0$ ).

Fuoco: $\left(-1, \frac{1 - 36}{4}\right) = \left(-1, -\frac{35}{4}\right)$ , cioè $\frac{1}{4}$ sopra il vertice. Direttrice: $y = -\frac{1 + 36}{4} = -\frac{37}{4}$ , $\frac{1}{4}$ sotto il vertice.

Asse $x$ : $x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2) = 0$ , punti $(-4, 0)$ e $(2, 0)$ . Asse $y$ : $(0, -8)$ .

Esercizio 5.5BaseDisequazioni con la parabola

Risolvi: a) $x^2 - 5x + 4 \le 0$ ; b) $-x^2 + 9 > 0$ ; c) $x^2 - 6x + 9 > 0$ ; d) $x^2 + x + 1 < 0$ .

Soluzione

a) Zeri $1$ e $4$ ; parabola verso l'alto, sotto l'asse (o sull'asse) tra gli zeri: $1 \le x \le 4$ , cioè $[1, 4]$ .
b) Zeri $-3$ e $3$ ; $a = -1 < 0$ , parabola verso il basso, sopra l'asse tra gli zeri: $-3 < x < 3$ .
c) $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ : la parabola tocca l'asse solo in $x = 3$ e altrove sta sopra. Soluzioni: ogni $x \ne 3$ .
d) $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ e $a > 0$ : la parabola sta tutta sopra l'asse e non è mai negativa. Nessuna soluzione.

Soluzioni di a)

x^2 - 5x + 4 \le 0

Esercizio 5.6MedioUn punto equidistante

Trova il punto $P$ dell'asse $y$ che ha la stessa distanza da $A = (2, 1)$ e da $B = (4, 3)$ .

Soluzione

Un punto dell'asse $y$ ha la forma $P = (0, y)$ . Imponi $d(P, A)^2 = d(P, B)^2$ , così spariscono le radici:

(0 - 2)^2 + (y - 1)^2 = (0 - 4)^2 + (y - 3)^2

$4 + y^2 - 2y + 1 = 16 + y^2 - 6y + 9$ . I termini $y^2$ si cancellano: $-2y + 5 = -6y + 25$ , cioè $4y = 20$ , $y = 5$ .

$P = (0, 5)$ . Controllo: $d(P, A) = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ e $d(P, B) = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ .

Esercizio 5.7MedioParallela, perpendicolare e distanza

Data la retta $r: 2x + 3y - 6 = 0$ e il punto $P = (-1, 2)$ , scrivi la retta per $P$ parallela a $r$ e quella per $P$ perpendicolare a $r$ ; calcola la distanza di $P$ da $r$ .

Soluzione

$m_r = -\frac{2}{3}$ .

Parallela: $y - 2 = -\frac{2}{3}(x + 1)$ ; moltiplicando per $3$ : $3y - 6 = -2x - 2$ , cioè $2x + 3y - 4 = 0$ . Ha gli stessi $a$ e $b$ di $r$ : cambia solo il termine noto.

Perpendicolare: pendenza $\frac{3}{2}$ ; $y - 2 = \frac{3}{2}(x + 1)$ , cioè $2y - 4 = 3x + 3$ , ossia $3x - 2y + 7 = 0$ . Controllo: $3 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 + 7 = 0$ .

Distanza: $d = \frac{|2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-2|}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$ .

Esercizio 5.8MedioCirconferenza tangente a una retta

Scrivi l'equazione della circonferenza di centro $C = (2, 3)$ tangente alla retta $3x + 4y + 2 = 0$ .

Soluzione

Tangente vuol dire che il raggio è uguale alla distanza del centro dalla retta:

r = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{5} = 4

Equazione: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$ , cioè $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 16 = 0$ , ossia $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ .

Esercizio 5.9MedioCentro nel vertice di una parabola

Scrivi l'equazione della circonferenza che ha il centro nel vertice della parabola $x = y^2 - 2y - 3$ e passa per l'origine.

Soluzione

La parabola ha asse orizzontale: $y_V = -\frac{-2}{2} = 1$ e $x_V = 1 - 2 - 3 = -4$ , vertice $(-4, 1)$ .

Il raggio è la distanza del centro dall'origine: $r = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ .

$(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 17$ , cioè $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 16 + 1 - 17 = 0$ , ossia $x^2 + y^2 + 8x - 2y = 0$ . Il termine noto è $0$ : la circonferenza passa davvero per l'origine.

Esercizio 5.10MedioEllisse e iperbole

Trova vertici, fuochi ed eccentricità dell'ellisse $16x^2 + 25y^2 = 400$ ; poi vertici, fuochi e asintoti dell'iperbole $9x^2 - 16y^2 = 144$ .

Soluzione

Ellisse: dividi per $400$ , $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ . $a = 5$ , $b = 4$ , $c = \sqrt{25 - 16} = 3$ . Vertici $(\pm 5, 0)$ e $(0, \pm 4)$ ; fuochi $(\pm 3, 0)$ ; eccentricità $\frac{3}{5}$ .

