Funzioni reali di variabile reale

• a) $x^2 - 9 \ne 0$: $x \ne 3$ e $x \ne -3$. Dominio $\R \setminus \{-3, 3\}$.
• b) $8 - 2x \ge 0$: $x \le 4$. Dominio $(-\infty, 4]$.
• c) La radice cubica non pone condizioni; resta il denominatore: $x \ne -1$.
• d) $x^2 - 3x - 4 \ge 0$, cioè $(x - 4)(x + 1) \ge 0$: la parabola è rivolta verso l'alto ed è positiva fuori dagli zeri. Dominio $x \le -1$ oppure $x \ge 4$, cioè $(-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$.

Tutti i domini sono $\R$, che è simmetrico.

• $f(-x) = x^4 - 2x^2 = f(x)$: pari.
• $g(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -g(x)$: dispari.
• $h(-x) = x^2 - x$, né $h(x)$ né $-h(x)$ (per esempio $h(1) = 2$ e $h(-1) = 0$): né pari né dispari.
• $k(-x) = |-x| + (-x)^2 = |x| + x^2 = k(x)$: pari.
• $l(-x) = \frac{-x}{x^2 + 4} = -l(x)$: dispari.

$(f \circ g)(x) = f(3x - 2) = (3x - 2)^2 + 1 = 9x^2 - 12x + 5$.

$(g \circ f)(x) = g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) - 2 = 3x^2 + 1$.

$(f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(1) = 2$ (controllo: $9 - 12 + 5 = 2$). $(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 4$ (controllo: $3 + 1 = 4$). I due valori sono diversi: la composizione non è commutativa.

$f$ è una retta non orizzontale, quindi è biiettiva da $\R$ in $\R$. Da $y = 4x - 3$ si ricava $x = \frac{y + 3}{4}$; scambiando i nomi, $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{4}$.

Verifica: $f(2) = 8 - 3 = 5$ e $f^{-1}(5) = \frac{8}{4} = 2$.

$x + 1$ dentro l'argomento: $1$ a sinistra; $-4$ fuori: $4$ in basso. Il vertice passa da $(0, 0)$ a $(-1, -4)$.

Zeri: $(x + 1)^2 = 4$, cioè $x + 1 = 2$ oppure $x + 1 = -2$: $x = 1$ e $x = -3$. Asse $y$: $(0 + 1)^2 - 4 = -3$, punto $(0, -3)$.

$f$: serve $\frac{x - 2}{x + 3} \ge 0$, con $x \ne -3$. Il numeratore è $\ge 0$ per $x \ge 2$, il denominatore è $> 0$ per $x > -3$; la frazione è positiva o nulla quando hanno lo stesso segno: $x < -3$ oppure $x \ge 2$. Il valore $-3$ è escluso (annulla il denominatore), il $2$ è incluso (annulla il numeratore).

$g$: $x + 4 \ge 0$ e $x - 1 \ne 0$, cioè $x \ge -4$ con $x \ne 1$: dominio $[-4, 1) \cup (1, +\infty)$.

a) $f(x) = x(x^2 - 4x + 3) = x(x - 1)(x - 3)$: zeri $0$, $1$, $3$. Con la tabella dei segni dei tre fattori: $f(x) > 0$ per $0 < x < 1$ oppure $x > 3$; $f(x) < 0$ per $x < 0$ oppure $1 < x < 3$.

b) Dominio: $x \ne -1$ e $x \ne 2$. Con il denominatore comune $(x + 1)(x - 2)$, $g(x) = 0$ quando $x(x - 2) - 2(x + 1) = 0$, cioè $x^2 - 4x - 2 = 0$:

Nessuno dei due valori è $-1$ o $2$: gli zeri sono $2 + \sqrt6$ e $2 - \sqrt6$.

$f(-3) = -3 + 3 = 0$; $f(-1) = 1 + 1 = 2$; $f(0) = 1$; $f(5) = 2$.

In $x = -1$ il primo tratto arriva a $-1 + 3 = 2$, lo stesso valore di $f(-1)$; in $x = 1$ il secondo tratto vale $2$, come il terzo. Non ci sono salti: $f$ è continua.

Immagine: il primo tratto dà tutti i valori minori di $2$, il secondo i valori tra $1$ e $2$, il terzo il valore $2$. Immagine $(-\infty, 2]$: $f$ è limitata superiormente (il massimo è $2$) ma non inferiormente.

Crescente su $(-\infty, -1]$, decrescente su $[-1, 0]$, crescente su $[0, 1]$, costante su $[1, +\infty)$. Non è iniettiva: $f(1) = f(5) = 2$.

$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$: zeri $-1$ e $3$, vertice $(1, -4)$. Tra $-1$ e $3$ la parabola sta sotto l'asse: ribaltata, diventa un arco con il punto più alto in $(1, 4)$.