Iperbole: dividi per $144$ , $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ . $a = 4$ , $b = 3$ , $c = \sqrt{16 + 9} = 5$ . Vertici $(\pm 4, 0)$ ; fuochi $(\pm 5, 0)$ ; asintoti $y = \pm\frac{3}{4}x$ .

Esercizio 5.11Livello provaUna retta con un parametro

Considera le rette $(k - 1)x + (k + 1)y - 4 = 0$ , con $k$ reale. Trova $k$ in modo che la retta: a) passi per $(1, 3)$ ; b) sia parallela all'asse $x$ ; c) sia parallela alla bisettrice del I e III quadrante; d) sia perpendicolare a $y = \frac{1}{3}x$ ; e) sia verticale; f) formi un angolo acuto con l'asse $x$ . Infine trova il punto per cui passano tutte.

Soluzione

Per $k \ne -1$ il coefficiente angolare è $m = -\frac{k - 1}{k + 1}$ .

a) $(k - 1) \cdot 1 + (k + 1) \cdot 3 - 4 = 0$ , cioè $4k - 2 = 0$ , $k = \frac{1}{2}$ .
b) Orizzontale: il coefficiente di $x$ deve essere nullo, $k = 1$ . Retta $2y - 4 = 0$ , cioè $y = 2$ .
c) $m = 1$ : $-(k - 1) = k + 1$ , cioè $-k + 1 = k + 1$ , $k = 0$ . Retta $-x + y - 4 = 0$ , cioè $y = x + 4$ .
d) $m = -3$ : $-(k - 1) = -3(k + 1)$ , cioè $-k + 1 = -3k - 3$ , $2k = -4$ , $k = -2$ .
e) Verticale: il coefficiente di $y$ deve essere nullo, $k = -1$ . Retta $-2x - 4 = 0$ , cioè $x = -2$ .
f) Angolo acuto vuol dire $m > 0$ : $-\frac{k - 1}{k + 1} > 0$ , cioè $\frac{k - 1}{k + 1} < 0$ . Numeratore e denominatore devono avere segni opposti: $-1 < k < 1$ .

Punto comune: raccogli $k$ , $k(x + y) + (-x + y - 4) = 0$ . Servono $x + y = 0$ e $-x + y - 4 = 0$ ; sommando, $2y - 4 = 0$ , quindi $y = 2$ e $x = -2$ . Tutte le rette passano per $(-2, 2)$ : infatti le rette trovate in b) ed e) sono $y = 2$ e $x = -2$ .

Esercizio 5.12Livello provaTangente in un punto

Verifica che $P = (-2, 6)$ sta sulla circonferenza $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ e scrivi la retta tangente in $P$ .

Soluzione

Sostituisci: $4 + 36 + 4 - 24 - 20 = 0$ , quindi $P$ sta sulla circonferenza. Centro $C = (1, 2)$ , raggio $\sqrt{1 + 4 + 20} = 5$ .

Pendenza del raggio $CP$ : $\frac{6 - 2}{-2 - 1} = -\frac{4}{3}$ . La tangente è perpendicolare al raggio: pendenza $\frac{3}{4}$ .

$y - 6 = \frac{3}{4}(x + 2)$ ; moltiplicando per $4$ : $4y - 24 = 3x + 6$ , cioè $3x - 4y + 30 = 0$ .

Controllo: la distanza di $C$ dalla retta è $\frac{|3 - 8 + 30|}{5} = \frac{25}{5} = 5$ , proprio il raggio.

Esercizio 5.13Livello provaTangenti con un parametro

Per quali valori di $q$ la retta $y = x + q$ è tangente alla circonferenza $x^2 + y^2 = 8$ ? Per quali è secante?

Soluzione

Centro $O$ , raggio $\sqrt8 = 2\sqrt2$ . La retta in forma implicita è $x - y + q = 0$ e dista dal centro $d = \frac{|q|}{\sqrt2}$ .

Tangente: $\frac{|q|}{\sqrt2} = 2\sqrt2$ , cioè $|q| = 4$ : $q = 4$ oppure $q = -4$ .

Secante: $d < r$ , cioè $|q| < 4$ : $-4 < q < 4$ . Per $q < -4$ oppure $q > 4$ la retta è esterna.

Controllo con $q = 4$ : $x^2 + (x + 4)^2 = 8$ dà $2x^2 + 8x + 8 = 0$ , cioè $(x + 2)^2 = 0$ : un solo punto comune, $(-2, 2)$ .

Esercizio 5.14Livello provaParabola per tre punti

Trova la parabola $y = ax^2 + bx + c$ che passa per $(0, 1)$ , $(1, 0)$ e $(2, 3)$ , e il suo vertice.

Soluzione

Da $(0, 1)$ : $c = 1$ . Da $(1, 0)$ : $a + b + 1 = 0$ , cioè $a + b = -1$ . Da $(2, 3)$ : $4a + 2b + 1 = 3$ , cioè $2a + b = 1$ .