• $k = 2$: la retta $y = 2$ taglia i due rami esterni e l'arco due volte: $4$ soluzioni.
• $k = 4$: tocca l'arco solo nel punto più alto e taglia i due rami esterni: $3$ soluzioni.
• $k = 5$: passa sopra l'arco e taglia solo i rami esterni: $2$ soluzioni.

Controllo algebrico per $k = 4$: $x^2 - 2x - 3 = 4$ dà $x = 1 \pm 2\sqrt2$; $x^2 - 2x - 3 = -4$ dà $(x - 1)^2 = 0$, cioè $x = 1$.

Nella prima ora l'auto si allontana da casa fino a $60$ km: la funzione è crescente su $[0, 1]$. Dalla prima alla seconda ora è ferma: costante su $[1, 2]$. Poi torna indietro fino a $20$ km da casa: decrescente su $[2, 3]$. Infine si ferma di nuovo: costante su $[3, 4]$.

È continua: la posizione non può "saltare", e il grafico si traccia senza staccare la penna. Non è iniettiva: per esempio la distanza di $40$ km viene raggiunta due volte, all'andata e al ritorno. È limitata: $0 \le s \le 60$.

Si può aggiungere o togliere il periodo quante volte si vuole: $f(9) = f(1 + 2 \cdot 4) = f(1) = 3$; $f(-2) = f(2 - 4) = f(2) = -1$; $f(14) = f(2 + 3 \cdot 4) = f(2) = -1$; $f(-7) = f(1 - 2 \cdot 4) = f(1) = 3$.

• A: i prodotti $xy$ valgono sempre $20$: proporzionalità inversa, $y = \frac{20}{x}$. Per esempio per $x = 8$ si avrebbe $y = \frac{20}{8} = 2{,}5$.
• B: i rapporti $\frac{y}{x}$ valgono sempre $2{,}5$: proporzionalità diretta, $y = \frac{5}{2}x$.
• C: non sono costanti né i rapporti ($\frac{7}{2} \ne \frac{11}{4}$) né i prodotti ($14 \ne 44$). I valori crescono di $2$ per ogni unità di $x$: $y = 2x + 3$, lineare ma non proporzionale.

• a) È una traslazione orizzontale: i valori assunti non cambiano. Immagine $[-1, 1]$, limitata.
• b) Traslazione verso il basso di $4$: immagine $[-5, -3]$, limitata.
• c) $\cos x + 2$ assume i valori di $[1, 3]$, sempre positivi; il reciproco va da $\frac{1}{3}$ (quando il denominatore vale $3$) a $1$ (quando vale $1$). Immagine $\left[\frac{1}{3}, 1\right]$, limitata.
• d) Dove $\cos x = 1$ il denominatore si annulla e la funzione non è definita. Altrove $\cos x - 1$ assume tutti i valori di $[-2, 0)$, sempre negativi. Il reciproco vale $-\frac{1}{2}$ quando il denominatore vale $-2$; quando il denominatore si avvicina a $0$, il reciproco è negativo e grande quanto si vuole in valore assoluto. Immagine $\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right]$: la funzione è limitata superiormente (il massimo è $-\frac{1}{2}$) ma non inferiormente.

Dominio: $x \ne -3$. Da $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$: $y(x + 3) = 2x - 1$, cioè $xy + 3y = 2x - 1$, quindi $x(y - 2) = -3y - 1$ e

Si può ricavare $x$ per ogni $y \ne 2$, e in un solo modo: l'immagine di $f$ è $\R \setminus \{2\}$ e $f$ è biiettiva da $\R \setminus \{-3\}$ in $\R \setminus \{2\}$. Scambiando i nomi: $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{2 - x}$, definita per $x \ne 2$.

Verifica in un punto: $f(0) = -\frac{1}{3}$ e $f^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{-1 + 1}{2 + \frac{1}{3}} = 0$.

$(f \circ g)(x) = \sqrt{4 - x^2}$: serve $4 - x^2 \ge 0$, cioè $-2 \le x \le 2$.

$(g \circ f)(x) = 4 - (\sqrt{x})^2 = 4 - x$, ma solo dove esiste $\sqrt{x}$: il dominio è $x \ge 0$. La formula semplificata $4 - x$ "nasconde" una condizione che viene dalla funzione interna.

Il grafico di $g$ è quello di $f$ spostato di $2$ a sinistra e di $1$ in basso. Dominio: serve $0 \le x + 2 \le 5$, cioè $-2 \le x \le 3$: $[-2, 3]$. Immagine: ogni valore diminuisce di $1$: $[-4, 3]$.

Per $x < 0$ il grafico è una retta che sale e passa per $(-2, 0)$: è $y = x + 2$ (la retta $y = -x + 2$ di $f_3$ scende). Per $x \ge 0$ è una parabola rivolta verso il basso con vertice $(0, 2)$: è $y = 2 - x^2$ (la $x^2 + 2$ di $f_2$ è rivolta verso l'alto). Il grafico è quello di $f_1$. Controllo: $f_1(1) = 1$ e $f_1(2) = -2$, come si legge dalla figura.