Sottraendo la seconda dalla terza: $a = 2$ , quindi $b = -3$ . La parabola è $y = 2x^2 - 3x + 1$ .

Vertice: $x_V = \frac{3}{4}$ , $y_V = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{1}{8}$ . Quindi $V = \left(\frac{3}{4}, -\frac{1}{8}\right)$ .

Esercizio 5.15Livello provaParabola sopra una retta

Per quali $x$ la parabola $y = x^2 - 2x - 3$ sta sopra la retta $y = x + 1$ ? In quali punti si incontrano?

Soluzione

"Sopra" vuol dire $x^2 - 2x - 3 > x + 1$ , cioè $x^2 - 3x - 4 > 0$ . Zeri: $(x - 4)(x + 1) = 0$ , $x = -1$ e $x = 4$ . La parabola associata è rivolta verso l'alto: positiva fuori dagli zeri, quindi $x < -1$ oppure $x > 4$ .

Punti d'incontro: per $x = -1$ si ha $y = 0$ , per $x = 4$ si ha $y = 5$ : $(-1, 0)$ e $(4, 5)$ .

−2−112345−4−2246xy

O

y = x^2 - 2x - 3

y = x + 1

(-1, 0)

(4, 5)

y = x^2 - 2x - 3

sta sopra

y = x + 1

per

x < -1

oppure

x > 4

Esercizio 5.16Livello provaRiconosci la conica

Di che curva si tratta? a) $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 6 = 0$ ; b) $x = -y^2 + 2y$ ; c) $4x^2 + 9y^2 = 36$ ; d) $xy = -3$ ; e) $x^2 - 4y^2 = 4$ .

Soluzione

a) Ha la forma di una circonferenza, ma $\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c = 1 + 4 - 6 = -1 < 0$ : nessun punto reale.
b) Parabola con asse orizzontale, aperta verso sinistra ( $a = -1$ ): $y_V = -\frac{2}{-2} = 1$ , $x_V = -1 + 2 = 1$ , vertice $(1, 1)$ .
c) Dividi per $36$ : $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ , ellisse con $a = 3$ , $b = 2$ , $c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt5$ .
d) Iperbole equilatera riferita agli asintoti con $k = -3 < 0$ : rami nel II e nel IV quadrante.
e) Dividi per $4$ : $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ , iperbole con $a = 2$ , $b = 1$ , $c = \sqrt5$ , asintoti $y = \pm\frac{1}{2}x$ .

Quiz di verifica

Checklist

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Refusi noti in questo materiale

Nel materiale di questo modulo sono stati trovati alcuni refusi, verificati sulle pagine e sui PDF originali; negli appunti c'è la versione corretta.

Libro 5.2, circonferenza, retta tangente a $x^2 + y^2 + 6x - 4y = 0$ nel punto $P_0 = (-6, 4)$ : la retta per $P_0$ con coefficiente angolare $\frac{3}{2}$ si scrive $y - 4 = \frac{3}{2}(x + 6)$ . Il libro scrive $y - 2 = \frac{3}{2}(x + 3)$ , che passa per il centro $(-3, 2)$ ; il risultato finale, $y = \frac{3}{2}x + 13$ , è giusto.

I refusi di tutti i moduli, con le avvertenze.

Geometria analitica: retta e coniche

#In breve

#Introduzione: il piano cartesiano

#Il riferimento cartesiano

#Distanza tra due punti

#Punto medio di un segmento

#5.1 La retta nel piano cartesiano

#Rette particolari

#Forma esplicita: coefficiente angolare e ordinata all'origine

#Forma implicita

#Retta per un punto e retta per due punti

#Intersezione di due rette

#Parallelismo e perpendicolarità

#Distanza di un punto da una retta

#Fasci di rette

#5.2 Le coniche

#La circonferenza

#Retta e circonferenza

#Fasci di circonferenze

#La parabola

#Applicazione: la parabola per risolvere le disequazioni

#L'ellisse

#L'iperbole

#Iperbole equilatera

#Riconoscere una conica

#Esercizi

#Quiz di verifica

#Checklist

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Refusi noti in questo materiale

In breve

Introduzione: il piano cartesiano

Il riferimento cartesiano

Distanza tra due punti

Punto medio di un segmento

5.1 La retta nel piano cartesiano

Rette particolari

Forma esplicita: coefficiente angolare e ordinata all'origine

Forma implicita

Retta per un punto e retta per due punti

Intersezione di due rette

Parallelismo e perpendicolarità

Distanza di un punto da una retta

Fasci di rette

5.2 Le coniche

La circonferenza

Retta e circonferenza

Fasci di circonferenze

La parabola

Applicazione: la parabola per risolvere le disequazioni

L'ellisse

L'iperbole

Iperbole equilatera

Riconoscere una conica

Esercizi

Quiz di verifica

Checklist